Funkcje trygonometryczne

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNESa cztery funkcje trygonometryczne: sin x, cos x, tg x, ctg x. Rznia sie one zasadniczo od in-nych poznawanych w szkole funkcji z dwch powodw: sa okresowe oraz jest niezwykleduzo ciekawych zaleznosci miedzy nimi, czyli tzw. tozsamosci trygonometrycznych. Ta dru-ga wasnosc sprawia, ze zadania z trygonometrii sprawiaja kopoty trzeba troche wprawy,zeby wiedziec jaki wzr pasuje do jakiego zadania.

Sinus i cosinusFunkcje sinus i cosinus maja podobne wykresy, ale sa przesuniete wzgledem siebie o pi2 .

234

y=sin(x)

272 2 0 3232 4 22 525234 3 72

272 2 0 3232 4 2 5252 3 72

y=cos(x)

1

1

1

1

Obie funkcje sa okresowe, co przejawia sie tym, ze ich wykresy powtarzaja sie np. je-zeli wezmiemy kawaek wykresu sinusa na przedziale 0, 2pi, to cay wykres otrzymamyprzesuwajac ten kawaek o wielokrotnosci 2pi w lewo i w prawo. Mwiac jeszcze inaczej,wykresy tych funkcji nie zmieniaja sie przy przesuwaniu o wielokrotnosc 2pi.

W jezyku wzorkw zapisuje sie to w postaci

sin(x + 2pi) = sin xcos(x + 2pi) = cos x

Liczbe 2pi nazywa sie okresem podstawowym tych funkcji. Z tego, ze liczba 2pi jest okresematwo wynika, ze dowolna jej wielokrotnosc tez jest okresem, tzn.

sin(x + 2kpi) = sin xcos(x + 2kpi) = cos x,

gdzie k jest dowolna liczba cakowita.Przymiotnik podstawowy przy okresie oznacza, ze jest to najmniejszy okres, np. liczba

4pi tez jest okresem tych funkcji (czyli sin(x + 4pi) = sin x), ale nie jest okresem podstawo-wym.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Obliczmy sin 193 pi. Liczymy

sin193pi = sin

18 + 13

pi = sin(

6pi +13pi

)= sin

pi

3= sin 60 =

3

2.

Tangens i cotangens

Funkcje te sa zdefiniowane zaleznosci od funkcji sinus i cosinus:

tg x =sin xcos x

ctg x =cos xsin x

=1

tg x.

Z tych definicji powinno byc jasne, ze dziedzina funkcji tg x jest zbir liczb, dla ktrychcos x 6= 0 (czyli x 6= pi2 + kpi), a dziedzina funkcji ctg x zbir liczb, dla ktrych sin x 6= 0(czyli x 6= kpi).

Wykresy tych funkcji sa podobne, ale funkcja tangens jest przedziaami rosnaca, a funkcjacotangens malejaca.

22 0 3232 2 22 0 3232 2

y=tg(x) y=ctg(x)

Rozerwania wykresw odpowiadaja dokadnie miejscom zerowym mianownikw. Obiefunkcje maja okres podstawowy pi, czyli dwa razy mniejszy niz funkcje sinus i cosinus.

Obliczmy tg pi6 ctg(116 pi

). Liczymy

tgpi

6ctg(11

6pi

)= tg

pi

6ctg(11

6pi + 2pi

)=

= tgpi

6ctg

pi

6= tg

pi

6 1

tg pi6= 1.



Parzystosc i nieparzystosc

Funkcja cosinus jest funkcja parzysta, tzn.

cos(x) = cos x.

Wasnosc ta oznacza, ze wykres jest symetryczny wzgledem osi Oy. Mozna sobie myslec, zejest podobnie jak dla f (x) = x2, nie jest wazne, czy liczymy wartosc funkcji w x czy w x(stad ta symetria wykresu).

Funkcja sinus jest funkcja nieparzysta, tzn.

sin(x) = sin x.

Wasnosc ta oznacza, ze wykres jest symetryczny wzgledem poczatku (0, 0) ukadu wsp-rzednych. Tu sytuacja jest podobna jak na przykad z f (x) = x3:

(2)3 = 23.

Obliczmy cos(pi sin(pi6 )). Liczymy

cos(pi sin

(pi

6

))= cos

(pi sin pi

6

)= cos

(pi

2

)= cos

pi

2= 0.

Korzystajac z powyzszych wasnosci oraz z rwnosci tg x = sin xcos x i ctg x =cos xsin x , atwo wyli-

czyc, ze funkcje tangens i cotangens sa nieparzyste.

tg(x) = tg xctg(x) = ctg x.

W przypadku funkcji parzystych/nieparzystych wygodnie jest myslec, ze ich wartoscidla liczb ujemnych sa jednoznacznie wyznaczone przez wartosci dla liczb dodatnich.

Punkty szczeglne wykreswRozwiazujac rzne zadania z funkcjami trygonometrycznymi czesto bedziemy musieli usta-lic jakie sa ich miejsca zerowe lub kiedy sinus/cosinus jest rwny 1. Na wykresie punktyte odpowiadaja punktom przeciecia z osia Ox oraz grkom i dokom sinusa/cosinusa.

sin x = 0 x = kpicos x = 0 x = pi

2+ kpi

sin x = 1 x = pi2+ 2kpi

cos x = 1 x = 2kpisin x = 1 x = pi

2+ 2kpi

cos x = 1 x = pi + 2kpi.



We wszystkich wzorach k C.Miejsca zerowe tangensa i cotangensa sa takie same jak odpowiednio sinusa i cosinusa:

tg x = 0 sin x = 0 x = kpictg x = 0 cos x = 0 x = pi

2+ kpi.

Jedyny sposb, zeby sie w tym nie pogubic, to nauczyc sie szybko szkicowac wykresy tychfunkcji. W przypadku sinusa i cosinusa nalezy zapamietac, ze wykresem jest sinusoida prze-chodzaca przez (0, 0) i (0, 1) odpowiednio. W przypadku tangensa i cotangensa wystarczyzapamietac po jednej gaezi wykresu i pamietac, ze cae wykresy otrzymujemy przesuwajacje w lewo i w prawo.

Rozwiazmy rwnanie 2sin 2x = 2. Liczymy

2sin 2x = 2 sin 2x = 1 2x = pi2+ 2kpi x = pi

4+ kpi, k C.

Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1

Po co definiuje sie funkcje trygonometryczne i dlaczego sa one wazne?Powody sa geometryczne: funkcje trygonometryczne sa acznikiem miedzy dugosciami od-cinkw, a miarami katw. Na og, w zadaniach geometrycznych, nie da sie wyliczyc do-kadnej wartosci szukanego kata, jednak twierdzenia sinusw, cosinusw pozwalaja wyli-czyc (dokadnie!) ich funkcje trygonometryczne.

Nie jestesmy w stanie wyliczyc miar katw w trjkacie o bokach 5,6,7. Mozemynatomiast (z twierdzenia cosinusw) wyliczyc cosinusy tych katw.

2

Ze wzgledu na okresowosc, odpowiedzi do zadan z trygonometrii czesto sa postaci x =pi2 + kpi. Domyslnie w takim zapisie, liczba k jest dowolna liczba cakowita.

Rozwiazmy rwnanie tg x = 1.Wiemy, ze tg pi4 = 1. Patrzac na wykres widac, ze wszystkie rozwiazania to x =pi4 + kpi, gdzie k C.



3Trudno nie zauwazyc, ze wszedzie piszemy argumenty funkcji trygonometrycznych w ra-dianach i jest ku temu powd. Jezeli mwimy o funkcjach trygonometrycznych to chcemy,aby i argumenty i wartosci to byy liczbami, zeby np. miaa sens funkcja sin x2. Stopnie niemaja tej wasnosci. Po wiecej informacji na ten temat odsyam do poradnika o mierze ukowej.

4Z jedynki trygonometrycznej sin2 x + cos2 x = 1 atwo wynika, ze tam gdzie sinus sie zeruje,cosinus jest rwny1 i odwrotnie. Ta wasnosc bywa uzyteczna przy rysowaniu tych funkcjilub przy sprawdzaniu czy dobrze pamietamy, gdzie sa punkty szczeglne ich wykresw.Bywa tez uzyteczna przy rwnaniach typu sin x = 1.

Rozwiazmy rwnanie cos2 2x = 1

cos2 2x = 1 cos 2x = 1 sin 2x = 0 2x = kpi x = kpi

2, k C.

5Niezwykle istotne jest pamietanie, ze zbir wartosci funkcji sinus i cosinus to przedzia1, 1. Takiej wasnosci nie maja funkcje tangens i cotangens one moga przyjmowac do-wolne wartosci.

Wyznaczmy zbir wartosci funkcji f (x) = sin2 x sin x.Podstawiajac t = sin x mamy parabole f (t) = t2 t = t(t 1) obcieta do prze-dziau 1, 1 (bo takie sa wartosci t = sin x). Aby ustalic jakie wartosci przyjmujeona w tym przedziale liczymy wartosci w wierzchoku i w koncach przedziau

f (tw) = f(

12

)= 1

4f (1) = 2

f (1) = 0.

Zatem zbir wartosci to przedzia 14 , 2.

6Szczerze radze nauczyc sie podstawowych wartosci funkcji trygonometrycznych na pamiec.Oczywiscie mozna je sprawdzac w tablicach, ale trzeba pamietac, ze jednym z elementwkazdego egzaminu jest walka z czasem. Na wertowanie tablic tracimy cenny czas, poza tymo wiele trudniej jest sie pomylic, gdy wiemy, ile wynosi sin pi6 , niz gdy tego nie wiemy, aprzepisujemy z tabelki.

Sa rzne sposoby pamietania tych wartosci. Na pewno trzeba zapamietac, ze sinus/cosinuskatw pi3 i

pi6 to liczby

12 i

32 . Ktra liczba, do ktrego kata, i do ktrej funkcji? Najlepiej jest

zapamietac, ze dla katw ostrych sinus jest rosnacy, a cosinus malejacy, wiec musi byc:



sinpi

6=

12

sinpi

3=

3

2

cospi

6=

3

2cos

pi

3=

12

.

Podobnie jest z tangensem i cotangensem tych katw. Sa to liczby

3 i 13

=

33 . Ktra

kiedy? jak poprzednio: tangens jest rosnacy, cotangens malejacy. Zatem

tgpi

6=

3

3tg

pi

3=

3

ctgpi

6=

3 ctgpi

3=

3

3.

Do tego jeszcze, dosc atwe do zapamietania

sinpi

4= cos

pi

4=

12=

2

2

tgpi

4= ctg

pi

4= 1.

Akurat te rwnosci atwo sobie odtworzyc pamietajac o tym, ze sa to funkcje trygonome-tryczne w powce kwadratu.

1

124

7Ciekawostka:

x 0 30 45 60 90

sin x

02

1

2

2

2

3

2

4

2

8Okazuje sie, ze mozna rwniez dokadnie wyliczyc funkcje trygonometryczne katw pi5 =36 i 2pi5 = 72

. Sa one rwne

cospi

5=

1 +

54

sinpi

5=

10 25

4

cos2pi5

=

5 14

sin2pi5

=

10 + 2

5

4

Jezeli ktos jest ciekawy jak to sie robi to niech zajrzy na http://www.zadania.info/3024938.



9

Wiemy, ze jezeli a = sin i b = cos to a2 + b2 = 1 (jedynka trygonometryczna). Okazujesie, ze jest tez na odwrt: dane liczby a i b sa sinusem i cosinusem pewnego kata wtedy itylko wtedy, gdy a2 + b2 = 1.

Dla jakich wartosci m ukad rwnan

{m = sin x2m = cos x

ma rozwiazanie?

Zgodnie z tym, co powiedzielismy, ukad bedzie mia rozwiazanie jezeli

m2 + (2m)2 = 1 m2 = 15

m =

55

.

10

Zastanwmy sie jak na komputerze narysowac okrag x2 + y2 = 1? Nie jest to wykres funkcji,wiec robi sie to uzywajac tzw. postaci parametrycznej:

(x, y) = (cos t, sin t), t R.

Z jedynki trygonometrycznej jest jasne, ze punkty tej postaci leza na okregu jednostkowymi gdy t zmienia sie w przedziale 0, 2pi to obiegaja one cay okrag.

t

(cos(t),sin(t))sin(t)

cos(t)

1

Gdy t rosnie/maleje poza tym przedziaem to zaczynamy ponownie obiegac okrag (zokresowosci sinusa/cosinusa). Geometrycznie t jest miara kata (w radianach) pomiedzyodcinkiem aczacym punkt (x, y) z poczatkiem ukadu (0, 0) a osia Ox. Dla wielu osb tojest najprostszy sposb na zapamietanie jakie sa znaki sinusa i cosinusa w poszczeglnychcwiartkach wystarczy pamietac, ze pierwsza wsprzedna punktu (x, y) na okregu to co-sinus kata, a druga to sinus. Znaki tangensa i cotangensa atwo ustalic pamietajac o definicjitg x = 1ctg x =

sin xcos x .



Niech t = 19pi7 .Koniec ramienia po obrocie o taki kat bedzie w II cwiartce (bo 19pi7 = 2pi +

5pi7 ).

Zatem pierwsza wsprzedna konca ramienia jest ujemna, a druga dodatnia. Mamywiec

cos(t) < 0 sin(t) > 0tg(t) < 0 ctg(t) < 0.

11Powiedzielismy jak sparametryzowac okrag jednostkowy x2 + y2 = 1, a jak sparametryzo-wac dowolny okrag (x a)2 + (y b)2 = r2? Podobnie:

(x, y) = (a + r cos t, b + r sin t).

atwo sprawdzic, ze punkty tej postaci rzeczywiscie sa na tym okregu.

x

y

t(a,b)

r(a+rcos(t),b+rsin(t))

x

y

t(a,b) (a,b)

t(a+r cos(t),b+r sin(t))1 2

1r2r

Jezeli troche to zmodyfikujemy

(x, y) = (a + r1 cos t, b + r2 sin t),

to dostaniemy parametryzacje elipsy (spaszczonego okregu) (xa)2

r21+ (yb)

2

r22= 1.

12Tak zupenie poza szkolna matematyka, to sa jeszcze funkcje

sinh x =ex ex

2

cosh x =ex + ex

2.



Pomimo, ze zdefiniowane dosc dziwacznie maja one sporo wasnosci podobnych do zwy-kych funkcji trygonometrycznych (chociaz nie sa okresowe!), np. speniaja rwnosci

cosh2 x sinh2 x = 1 (jedynka hiperboliczna)sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x

cosh(2x) = cosh2 x + sinh2 x(sinh x) = cosh x(cosh x) = sinh x.

Skad ich nazwa? parametryzuja one hiperbole x2

a2 y2

b2 = 1:

(x, y) = (a cosh t, b sinh t).

Wybr znaku na pierwszej wsprzednej odpowiada wyborowi gaezi hiperboli. Podobien-stwo tych funkcji do funkcji trygonometrycznych jest dosc gebokie, ale zeby o tym mwic,musielibysmy wkroczyc w swiat liczb zespolonych, a to juz temat na inna opowiesc.

x

y

aa

y=b/ay=-b/a

-1 +1 x

-5

-1

+1

+5

y

y=cosh(x)-1 +1 x

-5

-1

+1

+5

y

y=sinh(x)

13Tak naprawde to sa jeszcze rzne inne funkcje trygonometryczne, o ktrych sie nie uczy wszkole, np. secans i cosecans:

sec x =1

cos x

csc x =1

sin x.

Mozna sobie wyobrazic, ze gdy ich uzywamy to jest jeszcze wiecej rznych rzeczy do zapa-mietania, ale gdy ktos przez to przebrnie, to potrafia one bardzo upraszczac zapis niektrychrachunkw (gdy sa sinusy/cosinusy w mianowniku).

W szkole jest tendencja dokadnie odwrotna, wszystko wskazuje na to, ze niedugo znik-nie ze szkoy funkcja cotangens.



14W jaki sposb kalkulator liczy wartosci funkcji trygonometrycznych? Rysuje mae trjkaciki,mierzy boki i dzieli? Hm, raczej nie. Robi sie to z tzw. szeregw potegowych. Nie wchodzacw szczegy, okazuje sie, ze np.

sin x = x x3

3!+

x5

5! x

7

7!+

x9

9! x

11

11!+

cos x = 1 x2

2!+

x4

4! x

6

6!+

x8

8! x

10

10!+ .

Z prawej strony tych rwnosci mamy nieskonczone sumy (czyli tzw. szeregi) i nalezy to takrozumiec, ze im wiecej wyrazw wezmiemy tym mamy lepsze przyblizenie sinusa/cosinusa.To co jest wazne, to ze z prawej strony mamy tylko operacje dodawania, mnozenia, odejmo-wania i dzielenia (nie tam w ogle funkcji trygonometrycznych!), a z tym kalkulator radzisobie doskonale. Przy okazji, podobnie liczy sie logarytmy i pierwiastki.


Funkcje trygonometryczne

Documents

Transcript of Funkcje trygonometryczne