Maciej Czarnecki
Geometria szkolnaskrypt dla studentów matematyki
Rozdział II
Przestrzenie afiniczne
Definicja 1. Niech V b ↪edzie rzeczywist ↪a przestrzeni ↪a liniow ↪a. Przestrzeni ↪a afiniczn ↪ao przestrzeni wektorów swobodnych V nazywamy układ (E, V,−→ ), gdzie E jest zbio-rem niepustym, a −→ : E × E → V jest funkcj ↪a tak ↪a, że(1) Dla dowolnych p ∈ E i v ∈ V istnieje dokładnie jeden q ∈ E taki, że −→pq = v.(2) Dla dowolnych p, q, r ∈ E zachodzi zwi ↪azek
−→pq +−→qr = −→pr.Elementy zbioru E nazywamy punktami, a elementy zbioru V wektorami (swobod-nymi).
Przykład 2. Niech dla p = (p1, . . . , pn) oraz q = (q1, . . . qn)−→pq = (q1 − p1, . . . , qn − pn).
Wówczas trójka (Rn,Rn,−→) jest przestrzeni ↪a afiniczn ↪a. B ↪edziemy oznaczać j ↪a przezEn.
W dalszym ci ↪agu, o ile nie zaznaczymy inaczej, b ↪edziemy rozważać przestrzeń afi-niczn ↪a (E, V,−→), przy czym przestrzeń V jest skończonego wymiaru.
Definicja 3. Sum ↪a punktu p ∈ E i wektora v ∈ V nazywamy jedyny taki punktq ∈ E, że −→pq = v. Piszemy wóczas q = p+ v.Jeżeli U ⊂ V , to p+ U jest zbiorem wszystkich sum postaci p+ u, gdzie u ∈ U .
Twierdzenie 4. Dla dowolnych p, q ∈ E oraz u, v ∈ V spełnione s ↪a nast ↪epuj ↪acewarunki:(1)−−−−−−−−→p+ u, p+ v = v − u.
(2) Jeżeli p+ v = q + v, to p = q.(3) Jeżeli p+ u = p+ v, to u = v.(4) (p+ u) + v = p+ (u+ v).
Dowód: Zauważmy, że −→pq = θ wtedy i tylko wtedy, gdy p = q oraz że −→qp = −−→pq.(1) Niech p+ u = q i p+ v = r. Wówczas −→pq = u i −→pr = v. St ↪ad
−−−−−−−−→p+ u, p+ v = −→qr = −→qp+−→pr = v − u.
1
2
(2) Jeżeli r = p+ v = q + v, to v = −→pr = −→qr. St ↪ad−→pq = −→pr −−→qr = θ.
(3) Wynika z 1.(4) Niech p+ u = q i q + v = r. Wówczas −→pr = −→pq +−→qr = u+ v.
Definicja 5. Środkiem ci ↪eżkości układu punktów (p0, . . . , pm) z przestrzeni E o wa-gach odpowiednio a0, . . . , am ∈ R takich, że a0 + . . . am = 1, nazywamy punkt p ∈ E,który dla dowolnego q ∈ E spełnia warunek
−→qp = a0 · −→qp0 + . . . am · −−→qpm.
Piszemy wówczas
p = a0p0 + . . .+ ampm =m∑i=0
aipi.
Zbiór wszystkich środków ci ↪eżkości układu (p0, . . . , pm) oznaczamy przez af(p0, . . . , pm).
Przykład 6. Jedynym środkiem ci ↪eżzkości układu jednopunktowego (p0) jest punktp0.Środkiem odcinka p0p1 nazywamy punkt 12p0 +
12p1. Środkiem ci ↪eżzkości trójk ↪ata
p0p1p2 (odpowiednio czworościanu p0p1p2p3 ) jest punkt 13p0+13p1+
13p2 (odpowiednio
14p0 +
14p1 +
14p2 +
14p3).
Uwaga 7. Łatwo zauważyć, że punkt p środkiem ci ↪eżkości układu punktów (p0, . . . , pm)z przestrzeni E o wagach odpowiednio a0, . . . , am ∈ R takich, że a0+. . . am = 1, wtedyi tylko wtedy, gdy istnieje punkt q ∈ E taki, że
−→qp = a0 · −→qp0 + . . . am · −−→qpm.
Definicja 8. Podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a przestrzeni afinicznej E nazywamy niepustypodzbiór H ⊂ E, który wraz z dowolnym skończonym układem punktów zawiera jegowszystkie środki ci ↪eżkości.
Twierdzenie 9. Podzbiór niepusty H ⊂ E stanowi podprzestrzeń afiniczn ↪a prze-strzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy każdy środek ci ↪eżkości dowolnego układudwupunktowego z H należy do H.
Dowód: ⇒) oczywiste.⇐) Indukcja ze wzgl ↪edu na ilość elementów układu.Jeżeli p0, p1 ∈ H, to z założenia af(p0, p1) ⊂ H.Załóżmy teraz, że każdy środek ci ↪eżkości dowolnego układu m-elementowego (m 2) z H należy do H.Niech p0, . . . , pm ∈ H oraz a0, . . . , am ∈ R i a0 + . . . + am = 1. Istnieje takiej ∈ {0, . . . ,m}, że aj 6= 1 (w przeciwnym wypadku suma wag wynosiłaby m 6= 1), aco za tym idzie
a =m∑
i=0,i6=jai 6= 0.
Rozważmy punkt
p =m∑
i=0,i6=j
aiapi.
3
Jest on środkiem ci ↪eżkości (∑mi=0,i6=j
aia = 1) układu m punktów z H, czyli p ∈ H. Z
drugiej strony
m∑i=0
aipi = am∑
i=0,i6=j
aiapi + ajpj = ap+ (1− a)pj ∈ H.
Niech odt ↪ad, dla podzbioru niepustego H ⊂ E, S(H) b ↪edzie zbiorem wszystkichwektorów −→pq takich, że p, q ∈ H.
Twierdzenie 10. Niech ∅ 6= H ⊂ E. Wówczas H jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪aprzestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪aprzestrzeni liniowej V .
Dowód: ⇐) Załóżmy, że S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a V i weźmy dowolnep0, p1 ∈ H oraz a0 ∈ R. Wówczas −−→p0p1 ∈ S(H). Kład ↪ac q = a0p0 + (1 − a0)p1otrzymujemy
−→p1q = a0 · −−→p1p0 + (1− a0) · −−→p1p1 = (−a0) · −−→p0p1 ∈ S(H)
(bo S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a), czyli q ∈ H. Na mocy twierdzenia 9, H jestpodprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a.⇒) Zalóżmy, że H jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a E i weźmy dowolne u, v ∈ S(H)oraz a ∈ R. Wówczas istniej ↪a takie punkty p1, p2, q1, q2 ∈ H, że u =
−−→p1q1, v = −−→p2q2.Zauważmy, że a · u = −→p1q, gdzie q = ap1 + (1− a)q1 ∈ H. St ↪ad au ∈ S(H).Kład ↪ac r = 1 · q1 + 1 · q2 + (−1) · p2 ∈ H otrzymujemy na podstawie twierdzenia4.1, że
S(H) 3 −→p1r = −−→p1q1 +−−→p1q2 −−−→p1p2 = −−→p1q1 +−−→p2q2 = u+ v.
Zatem S(H) jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a.
Definicja 11. Jeżeli H jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a przestrzeni afinicznej E, toprzedstawienie H w postaci H = p+ S(H) nazywamy jej przedstawieniem liniowym,a sam ↪a podprzestrzeń S(H) — przestrzeni ↪a nośn ↪a podprzestrzeni H.
Definicja 12. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej przestrzeninośnej.Punkt jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a wymiaru 0. Podprzestrzeń afiniczn ↪a wymiaru1 nazywamy prost ↪a a wymiaru 2 — płaszczyzn ↪a.Jeżeli przestrzeń afiniczna E jest wymiaru n (tzn. dimV = n), to jej podprzestrzeńafiniczn ↪a wymiaru k nazywamy k–wymiarow ↪a hiperpłaszczyzn ↪a, a gdy k = n − 1 —po prostu hiperpłaszczyzn ↪a.
Uwaga 13. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Cappellego k–wymiarowa hiperpłasz-czyzna przestrzeni En jest zbiorem wszystkich rozwi ↪azań układu równań liniowych o nniewiadomych, o ile rz ↪ad macierzy układu wynosi k. W szczególności hiperpłaszczyzn ↪eH (kowymiaru 1) przestrzeni En można opisać nast ↪epuj ↪aco
H = {(x1, . . . , xn) ∈ En ; a1x1 + . . .+ anxn = b} ,
gdzie a1, . . . , an, b ∈ R oraz a21 + . . .+ a2n > 0.
4
Twierdzenie 14. Jeżeli H1, . . . ,Hm s ↪a podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeniafinicznej E oraz H1 ∩ . . . ∩Hm 6= ∅, to H1 ∩ . . . ∩Hm jest podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪aprzestrzeni afinicznej E i
S(H1 ∩ . . . ∩Hm) = S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm).
Dowód: Niech p ∈ H1 ∩ . . . ∩Hm. Wystarczy pokazać, żeH1 ∩ . . . ∩Hm = p+ S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm),
bo cz ↪eść wspólna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzeni ↪a liniow ↪a.Jeżeli q ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm, to dla każdego i = 1, . . . ,m spełniony jest warunek−→pq ∈ S(Hi). Na odwrót, jeżeli q ∈ p + S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm), to q ∈ p + S(Hi) = Hidla i = 1, . . . ,m.
Definicja 15. Niech H1,H2 b ↪ed ↪a podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicz-nej E. Mówimy, że H1 jest równoległa do H2 i piszemy H1 ‖ H2, gdy S(H1) ⊂ S(H2)lub S(H2) ⊂ S(H1).
Twierdzenie 16. Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznych jest(1) zwrotna i symetryczna.(2) relacj ↪a równoległości w zbiorze podprzestrzeni afinicznych tego samego wy-miaru.
Dowód: Cz ↪eść 1 jest oczywista, a 2 wynika z faktu, że jeżeli przestrzeń liniowak–wymiarowaW1 jest zawarta w przestrzeni liniowej k–wymiarowejW2, toW1 =W2.
Twierdzenie 17. (V postulat Euklidesa) Niech H b ↪edzie k –wymiarow ↪a podprze-strzeni ↪a afiniczn ↪a przestrzeni afinicznej E. Dla każdego punktu p ∈ E istnieje dokład-nie jedna k–wymiarowa podprzestrzeń afiniczna H0 zawieraj ↪aca punkt p i równoległado H.
Dowód: Wystarczy przyj ↪ać H0 = p+ S(H).Zalóżmy teraz, że H1 jest k-wymiarow ↪a podprzestrzeni ↪a afiniczn ↪a przechodz ↪ac ↪aprzez punkt p i równoległ ↪a do H. Wówczas ze wzgl ↪edu na równość wymiarów pod-przestrzeni S(H1) = S(H) = S(H0), sk ↪ad H1 = p+ S(H1) = p+ S(H) = H0.
Uwaga 18. Możliwość udowodnienia V postulatu Euklidesa wynika z oparcia geometriiafinicznej na przestrzeni liniowej Rn.Istniej ↪a modele geometrii, w której wszystkie postulaty Euklidesa poza pi ↪atym s ↪aspełnione, a istnieje nieskończenie wiele różnych prostych przechodz ↪acych przez danypunkt i równoległych do danej prostej.Tak ↪a geometri ↪a jest geometria Bolyai–Łobaczewskiego lub inaczej geometria hiper-boliczna. W wymiarze 2 cał ↪a przestrzeni ↪a (czyli płaszczyzn ↪a) jest otwarte koło jed-nostkowe, a prostymi — średnice tego koła i łuki okr ↪egów prostopadłych do brzegutego koła.
Twierdzenie 19. (wzajemne położenie prostych i płaszczyzn)(1) Dwie proste na płaszczyźnie s ↪a równoległe lub maj ↪a dokładnie jeden punktwspólny.
(2) Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej s ↪a równoległe lub maj ↪a dokładniejeden punkt wspólny lub s ↪a skośne, tzn. s ↪a nierównoległe i rozłaczne.
5
(3) Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej s ↪a równoległe lub ich cz ↪eści ↪awspóln ↪a jest prosta.
(4) Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej s ↪a równoległe lub maj ↪a do-kładnie jeden punkt wspólny.
Dowód: Z twierdzenia 14 wynika, że cz ↪eści ↪a wspóln ↪a hiperpłaszczyzn H1 i H2jest hiperpłaszczyzna wymiaru nie przekraczaj ↪acego min(dimH1,dimH2).
(1) Jeżeli rozważanymi prostymi s ↪a Li = pi + lin(vi), i = 1, 2, to możliwe s ↪a trzyprzypadki:– układ (v1, v2) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste pokrywaj ↪ace si ↪e(czyli w szczególności równoległe),– układ (v1, v2) jest liniowo zależny i p1 /∈ L2 — proste równoległe irozł ↪aczne,– układ (v1, v2) jest liniowo niezależny i co za tym idzie stanowi baz ↪e prze-strzeni nośnej płaszczyzny. Zatem istniej ↪a takie liczby r, s, że
−−→p1p2 =rv1−sv2. Wówczas punkt q = p1+rv1 = p2+sv2 należy do obu prostychi jest ich jedynym punktem wspólnym, bo L1 ∩ L2 jest hiperpłaszczyzn ↪awymiaru ¬ 1, a proste te nie pokrywaj ↪a si ↪e.
(2) Wprowadzaj ↪ac oznaczenia jak w punkcie 1 otrzymujemy identyczne wnioskiw pierwszych dwóch przypadkach, a w przypadku trzecim układ (v1, v2) niegeneruje przestrzeni nośnej przestrzeni trójwymiarowej, wi ↪ec proste L1 i L2mog ↪a si ↪e przecinać (oczywiście w dokładnie jednym punkcie) lub być rozł ↪aczne(wtedy nazywamy je skośnymi).
(3) Rozważmy płaszczyzny Pi = pi + lin(ui, vi), i = 1, 2. Możliwe s ↪a trzy przy-padki:– lin(u1, v1) = lin(u2, v2) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny pokrywaj ↪a si ↪e.– lin(u1, v1) = lin(u2, v2) i p1 /∈ P2— płaszczyzny s ↪a równoległe i rozł ↪aczne.– lin(u1, v1) 6= lin(u2, v2). Wówczas układ (u1, v1, u2, v2) generuje prze-strzeń nośn ↪a przestrzeni trójwymiarowej, a układ (u1, v1, u2) stanowijej baz ↪e (analogiczne rozumowanie można przeprowadzić, gdy baz ↪a jestukład (u1, v1, v2)).
(4) Niech płaszczyzna P i prosta L będą dane następująco: P = p + lin(u, v),L = q + lin(w). Możliwe s ↪a trzy przypadki:– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L ⊂ P .– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q /∈ P ; wtedy L ‖ P i L ∩ P = ∅.– układ (u, v, w) jest liniowo niezależny, czyli stanowi bazę przestrzeni trój-wymiarowej. Zatem istnieją r, s, t ∈ R takie, że −→pq = s · u + t · v − r · w.Ale wówczas punkt q + r · w = p + s · u + t · v ∈ L ∩ P , a z uwagi naS(L) ∩ S(P ) = {θ} taki punkt jest tylko jeden.
Definicja 20. Układ punktów (p0, . . . , pm) przestrzeni aficznej E jest w położeniuszczególnym, jeżeli dla pewnego j = 0, . . . ,m punkt pj jest środkiem ci ↪eżkości układupozostałych punktów (tzn. (pi)i=mi=0,i6=j).W przeciwnym wypadku układ jest w położeniu ogólnym.Punkty układu nazywamy współliniowymi (odpowiednio współpłaszczyznowymi),jeżeli dowolny podukład trzypunktowy (odpowiednio czteropunktowy) tego układujest w położeniu szczególnym.
6
Baz ↪a punktow ↪a przestrzeni afinicznej nazywamy dowolny maksymalny układ punk-tów w położeniu ogólnym.
Twierdzenie 21.(1) Przez dowolne dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.(2) Przez dowolne trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płasz-czyzna.
Dowód: Dla p, q ∈ E, p 6= q, jedyn ↪a prost ↪a przechodz ↪ac ↪a przez punkty p i q jestaf(p, q) = {p+ a−→pq; a ∈ R}.Istotnie, jeżeli L jest prost ↪a przechodz ↪ac ↪a przez p i q, to S(L) = lin(v), gdzie v ‖
−→pq,czyli L = af(p, q).Dla niewspółliniowych punktów p, q, r ∈ E jedyn ↪a płaszczyzn ↪a przechodz ↪ac ↪a przezpunkty p, q, r jest af(p, q, r) = {p+ a−→pq + a−→pr; a, b ∈ R}.Istotnie, jeżeli P jest płaszczyzn ↪a przechodz ↪ac ↪a przez p, q, r, to
−→pq i −→pr należ ↪a doS(P ) i jako liniowo niezależne stanowi ↪a jej baz ↪e. St ↪ad P = af(p, q, r).
Uwaga 22. Prost ↪a przechodz ↪ac ↪a przez dwa różne punkty p i q b ↪edziemy oznaczać pq,a płaszczyzn ↪e przechodz ↪ac ↪a przez trzy niewspółliniowe punkty p, q, r — przez pqr.
W dalszym ci ↪agu znaczek nad elementem układu b ↪edzie oznaczał, że element tenzostał z układu usuni ↪ety, np.
(p0, . . . , pj , . . . , pm) = (pi)i=mi=0,i6=j .
Twierdzenie 23. Niech p0, . . . , pm ∈ E. Nast ↪epuj ↪ace warunki s ↪a równoważne:(1) Układ (p0, . . . , pm) jest w położeniu ogólnym.(2) Dla każdego j = 0, . . . ,m układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jest li-niowo niezależny.
(3) Istnieje j = 0, . . . ,m takie, że układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestliniowo niezależny.
Dowód: 1 ⇒ 2) Przypuścmy, że dla pewnego j = 0, . . . ,m układ(−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jest liniowo zależny.Istniej ↪a zatem takie liczby a0, . . . , aj , . . . am, że
m∑i=0,i6=j
ai−−→pjpi = θ
oraz pewien współczynnik al 6= 0. Wówczas
−−→pjpl = −m∑
i=0,i6=j,l
aial
−−→pjpi,
sk ↪ad
pl =pj +−−→pjpl = pj +
m∑i=0,i6=j,l
−aial
−−→pjpi +
1− m∑i=1,i6=j,l
−aial
−−→pjpj=
m∑i=0,i6=j,l
−aialpi +
1− m∑i=0,i6=j,l
−aial
pj ∈ af(p0, . . . , pl, . . . , pm),co jest sprzeczne z ogólności ↪a położenia układu (p0, . . . , pm).
7
2⇒ 3) oczywiste.3 ⇒ 1) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . . ,m układ (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestliniowo niezależny i przypuśćmy, że dla pewnego l = 0, . . . ,m
pl =m∑
i=0,i6=laipi.
Wówczas−−→pjpl =
m∑i=0,i6=j,l
ai−−→pjpi,
co przeczy liniowej niezależności układu (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm).
Twierdzenie 24. Niech p0, . . . , pm ∈ E. Nast ↪epuj ↪ace warunki s ↪a równoważne:(1) Układ (p0, . . . , pm) jest baz ↪a punktow ↪a przestrzeni E.(2) Dla każdego j = 0, . . . ,m układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jest baz ↪aprzestrzeni liniowej S(E) = V .
(3) Istnieje j = 0, . . . ,m takie, że układ wektorów (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestbaz ↪a przestrzeni liniowej S(E) = V .
(4) Każdy punkt p ∈ E można jednoznacznie przedstawić jako środek ci ↪eżkościukładu (p0, . . . , pm).
Dowód: Punkt 2 wynika z 1 na podstawie twierdzenia 21, a wynikanie 2⇒ 3 jestoczywiste.3 ⇒ 4) Załóżmy, że dla pewnego j = 0, . . .m układ (−−→pjp0, . . . , −−→pjpj , . . . ,−−−→pjpm) jestbaz ↪a przestrzeni V i niech p ∈ E. Wówczas istniej ↪a takie liczby a0, . . . , aj , . . . , am, że
−→pjp =m∑
i=0,i6=jai−−→pjpi,
a co za tym idzie
p =m∑i=0
aipi, gdzie aj = 1−m∑
i=0,i6=jai.
Jednoznaczość tego przedstawienia wynika z jednoznaczności przedstawienia wektora−→pjp w bazie przestrzeni V .4⇒ 1) Jeżeli każdy punkt można jednoznacznie przedstawić w postaci środka ci ↪eżzkościukładu (p0, . . . , pm), to w szczególności
pj = 1 pj +∑i=0,i6=j
0 pi dla j = 0, . . . ,m
i żaden punkt pj nie jest środkiem ci ↪eżkości układu złożonego z pozostałych punktów.Zatem układ (p0, . . . , pm) jest w położeniu ogólnym.Bezpośrednio z założenia 4 wynika, że układ ten jest maksymalny.
Definicja 25. Niech p0 ∈ E oraz układ wektorów (v1, . . . vn) b ↪edzie baz ↪a przestrzeniV .Układ (p0; v1, . . . , vn) nazywamy układem współrz ↪ednych przestrzeni E o pocz ↪atkuw punkcie p0 rozpi ↪etym na wektorach v1, . . . , vn.
8
Dla dowolnego punktu p ∈ E układ współczynników (a1, . . . , an) jednoznacznego(na podstawie twierdzenia 22) przedstawienia punktu p w postaci p = p0 +
∑ni=0 aivi
nazywamy współrz ↪ednymi punktu p.
Przykład 26. W przestrzeni En cz ↪esto rozważamy standardowy układ współrz ↪ednycho pocz ↪atku w punkcie (0, . . . , 0) i rozpi ↪ety na wektorach bazy kanonicznej e1, . . . , enprzestrzeni Rn.
Definicja 27. Odcinkiem o końcach p, q ∈ E nazywamy zbiór
pq = {ap+ bq; a+ b = 1, a, b 0}.
Otoczk ↪a wypukł ↪a zbioru A ⊂ E nazywamy zbiór conv(A) wszystkich środkówci ↪eżkości skończonych układów punktów ze zbioru A o nieujemnych wagach.
Twierdzenie 28. Jeżeli p, q ∈ E, to(1) pq ⊂ af(p, q).(2) pq = conv(p, q).(3) pq = {p+ a−→pq; a ∈ [0, 1]}.
Dowód: wynika bezpośrednio z definicji.
Definicja 29. Zbiór A ⊂ E nazywamy wypukłym, jeżeli dla dowlonych p, q ∈ Aodcinek pq zawiera si ↪e w A.
Przykład 30. Zbiorami wypukłymi s ↪a odcinki i wszystkie podprzestrzenie afiniczne,w szczególności proste i płaszczyzny.
Twierdzenie 31. Jeżeli A ⊂ E, to conv(A) jest najmniejszym zbiorem wpukłymzawieraj ↪acym zbiór A.
Dowód: Wykażemy najpierw, że conv(A) jest zbiorem wypukłym. Niech r1, r2 ∈conv(A). Wówcza istniej ↪a takie punkty p0, . . . , pm, q0, . . . , ql ∈ A oraz układy nieujem-nych wag (a0, . . . , am), (b0, . . . , bl), że
r1 =m∑i=0
aipi, r2 =l∑j=0
bjqj .
Niech r ∈ pq, r = (1− a)r1 + ar2, gdzie a ∈ [0, 1]. Wtedy
r = ((1− a)a0)p0 + . . .+ ((1− a)am)pm + (ab0)q0 + . . .+ (abl)ql ∈ conv(A),
bo liczby (1− a)a0, . . . , (1− a)am, ab0, . . . , abl s ↪a nieujemne oraz
(1−a)a0+ . . .+(1−a)am+ab0+ . . .+abl = (1−a)m∑i=0
ai+al∑j=0
bj = (1−a)+a = 1.
Załóżmy teraz, że B ⊂ E jest zbiorem wypukłym zawieraj ↪acym A. Wykażemyindukcyjnie, że dla dowolnego m ∈ N środek ci ↪eżkości dowolnego układu m+1 punk-tów ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B, z czego b ↪edzie wynikała inkluzjaconv(A) ⊂ B.Dla m = 0 stwierdzenie jest oczywiste, bo jedynym środkiem ci ↪eżkości układujednopunktowego (p0) jest 1p0 = p0.Przypuśćmy, że dla pewnego m 0 środek ci ↪eżkości dowolnego układu o conajwyżej m + 1 punktach ze zbioru A o nieujemnych wagach należy do B. Niech
9
p0, . . . , pm, pm+1 ∈ A oraz a0, . . . , am, am+1 0, a0 + . . . + am + am+1 = 1. Jedna zwag aj 6= 1 (bo m+ 2 6= 1), wi ↪ec liczby
a01− aj
, . . . ,aj1− aj
, . . . ,am+11− aj
tworz ↪a układ m+ 1 nieujemnych wag. Z założenia indukcyjnego mamy, żem+1∑i=0,i6=j
ai1− aj
pi ∈ B,
co wraz z wypukłości ↪a zbioru B daje ostateczniem+1∑i=0
aipi = ajpj + (1− aj)m+1∑i=0,i6=j
ai1− aj
pi ∈ B
kończ ↪ac indukcj ↪e.
Twierdzenie 32. Niech H b ↪edzie hiperpłaszczyzn ↪a (kowymiaru 1) przestrzeni afi-nicznej E. Zbiór E\H można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy mnogościowejzbiorów wypukłych W1 i W2.Ponadto zbiory W1 ∩W2 = ∅ oraz zbiory W1 ∪H i W2 ∪H s ↪a wypukłe.
Dowód: Niech p0 ∈ H oraz q ∈ E \H. Ponieważ wektor −→p0q nie należy do S(H)oraz kowymiar H jest równy 1, wi ↪ec V = S(H)⊕ lin(
−→p0q). Zatem każdy punkt p ∈ Emożna jednoznacznie przedstawić w postaci
p = p0 + a−→p0q + v,
gdzie a ∈ R oraz v ∈ S(H).Niech
W1 = {p0+a−→p0q+v; v ∈ S(H), a < 0}, W2 = {p0+a−→p0q+v; v ∈ S(H), a > 0}.
Oczywiście W1 ∩W2 = ∅ i W1 ∪W2 = E \H, gdyż H = {p0 + v; v ∈ S(H)}.Pokażemy, że W1 jest zbiorem wypukłym. Niech p, q ∈W1, czyli
p = p0 + a1−→p0q + v1, q = p0 + a2−→p0q + v2,
gdzie v1, v2 ∈ S(H) oraz a1, a2 > 0.Dla a ∈ [0, 1] otrzymujemy
p+ a−→pq =p0 + a1−→p0q + v1 + a ((a2 − a1)−→p0q + v2 − v1)=p0 + ((1− a)a1 + aa2)−→p0q + ((1− a)v1 + av2) ,
sk ↪ad z uwagi na (1 − a)a1 + aa2 > 0 otrzymujemy, że p + a−→pq ∈ W1. To implikuje
wypukłość zbioru W1.Analogicznie dowodzimy wypukłości zbiorów W2, W1 ∪H, W2 ∪H.Pokażemy teraz, że jeżeli U1 ∪ U2 = E \ H oraz zbiory U1 I U2 s ↪a wypukłe, toU1 =W1 i U2 =W2 lub U1 =W2 i U2 =W1.Przypuśćmy przeciwnie; istniej ↪a wtedy punkty p1 ∈ W1, p2 ∈ W2 należ ↪ace dojednego ze zbiorów Ui (np. U1). Mamy zatem, że
p1 = p0 + a1−→p0q + v1, p2 = p0 + a2−→p0q + v2,
gdzie a1 < 0 i a2 > 0.
10
Połóżmy a = a1a1−a2 i zauważmy, że a ∈ (0, 1). Z wypukłości U1 dostajemy p1p2 ⊂
U1, a wi ↪ec p1 + a−−→p1p2 ∈ U1 ⊂ E \H. Z drugiej strony
p1 + a−−→p1p2 =p1 + a ((a2 − a1)−→p0q + v2 − v1)
=p1 − a1−→p0q +a1a1 − a2
(v2 − v1)
=p0 + v1 +a1a1 − a2
(v2 − v1) = p0 −a2a1 − a2
v1 +a1a1 − a2
v2 ∈ H,
sprzeczność.
Definicja 33. Dla hiperpłaszczyzny H przestrzeni afinicznej E każd ↪a z dwóch skła-dowych wypukłych zbioru E \H nazywamy półprzestrzeni ↪a otwart ↪a, a sum ↪e półprze-strzeni otwartej i wyznaczaj ↪acej j ↪a hiperpłaszczyzny — półprzestrzeni ↪a. Pólprzestrzeńwymiaru 1 (pochodz ↪ac ↪a od hiperpłaszczyzny wymiaru 0 — punktu) nazywamy pół-prost ↪a, a półprzestrzeń wymiaru 2 (wyznaczon ↪a przez prost ↪a) — półpłaszczyzn ↪a.
Uwaga 34. Półprost ↪a wyznaczon ↪a przez punkt p i zawieraj ↪ac ↪a punkt q 6= p oznaczamyprzez pq→.Jeżeli punkty p, q, r s ↪a niewspółliniowe, to symbol pqr
→ oznacza półpłaszczyzn ↪ewyznaczon ↪a przez prost ↪a pq i zawieraj ↪ac ↪a punkt q.Analogicznie dla niewspółpłaszczyznowych punktów p, q, r, s symbolem pqrs→ ozna-czamy półprzestrzeń trójwymiarow ↪a wyznaczon ↪a przez płaszczyzn ↪e pqr i zawieraj ↪ac ↪apunkt s.
Przykład 35. Jeżeli w przestrzeni En hiperpłaszczyzna H jest dana (na podstawieuwagi 13) równaniem
a1x1 + . . . anxn = b,to każda z półprzestrzeni jest opisana jedn ↪a z nierówności
a1x1 + . . . anxn ¬ b, a1x1 + . . . anxn b,a każda z nierówności
a1x1 + . . . anxn < b, a1x1 + . . . anxn > b
opisuje półprzestrzeń otwart ↪a.
Top Related