GeometriaGeometriaWłasności figur płaskichWłasności figur płaskich

Autorki:Autorki: Anita Greniuk Anita Greniuk

ii Milena Sawicka Milena Sawicka

PojęciaPojęcia PunktPunkt - oznaczony jest kropką i ma zerowy rozmiar. - oznaczony jest kropką i ma zerowy rozmiar. OdcinekOdcinek - prosta ograniczona z dwóch stron. - prosta ograniczona z dwóch stron. ProstaProsta - to nie ograniczona linia. - to nie ograniczona linia. PółprostaPółprosta - jest to linia ograniczona z jednej strony. - jest to linia ograniczona z jednej strony. ŁamanaŁamana - jest to figura zbudowana z odcinków połączonych - jest to figura zbudowana z odcinków połączonych

końcami.końcami. KątKąt - to dwie proste o wspólnym początku dzielącym płaszczyznę - to dwie proste o wspólnym początku dzielącym płaszczyznę

na dwie części.na dwie części. WielokątWielokąt – to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną – to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną

zamkniętą.zamkniętą. Figury przystająceFigury przystające – są to dwie figury które można nałożyć na – są to dwie figury które można nałożyć na

siebie.siebie. TrójkątTrójkąt – to figura zbudowana z trzech odcinków i trzech punktów. – to figura zbudowana z trzech odcinków i trzech punktów. CzworokątCzworokąt – to wielokąt o czterech bokach. – to wielokąt o czterech bokach. Figury podobneFigury podobne – to figury o takich samych kątach i odpowiednich – to figury o takich samych kątach i odpowiednich

proporcjonalnych bokach.proporcjonalnych bokach.

PunktPunkt

Punkty zaznaczamy Punkty zaznaczamy kropkami a kropkami a nazywamy dużymi nazywamy dużymi literami alfabetu np.: literami alfabetu np.: A, K, M.A, K, M.

Przez jeden punkt Przez jeden punkt można przeprowadzić można przeprowadzić nieskończenie wiele nieskończenie wiele prostych.prostych.

PunktPunkt

Przez dwa różne Przez dwa różne punkty można punkty można przeprowadzić tylko przeprowadzić tylko jedną prostą.jedną prostą.

Do Do prostej należy prostej należy nieskończenie wiele nieskończenie wiele punktów np.: punkt C punktów np.: punkt C należy do prostej i.należy do prostej i.

Punkty leżące na Punkty leżące na prostej z są punktami prostej z są punktami współliniowymi.współliniowymi.

Odcinek Odcinek

O odcinkach, które O odcinkach, które maja równe długości maja równe długości mówimy, że są mówimy, że są przystające i przystające i zapisujemy AB zapisujemy AB ≡ CD≡ CD

Prostymi Prostymi prostopadłymi prostopadłymi nazywamy proste nazywamy proste przecinające się pod przecinające się pod kątem prostym.kątem prostym.

ProstaProsta

Odległością punktu od Odległością punktu od prostej nazywamy prostej nazywamy długość najkrótszego długość najkrótszego odcinka łączącego dany odcinka łączącego dany punkt z punktami punkt z punktami leżącymi na prostej.leżącymi na prostej.

Prostymi równoległymi Prostymi równoległymi nazywamy proste leżące nazywamy proste leżące w jednej płaszczyźnie nie w jednej płaszczyźnie nie przecinające się (nie przecinające się (nie mają punktu wspólnego) mają punktu wspólnego) lub proste pokrywające lub proste pokrywające się.się.

Łamana Łamana zwyczajnazwyczajna

Łamana zwyczajna Łamana zwyczajna otwarta to np.: otwarta to np.: ABCDEABCDE

Łamana zwyczajna Łamana zwyczajna zamknięta to np.: zamknięta to np.: DRUKEDDRUKED

PółprostaPółprosta

Punkt K dzieli prostą na Punkt K dzieli prostą na dwie półproste.dwie półproste.

Półprostą nazywamy Półprostą nazywamy każdą z dwóch części każdą z dwóch części prostej, na które dzieli prostej, na które dzieli ją punkt leżący na niej ją punkt leżący na niej wraz z tym punktem.wraz z tym punktem.Punkt ten nazywamy Punkt ten nazywamy początkiem początkiem półprostej.półprostej.

Łamana Łamana wiązanawiązana

Łamana wiązana Łamana wiązana otwarta np.: EFGHIotwarta np.: EFGHI

Łamana wiązana Łamana wiązana zamknięta np.: zamknięta np.: PRSTUPPRSTUP

Kąty Kąty

Kąt wypukły jest Kąt wypukły jest mniejszy lub równy mniejszy lub równy 180180˚. Jeżeli dwa ˚. Jeżeli dwa dowolne punkty dowolne punkty należące do kąta należące do kąta połączymy odcinkiem, połączymy odcinkiem, to odcinek również to odcinek również należy do tego kąta.należy do tego kąta.

Kąt wklęsły jest to kąt Kąt wklęsły jest to kąt większy niż 180większy niż 180˚ ˚ i i mniejszy od 360mniejszy od 360˚.˚.

KątyKąty

Kąt prosty ma miarę Kąt prosty ma miarę 90 90 ˚̊

Kąt ostry ma miarę Kąt ostry ma miarę większą niż 0większą niż 0˚,˚, ale ale mniejszą od 90mniejszą od 90˚̊

Kąt rozwarty ma Kąt rozwarty ma miarę większą od miarę większą od 180180˚̊ a mniejszą od a mniejszą od 360360˚̊

Są to kąty wypukłe. Są to kąty wypukłe.

KątyKąty

Kąt zerowy to kąt Kąt zerowy to kąt wypukły. Ramiona wypukły. Ramiona tego kąta pokrywają tego kąta pokrywają się. Do kąta należą się. Do kąta należą tylko punkty jego tylko punkty jego ramion. Miara kąta -0ramion. Miara kąta -0˚̊

Ramiona kata Ramiona kata półpełnego tworzą półpełnego tworzą prostą. Miara tego prostą. Miara tego kąta to 180kąta to 180˚.˚. To kąt To kąt wypukły. wypukły.

KątyKąty

Ramiona kąta pełnego Ramiona kąta pełnego pokrywają się. Do kata pokrywają się. Do kata należą wszystkie punkty należą wszystkie punkty płaszczyzny. Miara kąta płaszczyzny. Miara kąta to 360to 360˚̊. Jest to kąt . Jest to kąt wypukły.wypukły.

Kąty wierzchołkowe mają Kąty wierzchołkowe mają równe miary i są kątami równe miary i są kątami wypukłymi, przedłużenia wypukłymi, przedłużenia ramion jednego kąta są ramion jednego kąta są ramionami drugiego kątaramionami drugiego kąta

KątyKąty

Kąty przyległe mają Kąty przyległe mają jedno ramię wspólne, jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe a dwa pozostałe tworzą prostą. Suma tworzą prostą. Suma miar kątów to 180miar kątów to 180˚.˚.

KątyKąty

Jeżeli dwie proste są Jeżeli dwie proste są równoległe i przetniemy równoległe i przetniemy je trzecią prostą, to je trzecią prostą, to otrzymamy kąty:otrzymamy kąty:

- odpowiadające np.:- odpowiadające np.:

- naprzemianległe - naprzemianległe zewnętrzne np..:zewnętrzne np..:

- naprzemianległe - naprzemianległe wewnętrzne np..:wewnętrzne np..:

WielokątyWielokąty Punkty A, B, C, D,… Punkty A, B, C, D,…

nazywamy wierzchołkami nazywamy wierzchołkami wielokąta.wielokąta.

Odcinki, które łączą dwa Odcinki, które łączą dwa sąsiednie wierzchołki sąsiednie wierzchołki wielokąta, na przykład wielokąta, na przykład AB, BC, CD, … AB, BC, CD, … nazywamy bokami nazywamy bokami wielokątawielokąta

Odcinki, które łączą dwa Odcinki, które łączą dwa wierzchołki wielokąta, ale wierzchołki wielokąta, ale nie są jego bokami – to nie są jego bokami – to przekątne wielokąta, na przekątne wielokąta, na przykład odcinki AC, DB.przykład odcinki AC, DB.

WielokątyWielokąty

Jeżeli wszystkie kąty Jeżeli wszystkie kąty wielokąta są wypukłe wielokąta są wypukłe to jest on wielokątem to jest on wielokątem wypukłym wypukłym

Jeżeli wielokąt Jeżeli wielokąt posiada kąt wklęsły to posiada kąt wklęsły to jest on wielokątem jest on wielokątem wklęsłym.wklęsłym.

Figury przystająceFigury przystające

Dwie figury są Dwie figury są przystające jeżeli przystające jeżeli jedną z tych figur jedną z tych figur można nałożyć na można nałożyć na drugą,drugą,

TrójkątyTrójkąty

Suma miar kątów w Suma miar kątów w trójkącie równa jest trójkącie równa jest 180180˚̊

Trójkątem Trójkątem różnobocznym różnobocznym nazywamy trójkąt nazywamy trójkąt którego ramiona są którego ramiona są różnej długości. Jest różnej długości. Jest to trójkąt różnoboczny to trójkąt różnoboczny ostrokątnyostrokątny

TrójkątyTrójkąty Trójkątem równobocznym Trójkątem równobocznym

nazywamy trójkąt nazywamy trójkąt którego wszystkie boki są którego wszystkie boki są równe i kąty wewnętrzne równe i kąty wewnętrzne są takie same - 60są takie same - 60˚. Jest ˚. Jest to trójkąt równoboczny to trójkąt równoboczny ostrokątny.ostrokątny.

Trójkątem Trójkątem równoramiennym równoramiennym nazywamy trójkąt którego nazywamy trójkąt którego dwa ramiona są równe, dwa ramiona są równe, kąty przy podstawie mają kąty przy podstawie mają równe miary. Jest to równe miary. Jest to trójkąt równoramienny trójkąt równoramienny ostrokątny.ostrokątny.

TrójkątyTrójkąty Trójkątem Trójkątem

równoramiennym równoramiennym prostokątnym nazywamy prostokątnym nazywamy trójkąt którego dwa trójkąt którego dwa ramiona są równe i jeden ramiona są równe i jeden kąt wewnętrzny jest kąt wewnętrzny jest kątem prostym.kątem prostym.

Trójkątem Trójkątem równoramiennym równoramiennym rozwartokątnym rozwartokątnym nazywamy trójkąt którego nazywamy trójkąt którego dwa boki są równe i jeden dwa boki są równe i jeden kąt wewnętrzny jest kąt wewnętrzny jest rozwarty.rozwarty.

TrójkątyTrójkąty(wysokości)(wysokości)

Wysokością trójkąta Wysokością trójkąta nazywamy najkrótszy odcinek nazywamy najkrótszy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem (lub przeciwległym bokiem (lub jego przedłużeniem). Jest on jego przedłużeniem). Jest on zawsze prostopadły do tego zawsze prostopadły do tego boku ( lub jego przedłużenia). boku ( lub jego przedłużenia).

Każdy trójkąt ma trzy Każdy trójkąt ma trzy wysokości.wysokości.

Wysokość trójkąta (lub ich Wysokość trójkąta (lub ich przedłużenia), przecinają się w przedłużenia), przecinają się w jednym punkcie.jednym punkcie.

Obliczanie kątów w trójkącieObliczanie kątów w trójkącie

Korzystając z Korzystając z poprzednio zawartych poprzednio zawartych informacji wiemy że informacji wiemy że dwa kąty przystające dwa kąty przystające mają miarę 180mają miarę 180˚.˚.

Jeżeli mamy dane Jeżeli mamy dane dwa kąt zewnętrzne dwa kąt zewnętrzne możemy obliczyć możemy obliczyć wszystkie kąty wszystkie kąty wewnętrzne, np.: wewnętrzne, np.: 180˚- 50˚=130˚180˚- 50˚=130˚

Własności trójkątówWłasności trójkątów W trójkącie równoramiennym W trójkącie równoramiennym

dwie wysokości są równe. dwie wysokości są równe. Trzecia wysokość opuszczona Trzecia wysokość opuszczona na postawę dzieli ja na dwie na postawę dzieli ja na dwie równe części, a półprosta, w równe części, a półprosta, w której leży ta wysokość, dzieli której leży ta wysokość, dzieli kąt między ramionami trójkąta kąt między ramionami trójkąta na dwa kąty o równych na dwa kąty o równych miarach.miarach.

Wysokości trójkąta Wysokości trójkąta równobocznego dzielą każdy równobocznego dzielą każdy bok trójkąta na połowy, a bok trójkąta na połowy, a półproste, w których leżą te półproste, w których leżą te wysokości, dzielą każdy kąt wysokości, dzielą każdy kąt wewnętrzny trójkąta na dwa wewnętrzny trójkąta na dwa kąty o równych miarach.kąty o równych miarach.

Własności trójkątówWłasności trójkątów Jeżeli kąty ostre trójkąta Jeżeli kąty ostre trójkąta

prostokątnego są równe 30prostokątnego są równe 30˚̊ i i 6060˚̊, to jego , to jego przeciwprostokątna jest dwa przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od razy dłuższa od przyprostokątnej leżącej przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta 30naprzeciw kąta 30°°. .

W trójkącie równobocznym W trójkącie równobocznym odległość punktu W ( punktu odległość punktu W ( punktu przecięcia się wysokości) od przecięcia się wysokości) od wierzchołka trójkąta jest równa wierzchołka trójkąta jest równa ⅔ jego wysokości, od boku ⅔ jego wysokości, od boku tego trójkąta jest równa ⅓ jego tego trójkąta jest równa ⅓ jego wysokości.wysokości.

Czworokąty Czworokąty

Suma miar kątów Suma miar kątów wewnętrznych wewnętrznych dowolnego dowolnego czworokąta jest czworokąta jest równa 360równa 360°°..

W kwadracie W kwadracie wszystkie boki są wszystkie boki są równe i kąty równe i kąty wewnętrzne są wewnętrzne są proste.proste.

Czworokąty Czworokąty

W prostokącie W prostokącie wszystkie kąty są wszystkie kąty są proste. Boki proste. Boki prostokąta są parami prostokąta są parami równe i równoległe.równe i równoległe.

W rombie wszystkie W rombie wszystkie boki są równe. boki są równe. Przekątne rombu Przekątne rombu dzielą się na połowy i dzielą się na połowy i przecinają się pod przecinają się pod kątem prostym.kątem prostym.

Czworokąty Czworokąty W równoległoboku są dwie W równoległoboku są dwie

pary boków równoległych. pary boków równoległych. Przekątne równoległoboku, Przekątne równoległoboku, przecinając się, dzielą się na przecinając się, dzielą się na połowy. Równoległobok, który połowy. Równoległobok, który ma dwie pary boków różnej ma dwie pary boków różnej długości, ma dwie różne długości, ma dwie różne wysokości.wysokości.

W trapezie jest co najmniej W trapezie jest co najmniej jedna para boków jedna para boków równoległych. Boki równoległe równoległych. Boki równoległe nazywamy podstawami nazywamy podstawami trapezu, a boki nierównoległe trapezu, a boki nierównoległe nazywamy ramionami trapezu.nazywamy ramionami trapezu.

Czworokąty Czworokąty

W trapezie równoramiennym W trapezie równoramiennym ramiona mają równe ramiona mają równe długości, a kąty przy długości, a kąty przy podstawach mają równe podstawach mają równe miary. W trapezie wszystkie miary. W trapezie wszystkie przekątne są równe.przekątne są równe.

W trapezie prostokątnym W trapezie prostokątnym jedno ramię jest prostopadłe jedno ramię jest prostopadłe do podstaw.do podstaw.

W deltoidzie dwie pary W deltoidzie dwie pary sąsiednich boków są równe. sąsiednich boków są równe. Przekątne przecinają się pod Przekątne przecinają się pod kątem prostym i jedna z kątem prostym i jedna z nich dzieli drugą na połowę.nich dzieli drugą na połowę.

Przykłady figur podobnychPrzykłady figur podobnych

Dwa trójkąty podobne Dwa trójkąty podobne mają odpowiednie mają odpowiednie kąty równe i kąty równe i odpowiednie boki odpowiednie boki proporcjonalne. proporcjonalne.

Dwa prostokąty są Dwa prostokąty są podobne, jeśli ich podobne, jeśli ich odpowiednie boki są odpowiednie boki są proporcjonalne.proporcjonalne.

Korzystałyśmy z wyszukiwarki Korzystałyśmy z wyszukiwarki internetowej:internetowej:

1.1. www.google.pl www.google.pl

2.2. www.mozillafirefox.pl www.mozillafirefox.pl