Fraktale

Michał NowakowskiDariusz CieślickiWojciech Maciejewski

Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy) - w znaczeniu

potocznym oznacza:

• Obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne

do całości)

• Obiekt "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale

nawet w wielokrotnym powiększeniu).

A w znaczeniu encyklopedycznym oznacza obiekt, dla którego

wymiar fraktalny (Hausdorffa-Besicovitcha) jest większy od

wymiaru topologicznego.

Samopodobieństwo Fraktali - Romanesco

Kształt podobny do kształtu całej figury

Obiekt nieskończenie subtelny – Trójkąt Sierpińskiego

Fraktal ukazuje detale w nieskończonym powiększeniu

Rodzaje Fraktali

• Zbiór Cantora• Fraktale Sierpińskiego• Trójkąt Sierpińskiego• Dywan Sierpińskiego

• Krzywa Kocha • Zbiory Julii• Zbiory Mandelbrota

Zbiór Cantora

Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka

jednostkowego [0,1]. Konstrukcja zbioru Cantora jest bardzo

prosta: Odcinek dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy

środkowy. Postępujemy tak z każdym z pozostałych dwóch

odcinków w nieskończoność. Wraz z kolejnymi krokami liczba

odcinków rośnie w nieskończoność, a ich długość dąży do zera.

Zbiór Cantora został opracowany w 1883 roku, przez niemieckiego

matematyka Georga Cantora. Zbiór ten był odkryty w 1875 przez Henry'ego Smitha.

Zbiór Cantora jest najprostszym przykładem fraktala.

Zbiór Cantora – poszczególne iteracje

Fraktale Sierpińskiego

Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora.

Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława

Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie,

jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich

czasów.

Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego

Trójkąt Sierpińskiego otrzymuje się następująco: w trójkącie

równobocznym łączy się środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery

mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwa się, a wobec trzech pozostałych

trójkątów operację się powtarza, dzieląc każdy z nich na cztery mniejsze

trójkąty, usuwając środkowy, a wobec pozostałych czynności się powtarzają.

Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji

tworzą trójkąt Sierpińskiego

Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego

Fraktale Sierpińskiego – Trójkąt Sierpińskiego w pięciu iteracjach

Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego

Struktura taka powstaje w następujący sposób:

dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego

wnętrze (część środkowego). To samo robimy z

pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym kroku

- z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema

kwadratami itd.

Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego

Fraktale Sierpińskiego – Dywan Sierpińskiego w pięciu iteracjach

Krzywa Kocha

Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego

matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech

odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha.

Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na

tzw. inicjatorze . Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej

części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i

usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora.

Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy

części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.

Krzywa Kocha – pięć iteracji powstawania

Krzywa Kocha – cztery iteracje powstawania płatka śniegu

Zbiory Julii

Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń

iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn2+C, gdzie Z przebiega po liczbach

zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru.

Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach

iteracji otrzymamy:

krok 0: Zn

krok 1: Zn 2 + C

krok 2: (Zn 2 +C)2 + C

krok 3: ((Zn 2 +C)2 + C)2+C

krok 4: (((Zn 2 +C)2 + C)2+C)2+C

Zbiory Julii

Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać

ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze

środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki,

dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego

elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu

przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów.

Zbiory Julii – zbiór c=-0.7-0.3*i

Jest to przykład zbioru nieograniczonego

Zbiory Julii – zbiór c=0.32-0.052*i

Jest to przykład zbioru ograniczonego

Zbiory Julii – zbiór c=-0.86-0.22*i

Jest to przykład zbioru ograniczonego

Zbiór Mandelbrota

Benoit Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór

Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej.

Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko

obiegły cały świat.

Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie

samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbioru Julii. Ponadto matematycy

udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących

tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia.

Zbiór Mandelbrota

Zbiór Mandelbrota – podobieństwo do zbioru julii

Wymiar Fraktalny

Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk

fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a

dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka różnych

definicji wymiaru:

• wymiar samopodobieństwa

• wymiar pudełkowy

• wymiar cyrklowy

• I wiele, wiele innych…

Wymiar Samopodobieństwa

Dla obiektów które są samopodobne (to znaczy cały obiekt jest podobny do swojej właściwej części w pewnej skali) wymiar fraktalny przyjmuje szczególnie prostą postać:

• Niech a będzie oznaczało liczbę mniejszych części z których zbudowany jest obiekt.

• Niech s oznacza skalę podobieństwa obiektu ze swoimi mniejszymi częściami.

Wymiar Cyrklowy

Zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest

jako:

Gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu

logarytmów, który wykazuje zależność całkowitej mierzonej

długości u od wzrostu dokładności pomiaru , gdzie s to jednostka

rozstawienia cyrkla. Zależność ta przedstawia się wzorem:

Wymiar Pudełkowy

Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu

zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w

przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i zwyczajnie

zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego obiektu.

Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od długości boku

pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako N1(ε). W kolejnych

krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym samym nowe wyniki

N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres określony zależnością:

IFS – System iterowania funkcji

IFS – mechanizm pozwalający za pomocą kilku parametrów (przesunięcie, obrót,

skalowanie) i prostych operacji geometrycznych, tworzyć skomplikowane kształty

fraktali.

Jak to działa?

• Ustalamy pewien obraz początkowy oraz parametry przekształcenia.

• Obraz jest powielany, oraz deformowany zgodnie z zadanymi parametrami i

zastępowany powstałym po przekształceniu zestawem obrazów.

• Dla każdego z nowo powstałych obrazów, aplikowane jest to samo przekształcenie.

IFS – Paproć Barnsleya

IFS – Drzewo, przykład iteracji w modelowaniu 3D

IFS – Choinka, przykład iteracji w modelowaniu 3D

Zastosowanie Fraktali

• Informatyka – grafika komputerowa – generowanie sztucznych krajobrazów i roślin

• Biologia - Zastosowanie do klasyfikacji roślin (wymiary fraktalne liści)

• Informatyka - Zastosowania w analizie tekstur, dekompozycja obrazu na podstawie

lokalnego wymiaru fraktalnego

• Informatyka - Kompresja fraktalna obrazu (znajdowanie IFS dla zadanego

prototypu)

• Psychologia – Generowanie obrazów nie powodujących żadnych skojarzeń

• Biologia - Wyznaczania zmienności bicia serca na podstawie fraktalnej analizy

zapisu EKG.

Macie jakieś pytania?