207

Euklides (365-300 p.n.e.) – słynny grecki matematyk i fizyk. Jego najwybitniejsze dzieło „Elementy” składało się z trzynastu ksiąg, z czego trzy ostatnie księgi dotyczą geometrii przestrzennej: kątów w przestrzeni, objętości prostopadłościanów, graniastosłupów i ostrosłupów. Do XIX wieku było ono podstawowym podręcznikiem do nauki geometrii. Okres działalności naukowej tego wielkiego matematyka przypada prawdopodobnie na czasy panowania Ptolemeusza I. Ponoć Król ten miał jakoby zapytać Euklidesa, czy nie ma krótszego dostępu do geometrii niż przestudiowanie napi-sanych przez uczonego „Elementów”, na co ten odrzekł: „W geometrii nie ma dróg królewskich”.

Graniastosłupy dzielimy na proste i pochyłe. W graniastosłupach prostych krawędzie są prostopadłe do podstaw, w pochyłych – nie są.

GRANIASTOSŁUPY

208

graniastosłupy

1. przypomnieniewiadomościograniastosłupach

Graniastosłup jest to taka bryła, której dwie podstawy są rów- noległymi wielokątami przystającymi, a ściany boczne są rów-noległobokami. Krawędzie boczne graniastosłupa mają tę samą długość i są równoległe.

Wysokością graniastosłupa jest każdy odcinek prostopadły do obu podstaw zawarty między tymi podstawami. Przekątna graniastosłupa jest to odcinek łączący dwa wierzchołki nieleżące na jednej ścianie (np.: BD1).

209

graniastosłupy

Zadanie 1

Nazwij przedstawione na poniższym rysunku graniastosłupy i zaznacz ich wysokości.

Rozwiązanie

a)

b)

c)

Graniastosłup prosty o podstawie czwo-rokątnej (jego podstawą jest czworokąt, krawędzie boczne są prostopadłe do obu podstaw, wysokość graniastosłupa jest rów-na długości krawędzi bocznej).

a)

b)

c)

Graniastosłup prosty o podstawie trój-kątnej (jego podstawą jest trójkąt, krawę-dzie boczne są prostopadłe do obu podstaw, wysokość graniastosłupa jest równa dłu-gości krawędzi bocznej).

a)

b)

c)

Graniastosłup pochyły o podstawie czworokątnej (jego krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, wysokość graniastosłupa jest krótsza od długości krawędzi bocznej).

a) b) c)

210

graniastosłupy

Zadanie 2

Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma: a) prostokąt, b) kwadrat.

Jak nazywamy taki graniastosłup? Podaj jego własności.

Rozwiązanie

a)

Graniastosłup prosty, który w podstawie ma prostokąt, nazywa sięprostopadłościanem. Wszystkie ściany boczne prostopadłościanu są prostokątami. Przeciwległe ściany prostopadłościanu są przystające.

b)

Graniastosłup prosty, który w podstawie ma kwadrat, nazywa się graniastosłupem prawidłowym czworokątnym. Wszystkie ściany boczne tego graniastosłupa są prostokątami przystającymi.

Nazwa graniastosłupa ściśle wiążę się z jego podstawą. W zależności od tego, jaki wielokąt jest w podstawie, graniastosłup nazywamy odpowiednio trójkątnym, czworokątnym, pięciokątnym itd.

211

graniastosłupy

1.1. Przerysuj graniastosłupy i pod każdym z nich napisz jego nazwę.

1.2. Wymień 3 przedmioty codziennego użytku, które mają kształt graniastosłupów.

1.3. Ile ścian, ile krawędzi i ile wierzchołków ma graniastosłup: a) trójkątny, b) czworokątny, c) sześciokątny?

1.4. Jak nazywa się graniastosłup, którego wszystkie ściany są pro-stokątami?

1.5. Jak nazywa się graniastosłup, którego: a) wysokość jest równa długości krawędzi bocznej, b) wysokość jest krótsza od długości krawędzi bocznej?

1.6. Narysuj siatkę sześcianu, jeżeli wiesz, że suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 48 cm.

1.7. Narysuj siatkę graniastosłupa, który w podstawie ma trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a wysokość grania- stosłupa jest równa 5 cm.

1.8. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym obwód podstawy jest równy 24 cm, a krawędź podstawy jest dwa razy krótsza od krawędzi bocznej. Oblicz długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa.

212

graniastosłupy

1.9. Narysuj w naturalnej wielkości zaznaczony przekrój prostopa-dłościanu, którego wymiary podano na poniższym rysunku.

1.10. Narysuj graniastosłup prosty, który w podstawie ma równole-głobok i zaznacz w nim czworokąt, który jest przekrojem prze-chodzącym przez przeciwległe krawędzie jego podstaw. Na jakie dwie bryły podzielony został ten graniastosłup?

1.11. Jakie może mieć wymiary graniastosłup prawidłowy trójkątny, jeżeli długości jego wszystkich krawędzi wyrażają się liczbami naturalnymi, a ich suma jest równa 36 cm? Podaj wszystkie możliwości.

2. obliczaniepólpowierzchnigraniastosłupów

Zadanie 1

Narysuj w skali 1 : 2 siatkę graniastosłupa trójkątnego, który w podstawie ma trójkąt równoramienny o bokach 6 cm, 5 cm i 5 cm, a wysokość tej bryły jest równa 8 cm. Zmierz wysokość podstawy i oblicz:a) pole podstawy,b) pole powierzchni bocznej,c) pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

213

graniastosłupy

Rozwiązanie

Rysujemy siatkę w skali 1 : 2.

a) Obliczamy pole podstawy: – rysujemy podstawę graniastosłupa w naturalnej wielkości i mierzymy jej wysokość.

P

P

p

p

= ⋅ ⋅

=

12

6 4

12 2cm

Trójkąt, którego długości boków są ko-lejnymi liczbami naturalnymi (3, 4, 5) jest trójkątem prostokątnym, zwanym trójkątem egipskim. Był on używany przez Egipcjan do wyznaczania kąta prostego. W słynnej piramidzie Che-opsa w Gizie nieopodal Kairu, znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.

3

4

5

214

graniastosłupy

b) Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa:

PPP

b

b

b

= ⋅ + += ⋅

=

8 5 5 68 16

128

( )

cm2

c) Obliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:P P PPP

c p b

c

c

= +

= ⋅ +

=

2

2 12 128

152 2cm

Odp.: Pole podstawy jest równe 12 cm2, pole powierzchni bocznej 128 cm2, pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 152 cm2.

Zadanie 2

Narysuj siatkę graniastosłupa prostego przedstawionego na poniższym ry-sunku, którego podstawą jest trapez równoramienny. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

215

graniastosłupy

Rozwiązanie

Rysujemy siatkę tego graniastosłupa.

a) Obliczamy pole podstawy (trapezu)

Pp = +( )⋅ =

12

1 4 2 5 2cm

b) Obliczamy pole powierzchni bocznej

PPP

b

b

b

5 4 1 2 5 2 55 10

50 2

( , , )

cm

c) Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

P P P

Pc p b

c

2

2 5 50 60 cm2

Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe 60 cm2.

216

graniastosłupy

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest równe sumie pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej.

Pc = 2Pp + Pb

2.1. Oblicz pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 3 cm, a wysokość bryły jest równa 7 cm.

2.2. Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, jeżeli wiesz, że suma długości jego wszystkich krawędzi jest równa 60 cm.

2.3. Oblicz, jaką powierzchnię boczną ma plastikowe pudełko, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 12 cm i 8 cm, a wysokość pudełka jest równa 9 cm.

2.4. Oblicz wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej 3 cm, jeżeli jego pole powierzchni bocznej jest równe 144 cm2.

2.5. Podaj wymiary graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego powierzchnia całkowita jest równa 256 cm2, a pole powierzchni dwóch jego podstaw jest równe polu jego powierzchni bocznej.

2.6. Ile metrów kwadratowych szkła zużyto na akwarium w kształcie prostopadłościanu o podstawie 1,5 m × 0,8 m i wysokości 60 cm?

2.7. Wieża w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma wysokość 12 m. Oblicz pole powierzchni bocznej tej wieży, jeżeli obwód jej podstawy jest o 6 m dłuższy od wysokości wieży.

2.8. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa mającego w podstawie romb jest równe 208 cm2. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeżeli bok rombu ma 0,5 dm, a przekątne rombu mają długość 0,8 dm i 0,6 dm.

217

graniastosłupy

2.9. Budowla składa się z dwóch graniastosłupów: prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 4 m i prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej 4 m złączonych jedną ścianą boczną. Oblicz pole powierzchni bocznej tej budowli, jeżeli jej wysokość ma 9 m (patrz rysunek).

2.10. W prostopadłościennej wnęce łazienki wysokości 3 m i podstawie będącej kwadratem o boku 90 cm zaplanowano kabinę pryszni-cową. Na trzech ścianach tej wnęki ułożono glazurę. Oblicz, jaką powierzchnię pokryto glazurą.

2.11. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworo-kątnego jest równe 336 cm2. Oblicz wysokość tego graniastosłupa, jeżeli pole powierzchni bocznej jest równe 2,64 dm2.

2.12. Podstawą graniastosłupa prostego o wysokości H = 1 dm jest trójkąt ABC, w którym |AC| = |BC| i |AB| = 8 cm. Oblicz długość krawędzi AC, jeśli pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest równe 20 000 mm2.

2.13. Drewniany klocek w kształcie prostopadłościanu rozcięto na dwa graniastosłupy (patrz rysunek poniżej). Oblicz pole powierzchni całkowitej każdego z tych graniastosłupów.

218

graniastosłupy

3. obliczanieobjętościgraniastosłupów

Zadanie 1Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy równej 6 cm i wysokości 10 cm.

Rozwiązanie

V = Pp · HV = 6 · 6 · 10V = 360 cm3

Odp.: Objętość tego graniastosłupa jest równa 360 cm3.

Zadanie 2Oblicz objętość graniastosłupa, który w podstawie ma trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od dłuższej przyprostokątnej.

Rozwiązanie

Odp.: Objętość tego graniastosłupa jest równa 48 cm3.

Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola jego podstawy i wysokości.

V = Pp · H

V = Pp · H

Pp = Pp = ⋅ ⋅12

4 3 Pp = 6 cm2

H = 2 · 4 = 8 cm

V = 6 · 8 V = 48 cm3

219

graniastosłupy

W zadaniach praktycznych na obliczanie objętości brył musimy umieć zamieniać i przeliczać jednostki objętości.Poniższe tabele ułatwią wykonywanie takich przeliczeń.

Jednostki długości Jednostki objętości Zapis potęgowy

l m = 10 dm 1 m3 = (10 · 10 · 10) dm3 = 1000 dm3 l m3 = 103 dm3

1 m = 100 cm 1 m3 = (100 · 100 · 100) cm3 = 1 000 000 cm3 l m3 = 106 cm3

l m = 1000 mm 1 m3 = (1000 · 1000 · 1000) mm3 =

= 1 000 000 000 mm3 1 m3 = 109 mm3

l dm = 10 cm 1 dm3 = (10 · 10 · 10) cm3 = 1 000 cm3 l dm3 = 103 cm3

l dm = 100 mm 1 dm3 = (100 · 100 · 100) mm3 = 1 000 000 mm3 1 dm3 = 106 mm3

1 cm = 10 mm 1 cm3 = (10 · 10 · 10) mm3 = 1000 mm3 l cm3 = 103 mm3

1 mm = 0,1 cm 1 mm3 = (0,1 · 0,1 · 0,1) cm3 = 0,001 cm3 1 mm3 = (0,1)3 cm3

1 mm = 0,01 dm 1 mm3 = (0,01 · 0,01 · 0,01) dm3 =

= 0,000001 dm3 1 mm3 = (0,1)6 dm3

1 mm = 0,001 m 1 mm3 = (0,001 0,001 0,001) m3 =

= 0,000000001 m3 1 mm3 = (0,1)9 m3

l cm = 0,l dm 1 cm3 = (0,1 · 0,1 · 0,1) dm3 = 0,001 dm3 1 cm3 = (0,1)3 dm3

1 cm = 0,01 m 1 cm3 = (0,01 · 0,01 · 0,01) m3 = 0,000001 m3 1 cm3 = (0,1)6 m3

l dm = 0,l m 1 dm3 = (0,1 · 0,1 · 0,1) m3 = 0,001 m3 1 dm3 = (0,1)3 m3

1 m = 0,001 km 1 m3 = (0,001 · 0,001 · 0,001) km3 =

= 0,000000001 km3 1 m3 = (0,1)9 km3

Jednostki pojemności

1 ml (mililitr) = 1 cm3

1 1 (litr) = 1 dm3

1 hl (hektolitr) = 100 1

1 1 = 1000 ml

1 ml = 0,001 1

1 1 = 0, 01 hl

220

graniastosłupy

Zadanie 3

Do postawienia ogrodzenia użyto 25 metalowych słupków o przekroju pro-stokątnym 60 mm × 40 mm i długości 2,4 m. Oblicz, ile decymetrów sze-ściennych metalu zużyto na te słupki.

Rozwiązanie

Obliczenia w cm Obliczenia w dm

Obliczamy objętość jednego słupka

60 mm = 6 cm, 40 mm = 4 cm2,4 m = 240 cmV = 6 · 4 · 240 = 5760 cm3

60 mm = 0,6 dm,40 mm = 0,4 dm,2,4 m = 24 dmV = 0,6 · 0,4 · 24 = 5,76 dm3

Obliczamy objętość wszystkich słupków

25 · 5760 cm3 = 144 000 cm31 cm3 = 0,001 dm3144 000 cm3 = (144 000 · 0,001) dm3 == 144 dm3

25 · 5,76 dm3 = 144 dm3

Odp. Na te słupki zużyto 144 dm3 metalu.

Zadanie 4

Podstawą graniastosłupa pochyłego o wysokości H = 0,6 dm jest równole-głobok, w którym jeden bok jest równy 9 cm, a wysokość opuszczona na

ten bok stanowi 23

jego długości. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

221

graniastosłupy

Obliczamy pole podstawy:

Pp = 9 · 23

· 9 = 9 · 6 = 54 cm2

Obliczamy objętość:V = Pp · H

H = 0,6 dm = 6 cm

V = 54 · 6 = 324 cm3.

Odp. Objętość tego graniastosłupa jest równa 324 cm3.

3.1. Wyraź: a) w centymetrach sześciennych: 30 dm3, 5 mm3, 4 m3; b) w decymetrach sześciennych: 25 m3, 2500 cm3, 1 km3; c) w metrach sześciennych: 200 dm3, 4 km3, 2000 cm3.

3.2. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości H = 8 cm, którego obwód podstawy jest równy 24 cm.

3.3. Oblicz objętości graniastosłupów o podstawach podanych na poniższych rysunkach, wiedząc, że wysokość każdego z nich jest równa 12 cm. Uporządkuj te objętości rosnąco.

3.4. Oblicz objętość sześcianu, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 294 cm2.

222

graniastosłupy

3.5. Objętość sześcianu jest równa 1000 cm3. Oblicz pole powierzchni bocznej tej bryły.

3.6. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu o krawędziach 5 cm, 8 cm i 10 cm.

3.7. Oblicz, ile metrów sześciennych ziemi wybrano z prostopadło-ściennego wykopu długości 1 km, szerokości 6 m i głębokości 2 m.

3.8. Na budowę dostarczono cegły ułożone na paletach w prostopa-dłościennych stosach. Oblicz objętość stosu na jednej palecie, jeżeli cegła ma wymiary 250 × 65 × 120 mm, a na palecie jest 15 warstw po 60 cegieł w każdej. Wynik podaj w metrach sze-ściennych.

3.9. Oblicz, ile litrów wody można wlać do prostopadłościennego akwarium o wymiarach 1,2 m × 80 cm × 60 cm.

3.10. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole powierzchni bocznej jest równe 9,6 dm2, a jego wysokość 20 cm.

3.11. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czwo-rokątnego jest równe 312 cm2, a pole powierzchni bocznej jest równe 24 000 mm2. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

3.12. Zapisz za pomocą wyrażeń objętość każdego z przedstawionych na rysunkach graniastosłupów.

a) graniastosłup prosty, którego podstawą jest równoległobok;

223

graniastosłupy

b) graniastosłup prosty, którego podstawą jest romb;

c) graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt.

3.13. Jeden centymetr sześcienny miedzi waży 8,9 g. Oblicz w kilo-gramach masę miedzianej sztabki, która w podstawie ma trapez, przyjmując wymiary podane na rysunku.

3.14. Jaką objętość ma buda psa przedstawiona na rysunku?

224

graniastosłupy

3.15. Basen w kształcie prostopadłościanu ma 25 m długości i 6 m szerokości. Ile litrów wody trzeba wlać do tego basenu, aby po-

wierzchnia wody znajdowała się na 34

jego wysokości, jeżeli wiesz,

że powierzchnia boczna ścian tego basenu jest równa 148,8 m2?

3.16. Jaką kubaturę ma lokal o wysokości 2,8 m, którego podstawa ma kształt wielokąta o wymiarach podanych na poniższym rysunku?

Uwaga. Pojęcie kubatura należy rozumieć jako pojemność lub objętość obiektu.

3.17. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły o wymiarach podanych na rysunku.