Geometria Jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych i zależności między

nimi. Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą nazwę figur płaskich, w przestrzeni trójwymiarowej brył

geometrycznych.

Termin geometria pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi. Z rozwojem geometrii związane jest nazwisko greckiego matematyka Euklidesa. Dzięki

Euklidesowi geometria przedstawiana jest jako nauka uporządkowana, wzorowy przykład teorii dedukcyjnej

zaczynającej się od kilku pojęć pierwotnych, z których za pomocą aksjomatów i definicji wyprowadza się

twierdzenia.

Figura geometryczna to dowolny zbiór punktów z

przestrzeni euklidesowej. Do podstawowych figur

geometrycznych zaliczamy: punkt, prosta, płaszczyzna,

przestrzeń, które są pojęciami pierwotnymi geometrii.

Każdy wyobraża sobie jakoś te obiekty i bez trudu potrafi

wskazać ich modele. Każda figura geometryczna płaska

posiada pewne własności przedstawione poniżej.

Rodzaje i własności figur

geometrycznych:

Figura wypukła i wklęsła

Figurę geometryczną nazywamy wypukłą, jeśli każdy

odcinek, którego końce należą do figury, zawiera się w

tej figurze. Figurę geometryczną, która nie jest wypukła,

nazywamy wklęsłą.

Figura ograniczona

Figurę płaską nazywamy ograniczoną, jeżeli zawiera się

w pewnym kole. Figurę płaską, która nie zawiera się w

żadnym kole nazywamy nieograniczoną.

Brzeg i wnętrze figury

Punkt B nazywamy punktem brzegowym figury, jeżeli w

każdym kole o środku w punkcie B znajdują się zarówno

punkty danej figury, jak i punkty do niej nie należące.

Punkt W nazywamy punktem wewnętrznym figury, jeżeli

istnieje koło o środku w punkcie W zawarte w tej figurze.

Brzegiem figury nazywamy zbiór wszystkich punktów

brzegowych tej figury. Wnętrzem figury nazywamy zbiór

wszystkich punktów wewnętrznych tej figury.

Figury przystające

Dwie figury są przystające, jeśli jedną z tych figur można

nałożyć na drugą.

Figury na płaszczyźnie

Figury przestrzenne:

Najważniejsze wzory i informacje

o figurach geometrycznych

płaskich:

Kwadrat

Suma wszystkich kątów wynosi 360º.

Kwadrat rysujemy łącząc 4 linie tej samej długości każdą pod kątem 90º

Pole można wyliczyć ze wzoru: P = a*a

Obwód można obliczyć mnożąc jedną długość boku razy

4: Ob = 4*a

Prostokąt

Suma miar kątów wynosi 360º.

Obwód można wyliczyć ze wzoru: Ob= a*b

Pole liczymy ze wzoru: P = a*b

Trapez

Pole można wyliczyć ze wzoru:

Obwód liczymy dodając długości jego boków.

Trójkąt

Suma miar kątów wynosi 180º.

Obwód można wyliczyć dodając długości wszystkich boków.

Pole można wyliczyć ze wzoru :

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy

długości dwóch pozostałych boków.

a<b+c b<a+c c<a+b

Trójkąt równoboczny

Każdy z jego kątów ma miarę 60º.

Aby obliczyć pole tego trójkąta korzystamy ze wzoru:

Wzór na wysokość trójkąta równobocznego:

Zależności w trójkątach prostokątnych

Długości boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 45º i 45º:

Długości boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30º i 60º:

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej c

równa się sumie kwadratów przyprostokątnych a, b.

c2=a

2+b

2

Deltoid

Pole można wyliczyć ze wzoru:

Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków.

e, f - przekątne

Romb

Pole można wyliczyć ze wzoru:

Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków.

e, f - przekątne

Równoległobok

Suma kątów wewnętrznych wynosi 360º

Pole można wyliczyć ze wzoru: a*h

Obwód liczymy dodając długości jego wszystkich boków.

Koło

Obwód koła wyliczyć można ze wzoru: 2Лr

Pole liczymy ze wzoru: Лr2

Л ≈ 3,14

Długość łuku liczymy ze wzoru:

Wzór na pole wycinka koła:

r – promień

Sześciokąt

Składa się z sześciu trójkątów równobocznych.

Pole liczymy, korzystając ze wzoru:

Każdy jego kąt wewnętrzny ma miarę 120º.

Kąt środkowy okręgu opisanego, oparty na boku, ma miarę 60º.

Promień okręgu opisanego: R=a

Promień okręgu wpisanego:

Obwód ma długość: 6a

,

Najważniejsze wzory i informacje

o figurach geometrycznych

przestrzennych:

Graniastosłup

Wielościan, którego wszystkie wierzchołki są położone

na dwóch równoległych płaszczyznach, zwanych

podstawami graniastosłupa i którego wszystkie

krawędzie leżące poza tymi podstawami są do siebie

równoległe.

Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = 2Pp + Pb

Objętość: V = Pp * H

Jeżeli krawędzie są prostopadłe do podstawy, to

graniastosłup zwany jest prostym.

Prostopadłościan

Graniastosłup o ścianach prostopadłych do podstaw.

Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = 2(ab + ac +bc)

Objętość: V = abc

Sześcian

Składa się z sześciu kwadratów.

Chcąc wyliczyć jego pole, korzystamy ze wzoru: Pc =

6a2

Objętość: V = a

3

Posiada 12 krawędzi i 8 wierzchołków.

Ostrosłup

Podstawą jest wielokąt, a bokami trójkąty o wspólnym wierzchołku.

Pole można wyliczyć ze wzoru: Pc = Pp + Pb

gdzie: Pc – pole całkowite, Pp – pole podstawy, Pb –

pole boczne

Objętość: V = 1/3 Pp * H

Stożek

Pole powierzchni podstawy (koła): Pp = Лr

2

Pole powierzchni bocznej:Pb = Лrl

Pole powierzchni całkowitej: Pc = Pp + Pb = Лr2 + Лrl

=Лr(r+l)

Objętość: V =1/3Лr2 * H

Walec

Pole powierzchni podstawy (koła): Pp = Лr

2

Pole powierzchni całkowitej: Pc = 2Pp + Pb = 2Лr2 +

2ЛrH =2Лr(r+H)

Pole powierzchni bocznej: Pb = 2ЛrH

Objętość: V = Лr2 * H

Kula

Objętość: V = 4/3*Лr

3

Kula o promieniu r ma objętość 4 razy większa niż

stożek o promieniu podstawy r i wysokości r.

Pole powierzchni: P = 4*Лr2