1

GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA)

Treść:

1. Podstawowe pojęcia geometrii (punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń, półprosta, odcinek, łamana, figura geometryczna (płaska i przestrzenna). -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. PołoŜenie prostych i odcinków na płaszczyźnie (proste równoległe, przecinające się, prostopadłe, odcinki równoległe, prostopadłe). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. Kąt. Rodzaje kątów. Miary kątów. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Definicja kąta płaskiego. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Miary kątów (stopnie, radiany, gradusy). ------------------------------------------------------------------------------------ � Klasyfikacja kątów ze względu na miarę (ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, pełny, wypukły). -------- � Kąty przy przecinających się prostych (wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające, naprzemianległe). -----

4. Jednostki długości, pola i objętości.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Wielokąty. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

� Definicja. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Rodzaje wielokątów. Pojęcia związane z wielokątem (obwód, przekątna). ---------------------------------------------- � Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta. -------------------------------------------------------------------------------------

6. Trójkąty. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Definicja trójkąta. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Podstawowe pojęcia związane z trójkątem. -------------------------------------------------------------------------------------- � Klasyfikacja trójkątów i ich własności. --------------------------------------------------------------------------------- � Twierdzenia związane z trójkątem. ----------------------------------------------------------------------------------------------

7. Czworokąty. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ � Definicja czworokąta. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Podstawowe pojęcia związane z czworokątem. --------------------------------------------------------------------- � Klasyfikacja czworokątów i ich własności. ----------------------------------------------------------------------------- � ZaleŜności między czworokątami. -------------------------------------------------------------------------------------- � Twierdzenia związane z czworokątem. ----------------------------------------------------------------------------------

8. Koło i okrąg. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Definicja koła. Pojęcia związane z kołem. ------------------------------------------------------------------------------ � Liczba π. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Wzory związane z pojęciem koła. ---------------------------------------------------------------------------------------- � Twierdzenia o kątach w kole. ---------------------------------------------------------------------------------------------- � Wzajemne połoŜenie prostej i okręgu na płaszczyźnie. ------------------------------------------------------------ � Wzajemne połoŜenie dwóch okręgów na płaszczyźnie. ----------------------------------------------------------

9. Wielokąty foremne, okrąg wpisany i opisany. ----------------------------------------------------------------------------------------- � Wielokąty foremne. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Okrąg opisany na wielokącie. --------------------------------------------------------------------------------------------- � Okrąg wpisany w wielokąt. ----------------------------------------------------------------------------------------------- � Twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i okręgu wpisanym w czworokąt. --------------------- � Okrąg wpisany i opisany na wielokącie foremnym. ----------------------------------------------------------------

10. Trójkąt prostokątny. Twierdzenie Pitagorasa. Elementy trygonometrii. ----------------------------------------------------------- � Twierdzenie Pitagorasa. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ � Interpretacja geometryczna twierdzenia Pitagorasa. ---------------------------------------------------------------- � Elementy trygonometrii. -----------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Figury przystające. Cechy przystawania trójkątów. ---------------------------------------------------------------------------------- � Figury przystające. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Cechy przystawania trójkątów. ----------------------------------------------------------------------------------------------

12. Figury podobne. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Figury podobne. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Pola figur podobnych. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ � Podobieństwo prostokątów. -------------------------------------------------------------------------------------------------- � Podobieństwo trójkątów. ----------------------------------------------------------------------------------------------------

13. Twierdzenie Talesa. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14. Symetrie. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

� Symetria osiowa. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Oś symetrii figury. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Symetria środkowa. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Środek symetrii figury. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Symetralna odcinka. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- � Dwusieczna kąta. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15. Geometria w układzie współrzędnych. ------------------------------------------------------------------------------------------------------ � Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie. ---------------------------------------------------------------- � Długość odcinka w układzie współrzędnych. ------------------------------------------------------------------------------- � Obliczanie pola wielokąta w układzie współrzędnych. --------------------------------------------------------------- � Symetrie w układzie współrzędnych. --------------------------------------------------------------------------------------

- zagadnienie elementarne - zagadnienie wykraczające poza program

2 3 4 4 4 5 6 6 10 10 11 11 12 12 12 12 14 15 15 15 15 17 18 18 18 19 19 20 20 20 21 21 22 23 23 24 25 25 27 27 29 29 29 30 30 32 32 32 33 34 34 34 35 35 36 36 36 36 37 37 38

,

2

GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA) 1. PODSTAWOWE POJĘCIA GEOMETRII:

Punkt – pojęcie, którego się nie definiuje. Punkt nie ma wymiarów, czyli nie ma długości, szerokości ani wysokości. Oznaczamy duŜymi literami alfabetu: A, B, C, D … Prosta – pojęcie, którego się nie definiuje. Prosta nie ma końców, ma niekończoną długość, nie ma szerokości ani wysokości. Oznaczamy małymi literami alfabetu: k, l, m … Płaszczyzna – pojęcie, którego się nie definiuje. Płaszczyzna nie ma krawędzi, ma nieskończoną długość i szerokość. Oznaczamy małymi literami greckiego alfabetu np. π … Przestrze ń – pojęcie, którego się nie definiuje. Przestrzeń nie ma krawędzi, ma nieskończoną długość, szerokość i wysokość. Oznaczamy za pomocą liter greckich. Półprosta – część prostej, wyznaczona przez punkt A, zwany początkiem półprostej. Do półprostej naleŜą wszystkie punkty prostej leŜące po jednej stronie punktu A. Na rysunku zaznaczono półprostą AB, czyli półprostą o początku w punkcie A, przechodzącą przez punkt B. Półprosta ma nieskończoną długość. Odcinek – część prostej wyznaczona przez dwa punkty. Do odcinka AB naleŜą wszystkie punkty prostej leŜące między punktami A i B. Punkty A i B nazywamy końcami odcinka. Końce odcinka naleŜą do odcinka. KaŜdy odcinek ma długość. Długość odcinka oznaczamy AB lub za pomocą małych liter alfabetu: a, b, c, d …

Łamana – figura geometryczna złoŜona z odcinków, z których kaŜde dwa kolejne połączone są końcami i nie leŜą na jednej linii prostej. Na rysunku przedstawiono łamaną ABCDEF, łamaną zwyczajną otwartą ABCDEF i łamaną zwyczajną zamkniętą ABCDEFGHI. Figura geometryczna – to dowolny zbiór punktów. Figurą geometryczną jest np.:

A

k

π

B A

A B

a

G

A

B

C

D

E

F A

B

C

D

E F

H

I

A

B

C

D

E F

Łamana Łamana zwyczajna otwarta Łamana zwyczajna zamknięta

Zbiór kilku punktów

Odcinek z dwoma punktami

Układ złoŜony z prostej odcinka i

punktu

Wielokąt Bryła

…itd…

,

3

WyróŜniamy kilka rodzajów figur: Figury płaskie: dowolny zbiór punktów na płaszczyźnie. Do figur płaskich zaliczamy między innymi:

Figury przestrzenne, czyli bryły geometryczne: dowolny zbiór punktów w przestrzeni trójwymiarowej, który nie naleŜy do jednej płaszczyzny. Do brył zaliczamy między innymi:

2. POŁOśENIE PROSTYCH I ODCINKÓW NA PŁASZCZY ŹNIE: Proste równoległe: Dwie proste na płaszczyźnie są równolegle, jeŜeli nie mają punktów wspólnych ( nie przecinają się). UWAGA! Dwie proste, które pokrywają się uznaje się równieŜ za równoległe.

nIIk Proste przecinające się: Dwie proste przecinają się, jeŜeli mają jeden punkt wspólny.

Proste prostopadłe: Dwie proste przecinające się są prostopadłe, jeŜeli tworzą kąty proste (kąt prosty oznaczamy „kropką”).

nk ⊥ Odcinki równoległe: dwa odcinki są równoległe, jeŜeli proste, które wyznaczają te odcinki, są wzajemnie równoległe lub gdy leŜą na jednej prostej. Np.:

CDIIAB

k n

n k

S

Punkt przecięcia się prostych

k

n

kwadrat koło trójkąt romb elipsa pięciokąt siedmiokąt kąt

sześcian prostopadłościan walec graniastosłup ostrosłup kula stoŜek

Odcinki prostopadłe: dwa odcinki są prostopadłe, je

3. KĄT. RODZAJE KĄTÓW. MIARY KĄTÓW. Definicja k ąta płaskiego : Kąt płaski to częśćtworzące kąt naleŜą do kąta i nazywają się ramionami. Wspólny pocz Kąty oznaczamy literami alfabetu greckiego: punktów naleŜących do ramion: AOB∠ (ś Miary k ątów:

Stopnie. Kąty płaskie mierzymy za pomocą

Jeden stopień to 60 minut. (1° = 60’) Jedna minuta to 60 sekund (1’ = 60’’) Jedna sekunda to 60 tercji (1’’ – 60’’’) Radiany. Kąty płaskie mierzymy równieŜ za pomocłuk o długości r. 1 radian ma około 57,296°.

rad

rad

rad

rad

o

o

o

π

π

π

2360

1802

90

296571

=

=

=

≈ ,

Gradusy. Kąty płaskie mierzymy czasami za pomocMiara wprowadzona w Europie przez Napoleona. Stosowana w geodezji. Do mierzenia kątów słuŜy przyrząd zwany ką

O

wierzchołek kąta

4

prostopadłe, jeŜeli proste, które wyznaczają te odcinki, są wzajemnie prostopadłe. Np.:

CDAB ⊥

ĄTÓW.

część płaszczyzny ograniczona przez dwie półproste o wspólnym pocz się ramionami. Wspólny początek półprostych to wierzchołek k

ty oznaczamy literami alfabetu greckiego: α – alfa, β – beta, γ – gama, δ – delta, lub za pomoc(środkowy punkt w nazwie kąta, to wierzchołek).

mierzymy za pomocą miary stopniowej. Jeden stopień (1°) to k ąt równy 360

za pomocą radianów. Jeden radian to kąt środkowy, jaki w kole o promieniu 1 radian ma około 57,296°. Radian to miara stosowana w geometrii analitycznej (w układzie współrz

ty płaskie mierzymy czasami za pomocą gradusów. Jeden gradus to kąt równy prowadzona w Europie przez Napoleona. Stosowana w geodezji.

d zwany kątomierzem.

Kąt 1°

r r

r

r

1001

A

B

ramię kąta

ą wzajemnie prostopadłe. Np.:

płaszczyzny ograniczona przez dwie półproste o wspólnym początku. Półproste tek półprostych to wierzchołek kąta.

delta, lub za pomocą nazw wierzchołka i

3601 kąta pełnego.

owy, jaki w kole o promieniu r tworzy w geometrii analitycznej (w układzie współrzędnych).

kąta prostego. 100

1

5

Klasyfikacja k ątów ze wzgl ędu na miar ę. Rodzaje kątów:

� kąt ostry – kąt, którego miara jest mniejsza niŜ 90°.

� kąt prosty – kąt, którego miara jest równa 90°.

� kąt rozwarty – kąt, którego miara jest większa niŜ 90°i mniejsza ni Ŝ 180°.

� kąt półpełny – kąt, którego miara jest równa 180°. Ramiona k ąta tworzą prostą.

� kąt wkl ęsły – kąt, którego miara jest większa niŜ 180° i mniejsza ni Ŝ 360°.

� kąt pełny – kąt, którego miara jest równa 360°. Ramiona k ąta pełnego pokrywają się. Kąt jest całą płaszczyzną. Kąty ostre, proste, rozwarte, półpełne i pełne nazywamy kątami wypukłymi .

6

Kąty przy przecinaj ących si ę prostych: Kąty wierzchołkowe – para kątów, którą tworzą dwie przecinające się proste. Kąty te mają wspólny wierzchołek i nie mają wspólnych ramion. Kąty wierzchołkowe mają równe miary. Rysunek przedstawia dwie pary kątów wierzchołkowych:

Kąty przyległe – para kątów, którą tworzą dwie przecinające się proste. Kąty te mają wspólny wierzchołek i mają wspólne ramię. Kąty przyległe tworzą razem kąt półpełny (180 °). Rysunek przedstawia par ę kątów wierzchołkowych:

α + β = 180° Kąty odpowiadaj ące – para kątów, które tworzy prosta przecinająca dwie proste równoległe. Kąty odpowiadające mają równe miary. Rysunek przedstawia cztery pary kątów odpowiadających (zaznaczone tymi samymi kolorami i tą samą literą grecką): Kąty naprzemianległe – para kątów, które tworzy prosta przecinająca dwie proste równoległe. Kąty naprzemianległe mają równe miary. Rysunek przedstawia cztery pary kątów naprzemianległych (zaznaczone tymi samymi kolorami i tą samą literą grecką):

4. JEDNOSTKI DŁUGOŚCI, POLA I OBJ ĘTOŚCI. Jednostki długo ści. Podstawową jednostką długości jest 1 metr (1 m). Inne jednostki (pochodne):

1 cm

1 dm

7

Zamiana jednostek długości:

Nazwa Symbol Zamiana: Czynności

milimetr 1 mm ---

· (m

noŜy

my

prze

z pr

zelic

znik

)

: (dz

ielim

y pr

zez

prze

liczn

ik)

centymetr 1 cm 1 cm = 10 mm

decymetr 1 dm 1 dm = 10 cm

metr 1 m 1 m = 10 dm

… … …

… … …

kilometr 1 km 1 km = 1000 m

Przykłady: 1) Zamień 4,5 metra na decymetry – zamieniamy większe jednostki na mniejsze, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy

4,5 pomnoŜyć przez przelicznik. PoniewaŜ metry i decymetry to sąsiadujące ze sobą jednostki mnoŜymy liczbę przez 10 (przesuwając przecinek o jedno miejsce w prawo):

4,5 m · 10 = 45 dm 2) Zamień 74,5 metra na kilometry – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy

730 podzielić przez przelicznik. Metry i kilometry to jednostki sąsiadujące ze sobą, a przelicznikiem pomiędzy nimi jest liczba 1000, dzielimy liczbę 74,5 przez 1000 (przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo):

74,5 mm : 1000 = 0,0745 km

3) Zamień 730 milimetry na metry – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy 730 podzielić przez przelicznik. PoniewaŜ milimetry i metry to jednostki nie sąsiadujące ze sobą dzielimy liczbę przez 10 trzykrotnie (musimy „przeskoczyć” centymetry, decymetry i metry). Dzielenie przez 10 trzy razy moŜna zastąpić dzieleniem przez 1000 (przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo):

730 mm : 1000 = 0,730 m = 0,73 m Jednostki pola. Podstawową jednostką pola jest 1 metr kwadratowy (1 m2). 1 metr kwadratowy to powierzchnia równa polu kwadratu o boku 1 metr. Inne jednostki (pochodne):

1 cm2

1 dm2

8

Zamiana jednostek pola:

Nazwa Symbol Zamiana: Czynności

milimetr kwadratowy 1 mm2 ---

· (m

noŜy

my

prze

z pr

zelic

znik

)

: (dz

ielim

y pr

zez

prze

liczn

ik)

centymetr kwadratowy 1 cm2 1 cm2 = 100 mm2

decymetr kwadratowy 1 dm2 1 dm2 = 100 cm2

metr kwadratowy 1 m2 1 m2 = 100 dm2

ar 1 a 1 a = 100 m2

hektar 1 ha 1 ha = 100 a

kilometr kwadratowy 1 km2 1 km2 = 100 ha

Przykłady: 4) Zamień 6,2 ara na metry kwadratowe – zamieniamy większe jednostki na mniejsze, a więc (zgodnie ze strzałką)

powinniśmy 6,2 pomnoŜyć przez przelicznik. PoniewaŜ ary i metry kwadratowe to jednostki sąsiadujące ze sobą, mnoŜymy liczbę 6,2 przez 100 (przesuwając przecinek o dwa miejsca w prawo):

6,2 a · 100 = 620 m2 5) Zamień 30 decymetrów kwadratowych na metry kwadratowe – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc

(zgodnie ze strzałką) powinniśmy liczbę 30 podzielić przez przelicznik. Decymetry kwadratowe i metry to jednostki sąsiadujące ze sobą, a przelicznikiem pomiędzy nimi jest liczba 100, dzielimy liczbę 30 przez 100 (przesuwamy przecinek o dwa miejsca w lewo):

30 dm2 : 100 = 0,30 m2 = 0,3 m2

6) Zamień 25000 metrów kwadratowych na hektary – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy liczbę 25000 podzielić przez przelicznik. PoniewaŜ metry kwadratowe i hektary to jednostki nie sąsiadujące ze sobą dzielimy liczbę 25000 przez 100 dwukrotnie (musimy „przeskoczyć” ary i hektary). Dzielenie przez 100 dwa razy moŜna zastąpić dzieleniem przez 10000 (przesuwamy przecinek o cztery miejsca w lewo):

25000 m2 : 10000 = 2,5000 ha = 2,5 ha Jednostki obj ętości . Podstawową jednostką objętości jest 1 metr sześcienny (1 m3). 1 metr sześcienny to miara przestrzeni równa objętości sześcianu o krawędzi 1 metr. Inne jednostki (pochodne):

1 cm3

1 dm3 = 1 l

9

Zamiana jednostek objętości:

Nazwa Inna nazwa Symbol Zamiana: Czynności

milimetr sześcienny --- 1 mm3 ---

· (m

noŜy

my

prze

z pr

zelic

znik

)

: (dz

ielim

y pr

zez

prze

liczn

ik)

centymetr sześcienny mililitr 1 cm3 = 1 ml 1 cm3 = 1000 mm3

decymetr sześcienny litr 1 dm3 = 1 l 1 dm3 = 1000 cm3

--- hektolitr 1 hl 1 hl = 100 dm3

metr sześcienny kilolitr 1 m3 = 1 kl 1 m3 = 1000 dm3

1 m3 = 10 hl

… … … …

kilometr sześcienny 1 km3 1 km3 = 109 m3

Przykłady: 7) Zamień 1,4 decymetra sześciennego na mililitry – mililitry to centymetry sześcienne. Zamieniamy większe jednostki na

mniejsze, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy 1,4 pomnoŜyć przez przelicznik. PoniewaŜ decymetry sześcienne i centymetry sześcienne to jednostki sąsiadujące ze sobą, mnoŜymy liczbę 1,4 przez 1000 (przesuwając przecinek o trzy miejsca w prawo):

1,4 dm3 · 1000 = 1400 cm3 = 1400 ml 8) Zamień 480 decymetrów sześciennych na metry sześcienne – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc

(zgodnie ze strzałką) powinniśmy liczbę 480 podzielić przez przelicznik. Decymetry sześcienne i metry sześcienne to jednostki sąsiadujące ze sobą, a przelicznikiem pomiędzy nimi jest liczba 1000. Dzielimy liczbę 480 przez 1000 (przesuwamy przecinek o trzy miejsca w lewo):

480 dm3 : 1000 = 0,480 m3 = 0,48 m3

9) Zamień 5700 mililitrów na hektolitry – zamieniamy mniejsze jednostki na większe, a więc (zgodnie ze strzałką) powinniśmy liczbę 5700 podzielić przez przelicznik. PoniewaŜ mililitry i hektolitry to jednostki nie sąsiadujące ze sobą dzielimy liczbę 25000 najpierw przez 1000 (przelicznik między mililitrem a litrem), a następnie przez 100 (przelicznik między litrem a hektolitrem). Dzielenie przez 1000 i przez 100 moŜna zastąpić dzieleniem przez 100000 (przesuwamy przecinek o pięć miejsc w lewo):

5700 ml : 100000 = 0,05700 hl = 0,057 hl Inne jednostki długości, pola i objętości

Inne jednostki u Ŝywane na świecie

Jednostki długości Jednostki pola Jednostki objętości

Nazwa Symbol Przelicznik Nazwa Symbol Przelicznik Nazwa Symbol Przelicznik

Cal 1 in 2,54 cm Akr 1 akr 4047 m2 Galon (USA) 1 gal 3,785 l

Stopa 1 ft = 12 in 30,48 cm

Galon (UK) 1 gal 4,546 l

Jard 1 yd = 3 ft 91,44 cm Baryłka (USA) 1 bbl = 42 gal 158,968 l

SąŜeń 1 fm = 2 yd 182,88 cm Kwarta 1 quart ¼ gal

Mila 1 M = 528ft 1609,344 m Pinta 1 pint ½ quart

Mila morska

1 Mm 1852 m Garniec --- 2,75 l

Kabel 1 cable 185,2 m

Rok świetlny ---

9,4605 · 1012 km

10

Przedrostki uŜywane do określania miar. Tworząc nazwy jednostek miar, do nazwy podstawowej dodajemy przedrostek. Na przykład: do jednostki podstawowej „metr” dodajemy przedrostek „kilo” i powstaje jednostka „kilometr”; do jednostki podstawowej „litr” dodajemy przedrostek „mili” i powstaje jednostka „mililitr”. Znaczenie przedrostków omawia tabela:

Znaczenie przedrostków przed nazwą jednostek miar

Przedrostek Symbol Przelicznik Wartość Przykłady

Długość Pamięć* Masa Pojemność elektr.

jotta Y 1024 kwadrylion

zetta Z 1021 tryliard

eksa E 1018 trylion

peta P 1015 bilard

tera T 1012 bilion terabajt

giga G 109 miliard gigabajt

mega M 106 milion megabajt megametr = tona

kilo k 103 tysiąc kilometr kilobajt kilogram

hekto h 102 sto

deka da 101 dziesięć dekagram

JEDNOSTKA 1 --- METR BAJT GRAM FARAD

decy d 10-1 dziesiąta decymetr

centy c 10-2 setna centymetr

mili m 10-3 tysięczna milimetr miligram milifarady

mikro µ 10-6 milionowa mikrometr mikrofarady

nano n 10-9 miliardowa nanometr nanofarady

piko p 10-12 bilionowa pikometr pikofarady

femto f 10-15 biliardowa

atto a 10-18 trylionowa

zepto z 10-21 tryliardowa

jokto y 10-24 kwadrylionowa

* jednostki pamięci komputerowej przeliczane są w systemie dwójkowym (przelicznikiem jest 210, czyli 1024. UWAGA! W przypadku jednostek pola wartość przedrostków naleŜy podnieść do kwadratu, np. kilometr kwadratowy, to 10002 metrów kwadratowych, czyli milion metrów kwadratowych. W przypadku jednostek objętości wartość przedrostków naleŜy podnieść do trzeciej potęgi, np. kilometr sześcienny, to 10003 metrów sześciennych, czyli miliard metrów sześciennych.

5. WIELOKĄTY Definicja wielok ąta: wielokąt to figura geometryczna płaska, która jest częścią płaszczyzny ograniczoną przez łamaną zwyczajną zamkniętą.

A

B

C

D

E

F

wierzchołek

bok

kąt wewnętrzny

11

Rodzaje wielok ątów – poj ęcia zwi ązane z wielok ątem: Wielokąty dzielimy ze względu na ilość boków na:

Wielokąty dzielimy ze względu na rodzaj kątów na: Obwód wielokąta: Obwodem wielokąta nazywamy długość łamanej zamkniętej, która tworzy ten wielokąt. Aby obliczyć obwód wielokąta naleŜy dodać do siebie długości wszystkich boków wielokąta. Przekątna wielokąta: Przekątna wielokąta to odcinek, którego końcami są wierzchołki wielokąta, które nie naleŜą do jednego boku. Suma miar k ątów wewn ętrznych wielok ąta: Aby obliczyć, ile wynosi suma miar wewnętrznych wielokąta wypukłego naleŜy wykonać następujące czynności: a) wybieramy jeden z wierzchołków wielokąta, b) z wybranego wierzchołka prowadzimy wszystkie przekątne do przeciwległych wierzchołków, c) liczymy ilość trójkątów, które powstały po poprowadzeniu przekątnych, d) poniewaŜ w kaŜdym trójkącie suma miar kątów wynosi 180°, mno Ŝymy 180° przez ilo ść trójkątów. Otrzymana liczba to

suma miar kątów wielokąta. Przykład: Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych sześciokąta. Wykonuję działanie 180° · 4 = 720°. Suma k ątów wewnętrznych w dowolnym sześciokącie wynosi 720° MoŜna zauwaŜyć, Ŝe trójkątów jest zawsze o dwa mniej niŜ boków wielokąta (w sześciokącie utworzyły się cztery trójkąty). Stąd moŜna wyprowadzić wzór na sumę miar kątów wewnętrznych wielokąta: Jeśli wielokąt ma n boków, to moŜna go podzielić na ( n – 2 ) trójkąty. Suma miar kątów wewnętrznych w kaŜdym z tych trójkątów wynosi 180°, wi ęc suma miar kątów wewnętrznych w wielokącie o n bokach wyraŜa się wzorem:

wypukłe – gdy wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta są wypukłe, czyli mniejsze niŜ 180°

wklęsłe – gdy przynajmniej jeden kąt wewnętrzne wielokąta jest wklęsły, czyli większy niŜ 180°

1 2 3

4

Wybieram wierzchołek Rysuję przekątne Liczę trójkąty

( ) on 1802 ⋅−

trójkąty czworokąty pięciokąty sześciokąty siedmiokąty ośmiokąty szesnastokąty … itd. …

12

6. TRÓJKĄTY Definicja trójk ąta: Trójkąt to wielokąt o trzech bokach. Podstawowe poj ęcia zwi ązane z trójk ątem:

Trójkąt bierze swoją nazwę od wierzchołków. Na rysunku jest zaprezentowany ABC∆ . Trójkąt ma trzy wierzchołki. Ich nazwy to zazwyczaj A, B, C. Trójkąt ma trzy boki. Ich nazwy, to AB, BC, AC, a ich długości oznaczamy zazwyczaj symbolami: a, b, c. Trójkąt ma trzy kąty wewnętrzne. Ich nazwy to: ABC∠ , ACB∠ , BAC∠ . Ich miary oznaczamy zazwyczaj literami greckimi: α, β, γ. Podstawa – dowolny, wyróŜniony bok trójkąta (podstawą moŜe być zarówno bok a, jak i bok b, jak i c). Zwykle wykonujemy rysunek trójkąta w ten sposób, by podstawą był bok leŜący u dołu. Wysoko ść trójk ąta – odcinek prostopadły do podstawy, którego jeden koniec naleŜy do podstawy (lub jej przedłuŜenia), a drugi koniec to wierzchołek przeciwległy do podstawy. UWAGA! W trójkącie moŜna wyznaczyć trzy wysokości, w zaleŜności od tego, który bok zostanie wybrany jako podstawa. Środkowa boku – odcinek, którego końcami są: środek boku trójkąta oraz przeciwległy wierzchołek (na rysunku obok: odcinek CD). Środkowe boków trójkąta wyznaczają środek cięŜkości trójkąta. Środkowe boków trójkąta dzielą się wzajemnie w stosunku 2 : 1. Klasyfikacja trójk ątów i ich własno ści:

KLASYFIKACJA TRÓJK ĄTÓW ZE WZGLĘDU NA DŁUGOŚCI BOKÓW.

Nazwa trójkąta

Rysunek Własności boków i kątów i wysokości. Wzory.

RÓ

WN

OB

OC

ZN

Y

Wszystkie boki maj ą równe długo ści.

Wszystkie kąty mają równe miary, kaŜdy kąt ma miarę 60°.

Wszystkie wysokości są równej długości.

Wysokości dzielą się wzajemnie w stosunku 2 : 1. Oznacza to,

Ŝe krótsza część wysokości to h31 , natomiast dłuŜsza to h

32 .

KaŜda wysokość dzieli trójkąt na dwa przystające (identyczne) trójkąty prostokątne.

Wysoko ść:

23a

h =

Pole:

43

22a

P

haP

=

⋅=

Obwód: aObw 3=

A B

C

a

b c

α β

γ

h

podstawa

ramię

ramię

wierzchołek

kąt wewnętrzny wysokość

wysokość

A B

C

D

środkowa

a a

a

h

13

RÓ

WN

OR

AM

IEN

NY

Dwa boki (ramiona) s ą równej długo ści *.

Kąty przy podstawie mają równe miary.

Jedna z wysokości (opuszczona na bok a) dzieli trójkąt na dwa przystające (identyczne) trójkąty prostokątne. Dwie pozostałe wysokości mają tą samą długość.

Pole:

2ha

P⋅=

Obwód:

baObw 2+=

RÓś

NO

BO

CZ

NY

Wszystkie boki maj ą róŜną długo ść*.

Wszystkie kąty wewnętrzne mają róŜne miary.

Wszystkie wysokości mają róŜną długość.

Pole:

2ha

P⋅=

Obwód:

cbaObw ++=

KLASYFIKACJA TRÓJK ĄTÓW ZE WZGLĘDU NA RODZAJ K ĄTÓW.

Nazwa trójkąta Rysunek Własności boków i kątów i wysokości. Wzory.

OS

TR

OKĄ

TN

Y

Wszystkie k ąty wewn ętrzne s ą kątami ostrymi* (mniejszymi niŜ 90°)

Wysokości trójkąta przecinają się we wnętrzu trójkąta.

Pole:

2ha

P⋅=

Obwód:

cbaObw ++=

PR

OS

TO

KĄ

TN

Y

Jeden k ąt wewn ętrzny trójk ąta jest k ątem prostym * (jego miara wynosi 90°), pozostałe dwa s ą kątami ostrymi.

Nazwy poszczególnych boków: a, b – boki przyprostokątne, c – przeciwprostokątna.

Bok a jest wysokością opuszczoną na bok b. Bok b jest wysokością opuszczoną na bok a.

Wysokość opuszczona na bok c (wysokość oznaczona jako h) dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne. Oba te trójkąty są podobne do trójkąta o bokach a, b, c. Boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa: „W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości boków przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej”:

222 cba =+

Pole:

2ha

P⋅=

Obwód:

cbaObw ++=

b b

a

h

b c h

a

b c h

a

b

c h a

przeciwprostokątna

przyprostokątna

przyprostokątna

14

RO

ZW

AR

TO

KĄ

TN

Y

Jeden k ąt wewn ętrzny trójk ąta jest k ątem rozwartym * (większy niŜ 90°), pozostałe dwa s ą kątami ostrymi.

Dwie wysokości znajdują się na zewnątrz trójkąta (wysokości opuszczone z wierzchołków kątów ostrych).

Pole:

2ha

P⋅=

Obwód:

cbaObw ++=

*UWAGA! Tłustym drukiem wyró Ŝniono warunek definicyjny. Twierdzenia zwi ązane z trójk ątem: Twierdzenie o k ątach trójk ąta: Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180° (w śród wielokątów, tylko trójkąty mają tą własność). Przykład: Czy istnieje trójkąt o kątach 57°, 71° i 52°? Odpowiedź TAK.

Uzasadnienie: Suma kątów wewnętrznych trójkąta musi wynosić 180°, wi ęc naleŜy sprawdzić, czy podane kąty w sumie tworzą kąt 180°: 57° + 71° + 52° = 180°. Odpowied ź: Mogą to być kąty trójkąta.

Przykład: Oblicz miary brakujących kątów trójkątów:

Twierdzenie o bokach trójk ąta – Nierówno ści trójk ąta: W kaŜdym trójkącie, suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku.

Z twierdzeniem o bokach trójkąta związany jest warunek mówiący o moŜliwości skonstruowania trójkąta: Trzy odcinki mogą być bokami trójkąta, wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dwóch krótszych boków jest większa niŜ długość boku najdłuŜszego. Przykład: Czy z odcinków o długościach 6 cm, 16 cm i 12 cm moŜna skonstruować trójkąt? Odpowiedź: TAK.

Uzasadnienie: Suma długości dwóch krótszych boków wynosi 6 cm + 12 cm = 18 cm i jest większa niŜ długość boku najdłuŜszego: 18 cm > 16 cm.

α

β

γ

b

a

c

a + b > c a + c > b b + c > a

α + β + γ = 180 °

h

a

b

c

α = 180° - (43° + 114°) = = 180° - 157° = 23°

43°

114° α 62°

β

β = 180° - (90° + 62°) = = 180° - 152° = 28°

γ = (180° - 52°) : 2 = = 128° : 2 = 64°

52°

γ

x x

15

7. CZWOROKĄTY. Definicja czworok ąta: Czworokąt to wielokąt o czterech bokach. Podstawowe poj ęcia zwi ązane z czworok ątem: Czworokąt bierze swoją nazwę od wierzchołków. Na rysunku jest zaprezentowany czworokąt ABCD . Czworokąt ma cztery wierzchołki. Ich nazwy to zazwyczaj: A, B, C, D. Czworokąt ma cztery boki. Ich nazwy, to AB, BC, CD, AD, a ich długości oznaczamy zazwyczaj symbolami: a, b, c, d. Czworokąt ma cztery kąty wewnętrzne. Ich nazwy to: ABC∠ , BCD∠ , CDA∠ , DAB∠ . Ich miary oznaczamy zazwyczaj literami greckimi: α, β, γ, δ. Czworokąt ma dwie przekątne. Klasyfikacja czworok ątów i ich własno ści:

KLASYFIKACJA CZWOROK ĄTÓW ZE WZGLĘDU NA RODZAJ K ĄTÓW.

Nazwa czworokąta Rysunek Własności boków i kątów i wysokości. Wzory.

WY

PU

KŁY

Czworok ąt, którego wszystkie k ąty s ą kątami wypukłymi* (mniejszymi niŜ 180°).

Do tej grupy czworokątów naleŜy większość najczęściej spotykanych czworokątów, takich jak: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez. Ich własności omówione są w innej tabeli.

Obie przekątne znajdują się wewnątrz figury.

Pole: W zaleŜności od własności boków. Obwód:

dcbaObw +++=

WK

LĘ

SŁY

Czworok ąt, którego jeden k ąt jest k ątem wkl ęsłym * (większym niŜ 180°), a pozostałe trzy k ąty są kątami wypukłymi (mniejsze niŜ 180°).

Jedna z przekątnych figury znajduje się na zewnątrz figury.

Pole: W zaleŜności od własności boków. Obwód:

dcbaObw +++=

podstawa

ramię

wierzchołek

kąt wewnętrzny

wysokość

A B

C

α β

δ γ

przekątna

przekątna D

a

b

c

d

d

b

c

a

d

b

c

a

16

KLASYFIKACJA CZWOROK ĄTÓW ZE WZGLĘDU NA WŁASNOŚCI BOKÓW I KĄTÓW.

Nazwa czworokąta Rysunek Własności boków i kątów i wysokości. Wzory.

KW

AD

RA

T

Wszystkie boki kwadratu s ą równej długo ści*. Kwadrat ma dwie pary boków (przeciwległych) równoległych.

Wszystkie k ąty kwadratu s ą proste* (90°)

Przekątne są równej długości. Przekątne przecinają się pod kątem prostym. Przekątne dzielą się wzajemnie na połowy. Przekątna tworzy z kaŜdym bokiem kąt 45°.

Przekątna:

2ad = Pole:

2aP =

2

2dP =

Obwód:

aObw 4=

PR

OS

TO

KĄ

T

Prostokąt ma dwie pary boków (przeciwległych) równej długości. Prostokąt ma dwie pary boków (przeciwległych) równoległych.

Wszystkie k ąty prostok ąta są proste (90°)

Przekątne są równej długości. Przekątne dzielą się wzajemnie na połowy.

Pole: baP ⋅= Obwód:

baObw 22 += Przekątna: Obliczamy z tw. Pitagorasa.

RO

MB

Romb ma wszystkie boki s ą równej długo ści*. Romb ma dwie pary boków (przeciwległych) równoległych.

Romb ma dwie pary kątów (przeciwległych) równych. Suma miar dwóch sąsiednich kątów wynosi 180°.

Przekątne przecinają się pod kątem prostym. Przekątne dzielą się wzajemnie na połowy.

Pole:

2

feP

⋅=

haP ⋅=

Obwód:

aObw 4=

RÓ

WN

OLE

GŁO

BO

K Równoległobok ma dwie pary równoległych boków

(boki przeciwległe)*. Równoległobok ma dwie pary boków (przeciwległych) równej długości.

Równoległobok ma dwie pary kątów przeciwległych równych. Suma miar dwóch sąsiednich kątów wynosi 180°.

Przekątne dzielą się wzajemnie na połowy.

Pole:

haP ⋅=

Obwód:

baObw 22 +=

TR

AP

EZ

Trapez to czworok ąt, który ma jedn ą parę boków równoległych*.

Suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.

Przekątne dzielą się wzajemnie w tym samym stosunku.

Pole:

hba

P ⋅+=2

( ) hbaP ⋅+=21

Obwód:

dcbaObw +++=

a

a d

a

b h

a

b

c d h

podstawa

podstawa

ramię

a

b

d

a

a h

e f

17

TR

AP

EZ

R

ÓW

NO

RA

MIE

NN

Y Trapez równoramienny ma jedn ą parę boków

równoległych*. Ramiona s ą równej długo ści*.

Kąty przy podstawie są równe. Suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.

Przekątne są równej długości. Przekątne dzielą się wzajemnie w tym samym stosunku.

Pole:

hba

P ⋅+=2

( ) hbaP ⋅+=21

Obwód:

cbaObw 2++=

TR

AP

EZ

P

RO

ST

OKĄ

TN

Y

Trapez prostok ątny ma jedn ą parę boków równoległych*.

Dwa kąty przy ramieniu s ą proste*. Suma miar kątów przy jednym ramieniu wynosi 180°.

Przekątne dzielą się wzajemnie w tym samym stosunku.

Pole:

hba

P ⋅+=2

( ) hbaP ⋅+=21

Obwód:

dcbaObw +++=

DE

LTO

ID

Deltoid ma dwie pary s ąsiednich boków równych*. Deltoid ma jedną parę kątów równych. Przekątne przecinają się pod kątem prostym.

Jedna z przekątnych dzieli drugą na połowę.

Pole:

2

feP

⋅=

Obwód:

baObw 22 +=

TR

AP

EZ

OID

Trapezoid to czworok ąt, który nie ma boków równoległych.

Pole: Aby obliczyć pole naleŜy podzielić figurę na trójkąty. Obwód:

dcbaObw +++=

*UWAGA! Tłustym drukiem wyró Ŝniono warunek definicyjny. ZaleŜności mi ędzy czworok ątami: KaŜdy kwadrat jest prostokątem. KaŜdy kwadrat jest rombem. KaŜdy kwadrat jest równoległobokiem. KaŜdy kwadrat jest trapezem równoramiennym. KaŜdy kwadrat jest trapezem prostokątnym. KaŜdy prostokąt jest równoległobokiem. KaŜdy prostokąt jest trapezem prostokątnym. KaŜdy romb jest równoległobokiem. KaŜdy romb jest deltoidem. KaŜdy romb jest trapezem równoramiennym. KaŜdy równoległobok jest trapezem równoramiennym. KaŜdy kwadrat jest czworokątem wypukłym. KaŜdy prostokąt jest czworokątem wypukłym. KaŜdy romb jest czworokątem wypukłym. KaŜdy równoległobok jest czworokątem wypukłym. KaŜdy trapez jest czworokątem wypukłym. KaŜdy kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez nie są trapezoidami.

a

b

c c h

a

b

c d h h

a a

b b

e f

a

b

c

d

18

Twierdzenia zwi ązane z czworok ątem: Twierdzenie o k ątach czworok ąta: Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360° (w śród wielokątów, tylko czworokąty mają tą własność).

8. KOŁO I OKRĄG. Definicja koła: Koło o środku w punkcie S i promieniu r, to figura geometryczna płaska, będąca zbiorem wszystkich punktów, których odległość od środka koła S jest równa lub mniejsza niŜ promień. Pojęcia zwi ązane z kołem: Promie ń koła: W definicji koła – promień oznacza pewną określoną dla koła długość odcinka.

Promień jest określany równieŜ jako odcinek, którego końcami są: środek koła S oraz dowolny punkt leŜący na okręgu. Promień oznaczamy najczęściej literą r.

Okrąg: Okrąg to krzywa, będąca brzegiem koła. Jej długość to obwód koła. Okrąg o środku w punkcie S i promieniu r, to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka S jest równa promieniowi.

Cięciwa: Odcinek, którego końcami są punkty leŜące na okręgu.

Średnica koła: Odcinek „przechodzący” przez środek koła, którego końcami są punkty leŜące na okręgu. Średnica jest najdłuŜszą cięciwą. Średnicę oznaczamy najczęściej literą d.

Łuk okr ęgu: Część okręgu leŜąca między dwoma punktami.

Odcinek koła: Część koła wyznaczona przez cięciwę i odpowiadający jej łuk.

Kąt środkowy: Kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła. Kąt środkowy oparty jest zawsze na pewnym łuku.

Wycinek koła: Część koła ograniczona kątem środkowym i łukiem, na którym jest on oparty.

Kąt wpisany: Kąt, którego wierzchołek naleŜy do okręgu koła, a ramiona zawierają cięciwy tego koła. Kąt wpisany oparty jest zawsze na pewnym łuku.

α + β + γ + δ = 360 ° α

β

γ

δ

S r

19

Liczba π Liczba π (pi) jest to liczba niewymierna, która jest stosunkiem obwodu koła i jego średnicy. Inaczej mówiąc, liczba π określa, ile razy długość okręgu jest większa od długości średnicy. W przybliŜeniu liczba π jest równa:

Wzory zwi ązane z poj ęciem koła:

Średnica:

Długo ść okręgu: Pole koła:

Długo ść łuku AB: Pole wycinka ABS:

PRZYKŁAD: Oblicz pole i obwód koła, którego promień ma długość 4 cm. Korzystamy z odpowiednich wzorów:

Obwo = 2 π r = 2 · π · 4 = 8π cm ≈ 8 · 3,14 = 25,12 cm (przy czym wynik 8π cm – jest wynikiem dokładnym, natomiast 25,12 cm – to wynik przybliŜony). Po = π r

2 = π · 42 =16π cm2 ≈ 16 · 3,14 = 50,24 cm2 (przy czym wynik 16π cm2 – jest wynikiem dokładnym, natomiast 50,24 cm2 – to wynik przybliŜony).

PRZYKŁAD: Koło ma promień długości 6 cm. Kąt środkowy tego koła ma miarę 80° i jest opary na łuku AB. Oblicz

długość tego łuku oraz pole wycinka utworzonego przez ten kąt. Korzystamy z odpowiednich wzorów:

6236080

2360

⋅⋅⋅°

°=⋅°

= ππα rŁ

Po skróceniu otrzymujemy:

πππ38

432

1292 =⋅⋅=⋅= rŁ cm (wynik dokładny, zapisany w postaci działania z liczbą π)

W przybliŜeniu:

37814338

,, ≈⋅≈Ł cm

Podobnie obliczamy pole wycinka:

ππππα 83692

636080

36022 =⋅⋅=⋅⋅

°°=

°= rPw cm

2 (wynik dokładny)

W przybliŜeniu: 12251438 ,, ≈⋅≈wP cm

2

π = ______________

Długość okręgu

Długość okręgu

długość średnicy

143,≈π

S r d

rObwo π2=

rd 2=

2rPo π=

rŁ πα 23600

⋅= 20360rPw π

α ⋅=

B A

S α

20

r S

k

k

r S P

r S

k

A B

r1

S1

r2

S2

Twierdzenia o k ątach w kole:

Twierdzenie 1 Twierdzenie 2 Twierdzenie 3 Twierdzenie 1: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.

Twierdzenie 2: Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku (β = 2α).

Twierdzenie 3: Kąt wpisany oparty na półokręgu (średnicy) jest kątem prostym.

Wzajemne poło Ŝenie prostej i okr ęgu na płaszczy źnie: Na płaszczyźnie okrąg i prosta mogą być połoŜone względem siebie na trzy sposoby:

1) Prosta i okrąg są rozł ączne . Prosta k i okrąg o środku w punkcie S i promieniu r nie mają punktów wspólnych. Odległość pomiędzy prostą a środkiem okręgu jest większa niŜ długość promienia r.

2) Prosta jest styczna do okręgu. Prosta k i okrąg o środku w punkcie S i promieniu r mają jeden punkt wspólny zwany punktem styczności (P). Odległość pomiędzy prostą a środkiem okręgu jest równa długości promienia r. Twierdzenie: Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą, tworzy z nią kąt prosty.

3) Prosta sieczna względem okręgu (przecinająca okrąg). Prosta k i okrąg o środku w punkcie S i promieniu r mają dwa punkty wspólne. Odległość pomiędzy prostą a środkiem okręgu jest mniejsza niŜ długość promienia r. Prosta k tworzy w kole o środku w punkcie S i promieniu r cięciwę AB. Wzajemne poło Ŝenie dwóch okr ęgów na płaszczy źnie: Na płaszczyźnie dwa okręgi mogą być połoŜone względem siebie na sześć sposobów:

a) Dwa okręgi są rozł ączne zewn ętrznie . Dwa okręgi nie mają punktów wspólnych (punktów przecięcia). Odległość pomiędzy środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest większa niŜ suma długości promieni tych okręgów r1 + r2.

S1S2 > r1 + r2.

b) Dwa okręgi są styczne zewn ętrznie . Dwa okręgi mają jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności (P). Odległość pomiędzy środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest równa sumie długości promieni tych okręgów r1 + r2.

S1S2 = r1 + r2.

α

β

α α

r1

S1

r2

S2

P

21

c) Dwa okręgi przecinaj ą się (okręgi przecinające się). Dwa okręgi mają dwa punkty wspólne (punkty przecięcia A i B). Odległość pomiędzy środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest mniejsza niŜ suma długości promieni tych okręgów r1 + r2 i większa od róŜnicy długości tych promieni r2 – r1

r2 – r1 < S1S2 < rr + r2.

d) Dwa okręgi są wewn ętrznie zewn ętrznie . Dwa okręgi mają jeden punkt wspólny, zwany punktem styczności (P). Odległość pomiędzy środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest równa róŜnicy długości promieni tych okręgów r2 – r1

S1S2 = r2 – r1

e) Dwa okręgi są wewn ętrznie rozł ączne . Dwa okręgi nie mają punktów wspólnych (punktów przecięcia). Odległość pomiędzy środkami okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest mniejsza niŜ róŜnica długości promieni tych okręgów r2 – r1 i nie jest równa zero.

0 < S1S2 < r2 – r1

f) Dwa okręgi są współ środkowe . Dwa okręgi nie mają punktów wspólnych i ich środki pokrywają się. Odległość pomiędzy środkami tych okręgów, czyli długość odcinka S1S2 jest więc równa zero.

S1S2 = 0

9. WIELOKĄTY FOREMNE, OKRĘGI WPISANY I OPISANY. Wielok ąty foremne. Definicja wielokąta foremnego: Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, którego wszystkie boki są równej długości i wszystkie kąty mają tą samą miarę. PRZYKŁADY: Miara kąta wielokąta foremnego: Aby obliczyć, ile wynosi miara kąta wewnętrznego wielokąta foremnego naleŜy:

a) obliczyć sumę miar kątów wewnętrznych w wielokącie (patrz punkt 5. Wielok ąty). b) podzielić sumę miar kątów przez liczbę kątów w wielokącie.

Jeśli wielokąt ma n boków i n kątów, moŜna skorzystać ze wzoru:

B r2

S2

r1

S1

A

r2

S2

r1 P

S1

r2

S2

r1

S1

r2

S2 r1

S1

( )n

n o1802 ⋅−

TRÓJKĄT FOREMNY (RÓWNOBOCZNY)

CZWOROKĄT FOREMNY (KWADRAT)

PIĘCIOKĄT FOREMNY

SZEŚCIOKĄT FOREMNY

OŚMIOKĄT FOREMNY

22

Miary kątów w szczególnych wielokątach foremnych wynoszą: − w trójkącie równobocznym – 60°, − w kwadracie – 90°, − w pięciokącie foremnym – 108°, − w sześciokącie foremnym – 120°, − w siedmiokącie foremnym – około 128,6°, − w ośmiokącie foremnym – 135°, − itd…

Okrąg opisany na wielok ącie. Definicja okręgu opisanego na wielokącie: Okrąg jest opisany na wielokącie, jeŜeli wszystkie wierzchołki wielokąta naleŜą do tego okręgu. PRZYKŁADY: Istnieją wielokąty, na których nie da się opisać okręgu. Przykładami takich figur są np.: romb, równoległobok, trapez prostokątny. Okrąg opisany na trójkącie: Na kaŜdym trójkącie moŜna opisać okrąg. Środek tego okręgu to punkt przecięcia się wszystkich symetralnych boków trójkąta (przypomnienie: symetralna to prosta, która dzieli odcinek na połowy pod kątem prostym). Promień tego okręgu moŜna wyznaczyć „łącząc” środek okręgu z jednym z wierzchołków. PRZYKŁAD: Uwaga! Jeśli okrąg jest opisany na wielokącie, moŜna równieŜ powiedzieć, Ŝe wielokąt jest wpisany w okrąg.

Okrąg opisany na prostokącie

Okrąg opisany na trapezie

Okrąg opisany na sześciokącie

Okrąg opisany na ośmiokącie

To nie jest okrąg opisany na rombie, bo dwa wierzchołki rombu nie naleŜą do tego okręgu!

r symetralna

okrąg opisany

S

23

α

β

δ

γ

Okrąg wpisany w wielok ąt. Definicja okręgu wpisanego w wielokąt: Okrąg jest wpisany w wielokąt, jeŜeli jest styczny do wszystkich boków wielokąta. PRZYKŁADY: UWAGA! Istnieją wielokąty, w które nie da się wpisać okręgu. Przykładami takich figur są np.: prostokąt, równoległobok, większość trapezów. Okrąg wpisany w trójkąt: W kaŜdy trójkąt moŜna wpisać okrąg. Środek tego okręgu to punkt przecięcia się wszystkich dwusiecznych kątów trójkąta (przypomnienie: dwusieczna to półprosta, która dzieli kąt na połowy). Promień tego okręgu moŜna wyznaczyć „łącząc” środek okręgu prostopadle z jednym z boków. PRZYKŁAD: Uwaga! Jeśli okrąg jest wpisany w wielokąt, moŜna równieŜ powiedzieć, Ŝe wielokąt jest opisany na okręgu. Twierdzenia o okr ęgu opisanym na czworok ącie i okr ęgu wpisanym w czworok ąt. Twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie: Okrąg moŜna opisać na czworokącie, jeŜeli suma miar dwóch przeciwległych kątów czworokąta wynosi 180°.

α + γ = 180° β + δ = 180°

Twierdzenie o okręgu wpisanym w czworokąt: Okrąg moŜna wpisać w czworokąt, jeŜeli suma długości przeciwległych boków jest zawsze taka sama.

a + c = b + d

To nie jest okrąg wpisany w prostokąt, bo jeden bok nie jest styczny do tego okręgu!

Okrąg wpisany w kwadrat

Okrąg wpisany w romb

Okrąg wpisany w sześciokąt

Okrąg wpisany w ośmiokąt

a

c

d

b

r

dwusieczna

okrąg wpisany S

24

Okrąg wpisany i opisany na wielok ącie foremnym. Trójkąt równoboczny:

Wysokości trójkąta równobocznego, dwusieczne kątów trójkąta równobocznego, symetralne boków trójkąta równobocznego i środkowe boków trójkąta równobocznego pokrywają się ze sobą. Przecinają się one w jednym punkcie zaznaczonym na rysunku literą S. Punkt ten jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym oraz środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.

Promień okręgu opisanego, to 32

wysokości trójkąta.

Promień okręgu wpisanego, to 31

wysokości trójkąta.

Kwadrat: Środkiem okręgu opisanego na kwadracie i wpisanego w kwadrat jest punkt przecięcia się przekątnych kwadratu, zaznaczony na rysunku literą S. Promień okręgu opisanego, to połowa przekątnej kwadratu. Promień okręgu wpisanego, to połowa długości boku kwadratu.

Sześciokąt foremny:

Sześciokąt foremny ma dwa rodzaje przekątnych: dłuŜszą (na rysunku oznaczona literą D) i krótszą (na rysunku oznaczona literą d). DłuŜsza przekątna ma długość równą dwóm bokom a Wszystkie trzy dłuŜsze przekątne dzielą sześciokąt foremny na sześć trójkątów równobocznych. Wynika stąd wzór na pole sze ściok ąta foremnego: Krótsza przekątna ma długość równą dwóm wysokościom trójkąta równobocznego:

Wszystkie trzy dłuŜsze przekątne D przecinają się w jednym punkcie (na rysunku oznaczony literą S), który jest środkiem okręgu opisanego i wpisanego w sześciokąt foremny. Promienie tych okręgów to:

hR32=

hr31=

a a

a

h

R

r

S

221

21

adR ==

ar21=a

a

d

R

r S

d

D

S R

r

a

a

a

a

a

a

aD 2=

43

62a

P ⋅=

32

32 a

ad =⋅=

aR =2

3ar =

25

y

12 cm

8 cm

10. TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. TWIERDZENIE PITAGORASA. ELEMENTY TRYGONOMETRII. Twierdzenie Pitagorasa : W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej Komentarz: Twierdzenie Pitagorasa opisuje związek, który zachodzi pomiędzy bokami trójkąta prostokątnego. Dzięki twierdzeniu Pitagorasa moŜna obliczyć długość brakującego boku trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości dwóch pozostałych boków. PRZYKŁAD: Oblicz długość brakującego boku trójkąta.

Znane są długości przyprostokątnych (we wzorze oznaczone literami a i b), a wyliczyć naleŜy długość przeciwprostokątnej (we wzorze oznaczoną literą c). Podstawiamy odpowiednie wartości do wzoru a2 + b2 = c2 i rozwiązujemy powstałe w ten sposób równanie:

cmx

x

x

x

cba

10100

100

6436

86

2

2

222

222

==

=

=+

=+

=+

PRZYKŁAD: Oblicz długość brakującego boku trójkąta.

Znane są: długość przyprostokątnej i przeciwprostokątnej. Podstawiamy odpowiednie wartości do wzoru a2 + b2 = c2 i rozwiązujemy powstałe w ten sposób równanie:

cmy

y

y

y

cba

5480

80

6414464

128

2

2

222

222

==

=

−=+

=+

=+

PRZYKŁAD: Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 12 cm i 5 cm.

PoniewaŜ przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne, moŜna zastosować twierdzenie Pitagorasa dla jednego z nich:

cmd

d

d

d

cba

13

169

14425

125

2

2

222

222

=

=

=+

=+

=+

a2 + b2 = c2

przeciwprostokątna

przyprostokątna przyprostokątna

b

c

a

6 cm

8 cm

x

12 cm

5 cm d

26

PRZYKŁAD: Oblicz pole trójkąta równoramiennego o bokach długości 10 cm, 10 cm i 12 cm.

PoniewaŜ przekątna dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne, moŜna zastosować twierdzenie Pitagorasa dla jednego z nich. Jedną z przyprostokątnych jest połowa podstawy trójkąta równoramiennego, a przeciwprostokątna to ramię.

cmh

h

h

h

cba

8

64

3610036

106

2

2

222

222

=

=

−=+

=+

=+

Wzór na pole trójkąta to: 2

ahP = . Obliczamy pole trójkąta: 48

2812 =⋅=P cm2.

PRZYKŁAD: Oblicz obwód rombu, którego przekątne mają długości 24 cm i 18 cm. Jaką długość ma wysokość tego rombu?

PoniewaŜ przekątne dzielą romb na cztery trójkąty prostokątne, moŜna zastosować twierdzenie Pitagorasa dla jednego z nich. Przyprostokątne tego trójkąta to połowy przekątnych rombu.

cma

a

a

a

cba

15

225

3681144

912

2

2

222

222

=

=

−=+

=+

=+

Obwód rombu to suma długości czterech boków a. Czyli 601544 =⋅=⋅= aObw cm.

Aby obliczyć długość wysokości rombu moŜna uŜyć dwóch wzorów na pole. Z pierwszego z nich, 2

feP

⋅= , moŜna obliczyć

pole rombu: 21622418 =⋅=P cm2. Obliczoną wartość pola figury moŜna uŜyć do wyznaczenia długości wysokości

wstawiając ją do wzoru haP ⋅= :

cmh

h

h

4,14

15:216

15:15216

==

⋅=

PRZYKŁAD: Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego boki mają długości 8 cm, 4 cm, 4 cm i 4 cm.

Dwie wysokości opuszczone z wierzchołków kątów rozwartych dzielą trapez na prostokąt i dwa identyczne trójkąty prostokątne. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego (oznaczona na rysunku literą x) moŜe zostać obliczona jako połowa róŜnicy długości podstaw:

22

48 =−=x cm.

Teraz moŜna wykorzystać twierdzenie Pitagorasa, by wyliczyć długość wysokości trapezu:

cmh

h

h

h

cba

3212

12

4164

42

2

2

222

222

==

=

−=+

=+

=+

MoŜna obliczyć pole figury: 2312322

482

cmhba

P =⋅+=⋅+=

12 cm

10 cm h

10 cm

18 cm

24 cm

a

a a

a h

4 cm

8 cm x

h h

x

4 cm 4 cm

27

Interpretacja geometryczna twierdzenia Pitagorasa.

Na bokach trójkąta prostokątnego „zbudowano” kwadraty. Pole kwadratu zbudowanego na boku a wynosi P1 = a

2, Pole kwadratu zbudowanego na boku b wynosi P2 = b

2, Pole kwadratu zbudowanego na boku c wynosi P3 = c

2. W tej sytuacji twierdzenie Pitagorasa opisane wzorem a2 + b2 = c2 moŜna sformułować w sposób geometryczny: Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Komentarz: Interpretacja geometryczna twierdzenia Pitagorasa wykorzystywana jest w dowodach tego twierdzenia.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa: JeŜeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuŜszego boku, to jest to trójkąt prostokątny. Komentarz: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa słuŜy do sprawdzania, czy trójkąt jest prostokątny. PRZYKŁAD. Sprawdź, czy trójkąt o bokach długości 10 cm, 26 cm i 24 cm jest prostokątny? Sprawdzam (zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do tw. Pitagorasa), czy boki tego trójkąta spełniają równanie a2 + b2 = c2. Pamiętać naleŜy o tym, Ŝe w miejsce litery c naleŜy podstawić długość boku najdłuŜszego (czyli w zadaniu 26 cm)

676676

676576100

262410 222

222

==+=+

=+ cba

Czyli trójkąt o bokach długości 10 cm, 26 cm i 24 cm jest prostokątny, bo jego boki spełniają równanie a2 + b2 = c2. Elementy trygonometrii. Trójkąt prostokątny równoramienny (trójkąt o kątach 45°, 45°, 90°).

ZaleŜności pomiędzy bokami w trójkącie prostokątnym równoramiennym zapisane są na rysunku. Wynikają one z faktu, Ŝe trójkąt prostokątny równoramienny jest połową kwadratu (przeciwprostokątna to przekątna kwadratu).

Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°. ZaleŜności pomiędzy bokami w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° zapisane s ą na rysunku. Wynikają one z faktu, Ŝe trójkąt prostokątny o kątach 30°, 60°, 90° jest połową trójkąta równobocznego (dłuŜsza przyprostokątna to wysokość trójkąta równobocznego). Komentarz: ZaleŜności trygonometryczne słuŜą do obliczania brakujących boków trójkąta prostokątnego, gdy znane są miary jego kątów oraz długość jednego boku (rzadziej uŜywa się ich teŜ do obliczania miar kątów trójkąta).

P1

P2

P3

a

b c

a

a a 2

45°

45°

.

21

a

23a a

60°

30°

.

28

PRZYKŁAD: Oblicz długości brakujących boków trójkąta.

Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc, zgodnie ze wzorami: x = 4 cm

y = 2a = 24 cm.

PRZYKŁAD: Oblicz długości brakujących boków trójkąta.

Trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym, więc, zgodnie ze wzorami moŜna zapisać:

6 = 2a Wyznaczany teraz z tego równania niewiadomą a:

.23

226

2

6

2:26

cma

a

===

=

Wyznaczona liczba to długość boków x oraz y: x = 23 cm i y = 23 cm. PRZYKŁAD: Oblicz długości brakujących boków trójkąta.

Trójkąt jest trójkątem o kątach 30°, 60°, 90°, wi ęc, zgodnie ze wzorami moŜna zapisać: a = 10 cm

y = 21

a = 1021 ⋅ = 5 cm

x = 352

3102

3 ==a cm

PRZYKŁAD: Oblicz długości brakujących boków trójkąta. Trójkąt jest trójkątem o kątach 30°, 60°, 90°, wi ęc, zgodnie ze wzorami moŜna zapisać:

21

a = 3 cm. Wynika z tego, Ŝe:

y = a = 6 cm

x = 332

362

3 ==a cm

PRZYKŁAD: Oblicz długości brakujących boków trójkąta.

Trójkąt jest trójkątem o kątach 30°, 60°, 90°, wi ęc, zgodnie ze wzorami moŜna zapisać:

122

3 =a cm. Przekształcając to równanie moŜna wyliczyć a.

cma

a

a

383

324

3

24

3:243

2122

3

===

=

⋅=

Czyli x = cm38 , natomiast y = cma 343821

21 =⋅=

4 cm

x y

45°

45°

.

y

x

6 cm 45°

45° .

2aa

a

a21

23a a

60°

30°

.

10 cm x

y

a21

23a

a 60°

30° . x

y 3 cm

a21

23a

a 60° 30°

.

x

y 12 cm

29

Funkcje trygonometryczne: Funkcją trygonometryczną kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości dwóch boków trójkąta. Stosunek ten zaleŜy jedynie od miary kąta α, a nie zaleŜy od długości boków, czy wielkości trójkąta. W zaleŜności od wyboru pary boków, moŜna ułoŜyć sześć stosunków będących wartościami funkcji trygonometrycznych. KaŜdy z nich ma swoją osobną nazwę: Sinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (a) leŜącej na przeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej (c). Cosinusem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (b) leŜącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej (c). Tangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (a) leŜącej na przeciw tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej (b). Cotangensem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej (b) przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej (a). Secansem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przeciwprostokątnej (c) do przyprostokątnej leŜącej na przeciw tego kąta (a). UWAGA! Secans jest funkcją, której obecnie się nie uŜywa! Cosecansem kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przeciwprostokątnej (c) do przyprostokątnej przyległej do tego kąta (b). UWAGA! Cosecans jest funkcją, której obecnie się nie uŜywa!

11. FIGURY PRZYSTAJĄCE. CECHY PRZYSTAWANIA TRÓJK ĄTÓW. Figury przystaj ące. Dwie figury geometryczne są przystające, jeŜeli są identyczne. Figury przystające nie róŜnią się od siebie długościami odpowiednich boków, miarami odpowiednich kątów, obwodami, polami itd… RóŜnią się jedynie połoŜeniem na płaszczyźnie (lub w przestrzeni). Przykłady figur przystających:

− dwa kwadraty o takich samych bokach

− dwa koła o równych promieniach

− dwa trójkąty równoboczne o takich samych bokach

− dwa kąty o tych samych miarach Cechy przystawania trójk ątów. Pierwsza cecha przystawania trójkątów (BBB ): Dwa trójkąty są przystające, jeŜeli wszystkie boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom w drugim trójkącie. PRZYKŁAD:

b

c

a

α

ca=αsin b

atg =α

cb=αcos a

bctg =α

12 cm 10 cm

12 cm 6 cm

''' CBAABC ∆≡∆10 cm

6 cm

A

B C A’ B’

C’

30

Druga cecha przystawania trójkątów (BKB ): Dwa trójkąty są przystające, jeŜeli dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom w drugim trójkącie, a kąt leŜący pomiędzy tymi bokami w pierwszym trójkącie ma taką samą miarę jak odpowiedni kąt w drugim trójkącie. PRZYKŁAD: Komentarz: WaŜnym elementem cechy BKB jest uwaga, Ŝe badany kąt musi leŜeć między badanymi bokami. Nie moŜna porównać ze sobą innych kątów! Wówczas trójkąty nie muszą być przystające, co prezentuje poniŜszy rysunek. Trójkąty mają dwie pary równych boków i parę odpowiednich kątów równych, jednak nie są przystające!!! Widać bardzo wyraźnie, Ŝe dwa narysowane wyŜej trójkąty nie są przystające, chociaŜ mają dwie pary odpowiednich boków równych oraz parę równych kątów odpowiadających sobie. Jednak kąty te nie leŜą pomiędzy badanymi bokami, więc nie jest spełniona cecha BKB. Trójkąty nie są przystające, bo nie zachodzą warunki opisane w cesze BKB. Trzecia cecha przystawania trójkątów (BKB ): Dwa trójkąty są przystające, jeŜeli dwa kąty jednego trójkąta są równe odpowiednim kątom w drugim trójkącie, oraz jeden bok pierwszego trójkąta jest równy odpowiedniemu bokowi trójkąta drugiego. PRZYKŁAD:

12. FIGURY PODOBNE. Figury podobne. Dwie figury nazywamy podobnymi, jeśli nie róŜnią się kształtem i istnieje pewna liczba k, zwana skalą podobieństwa, która określa nam w sposób jednoznaczny, ile razy jedna figura jest większa od drugiej. Na rysunku zaznaczono figury podobne tym samym kolorem: Na rysunku zaprezentowano dwa prostokąty. Skala podobieństwa wynosi k = 2, bo drugi prostokąt jest dwa razy większy od pierwszego:

''' CBAABC ∆≡∆

B 8 cm

α

6 cm

A

C A’ B’

C’

6 cm 8 cm

α

B 8 cm

α

4 cm

A

C

B’ 8 cm

α

4 cm

A’

C’

''' CBAABC ∆≡∆

B 8 cm

α

A

C β

B’

8 cm

α A’ C’

β

31

Na rysunku zaprezentowano dwa trójkąty. Skala podobieństwa wynosi k = 3, bo drugi trójkąt jest trzy razy większy od pierwszego:

Na rysunku zaprezentowano dwa pięciokąty. Skala podobieństwa wynosi k = 21

,

bo drugi pięciokąt jest dwa razy mniejszy od pierwszego (jego wymiary stanowią połowę wymiarów pierwszego pięciokąta: Figury zawsze podobne. Istnieją figury geometryczne, które zawsze są podobne, niezaleŜnie od własności, np.:

− dwa kwadraty są zawsze podobne, − dwa koła są zawsze podobne, − dwa odcinki są zawsze podobne, − dwa trójkąty równoboczne są zawsze podobne, − dwa sześciokąty foremne są zawsze podobne, − dwa n – kąty foremne są zawsze podobne.

Obliczanie skali podobieństwa: Aby obliczyć skalę podobieństwa naleŜy podzielić długość dowolnego odcinka związanego z drugą figurą (np. długość boku, długość przekątnej , długość promienia itd…), przez długość odpowiedniego odcinka pierwszej figury. PRZYKŁAD. Na rysunku zaprezentowano dwa prostokąty podobne. Oblicz skalę podobieństwa. Aby obliczyć skalę, naleŜy znaleźć stosunek odpowiadających sobie boków tych figur, np.:

23

46'' ===

cmcm

AB

BAk

lub:

23

812'' ===

cmcm

BC

CBk

PRZYKŁAD. Na rysunku zaprezentowano dwa koła. Oblicz skalę podobieństwa.

Aby obliczyć skalę, naleŜy znaleźć stosunek średnic tych kół:

52

208

1

2 ===cm

cmdd

k

4 cm

6 cm 8 cm

12 cm A B

C D

C’

D’

B’

A’

d1 = 20 cm

d2 = 8 cm

32

P1 P2

Pola figur podobnych. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali. Jeśli dwie figury są podobne do siebie w skali k, to stosunek ich pól wynosi k2.

Jeśli figury na rysunku są podobne w skali k, to stosunek ich pól wynosi:

2

2

1 kP

P=

Zastosowanie pojęcia podobieństwa: Pojęcie podobieństwa ma zastosowanie w kartografii, czyli w dziale geografii zajmującym się tworzeniem map. Dzięki podobieństwu tworzy się skalę mapy. KaŜda skala mapy określa za pomocą ułamka, ile razy odległości zaznaczone na mapie są mniejsze od odległości prawdziwych mierzonych w terenie w skali rzeczywistej. PoniewaŜ odległości na mapie są znacznie mniejsze od odległości rzeczywistych skala mapy jest przewaŜnie bardzo niewielkim ułamkiem, np.:

10000001

lub 500000

1

Na mapie zapisuje się ten ułamek za pomocą symbolu działania dzielenia:

1000000:1 lub 500000:1

Podobie ństwo prostok ątów: Cecha podobieństwa prostokątów: Dwa prostokąty są podobne, jeŜeli stosunek ich boków jest taki sam. PRZYKŁAD. Sprawdź, czy prostokąty o bokach długości 4 cm i 10 cm oraz 3 cm i 7,5 cm są podobne? Nie trzeba sprawdzać istnienia skali podobieństwa. Zgodnie z cechą podobieństwa wystarczy zbadać stosunki boków kaŜdego z prostokątów. Prostokąt pierwszy: 10 cm : 4 cm = 2,5, prostokąt drugi: 7,5 cm : 3 cm = 2,5 PoniewaŜ stosunki długości boków w obu prostokątach są równe, to prostokąty są podobne. Podobie ństwo trójk ątów: Cecha podobieństwa trójkątów (KKK): Dwa trójkąty są podobne, jeŜeli jeden z nich ma takie same kąty wewnętrzne jak drugi. Trójkąty na rysunku są podobne, bo – zgodnie z cechą KKK – mają takie same kąty.

10 cm

4 cm 3 cm

7,5 cm

63°

80°

37°

37° 80°

63°

33

13. TWIERDZENIE TALESA.

Twierdzenie Talesa (wersja 1): Jeśli ramiona kąta przetniemy dwoma prostymi równoległymi, to stosunki odpowiadających sobie odcinków na obu ramionach kąta są równe. Np.:

''' BA

AB

OA

OA= lub

'' OB

OB

OA

OA= lub

''' OB

OB

BA

AB=

Przy innych oznaczeniach (gdy mamy podane długości odcinków pod postacią liter):

db

ca = lub

dcba

ca

++= lub

dcba

db

++=

Twierdzenie Talesa (wersja 2) : Jeśli ramiona kąta przetniemy dwoma prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych odcinków powstałych na jednym z ramion kąta jest równy stosunkowi odpowiadających im odcinków drugiego ramienia. Np.:

''

'

BA

OA

AB

OA= lub

'

'

OB

OA

OB

OA= lub

'

''

OB

BA

OB

AB=

Przy innych oznaczeniach (gdy mamy podane długości odcinków pod postacią liter):

dc

ba = lub

dcc

baa

+=

+ lub

dcd

bab

+=

+

Twierdzenie Talesa (wersja rozszerzona) : MoŜna poszerzyć twierdzenie Talesa do bardziej ogólnej sytuacji: Jeśli dwie proste przecinające się przetniemy prostymi równoległymi, to stosunek dowolnych dwóch odpowiadających sobie odcinków powstałych na prostych przecinających się jest stały. Komentarz: w wersji rozszerzonej zamiast ramion kąta przecinamy parę prostych nierównoległych (czyli ramiona dwóch kątów wierzchołkowych). Prostych równoległych moŜe być wiele.

hd

gc

fb

ea ===

Twierdzenie Talesa – wniosek dla odcinków na prosty ch równoległych: Jeśli ramiona kąta przetniemy dwoma prostymi równoległymi, to stosunek odcinków powstałych na prostych równoległych jest równy stosunkowi odcinków jednego ramienia, których końcami są: wierzchołek kąta i punkt przecięcia się ramienia z jedną z prostych równoległych.

OA

OB

AA

BB=

'

' lub

'

'

'

'

OA

OB

AA

BB= . Przy innych oznaczeniach moŜna zapisać:

aba

fe += lub

cdc

fe +=

l k

kIIl

A

A’

B

B’

O a

b

c

d

l k

kIIl

A

A’

B

B’

O a

b

c d

e f

nIImIIkIIla b

c d

h

e

f

g l k

m n

34

PRZYKŁAD. Oblicz długość brakującego odcinka.

Sytuacja w zadaniu spełnia załoŜenia twierdzenia Talesa. MoŜna zapisać odpowiednią proporcję, by wyliczyć długość odcinka x (zgodnie z wersją 1)

x6

5,24 =

Zgodnie z zasadą rozwiązywania proporcji moŜna zapisać:

cmx

x

x

25,3

4:154

65,24

=

=⋅=

Aby wyliczyć długość odcinka y, trzeba skorzystać z wniosku z twierdzenia Talesa, z którego wynika proporcja:

446

2+=y czyli

410

2=y

Zgodnie z zasadą rozwiązywania proporcji moŜna zapisać:

cmy

y

y

5

4:204

1024

=

=⋅=

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa: JeŜeli w wyniku przecięcia ramion kąta dwoma prostymi powstają na ramionach kąta odcinki proporcjonalne, to znaczy, Ŝe proste są równoległe. Komentarz: twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa słuŜy do sprawdzania, czy dwie proste (odcinki) są równoległe.

14. SYMETRIE.

Symetria osiowa. Symetria osiowa to przekształcenie geometryczne na płaszczyźnie (lub w przestrzeni), w którym obrazem punktu A w symetrii względem prostej k jest taki punkt A’, Ŝe odcinek AA’ jest prostopadły do prostej k, a prosta k, dzieli ten odcinek na połowy.

Dodatkowe informacje:

− Punkt A’ jest nazywany obrazem punktu A. − Symetria osiowa jest nazywana równieŜ symetri ą wzgl ędem prostej lub

(rzadziej) odbiciem lustrzanym. − Prosta k jest nazywana osi ą symetrii . − Obrazem punktu leŜącego na osi symetrii jest ten sam punkt (patrz punkty B i B’). − Symetria osiowa jest izometri ą, to znaczy, Ŝe obrazem odcinka jest odcinek o tej

samej długości. − Odległość punktu A od osi k jest taka sama jak odległość punktu A’ od tej osi.

Rysunki prezentują przykłady obrazów figur w symetrii osiowej: Oś symetrii figury. Osią symetrii figury nazywamy taką prostą, Ŝe obrazem figury w symetrii względem tej prostej jest dokładnie ta sama figura. Komentarz: osią symetrii figury moŜe być tylko taka prosta, która dzieli figurę na połowy i połowy te są symetryczne względem siebie. MoŜna wyjaśnić sobie ten fakt wyobraŜając sobie „składanie” figury niczym kartkę papieru. Osią symetrii będzie taka linia zagięcia kartki, która spowoduje Ŝe „składane” części figury nałoŜą się na siebie, wzajemnie się pokrywając.

l k

kIIl4 cm

6 cm

2,5 cm x

y 2 cm

A

A’

B B’

k

A

B

B’

k

A’

B’

A’

k

A

B C C’

35

Na rysunkach poniŜej znajdują się podstawowe figury geometryczne oraz wszystkie osie symetrii tych figur:

Symetria środkowa . Symetria środkowa to przekształcenie geometryczne na płaszczyźnie (lub w przestrzeni), w którym obrazem punktu A w symetrii względem punktu O jest taki punkt A’, Ŝe punkt O jest środkiem odcinka AA’.

Dodatkowe informacje: − Punkt A’ jest nazywany obrazem punktu A. − Symetria środkowa jest nazywana równieŜ symetri ą wzgl ędem punktu . − Punkt O jest nazywany środkiem symetrii . − Symetria środkowa jest izometri ą, to znaczy, Ŝe obrazem odcinka jest odcinek o tej

samej długości. − Odległość punktu A od punktu O jest taka sama jak odległość punktu A’ od punktu O.

Rysunki prezentują przykłady obrazów figur w symetrii środkowej: Środek symetrii figury. Środkiem symetrii figury nazywamy taki punkt, Ŝe obrazem figury w symetrii względem tego punktu jest dokładnie ta sama figura. Komentarz: środkiem symetrii figury moŜe być środek tej figury. Jeśli figura ograniczona nie posiada wyraźnego środka, to nie ma teŜ środka symetrii. Trzeba uwaŜać, bo niejednokrotnie środek figury nie jest równocześnie środkiem symetrii. UWAGA! śaden wielokąt o nieparzystej liczbie boków nie posiada środka symetrii (np. trójkąt)! Wielokąt moŜe mieć tylko jeden środek symetrii. Tylko figury nieograniczone mogą mieć więcej niŜ jeden środek symetrii (np. prosta czy płaszczyzna ma ich nieskończenie wiele) Na rysunkach poniŜej znajdują się podstawowe figury geometryczne oraz wszystkie osie symetrii tych figur (punkt O):

BRAK OSI

Trapez równoramienny

Trapez

Pięciokąt foremny

Sześciokąt foremny

Ośmiokąt foremny

Koło

Trójkąt równoboczny

Trójkąt róŜnoboczny

Trójkąt równoramienny

Kwadrat Prostokąt Równoległobok Romb

BRAK OSI

BRAK OSI

3 osie 1 oś

4 osie 2 osie 2 osie

1 oś 5 osi 6 osi 8 osi

nieskończenie wiele osi

A

A’

O

BRAK ŚRODKA

Trapez równoramienny

Trapez

Pięciokąt foremny

Sześciokąt foremny

Ośmiokąt foremny

Koło

Trójkąt równoboczny

Trójkąt róŜnoboczny

Trójkąt równoramienny

Kwadrat Prostokąt Równoległobok Romb

BRAK ŚRODKA

BRAK ŚRODKA

BRAK ŚRODKA

O O O O O

BRAK ŚRODKA

BRAK ŚRODKA

O O O

A

A’

B

B’

C

C’

D D’ O

A’

A’ B’ A

B C

C’

O

A

B

B’ O

36

Symetralna odcinka . Symetralna odcinka to prosta, która dzieli odcinek na połowy pod kątem prostym. Własności symetralnej:

− Symetralna odcinka jest jedną z jego osi symetrii (druga to prosta zawierająca odcinek).

− KaŜdy punkt symetralnej odcinka AB ma ta własność, Ŝe odległość od tego punktu od punktu A (czyli jednego końca odcinka) jest taka sama jak odległość tego punktu od punktu B (drugiego końca odcinka). MoŜna powiedzieć, Ŝe symetralna odcinka to zbiór wszystkich punktów, których odległość od końców odcinka jest taka sama.

Dwusieczna k ąta. Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli kąt na dwie równe części (kąty przystające). Własności dwusiecznej:

− Prosta zawierająca dwusieczną kąta jest jedyną osią symetrii kąta. − KaŜdy punkt dwusiecznej kąta ma ta własność, Ŝe odległość od tego punktu od jednego z ramion kąta jest taka sama

jak odległość tego punktu od drugiego ramienia kąta.

15. GEOMETRIA W UKŁADZIE WSPÓŁRZ ĘDNYCH. Kartezja ński układ współrz ędnych na płaszczy źnie. Kartezjański układ współrzędnych na płaszczyźnie to dwie prostopadłe osie liczbowe, przecinające się w punkcie zero.

Układ współrzędnych słuŜy do określania połoŜenia punktów na płaszczyźnie. KaŜdy punkt moŜe zostać zlokalizowany dzięki określeniu dla niego dwóch współrzędnych:

− pierwsza współrzędna, to liczba odczytana na osi x – liczba znajdująca się poniŜej lub powyŜej punktu na osi x – w przypadku punktu A jest to liczba 4.

− druga współrzędna, to liczba odczytana na osi y – liczba znajdująca się z prawej lub z lewej punktu na osi y – w przypadku punktu A jest to liczba 5. Punkt A ma dwie współrzędne 4 i 5. Zapisujemy je w następujący sposób: A = (4 , 5) lub: A (4 , 5)

Oś x układu współrzędnych nazywana jest osią odciętych. Oś y układu współrzędnych nazywana jest osią rzędnych. Pierwsza współrzędna punktu, odczytywana na osi x, nazywana jest odciętą. Druga współrzędna punktu, odczytywana na osi y, nazywana jest rzędną. Osie układu współrzędnych dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki. Ponumerowane są one tak jak na rysunku. MoŜna określić następujące własności współrzędnych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych:

− w pierwszej ćwiartce obie współrzędne punktów są dodatnie, − w drugiej ćwiartce pierwsza współrzędna punktu jest ujemna, a druga dodatnia, − w trzeciej ćwiartce obie współrzędne punktów są ujemne, − w trzeciej ćwiartce pierwsza współrzędna punktu jest dodatnia, a druga ujemna.

Symetralna odcinka AB

A B

Dwusieczna kąta

37

Długo ść odcinka w układzie współrz ędnych. Aby znaleźć długość odcinka w układzie współrzędnych, konieczna jest znajomość współrzędnych końców tego odcinka. MoŜliwe są dwie sytuacje:

a) Odcinek jest równoległy do osi x lub osi y. Wówczas jego długość obliczamy jako róŜnice odpowiednich współrzędnych.

PRZYKŁAD. Odcinek AB ma końce w punktach A = ( -2, 4) i B = (-2, -5). Oblicz długość odcinka. Zaznaczamy odcinek w układzie współrzędnych. Odcinek jest równoległy do osi y, więc jego długość moŜna obliczyć odejmując od siebie drugie współrzędne punktu: 4 – ( – 5) = 4 + 5 = 9 Odcinek AB ma długość 9 jednostek. W obliczaniu odcinka AB moŜna posłuŜyć się bezpośrednio rysunkiem w układzie współrzędnych i policzyć „kratki jednostkowe” z góry w dół.

b) Odcinek nie jest równoległy do Ŝadnej z osi. Wówczas jego długość obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa. PRZYKŁAD. Odcinek AB ma końce w punktach A = ( -3, -1) i B = (5, 5). Oblicz długość odcinka.

Zaznaczamy odcinek w układzie współrzędnych. Zaznaczamy w układzie trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest odcinek AB, a przyprostokątne są równoległe do osi x i do osi y. Obliczamy długość odcinka korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

10

100

6436

86

2

2

222

222

=

=

+=

=+

=+

c

c

c

c

cba

Odcinek AB ma długość: IABI = 10 jednostek

Obliczanie pola wielok ąta w układzie współrz ędnych. Aby obliczyć pole wielokąta w układzie współrzędnych konieczna jest znajomość współrzędnych jego wierzchołków. MoŜna wówczas obliczyć pole tego wielokąta „zamykając” go w prostokąt o bokach równoległych do osi układu współrzędnych. Następnie obliczamy pole tego prostokąta i odejmujemy od niego pola odpowiednich trójkątów.

PRZYKŁAD. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach A = (-5, -4), B = (3, -1), C = (-1, 6). Zaznaczamy trójkąt w układzie współrzędnych. „Zamykamy” trójkąt w prostokąt. Aby obliczyć pole trójkąta ABC naleŜy od pola prostokąta odjąć pola trójkątów P1, P2 i P3. P = ab = 9 · 8 = 72 jednostki kwadratowe,

P1 = 2

ah= 12

264 =⋅ jednostek kwadratowych,

P2 = 2

ah= 18

294 =⋅ jednostek kwadratowych,

P2 = 2

ah= 12

238 =⋅ jednostek kwadratowych.

Pole trójkąta ABC wynosi: P = 72 – (12 + 18 + 12) = 72 – 42 = 30 j2

38

Symetrie w układzie współrz ędnych. Symetria względem osi x: Jeśli obrazem punktu A w symetrii względem osi x jest punkt A’, to punkty A i A’ róŜnią się jedynie znakiem drugiej współrzędnej. MoŜna zapisać to symbolicznie jako: ( )( ) ( )yxyxSox −= ,, . Oznacza to, Ŝe obrazem punktu o współrzędnych (x, y) w symetrii względem osi x (Sox) jest punkt (x, -y).

PRZYKŁAD. Znajdź obraz trójkąta ABC w symetrii względem osi x, wiedząc Ŝe wierzchołki trójkąta mają współrzędne A = (-6, -2), B = (3, 4), C = (-1, 6). Podaj współrzędne wierzchołków obrazu. Rysujemy trójkąt ABC w układzie współrzędnych. Przekształcamy wierzchołki w symetrii osiowej względem osi x. Zgodnie z zasadą drugie współrzędne wierzchołków obrazu będą mieć przeciwne znaki w porównaniu ze współrzędnymi wierzchołków trójkąta ABC: A’ = (-6, 2) B’ = ( 3, -4) C’ = (-1, -6)

Symetria względem osi y: Jeśli obrazem punktu A w symetrii względem osi y jest punkt A’, to punkty A i A’ róŜnią się jedynie znakiem pierwszej współrzędnej. MoŜna zapisać to symbolicznie jako: ( )( ) ( )yxyxSoy ,, −= . Oznacza to, Ŝe obrazem punktu o wspó�