Zbiór zadań maturalnych

Profil rozszerzony

Autor: Andrzej Staszewski

Zbór zadań obejmuje zadania otwarte z matur z lat 2005 – 2014 oraz egzaminów próbnych organizowanych przez OPERON

Spis treści:Lp. Dział Numery zadań Strona1 Działania na liczbach rzeczywistych 1 - 9 1 2 Działania na potęgach i pierwiastkach 10 23 Działania na logarytmach 11 - 15 34 Działania na wyrażeniach algebraicznych 16 - 22 4 5 Działania na wielomianach 23 - 28 5

6Rozwiązywania równań, nierówności oraz układów równań i nierówności I stopnia z jedną lub dwiema niewiadomymi

29 - 30 6

7 Rozwiązywanie równań i nierówności II stopnia z jedną niewiadomą 31 - 44 7

8 Rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych 45 - 53 9

9 Rozwiązywanie równań i nierówności wymiernych 54 - 55 10

10 Wybrane zadania dotyczące ogólnych własności funkcji, rachunek różniczkowy 56 - 62 11

11 Funkcja liniowa 63 1312 Funkcja kwadratowa 64 - 71 14

13 Funkcja wielomianowa, wymierna i homograficzna 72 - 77 16

14 Funkcja wykładnicza i logarytmiczna 78 - 88 1715 Ogólne własności ciągów liczbowych 89 - 94 1916 Ciąg arytmetyczny 95 - 98 2017 Ciąg geometryczny 99 - 108 21

18 Ciąg arytmetyczny i geometryczny – zadania łączne 109 - 115 22

19Funkcje trygonometryczneoraz rozwiązywanie równań i nierówności trygonometrycznych

116 - 137 24

20 Planimetria – podstawowe definicje, trójkąty, wzajemne położenie okręgu i trójkąta 138 - 156 27

21 Planimetria – czworokąty, wzajemne położenie okręgu i czworokąta 157 - 166 29

22 Planimetria - położenie okręgów na płaszczyźnie i kątów w okręgu 167 - 169 32

23 Geometria analityczna 170 - 195 3324 Stereometria 196 - 221 3525 Kombinatoryka 222 - 228 4026 Rachunek prawdopodobieństwa 229 - 247 41

1.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na liczbach rzeczywistych

Zadanie 1

Znajdź ujemny pierwiastek równania ||2 x−1|−2|=4Zadanie 2Liczby naturalne parzyste od 2 do 100 zapisujemy kolejno jedna za drugą, tworząc liczbę naturalną a. Czy liczba a jest kwadratem pewnej liczby naturalnej?. Wskazówka: zbadaj podzielność sumy cyfr.

Zadanie 3Korzystając z własności wartości bezwzględnej, uzasadnij, że wyrażenie:

||x−2|−4|⋅||x−2|+4|⋅| 2x2−4 x−12

| przedstawia liczbę naturalną. Podaj konieczne założenia.

Zadanie 4

Wykaż, że wśród rozwiązań równania: |x−2|−|x−4|=6 istnieje takie, które jest liczbą niewymierną.

Zadanie 5

Rozwiązać nierówność: |3 x−6|+|x−2|<|x|.Zadanie 6

Rozwiąż nierówność: |2 x+4|+|x−1|≤6 .Zadanie 7

Rozwiąż nierówność |x−2|+|x+1|≥3 x−1 .

Zadanie 8

Rozwiąż nierówność |2 x−5|−|x+4|≤2−2 x .Zadanie 9

Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie: 2⋅|x+57|=|x−39|. Zakoduj

cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby |n|.

2.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na potęgach i pierwiastkach

Zadanie 10

Wykaż, że jeżeli: A=34 √2+2∧B=32√2+3, to B=9√ A .

3.1Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na logarytmach

Zadanie 11Wykaż, że dla dowolnej liczby a > 0 zachodzi nierówność:

log 2 (π⋅a )+ log2 (π+a )≥ 2logπ +a10

−log π π

Zadanie 12

Wykaż, że dla a > 0 i x > 1 zachodzi nierówność: log a x+ log x a≥ log100 .

Zadanie 13

Nie używając kalkulatora, porównaj liczby: a=3log3√312

; b=4√10

2+ 12

log 81

Zadanie 14

Oblicz: log3

4√27−log3( log33√3√3). Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po

przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku:

Zadanie 15

Niech m= log217 . Wykaż, że log7 27=

3 (1−m )m

.

4.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na wyrażeniach algebraicznych

Zadanie 16Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a2 + b2 = 7, to a4 + b4 = 31.

Zadanie 17Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k 6 − 2k 4 + k 2 jest podzielna przez 36.

Zadanie 18

Uzasadnij, że jeżeli a ≠ b , a ≠ c , b ≠ c i a + b = 2c , to a

a−c+ b

b−c=2.

Zadanie 19Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność

ac+bd≤√a2+b2⋅√c2+d2.Zadanie 20Liczby a, b, k są całkowite i k jest różna od zera. Wykaż, że jeśli liczby: a + b oraz a∙b są podzielne przez k, to liczba a3 – b3 też jest podzielna przez k.

Zadanie 21Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych dodatnich x, y prawdziwa jest

nierówność: ( x+1 ) x

y+ ( y+1 ) y

x>2 .

Zadanie 22

Udowodnij, że jeśli a > 0 i b > 0 oraz a + b = 1, to ab≤ 1

4.

5.1Wybrane zadania otwarte dotyczące działań na wielomianach

Zadanie 23

Dany jest wielomian W ( x )=2 x3+nx2+mx+8 . Wyznacz liczby m i n, jeśli wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x+2) jest równa 4 i jednym z pierwiastków jest liczba (-1). Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki.

Zadanie 24Reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez (x – 1), (x + 1), (x + 2) są odpowiednio równe: 1; -1; 3. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = (x -1 )(x+1)(x+2).

Zadanie 25

Przedstaw wielomian W ( x )=x4−2 x3−3 x2+4 x−1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.

Zadanie 26Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez dwumian (x −1) otrzymujemy iloraz Q(x) = 8x2 + 4x −14 oraz resztę R(x) = −5. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x).

Zadanie 27

Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x )=x3+ax 2+bx+1wiedząc, że W(2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x – 3) jest równa 10.

Zadanie 28

Wielomian W ( x )=x4+ax3+bx2−24 x+9 jest kwadratem wielomianu P( x )=x2+cx+d . Oblicz a oraz b.

6.1Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań, nierówności oraz układów równań i nierówności I stopnia z jedną lub dwiema niewiadomymi

Zadanie 29

Rozwiąż układ równań: {3=|x|+|y|¿ ¿¿¿

Zadanie 30

Oblicz najmniejszą liczbę naturalną n spełniającą nierówność |2 n−10

3n+1− 2

3|< 1

30.

7.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności II stopnia z jedną niewiadomą

Zadanie 31Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: (m−1 ) x2+2 (m+1 ) x+m+4=0 ma jedno rozwiązanie.

Zadanie 32

Określ, dla jakich wartości parametru k równanie: x2+(k+1 ) x+0,5 (k+5 )=0 ma dwa różne

pierwiastki dodatnie.

Zadanie 33Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rozwiązania: x1 ; x2równania x2+13 x−24=(10−m ) x−15 spełniają warunek: x1

2+x22+3 x1 x2=0 .

Zadanie 34Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x2+(m−5 ) x+m−7=0 jest najmniejsza?

Zadanie 35

Liczby: x1=5+√23∧x2=5−√23 są rozwiązaniami równania: x2−( p2+q2) x+( p+q )=0 z niewiadomą x. Oblicz p i q.

Zadanie 36Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2+ mx + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m2−13 .

Zadanie 37Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równaniex2−4 mx−m3+6m2+m−2=0ma dwa różne pierwiastki: x1 , x2 takie, że ( x1−x2 )

2<8 (m+1 ).

Zadanie 38Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb.;

Zadanie 39

Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równaniex2−(m+2) x+m+4=0 ma

dwa różne pierwiastki rzeczywistex1 , x2 takie, że x

14+x24=4 m3+6m2−32 m+12.

Zadanie 40

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2 x2+(3−2m ) x−m+1=0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywistex1 , x2 takie, że |x1−x2|=3 .

Zadanie 41

Rozwiąż układ równań: { y−|x−2|=0¿ ¿¿¿

.

Zadanie 42Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie: x2+2(1−m)x+m2−m=0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1 , x2 spełniające

warunek: x1⋅x2≤6 m≤x

12+ x22 .

Zadanie 43Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej m prawdziwa jest nierówność: 20 x2−24 mx+18 m2≥4 x+12 m−5 .

Zadanie 44

Równanie x2+48 x+1=0ma dwa rozwiązania x1; x2. Liczba

1x1

2+ 1

x22

jest liczbą całkowitą dodatnią. Znajdź tę liczbę. Zakoduj cyfry setek, dziesiątek i jedności otrzymanego wyniku.

8.1Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych

Zadanie 45

Wykaż, że suma odwrotności pierwiastków wielomianu: W ( x )=x4+ x3−4 x2−2 x+4 jest liczbą wymierną.

Zadanie 46Rozwiąż nierówność: x

4+x2≥2 x

Zadanie 47

Wykaż, że liczby a=(sin 600+cos600)2∧b=tg 450−cos300

są pierwiastkami wielomianu:

W ( x )=4 x3−8 x2+x .

Zadanie 48

Reszta z dzielenia wielomianu W ( x )=4 x3−5 x2−23 x+m przez dwumian x + 1 jest równa 20. Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu.

Zadanie 49

O wielomianie W ( x )=2x3+ax2+bx+c wiadomo, że liczba 1 jest jego pierwiastkiem dwukrotnym oraz że W(x) jest podzielny przez dwumian x + 2. Oblicz współczynniki a, b, c. Dla obliczonych wartości a, b, c rozwiąż nierówność: W(x + 1)<0.

Zadanie 50Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których równanie: ( x3+2x2+2 x+1 ) [ x2−(2m−1 ) x+m2+m ]=0 ma trzy, parami różne, pierwiastki rzeczywiste, takie że jeden z nich jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych.

Zadanie 51

Wielomian W ( x )=x4+2 x3−5 x2−6 px+9 jest podzielny przez dwumian x – 1 . Oblicz p. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 52Reszta z dzielenia wielomianu W( x) przez dwumian (x + 2) jest równa 4, reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez dwumian ( x − 2) to (−8), a reszta z dzielenia wielomianu przez (x − 1) wynosi 6. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez (x + 2)(x −2)(x−1).

Zadanie 53Rozwiąż nierówność: x

3−4 x2−5 x<0 .

9.1Wybrane zadania otwarte dotyczące rozwiązywania równań i nierówności wymiernych

Zadanie 54Wyznacz wartość parametru a, dla którego równanie: ax+49=a2−7 x ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Zadanie 55

Wyznacz wszystkie liczby całkowite x, dla których wartość wyrażenia

(9 x2−4 ) ( x+1 )3 x3+2 x2−3 x−2 jest

liczbą całkowitą.

10.1. Wybrane zadania otwarte dotyczące ogólnych własności funkcji, rachunek różniczkowy

Zadanie 56

Dana jest funkcja f ( x )=|x−1|−|x+2|dla x∈ R .a) Wyznacz zbiór wartości funkcji f dla x∈ (−∞,−2).b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Podaj jej miejsca zerowe.d) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie f (x) = m nie ma

rozwiązania.

Zadanie 57

Narysuj wykres funkcji: f ( x )=¿ {−2x+1+2∧x≤0¿ ¿¿¿

Określ liczbę rozwiązań równania:

|f ( x )|=m w zależności od parametru m.

Zadanie 58W trakcie badania przebiegu zmienności funkcji ustalono, że f ma następujące własności:- jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych,- f jest funkcją nieparzystą,- f jest funkcją ciągłąoraz:f ' ( x )<0⇒x∈ (−8 ;−3 )∪(−1 ;0 ) ,f ' ( x )>0⇒x∈ (−3 ;−1 ) ,f ' (−3)=f '(−1)=0 ,f (−8)=0 ,f (−3 )=−2,f (−2)=0 ,f (−1 )=1 .W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie naszkicuj wykres funkcji f w

przedziale ⟨−8 ;8⟩ , wykorzystując podane powyżej informacje o jej własnościach.Zadanie 59

Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x )=|x+3|+|x−3|x

dla każdej liczby rzeczywistej x ≠

0. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.

Zadanie 60

Dana jest funkcja f określona wzorem: f ( x )= x−8

x2+6 dla każdej liczby rzeczywistej x. Oblicz

wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x= 1

2. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku

rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 61

Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x )=2 x4+15

6−x2 dla wszystkich liczb rzeczywistych x,

takich że x≠±√6 . Oblicz wartość pochodnej tej funkcji w punkcie x = 1. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonego wyniku.

Zadanie 62

Funkcja f jest określona wzorem f ( x )= x2

x−4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠4 . Oblicz pochodną funkcji f w punkcie x = 12.

11.1Wybrane zadania otwarte dotycząc funkcji liniowej

Zadanie 63Funkcja liniowa f określona jest wzorem f (x) = ax + b dlax∈ R .

a) Dla a = 2008 i b = 2009 zbadaj, czy do wykresu tej funkcji należy punkt P = (2009, 20092);

b) Narysuj w układzie współrzędnych zbiór:

A={( x ; y ) : x∈⟨−1;3 ⟩∧ y=− 12

x+b∧b∈⟨−2;1 ⟩}.

12.1Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji kwadratowej

Zadanie 64

Dana jest funkcja kwadratowa f ( x )=(m+2 ) x2+(3 m−2 ) x+1 . Wyznacz w zależności od

parametru m wzór funkcji g( x )= 1

x1+ 1

x2,gdzie x1 , x2 są różnymi miejscami zerowymi

funkcji f. podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g.

Zadanie 65

Funkcja kwadratowa f ( x )=2 x2+bx+c jest malejąca w przedziale (−∞ ;4 ) i rosnąca w

przedziale (4 ;+∞ ) , a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi 12. Wyznacz współczynniki b i c

oraz nie wyznaczając miejsc zerowych funkcji oblicz wartość wyrażenia: x12+x2

2 .

Zadanie 66

Uzasadnij, że każdy punkt paraboli o równaniu: y= 1

4x2+1

jest równoodległy od osi O X i od punktu F = (0, 2) .

Zadanie 67Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC leżą na paraboli, będącej wykresem funkcji f ( x )=x2−6 x . Punkt C leży w wierzchołku paraboli. Znajdź współrzędne jednego z pozostałych wierzchołków trójkąta.

Zadanie 68Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa: f ( x )=x2−(2 m+2) x+2 m+5 ma dwa różne pierwiastki x1 ; x2

takie, że suma kwadratów odległości punktów A=( x1 ;0 )i B=( x2 ; 0)od prostej o równaniu: x + y + 1 = 0 jest równa 6.

Zadanie 69

Dana jest parabola o równaniu y=x2+1 i leżący na niej punkt A o współrzędnej x równej 3. Wyznacz równanie stycznej do paraboli w punkcie A.

Zadanie 70Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja f określona wzoremf ( x )=( m2−1 ) x2−2 (1−m) x+2przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej.

Zadanie 71

Dany jest trójmian kwadratowy: f ( x )=(m−1 ) x2−(m−1 ) x+2 m−3 . Wyznacz wzór funkcji g(m), która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę miejsc zerowych funkcji f. Narysuj wykres funkcji g.

13.1Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji wielomianowej, wymiernej i homograficznej

Zadanie 72

Dana jest funkcja f ( x )= x3+2 x2−x−2

x2+ x−2a) przedstaw wzór funkcji w najprostszej postacib) naszkicuj wykres funkcji

c) narysuj wykres funkcji g( x )=f ( x )−|f ( x )| i podaj jej zbiór wartości.

Zadanie 73Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia

warunek f (0) = 90 . Wielomian g dany jest wzorem g( x )=x3−14 x2+63 x−90 .Wykaż, że: g (x) = − f (− x) dla x ∈R .

Zadanie 74

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji: f ( x )= 1

x2.Przeprowadzono prostą

równoległą do osi OX , która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = (3,−1) . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

Zadanie 75Dana jest funkcja f ( x )= (m−5 ) x4+4 x2+m+7 , gdzie x∈ R. Wyznacz wszystkie wartości parametru m∈ R, dla których funkcja ma 4 różne miejsca zerowe.

Zadanie 76Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x )=4 x3−2x+1 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Uzasadnij, że prosta l o równaniu 10x – y + 9 = 0 jest styczna do wykresu funkcji f.

Zadanie 77

Funkcja f jest określona wzorem f ( x )=x4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz

równanie prostej stycznej do wykresu funkcji f , która jest równoległa do prostej y = 4x + 7.

14.1Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Zadanie 78

Dana jest funkcja f ( x )=|log2|x||. Naszkicuj wykres funkcji, a następnie napisz wzór funkcji y=g (m) ,która każdej wartości parametru m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania f(x) = m. Naszkicuj wykres funkcji g.

Zadanie 79

Funkcja f określona jest wzorem: f ( x )=(3

2 )x

. Funkcja g powstaje w wyniku przesunięcia

wykresu funkcji f o wektor: [−1 ;2 ] .a) zapisz wzór funkcji g, uzyskanej w wyniku tego przesunięcia;b) sporządź wykres funkcji g;c) wskaż największą liczbę m (m∈ R ) taką, dla której równanie g(x) = m nie ma

rozwiązania.

Zadanie 80

Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x )= logx 2−3

( x3 +4 x2−x−4 ) i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

Zadanie 81

Dane są funkcje: f ( x )=3x2−5 xi

g( x )=( 19 )

−2 x2−3 x+2.Oblicz, dla których argumentów x

wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g.

Zadanie 82

Rozwiąż nierówność: log 1

3

( x2−1 )+ log13

(5−x )> log13

(3 ( x+1 ) ) .

Zadanie 83

Wyznacz dziedzinę i najmniejszą wartość funkcji: f ( x )= log √2

2

( 8 x−x2 ).

Zadanie 84Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji wykładniczejf ( x )=ax∧x∈ R .

a) Oblicz a.

b) Narysuj wykres funkcji g(x) = |f ( x )−2|i podaj wszystkie wartości parametru m ∈ R, dla których równanie g(x) = m ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Zadanie 85

Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x )=log2cos x (9−x2) i zapisz ją w postaci sumy przedziałów liczbowych.

Zadanie 86Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji logarytmicznej f określonej wzorem f(x) = log2(x – p).

Podaj wartość p, narysuj wykres funkcji określonej wzorem y=|f ( x )|. podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie |f ( x )|=m ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

Zadanie 87

Określ dziedzinę funkcji:

f ( x )=√ log2 (log13

( x+1 )).Zadanie 88

Narysuj wykres funkcjif ( x )=2x+2|x| . Następnie w osobnym układzie współrzędnych

narysuj wykres funkcji g( x )=|f (x )−3|i na jego podstawie podaj liczbę rozwiązań równania g( x)= m w zależności od parametru m.

15.1Wybrane zadania otwarte dotyczące ogólnych własności ciągów liczbowych

Zadanie 89

Dany jest ciąg (an) , gdzie an=

5 n+610 ( n+1 ) dla każdej liczby naturalnej n≥1.

a) Zbadaj monotoniczność ciągu(an) .

b) Oblicz lim an .

n→∞

c) Podaj największą liczbę a i najmniejszą liczbę b takie, że dla każdego n spełniony jest

warunek: a≤an≤b .

Zadanie 90

Oblicz granicę ciągu: limn→∞

3 n2−5 n+2(8n+7 ) (n+4 )

.

Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.

Zadanie 91

Oblicz limn→∞

−2n3+3n(1−4 n )3

. Zakoduj pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego

otrzymanego wyniku.

Zadanie 92

Dany jest ciąg określony wzorem rekurencyjnym {a1=32¿ ¿¿¿

Wyznacz czwarty wyraz tego ciągu. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Zadanie 93

Oblicz granicę ciągu określonego wzorem ogólnym an=

(n+4 ) (3n2−1 )11n3+5n+2 .

Podaj przybliżenie wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku. Zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego przybliżenia.

Zadanie 94

Oblicz granicę limn→∞ ( n2

n+2−(n+2 )2

n+444 ).

16.1Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu arytmetycznego

Zadanie 95

Ciąg (an) jest arytmetyczny. Wiedząc, że

a1

a2=

a3

a5, wyznacz różnicę tego ciągu.

Zadanie 96W skarbcu królewskim było k monet. Pierwszego dnia rano skarbnik dorzucił 25 monet, a każdego następnego ranka dorzucał o 2 monety więcej niż dnia poprzedniego. Jednocześnie ze skarbca król zabierał w południe każdego dnia 50 monet. Oblicz najmniejszą liczbę k, dla której w każdym dniu w skarbcu była co najmniej jedna moneta, a następnie dla tej wartości k oblicz, w którym dniu w skarbcu była najmniejsza liczba monet.

Zadanie 97

W ciągu arytmetycznym (an) , dla n≥1 , dane są: a1=−2 oraz różnica r = 3. Oblicz

największe n takie, że a1+a2+a3+.. .+an<2012 .

Zadanie 98Wykaż, że jeśli długości kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg arytmetyczny, to ten czworokąt jest rombem.

A O D C B

17.1Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu geometrycznego

Zadanie 99

Wyznacz x, tak aby liczby: x+3 ; x2+3x ;11 x−2były w podanej kolejności wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych.

Zadanie 100Ciąg (x − 3, x + 3, 6x + 2,...)jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach

dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że

S19

S20< 1

4,gdzie Sn oznacza sumę n

początkowych wyrazów tego ciągu.

Zadanie 101

O ciągu (an) dla n≥1wiadomo, że:

a) ciąg (an) określony jest wzorem: an=3x n

dla n≥1 jest geometryczny o ilorazie q = 27.

b) x1+x2+. ..+x10=145 .

Oblicz x1 .

Zadanie 102Spiralę tworzymy następująco: kreślimy półokrąg

o średnicy |AB|=2r i środku O, do tego półokręgu dorysowujemy półokrąg o średnicy OB. i środku C. Następnie kreślimy półokrąg o średnicy OCi środku D. itd. Oblicz długość spirali złożonej z dziesięciu otrzymanych półokręgów.

Zadanie 103

KC1

C2

Pole kwadratu K jest równe 8. Środki boków tego kwadratu połączono, tworząc czworokąt C1. Następnie połączono środki boków czworokąta C1, tworząc czworokąt C2. W podobny sposób utworzono czworokąty C3, C4,...

Suma pól czworokątów: K + C1 +C2 + ... + Cn jest równa 15,75. Znajdź liczbę n.

Zadanie 104

Wyznacz liczbę x, tak aby liczby dodatnie:

13

log 2(2 x+5 );3 log8(2 x+5 ) ;log√3 3+log32 9

tworzyły ciąg geometryczny.

Zadanie 105

Ciąg geometryczny (an) ma 100 wyrazów i są one liczbami dodatnimi. Suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest sto razy większa od sumy wszystkich wyrazów o

numerach parzystych oraz log a1+log a2+log a3+.. .+log a100=100 . Oblicz a1.

Zadanie 106

Dany jest ciąg geometryczny (an) o wyrazach dodatnich taki, że a1=

34

, a3=13

. Oblicz sumę

wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 107Suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa 8. Suma nieskończonego ciągu

utworzonego z sześcianów wyrazów danego ciągu jest równa 512

7 . Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.

Zadanie 108

Niech Pn oznacza pole koła o promieniu

12n

; n≥1 .Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu

(Pn).

18.1Wybrane zadania otwarte dotyczące ciągu arytmetycznego i geometrycznego

Zadanie 109Suma trzech różnych liczb, tworzących ciąg geometryczny, jest równa 156. Liczby te są jednocześnie pierwszym, siódmym i dwudziestym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Zadanie 110

Dany jest rosnący ciąg geometryczny na , w którym .24;6 31 aa Wyznacz wzór na n- ty

wyraz ciągu na oraz oblicz x, jeśli wiadomo, że liczby 23;

4;1 5

2 xa

atworzą ciąg

arytmetyczny.

Zadanie 111Udowodnij, że jeżeli ciąg (a, b, c) jest jednocześnie arytmetyczny i geometryczny, to a = b = c .

Zadanie 112O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg (a, b, c) jest arytmetyczny i a + c =10 , zaś ciąg (a +1, b + 4, c +19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 113Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 64,to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby. Uwzględnij wszystkiemożliwości.

Zadanie 114Ciąg liczbowy (a, b, c) jest arytmetyczny i a + b + c =33, natomiast ciąg (a-1, b+5, c + 19) jest geometryczny. Oblicz a, b, c.

Zadanie 115

Wiedząc, że ciąg na jest ciągiem arytmetycznym oraz wyraz ogólny ciągu nb określony

jest wzorem ,5 nanb Wykaż, że ciąg nb jest ciągiem geometrycznym. Wyznacz, w

zależności od n, iloczyn ,...321 nbbbb przyjmując, że pierwszy wyraz ciągu na jest równy 1, a jego różnica jest równa 3.

19.1Wybrane zadania otwarte dotyczące funkcji trygonometrycznych oraz rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych

Zadanie 116

Rozwiąż równanie: 21)

3sin()

3sin(

xx w przedziale .2;0

Zadanie 117

Dla jakich x liczby: xx

tgxsin;cos;

21

w podanej kolejności są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?Zadanie 118

Rozwiąż równanie: .2;0)coscossin2( xxxxtgx

Zadanie 119Określ, jaką liczbą – dodatnią czy ujemną, jest ,cossin xx wiedząc, że

031

cos1sin1;

2

tgx

xxx

.

Zadanie 120

Wyznacz rozwiązanie równania: .

2;0sin3cos2 2

xxx

Zadanie 121

Wykaż, że .1coscos

Zadanie 122Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji y = f (x), otrzymanego z wykresu funkcji g(x) = sin x w wyniku odpowiednich przekształceń. Znajdź wzór funkcji f i rozwiąż

równanie: .3)( xf

Zadanie 123

a) Naszkicuj wykres funkcji: xxf 2sin)( w przedziale .2;2

b) Naszkicuj wykres funkcji xx

xf2sin2sin

)( w przedziale 2;2 i zapisz, dla których

liczb z tego przedziału spełniona jest nierówność .0

2sin2sin

xx

Zadanie 124

Dana jest funkcja f określona wzorem xxx

xfsin

sinsin)(

2

dla 2;;0 x .a) Naszkicuj wykres funkcji f .b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

Zadanie 125Rozwiąż równanie: 4cos2 x = 4sin x +1 w przedziale <0, 2π>.

Zadanie 126Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 04sin5cos2 2 xx należące do przedziału:

.2;0

Zadanie 127Rozwiąż równanie: xxxx cos1cossin2sin2 22 w przedziale <0, 2π>.

Zadanie 128Rozwiąż równanie: xx cos322cos .

Zadanie 129

Kąt α jest taki, że .

34cossin

Oblicz wartość wyrażenia: .sincos

Zadanie 130

Rozwiąż równanie: 01cos2cos xx dla .2,0 x

Zadanie 131

Rozwiąż równanie: .2;025,0cossin xxx

Zadanie 132

Rozwiąż równanie: .2;0sin1cos3 xxx

Zadanie 133Rozwiąż równanie 0sin2cos5sin xxx

Zadanie 134

Wykaż, że dla każdego kąta prawdziwa jest równość: .2cos31cossin4 266

Zadanie 135

Rozwiąż nierówność: 215cos x

dla .;x

Zadanie 136

Rozwiąż równanie: .;009sin3sin xxx

Zadanie 137Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x, spełniające równanie: 0sin5sin xx

20.1Wybrane zadania otwarte dotyczące planimetrii – podstawowe definicje, trójkąty, wzajemne położenie okręgu i trójkąta

Zadanie 138

W trójkącie o polu ab

41

dwa boki mają długość a i b. Znajdź długość trzeciego boku.

Zadanie 139

W trójkącie ABC są dane: .210;10 BCAC Promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość: R = 10. Oblicz miarę kąta ACB.

Zadanie 140Boki trójkąta ABC są równe a, b, c. Oblicz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka A do boku a.

Zadanie 141

Dany jest trójkąt o bokach długości .2;

23;1

Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta.

Zadanie 142W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości: BC = 9 , CA = 12 .

Na boku AB wybrano punkt D tak, że odcinki BC i CD mają równe długości. Oblicz długość odcinka AD .

Zadanie 143Obiekty A i B leżą po dwóch stronach jeziora. W terenie dokonano pomiarów odpowiednich kątów i ich wyniki przedstawiono na rysunku. Odległość między obiektami B i C jest równa 400 m. Oblicz odległość w linii prostej między obiektami A i B i podaj wynik, zaokrąglając go do jednego metra

Zadanie 144Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz <BAC = 30° . Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta.

Zadanie 145

Dany jest prostokąt ABCD, w którym ., babBCaAB Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD. Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b.

Zadanie 146Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE |= 2 DF . Oblicz wartość x = | DF | , dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.Zadanie 147W czworokącie ABCD dane są długości boków: AB = 24 , CD =15 , AD = 7 . Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste. Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych.

Zadanie 148Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego (patrz rysunek). Udowodnij, że stosunek promienia

większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy .223

Zadanie 149Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek). Udowodnij, że AC = FG .

E F

D CG

A B

HZadanie 150Dany jest czworokąt wypukły ABCD niebędący równoległobokiem. Punkty M, N są odpowiednio środkami boków AB i CD. Punkty P, Q są odpowiednio środkami przekątnych

AC i BD. Uzasadnij, że PNMQ .

Zadanie 151Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r.

Wykaż, że .4 2 CDABr

Zadanie 152W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku B jest ostry, długość promienia okręgu opisanego na

tym trójkącie jest równa 5 oraz .10,6 ABAC Na boku BC wybrano taki punkt K, że .2BK Oblicz długość odcinka AK.

Zadanie 153Kąty w trójkącie mają miary: α; 2α; 4α. Wykaż, że długości boków a, b, c tego trójkąta

spełniają równość: 1a−1

b−1

c=0

Zadanie 154Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku S. Kąty wewnętrzne CAB, ABC i BCA tego trójkąta są równe, odpowiednio, α; 2α; 4α Wykaż, że trójkąt ABC jest rozwartokątny, i udowodnij, że miary wypukłych kątów środkowych ASB, ASC i BSC tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Zadanie 155Punkty M i L leżą odpowiednio na bokach AB i AC trójkąta ABC, przy czym zachodzą

równości: AMMB 2 oraz

.3 ALLC Punkt S jest punktem przecięcia odcinków BL

i CM. Punkt K jest punktem przecięcia prostej AS z odcinkiem BC (zobacz rysunek).

Pole trójkąta ABC jest równe 600. Oblicz pola trójkątów: AMS, ALS, BMS i CLS.

Zadanie 156Dany jest trójkąt ABC i prosta k styczna w punkcie A do okręgu opisanego na tym trójkącie. Prosta BC przecina prostą k w punkcie P. Długości odcinków AC, BC, PB zostały podane na rysunku.

Oblicz długość odcinka AB. Zakoduj cyfrę jedności i dwie pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

21.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące czworokątów, wzajemne położenie okręgu i czworokąta

Zadanie 157Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny o podstawach x i 4x. Wykaż, że r = x

Zadanie 158Prostokąt o bokach długości a, b jest podobny do prostokąta o bokach długości a + 5, b + 5. Wykaż, że te prostokąty są kwadratami.

Zadanie 159Dany jest trapez o podstawach: a; b i a > b. Wyznacz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.

Zadanie 160Trapez o ramionach długości 6 i 10 jest opisany na okręgu. Odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli trapez na dwie części, których pola pozostają w stosunku 3 : 5. Oblicz długości podstaw trapezu.

Zadanie 161

Trapez ABCD podzielono na trzy figury o równych polach. Sposób podziału ilustruje rysunek. Wiedząc, że bok kwadratu CDEF jest równy 6, oblicz:

a) obwód trapezu ABCD,b) cosinus kąta CBF. D C

E F

A B

Zadanie 162Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu. Przekątna trapezu ma długość 12, a długość okręgu wynosi .13 Oblicz pole trapezu.

Zadanie 163Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB i

krótszej CD. Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że .

52

SBCS

Wyznacz długość ramienia

tego trapezu oraz oblicz cosinus .CBD

Zadanie 164

Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koła do pola powierzchni rombu wynosi .

83

Wyznacz miarę kąta ostrego rombu.

Zadanie 165

Dany jest trójkąt ABC, w którym 17AC i .10BC Na boku AB leży punkt D taki, że 4:3: DBAD oraz .10DC Oblicz pole trójkąta ABC.

Zadanie 166Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których krótsza podstawa ma długość 5 i każde z ramion też ma długość 5. Oblicz długość dłuższej podstawy tego z rozpatrywanych trapezów, który ma największe pole. Oblicz to pole.

21.1Wybrane zadania otwarte dotyczące położenia okręgów na płaszczyźnie i kątów w okręgu

Zadanie 167Okrąg o środku A i promieniu długości r jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku B i promieniu R (R > r). Prosta k jest styczna do obu okręgów i tworzy z prostą AB kąt ostry α. Wyznacz sin α w zależności od r i R.

Zadanie 168Dane są trzy okręgi o środkach: A, B, C i promieniach równych odpowiednio: r, 2r, 3r. Każde dwa z tych okręgów są zewnętrznie styczne: pierwszy z drugim w punkcie K, drugi z trzecim w punkcie L i trzeci z pierwszym w punkcie M. Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC.

Zadanie 169

Punkty: 2423321 ,,...,,, PPPPP dzielą okrąg na 24 równe łuki (zobacz rysunek). Punkt A jest

punktem przecięcia cięciw: 2211PP i .161PP

Udowodnij, że .6001116 APP

23.1Wybrane zadania otwarte dotyczące geometrii analitycznej

Zadanie 170Dany jest okrąg o środku S = (3; -4) i promieniu r = 5. Okrąg ten przekształcono przez jednokładność o środku O = (2; -1) i skali k = -3. Wyznacz równanie okręgu po tym przekształceniu.

Zadanie 171Oblicz, dla jakich wartości parametru k punkt przecięcia prostych o równaniach: y = -x;

y = x + k należy do koła o nierówności .1011 22 yx

Zadanie 172Napisz równanie okręgu o środku S = (10; -3) stycznego do prostej o równaniu:

.343

xy

Zadanie 173

Obrazem odcinka AB, gdzie A = (1; 0), B = (2; 1) w jednokładności o skali k > 1 i środku P jest odcinek CD, gdzie C = (4; 0); D = (6; 2). Zapisz równanie okręgu o środku w punkcie P

i promieniu .AB

Zadanie 174

Punkty równoległe od prostej o równaniu: 21

y i punktu

)21;0(P

należą do wykresu funkcji f. Znajdź wzór tej funkcji.

Zadanie 175

Dany jest okrąg o środku w punkcie (2; 1) i promieniu .17 Punkty A, B są punktami przecięcia tego okręgu z osią OX. Punkt C leży na prostej 3x – y +3 = 0, a pole trójkąta ABC jest równe 24. Oblicz współrzędne punktu C.

Zadanie 176

Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli xxy 62 Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi OX . Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta.

Zadanie 177Wyznacz współrzędne środka jednokładności, w której obrazem okręgu o równaniu: 416 22 yx jest okrąg o równaniu: 1646 22 yx , a skala tej jednokładności jest liczbą ujemną.

Zadanie 178

W układzie współrzędnych narysuj okrąg o równaniu 432 22 yx oraz zaznacz punkt A = (0,−1). Prosta o równaniu x = 0 jest jedną ze stycznych do tego okręgu przechodzących przez punkt A. Wyznacz równanie drugiej stycznej do tego okręgu, przechodzącej przez punkt A.

Zadanie 179Punkt A = (−2,5) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym| AC |=| BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y = x +1. Oblicz współrzędne wierzchołka C.

Zadanie 180

Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu: 032222 yxyx poprowadzonymi przez punkt A = (2; 0).

Zadanie 181

W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: ,;

25

21

mmP

gdzie

.7;1m Oblicz najmniejszą i największą wartość ,2PQ gdzie .0;

255

Q

Zadanie 182Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A =(0; 2) i B = (2; 0) oraz jest styczny do prostej l w punkcie C = (1; a) , gdzie a > 1. Wyznacz równanie prostej l.

Zadanie 183Na płaszczyźnie dane są punkty A = (3; -2) i B = (11; 4) . Na prostej o równaniu

y = 8x + 10 znajdź punkt P, dla którego suma ,22 BPAP jest najmniejsza.

Zadanie 184

Dane są zbiory punktów, określone nierównościami: 4126: 22 yyxxA

i .03: yxB Narysuj figurę BAF i wyznacz jej pole.

Zadanie 185Prosta o równaniu 3x – 4y -36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3; 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 186W trójkącie ABC punkty: K = (2; 2); L = (-2; 1), M = (-1; -1) są odpowiednio środkami boków AB, BC, AC. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta A’ B’ C’, który jest obrazem trójkąta ABC w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych.

Zadanie 187Z punktu A = (6; 3) poprowadzone styczne do okręgu x2+ y2−6 y=0. Podaj równania stycznych. Oblicz odległość punktów styczności oraz pole figury zaznaczonej na rysunku.

Zadanie 188Punkty A, B, C, D, E, F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego, przy czym A=(0 ;2√3 ) ; B=(2 ;0 ), a C leży na osi OX. Wyznacz równanie stycznej do okręgu opisanego na tym sześciokącie przechodzącej przez wierzchołek E.

Zadanie 189Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu: y = mx + (2m + 3) ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o środku w punkcie S = (0; 0) i promieniu: r = 3.

Zadanie 190Rozważamy wszystkie prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku AB, gdzie

A = (-1; 4) i B = (1; 4), a pozostałe dwa na paraboli o równaniu 22 2 xy (zobacz rysunek). Wyznacz wymiary tego z prostokątów, który ma największe pole. Oblicz to pole.

Zadanie 191Okrąg jest styczny do osi OX w punkcie A = (2; 0). Punkt B = (-1; 9) leży na tym okręgu. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 192

Okrąg o środku S = (3; 2) leży wewnątrz okręgu o równaniu 10086 22 yx i jest do niego styczny. Wyznacz równanie prostej stycznej do obu tych okręgów.

Zadanie 193Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A=(3,−1), B=(−1, 1), jeśli wiadomo, że jego środek należy do prostej o równaniu: y = 4 − x.

Zadanie 194Oblicz odległość punktu A = (5,−6) od prostej l: y = 2x + 1. Podaj przybliżenie dziesiętne otrzymanego wyniku z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Zakoduj cyfrę jednościi dwie początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia.

Zadanie 195

Dany jest okrąg Oo o równaniu ( x−3 )2+( y−1 )2=1 . W pierwszej „ćwiartce” układu współrzędnych istnieją dwa okręgi O1; O2 styczne zewnętrznie do okręgu Oo jednocześnie styczne do obu osi układu współrzędnych. Oblicz odległość środków okręgów O1 oraz O2 .

24.1Wybrane zadania otwarte dotyczące stereometrii

Zadanie 196Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H = 8 i krawędzi podstawy a = 12. Przez krawędź podstawy i środki rozłącznych z nią krawędzi bocznych poprowadzono płaszczyznę. Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz pole otrzymanego przekroju.

Zadanie 197W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym długość krawędzi podstawy jest równa 2a. Miara kąta miedzy przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka jest równa . Oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 198Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długości 2a. Oblicz cosinus kata dwuściennego między

sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony w zadaniu kąt dwuścienny.

Zadanie 199Dany jest ostrosłup trójkątny, którego podstawą jest trójkąt równoramienny o bokach długości 5; 5; 6 cm. Wysokość ostrosłupa jest równa 2 cm. Spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 200Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 60. Wysokość jest o 2 większa od długości boku podstawy. Przez przekątną ściany bocznej i środek krawędzi bocznej, niezawierającej się w tej ścianie, poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego w ten sposób przekroju.

Zadanie 201Kapsuła lądownika ma kształt stożka zakończonego w podstawie półkulą o tym samym promieniu co promień podstawy stożka. Wysokość stożka jest o 1 m większa niż promień półkuli. Objętość stożka stanowi 2/3 objętości całej kapsuły. Oblicz objętość kapsuły lądownika.

Zadanie 202W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H – wysokość ostrosłupa oraz α – miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( 450<α <900 ).

a) Wykaż, że objętość V tego ostrosłupa jest równa: .

134

2

3

tgH

b) Oblicz miarę kąta α, dla której objętość V danego ostrosłupa jest równa: .

92 3H

Wynik podaj w zaokrągleniu do całkowitej liczby stopni.

Zadanie 203Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość ai krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.

Zadanie 204W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α .Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 205Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 24, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Zadanie 206Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD. W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy AC : AS = 6 : 5 . Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 207Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC. Krawędź AS jest wysokością

ostrosłupa oraz 131;118;2108 CSBSAS . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 208Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AB = 30 ,BC = AC = 39 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 26. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 209W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a. Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Odległość wierzchołka A od ściany BCS jest równa d. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 210W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Płaszczyzna tego przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α. Oblicz objętość ostrosłupa.

Zadanie 211Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS, którego siatkę przedstawiono na rysunku.

Zadanie 212W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a. Kąt między

krawędzią boczną a krawędzią podstawy ma miarę 045 (zobacz rysunek). Wyznacz

objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 213Dany jest prostokątny arkusz kartonu o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe naroża (zobacz rysunek)

Następnie zagięto karton wzdłuż linii przerywanych, tworząc w ten sposób prostopadłościenne pudełko (bez przykrywki). Oblicz długość boku wyciętych kwadratowych naroży, dla której otrzymanego pudełka jest największa. Oblicz tę objętość.

Zadanie 214Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa i wysokości tego ostrosłupa jest równa 24. Wyznacz promień okręgu opisanego na podstawie tego z ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz tę objętość.

Zadanie 215Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Kąt jest kątem między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi. Kąt jest kątem przy podstawie ściany bocznej (tzn. kątem między krawędzią podstawy i krawędzią boczną ostrosłupa) zobacz rysunek. Wykaż, że

.1cos 2 tg

Zadanie 216W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem . Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Zadanie 217Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi równej 1. Punkt S jest środkiem krawędzi DH. Odcinek DW jest wysokością ostrosłupa ACSD opuszczoną z wierzchołka D na ścianę ACS. Oblicz długości odcinków AW, CW i SW.

Zadanie 218Kwadrat ABCD o boku długości 1 jest podstawą ostrosłupa ABCDS. Odcinek HS jest wysokością ostrosłupa, przy czym punkt H dzieli przekątną AC podstawy w stosunku 2 : 1 (z0bacz rysunek). Krawędzie boczne BS i DS mają długość równą 1. Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz długości krawędzi AS i CS.

Zadanie 219Wyznacz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, jeśli wiadomo, że krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Zadanie 220Sześcian o krawędzi a = 6 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do niej pod kątem 30°. Oblicz wysokość otrzymanego przekroju. Podaj przybliżenie otrzymanego wyniku z dokładnością do trzech miejsc po przecinku i zakoduj trzy początkowe cyfry po przecinku otrzymanego przybliżenia.

Zadanie 221Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym suma wszystkich krawędzi jest równa 18. Oblicz możliwie największą objętość takiego graniastosłupa.

25.1 Wybrane zadania otwarte dotyczące kombinatoryki

Zadanie 222

Rozwiąż równanie ,10 12

2 xxx PVP widząc, że:nP - oznacza liczbę wszystkich różnych permutacji bez powtórzeń zbioru n-

elementowego.k

nV - oznacza liczbę wszystkich różnych k- elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n- elementowego.

Zadanie 223Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i występują trzy trójki.Zadanie 224Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12.

Zadanie 225Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 15.

Zadanie 226Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5.

Zadanie 227Oblicz ile jest stucyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 4.

Zadanie 228Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie dwójki i jedna jedynka.

25.1Wybrane zadania otwarte dotyczące rachunku prawdopodobieństwa

Zadanie 229Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 kul czarnych losujemy jedną. Po obejrzeniu koloru zwracamy ją do urny. Następnie wyciągamy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosujemy 3 kule jednego koloru.

Zadanie 230W konkursie „Jaka to melodia” uczestnik zna 12 spośród 20 piosenek. Prowadzący przedstawia mu 4 piosenki, a uczestnik musi odgadnąć co najmniej tytuł jednej piosenki, by przejść do dalszego etapu konkursu. Oblicz prawdopodobieństwo, że uczestnik przejdzie do dalszego etapu konkursu podając wynik z dokładnością do 0,01.

Zadanie 231

Ze zbioru NnnZ 12;...;3;2;1 wylosowano równocześnie dwie liczby. Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest liczbą nieparzystą było

większe od .

137

Zadanie 232W szufladzie znajdują się skarpetki zielone i niebieskie. Zielone skarpetki są co najmniej dwie, a niebieskich było dwa razy więcej niż zielonych. Z szuflady w sposób losowy wyciągnięto jedną skarpetkę, odłożono ją i wyciągnięto kolejną. Prawdopodobieństwo, że

wylosowane w ten sposób dwie skarpetki były koloru zielonego, jest o 3313

mniejsze od prawdopodobieństwa, że wyciągnięto dwie skarpetki różnych kolorów. Oblicz, ile skarpetek było w szufladzie.

Zadanie 233Uczniowie dojeżdżający do szkoły zaobserwowali, że spóźnienie autobusu zależy od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus. Przeprowadzili badania statystyczne i obliczyli, że w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóźnienie zdarza się w 5% jego kursów,gdy prowadzi kierowca B w 20% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 50% jego kursów. W ciągu 5-dniowego tygodnia nauki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jeden raz kierowca C. Oblicz prawdopodobieństwo spóźnienia się szkolnego autobusu w losowo wybrany dzień nauki.

Zadanie 234Niech A, B będą zdarzeniami o prawdopodobieństwach P(A)i P(B). Wykaż, że jeżeli P(A)= 0,85 i P(B)= 0,75, to prawdopodobieństwo warunkowe spełnia nierówność P(A/ B) ≥ 0,8.

Zadanie 235Z pewnej grupy osób, w której jest dwa razy więcej mężczyzn niż kobiet, wybrano losowo dwuosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji znajdą się tylko kobiety jest równe 0,1. Oblicz, ile kobiet i ilu mężczyzn jest w tej grupie.

Zadanie 236W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym

losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych

kolorach jest większe od .

229

Zadanie 237Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Zadanie 238A, B są zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω. Wykaż, że jeżeli P( A) = 0,9 i P(B) = 0,7 ,to P( A ∩ B') ≤ 0,3 ( B' oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).

Zadanie 239Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz 7,0' BAP ( A’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A , B’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).Wykaż, że

.3,0' BAP

Zadanie 240Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz 1,0' BAP i .2,0' BAP Wykaż, że

7,0 BAP ( A’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B’ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B).

Zadanie 241Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn otrzymanych we wszystkich czterech rzutach będzie równy 60.Zadanie 242W zielonym pudełku jest 10 monet pięciozłotowych i 5 monet dwuzłotowych, a w białym pudełku są 2 monety pięciozłotowe i 3 monety dwuzłotowe. Z zielonego pudełka losujemy jedną monetę i wrzucamy ją do białego pudełka. Następnie z białego pudełka losujemy jednocześnie 2 monety. Oblicz prawdopodobieństwo, że z białego pudełka wylosujemy w sumie 7 złotych.Zadanie 243Na ile sposobów można ze standardowej talii 52 kart wybrać 13 kart tak, aby mieć co najwyżej jednego czerwonego (kier lub karo) asa? Jakie jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia?Zadanie 244Z urny zawierającej 10 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 10 losujemy jednocześnie trzy kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, ze numer jednej z wylosowanych kul jest równy sumie dwóch pozostałych kul.Zadanie 245Janek przeprowadza doświadczenie losowe, w którym jako wynik może otrzymać jedną z liczb: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Prawdopodobieństwo pk

otrzymania liczby k jest wzorem: .

6641

kpk

Rozważamy dwa zdarzenia:

zdarzenie A polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {1; 3; 5}, zdarzenie B polegające na otrzymaniu liczby ze zbioru {2; 3; 4; 5;

6}.Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe ./ BAP

Zadanie 246Ze zbioru cyfr {1,2,3,...,9} wylosowano dwa razy po jednej bez zwracania i ułożono w kolejności losowania w liczbę dwucyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób ułożono liczbę większą od 55.

Zadanie 247Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry otrzymamy co najmniej jedną „jedynkę”, pod warunkiem, że otrzymamy co najmniej jedną „szóstkę”.