Maciej Czarnecki

Geometria szkolnaskrypt dla studentów matematyki

Rozdział II

Przestrzenie afiniczne

Definicja 1. Niech V b ↪edzie rzeczywist ↪a przestrzeni ↪a liniow ↪a. Przestrzeni ↪a afiniczn ↪ao przestrzeni wektorów swobodnych V nazywamy układ (E, V,−→ ), gdzie E jest zbio-rem niepustym, a −→ : E × E → V jest funkcj ↪a tak ↪a, że(1) Dla dowolnych p ∈ E i v ∈ V istnieje dokładnie jeden q ∈ E taki, że −→pq = v.(2) Dla dowolnych p, q, r ∈ E zachodzi zwi ↪azek

−→pq +−→qr = −→pr.Elementy zbioru E nazywamy punktami, a elementy zbioru V wektorami (swobod-nymi).

Przykład 2. Niech dla p = (p1, . . . , pn) oraz q = (q1, . . . qn)−→pq = (q1 − p1, . . . , qn − pn).

Wówczas trójka (Rn,Rn,−→) jest przestrzeni ↪a afiniczn ↪a. B ↪edziemy oznaczać j ↪a przezEn.

W dalszym ci ↪agu, o ile nie zaznaczymy inaczej, b ↪edziemy rozważać przestrzeń afi-niczn ↪a (E, V,−→), przy czym przestrzeń V jest skończonego wymiaru.

Definicja 3. Sum ↪a punktu p ∈ E i wektora v ∈ V nazywamy jedyny taki punktq ∈ E, że −→pq = v. Piszemy wóczas q = p+ v.Jeżeli U ⊂ V , to p+ U jest zbiorem wszystkich sum postaci p+ u, gdzie u ∈ U .

Twierdzenie 4. Dla dowolnych p, q ∈ E oraz u, v ∈ V spełnione s ↪a nast ↪epuj ↪acewarunki:(1)−−−−−−−−→p+ u, p+ v = v − u.

(2) Jeżeli p+ v = q + v, to p = q.(3) Jeżeli p+ u = p+ v, to u = v.(4) (p+ u) + v = p+ (u+ v).

Dowód: Zauważmy, że −→pq = θ wtedy i tylko wtedy, gdy p = q oraz że −→qp = −−→pq.(1) Niech p+ u = q i p+ v = r. Wówczas −→pq = u i −→pr = v. St ↪ad

−−−−−−−−→p+ u, p+ v = −→qr = −→qp+−→pr = v − u.

1

2

(2) Jeżeli r = p+ v = q + v, to v = −→pr = −→qr. St ↪ad−→pq = −→pr −−→qr = θ.

(3) Wynika z 1.(4) Niech p+ u = q i q + v = r. Wówczas −→pr = −→pq +−→qr = u+ v.

Definicja 5. Środkiem ci ↪eżkości układu punktów (p0, . . . , pm) z przestrzeni E o wa-gach odpowiednio a0, . . . , am ∈ R takich, że a0 + . . . am = 1, nazywamy punkt p ∈ E,który dla dowolnego q ∈ E spełnia warunek

−→qp = a0 · −→qp0 + . . . am · −−→qpm.

Piszemy wówczas

p = a0p0 + . . .+ ampm =m∑i=0

aipi.

Zbiór wszystkich środków ci ↪eżkości układu (p0, . . . , pm) oznaczamy przez af(p0, . . . , pm).

Przykład 6. Jedynym środkiem ci ↪eżzkości układu jednopunktowego (p0) jest punktp0.Środkiem odcinka p0p1 nazywamy punkt 12p0 +

12p1. Środkiem ci ↪eżzkości trójk ↪ata

p0p1p2 (odpowiednio czworościanu p0p1p2p3 ) jest punkt 13p0+13p1+

13p2 (odpowiednio

14p0 +

14p1 +

14p2 +

14p3).

Uwaga 7. Łatwo zauważyć, że punkt p środkiem ci ↪eżkości układu punktów (p0, . . . , pm)z przestrzeni E o wagach odpowiednio a0, . . . , am ∈ R takich, że a0+. . . am = 1, wtedyi tylko wtedy, gdy istnieje punkt q ∈ E taki, że

−→qp = a0 · −→qp0 + . . . am · −−→qpm.

Definicja 8. Podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a przestrzeni afinicznej E nazywamy niepustypodzbiór H ⊂ E, który wraz z dowolnym skończonym układem punktów zawiera jegowszystkie środki ci ↪eżkości.

Twierdzenie 9. Podzbiór niepusty H ⊂ E stanowi podprzestrzeń afiniczn ↪a prze-strzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy każdy środek ci ↪eżkości dowolnego układudwupunktowego z H należy do H.

Dowód: ⇒) oczywiste.⇐) Indukcja ze wzgl ↪edu na ilość elementów układu.Jeżeli p0, p1 ∈ H, to z założenia af(p0, p1) ⊂ H.Załóżmy teraz, że każdy środek ci ↪eżkości dowolnego układu m-elementowego (m ­2) z H należy do H.Niech p0, . . . , pm ∈ H oraz a0, . . . , am ∈ R i a0 + . . . + am = 1. Istnieje takiej ∈ {0, . . . ,m}, że aj 6= 1 (w przeciwnym wypadku suma wag wynosiłaby m 6= 1), aco za tym idzie

a =m∑

i=0,i6=jai 6= 0.

Rozważmy punkt

p =m∑

i=0,i6=j

aiapi.

3

Jest on środkiem ci ↪eżkości (∑mi=0,i6=j

aia = 1) układu m punktów z H, czyli p ∈ H. Z

drugiej strony

m∑i=0

aipi = am∑

i=0,i6=j

aiapi + ajpj = ap+ (1− a)pj ∈ H.

Niech odt ↪ad, dla podzbioru niepustego H ⊂ E, S(H) b ↪edzie zbiorem wszystkichwektorów −→pq takich, że p, q ∈ H.

Twierdzenie 10. Niech ∅ 6= H ⊂ E. Wówczas H jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪aprzestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪aprzestrzeni liniowej V .

Dowód: ⇐) Załóżmy, że S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a V i weźmy dowolnep0, p1 ∈ H oraz a0 ∈ R. Wówczas −−→p0p1 ∈ S(H). Kład ↪ac q = a0p0 + (1 − a0)p1otrzymujemy

−→p1q = a0 · −−→p1p0 + (1− a0) · −−→p1p1 = (−a0) · −−→p0p1 ∈ S(H)

(bo S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a), czyli q ∈ H. Na mocy twierdzenia 9, H jestpodprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a.⇒) Zalóżmy, że H jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a E i weźmy dowolne u, v ∈ S(H)oraz a ∈ R. Wówczas istniej ↪a takie punkty p1, p2, q1, q2 ∈ H, że u =

−−→p1q1, v = −−→p2q2.Zauważmy, że a · u = −→p1q, gdzie q = ap1 + (1− a)q1 ∈ H. St ↪ad au ∈ S(H).Kład ↪ac r = 1 · q1 + 1 · q2 + (−1) · p2 ∈ H otrzymujemy na podstawie twierdzenia4.1, że

S(H) 3 −→p1r = −−→p1q1 +−−→p1q2 −−−→p1p2 = −−→p1q1 +−−→p2q2 = u+ v.

Zatem S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a.

Definicja 11. Jeżeli H jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a przestrzeni afinicznej E, toprzedstawienie H w postaci H = p+ S(H) nazywamy jej przedstawieniem liniowym,a sam ↪a podprzestrzeń S(H) — przestrzeni ↪a nośn ↪a podprzestrzeni H.

Definicja 12. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej przestrzeninośnej.Punkt jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a wymiaru 0. Podprzestrzeń afiniczn ↪a wymiaru1 nazywamy prost ↪a a wymiaru 2 — płaszczyzn ↪a.Jeżeli przestrzeń afiniczna E jest wymiaru n (tzn. dimV = n), to jej podprzestrzeńafiniczn ↪a wymiaru k nazywamy k–wymiarow ↪a hiperpłaszczyzn ↪a, a gdy k = n − 1 —po prostu hiperpłaszczyzn ↪a.

Uwaga 13. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Cappellego k–wymiarowa hiperpłasz-czyzna przestrzeni En jest zbiorem wszystkich rozwi ↪azań układu równań liniowych o nniewiadomych, o ile rz ↪ad macierzy układu wynosi k. W szczególności hiperpłaszczyzn ↪eH (kowymiaru 1) przestrzeni En można opisać nast ↪epuj ↪aco

H = {(x1, . . . , xn) ∈ En ; a1x1 + . . .+ anxn = b} ,

gdzie a1, . . . , an, b ∈ R oraz a21 + . . .+ a2n > 0.

4

Twierdzenie 14. Jeżeli H1, . . . ,Hm s ↪a podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeniafinicznej E oraz H1 ∩ . . . ∩Hm 6= ∅, to H1 ∩ . . . ∩Hm jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪aprzestrzeni afinicznej E i

S(H1 ∩ . . . ∩Hm) = S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm).

Dowód: Niech p ∈ H1 ∩ . . . ∩Hm. Wystarczy pokazać, żeH1 ∩ . . . ∩Hm = p+ S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm),

bo cz ↪eść wspólna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a.Jeżeli q ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm, to dla każdego i = 1, . . . ,m spełniony jest warunek−→pq ∈ S(Hi). Na odwrót, jeżeli q ∈ p + S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm), to q ∈ p + S(Hi) = Hidla i = 1, . . . ,m.

Definicja 15. Niech H1,H2 b ↪ed ↪a podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicz-nej E. Mówimy, że H1 jest równoległa do H2 i piszemy H1 ‖ H2, gdy S(H1) ⊂ S(H2)lub S(H2) ⊂ S(H1).

Twierdzenie 16. Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznych jest(1) zwrotna i symetryczna.(2) relacj ↪a równoległości w zbiorze podprzestrzeni afinicznych tego samego wy-miaru.

Dowód: Cz ↪eść 1 jest oczywista, a 2 wynika z faktu, że jeżeli przestrzeń liniowak–wymiarowaW1 jest zawarta w przestrzeni liniowej k–wymiarowejW2, toW1 =W2.

Twierdzenie 17. (V postulat Euklidesa) Niech H b ↪edzie k –wymiarow ↪a podprze-strzeni ↪a afiniczn ↪a przestrzeni afinicznej E. Dla każdego punktu p ∈ E istnieje dokład-nie jedna k–wymiarowa podprzestrzeń afiniczna H0 zawieraj ↪aca punkt p i równoległado H.

Dowód: Wystarczy przyj ↪ać H0 = p+ S(H).Zalóżmy teraz, że H1 jest k-wymiarow ↪a podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a przechodz ↪ac ↪aprzez punkt p i równoległ ↪a do H. Wówczas ze wzgl ↪edu na równość wymiarów pod-przestrzeni S(H1) = S(H) = S(H0), sk ↪ad H1 = p+ S(H1) = p+ S(H) = H0.

Uwaga 18. Możliwość udowodnienia V postulatu Euklidesa wynika z oparcia geometriiafinicznej na przestrzeni liniowej Rn.Istniej ↪a modele geometrii, w której wszystkie postulaty Euklidesa poza pi ↪atym s ↪aspełnione, a istnieje nieskończenie wiele różnych prostych przechodz ↪acych przez danypunkt i równoległych do danej prostej.Tak ↪a geometri ↪a jest geometria Bolyai–Łobaczewskiego lub inaczej geometria hiper-boliczna. W wymiarze 2 cał ↪a przestrzeni ↪a (czyli płaszczyzn ↪a) jest otwarte koło jed-nostkowe, a prostymi — średnice tego koła i łuki okr ↪egów prostopadłych do brzegutego koła.

Twierdzenie 19. (wzajemne położenie prostych i płaszczyzn)(1) Dwie proste na płaszczyźnie s ↪a równoległe lub maj ↪a dokładnie jeden punktwspólny.

(2) Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej s ↪a równoległe lub maj ↪a dokładniejeden punkt wspólny lub s ↪a skośne, tzn. s ↪a nierównoległe i rozłaczne.

5

(3) Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej s ↪a równoległe lub ich cz ↪eści ↪awspóln ↪a jest prosta.

(4) Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej s ↪a równoległe lub maj ↪a do-kładnie jeden punkt wspólny.

Dowód: Z twierdzenia 14 wynika, że cz ↪eści ↪a wspóln ↪a hiperpłaszczyzn H1 i H2jest hiperpłaszczyzna wymiaru nie przekraczaj ↪acego min(dimH1,dimH2).

(1) Jeżeli rozważanymi prostymi s ↪a Li = pi + lin(vi), i = 1, 2, to możliwe s ↪a trzyprzypadki:– układ (v1, v2) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste pokrywaj ↪ace si ↪e(czyli w szczególności równoległe),– układ (v1, v2) jest liniowo zależny i p1 /∈ L2 — proste równoległe irozł ↪aczne,– układ (v1, v2) jest liniowo niezależny i co za tym idzie stanowi baz ↪e prze-strzeni nośnej płaszczyzny. Zatem istniej ↪a takie liczby r, s, że

−−→p1p2 =rv1−sv2. Wówczas punkt q = p1+rv1 = p2+sv2 należy do obu prostychi jest ich jedynym punktem wspólnym, bo L1 ∩ L2 jest hiperpłaszczyzn ↪awymiaru ¬ 1, a proste te nie pokrywaj ↪a si ↪e.

(2) Wprowadzaj ↪ac oznaczenia jak w punkcie 1 otrzymujemy identyczne wnioskiw pierwszych dwóch przypadkach, a w przypadku trzecim układ (v1, v2) niegeneruje przestrzeni nośnej przestrzeni trójwymiarowej, wi ↪ec proste L1 i L2mog ↪a si ↪e przecinać (oczywiście w dokładnie jednym punkcie) lub być rozł ↪aczne(wtedy nazywamy je skośnymi).

(3) Rozważmy płaszczyzny Pi = pi + lin(ui, vi), i = 1, 2. Możliwe s ↪a trzy przy-padki:– lin(u1, v1) = lin(u2, v2) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny pokrywaj ↪a si ↪e.– lin(u1, v1) = lin(u2, v2) i p1 /∈ P2— płaszczyzny s ↪a równoległe i rozł ↪aczne.– lin(u1, v1) 6= lin(u2, v2). Wówczas układ (u1, v1, u2, v2) generuje prze-strzeń nośn ↪a przestrzeni trójwymiarowej, a układ (u1, v1, u2) stanowijej baz ↪e (analogiczne rozumowanie można przeprowadzić, gdy baz ↪a jestukład (u1, v1, v2)).

(4) Niech płaszczyzna P i prosta L będą dane następująco: P = p + lin(u, v),L = q + lin(w). Możliwe s ↪a trzy przypadki:– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L ⊂ P .– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q /∈ P ; wtedy L ‖ P i L ∩ P = ∅.– układ (u, v, w) jest liniowo niezależny, czyli stanowi bazę przestrzeni trój-wymiarowej. Zatem istnieją r, s, t ∈ R takie, że −→pq = s · u + t · v − r · w.Ale wówczas punkt q + r · w = p + s · u + t · v ∈ L ∩ P , a z uwagi naS(L) ∩ S(P ) = {θ} taki punkt jest tylko jeden.

Definicja 20. Układ punktów (p0, . . . , pm) przestrzeni aficznej E jest w położeniuszczególnym, jeżeli dla pewnego j = 0, . . . ,m punkt pj jest środkiem ci ↪eżkości układupozostałych punktów (tzn. (pi)i=mi=0,i6=j).W przeciwnym wypadku układ jest w położeniu ogólnym.Punkty układu nazywamy współliniowymi (odpowiednio współpłaszczyznowymi),jeżeli dowolny podukład trzypunktowy (odpowiednio czteropunktowy) tego układujest w położeniu szczególnym.

6

Baz ↪a punktow ↪a przestrzeni afinicznej nazywamy dowolny maksymalny układ punk-tów w położeniu ogólnym.

Twierdzenie 21.(1) Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.(2) Przez dowolne trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płasz-czyzna.

Dowód: Dla p, q ∈ E, p 6= q, jedyn ↪a prost ↪a przechodz ↪ac ↪a przez punkty p i q jestaf(p, q) = {p+ a−→pq; a ∈ R}.Istotnie, jeżeli L jest prost ↪a przechodz ↪ac ↪a przez p i q, to S(L) = lin(v), gdzie v ‖

−→pq,czyli L = af(p, q).Dla niewspółliniowych punktów p, q, r ∈ E jedyn ↪a płaszczyzn ↪a przechodz ↪ac ↪a przezpunkty p, q, r jest af(p, q, r) = {p+ a−→pq + a−→pr; a, b ∈ R}.Istotnie, jeżeli P jest płaszczyzn ↪a przechodz ↪ac ↪a przez p, q, r, to

−→pq i −→pr należ ↪a doS(P ) i jako liniowo niezależne stanowi ↪a jej baz ↪e. St ↪ad P = af(p, q, r).

Uwaga 22. Prost ↪a przechodz ↪ac ↪a przez dwa różne punkty p i q b ↪edziemy oznaczać pq,a płaszczyzn ↪e przechodz ↪ac ↪a przez trzy niewspółliniowe punkty p, q, r — przez pqr.

W dalszym ci ↪agu znaczek nad elementem układu b ↪edzie oznaczał, że element tenzostał z układu usuni ↪ety, np.

(p0, . . . , pj , . . . , pm) = (pi)i=mi=0,i6=j .

Twierdzenie 23. Niech p0, . . . , pm ∈ E. Nast ↪epuj ↪ace warunki s ↪a równoważne:(1) Układ (p0, . . . , pm) jest w położeniu ogólnym.(2) Dla każdego j = 0, . . . ,m układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jest li-niowo niezależny.

(3) Istnieje j = 0, . . . ,m takie, że układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestliniowo niezależny.

Dowód: 1 ⇒ 2) Przypuścmy, że dla pewnego j = 0, . . . ,m układ(−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jest liniowo zależny.Istniej ↪a zatem takie liczby a0, . . . , aj , . . . am, że

m∑i=0,i6=j

ai−−→pjpi = θ

oraz pewien współczynnik al 6= 0. Wówczas

−−→pjpl = −m∑

i=0,i6=j,l

aial

−−→pjpi,

sk ↪ad

pl =pj +−−→pjpl = pj +

m∑i=0,i6=j,l

−aial

−−→pjpi +

1− m∑i=1,i6=j,l

−aial

−−→pjpj=

m∑i=0,i6=j,l

−aialpi +

1− m∑i=0,i6=j,l

−aial

pj ∈ af(p0, . . . , pl, . . . , pm),co jest sprzeczne z ogólności ↪a położenia układu (p0, . . . , pm).

7

2⇒ 3) oczywiste.3 ⇒ 1) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . ,m układ (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestliniowo niezależny i przypuśćmy, że dla pewnego l = 0, . . . ,m

pl =m∑

i=0,i6=laipi.

Wówczas−−→pjpl =

m∑i=0,i6=j,l

ai−−→pjpi,

co przeczy liniowej niezależności układu (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm).

Twierdzenie 24. Niech p0, . . . , pm ∈ E. Nast ↪epuj ↪ace warunki s ↪a równoważne:(1) Układ (p0, . . . , pm) jest baz ↪a punktow ↪a przestrzeni E.(2) Dla każdego j = 0, . . . ,m układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jest baz ↪aprzestrzeni liniowej S(E) = V .

(3) Istnieje j = 0, . . . ,m takie, że układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestbaz ↪a przestrzeni liniowej S(E) = V .

(4) Każdy punkt p ∈ E można jednoznacznie przedstawić jako środek ci ↪eżkościukładu (p0, . . . , pm).

Dowód: Punkt 2 wynika z 1 na podstawie twierdzenia 21, a wynikanie 2⇒ 3 jestoczywiste.3 ⇒ 4) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . .m układ (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestbaz ↪a przestrzeni V i niech p ∈ E. Wówczas istniej ↪a takie liczby a0, . . . , aj , . . . , am, że

−→pjp =m∑

i=0,i6=jai−−→pjpi,

a co za tym idzie

p =m∑i=0

aipi, gdzie aj = 1−m∑

i=0,i6=jai.

Jednoznaczość tego przedstawienia wynika z jednoznaczności przedstawienia wektora−→pjp w bazie przestrzeni V .4⇒ 1) Jeżeli każdy punkt można jednoznacznie przedstawić w postaci środka ci ↪eżzkościukładu (p0, . . . , pm), to w szczególności

pj = 1 pj +∑i=0,i6=j

0 pi dla j = 0, . . . ,m

i żaden punkt pj nie jest środkiem ci ↪eżkości układu złożonego z pozostałych punktów.Zatem układ (p0, . . . , pm) jest w położeniu ogólnym.Bezpośrednio z założenia 4 wynika, że układ ten jest maksymalny.

Definicja 25. Niech p0 ∈ E oraz układ wektorów (v1, . . . vn) b ↪edzie baz ↪a przestrzeniV .Układ (p0; v1, . . . , vn) nazywamy układem współrz ↪ednych przestrzeni E o pocz ↪atkuw punkcie p0 rozpi ↪etym na wektorach v1, . . . , vn.

8

Dla dowolnego punktu p ∈ E układ współczynników (a1, . . . , an) jednoznacznego(na podstawie twierdzenia 22) przedstawienia punktu p w postaci p = p0 +

∑ni=0 aivi

nazywamy współrz ↪ednymi punktu p.

Przykład 26. W przestrzeni En cz ↪esto rozważamy standardowy układ współrz ↪ednycho pocz ↪atku w punkcie (0, . . . , 0) i rozpi ↪ety na wektorach bazy kanonicznej e1, . . . , enprzestrzeni Rn.

Definicja 27. Odcinkiem o końcach p, q ∈ E nazywamy zbiór

pq = {ap+ bq; a+ b = 1, a, b ­ 0}.

Otoczk ↪a wypukł ↪a zbioru A ⊂ E nazywamy zbiór conv(A) wszystkich środkówci ↪eżkości skończonych układów punktów ze zbioru A o nieujemnych wagach.

Twierdzenie 28. Jeżeli p, q ∈ E, to(1) pq ⊂ af(p, q).(2) pq = conv(p, q).(3) pq = {p+ a−→pq; a ∈ [0, 1]}.

Dowód: wynika bezpośrednio z definicji.

Definicja 29. Zbiór A ⊂ E nazywamy wypukłym, jeżeli dla dowlonych p, q ∈ Aodcinek pq zawiera si ↪e w A.

Przykład 30. Zbiorami wypukłymi s ↪a odcinki i wszystkie podprzestrzenie afiniczne,w szczególności proste i płaszczyzny.

Twierdzenie 31. Jeżeli A ⊂ E, to conv(A) jest najmniejszym zbiorem wpukłymzawieraj ↪acym zbiór A.

Dowód: Wykażemy najpierw, że conv(A) jest zbiorem wypukłym. Niech r1, r2 ∈conv(A). Wówcza istniej ↪a takie punkty p0, . . . , pm, q0, . . . , ql ∈ A oraz układy nieujem-nych wag (a0, . . . , am), (b0, . . . , bl), że

r1 =m∑i=0

aipi, r2 =l∑j=0

bjqj .

Niech r ∈ pq, r = (1− a)r1 + ar2, gdzie a ∈ [0, 1]. Wtedy

r = ((1− a)a0)p0 + . . .+ ((1− a)am)pm + (ab0)q0 + . . .+ (abl)ql ∈ conv(A),

bo liczby (1− a)a0, . . . , (1− a)am, ab0, . . . , abl s ↪a nieujemne oraz

(1−a)a0+ . . .+(1−a)am+ab0+ . . .+abl = (1−a)m∑i=0

ai+al∑j=0

bj = (1−a)+a = 1.

Załóżmy teraz, że B ⊂ E jest zbiorem wypukłym zawieraj ↪acym A. Wykażemyindukcyjnie, że dla dowolnego m ∈ N środek ci ↪eżkości dowolnego układu m+1 punk-tów ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B, z czego b ↪edzie wynikała inkluzjaconv(A) ⊂ B.Dla m = 0 stwierdzenie jest oczywiste, bo jedynym środkiem ci ↪eżkości układujednopunktowego (p0) jest 1p0 = p0.Przypuśćmy, że dla pewnego m ­ 0 środek ci ↪eżkości dowolnego układu o conajwyżej m + 1 punktach ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B. Niech

9

p0, . . . , pm, pm+1 ∈ A oraz a0, . . . , am, am+1 ­ 0, a0 + . . . + am + am+1 = 1. Jedna zwag aj 6= 1 (bo m+ 2 6= 1), wi ↪ec liczby

a01− aj

, . . . ,aj1− aj

, . . . ,am+11− aj

tworz ↪a układ m+ 1 nieujemnych wag. Z założenia indukcyjnego mamy, żem+1∑i=0,i6=j

ai1− aj

pi ∈ B,

co wraz z wypukłości ↪a zbioru B daje ostateczniem+1∑i=0

aipi = ajpj + (1− aj)m+1∑i=0,i6=j

ai1− aj

pi ∈ B

kończ ↪ac indukcj ↪e.

Twierdzenie 32. Niech H b ↪edzie hiperpłaszczyzn ↪a (kowymiaru 1) przestrzeni afi-nicznej E. Zbiór E\H można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy mnogościowejzbiorów wypukłych W1 i W2.Ponadto zbiory W1 ∩W2 = ∅ oraz zbiory W1 ∪H i W2 ∪H s ↪a wypukłe.

Dowód: Niech p0 ∈ H oraz q ∈ E \H. Ponieważ wektor −→p0q nie należy do S(H)oraz kowymiar H jest równy 1, wi ↪ec V = S(H)⊕ lin(

−→p0q). Zatem każdy punkt p ∈ Emożna jednoznacznie przedstawić w postaci

p = p0 + a−→p0q + v,

gdzie a ∈ R oraz v ∈ S(H).Niech

W1 = {p0+a−→p0q+v; v ∈ S(H), a < 0}, W2 = {p0+a−→p0q+v; v ∈ S(H), a > 0}.

Oczywiście W1 ∩W2 = ∅ i W1 ∪W2 = E \H, gdyż H = {p0 + v; v ∈ S(H)}.Pokażemy, że W1 jest zbiorem wypukłym. Niech p, q ∈W1, czyli

p = p0 + a1−→p0q + v1, q = p0 + a2−→p0q + v2,

gdzie v1, v2 ∈ S(H) oraz a1, a2 > 0.Dla a ∈ [0, 1] otrzymujemy

p+ a−→pq =p0 + a1−→p0q + v1 + a ((a2 − a1)−→p0q + v2 − v1)=p0 + ((1− a)a1 + aa2)−→p0q + ((1− a)v1 + av2) ,

sk ↪ad z uwagi na (1 − a)a1 + aa2 > 0 otrzymujemy, że p + a−→pq ∈ W1. To implikuje

wypukłość zbioru W1.Analogicznie dowodzimy wypukłości zbiorów W2, W1 ∪H, W2 ∪H.Pokażemy teraz, że jeżeli U1 ∪ U2 = E \ H oraz zbiory U1 I U2 s ↪a wypukłe, toU1 =W1 i U2 =W2 lub U1 =W2 i U2 =W1.Przypuśćmy przeciwnie; istniej ↪a wtedy punkty p1 ∈ W1, p2 ∈ W2 należ ↪ace dojednego ze zbiorów Ui (np. U1). Mamy zatem, że

p1 = p0 + a1−→p0q + v1, p2 = p0 + a2−→p0q + v2,

gdzie a1 < 0 i a2 > 0.

10

Połóżmy a = a1a1−a2 i zauważmy, że a ∈ (0, 1). Z wypukłości U1 dostajemy p1p2 ⊂

U1, a wi ↪ec p1 + a−−→p1p2 ∈ U1 ⊂ E \H. Z drugiej strony

p1 + a−−→p1p2 =p1 + a ((a2 − a1)−→p0q + v2 − v1)

=p1 − a1−→p0q +a1a1 − a2

(v2 − v1)

=p0 + v1 +a1a1 − a2

(v2 − v1) = p0 −a2a1 − a2

v1 +a1a1 − a2

v2 ∈ H,

sprzeczność.

Definicja 33. Dla hiperpłaszczyzny H przestrzeni afinicznej E każd ↪a z dwóch skła-dowych wypukłych zbioru E \H nazywamy półprzestrzeni ↪a otwart ↪a, a sum ↪e półprze-strzeni otwartej i wyznaczaj ↪acej j ↪a hiperpłaszczyzny — półprzestrzeni ↪a. Pólprzestrzeńwymiaru 1 (pochodz ↪ac ↪a od hiperpłaszczyzny wymiaru 0 — punktu) nazywamy pół-prost ↪a, a półprzestrzeń wymiaru 2 (wyznaczon ↪a przez prost ↪a) — półpłaszczyzn ↪a.

Uwaga 34. Półprost ↪a wyznaczon ↪a przez punkt p i zawieraj ↪ac ↪a punkt q 6= p oznaczamyprzez pq→.Jeżeli punkty p, q, r s ↪a niewspółliniowe, to symbol pqr

→ oznacza półpłaszczyzn ↪ewyznaczon ↪a przez prost ↪a pq i zawieraj ↪ac ↪a punkt q.Analogicznie dla niewspółpłaszczyznowych punktów p, q, r, s symbolem pqrs→ ozna-czamy półprzestrzeń trójwymiarow ↪a wyznaczon ↪a przez płaszczyzn ↪e pqr i zawieraj ↪ac ↪apunkt s.

Przykład 35. Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna H jest dana (na podstawieuwagi 13) równaniem

a1x1 + . . . anxn = b,to każda z półprzestrzeni jest opisana jedn ↪a z nierówności

a1x1 + . . . anxn ¬ b, a1x1 + . . . anxn ­ b,a każda z nierówności

a1x1 + . . . anxn < b, a1x1 + . . . anxn > b

opisuje półprzestrzeń otwart ↪a.