Wyższa Szkoła Zawodowa ŁKO w Łodzi

Nazwa przedmiotu: Fizyka w chemiiKonspekt przedmiotu cz.4

ĆWICZENIA LABORATORYJNE4.1 PROCEDURA

wykonywania i zaliczania ćwiczeń laboratoryjnych

Zajęcia laboratoryjne z fizyki polegają na samodzielnym przeprowadzeniu i opracowaniu pewnej liczby doświadczeń. Celem tych zajęć jest nabycie przez /rozwinięcie u/ studentów umiejętności pomiaru i określania /obliczania/ wielkości fizycznych występujących w danym doświadczeniu. Nacisk jest położony na zrozumienie zjawiska, zrozumienie metody pomiaru, poprawność wykonywania pomiarów i opracowania wyników. Niektóre doświadczenia są przeprowadzane w zespołach kilkuosobowych; ma to na celu rozwinięcie umiejętności/zdolności pracy zespołowej. Każde doświadczenie musi kończyć się pisemnym opracowaniem – sprawozdaniem składanym przez każdego studenta indywidualnie, nawet gdy doświadczenie było wykonywane grupowo. Każdy student otrzymuje „przydział’ doświadczeń do wykonania z wyprzedzeniem. Na zajęcia laboratoryjne student przychodzi przygotowany. Przygotowanie polega na znajomości celu doświadczenia, definicji wielkości mierzonej /mierzonych/, jednostek w jakich się je mierzy i zasady pomiaru. Formalnym sprawdzianem przygotowania jest pisemne opracowanie dwóch pierwszych punktów sprawozdania - ,,teoria’ i zasada pomiaru. Student nie przygotowany do zajęć może być nie dopuszczony do wykonywania doświadczenia. Przed przystąpieniem do wykonywania pomiarów studenci muszą zademonstrować układ pomiarowy prowadzącemu zajęcia i uzyskać jego zgodę na przeprowadzenie pomiarów. Student odpowiada za uszkodzenia przyrządów pomiarowych wynikłe z jego winy. Pomiary wykonane w trakcie zajęć winny być zapisane w Zeszycie pomiarowym lub na arkuszu Sprawozdania i potwierdzone przez prowadzącego. Prowadzenie Zeszytu /brudnopisu/ pomiarowego przez studentów jest wymogiem dobrej praktyki laboratoryjnej i jest zaleceniem a nie wymogiem. Sprawozdanie powinno zawierać pewne stałe punkty zgodne z załączonym wzorem. Wymagane jest aby dwa pierwsze punkty sprawozdania / Krótki wstęp teoretyczny i Zasada pomiaru/ były napisane przed przystąpieniem do wykonywania doświadczenia. W czasie zajęć na pracowni studenci budują zestaw pomiarowy i wykonują pomiary – pozostałą część Sprawozdania opracowują w domu. Po wykonaniu obliczeń, analizie /rachunku/ błędów i podaniu ostatecznego wyniku /konkluzji/ Sprawozdanie należy oddać prowadzącemu zajęcia w ciągu dwóch tygodni (studia stacj.) lub jednego miesiąca (studia niestacj.) od daty wykonania pomiarów. Do każdego doświadczenia dołączony jest zestaw kilku zadań rachunkowych związanych tematycznie z wykonywanym doświadczeniem. Ich rozwiązywanie jest zalecane przed przystąpieniem do wykonywania doświadczenia jako element przygotowania do Pracowni. Poprawnie rozwiązane zadania dołączone do sprawozdania są uwzględniane w ocenie końcowej. Każde Sprawozdanie jest oceniane na ocenę za kompletność i poprawność opisu, analizę błędów i zapis wyniku ostatecznego oraz za Zadania teoretyczne. Zaliczenie Ćwiczeń laboratoryjnych z fizyki polega na uzyskaniu pozytywnych ocen ze Sprawozdań z więcej niż połowy wyznaczonych do wykonania doświadczeń (szczegóły patrz Karta Przedmiotu).

WzórWSZ ŁKO Pracownia fizyczna

SPRAWOZDANIE Ocena …… …………..

Imię Nazwisko ……………………………….

Kierunek/Specjalność : CHEMIA rok I/ ……………………….

Studia (podkreśl właściwe) :- stacjonarne - niestacjonarne, grupa : ………….

Numer i Temat doświadczenia: ………………………………………

Data wykonania doświadczenia: ……………………………………………... Tabele pomiarów wykonanych w Pracowni.-------------------------------------------------------------------------------------------------Sprawozdanie winno zawierać następujące punkty: 1. Wstęp teoretyczny (krótki! Ma zawierać: definicje wielkości mierzonych, jednostki w jakich się je mierzy, podstawowe wzory, ….) 2. Zasada/metoda pomiaru (z jakich definicji bądź wzorów korzystamy, jakie pomiary bądź czynności i w jakiej kolejności wykonujemy, .) 3. Pomiary (wyniki pomiarów w postaci tabel lub stwierdzeń (x wynosi …., y wynosi…) wraz z jednostkami! i dokładnością odczytu…) Pomiary zamieszczamy na stronie tytułowej! 4. Analiza wyników i rachunek błędów ( tu winny się znaleźć wszystkie obliczenia i dyskusje błędów/dokładności pomiarów, uzasadnienie metody szacowania błędu, etc) 5. Konkluzja ( Tu podajemy ostateczne wyniki, porównanie wyników z wartościami tablicowymi (jeśli takowe są) lub z teorią i ewentualnie uzasadniamy możliwe przyczyny rozbieżności, dokładność metody, etc) .

6.Rozwiązania zadań dołączonych do ćwiczenia.

4.2 Wykaz doświadczeń w Pracowni Fizycznej WSZ ŁKO

0. Wprowadzenie do zajęć laboratoryjnych z fizyki – wstęp.Opracowanie (dostarczonych) wyników pomiarów – średnia, błąd średni kwadratowy, metoda najmniejszych kwadratów.

1. Pomiar współczynnika sprężystości sprężyny.

2. Badanie prostego ruchu harmonicznego masy podwieszonej na sprężynie – sprawdzanie wzoru ω = √k/m

3. Pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego 4. Pomiar współczynnika tarcia ciał stałych

5. Pomiar współczynnika lepkości cieczy – wzór Stokes'a

6. Pomiar oporu elektrycznego – sprawdzanie prawa Ohma 7. Sprawdzanie praw Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych 8. Pomiar współczynnika załamania szkła i wody

9. Wyznaczanie ogniskowych soczewek

10. Mostek oporowy Wheatstone’a

11. Pomiar wilgotności względnej powietrza psychrometrem aspiracyjnym 12. Fale. Siatka dyfrakcyjna – pomiar długości fali światła 13. Pomiar gęstości ciał stałych i cieczy

LiteraturaW uzupełnieniu Instrukcji do poszczególnych doświadczeń pomocne mogą być podręczniki do wykładów oraz następujące podręczniki akademickie do ćwiczeń laboratoryjnych:1. J.Sielanko, M.Sowa, Ćwiczenia i eksperymenty z fizyki, Wyd. UMCS Lublin,20042. T. Dryński (Red.), Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, PWN 19783. A. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, 19984, J. Terlecki (Red.), Ćwiczenia laboratoryjne z biofizyki i fizyki, PZWL, 20043. A.Bielski, R.Ciuryło, Podstawy metod opracowania pomiarów, WN-T, 2004.

4.3 Instrukcje do poszczególnych ćwiczeń Ćwiczenie nr. 0

Wprowadzenie do zajęć laboratoryjnych z fizyki – Opracowanie wyników i rachunek błędówPAMIĘTAJ! NIE ZNASZ DOKŁADNEJ WARTOŚCI WIELKOŚCI MIERZONEJ. POWINIENEŚ UMIEĆ OSZACOWAĆ GRANICE W KTÓRYCH MIEŚCI SIĘ MIERZONA WIELKOŚĆ .

1. Jednostki wielkości fizycznych – układ SI2. Przedstawianie wyników pomiarów – tabele, wykresy (skala, punkty pomiarowe z

błędem, +/- …)3. Błędy pomiarów: - systematyczne

- przypadkowe - grube - bezwzględne i względne -dokładność i klasa mierników

4. Obliczanie/szacowanie błędu średniego wielkości mierzonej bezpośrednio – wartość średnia, średni błąd kwadratowy pojedynczego pomiaru i błąd średniej arytmetycznej.Niektóre własności rozkładu Gaussa – odchylenie standardowe i poziom ufności.

5. Obliczanie/szacowanie błędu wielkości mierzonej pośrednio - obliczanie gdy znamy dokładność pomiaru wielkości składowych na podstawie dokładności (klasy) wskazań przyrządów pomiarowych - obliczanie gdy wielkości składowe mierzymy bezpośrednio w serii pomiarów

6. Metoda najmniejszych kwadratów znajdowania nachylenia (współczynnika kierunkowego) prostej.

Przykład 1. Długość nitki wahadła mierzono linijką z centymetrową podziałką i uzyskano następujące wyniki w cm: 114, 115, 113, 115, 116, 117, 115, 114, 113, 117. Jaka jest długość nitki i jaki błąd pomiaru jej długości..

Przykład 2. Dla wyznaczenia objętości walca zmierzono 10-cio-krotnie średnicę i wysokość walca. Średnia arytmetyczna pomiarów średnicy wynosi 7,76 mm z błędem średniej wynoszącym 0,0221 mm. Średnia arytmetyczna pomiarów wysokości wyniosła 62,33mm z błędem średniej 0,0213mm. Jaka jest objętość walca? Porównaj otrzymany wynik z wynikiem otrzymanym przy założeniu, że pomiary wykonano suwmiarką z noniuszem o dokładności 0,1mm a średnica wynosi 7,8mm zaś wysokość 62,3mm.

Przykład 3. Wartość oporu/rezystancji/ pewnego opornika wyznaczano przy użyciu źródła napięcia o zmiennej wartości oraz amperomierza ( I) i woltomierza (U) włączonych w/g schematu jak na rysunku obok. Zmieniając napięcie zasilania otrzymano następującą serię wyników {U;I} [U w woltach V; I w amperach A]: {1;1}, {2;1,5}, {3;3,5}, {4;3}, {5;4,5}, {6;6},{7;6,5}. Wyznacz wartość oporu i dokładność pomiaru oporu opornika trzema sposobami: a) jako średnią arytmetyczną, b) jako wartość wielkości złożonej z ∆I = 0,5A, ∆U = 0,5V, c) metodą najmniejszych kwadratów. Jaka jest wartość oporu tego opornika? Czy spełnione jest prawo Ohma?

Ćwiczenie nr 0, cd. Średnia, błąd średni kwadratowy, metoda najmniejszych kwadratów.Zadanie 1. Zmierzono pojemność elektryczną 20 kondensatorów z płytkami tytanianu baru użytymi jako dielektryk i uzyskano następujące wyniki w jednostkach nazywanych nanofarad nF = 10-9F ( o faradach i o pojemności elektrycznej będzie mowa na wykładach nieco później): 11.0, 9.2, 9.9, 12.0, 8.0, 8.7, 7.1, 11.8, 11.7, 10.3,11.2, 8.1, 9.5, 11.5, 11.6, 9.7 10.2, 11.4, 8.6, 10.0.a) Jaka jest średnia pojemność i b) błąd średni kwadratowy pomiaru pojemności. c) Narysować histogram pomiarów ( przyjmij szerokość przedziału 1 nF).Zadanie 2. Wartość oporu elektrycznego (R ;w jednostkach zwanych 1om ozn. 1Ω) pewnego opornika (rezystora) zmierzono przy pomocy woltomierza mierzącego napięcie na rezystorze (U w woltach (V)) i amperomierza mierzącego natężenie prądu płynącego przez rezystor (I w amperach (A)) - schematy poniżej. Wskazania mierników z wartością oporu wiąże prawo OHMA : U = RI . Dokładność wskazań/odczytu/ przyrządów wynosi: przy pomiarze natężenia prądu ∆I = 0.2A, przy pomiarze napięcia ∆U = 0,5V. Otrzymano następujące wyniki pomiarowe: [ pierwsza liczba – natężenie prądu I w amperach ; druga liczba napięcie U w woltach} : [ 1.1; 5.0], [2.0; 10.1], [3.2; 15.5], [4.0; 20.5], [5.2; 27.1], [6.0; 31.0], [7.1; 37.2]. W oparciu o te pomiary:1) Wykonaj wykres U od I wskazań przyrządów z zaznaczeniem dokładności odczytów ∆U, ∆I,2) Oblicz wartość oporu Ri z każdego z pomiarów a następnie ich średnią arytmetyczną Rśr i średni błąd kwadratowy σ. 3) Wyznacz opór Rnk metodą najmniejszych kwadratów, zakładając, że pomiary spełniają prawo Ohma, tzn. U=RI. 4) Na wykresie pomiarów narysuj dwie proste U od I jedną o nachyleniu ( współczynniku kierunkowym) Rśr a drugą o nachyleniu Rnk i porównaj oraz skomentuj ich zgodność z pomiarami.Zadanie 3. W pewnym doświadczeniu mierzono 18 razy wielkość X o nieznanej wartości i otrzymano następujące wartości tej wielkości (w odpowiednich jednostkach tej wielkości):1,2; 2,2; 2,6;; 3,1; 3,3; 3,8; 4,1; 4,2; 4,4; 4,6; 4,8; 5,1; 5,4; 5,6; 5,9; 6,1; 6,7; 7,2 .a) Narysuj histogram rozkładu wielkości Xb) Znajdź wartość średnią wielkości X i jej średni błąd kwadratowyc) Zapisz ostateczny wynikZadanie4. Mierzono pewną wielkość Y, z dokładnością ΔY = 1 (w ustalonych jednostkach wielkości Y), o której wiadomo że jest funkcją Y(x) innej wielkości x, mierzonej z dokładnością Δx = 0,5 (w jednostkach wielkości x). Z teorii oczekujemy, że Y jest wprost proporcjonalne do x. Wykonano 6 pomiarów i otrzymano następujące wyniki:x 1 2 3 4 5 6y 1,5 2,5 3 4,7 5,8 6,5 a) Przedstaw wyniki pomiarów na wykresie b) Znajdź nachylenie a prostej Y = ax ( a nazywa się też współczynnikiem kierunkowym prostej) najlepiej oddające liniową zależność Y od x. Oblicz a metodą najmniejszych kwadratów . c) Mając obliczone nachylenie a prostej Y = ax wykreśl tę prostą na wykresie pomiarów.d) Potraktuj każdy pomiarów x i Y jako sześć niezależnych pomiarów i policz sześć wartości nachylenia ai = Yi/xi . Następnie oblicz średnią (algebraiczną ) wartość nachylenia aśr i porównaj z wartością otrzymaną metodą najmniejszych kwadratów rysując (na tym samym wykresie) prostą Y = aśrx. Która metoda obliczania nachylenia jest dokładniejsza?

Ćwiczenie nr 1Temat: Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyny. 1. Wstęp Gdy swobodny koniec sprężyny lub dowolnej elastycznej nici (linki, drutu, gumy) umocowanej jednym końcem do statywu obciążymy ciężarkiem o masie m, to jak pokazuje eksperyment sprężyna ulegnie wydłużeniu. [Równowaga statyczna będzie (czyli wydłużenie ustali się) po pewnej liczbie oscylacji/drgań wokół położenia równowagi.] Jeśli obciążenie nie jest zbyt wielkie (tzn nie zostanie przekroczona tzw granica sprężystości, por. Rys. 1) , to wydłużenie (Δl), czyli przyrost długości sprężyny, jest wprost proporcjonalne do ciężaru/wagi (P=mg) ciężarka. W położeniu równowagi, gdy ciężarek jest nieruchomy, jego ciężar P jest równoważony przez (przeciwnie skierowaną) siłę T wywieraną na ciężarek przez sprężynę, którą nazywamy napięciem albo naprężeniem sprężyny. Zatem, T = k Δl. Współczynnik proporcjonalności k, stały dla danej sprężyny ( zależny od materiału oraz geometrii (promienia i skoku nawinięcia) sprężyny) nazywamy współczynnikiem sprężystości sprężyny. Jednostką k w układzie SI jest N/m. Celem doświadczenia jest wyznaczenie wartości k dla konkretnej sprężyny. Gdy wykonamy wykres wydłużenia ciała Δl od wartości siły obciążającej P, to otrzymamy wykres jakościowo przedstawiony na Rys.1

Rys. 1.1 Początkowa część wykresu (odcinek OA) jest linią prostą przechodzącą w krzywą (ABZ) rosnącą początkowo powoli a potem bardzo gwałtownie. W punkcie Z, przy obciążeniu Pgr, następuje rozerwanie ciała (,,wyprostowanie” sprężyny). Punkt A nazywa się granicą proporcjonalności. Gdy obciążenie/wydłużenie jest mniejsze niż to odpowiadające punktowi B, to po usunięciu obciążenia ciało wraca do początkowej długości (wydłużenie Δl=0). Punkt

B nazywa się granicą elastyczności. Przy obciążeniach/wydłużeniach większych niż te odpowiadające punktowi B po usunięciu obciążenia ciało nie wraca do początkowej długości a dodatkowo pozostają w ciele naprężenia wewnętrzne – odkształ- cenie jest nieodwracalne i bywa nazywane deformacją plastyczną. Dla prostoliniowego odcinka (OA) wykresu obowiązuje prawo Hooke’a: wydłużenie ciała ∆l jest proporcjonalne do przyłożonej siły napinającej (obciążenia, naprężenia) P : ∆l ~ P. 2. Zasada pomiaru Zgodnie z 3-cią zasadą dynamiki ciężar P odważnika jest równy sile napinającej sprężyną T proporcjonalnej do wydłużenia sprężyny (Rys1.2): P = Tgdzie P = mg , zaś T = k(Δl), zatem k = mg/(Δl) (1).Znając masę ciężarka m, przyśpieszenie ziemskie g oraz mierząc wydłużenie Δl obliczamy współczynnik sprężystości k danej sprężyny ze wzoru (1).

3. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się z: sprężyn(y), zestawu odważników, linijki, statywu. Dostarczoną sprężynę należy umocować jednym końcem do statywu. Zmierzyć długość l0 swobodnie wiszącej sprężyny – od pierwszego do ostatniego zwoju. Obciążać sprężynę kolejnymi odważnikami mi, których masy są podane przez producenta, zmierzyć długość li rozciągniętej sprężyny i obliczyć (Δl)i = li – l0. Pomiar powtórzyć dla co najmniej pięciu rosnących wartości mas. Aby być pewnym, że nie została przekroczona granica proporcjonalności należy zmierzyć długość sprężyny swobodnej przy każdej zmianie ciężarka, powinna ona być zawsze równa długości początkowej l0. Dla obliczenia ciężaru odważników przyjąć wartość przyśpieszenia ziemskiego g = 9,81m/s2. Pomiary zebrać w Tabeli pomiarów:

TABELALp (i) l0 (cm) mi(g) Pi=Ti (N) l i(cm) (∆l)i (m) k i (N/m)1.2.3.

4. Analiza wyników i rachunek błędów Analizę wyników, wartość współczynnika sprężystości sprężyny oraz błąd wyznaczyć dwoma metodami (por. ćwiczenie 0): 1) Obliczyć średnią arytmetyczną i błąd średni kwadratowy wartości średniej k. Obliczenia zamieść w tabeli.

2) Wykonać wykres punktów pomiarowych we współrzędnych: oś pionowa – wartości obciążenia/naprężenia P=T ; oś pozioma – wydłużenie Δl.

3) Oblicz współczynnik k metodą najmniejszych kwadratów. Obliczenia zamieścić w tabeli.

Na wykres punktów doświadczalnych (pamiętaj o dokładnościach) nanieś wykresy dwóch prostych T = k Δl w których k jest wyznaczone jako wartość średnia kśr ( metodą 1) i metodą najmniejszych kwadratów k.

5, Konkluzja Podaj jeszcze raz ostateczne wartości k otrzymane dwoma metodami i skomentuj wyniki. Która z metod jest, twoim zdaniem, lepsza (dokładniejsza)? 6. Zadania do Ćwiczenia nr 1 ,, Wyznaczanie współczynnika (stałej) sprężystości sprężyny”Prawo Hooke’a podane w Instrukcji do tego ćwiczenia, może być (i bardzo często jest) sformułowane w ogólniejszy sposób przydatny w zastosowaniach do obliczania wydłużeń prętów, drutów oraz sprężyn. W tym celu wprowadzamy pojęcia:- naprężenia przy rozciąganiu i ciśnienia przy ściskaniu jako stosunku siły F rozciągającej (naciskającej) do pola powierzchni przekroju S ciała (pręta, sprężyny, ect., oraz - wydłużenia względnego jako stosunku przyrostu długości ciała Δl do długości początkowej ciała swobodnego l0, i analogicznie skrócenie względne przy ściskaniu. Prawo Hooke’a , spełnione na odcinku OA na Rys.1 w Instrukcji, możemy sformułować następująco: Względne wydłużenie ciała jest proporcjonalne do przyłożonego naprężenia (podobnie, skrócenie jest proporcjonalne do ciśnienia) i zapisać w postaci wzoru: F/S = E (Δl/l0),w którym wprowadziliśmy współczynnik proporcjonalności E nazywany modułem Younga. W przypadku prętów lub drutów moduł Younga zależy od rodzaju materiału z którego są one wykonane. W przypadku sprężyn zależy od materiału, gęstości nawinięcia i średnicy zwoju.Zadanie 1. Oblicz moduł Younga dla sprężyn użytych w doświadczeniu. Możesz wywnioskować z obliczeń od jakich cech sprężyny zależy jej moduł Younga?Zadanie 2. Oblicz pracę wykonaną przez siłę ciężkości przy wydłużaniu sprężyny o Δl . Oblicz energię potencjalną rozciągniętej sprężyny. Porównaj obie wielkości, czy są sobie równe? (Obliczenia wykonaj dla jednego z pomiarów wykonanych w trakcie zajęć laboratoryjnych)Zadanie 3.(Zadanie Nr 4.7 z Konspektu cz.3 ,,Ćw2iczenia Rachunkowe”)Zadanie 4. (Zadanie Nr 4.6 z Konspektu cz.3 ,,Ćw2iczenia Rachunkowe”)

Ćwiczenie nr. 2 Badanie prostego ruchu harmonicznego masy podwieszonej na sprężynie – sprawdzanie wzoru na okres drgań w ruchu harmonicznym: (T = 2π√m/k)

1. Wstęp Ruch harmoniczny prosty jest odmianą ruchu okresowego. Dowolny ruch okresowy polega na tym, że poruszające się ciało po upływie określonego czasu (nazywanego okresem) wraca do położenia wyjściowego. Ruch harmoniczny prosty definiujemy jako taki ruch w którym:1) przyśpieszenie ciała jest zawsze skierowane do jednego stałego punktu (centrum)2) wartość przyśpieszenia ciała jest wprost proporcjonalna do jego odległości od centrum. Na mocy drugiej zasady dynamiki Newtona powyższą definicję możemy równoważnie sformułować następująco:Ciało wykonuje ruch harmoniczny prosty, jeśli działająca na ciało siła F jest skierowana do jednego stałego punktu (centrum siły) i ma wartość proporcjonalną do odległości od tego punktu: F = - kr, (1)gdzie: F – wektor siły, r – wektor położenia ciała względem centrum, k – skalarny współczynnik proporcjonalności. W przypadku ciała drgającego pod działaniem sprężyny k jest współczynnikiem sprężystości sprężyny (por. Ćw. 1). Siłę F określoną wzorem (1) często nazywamy siłą harmoniczną. W zależności od warunków początkowych (tzn. położenia ciała i jego prędkości w pewnej chwili t=0) ciało pod działaniem siły harmonicznej może się poruszać po torze kołowym, eliptycznym lub odcinku prostej. Na mocy drugiej zasady dynamiki (ma = F ) równanie toru uzyskamy rozwiązując równanie: ma = - kr , a = (d2r/dt2) (2)w którym m jest masą ciała zaś a przyśpieszeniem ciała, (a w języku matematyki jest drugą pochodna wektora wodzącego r(t) ciała po czasie (t)). W przypadku ruchu jednowymiarowego wzdłuż odcinka prostej z centrum w punkcie x=0 równanie (2) sprowadza się do równania: ma = - kx, a = d2x/dt2 . (3) Stosując reguły matematyczne (lub posługując się analogiami do innych ruchów, np. ruch rzutu punktu (na oś x) krążącego po okręgu spełnia r-nie (3))) można pokazać, że równanie (3) wymaga aby zależność x(t) współrzędnej x od czasu t, czyli położenie ciała w chwili t, miała postać: x(t) = A cos(ωt +φ), gdzie ω nazywana częstością kątową, i jest jednoznacznie określona przez masę m ciała i współczynnik proporcjonalności k siły harmonicznej i musi być równa: ω = √k/m Dwie pozostałe wielkości w zależności x(t), A i φ, są określone przez tzw warunki początkowe: x(0) i v(0) – położenie i prędkość ciała w momencie t=0; - A - nazywamy amplitudą ruchu, - φ – nazywamy fazą początkową. Wykresem położenia ciała w zależności od czasu jest cosinusoida lub sinusoida – zależy to od warunków początkowych. Funkcje cosinus/sinus są funkcjami okresowymi (o okresie 2π) zatem ciało powraca do położenia x(t) po upływie czasu T, tzn

x(t + T) = x(t) (tzn że ωT = 2π, bo cos(α+2π)=cos(α) α=ωt+φ).T – czyli przedział czasu po którym ciało wraca do położenia pierwotnego nazywamy okresem ruchu; dla ruchu harmonicznego okres T i częstość kątowa są związane wzorem : T = 2π√m/k (4)Odwrotność okresu f = 1/T nazywamy częstością (albo częstotliwością ruchu okresowego) – częstość mówi nam o ilości cykli (drgań, obiegów) wykonanych przez ciało w jednostce czasu, natomiast ω = 2πf. Celem ćwiczenie jest doświadczalne sprawdzenie czy ruch masy podwieszonej na sprężynie jest ruchem harmonicznym poprzez sprawdzenie :

1) czy kwadrat okresu drgań jest liniową funkcją masy , oraz2) czy okres drgań (dla danej sprężyny i danej masy) obliczony ze

wzoru teoretycznego (4)jest taki sam jak zmierzony doświadczalnie.

2. Zasada pomiaru Ciało podwieszone na sprężynie wytrącone z położenia równowagi porusza się ruchem okresowym – drgającym, z dobrym przybliżeniem ruchem harmonicznym prostym.Gdy swobodnie wiszącą sprężynę, mającą długość l0, obciążymy ciężarkiem o masie m to, (jeśli obciążenie jest w granicy proporcjonalności – por. Wstęp do Cw.1), w warunkach równowagi sprężyna wydłuży się o Δl. Siła napięcia nici T = kΔl równoważy siłę przyciągania ziemskiego (ciężar) ciężarka P = mg. Suma (wektorów) sił działających na ciężarek jest równa zero i pozostaje on w spoczynku ): P + T = 0, mg = kΔl, ma = mg – kΔl = 0. (5) Poprowadźmy poziomą oś współrzędnych (oś y) przez środek masy ciężarka gdy jest on w równowadze. Oś x poprowadźmy pionowo przez środek masy ciężarka i skierujmy ją pionowo w dół. Gdy wiszącą masę pociągniemy (delikatnie!) w dół i puścimy to zacznie ona drgać góra – dół wokół położenia równowagi (punkt 0). Oczekujemy, że będzie to ruch harmoniczny na podstawie następującego rozumowania. Rozważmy pewną chwilę (moment czasu) w której masa jest w położeniu x poniżej punktu 0 . W tym położeniu na masę działa nadal siła ciężkości P (o takiej samej wartości P=mg ) skierowana w dół, oraz siła T pochodząca od sprężyny (o wartości większej o kx od siły jaką sprężyna wywierała na masę w warunkach równowagi) skierowana do góry T = k(Δl + x). (6)Gdy dodamy (wektorowo) siły otrzymamy siłę wypadkową skierowaną przeciwnie do wychylenia: siła F w dodatnim kierunku osi x wynosi: F = mg – ( kΔl + kx) = - kx (7).Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, gdy na ciało działa siła F to ciało doznaje przyśpieszenia a spełniającego równość: ma = F. (8)Ostatecznie, przyśpieszenie a ciała wzdłuż osi x jest: a = - k/m x = - ω2 x (9).Zatem, teoria przewiduje, że 1) ruch ciężarka na sprężynie jest prostym ruchem harmonicznym i 2) okres dany jest wzorem: T = 2π/ω = 2π√m/k (10) w którym, m jest masą ciężarka zaś k współczynnikiem sprężystości sprężyny, oraz 3)wzór na okres oznacz, że kwadrat okresu drgań T2, jest liniową funkcją masy m tzn. T2 ~ m a dokładnie ze wzoru (10): T2 = (4π2/k) m.

Celem ćwiczenia jest porównanie teorii z doświadczeniem. Sprawdzenie czy ruch ciężarka jest prostym ruchem harmonicznym przez bezpośrednie porównanie (i np. wykres) zmierzonych położeń ciężarka w różnych chwilach x(t) nie jest proste- choć są na to metody.Sprawdzenia można dokonać pośrednio i jednocześnie zmierzyć współczynnik k niezbędny w drugiej części ćwiczenia w następujący sposób: - Kwadrat okresu drgań harmonicznych jest liniową funkcją masy ciężarka: T2 = 4π2m/k. Gdy wykonamy wykres zmierzonych wartości T2 (kwadratu okresu!)w zależności od masy m ciężarków to punkty pomiarowe powinny układać się wokół linii prostej o nachyleniu 4π2/k. Taka liniowa zależność T2 od m potwierdza pośrednio ruch harmoniczny. [ UWAGA! Uwzględnienie masy ms sprężyny daje wzór T2 = 4π2 (m + pms)/k z p równym około1/3; Ta korekta przesunie jedynie prostą nie zmieniając jej nachylenia.] Nachylenie (nazywane też współczynnikiem kierunkowym prostej) pozwala nam wyznaczyć współczynnik sprężystości sprężyny k, - Drugie przewidywanie teorii (wzór na okres drgań) możemy sprawdzić, mając wyznaczony współczynnik k, przez porównanie zmierzonych okresów drgań dla każdej masy z okresami obliczonymi na podstawie wzoru teoretycznego (4 ) ,(10).

3. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się z: sprężyny, kompletu mas (odważników), stopera (zegarka) i statywu. Sprężynę mocujemy jednym końcem do statywu a drugi obciążamy odważnikiem z zestawu i odczekujemy aż masa osiągnie stan spoczynku (stan równowagi). Następnie pociągamy delikatnie masę w dół na taką odległość by dalsze drgania masy nie powodowały kołysania lub zginania sprężyny (szczególnie w górnym położeniu masy) – sprężyna powinna być cały czas napięta a masa drgać w pionie. Gdy ruch masy jest regularny mierzymy czas kilkudziesięciu pełnych drgań, zmierzony czas dzielimy przez liczbę drgań i otrzymujemy okres drgań. Pomiar powtarzamy co najmniej pięć razy dla różnej liczby pełnych drgań. Z otrzymanych okresów obliczamy średnią wartość okresu drgań dla danej masy. Pomiary powtarzamy używając tej samej sprężyny dla co najmniej pięciu kolejnych mas z kompletu odważników.

Dla każdej masy pomiary zapisujemy w Tabelach TABELA 1 (dla sprężyny I)Lp (i) Masa mi (kg) Liczba pełnych drgań n Czas trwania n drgań Okres drgań Tdośw (s)12.

Pomiary przeprowadzamy dla (przynajmniej) pięciu wartości mas i danej/wybranej sprężyny i powtarzamy dla innej(drugiej) sprężyny.

4. Analiza wyników i rachunek błędów Podstawą analizy doświadczenia jest zbiór wyników pomiaru okresów Ti dla mas mi (wartości mas traktujemy jako dokładne i zgodnie z metryczką producenta kompletu). Wyniki te możemy zebrać w oddzielnej Tabeli zbiorczej w której umieszczamy mi , Ti , (Ti)2 . Opracowanie wyników składa się z dwóch części. W pierwszej części wykonujemy wykres (najlepiej na papierze milimetrowym; w postaci punktów lub ,,krzyżyków” jeśli uwzględniamy dokładność odczytów/pomiarów okresów i mas ) kwadratu okresu (Ti)2 ( ,,oś y”) w zależności od masy mi ciężarków (oś x). Wiemy, że w przypadku ruchu harmonicznego, te punkty powinny układać się wzdłuż prostej:

(Ti)2 = a mi gdzie a=4π2/k (11) Metodą najmniejszych kwadratów znajdujemy wartość nachylenia a . Dane wejściowe do obliczeń metodą najmniejszych kwadratów umieszczamy w Tabeli (por. ćw. 0) i obliczamy nachylenie a. Następnie na wykres punktów pomiarowych nanosimy wykres prostej (11) ze znalezioną wartością a. Mając obliczone nachylenie a obliczamy współczynnik sprężystości sprężyny k : k = 4π2/a (12). W drugiej części opracowania traktujemy wyznaczoną ze wzoru (12) wartość k jako wielkość daną. Pozwala to obliczyć ,,teoretyczną” wartość okresu drgań dla każdej wartości masy ze wzoru (10). Wyniki pomiarów i wyniki obliczeń zestawiamy w kolejnych rubrykach Tabeli zbiorczej, która przyjmuje ostatecznie następującą postać:

Tabela zbiorcza dla (każdej ze sprężyn)Lp(i) Masa

mi

(kg)

Okres zmierzony

Tdośw(s)i

Okres obliczony ze wzoru (4)

Tteor(s)i

Błąd względny ∆T/Tteor

∆T = │Tdośw-Tteor│

Błąd w %

12..

Nie wchodząc w zaawansowane metody testowania hipotez, jako ilościową miarę zgodności teorii z doświadczeniem możemy przyjąć średnią wartość pierwiastka z sumy kwadratów odchyleń odniesioną do średniego okresu drgań:

5. Konkluzja Konkluzja winna zawierać ocenę zgodności danych doświadczalnych z teorią w opinii wykonawcy doświadczenia.

6.Zadania do Ćw. Nr 2. ,,Badanie prostego ruchu harmonicznego”

Zadanie 1. Ciało o masa 400g wykonuje drgania na sprężynie o współczynniku sprężystości 5N/m i amplitudzie 15cm. Oblicz: okres (T), częstotliwość (f), częstość kołową (ω), energię (całkowitą) drgań, maksymalną prędkość i maksymalne przyśpieszenie jakie ma to ciało. W których momentach (fazach) ruchu ciało ma maksymalną prędkość a w których maksymalne przyśpieszenie?Zadanie 2. Mamy dwie jednakowe sprężyny. Ciało o masie 500g podwieszone na każdej z nich porusza się ruchem harmonicznym o częstości 0,4Hz. Ile wynosi okres drgań na pojedynczej sprężynie? Ile wynosi współczynnik sprężystości każdej ze sprężyn? Jaka będzie częstotliwość drgań gdy masę powiesimy na sprężynach połączonych a) szeregowo, b) równolegle ? (Rys)Zadanie 3. Jaki będzie okres, częstotliwość i częstość kątowa drgań masy 200g podwieszonej na sprężynie o współczynniku sprężystości 5N/cm ?Zadania: 4.1, 4.2 , 4.4 i 1.11 z cz.3 Konspektu - ,,Ćwiczenia rachunkowe”

Ćwiczenie nr 3Pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła matematycznego1. Wstęp Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia, odkrytym i sformułowanym przez Newtona (około roku 1666), każde dwie masy oddziaływają na siebie przyciągając się. Miarą tego oddziaływania jest siła, której wartość jest wprost proporcjonalna do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości. Gdy masy są kulami odległość liczymy między ich środkami. Współczynnik proporcjonalności, oznaczany zwykle G, nazywamy stałą grawitacyjną. Stała grawitacyjna wyznaczana jest doświadczalnie. Wzór określający wartość siły grawitacyjnej (F1=F2=F) między masami M i m będących w odległości r ma postać: F = G Mm/r2 , G = 6,67 10-11N m2 kg-2 (1)

W sytuacji gdy ciało o masie m, małych rozmiarów (w porównaniu do rozmiarów Ziemi) znajduje się na wysokości h nad Ziemią, wtedy r = RZ + h = RZ(1 + h/RZ) gdzie RZ jest promieniem Ziemi ( = 6,38 106m). Gdy ciało znajduje się na małej wysokości h w porównaniu do promienia Ziemi, czyli h/RZ << 1, wtedy praktycznie w prawie Newtona r=RZ, i siła grawitacji przy powierzchni Ziemi (gdy zaniedbamy wpływ innych ciał niebieskich) ma wartość: F = (GMZ/(RZ)2)m, MZ masa Ziemi (=5,97 1024kg) (2). Ponieważ masy występujące w prawie ciążenia i masy występujące w II-giej zasadzie dynamiki Newtona są takie same (tzw równoważność masy grawitacyjnej i bezwładnej), zatem II-ga zasada dynamiki przyjmuje postać: ma = F = (GMZ/(RZ)2)m, (3) w której masy m po obu stronach ,,skracają się”, co oznacza, że każde ciało niezależnie od swojej masy (i rozmiarów) znajdujące się w pobliżu Ziemi uzyskuje stałe przyśpieszenie skierowane do środka Ziemi. To przyśpieszenie nazywamy przyśpieszeniem ziemskim.Przyśpieszenie a we wzorze (3) zwykle oznaczamy literą g, zaś samą siłę nazywamy ciężarem ciała (lub siłą ciężkości). Ze wzoru (3) wynika, że wartość g określona jest przez masę i promień Ziemi: g = GMZ/RZ

2 (i stosuje się również do innych ciał niebieskich). Reasumując, na każde ciało o masie m w pobliżu Ziemi działa siła P skierowana do środka Ziemi (zatem prostopadła do jej powierzchni - pionowa) o wartości: P = mg (4). Celem doświadczenia jest zmierzenie wartości przyśpieszenia ziemskiego g.

2. Zasada pomiaru Pomiar opiera się na tym, że oscylacyjny ruch wahadła matematycznego (w przybliżeniu małych amplitud ruchu) jest prostym ruchem harmonicznym, którego okres drgań zależy od długości wahadła i przyśpieszenia ziemskiego. Wahadło matematyczne to pewna idealizacja rzeczywistego ,,wahadełka”. Nić wahadła matematycznego nic nie waży i

nie zmienia długości -jest nierozciągliwa w trakcie ruchu a ciężarek nie ma rozmiarów – jest punktem materialnym. Na masę m wahadła działają dwie siły: stała co do kierunku i wartości siła ciężkości P (pochodząca od Ziemi) oraz zmienna w trakcie ruchu siła napięcia nici T skierowana wzdłuż nici ku punktowi zawieszenia A (por. Rys.2a). Jeśli nić nie zmienia długości w trakcie ruchu, to masa m porusza się tam i z powrotem (oscyluje wokół punktu O) po torze, który jest wycinkiem okręgu o promieniu równym długości nici l (Rys.2a).

Rozważmy chwilę w której masa m jest wychylona o kąt O od pionu. Rozkładając siłę ciężkości P na składowe: styczną do toru F i prostopadłą do toru N, widzimy, że siła F pozostaje siłą nie zrównoważoną nadającą przyśpieszenie masie m. Warunek by ciało pozostawało cały czas na okręgu koła wymusza by składowa N była równoważona przez T .Siła F ma wartość mgsinO, kierunek styczny do okręgu a zwrot przeciwny niż wychylenie.Gdy kąt wychylenia w prawo od pionu umówimy się uważać za dodatni, tedy siła ma zwrot w lewo. Przyśpieszenie a, styczne do toru, otrzymamy na mocy II-giej zasady dynamiki ma = F = - mg sinO (5)gdzie znak minus uwzględnia fakt, że siła ma zwrot przeciwny do wychylenia O. Zatem,przyśpieszenie a styczne do toru zmienia się zgodnie ze wzorem: a = - g sinO (6).Przyśpieszenie styczne a wiąże się z przyśpieszeniem kątowym ε (czyli przyśpieszeniem z jakim zmienia się kąt θ) relacją a = l ε (7)więc, ε = - (g/l) sinO (8)co możemy przeczytać: przyśpieszenie kątowe jest proporcjonalne do sinusa kąta wychylenia i skierowane przeciwnie niż kąt wychylenia. Oznacz to, że ruch wahadła matematycznego nie jest prostym ruchem harmonicznym. Ruch ten możemy uważać jedynie za przybliżenie ruchu harmonicznego gdy w ciągu całego ruchu kąty wychylenia będą małe, tzn takie, że sinO = O (gdy kąt mierzymy w radianach). W przybliżeniu małych kątów

przyśpieszenie kątowe jest proporcjonalne do kąta wychylenia i skierowane przeciwnie niż kąt wychylenia a zatem ruch jest harmoniczny i ε = - (g/l)θ = - ω2θ ω2 = g/l (9). W takim przypadku (por. Ćwiczenie 2) oscylacje wokół pionu opisuje wzór O = O0cos(ωt + φ) gdzie O0 i φ określają warunki początkowe. Drgania odbywają się z częstością kątową ω czyli okresie (T): T = 2π/ω = 2π√(l/g) (10).Z tego wzoru, po przekształceniach, otrzymujemy: g = 4π2l/T2 (11). Metoda (zasada) pomiaru g opiera się na wzorach(10), (11). Wzór (11) pozwala obliczyć przyśpieszenie ziemskie g jeśli dla wahadła o znanej (zmierzonej) długości l zmierzymy okres T jego drgań wokół pionu i zmierzone wartości wstawimy do powyższego wzoru – jest to jednorazowy pomiar pośredni g. Aby dokładniej (precyzyjniej) wyznaczyć g należy wykonać serię pomiarów okresu drgań wahadła o różnych długościach, wykonać wykres zależności T2 od l (która jest zależnością liniową) i ze znalezionej wartości nachylenia obliczyć g.3. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się z wahadła (ciężarek na nitce), którego długość można zmieniać w szerokim zakresie (np od 150cm do 50cm), linijki centymetrowej i stopera lub innego czasomierza oraz statywu do zawieszania wahadła. Dla pięciu-sześciu różniących się (i zmierzonych) długości wahadła należy zmierzyć czas trwania kilkudziesięciu pełnych drgań i określić okres. Początkowe wychylenie wahadła musi być na tyle małe aby warunek sinO = O był spełniony – oznacza to że kąt odchylenia nie powinien przekraczać około 100 lub około 0,2 radiana. Wyniki pomiarów zapisujemy w Tabeli:Lp(i) Długość wahadła

li(m)Liczba pełnych drgań n

Czas trwania n drgań (s)

Okres drgań T (s)

1.

n

Dokładność pomiaru długości wahadła ∆l = ……., Dokładność pomiaru czasu n drgań ……..

4. Analiza wyników i rachunek błędów Celem pomiarów jest wyznaczenie – pomiar wartości przyśpieszenia ziemskiego g metodą pośrednią korzystając ze wzoru (11). Opracowanie pomiarów należy przeprowadzić dwiema metodami. Metoda 1. Dla każdego z n pomiarów długości wahadła i okresu drgań obliczamy wartość g ze wzoru (11). Otrzymane n wartości g traktujemy jako niezależne pomiary i obliczamy wartość średnią gśr oraz średni błąd kwadratowy wartości średniej Δg: gśr = (g1 + g2 + .. + gn)/n Δg = √ Σi (gi – gśr)2 /(n(n-1)). Metoda 2. Ze wzoru (11) wynika, że związek między kwadratem okresu drgań T2 a długością wahadła l jest zależnością liniową. Oznaczmy l przez y zaś T2 przez x, wtedy wzór (11) zapisze się jako y = ax w którym a = g/(4π2) . Nachylenie a prostej możemywyznaczyć metodą najmniejszych kwadratów (por. Ćw.0), ze wzoru a = (Σxiyi)/ (Σxi 2 ) .Mając obliczone a obliczamy g = 4π2a .

Dla zilustrowania pomiarów i obliczeń robimy (na papierze milimetrowym) wykres zależności l (oś y) od T2 (oś x) na którym zaznaczamy punkty pomiarowe (z zaznaczoną dokładnością - ,,krzyżyki”) oraz wykreślamy dwie proste o nachyleniach wyliczonych obydwiema metodami .

5. Konkluzja Konkluzja winna podać znalezione wartości przyśpieszenia ziemskiego i komentarz do nich, w szczególności porównanie otrzymanych wartości g z wartościami podawanymi w Tablicach Fizycznych. Do sprawozdania dołączamy wykres z punktu 4 i ewentualny komentarz do niego.

6.Zadania do Ćw.nr.3 ,,Pomiar przyśpieszenia ziemskiego”Zadanie 1. Wahadło o masie 5kg i długości 2m odchylono (chwila, t=0) od pionu o 200. Wykonaj rysunek ilustrujący siły działające na tę masę i wskaż siłę, która powoduje dalszy ruch po uwolnieniu. Oblicz wartość tej siły.Oraz Zadania: 1.8 , 1.7, 3.2, 3.3 z cz.3 Konspektu ,,Ćwicz. Rach.”

Ćwiczenie nr 4Pomiar współczynnika tarcia ciał stałych

1. Wstęp Zjawisko tarcia jest wszechobecne w życiu codziennym. Gdyby nie siły tarcia trudno byłoby wyobrazić sobie jak odbywałoby się nasze poruszanie po ziemi. To właśnie dzięki tarciu możemy przemieszczać się po podłodze a pojazdy poruszają się po drogach. Z drugiej strony tarcie jest czymś niekorzystnym – czymś utrudniającym ruch a konsekwencji prowadzącym do zamiany mechanicznej energii kinetycznej ciał na ,,chaotyczną” energię cieplną. Celem tego doświadczenia jest sprawdzenie praw rządzących zjawiskiem tarcia w przypadku dwóch ciał stałych stykających się ze sobą. Tarcie jest wynikiem oddziaływania warstwy powierzchniowych atomów (lub cząsteczek) jednego ciała z powierzchniową warstwą atomów drugiego ciała położonych przy powierzchni styku. Miarą tego oddziaływania, jak zawsze!, jest siła tarcia T. Rozróżniamy dwa rodzaje tarcia a zatem i dwa rodzaje sił (współczynników) tarcia; 1) tarcie statyczne, oraz 2) tarcie kinetyczne. Tarcie statyczne to ten rodzaj tarcia, które występuje gdy nieruchome ciało, np. klocek na stole, próbujemy ruszyć z miejsca. Dowolnie małą siłą nie wprawimy klocka w ruch. Zwiększając siłę, którą działamy na klocek, dochodzimy do sytuacji gdy klocek zaczyna się poruszać. Oznacza to, że wartość siły, którą działamy przekroczyła wartość granicznej siły tarcia. Tarcie kinetyczne to ten rodzaj tarcia, które występuje gdy dwa stykające się ciała są w ruchu względem siebie i poruszają się ze stała prędkością. Na ogół siła tarcia kinetycznego, dla danej pary ciał, jest mniejsza od granicznej (statycznej) siły tarcia. Zjawiskiem tarcia stykających się ciał stałych rządzą następujące prawa tarcia: 1) Siła tarcia jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku ruchu ( do prędkości) 2) Siła tarcia nie zależy od pola powierzchni styku ciał. 3a) Graniczna siła tarcia jest proporcjonalna do siły nacisku (reakcji) a współczynnik proporcjonalności nazywa się współczynnikiem tarcia statycznego; 3b) Siła tarcia kinetycznego jest również proporcjonalna do siły nacisku (reakcji) a współczynnik proporcjonalności nazywa się współczynnikiem tarcia kinetycznego (albo krótko współczynnikiem tarcia), który nie zależy od prędkości. Wartości liczbowe współczynników tarcia zależą od rodzaju materiałów stykających się, gładkości ich powierzchni i obecności ciał trzecich (np. smarów).

2. Zasada pomiaru Współczynnik tarcia statycznego fstat definiujemy (zgodnie z prawem 3a)) następująco: fstat = (graniczna siła tarcia)/ ( siła nacisku) = Tgr/N (1)

W doświadczeniu należy zmierzyć statyczny współczynnik tarcia dla drewnianego prostopadłościennego klocka leżącego na stole laboratoryjnym – czyli współczynnik między drewnem a powierzchnią stołu. Pomiary możemy wykonać dwiema metodami. Metoda 1). Graniczną siłę tarcia zmierzymy dokładając niewielkie masy odważników na szalce Sz do momentu aż klocek zacznie się poruszać (Rys.4.1). Waga szalki i odważników będzie wtedy równa Tgr. Siłę nacisku (reakcji) N zmierzymy mierząc ciężar (masę) klocka. Zmierzone wartości sił wstawiamy do wzoru (1) i obliczamy współczynnik fstat. Pomiar powtarzamy dla kilku wartości sił nacisku obciążając dodatkowo klocek odważnikiem. Dla sprawdzenia drugiego prawa tarcia pomiary wykonujemy dla klocka obróconego, stykającego się inną ścianą boczną o innym polu powierzchni.

Rys.4.1

Metoda 2). Graniczną siłę tarcia i nacisk możemy zmierzyć wykorzystując blat stołu jako równię pochyłą. Zwiększając stopniowo i powoli kąt nachylenia stołu na którym leży klocek dochodzimy do pewnego granicznego kąta Ogr przy którym klocek zaczyna się zsuwać po równi (Rys.4.2). Statyczny współczynnik tarcia jest równy tangensowi tego kąta.

Współczynnik tarcia kinetycznego f (nazywany też współczynnikiem tarcia dynamicznego lub krótko współczynnik tarcia) definiujemy zgodnie z prawem 3b) następująco: f = (siła tarcia T) / (siła nacisku N) (2)

W doświadczeniu należy zmierzyć f dla tego samego klocka. Pomiaru dokonujemy dwiema metodami. Metoda 1). Używamy zestawu z Rys.1. Dodając stopniowo ciężarków na szalce, jednocześnie lekko popychamy klocek. Przy kolejnym obciążeniu obserwujemy, że pchnięty klocek zaczyna poruszać się ruchem jednostajnym. W tej sytuacji siła tarcia T jest równa ciężarowi szalki i odważników P. Siła nacisku N jest równa ciężarowi klocka (ewentualnie obciążonego dodatkowymi ciężarkami). Metoda 2). Gdy klocek z Rys.2 zacznie się już poruszać to dalej będzie się poruszał ruchem jednostajnie przyśpieszonym z przyśpieszeniem a równym a = g(sinO – f cosO) (3).To przyśpieszenie wyznaczymy mierząc drogę przebytą l (którą może być długość blatu stołu) i czas ruchu po stole t: l jako droga w ruchu jednostajnie przyśpieszonym =at2/2 , więc

a = 2l/t2 (4)zatem kinetyczny współczynnik tarcia f jest f = tgO – (2l)/(g t2 cosO) , O > Ogr (5).

3. Pomiary Metoda 1) Zestaw pomiarowy do wyznaczania współczynników tarcia Metodą 1) jest taki jak na Rys.1. Zestaw składa się z klocka połączonego z szalką za pośrednictwem nici oraz zestawu odważników o znanych masach. Masę klocka wyznaczamy na wadze laboratoryjnej. W celu wyznaczenia statycznego współczynnika tarcia postępujemy tak jak to jest opisane w p.2 powyżej. Dla uzyskania ,,większej próbki statystycznej” pomiary wykonujemy dla samego klocka oraz dla klocka obciążanego kolejno coraz większymi ciężarkami dodatkowymi oraz dla klocka obróconego. Wyniki zapisujemy w Tabeli: TABELA I POMIARÓW STATYCZNEGO WSP. TARCIALp (i) Nacisk Ni (N) Graniczna siła tarcia

Ti (N) f stat,i

12 Metoda 2) Zestaw pomiarowy do wyznaczania współczynników tarcia Metodą 2) składa się z tego samego klocka, dźwigni (podnośnika) do regulacji nachylenia stołu, linijki i zegara (stopera). W celu wyznaczenia statycznego współczynnika tarcia mierzymy tangens granicznego kąta nachylenia blatu stołu tgOgr , jak opisano w p.2 (Rys.4.2), dla kilku wartości siły nacisku. Aby wyznaczyć tangens kąta granicznego mierzymy długość blatu stołu l oraz wysokość x (nad poziom blatu) uniesionego końca stołu (rysunek obok). Tangens kąta nachylenia obliczamy ze wzoru tg O = x /√ l2 – x2

Wyniki zapisujemy w tabeli:

TABELA II POMIARÓW STATYCZNEGO WSP. TARCIA Długość blatu stołu l = ………cm, Wysokość stołu H = …………cm Lp (i) Nacisk Ni (N) Wysokość graniczna hi Xi = hi -H tgOgr = fstat

12 . Aby zmierzyć kinetyczny współczynnik tarcia musimy pomierzyć wszystkie wielkości występujące we wzorze (5). Wartość przyśpieszenia ziemskiego g wziąć z Tablic Fizycznych. Dla kilku kątów nachylenia blatu, poczynając od kąta granicznego (oraz ewentualnie dla różnych sił nacisku), obliczamy tangens i cosinus oraz mierzymy czas t zsuwania się klocka ze szczytu stołu do niższego końca. Wyniki wpisujemy w tabeli:

TABELA IV POMIARÓW KINETYCZNEGO WSP. TARCIA Lp (i)

Nacisk Ni

(N)Wysokość hi(cm)

Xi(cm) tgOi cosOi Czas zsuwania ti

f kin ze wzoru (5)

12.

4. Analiza wyników i rachunek błędów Wyznaczone wartości współczynników potraktować jako niezależne pomiary oraz znaleźć ich wartości średnie i błędy wartości średnich. Wartość statycznego współczynnika tarcia można znaleźć również metodą najmniejszych kwadratów. Wykonać obliczenia i zrobić wykres zależności wartości siły tarcia od wartości siły nacisku5. Konkluzja Podsumować wyniki i omówić wykresy siły tarcia od nacisku. Porównać wyniki z wartościami tablicowymi.

6.Zadania do Ćw. nr.4 ,,Pomiar współczynnika tarcia”

Zadania: 1.9 oraz 1.10 z cz.3 Konspektu ,,Ćwicz. Rach.”Zadanie 1 Klocek o masie 1kg poruszany ciężarem P = 5N (Rys.4.1) porusza się z przyśpieszeniem 2m/s. Jaki jest współczynnik tarcia? Czy jest to statyczny czy kinetyczny wsp. tarcia? Ile wynosi siła napinająca nić?Zadanie 2. Z jakim przyśpieszeniem będzie się poruszał klocek po nachylonej pod kątem 300 płaszczyźnie gdy współczynnik tarcia wynosi 0,2?Zadanie 3. Jakim przyśpieszeniem i w którą stronę będzie się poruszał układ ciał (na rys) gdy P=20N, α = 300 , współczynnik tarcia f = 0,2 zaś a) Q = 2N, b) Q = 20N. Oblicz naprężenia nici w obu przypadkach.

Q P = 20N αα α

Ćwiczenie nr 5Pomiar współczynnika lepkości cieczy – wzór Stokes’a

1. Wstęp Gdy poruszamy się w wodzie lub powietrzu doznajemy oporu ze strony ośrodka w którym się poruszamy. Miarą tego oporu jest siła tarcia (nazywana też siłą oporu ośrodka) skierowana przeciwnie do kierunku ruchu (prędkości). Inaczej niż siły tarcia występujące między stykającymi się ciałami stałymi siły tarcia w płynach (ciecze i gazy w fizyce często określamy jednym słowem – płyny) zależą od geometrii (kształtu i rozmiarów) ciała poruszającego się i jego prędkości. Przyczyną występowania sił tarcia w płynach jest ich lepkość. Gdy lepkość jest stosunkowo niska (jak w wodzie lub powietrzu) to siła tarcia jest mała w porównaniu np. z siłą tarcia w glicerynie – cieczy o dużej lepkości.

Mikroskopowe wyjaśnienie zjawiska lepkości opiera się na molekularnej (atomowej) budowie ciał. Gdy cząsteczki płynu ,,opływają” ciało stałe, albo gdy są we względnym ruchu względem jakiegoś ciała stałego – płyną, to cząsteczki bezpośrednio stykające się z powierzchnią ciała są praktycznie nieruchome. Cząsteczki trochę dalsze od powierzchni kontaktu poruszają się, przy czym im są bardziej oddalone od powierzchni styku tym poruszają się szybciej (Rys.5.1). Gdy jakaś wielkość fizyczna zmienia się od punktu do punktu w przestrzeni to mówimy wtedy o gradiencie tej wielkości. Zatem w płynie lepkim będącym w ruchu (względem dowolnego ciała) występuje gradient prędkości. Gradient prędkości mierzymy ilorazem różnicy prędkości między warstwami i odległości tych warstw. Każde dwie sąsiednie warstwy płynu mają różne prędkości, a więc podobnie jak dla dwu stykających się ciał stałych będących we względnym ruchu, tak i tu pojawia się siła tarcia między sąsiadującymi warstwami płynu. Z dwu sąsiednich warstw płynu jedna hamuje druga przyśpiesza sąsiednią, przy czym ten wzajemny wpływ będzie tym większy im większa będzie powierzchnia kontaktu warstw. Gdy weźmiemy pod uwagę określoną warstwę płynu, to siła tarcia (siła lepkości) działająca na tę warstwę ma wartość proporcjonalną do pola powierzchni styku warstw S oraz gradientu prędkości: F = η∙(pole powierzchni)∙(gradient prędkości) (1) η nazywa się współczynnikiem lepkości i ma wymiar Nsm-2. [0,1 Nsm-2 nazywa się puaz.] {Np. dla gliceryny η = 14puazów, dla oleju rycynowego η = 9,9puaza, dla wody η = 0,01puaza} Siła ta ma kierunek prostopadły do gradientu prędkości i zwrot przeciwny do kierunku prędkości warstwy. To prawo (1), zaproponowane przez Newtona, jest prawem przybliżonym i stosuje się w takich sytuacjach gdy przepływ płynów jest ,,spokojny” – laminarny tzn bez wirów i innych ,,turbulencji” Celem doświadczenia jest pomiar współczynnika lepkości η (czyt. eta).

2. Zasada pomiaru Gdy początkowo nieruchome ciało, np. kula wisząca w płynie w polu grawitacyjnym Ziemi, zostaje uwolnione to początkowo ,,nabiera prędkości” – przyśpiesza aż osiągnie pewną końcową prędkość graniczną i dalej porusza się ruchem jednostajnym z tą prędkością. Podobnie dzieje się ze spadochroniarzem lub innym ,,obiektem” wyrzuconym z samolotu. W sytuacji gdy ruch jest jednostajny, czyli przyśpieszenie jest równe zero, na mocy drugiej zasady dynamiki, siła sumaryczna (wypadkowa) działająca na ciało jest równa zero.

W tym przypadku (ciała swobodnie spadającego w płynie) na ciało działają następujące siły (Rys.5.2): - siła ciężkości P (ciężar) o wartości mg= Vρciałag skierowana w dół, - siła wyporu W (zgodnie z prawem Archimedesa) o wartości = (objętość ciała V)x (gęstość cieczy/płynu) x(przyśpieszenie ziemskie g) ; W = V ρpłynu g i jest skierowana do góry, - siła lepkości F skierowana przeciwnie do prędkości a zatem do góry.Gdy prędkość opadania ustali się (będzie graniczna i równa vgr ), wtedy nastąpi równowaga sił, to znaczy siła ciężkości P powodująca opadanie zostanie zrównoważona przez siłę wyporu W i siłę lepkości F: P = W + F (2).Siła lepkości zależy od pola powierzchni styku ciała z płynem, jego kształtu oraz od prędkości ruchu ciała względem płynu. W połowie XIXw. Stokes pokazał, że dla kuli o promieniu R poruszającej się w lepkim płynie (o współczynniku lepkości η) z prędkością v siła lepkości ma wartość: F = 6 π η R v π = 3,14.. (3)

Dla kuli mamy V = 4πR3/3 , zaś P = mg = V ρciała g. Wstawiając wzory na siły do wzoru (2) i przekształcając go otrzymujemy wzór na współczynnik lepkości cieczy/płynu:

η = 2g R2 (ρciała – ρpłynu )/9vgr (4). Zatem pomiaru współczynnika lepkości η dokonujemy metodą pośrednią mierząc bezpośrednio wielkości wchodzące do wzoru (4) i obliczając η z tego wzoru.

3. Pomiary Zestaw doświadczalny składa się z (dość wysokiej) menzurki, cieczy której lepkość mamy określić, kulki wykonanej z materiału tonącego w tej cieczy, linijki i stopera (zegara) oraz dodatkowo waga laboratoryjna z odważnikami. Należy pomierzyć wszystkie wielkości wchodzące do wzoru (4) aby móc obliczyć z niego wartość współczynnika lepkości η. Najpierw wykonujemy pomiary średnicy (promienia R) kulki i jej masy m w celu wyznaczenia średniej gęstości materiału z którego jest ona wykonana ρciała = m/V. By wyznaczyć gęstość cieczy ρpłynu ważymy naczynie z cieczą i naczynie puste, różnica daje masę cieczy. Dalej mierzymy objętość cieczy przy pomocy menzurki (można użyć tej samej menzurki której użyjemy do pomiarów η ). Iloraz masy i objętości daje gęstość cieczy. Następnie ciecz wlewamy do wysokiej menzurki. Wysokość słupa cieczy w menzurce musi być na tyle duża aby można było wyraźnie zaobserwować i zmierzyć (stałą) prędkość graniczną. Aby zmierzyć prędkość graniczną vgr wielokrotnie puszczamy kulkę tuż przy powierzchni cieczy i zaznaczamy położenia opadającej kulki w menzurce (np. przy pomocy recepturek) w momentach różniących się o ustaloną jednostkę czasu Δt (np. co sekunda). Potwierdzeniem tego, że kulka opada na dużej głębokości ruchem jednostajnym będą jednakowe odcinki drogi Δs przebyte przez kulkę w jednostce czasu. Iloraz długości odcinka i czasu daje prędkość graniczną. Wyniki pomiarów zapisujemy (kolejno) w TABELI POMIARÓW:1) średnica kulki ………… promień kulki R (w metrach!) = … …objętość kulki V = ……….. 2) masa kulki m = ……………….3) gęstość kulki (w kg/m3): ρciała = m/V=……………..4) masa menzurki/butelki z cieczą mm +c = …………. 5) objętość cieczy Vc = ……………….6) masa pustej menzurki/butelki mm = …………..7) masa cieczy mc = ………………..8) gęstość cieczy ρpłynu (w kg/m3) = mc/Vc= ……………..9) odcinek drogi przebyty ruchem jednostajnym Δs = …………..10) czas w którym kulka przebyła tę drogę Δt = ……………….11) prędkość graniczna ruchu jednostajnego (w m/s): vgr = ∆s/∆t………………..

[Uwaga! Dla kulek o promieniu R dużym w porównaniu z promieniem r naczynia (rury) użytego w pomiarach stosujemy poprawkę przy obliczaniu prędkości granicznej wg wzoru: Vgr = vzmierzone ( 1 + 2,4 R/r) gdzie vzmierzone to ∆s/∆t - pozycja 11 w Tabeli]

4. Analiza wyników i rachunek błędów Do obliczenia wartości współczynnika lepkości stosujemy wzór (4) do którego podstawiamy zmierzone wartości oraz g przyjmujemy równe 9,81 m/s2. We wszystkich obliczeniach cząstkowych zachowujemy trzy liczby znaczące i używamy układu jednostek SI. Błąd względny (∆η)/η pomiaru współczynnika lepkości obliczamy ze wzoru:

(∆η)/η = (∆g)/g + (∆ρ)/ρ + 2(∆R)/R + (∆vgr)/vgr (5) w którym dokładności (błędy) ∆x poszczególnych składników szacujemy na podstawie dokładności użytych przyrządów pomiarowych.

5. Konkluzja. W konkluzji należy podać ostateczny wynik z oszacowanym błędem pomiaru oraz porównać go z wartością odszukaną wTablicach fizyczno – chemicznych.

6. do Ćw.nr 5. ,,Współczynnik lepkości”

Zadanie nr.1(2.7) Kulka o promieniu r i gęstości d jest uwolniona z dna naczynia wypełnionego lepką cieczą (wsp. lepkości η) o większej gęstości niż gęstość kulki. Rozważ siły działające na kulkę; które z nich są stałe ? Jaki będzie ruch tej kulki (jednostajny, jednostajnie zmienny, niejednostajnie zmienny)? Znajdź wzory na początkowe przyśpieszenie kulki i jej prędkość graniczną.

Zadanie nr.2Objętość cieczy o współczynniku lepkości η wypływającej w ciągu jednej sekundy z rury o promieniu r i długości l gdy różnica ciśnień na końcach wynosi p jest dana formułą (wzorem) Poiseuille’a (czt. Płasela): Objętość na sekundę: V/t = πpr4/(8ηl) .Zaproponuj doświadczenie w którym można zmierzyć lepkość w oparciu o ten wzór. Na co należy zwrócić szczególną uwagę?

Zadnie 3. W przypadku gazów , a także dużych prędkości ruchu ciał wzór Stokes’a na siłę lepkości należy zastąpić wzorem F=kr2dv2 , w którym k zależy od lepkości płynu ( r- promień , v – prędkość kulki, d –gęstość płynu). Kulka o masie 100g, promieniu 2cm opada pionowo w powietrzu z dużej wysokości i osiąga prędkość graniczną 30m/s. Wyjaśnij dlaczego kulka osiąga prędkość graniczną i oblicz k dla powietrza.

Ćwiczenie nr.6Pomiar oporu elektrycznego i sprawdzanie prawa Ohma

1. Wstęp. 1.1 Na czym polega przewodnictwo metali? Opór elektryczny oraz prawo Ohma odnoszą się do zjawiska przepływu prądu elektrycznego. Prąd elektryczny polega na uporządkowanym ( w sensie średnim) ruchu cząstek naładowanych elektryczne, czyli krótko ładunków, w określonym obszarze przestrzeni ograniczonej np. do przewodnika lub naczynia z elektrolitem. W dalszym ciągu ograniczymy się do najczęściej spotykanej sytuacji przepływu prądu w kawałku metalu, czyli do przewodnika metalicznego. Taki przewodnik ma najczęściej postać drutu o przekroju koła, ale pojęcia i prawa które będą badane w tym doświadczeniu nie zależą od kształtu przekroju.W przewodniku metalicznym ( miedzianym, aluminiowym, żelaznym, etc) cząstkami tworzącymi prąd są tzw elektrony przewodnictwa. Gdy z pojedynczych, elektrycznie obojętnych, atomów tworzy się kawałek metalu w postaci ciała stałego to jeden a czasem dwa elektrony, które w swobodnym, oddzielnym atomie są najsłabiej związane przestają ,,należeć” do konkretnego atomu lecz ,,odrywają się” od macierzystego atomu i poruszają się w sposób chaotyczny po całej objętości metalu od czasu do czasu zderzając się ze sobą i z jonami metalu. Te elektrony nazywamy elektronami przewodnictwa. Energia kinetyczna tego chaotycznego ruchu (a więc i średnia wartość prędkości) każdego pojedynczego elektronu przewodnictwa zależy od temperatury metalu. Reszta elektronów atomu pozostaje związana w powstałym jonie dodatnim. Jony dodatnie pozostają (średnio) w ustalonych miejscach w obrębie kawałka metalu wykonując jedynie chaotyczne drgania termiczne wokół swych ustalonych położeń. Jony tworzą tzw sieć krystaliczną metalu. Cały kawałek metalu pozostaje oczywiście nadal obojętny elektrycznie. Elektrony przewodnictwa nie mogą opuścić metalu, ,,czują” bowiem obecność przyciągających je jonów dodatnich. Aby elektron mógł opuścić metal należy mu dostarczyć pewnej ilości energii zwanej pracą wyjścia elektronu z metalu. Nie uporządkowany z definicji ruch chaotyczny elektronów przewodnictwa nie powoduje przepływu prądu. Aby wprowadzić element uporządkowania w ruchu elektronów przewodnictwa należy w przewodniku wytworzyć pole elektryczne. Gdy do końców przewodnika o długości l podłączymy baterię utrzymującą stałą różnicę potencjałów – napięcie U, to w przewodniku powstaje pole elektryczne o wartości natężenia pola E = U/l. Z definicji natężenia pola elektrycznego, gdy ładunek q znajduje się w polu elektrycznym o natężeniu E (natężenie pola elektrycznego jest wektorem!, stąd pogrubiona czcionka) to działa na niego siła F = qE. Ponieważ elektron ma ładunek ujemny, więc siła jest skierowana przeciwnie do natężenia pola. Gdy na ciało działa siła to nadaje mu przyśpieszenie zgodne z kierunkiem siły. Źródłem siły działającej na elektrony przewodnictwa jest wytworzone pole elektryczne, zatem możemy powiedzieć, że pole przyśpiesza elektrony, które uzyskują prędkość zgodną z kierunkiem siły. Ta prędkość dodaje się do prędkości ruchu chaotycznego która, w odróżnieniu od tej uzyskanej ,,od pola”, ma wszystkie możliwe kierunki i wartości. Gdy elektrony przewodnictwa zderzają się z jonami drgającymi wokół ich ustalonych położeń średnich (zwanych węzłami sieci) przekazują część energii nabytej w trakcie przyśpieszania jonom sieci. Zwiększa się wtedy średnia energia drgań jonów co objawia się jako wzrost temperatury metalu. Po zderzeniu elektrony znów są przyśpieszane przez pole elektryczne i doznają kolejnych zderzeń przekazując w każdym zderzeniu część swej nabytej energii jonom sieci. Mimo że ruch elektronów przewodnictwa pod wpływem pola jest ruchem częściowo chaotycznym, to jednak ich średni wektor prędkości nie jest równy zero. Mówimy, że elektrony dryfują pod wpływem pola z prędkością dryfu vd. Ten dryf to jest właśnie prąd elektryczny. Efektem niejako ubocznym jest zwiększenie energii chaotycznych drgań jonów sieci metalu czyli wzrost temperatury przewodnika. Gdyby przewodnik znajdował się w próżni (lub w pełnej izolacji

termicznej od otoczenia) to jego temperatura rosłaby nieograniczenie, aż do jego stopienia. Gdy przewodnik nie jest izolowany od otoczenia i znajduje się w kontakcie cieplnym z otoczeniem o niższej temperaturze to przekazuje energię ze zderzeń otoczeniu, którą odbieramy jako ciepło a temperatura przewodnika nie wzrasta nieograniczenie . (Na tym polega działanie grzejnika elektrycznego.). Tę energię chaotycznego ruchu elektronów i jonów sieci uzyskaną w wyniku zderzeń z elektronami przewodnictwa nazywamy ciepłem Joule’a – Lentz’a . Zwróćmy uwagę na to, że przewodnik w którym płynie prąd elektryczny jest elektrycznie obojętny – w każdym jego kawałku netto nie ma żadnego ładunku elektrycznego, gdyż dodatni ładunek (spoczywających) jonów jest kompensowany przez równy mu ujemny ładunek (poruszających się) elektronów przewodnictwa.

1.2 Podstawowe definicje i pojęcia. Ilościową miarą prądu elektrycznego jest natężenie prądu elektrycznego I. Natężenie prądu mierzymy stosunkiem ilości ładunku elektrycznego ΔQ przepływającego przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie Δt do tego czasu: I = (ΔQ/Δt) . (1)Jednostką natężenia prądu jest amper w skrócie oznaczany A. Natężenie prądu jest równe 1 amper gdy w ciągu 1 sekundy przez dowolnie wybrany przekrój (np. BD – Rys.1) przepływa ładunek 1 kulomb, zatem: 1A = 1C/1s.

Natężenie prądu można wyrazić przez prędkość dryfu i koncentrację n elektronów przewodnictwa. Koncentracja elektronów przewodnictwa n jest to ich liczba (ilość w sztukach) w jednostce objętości ( n ma wymiar 1/m3),; np. dla miedzi n = ok. 1028m-3 tzn, że w jednym metrze sześciennym miedzi jest 1028 elektronów przewodnictwa. Załóżmy, że prędkość dryfu elektronów przewodnictwa jest vd i chcemy obliczyć ile tych elektronów przedzie w czasie Δt przez przekrój BD (Rys.6.1). W czasie Δt przez wybrany przekrój BD przejdą wszystkie elektrony które znajdują się na prawo w odległości nie większej niż vΔt, czyli wszystkie znajdujące się w objętości SvdΔt . W tej objętości jest ich nSvdΔt. Każdy z nich niesie ładunek elementarny qe. Zatem całkowity ładunek przepływający w czasie Δt przez przekrój poprzeczny wynosi ΔQ = qenSvdΔt, zatem natężenie prądu I możemy wyrazić następująco: I = (ΔQ)/(Δt) = qen vd S (2)Iloczyn qen = ρe nazywamy gęstością objętościową ładunku. Iloraz natężenia prądu i pola przekroju powierzchni przez którą przepływa I/S nazywamy gęstością prądu j . j = ρe vd (3).

Z przedstawionego powyżej krótkiego opisu zjawiska przepływu prądu jasno wynika, że przyczyną przepływu prądu jest pole elektryczne w przewodniku mierzone przyłożonym napięciem U zaś skutkiem prąd elektryczny którego miarą jest natężenie prądu I. Jaki jest związek między przyczyną i skutkiem? Otóż, w przewodnikach metalicznych (oraz elektrolitach gdzie ładunki przenoszą na ogół jony) oczekujemy, że prędkość dryfu vd jest proporcjonalna do natężenia pola E a zatem na mocy (3) gęstość prądu j jest proporcjonalna do natężenie pola w przewodniku, co zapisujemy j = σ E (4)Współczynnik proporcjonalności σ nazywamy przewodnością właściwą materiału przewodnika. (Ten związek (4) nazywany bywa prawem Ohma w postaci mikroskopowej.)Podstawiając w (4) j = I/S oraz E = U/l otrzymujemy prawo Ohma: I = (σS/l) U (5)które głosi, że natężenie prądu I płynącego w przewodniku (czyli skutek) jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia U. Współczynnik proporcjonalności (σS/l) w (5) nazywa się przewodnością danego przewodnika a jego odwrotność oporem elektrycznym (rezystancją) R danego przewodnika. Prawo Ohma możemy zapisać w kilku równoważnych postaciach I = U/R albo IR = U albo U/I = R (6) R = ρ l/S (7)gdzie ρ nazywamy opornością właściwą materiału którego wykonano przewodnik, l jest długością przewodnika (mierzona w metrach) a S polem przekroju poprzecznego w (m2 ) .Opór R jest wielkością stałą (przy stałej temperaturze) dla danego przewodnika, niezależną od przyłożonego napięcia U i natężenia prądu I, a zależną od ,,geometrii” przewodnika – od jego długości l (wprost proporcjonalnie) i pola przekroju poprzecznego do kierunku prądu S (odwrotnie proporcjonalnie) – i rodzaju materiału. Jednostką oporu elektrycznego jest 1Ω – jeden om. Przewodnik ma opór jednego oma gdy przyłożone do niego napięcie jeden wolt wywołuje przepływ prądu o natężeniu jednego ampera - 1Ω = 1V/1A. Oporność właściwa jest wielkością zależną od rodzaju materiału z którego wykonany jest przewodnik i zmienia się gdy zmienia się temperatura t przewodnika: ρ = ρ0 {1 + α (t – t0) (8)ρ0 – jest opornością właściwą w temperaturze t0 (zwykle w 200C); np. dla miedzi ρ0 = 1,72 10-8Ωm. α jest temperaturowym współczynnikiem zmiany oporu i jest dodatni dla metali a ujemny dla półprzewodników.( np. α dla miedzi jest równa 0,0043 na stopień 0K).

Celem tego doświadczenia jest sprawdzenie praw wyrażonych równościami (6) i (7) – czyli a) prawa Ohma - natężenie prądu w przewodniku jest wprost proporcjonalne do przyłożonego napięcia , b) wzoru (7) na opór elektryczny przewodnika w postaci drutu oraz c) wyznaczenie oporności właściwej materiałów użytych w doświadczeniu.

2. Zasada pomiaru a) Prawo Ohma wyrażone równaniami (6) głosi, że dla danego przewodnika iloraz napięcia przyłożonego do przewodnika U i natężenia prądu I płynącego przez ten przewodnik w wyniku przyłożonego napięcia U jest wielkością stałą niezależną od U oraz I . Wartość tego niezależnego od U oraz I ilorazu jest liczbą charakterystyczną dla danego przewodnika nazywaną oporem elektrycznym. Inaczej mówiąc, zależność między U i I powinna być zależnością liniową a wykresem tej zależności (we współrzędnych U,I ) linia prosta przechodząca przez początek (U=0, I=0) i nachyleniu równym oporowi R (Rys.6.2b).W celu sprawdzenia prawa Ohma budujemy układ pomiarowy jak na Rys.2a, w którym zasilacz (bateria, akumulator) S oraz opornik o zmiennym oporze Rs (np. opornica suwakowa, lub zatyczkowa) pozwalają zmieniać napięcie na oporniku R o nieznanym oporze

elektrycznym. W niektórych zestawach bateria (źródło napięcia), opornica suwakowa i woltomierz stanowią jeden moduł - zasilacz o regulowanym napięciu. Woltomierz i (mili)-amperomierz mierzą wartości napięcia U na oporniku i natężenie prądu I płynącego przez opornik. Jeśli prawo Ohma jest słuszne, to zmierzone wartości Ui i Ii powinny układać się na prostej (jak na rysunku 2b).

b) W celu sprawdzenia poprawności wzoru (7) na opór elektryczny przewodnika należy zmierzyć opory przewodników drucianych (tzn w postaci drutów) wykonanych z różnych materiałów o różnych długościach i polach przekroju (średnicach). Zestaw drutów użytych w doświadczeniu składa się z sześciu drutów z trzech różnych materiałów i dwóch średnicach (podanych w opisie zestawu) o długościach 0,5m i 1m. Opór elektryczny każdego drutu wyznaczamy z (serii) pomiarów napięcia i natężenia prądu w układzie jak na Rys.6.2a. c) Mając zmierzony opór R drutu o znanej długości l i znanym polu przekroju S ze wzoru (7) obliczamy oporność właściwą materiału z którego wykonano drut oporowy.

3. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się ze źródła napięcia (zasilacza) o regulowanym napięciu na wyjściu i wbudowanym woltomierzem, (lub akumulatora iopornicy suwakowej albo zatyczkowej), opornika o nieznanej oporności, amperomierza i woltomierza oraz przewodów łączących. Zestaw łączymy według schematu pokazanego na Rys.6.2a. UWAGA! Przed włączeniem zasilania poprosić prowadzącego o sprawdzenie poprawności połączeń. W pierwszej części ćwiczenia sprawdzamy liniowość związku między napięciem i natężeniem prądu zgodnie ze wzorem (6) oraz wyznaczamy wartość oporu nieznanego opornika. W tym celu dla kilku wartości napięcia na oporniku, poczynając od najmniejszej, mierzymy natężenie prądu płynącego przez opornik. Należy zwracać uwagę aby natężenie prądu nie przekroczyło wartości 2A. Wyniki pomiarów zapisujemy w Tabeli: TABELA POMIARÓW ISymbol (oznakowanie) opornika o nieznanej oporności…………………….Lp (i) Napięcie (V) Natężenie (A) R = U/I (Ω) 12.Dokładność odczytu napięcia ΔU = ………, Dokładność odczytu natężenia ΔI = ……….

W drugiej części ćwiczenia badamy doświadczalnie zależność oporu R przewodnika drutowego od (wzór (7)): - rodzaju materiału (oporności właściwej ρ)

- jego długości l - jego pola przekroju poprzecznego S ( = πd2/4, gdzie d jest średnicą drutu).Badanie przeprowadzamy na tym samym zestawie (jak w pierwszej części) zamieniając jedynie nieznany opór zestawem sześciu przewodników z różnych materiałów o różnych średnicach i możliwości zmiany ich długości. Podobnie jak poprzednio nie należy przepuszczać prądu o natężeniu większym niż ok. 1,5A i nie dopuszczać do zbytniego nagrzewania przewodników, powoduje to bowiem zmianę oporności właściwej. Pomiary należy przeprowadzić przynajmniej dla jednego materiału i dla różnych długości (1m oraz 0,5m) dla jednej średnicy i powtórzyć dla innej wartości średnicy. Oznacza to konieczność wykonania co najmniej czterech serii pomiarów. Wyniki zapisujemy w Tabelach:

TABELA POMIARÓW II.1Przewodnik nr … z materiału: ………. , długość l = ……. (m) , średnica d = ……….(m)Lp (i) Napięcie (V) Natężenie (A) R = U/I (Ω) 12.Podobnie robimy dla pozostałych drutów.

4. Analiza i opracowanie pomiarów Opracowanie części a) doświadczenia polega na- sporządzeniu wykresu zależności natężenia prądu płynącego przez opornik od napięcia przyłożonego do opornika. ,,Punkty” pomiarowe nanosimy na wykres zaznaczając dokładność pomiaru natężenia i napięcia co w efekcie daje ,,krzyżyki”. Pomiary powinny układać się wzdłuż prostej (jak na Rys6..2b) o nachyleniu równym odwrotności oporu opornika (odwrotność oporu nazywamy przewodnością). Sporządzamy tabelę pomocniczą do wyznaczenia nachylenia prostej. - wyliczeniu nachylenia (czyli przewodności opornika) prostej I – U/R metodą najmniejszych kwadratów. - na niesieniu na wykres punktów pomiarowych prostej o znalezionym nachyleniu. Odwrotność nachylenia daje wartość oporu elektrycznego opornika. - obliczeniu wartości R i podaniu wyniku pomiaru oporu.

Opracowanie części b) i c) doświadczenia polega na- obliczeniu oporu dla każdego z przewodników zestawu i obliczeniu oporności właściwej materiału przewodnika. Dla uproszczenia opracowania opór wyznaczamy nie z nachylenia prostej I (V) ale obliczamy jako średnią arytmetyczną z n pomiarów cząstkowych (średnia z ostatniej kolumny Tabeli II.1) oraz obliczamy błąd średni wartości średniej. W wyjątkowych przypadkach może to być jeden pomiar dla danego przewodnika. Wyniki zbieramy w tabeli:

TABELA IIIPomiar oporu właściwego wybranych materiałów

Materiał Długość l(m) Pole przekroju S (m2) Oporność R (Ω) Oporność właściwa (Ωm)…….

….

5. Konkluzja Konkluzja winna zawierać omówienie stopnia zgodności wyników pomiarów z teorią wyrażoną równaniami (6) i (7). Zmierzone oporności właściwe należy porównać z danymi tablicowymi.

6.Zadania do Ćw. nr.6 –,, Prawo Ohma”1.Zadanie 6.6 z cz.3 Konspektu ,,Ćwicz. Rach.”2. Zadanie 6.7 z cz.3 Konspektu ‘’3.zadanie 6.8 z cz.3 Konspektu „4.Zadanie 4. Oblicz różnicę potencjałów (napięcie) między punktami A i B obwodu na przedstawionego poniżej. Czy napięcie zmieni się, a jeśli zmieni się to ile będzie równe gdy między punkty A i B włączymy a) opór R3=500Ω albo b) kondensator o pojemności C =5μF?

5. Zadanie 5. Oporniki o oporze (rezystancji) 1000Ω i 2000Ω oraz bateria o znikomym oporze wewnętrzny dająca napięcie 100V są połączone w szereg. Jakie będzie natężenie prądu w takim obwodzie? Jakie będą napięcia na opornikach? Jeśli do pomiaru napięcia na opornikach użyjemy woltomierza o oporze wewnętrznym 2000Ω to jakie wartości napięcia na oporach pokaże woltomierz?

Ćwiczenie nr 7 Sprawdzanie praw Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych1. Wstęp Zbiór oporników, źródeł zasilania (baterii) i ewentualnie innych elementów (jak np. kondensatory, cewki indukcyjne itp.) połączonych ze sobą przewodnikami o zaniedbywanym oporze elektrycznym stanowi obwód elektryczny. Kirchhoff sformułował dwa prawa, które pozwalają na obliczanie natężenia prądu płynącego przez dowolny element obwodu gdy mamy dane napięcia (SEM) źródeł i oporności oporników w obwodzie. [ SEM = siła elektromotoryczna źródła jest to napięcie jakie daje źródło gdy nie płynie przez nie żaden prąd. Każde źródło ma również pewien opór własny zwany oporem wewnętrznym r. Gdy przez źródło płynie prąd o natężeniu I , to napięcie jakie daje źródło jest równe SEM pomniejszonej o wartość Ir.] Każdy obwód elektryczny w którym płynie (płyną) prąd elektryczny musi być obwodem zamkniętym, tzn wychodząc z dowolnego miejsca w obwodzie możemy do niego wrócić przechodząc po drodze różne elementy obwodu. Każdy zamknięty obwód elektryczny składa się z węzłów i oczek (pętli). Węzeł to taki punkt (miejsce) w obwodzie w gdzie spotykają się (stykają się) różne przewody łączące elementy obwodu (Rys1). Oczko (pętla) w obwodzie jest to każda z możliwych dróg obchodzenia obwodu, która pozwala na powrót do punktu wyjścia po ,,obejściu” obwodu – w istocie jest to możliwa ścieżka obejścia dla nośnika prądu (Rys7.1)

Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczy węzłów i głosi: Suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z węzła. W przypadku obwodu na Rys1 węzły A i B są równoważne i pierwsze prawo Kirchhoffa oznacza równość: I1 = I2 + I3 (1)Jeśli prąd płynący w przeciwnym kierunku nazwiemy –I , to prawo możemy sformułować równoważnie tak: algebraiczna sume natężeń prądów w węźle jest rowna zero: Σ Ii = 0 (2).

Pierwsze prawo Kirchhoffa jest konsekwencją zasady zachowania ładunku elektrycznego, która głosi, że algebraiczna suma ładunków elektrycznych w układzie izolowanym jest stała w czasie, niezależnie od tego jakie procesy (zjawiska) zachodzą w układzie. Drugie prawo Kirchhoffa dotyczy pętli w obwodzie i jest konsekwencją zasady zachowania energii. Głosi ono, że algebraiczna suma spadków napięć w oczku jest równa sumie sił elektromotorycznych (SEM) w pętli: Σ IiRi = Σ i (3).Drugie prawo Kirchhoffa jest konsekwencją zasady zachowania energii. W istocie to prawo głosi, ze źródła (SEM) są źródłami energii o oporniki jej konsumentami - energia dostarczana przez źródło jest równa energii traconej na ciepło w opornikach. Celem doświadczenia jest sprawdzenie praw (1)/(2) oraz (3).2. Zasada pomiaru Sprawdzenie praw Kirchhoffa sprowadza się do zbudowania obwodu elektrycznego takiego jak na Rys.7.1 (lub podobnego, np. bez dodatkowego źródła) oraz pomiarze wszystkich natężeń prądów oraz napięć na opornikach. Opory wewnętrzne baterii można przyjąć jako równe zeru. Siły elektromotoryczne (SEM) baterii – czyli napięcie na końcówkach (biegunach) baterii gdy nie płynie przez nie prąd należy pomierzyć metodą kompensacyjną ( lub woltomierzem o znacznym oporze wewnętrznym).

3. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się trzech oporników, baterii (albo zasilacza) oraz amperomierza i woltomierza bądź (w zależności od możliwości pracowni) miernika uniwersalnego, który może spełniać rolę zarówno woltomierza jak i amperomierza. Zmontowany układ pomiarowy zostanie dostarczony na Pracowni.UWAGA! Pamiętaj, że w celu pomiaru natężenia prądu w jakimś odcinku obwodu amperomierz włączamy szeregowo pomiędzy końcówki elementów obwodu. Podobnie pamiętaj, że w celu pomiaru napięcia na jakimś elemencie obwodu woltomierz włączamy równolegle do tego elementu. Jeśli nie wiesz jakich wartości natężenia lub napięcia można oczekiwać to mierniki wielozakresowe należy ustawiać na maksymalnych zakresach i ewentualnie potem przełączać na mniejsze zakresy w celu dokładniejszego pomiaru. W celu sprawdzenia pierwszego prawa Kirchhoffa budujemy układ elektryczny jak na Rys.7.1 (Układ jest dostarczony studentom). Schemat obwodu z oznaczeniem prądów i napięć rysujemy obok Tabeli pomiarów. Mierzymy amperomierzem natężenia prądu I1 wpływającego do węzła A na Rys.7.1 oraz natężenia prądów I2 i I3 wypływających z węzła. Powtarzamy pomiary dla węzła B ze zmienionymi wartościami oporu oporników.. Pomiary zapisujemy w Tabeli 1 i dołączamy schemat obwodu ze wskazaniem oznaczeń prądów i napięć.

TABELA 1I1 (A) I2 (A) I3(A) I (A) .... Dokładność pomiaru natężenia prądu ΔI = …………(A) Schemat obwodu

W celu sprawdzenia drugiego prawa Kirchhoffa mierzymy spadki napięć na wszystkich trzech oporach oraz wyznaczamy (mierzymy) SEM baterii. SEM baterii należy zmierzyć woltomierzem o bardzo dużym oporze wewnętrznym albo metodą kompensacyjną wykorzystując mostek Wheatstone’a jako potencjometr ( Por. ćwiczenie ,,Mostek Wheatstone’a). [W wyjątkowych przypadkach przyjąć znamionową wartość SEM]Wyniki pomiarów zapisujemy w Tabeli 2.

TABELA 2U1 (V) U2 (V) U3 (V) E1(V) E2 (V)....

Dokładność pomiaru napięć i SEM ΔU = ….. (V)

4/5. Analiza wyników, rachunek błędów i konkluzja W tym doświadczeniu należy zwrócić uwagę na możliwe przyczyny niedokładności wskazań mierników oraz prawidłowo oszacować dokładność pomiaru napięć i natężeń. Standardowo przyjmuje się, że dokładność odczytu wskazań przyrządu wskazówkowego jest równa najmniejszej działce skali (zakresu). Oprócz błędów odczytu mogą ewentualnie występować inne błędy, które należy uwzględnić lub wyeliminować.

Analiza wyników i konkluzja winny zawierać porównanie lewych i prawych stron praw (1)/(2) oraz (3) oraz komentarz dotyczący stopnia zgodności wyników doświadczalnych z tymi prawami

6.Zadania do Ćw.nr.7 ,,Prawa Kirchhoffa”Zadanie 1. Znajdź natężenie prądu I płynącego przez baterię i przez każdy z oporników przy ich połączeniu równoległym pokazanym na rysunku 7.2. Opór wewnętrzny baterii pomijamy.

Zadanie 2. Oblicz natężenie prądu płynącego przez odbiornik o oporze R przy dwóch połączeniach baterii zasilających a) równoległym i b)szeregowym, (Rys.7.3).

Zadanie 3. Oblicz natężenia I1, I2 prądów płynących przez opory R1 i R2 (rys).Oblicz też moc wydzieloną na/w tych oporach.

Zadanie 6.13 z cz.3 Konspektu

Ćwiczenie nr 8 Pomiar współczynnika załamania światła

1. Wstęp Przy opisie rozchodzenia się światła (i nie tylko światła ale innych fal również) wygodnie jest wprowadzić pojęcie promienia świetlnego. Światło jest falą elektromagnetyczną. Każdej fali można przypisać kierunek rozchodzenia się. Kierunek rozchodzenia się fali charakteryzuje jednostkowy wektor n prostopadły do czoła fali. Czołem fali nazywamy powierzchnię jednakowej fazy – np. czołem fali może być wybrana powierzchnia w przestrzeni na której fala ma maksimum. Jeśli ta powierzchnia jest płaszczyzną to falę nazywamy falą płaską, jeśli jest sferą to falę nazywamy fala sferyczną albo kulistą. [Z wektorem n związany jest tzw wektor falowy k = (2/)n] Gdy narysujemy linię ciągłą w przestrzeni do której wektor n (a więc i k ) jest styczny (pokrywa się z tą linią) to mówimy wtedy o rozchodzącym się promieniu. Zatem promień przedstawiamy linią ciągłą i pokazuje on (lokalny) kierunek rozchodzenia się czoła fali. Pojęcie promienia świetlnego jest szczególnie wygodne w tzw optyce geometrycznej czyli w takich sytuacjach gdy zjawiska interferencji i dyfrakcji (por. Cw. 12)nie odgrywają istotnej roli i można je zaniedbać. Interferencji i dyfrakcji nie musimy uwzględniać wtedy, gdy nie przepuszczamy światła przez wąskie (o rozmiarach porównywalnych z długością fali) otwory, szczeliny, itp. W optyce geometrycznej obowiązują trzy prawa rządzące rozchodzeniem się promieni świetlnych:1) W ośrodku (środowisku) jednorodnym promienie są liniami prostymi;2) Na płaskiej granicy dwóch różnych (izotropowych) ośrodków jednorodnych

następuje odbicie promieni i kąt odbicia jest równy kątowi padania (Rys. 8.1), przy czym promień padający i odbity oraz prostopadła do granicy ośrodków leżą w jednej płaszczyźnie;

3) Gdy fala wnika do drugiego ośrodka (tzn jest on przeźroczysty dla światła) jej kierunek rozchodzenia się ulega zmianie – mówimy, że promień (fala) ulega załamaniu. Zmianą kierunku rządzi prawo Snell’a postaci (Rys. 1):

(sin)/(sinβ) = n2,1 = v1/v2 (1) przy czym promień padający, prostopadła do granicy ośrodków i promień załamany (w ośrodkach izotropowych) leżą w jednej płaszczyźnie. Liczbę n2,1

nazywamy współczynnikiem załamania ośrodka drugiego względem pierwszego. Współczynnik załamania jest równy ilorazowi (stosunkowi) prędkości (fazowych) światła w ośrodkach – wyjaśnia to Rys.8.1b.

[Gdy promień 1 dociera do granicy ośrodków w punkcie A to promień 2 dotrze do granicy po czasie t, przy czym O’A = v1t. W tym czasie promień załamany 1’ w drugim ośrodku przebędzie drogę OA’ = v2t zaś promień 2 ulegnie w tym momencie załamaniu i dalej będą biec równolegle. Z geometrii (stąd nazwa optyka geometryczna) trójkątów, po podzieleniu stronami otrzymujemy prawo Snell’a.] Prędkość fal elektromagnetycznych ( a więc i światła) w próżni nie zależy od długości fali (a więc i częstości fali f = c/), czyli od barwy światła, i wynosi c = 3 108m/s. Gdy odnosimy prędkość światła w próżni (ośrodek 1) do prędkości światła w innym ośrodku (ośrodek 2) to mówimy o bezwzględnym współczynniku załamania (albo o współczynniku załamania danego ośrodka względem próżni). O stosunku sinusów we wzorze (1) decyduje względny współczynnik załamania równy stosunkowi bezwzględnych współczynników załamania: n2,1 = v1/v2 = (v1/c)(c/v2) = n1/n2 . Zwykle ośrodkiem ,,1“ jest powietrze dla którego bezwzględny współczynnik załamania jest bardzo bliski jedności; zatem współczynnik załamania względem powietrza jest praktycznie równy bezwzględnemu współczynnikowi załamania ośrodka ,,2” podawanemu w Tablicach fizycznych. W ośrodkach innych niż próżnia prędkość rozchodzenia się światła, a więc i współczynnik załamania, zależą od częstości f ( długości fali = v/f, gdzie v prędkość fali w danym ośrodku) a więc barwy światła – prowadzi to do zjawiska rozczepienia światła białego na barwy składowe. W ośrodkach nie izotropowych prędkość rozchodzenia zależy również od polaryzacji światła, prowadzi to do zjawiska dwójłomności – w ośrodku pojawiają się dwa promienie załamane pod różnymi kątami. Celem tego ćwiczenia jest: 1) pomiar współczynnika załamania światła dla szkła ( i ewentualnie wody), oraz 2) zbadanie zależności współczynnika załamania szkła od długości (częstości) fali świetlnej. Ponieważ długość fali (albo częstość f = c/) określa barwę, więc inaczej mówiąc celem 2) będzie zbadanie zależności współczynnika załamania szkła od barwy światła. [Długości fal (w nm = nanometrach)odpowiadające różnym odcieniom barwy zasadniczej są następujące: barwa czerwona , = ok.610 – ok.670; barwa żółta, = ok.530 – ok.590; barwa fioletowa, = ok.400 – ok.480.]

2. Zasada pomiaru

Do pomiaru współczynnika załamania szkła (i ewentualnie wody – gdy wystarczy czasu) użyjemy płytki szklanej (ewentualnie płaskiej kuwety z wodą) oraz mikroskopu. Pomiar opiera się na pozornej zmianie grubości (głębokości) warstwy szkła (lub wody) gdy promień świetlny przechodzi przez tę warstwę. Zasadę pomiaru ilustruje Rys.8.2.

Gdy promień świetlny ON wychodzi z punktu O na dnie warstwy pod kątem , przechodzi przez warstwę (której rzeczywista grubość jest d) i dociera do punktu N gdzie ulega załamaniu, to dalej biegnie w kierunku NT. Obserwator, patrzący z góry, widzi promień NT, którego przedłużenie przecina się z prostopadłą OM w punkcie O’ odległym o d’ od powierzchni MN. Obrazem (pozornym) punktu O jest punkt O’. Na mocy prawa Snell’a

(sin)/( sin) = 1/ n (2)gdzie n jest (bezwzględnym) współczynnikiem załamania materiału warstwy(szkła lub wody).Z drugiej strony z geometrii trójkątów MNO i MNO’ mamy: sin = (MN)/(ON) sin = (MN)/(O’N)czyli n = (sin)/(sin) = (ON)/(O’N).Gdy obserwujemy promienie bliskie prostopadłej OM (np przez mikroskop) – co odpowiada małym kątom i - to przeciwprostokątne ON i O’N są prawie równe przyprostokątnym OM i O’M. Zatem: n = (sinα)/(sinβ) = ON/O’N ≈ OM/O’M = d/d’ (3),

d’ nazywamy pozorną grubością płytki ( albo pozorną głębokością wody). W doświadczeniu należy zatem zmierzyć rzeczywistą grubość płytki d (albo rzeczywistą głębokość wody) i pozorną grubość d’ przy pomocy mikroskopu. W drugiej części doświadczenia należy zmierzyć współczynnik załamania światła o różnych barwach (czerwonej, żółtej, fioletowej) w szkle. Do tego celu używamy pryzmatu szklanego o kącie łamiącym (Rys.8.3). Gdy na pryzmat pada promień 1 to ulega on załamaniu i w pryzmacie biegnie jako promień 2, który ulega powtórnemu załamaniu na drugiej powierzchni i wychodzi jako promień 3. Kierunek rozchodzenia się promienia 3 tworzy z kierunkiem rozchodzenia promienia 1 kąt nazywany kątem odchylenia.

Kąt odchylenia można znaleźć w oparciu o twierdzenie z geometrii głoszące, że kąt zewnętrzny w trójkącie jest równy sumie kątów wewnętrznych nie przylegających do kąta zewnętrznego (patrz rysunek w ramce).W przypadku pryzmatu z Rys.8.3 kąt odchylenia, jako kąt zewnętrzny w trójkącie ABC wyraża się przez kąty padania i załamania na obu powierzchniach: = (1 - 1) + (2 - 2). Kąt załamania na pierwszej powierzchni (w punkcie A na Rys8..3) oraz kąty padania i załamania na drugiej powierzchni (w punkcie C) zależą od kąta padania 1 i współczynnika załamania szkła z którego jest wykonany pryzmat. Zatem kąt odchylenia jest dość skomplikowaną funkcją kąta α1. Wykorzystując geometryczne własności trójkątów można pokazać (czego nie będziemy tego tutaj robić), że kąt odchylenia promienia padającego na pryzmat jest minimalny gdy bieg promienia jest symetryczny, tzn 1 = 2 i 1 = 2 (Rysunek w ramce Rys.8.4: γ = f(α1,n) osiąga minimum gdy α1= α2) .

Dla symetrycznego biegu promienia (Rys.8.4) OA = OC (trójkąt AOC jest równoramienny) kąt odchylenia jest minimalny, oznaczmy go γmin, i wtedy kąt padania i kąt załamania są określone przez kąt łamiący pryzmatu φ i minimalny kąt odchylenia a współczynnik załamania szkła z którego wykonano pryzmat można obliczyć ze wzoru: sin α n = ——— , gdzie: α = ½ (γmin + φ) , β = φ/2 (4). sin β .[ Gdy kąt łamiący pryzmatu jest bardzo mały to i odchylenie jest małe, wtedy gdy zarówno φ/2 jak i (γ +φ)/2 są dużo mniejsze niż 1 radian, to stosunek sinusów we wzorze (4) można zastąpić stosunkiem kątów. Otrzymujemy wtedy szczególnie prosty wzór na odchylenie promieni przez ,,ostry” pryzmat: γ = (n-1)φ ] Gdy współczynnik załamania n jest różny dla różnych barw wtedy kąty odchylenia są również różne dla różnych barw – mówimy, że pryzmat rozczepia światło ,,białe” będące mieszaniną barw na barwy składowe. Istota pomiaru sprowadza się wtedy do dwóch kroków: 1) po pierwsze zmieniając kąt padania światła białego na pryzmat (przez obrót pryzmatu) znajdujemy taki kąt padania przy którym odchylenie barwy środkowej (żółtej) jest najmniejsze, następnie 2) mierzymy kąty odchylenia dla każdej z barw i podstawiamy do wzoru (4).

3. Pomiary Część 1-sza. Pomiar współczynnika załamania szkła. Zestaw pomiarowy składa się z mikroskopu, suwmiarki i płytki szklanej której współczynnik załamania mamy wyznaczyć. Rzeczywistą grubość płytki d mierzymy kilkakrotnie przy pomocy suwmiarki i zapisujemy wyniki w tabeli pomiarów. Następnie na jednej stronie płytki robimy rysy i kładziemy ją na stoliku przedmiotowym mikroskopu, rysami do dołu. Znajdujemy ostry obraz rys przesuwając tubus mikroskopu mierzymy (suwmiarką lub śrubą mikrometryczną) i zapisujemy wysokość położenia tubusu x. Przesuwając tubus wyżej znajdujemy ostry obraz powierzchni szkła i zapisujemy położenie tubusu y [na powierzchni płytki można rozsypać nieco proszku kredowego aby nie przeoczyć górnej powierzchni]. Różnica położeń y – x jest pozorną grubością płytki d’. Pomiar powtarzamy również kilkakrotnie. Stosunek d/d’ daje wartość n. Wyniki zapisujemy w Tabeli pomiarów. Współczynnik załamania wody wyznaczamy podobnie. Na dno kuwety wsypujemy opiłki żelaza i mierzymy położenie tubusu x gdy ich obraz jest ostry. Następnie wlewamy do kuwety wodę. Wlewamy tyle wody aby jej głębokość była kilka milimetrów. Znajdujemy ostry obraz opiłków oglądanych przez mikroskop i mierzymy wysokość położenia tubusu y. Dalej przesuwając tubus znajdujemy ostry obraz powierzchni wody [na powierzchni wody można rozsypać nieco zmielonego korka] i notujemy położenie tubusu z . Rzeczywista głębokość wody d = z – x, a pozorna d’ = z – y. Stosunek d/d’ daje wartość n. Pomiar powtarzamy kilkakrotnie i wyniki zapisujemy w Tabeli. Tabelę pomiarów sporządzamy według dowolnie przyjętego układu.

Część 2-ga. Pomiar zależności współczynnika załamania szkła od długości fali (barwy) światła. Zestaw pomiarowy składa się z ławy optycznej, pryzmatu i długiej miary metrowej (metrówki). Kąt łamiący pryzmatu φ wyznaczamy ze wzoru cosinusów na podstawie pomiaru długości boków pryzmatu.[Wzór cosinusów: w trójkącie o bokach a, b, c i kącie φ między bokami a i c zachodzi: b2 = a2 + c2 - 2ac cosφ, skąd mając a, b, c obliczamy cosinus kąta φ a następnie kątφ] Pomiaru długości boków dokonujemy przy użyciu suwmiarki.

Następnie umieszczamy pryzmat na obrotowym stoliku ławy optycznej. Obracając pryzmatem, metodą prób i błędów (,,na oko”), znajdujemy takie ustawienie pryzmatu przy którym odchylenie wiązki jest minimalne. Jako ekran należy wykorzystać odległą ścianę sali – wtedy możemy dość precyzyjnie znaleźć minimalne odchylenie. Na ekranie (ścianie) pojawi się wtedy kolorowa ,,tęcza” rozczepionych promieni świetlnych.

Aby wyznaczyć kąt odchylenia dla poszczególnych barw należy zmierzyć odległość y pryzmat – ekran wzdłuż kierunku wiązki padającej (ta odległość jest taka sama dla wszystkich barw) oraz odległość x prążka danej barwy od punktu (A) padania wiązki nie odchylonej. Stosunek x/y jest wtedy tangensem kąta odchylenia. Mając wartość tangensa znajdujemy kąt odchylenia, który jest równy arcusowi tangensa(x/y).Pomiary wykonujemy kilkakrotnie. Wyniki notujemy w Tabeli pomiarów sporządzonej wg dowolnego układu uzupełniając ją o schematyczny rysunek ilustrujący metodę.

4. Analiza i opracowanie wynikówAnaliza wyników sprowadza się do obliczenia średnich wartości współczynników

załamania i oszacowania dokładności. Jeśli mamy co najmniej pięć pomiarów to należy obliczyć średnią wartość i błąd średni kwadratowy. Należy tez skomentować możliwość wystąpienia błędów systematycznych – błędów metody.

5. KonkluzjaW konkluzji należy zebrać wyniki podając wartości średnie z błędami statystycznymi,

porównać z wartościami tablicowymi oraz skomentować ewentualne rozbieżności otrzymanych wyników z danymi tablicowymi.

6.Zadania i pytania do Ćw.nr.8 ,,Współczynnik załamania”

Zadanie 1. Zbiornik zawiera jedne na drugiej warstwy (licząc od dna): 1) szkła o grubości 8cm i współczynniku załamania 1,6 ; 2) warstwę cieczy nie mieszającej się z wodą o grubości 4,5cm i współczynniku załamania 1,5, oraz 3)

warstwę wody o grubości 6cm i współczynniku załamania 4/3. Na dnie zbiornika jest zrobiona rysa. Jaka jest pozorna głębokość na której widzi rysę obserwator patrzący z góry?Zadanie 2. Nurek znajduje się na głębokości h = 5m pod powierzchnią czystego jeziora o idealnie gładkim i płaskim lustrze wody o współczynniku załamania n=3/4. Oblicz promień koła na powierzchni wody wewnątrz którego nurek widzi przedmioty znajdujące się na (i nad) powierzchni.Zadanie 3. Na płaską płytkę o grubości d=2cm pada promień światła pod kątem 300 i ulega przesunięciu o l=0,5cm. Oblicz współczynnik załamania materiału płytki oraz czas w jakim promień przebędzie płytkę?Zadanie 4. Na jedną ze ścian pryzmatu ze szkła o współczynniku załamania 1,5 i o przekroju trójkąta równobocznego o boku a pada prostopadle promień światła. Miejsce padania jest odległe od wierzchołka o 0,25a. Czy i o jaki kąt odchyli się promień wychodzący? Jaki powinien być wsp. zał. Aby nie wystąpiło całkowite wewnętrzne odbicie? Zadanie 5 Zadanie 10.4 z Konspektu cz.3 ,, Cw. Rachunkowe”____________________________________________________________

Ćwiczenie nr 9 Wyznaczanie ogniskowych soczewek – ława optyczna

1. Wstęp Soczewka jest to przedmiot wykonany z przeźroczystego dla światła materiału (zwykle szkła), którego dwie powierzchnie ograniczające są sferami. Soczewki mogą być skupiające (zbierające) – wtedy ich grubość w środku jest większa niż na obrzeżach, lub rozpraszające (rozbieżne) – gdy ich grubość w środku jest mniejsza niż na obrzeżach. [ Taki prosty związek między grubością soczewki sferycznej a rodzajem nie obowiązuje ogólnie i jest słuszny w sytuacji gdy środowisko (ośrodek) w którym znajduje się soczewka ma współczynnik załamania (por. Ćw.nr 8) mniejszy niż materiał z którego wykonano soczewkę.] Te typy soczewek wraz z nazewnictwem używanym w optyce ilustruje Rys.9.1 i 9.2

Dla soczewek sferycznych (a jedynie takie są praktycznie w użyciu) środki sfer ograniczających soczewkę nazywamy środkami krzywizny soczewki a promienie sfer promieniami krzywizny powierzchni ograniczających. Osią optyczną (nazywaną też osią główną) soczewki nazywamy linię prostą przechodzącą przez jej środek i środki krzywizny. Doświadczenie pokazuje, że gdy wąską wiązkę światła biegnącą blisko i równolegle do osi optycznej skierujemy na soczewkę to po przejściu przez soczewkę wiązka skupi się w punkcie zwanym ogniskiem soczewki , które jest ogniskiem rzeczywistym dla soczewki skupiającej i ogniskiem pozornym dla soczewki rozpraszającej, Rys. 9.3. W doświadczeniu, dysponując soczewkami obu typów, należy pokazać – zilustrować pojęcie ogniska rzeczywistego i pozornego. Należy też pokazać, że położenie ogniska nie zależy od tego na którą powierzchnię soczewki pada wiązka. Inaczej mówiąc bieg promieni w soczewce jest symetryczny względem zamiany lewa – prawa powierzchnia.

Odległość między ogniskiem a środkiem soczewki nazywamy ogniskową. Ponieważ, jak pokażecie, ogniska leżą symetrycznie po obu stronach soczewki – ich odległość od środka soczewki jest taka sama, zatem każda soczewka ma jedną ogniskową ale dwa ogniska. Ogniskowa dla soczewek zbierających jest (umownie) przyjęta jako dodatnia, zaś ogniskowa soczewek rozpraszających jest przyjęta jako ujemna. Dla opisu i ilustracji graficznej przechodzenia światła przez soczewki ( i nie tylko przez soczewki) z całej wiązki światła zwykle wybieramy pewne reprezentatywne promienie świetlne których kierunek jest zgodny z kierunkiem wiązki. Te promienie to zwykle: 1) promień równoległy do osi optycznej, 2) promień przechodzący przez środek soczewki, 3) promień przechodzący przez ognisko. Przed przystąpieniem do ćwiczenia należy umieć pokazać bieg tych promieni oraz opanować umiejętność znajdowania obrazów przedmiotów. Dla każdego promienia równoległego do osi optycznej przejście przez soczewkę można traktować jako przejście przez lokalnie równoważny pryzmat. Soczewkę natomiast można traktować jako dwa złożone podstawami pryzmaty. Każdy pryzmat wykonany z materiału o współczynniku załamania n i kącie łamiącym α odchyla kierunek biegu promienia o kąt (n-1)α (por. Cw.nr 8). Im dalej od osi optycznej tym kąt łamiący równoważnego pryzmatu jest większy i promień jest silniej odchylany ale każdy z nich przetnie się z osią optyczną w tym samym punkcie – ognisku. Szczegółowe rozpatrzenie biegu promieni równoległych do osi pokazuje, że odległość ogniska od środka soczewki wykonanej z materiału o współczynniku załamania n -czyli ogniskowa f dana jest wzorem: 1/f = (1/R1 + 1/R2) (n – 1) (1)

przy czym powierzchni wypukłej odpowiada promień dodatni a wklęsłej ujemny. Celem ćwiczenia jest pomiar ogniskowej f soczewki dostarczonej przez optyka. Z powyższego wzoru można by obliczyć ogniskową. Jednak pomiar promieni krzywizny wymaga specjalnego przyrządu (sferometru) a dodatkowo należy znać współczynnik załamania materiału soczewki. W tym doświadczeniu postąpimy inaczej.

2. Zasada pomiaru Dla każdej soczewki istnieje związek między odległością x przedmiotu od środka

soczewki i odległością y obrazu od środka soczewki. Łatwo ten związek znaleźć analizując

geometrię rysunku 9.4. Na mocy podobieństwa trójkątów po stronie przedmiotu i po stronie obrazu otrzymujemy związek:

1/x + 1/y = 1/f lub f = xy/(x + y) (2) nazywany równaniem soczewki.

Zatem ogniskową możemy obliczyć z równania soczewki (2) mając zmierzone odległości przedmiotu i obrazu od soczewki.

Inną postać równania soczewki zaproponował Newton. Mianowicie, oznaczając przez s odległość przedmiotu od ogniska leżącego po stronie przedmiotu (x=s+f) a przez s’

(s prim!) odległość obrazu od ogniska leżącego po stronie obrazu (y=s’+f) i podstawiając do równania (2) otrzymamy równanie Newtona dla soczewek:

ss’ = f2 (3).

Dla każdej soczewki zbierającej istnieją dwa położenia soczewki w których przy ustalonej odległości między przedmiotem a obrazem (większej od 4f) powstają ostre obrazy jeden powiększony drugi pomniejszony. W obu symetrycznych położeniach soczewki suma odległości przedmiotu od soczewki obrazu od soczewki pozostaje stała i równa l . Przesunięcie soczewki o d prowadzi do powstania drugiego ostrego obrazu przy czym odległości x i y zamieniają się wartościami. Krótkie przekształcenie równania soczewki prowadzi do związku (narysuj obie sytuacje i wyprowadź ten związek!):

f = (l2 – d2)/4l (4)

Wyznaczanie ogniskowej soczewki z wzoru (2) lub (4) jest łatwe gdy mamy soczewki zbierające i odległości przedmiot-soczewka są tak dobrane, że powstaje obraz rzeczywisty (czyli widzimy go na ekranie umieszczonym w odległości soczewka-obraz). W przypadku soczewek rozpraszających do pomiaru ich ogniskowej musimy użyć drugiej soczewki skupiającej o znacznej zdolności skupiającej czyli krótszej ogniskowej niż (wartość bezwzględna) ogniskowej rozpraszającej. Obie soczewki połączone razem muszą dać układ skupiający. ZDOLNOŚĆ SKUPIAJĄCA (albo zbierająca) SOCZEWKI Φ JEST RÓWNA ODWROTNOŚCI OGNISKOWEJ f-1. Jednostką zdolności zbierającej jest DIOPTRIA. Soczewka ma zdolność zbierającą +1 dioptria gdy jest soczewką skupiającą o ogniskowej 1m. Soczewka ma zdolność skupiającą -1 dioptria gdy jest soczewką rozpraszającą o ogniskowej -1m.

Można wykazać, że dla dwu soczewek cienkich stykających się i o wspólnej osi optycznej ich zdolności skupiające dodają się algebraicznie Φukładu = Φskup + Φrozpr = Φskup - │ Φrozpr│ (5) czyli ogniskowa f układu dwu soczewek o ogniskowych f1 i f2 stykających się ze sobą (należy pamiętać, że dla soczewki rozpraszającej ogniskowa jest ujemna!) spełnia : f-1 = f 1

-1 + f 2-1 (5’)

Aby wyznaczyć ogniskową soczewki rozpraszającej musimy mieć drugą soczewkę zbierającą o większej zdolności zbierającej niż zdolność rozpraszająca soczewki pierwszej. Układ obu soczewek jest wtedy układem skupiającym i wtedy można zmierzyć ogniskową układu metodami wskazanymi powyżej – równania (2) i (4).

3. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się z ławy optycznej z wyposażeniem oraz dwu soczewek zbierającej i rozpraszającej, których ogniskowe należy zmierzyć. Do zestawu ławy dołączona jest instrukcja z fragmentami której należy się zapoznać na ćwiczeniach. Do wyznaczenia ogniskowej soczewki zbierającej z równania soczewki ustawiamy przedmiot , którym może być przesłona z ,,1”-ką w zestawie, w pewnej odległości x od soczewki i poszukujemy takiego położenia ekranu gdy pojawi się na nim ostry obraz ,,1”-ki, mierzymy odległość y obrazu od soczewki i wyliczamy ogniskową ze wzoru (2). Pomiary powtarzamy dla co najmniej pięciu różnych położeń x i y. Wyniki zbieramy w Tabeli pomiarów.

Tabela I – soczewka skupiająca Lp Odl. przedmiotu x (cm) Odl. obrazu y (cm) Ogniskow f( m) Zd zbier Φ(dioptrie)123.. Do wyznaczenia ogniskowej drugą metodą (wzór (4)) – nazywanej czasem metodą przemieszczenia soczewki – ustalamy odległość l przedmiotu od obrazu (ekranu) i przesuwając soczewkę znajdujemy pierwszy ostry obraz i notujemy położenie x1 soczewki następnie przesuwamy soczewkę i szukamy drugiego ostrego obrazu , notujemy położenie x2 soczewki. Wartość bezwzględna różnicy I x1 – x2 I = d. Wykonujemy kilka pomiarów dla różnych l. wyniki notujemy w tabeli podając :

Tabela II – soczewka skupiającalp l (cm) x1 (cm) x2 (cm) d (cm) f(m) Φ (dioptrie)123

Pomiary metodą pierwszą przeprowadzamy także dla zespołu soczewek: jednej zbierającej, której ogniskową wyznaczono w Tabelach I i II oraz soczewki rozpraszającej , której ogniskową chcemy wyznaczyć.

Tabela III – soczewka skupiająca + rozpraszającalp x(cm) y (cm) f układu (m) Φukładu (dioptrie)

4. Analiza wyników i rachunek błędów.

W celu wyznaczenia ogniskowej z równanie soczewki ostateczne obliczenia ogniskowej wykonujemy dwiema metodami : a) traktujemy otrzymane wartości ogniskowej jako pomiary niezależne i liczymy wartość średnią i średni błąd kwadratowy średniej wg znanych z poprzednich ćwiczeń metod; b) możemy też sporządzić wykres zależności 1/y od 1/x , wykres ten będzie miał postać linii prostej o nachyleniu (współczynniku kierunkowym) równym -1 zaś punkty przecięcia z osiami będą mieć wartość 1/f . Prostą nożna dopasować stosując metodę najmniejszych kwadratów. W celu obliczenia ogniskowej z pomiarów przemieszczenia soczewki (wzór (4)), każdy z pomiarów traktujemy jako niezależny i obliczamy wartość średnią a następnie błąd wartości średniej. Pamiętamy, że dla soczewki rozpraszającej (o ujemnych f i Φ) korzystamy ze wzoru (5) dla obliczenia jej ogniskowej.

5. Konkluzja Podsumowujemy wyniki podając znalezione wartości ogniskowych różnymi metodami. Ewentualnie komentujemy precyzję/dokładność pomiarów i wyznaczania ogniskowych.

6.Zadania i pytania do Ćwiczenia nr 9. Wyznaczanie ogniskowych soczewek

1) Zadanie 10.1 z Konsp. Cz.3 ,, Ćwicz. Rach.”2) Zadanie 10.2 z Konsp. Cz.3 ‘’3) Zadanie 10.3 z Konsp. Cz.3 ,, Ćwicz. Rach.”

Zadanie 4. Dwie soczewki skupiające o takiej samej ogniskowej f i wspólnej osi optycznej ustawione są w odległości d = 2f od siebie. W odległości x1 przed soczewką pierwszą znajduje się rzeczywisty przedmiot. W jakiej odległości od soczewki drugiej powstanie obraz i jakie będzie jego powiększenie gdy a) x1 = 3f, oraz gdy x1 = 1,5f ?Zadanie 5 .a) Powierzchnie dwuwypukłej soczewki mają promienie krzywizny równe 8cm i 12cm a szkło z którego jest ona wykonana ma współczynnik załamania n=1,5. Oblicz jej ogniskową i zdolność skupiającą,

b) Promień krzywizny wklęsłej powierzchni soczewki płasko-wklęsłej jest równy 10cm a szkło z którego ją wykonano ma współczynnik załamania n=1,6. Oblicz jej ogniskową i zdolność skupiającą. Pytanie 6. Wyjaśnij do czego służy i jak działa lupa?Pytanie 7 . Jakie soczewki (w okularach) powinien nosić krótkowidz a jakie dalekowidz? Uzasadnij odpowiedź!

Ćwiczenie nr 10 Mostek oporowy Wheatstone’a1. Wstęp Mostek Wheatstone’a jest po pierwsze pewnym szczególnym rodzajem opornika i po drugie metodą pomiarową. Szczególność mostka jako opornika polega na tym, że

opornikiem jest (na ogół) jedno-metrowy drut o stałym polu powierzchni przekroju z materiału o małym współczynniku temperaturowym zmiany oporu (konstantan, manganin) rozciągnięty nad drewnianą listwą z podziałką milimetrową. Ponieważ opór przewodnika drutowego jest wprost proporcjonalny do długości (por Ćw. 6) to opór każdego odcinka jest wprost proporcjonalny do długości tego odcinka. Wzdłuż drutu można przesuwać zacisk stykający się z drutem i wyposażony w gniazdko do połączenia z kablem i z resztą obwodu. Mostek Wheatstone’a jest również wygodnym narzędziem do wyznaczania (pomiaru) oporu metodą mostkową. W tym doświadczeniu wykorzystamy mostek Wheatstone’a do pomiaru wartości oporu nieznanego opornika mając opornik (wzorcowy) o znanym oporze.

2. Zasada pomiaru Metoda mostkowa pomiarów opiera się na prawach Kirchhoffa i prawie Ohma zastosowanych do ,,obwodu mostka” przedstawionego na Rys.1, w którym co najmniej jeden z oporników, np. R1, może zmieniać swój opór elektryczny, R2 i R są oporami o znanym oporze elektrycznym, zaś X jest opornikiem, którego opór chcemy zmierzyć. Oprócz tego zestawu oporników musi być źródło prądu I a także czuły miernik prądu lub napięcia (galwanometr) do kontroli napięcia (prądu) UBC między punktami B i C obwodu.

Napięcie UBC zależy od wartości oporów. Możemy tak dobrać zmienny opór R1, że UBC = 0 (tzn gdy między punktami B i C włączymy miernik, to nie popłynie przez niego żaden prąd) – mówimy wtedy, że mostek jest ,,zrównoważony”. W warunkach zrównoważonego mostka natężenia prądów płynących w górnej gałęzi przez opory R1 i R2 są jednakowe (=I1) i podobnie prądy przez X i R (=I2). W mostku zrównoważonym , ponieważ potencjały punktów B i C są takie same zaś punkt A jest wspólny, to napięcie U1 na oporniku R1 jest równe napięciu Ux na oporniku X. Podobnie napięcie na R2 jest równe napięciu na R.

Zatem, U1 = Ux U2 = UR .Na mocy prawa Ohma napięcia możemy wyrazić przez iloczyny natężeń prądu i oporów, co daje równości:

I1R1 = I2X I1R2 = I2R .Dzieląc stronami te równości otrzymujemy następujący warunek równowagi mostka : R1 : R2 = X: R, tzn. X = R (R1/R2) (1) Gdy opory R1 i R2 są odcinkami drutu oporowego mostka Wheatstone’a to ich iloraz jest równy ilorazowi długości l1/l2, czyli nieznany opór X możemy obliczyć ze wzoru: X = R (l1/l2) (2)w którym R jest oporem wzorcowym (znanym z dużą dokładnością).

3. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się z mostka Wheatstone’a dla którego d = 1m, oporu wzorcowego R, kilku nieznanych oporów X, źródła prądu (baterii) i czułego miernika prądu/napięcia do znajdowania punktu B takiego aby UBC było równe zero – czyli znajdowania równowagi mostka. Układ pomiarowy łączymy wg schematu na Rys.10 2.[Zanim podłączysz źródło prądu poproś prowadzącego o sprawdzenie obwodu. Pamiętaj o Uwagach zamieszczonych w ĆW.NR 7 ! Dodatkowo: NIE DOTYKAJ DRUTU OPOROWEGO gdy jest pod napięciem! ] Pomiar sprowadza się do znalezienia takiego położenia suwaka (punktu B) przy którym miernik nie pokazuje przepływu prądu (pokazuje ,,zero”). W takim położeniu mostek jest zrównoważony. Odczytujemy długość drutu l1 i zapisujemy odczyt. Odłączamy źródło E, przesuwamy suwak w dowolne położenie i przeprowadzamy następny pomiar. Dla jednego nieznanego opornika X przeprowadzamy serię co najmniej kilku pomiarów. Wyniki zapisujemy w Tabeli: TABELAOporność (znana) R = ………..(Ω) , Długość drutu oporowego d = 1000 mmLp (i) l 1 (mm) l2 = d – l1 (mm) X = R(l1/(d-l1)) (Ω)12.

4.Analiza wyników i rachunek błędów Dla każdego z nieznanych oporników liczymy wartość średnią oporu (średnią z ostatniej kolumny Tabeli). Wyniki obarczone błędem grubym odrzucamy.

Rachunek błędów przeprowadzamy dwoma metodami:

1) liczymy błąd średni wartości średniej ( przypomnijmy metoda dobra, gdy mamy wystarczającą liczbę pomiarów n = ok10) ;2) Przy małej liczbie pomiarów (n = 5) obliczamy błąd względny wartości średniej według wzoru: (ΔX)/X = (Δl1)/l1 + (Δl1)/ (d – l1) (x 100%)Za Δl1 można przyjąć 1mm bo z taką dokładnością odczytuje się położenie suwaka, zaś za l1 wstawić średnią z n pomiarów ( średnią z pierwszej kolumny Tabeli). Bardziej precyzyjna ocena błędów winna uwzględniać wpływ niedokładności miernika na zrównoważenie mostka, co oznacza większą wartość Δl1. Tę kwestię pozostawiam studentom do dyskusji.

5. Konkluzja W konkluzji należy podać wartości zmierzonych oporów (wartości średnie wraz z błędami)

6.Zadania do Ćw.nr.10 ,, Mostek Wheatstone’a”

Pytanie 1. Co to znaczy, że mostek Wheatstone’a jest zrównoważony? Wyprowadź warunek równowagi mostka.Pytanie 2. Dla których położeń suwaka mostek jest najdokładniejszy? Dlaczego metoda mostka wyznaczania oporu nie jest dobra a) gdy opory różnią się znacznie i b) gdy są bardzo małe?Pytanie 3. Co to jest temperaturowy współczynnik oporu właściwego? Czy jest on jednakowy dla wszystkich materiałów czy jest on dodatni czy ujemny?Zadanie 4. Opornik X w mostku jest wykonany z miedzianego drutu a R = 18Ω. Gdy miedziany opornik X jest umieszczony w mieszaninie wody i lodu (00C) to równowagę mostka osiągnięto przy l1 = 52cm a l2 = 48cm.Natomiast, gdy umieszczono go we wrzącej wodzie (1000C) to równowagę osiągnięto przy l1 = 60,5cm a l2 =39,5cm. Na podstawie tych danych wyznacz temperaturowy współczynnik oporu miedzi.

Ćwiczenie nr 11. Pomiar wilgotności względnej powietrza psychrometrem aspiracyjnym

1. Wstęp

Powietrze suche składa się w dominującej części z azotu (78%) i tlenu (21%) pozostały 1% stanowią związki węgla, tlenu i wodoru a także rozmaite zanieczyszczenia atmosfery oraz cząsteczki wody. Cząsteczki (molekuły) wody, H2O, w gazowym stanie skupienia wymieszane z cząsteczkami azotu, tlenu i innymi związkami nazywamy zwykle parą wodną. Powietrze (N2 + O2 + domieszki) jest natomiast nazywane gazem. Jaka jest różnica między parą a gazem? Co to jest para nienasycona i nasycona? Ponieważ te pojęcia występują w ćwiczeniu przypomnimy je i uporządkujemy. Każda substancja (wyjąwszy kilka nietypowych pierwiastków ) może występować w trzech stanach skupienia (trzech fazach): stałej, ciekłej i lotnej. Często stan lotny substancji dzielimy jeszcze na gaz i parę. Stan skupienia danej substancji zależy od jej temperatury i ciśnienia. Dla zilustrowania pojęć para nasycona i nienasycona rozpatrzmy eksperyment przedstawiony na Rys.11.1 [Takie doświadczenie można przeprowadzić wykorzystując strzykawkę lekarską z zaczopowaną końcówką igłową] Określoną ilość substancji w stanie ciekłym – a więc cieczy o masie m lub równoważnie n moli cieczy – zamykamy w naczyniu ze szczelnym tłokiem. Temperatura cieczy jest ustalona i niech ma wartość T1 = 273 + t0C. Tłok ściśle przylega do powierzchni cieczy (Rys.11.1a) i ciśnienie wywierane przez tłok p1 jest równe ciśnieniu panującemu w cieczy. Objętość cieczy Va jest określona przez gęstość cieczy w temperaturze T1. Jeśli spróbujemy zmniejszyć objętość cieczy to musimy znacznie zwiększyć ciśnienie – mówimy, że ciecze są ,,nieściśliwe” – inaczej, niewielkie zmiany objętości cieczy powodują wielkie zmiany ciśnienia. [ Ta właściwość cieczy ma szerokie zastosowanie praktyczne – podnośniki(prasy) hydrauliczne, hamulce, etc] Tę własność cieczy oddaje odcinek A’A na Rys.11.2a.

Gdy zamiast zmniejszać objętość cieczy (kosztem wielkich ciśnień) odsuniemy tłok od powierzchni cieczy – czyli objętość dostępna dla substancji wzrośnie, to część tej objętości nadal będzie zajmować ciecz a resztę będą zajmować (pojedyncze) cząsteczki substancji tworzącej ciecz, którą nazywamy parą nasyconą tej substancji (Rys.11.1b). [Nie stanie się tak, że całą objętość Vb zajmie ,,rozrzedzona” ciecz o mniejszej gęstości.] Dzieje się tak w wyniku konkurencji między ,,chęcią trzymania się razem” wszystkich cząsteczek cieczy (dzięki siłom spójności między cząsteczkami cieczy) a chęcią ucieczki w wyniku chaotycznego ruchu termicznego (co wyrażane bywa w postaci stwierdzenia, że natura nie lubi próżni). Cząsteczki cieczy nie są ulokowane w określonych miejscach lecz są w ustawicznym (chaotycznym) ruchu termicznym z różnymi prędkościami (a więc z różnymi energiami kinetycznymi). Średnia energia kinetyczna jest proporcjonalna do temperatury mierzonej w skali Kelvina. Gdy w sytuacji przedstawionej na Rys.11.1a odciągniemy tłok, przechodząc do sytuacji przedstawionej na Rys.11.1b, to między cieczą a tłokiem nie będzie próżni. Dostatecznie

szybkie (a więc o dużej energii kinetycznej) cząsteczki cieczy pokonają siły spójności i przejdą do pustej przestrzeni.Ubytek szybkich cząsteczek oznacza, że pozostałe w cieczy cząsteczki będą miały mniejszą średnią energię kinetyczną a więc mniejszą temperaturę. Aby utrzymać temperaturę cieczy, a więc i pary, na tym samym poziomie musimy, w trakcie rozszerzania, do układu ciecz + para dostarczyć energii w postaci ciepła. W trakcie podnoszenia tłoka w górę (czyli przy rozszerzaniu - zwiększaniu objętości) ciecz wrze a dostarczone ciepło jest ciepłem wrzenia. Gdy zatrzymamy tłok wrzenie ustaje a ciśnienie ustala się na tym samym poziomie jak na początku, a więc przy stałej temperaturze ciśnienie pary i jej gęstość są stałe i niezależne od objętości. Taki ustalony stan nazywamy stanem równowagi dynamicznej tzn mimo stałych wartości ciśnienia i gęstości jest wymiana cząsteczek między parą a gazem - niektóre cząsteczki z pary przechodzą do cieczy i na odwrót, tak, że średnia liczba cząsteczek w parze (i w cieczy) jest stała. Gdy w dalszym ciągu zwiększamy objętość dochodzimy do momentu gdy cała ciecz wyparuje i objętość Vc (Rys.11.1c) wypełni para nasycona – tej sytuacji odpowiada punkt C na Rys.2a. Przejściu odwrotnemu, od C do A - czyli sprężaniu, będzie towarzyszyć skraplanie pary. Jeśli dopilnujemy aby temperatura pary (i cieczy) była stała w trakcie sprężania (musimy wtedy odprowadzić ciepło skraplania) to cały czas ciśnienie pary nasyconej pozostanie takie samo jak trakcie rozprężania. Gdy po wyparowaniu całej cieczy w dalszym ciągu zwiększamy objętość przy tej samej temperaturze to ciśnienie pary (i jej gęstość) nie pozostaje stałe lecz maleje. Przejście od sytuacji z Rys.11.1c do sytuacji jak na Rys.11.1d odpowiada przejście od punktu C do D wzdłuż izotermy na Rys.11.2a. Taka para nazywa się parą nienasyconą a jej zachowanie (równanie stanu) jest zbliżone do zachowania gazu doskonałego. [Para nienasycona nazywana jest gazem van der Wasala i opisuje ją równanie stanu zwane równaniem van der Waalsa.] Jeśli powtórzymy cały proces z tą samą ilością cieczy przy wyższej temperaturze (T2 > T1), to zjawisko będzie przebiegać podobnie. Początkowa objętość cieczy będzie większa jako efekt rozszerzalności ciał przy wzroście temperatury (wyjątek stanowi woda dla temperatur mniejszych od 40C), oraz ciśnienie pary nasyconej będzie większe, przy czym wzrost ciśnienia pary nasyconej z temperaturą jest szybszy (niemal wykładniczy) niż dla gazów (dla których jest to wzrost liniowy). Gdy zwiększymy początkową ilość cieczy w naczyniu to zwiększy się Va i zmianie ulegnie skala na osi objętości, natomiast poziome odcinki izoterm pozostaną na tym samym poziomie, gdyż ciśnienie pary nasyconej zależy tylko od temperatury. Kilka przykładowych izoterm dla wody przedstawia Rys.11.2b .

Dla każdej substancji istnieje ściśle określona temperatura krytyczna Tkr (i odpowiadające jej krytyczne ciśnienie pary nasyconej pkr ) powyżej której eksperymentu przedstawionego na Rys.1 nie da się przeprowadzić – po prostu substancja nie może istnieć w postaci ciekłej w temperaturze wyższej od krytycznej. [ dla wody Tkr = 4740C, pkr=218atm.]Odpowiedź na pytanie w jakim stanie skupienia jest dana substancja przy danym ciśnieniu i temperaturze daje tzw wykres fazowy dla danej substancji (sporządzany zwykle w oparciu o liczne doświadczenia). Oprócz temperatury krytycznej (i odpowiadającego jej ciśnienia krytycznego pary nasyconej) dla każdej substancji (za wyjątkiem kilku ,,brzydkich pierwiastków”) istnieją specyficzne warunki w których jednocześnie współistnieją trzy stany

skupienia: ciało stałe, ciecz i para nasycona (stan lotny) - te warunki nazywamy punktem potrójnym. Przykładowe wykresy fazowe dla wody i dwutlenku węgla przedstawia Rys.11.3.

Podsumujmy najważniejsze fakty: - każda substancja może występować w stanie stałym, ciekłym i lotnym - to w jakim stanie skupienia występuje substancja zależy od temperatury i ciśnienia – graficznym przedstawieniem tej zależności jest wykres fazowy,- w temperaturze wyższej od krytycznej substancja występuje tylko w stanie lotnym, który umownie nazywamy stanem gazowym (gazem) opisywanym z dobrym przybliżeniem równaniem stanu Clapeyrona (pV = n RT),- stan lotny poniżej temperatury krytycznej nazywamy parą nienasyconą (ale też często po prostu gazem), dla której lepszym równaniem stanu niż równanie Clapeyrona jest równanie van der Waalsa ((p + a)(V- b) = nRT),- szczególny stan lotny, który nazywamy parą nasyconą jest parą, która jest w równowadze (dynamicznej) z cieczą lub ciałem stałym; stan pary nasyconej występuje tylko wzdłuż linii APK na wykresie fazowym. Temperatura jednoznacznie określa ciśnienie pary nasyconej. Jeśli para jakiejś substancji występuje jako składnik mieszanki gazów to ciśnienie całkowite jest sumą ciśnień wszystkich składników mieszanki w tym i danej pary (prawo Daltona). Przedstawione powyżej własności pary nasyconej i nienasyconej odnoszą się szczególności do pary wodnej zawartej w powietrzu. Zawartość pary wodnej w powietrzu ma istotny wpływ na przebieg wielu reakcji chemicznych, procesów życiowych, zjawisk meteorologicznych itd. Celem tego doświadczenia jest pomiar ilości pary wodnej w powietrzu. Do ilościowego określenia ilości pary wodnej w powietrzu używamy dwóch wielkości: wilgotności bezwzględnej i wilgotności względnej.

Wilgotność bezwzględna jest to masa wody w postaci pary wodnej zawartej w metrze sześciennym powietrza, czyli gęstość pary wodnej zawartej w powietrzu (g/m3).

Wilgotność względna wwzgl jest to wyrażony w procentach stosunek gęstości pary wodnej d zawartej w powietrzu do gęstości pary nasyconej dn w danej temperaturze lub (korzystając z faktu, że ciśnienie jest w przybliżeniu proporcjonalne do gęstości pary) procentowy stosunek ciśnienia p pary wodnej zawartej w powietrzu (o danej temperaturze) do ciśnienia pary nasyconej pn w tej samej temperaturze: wwzgl = (p/pn)100% = (d/dn)100% .

2. Zasada pomiaru Do pomiaru wilgotności służą przyrządy zwane higrometrami (np. włosowy, Daniela, etc) bądź psychrometrami. W doświadczeniu należy dokonać pomiaru wilgotności przy pomocy psychrometru Assmanna. Jego działanie opiera się na tym, że szybkość parowania w powietrzu zależy od jego wilgotności. Gdy wilgotność jest 100% to parowanie z wilgotnej tkaniny nie zachodzi (tkanina nie schnie – o czym wie każda gospodyni); gdy powietrze jest suche (wilgotność 0%) to parowanie z wilgotnej powierzchni jest intensywne (tkanina schnie bardzo szybko). Z drugiej strony w procesie parowania – czyli przejścia ze stanu ciekłego do lotnego – pochłaniane jest ciepło z otoczenia. Jeśli tym otoczeniem parującej tkaniny jest termometr to pobierane od niego ciepło powoduje ochłodzenie – jego temperatura spada i staje się mniejsza od temperatury otaczającego powietrza. Zasadę działania psychrometru przedstawia załączona Instrukcja psychrometru, z którą należy się zapoznać przed przystąpieniem do pomiarów.

3. Pomiary Pomiary temperatury wskazywanej przez termometr ,,suchy” (ts) i ,,mokry” tm należy przeprowadzić w różnych częściach Pracowni (Sali) i ewentualnie w innych pomieszczeniach oraz na zewnątrz budynku.Przy przeprowadzaniu pomiarów należy przestrzegać zaleceń producenta zawartych w Instrukcji przyrządu. Temperatury zapisać w Tabeli pomiarów podając miejsce pomiaru i wskazania termometrów.pomieszczenie ts (0C) tm(0C) ∆t wwzgl d n(g/m3) p n(mmHg) d(g/m3) p(Pa)XY.4. Analiza wyników i ocena błędów Należy zapoznać się z układem i sposobem posługiwania się Tablicami psychrometrycznymi (Tablice pomiarowe i Tablice poprawek). Z tablic odczytać wilgotność względną na podstawie wskazań termometrów psychrometru. W oparciu o dostarczone ,,Tablice ciśnienia i gęstości nasyconej pary wodnej” podać również wilgotność bezwzględną (tzn podać gęstość i ciśnienie pary wodnej w każdym miejscu pomiarowym). Odczyty i obliczenia wpisać do Tabeli . Skomentować wyniki i oszacować ich dokładność.

5. Konkluzja W konkluzji podać średnie wilgotności względne w pomieszczeniach w których przeprowadzono pomiary i uwagi o dokładności pomiarów.

6.Zadania i pytania do Ćw. nr.11 ,, Pomiar wilgotności”

1. Co to jest para nasycona? Od których parametrów stanu (temperatury, objętości, ciśnienia) zależy gęstość pary nasyconej?

2. Nasycona para wodna znajduje się w temperaturze 1000C i zajmuje pewną objętość oraz wywiera ciśnienie 1043hPa. Jak zmieni się ciśnienie tej pary gdy jej objętość zmniejszymy dwukrotnie? Czy do pary nasyconej można stosować prawo Boyle’a – Mariotte’a?

3. Wyjaśnij, dlaczego na butelce wyjętej z lodówki pojawia się rosa?

Zadanie 4. Jaka ilość wody wydzieli się z 1m3 powietrza o temperaturze 200C i wilgotności względnej 75% gdy, utrzymując tę temperaturę, jego objętość zmniejszymy czterokrotnie?Zadanie 5. Jeśli bezwzględna wilgotność powietrza o temperaturze 140 jest 9g/cm3 to jaka jest jego wilgotność względna?Zadanie 6. Względna wilgotność powietrza wieczorem gdy temperatura jest 160C wynosi 55%. Czy rankiem, gdy temperatura spadnie do 70C pojawi się rosa?______________________________________________________________________ Dodatek 1: Skrócone tablice psychrometryczne (wartości wilgotności względnej w %)ts(0C) temp.suchego

∆t – różnica wskazań suchego i mokrego termometru (0C)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Wilgotność względna (%)-2 100 78 56 35 14 ~1 - - - - --1 100 79 58 38 18 4 - - - - -0 100 81 63 45 28 11 - - - - -2 100 84 68 51 35 20 5 - - - -4 100 85 70 56 42 28 14 - - - -6 100 86 73 60 47 35 23 10 - - -8 100 87 75 63 51 40 29 18 7 - -10 100 88 76 65 54 44 34 24 14 4 -12 100 89 78 68 57 48 38 29 20 11 -14 100 90 79 70 60 51 42 34 25 17 916 100 90 81 71 62 54 45 37 30 22 1518 100 91 82 73 65 56 49 41 34 27 2020 100 91 83 74 66 59 51 44 37 30 2422 100 92 83 76 68 61 54 47 40 34 2824 100 92 84 77 69 62 56 49 43 37 3126 100 92 85 78 71 64 58 51 46 40 3428 100 93 85 78 72 65 59 53 48 42 3730 100 93 86 79 73 67 61 55 44 44 39

Dodatek 2. Ciśnienie pn (mmHg) i gęstość dn (g/m3) nasyconej pary wodnej w zależności od temperatury pary (współrzędne linii APK na wykresie fazowym 11.3).temperatura (0C) pn (mmHg) d n (g/m3) temperatura pn dn

-10 1,95 2,14 11 9,8 10,0-9 2,13 2,33 12 10,5 10,7-8 2,32 2,54 13 11,2 11,4-7 2,53 2,76 14 12,0 12,4-6 2,76 2,99 15 12,8 12,8-5 3,01 3,24 16 13,6 13,6-4 3,28 3,51 17 14,5 14,5-3 3,57 3,81 18 15,5 15,4-2 3,88 4,13 19 16,5 16,3-1 4,22 4,47 20 17,5 17,30 4,58 4,84 21 18,7 18,31 4,9 5,2 22 19,8 19,42 5,3 5,6 23 21,1 20,63 5,7 6,0 24 22,4 21,84 6,1 6,4 25 23,8 23,05 6,6 6,8 26 25,2 24,46 7,0 7,3 27 26,7 25,87 7,5 7,8 28 28,4 27,28 8,0 8,3 29 30,0 28,79 8,6 8,8 30 31,8 30,310 9,2 9,4

Ćwiczenie nr 12Siatka dyfrakcyjna – pomiar długości/częstotliwości fal świetlnych.

1. Wstęp W tym doświadczeniu (ćwiczeniu) wykorzystujemy urządzenie zwane siatką dyfrakcyjną do pomiaru długości (a więc i częstości) fal elektromagnetycznych z zakresu widzialnego. Działanie siatki dyfrakcyjnej opiera się na zjawiskach interferencji i dyfrakcji fal, które występują dla wszystkich rodzajów fal – są cechą ,,ruchu falowego”. We Wstępie przypomnimy podstawowe pojęcia i definicje wspólne dla wszystkich rodzajów fal. Wiadomości zawarte we wstępie obowiązują na kolokwium wstępnym i na egzaminie.

Definicja fali w fizyce: Falą (lub ruchem falowym) nazywamy ,,wędrujące” w przestrzeni ,,zaburzenie” jakiejś wielkości fizycznej X. Matematycznie wielkość X jest funkcją położenia (r) i czasu (t): X = X (r,t).

Zaburzenie może być jednym impulsem lub ciągiem impulsów rozciągłych w przestrzeni i zmiennych w czasie. Wielkością X może być np. lokalna (tzn w danym punkcie przestrzeni w danej chwili) gęstość lub ciśnienie jak w fali akustycznej, albo lokalne natężenie pola elektrycznego/magnetycznego jak w fali elektromagnetycznej, albo zmienne w czasie wychylenie umiejscowionego kawałeczka struny od położenia równowagi. Fala jest więc w swej istocie zjawiskiem rozciągłym w przestrzeni i zmiennym w czasie. W zależności od tego czym jest ta zaburzana wielkość X fale dzielimy na : mechaniczne, elektromagnetyczne, (kwantowe) fale prawdopodobieństwa, etc.

Fale mechaniczne mogą się rozchodzić tylko w przestrzeni wypełnionej materią (a nie w próżni) o określonych własnościach sprężystości ( mówimy o sprężystości kształtu dla ciał stałych – w nich mogą rozchodzić się fale poprzeczne i podłużne, mówimy o sprężystości objętości dla wszystkich stanów skupienia – w nich mogą się rozchodzić fale podłużne (np. fale dźwiękowe)). W przypadku fal mechanicznych wielkością fizyczną X opisującą falę może być np. lokalne wychylenie cząsteczek ośrodka od ich średniego – równowagowego położenia w przestrzeni, albo lokalne ciśnienie czy gęstość ośrodka. Ośrodek jako całość pozostaje nieruchomy – to co przemieszcza się w przestrzeni to np. rozkład wychyleń cząsteczek X(r,t) gdy X jest wychyleniem cząsteczki w chwili t, której położenie równowagi wskazuje wektor r. Ten przemieszczający się rozkład wychyleń X(r,t) to jest właśnie fala. Prędkość z jaką przemieszcza się rozkład (lub dowolny punkt rozkładu) nazywamy prędkością fali vf, np maksimum wychylenia w fali harmonicznej wędruje z prędkością (fazową) fali vf . Tzn jeśli w pewnej chwili jakaś cząsteczka ośrodka sprężystego jest w położeniu maksymalnego wychylenia to po czasie Δt w położeniu maksymalnego wychylenia będzie inna cząsteczka ośrodka oddalona o vfΔt a poprzednia będzie wracać do swego położenia równowagi – do położenia średniego. Prędkość fali zależy od własności ośrodka!

Fale elektromagnetyczne (radiowe, świetlne, rentgenowskie,.. = fale elmag) mogą rozchodzić się zarówno w (przeźroczystych) ośrodkach wypełnionych materią – atomami, cząsteczkami- jak i w próżni. W przypadku fal elektromagnetycznych wielkością fizyczną X jest lokalne natężenie pola elektrycznego E i/lub natężenie pola magnetycznego H (w fali elmag są one ściśle powiązane). Znów, ośrodek jest nieruchomy jedynie natężenia ,,wędrują” z prędkością światła c.

Fale ,, niosą” energię – wędrującą energię, którą ilościowo określa natężenie fali. (Patrz p.10) Ponieważ fala jest zjawiskiem rozciągłym i ,,wędrującym” w przestrzeni oraz

zmiennym w czasie zatem i energia fali jest rozłożona w przestrzeni, oscyluje w czasie i ,,wędruje” razem z falą. Natężenie fali (w istocie strumień energii) jest ilością energii (mierzonej w dżulach (J))jaką przenosi fala przez jednostkę powierzchni (m2) ustawionej prostopadle do kierunku fali w ciągu jednej sekundy (s). Zatem natężenie fal mierzymy w J/(m2s) czyli w watach (W) na metr kwadratowy (m2), W/m2 . Dla wszystkich rodzajów fal muszą istnieć źródła fal , mimo iż w wielu sytuacjach możemy obserwować i badać fale w oderwaniu od źródeł. Źródłami fal – generatorami mogą być rozmaitego typu anteny (membrany) wprawiane w drgania, do których dostarczana jest energia ,,unoszona” następnie przez fale. Na mocy zasady zachowania energii całkowita energia (albo moc) unoszona przez fale (plus tracona w źródle) musi być równa energii (mocy) dostarczonej do źródła. W przypadku generatorów fal harmonicznych ich częstość (albo częstotliwość) drgań jest równa częstości emitowanej fali i fala harmoniczna jest (teoretycznie) nieskończenie rozciągła w czasie i przestrzeni. W sytuacji gdy generator nie działa ciągle, lecz w ciągu skończonego interwału czasowego Δt, to wytwarza on impuls falowy (sygnał) o takim samym czasie trwania i rozciągłości przestrzennej vfΔt - o ile prędkość fali nie zależy od częstości/długości fali. (Sygnał falowy w postaci impulsu nie ma dobrze określonej częstości). Przykładem takiego generatora może być wzbudzony atom wysyłający foton lub drgający obwód LC .

Ilościowy (matematyczny) opis fal oraz pewne pojęcia niezależną od rodzaju fal – są uniwersalne dla wszystkich fal. Przypomnimy kilka z nich,

1) Niezależnie od tego jaki sens fizyczny ma wielkość X określająca rodzaj fali to musi ona zależeć od trzech współrzędnych przestrzennych r =(x,y,z) i czasu t – matematycznie musi zatem być funkcją czterech zmiennych tzn X = X(x,y,z,t). [Czasem zależność od współrzędnych przestrzennych redukuje się do zależności od jednej współrzędnej np. x – jak w fali płaskiej w przestrzeni bądź fali jednowymiarowej (np. w strunie), lub dwóch np. x,y - jak w fali cylindrycznej bądź kolistej.]

X(r, t) nazywa się często lokalną amplitudą fali bowiem jest to wartość wielkości X w danym punkcie przestrzeni w danej chwili czasu. Lokalną amplitudę należy odróżniać od amplitudy absolutnej lub po prostu amplitudy czyli maksymalnej wartości wielkości X w danym ruchu falowym. (por. p.4) Amplituda fali może być skalarem (ciśnienie) albo wektorem (natężenie pola, przesunięcie cząsteczek). Gdy X (r,t) jest wektorem to jego kierunek względem kierunku rozchodzenia się fali określa polaryzację fali – poprzeczną (gdy kierunki są prostopadłe) bądź podłużną (gdy kierunki są równoległe). W przypadku polaryzacji poprzecznej wyróżniamy dalej polaryzację liniową (gdy wektor X ma stały kierunek w przestrzeni), polaryzację kołową (gdy wektor X obraca się jednostajnie – w ustalonym punkcie przestrzeni w ciągi jednego okresu koniec wektora X zakreśla pełny okrąg, czyli wektor X wykonał pełny obrót) i polaryzację eliptyczną (koniec zakreśla elipsę).

2) Kierunek w przestrzeni w którym ,,wędruje” zaburzenie nazywamy kierunkiem rozchodzenia się fali. Kierunek rozchodzenia się fali opisujemy jednostkowym wektorem n (tzn o długości |n|=1). W przypadku fali sferycznej rozchodzącej się z początku układu n = r/r. W przypadku fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku osi x n = i , gdzie i wersor osi x. Do opisu fal harmonicznych (patrz niżej) z wektora n i długości fali λ tworzymy tzw wektor falowy k=2πn/λ o kierunku i zwrocie zgodnym z n i długości 2π/λ.]

3) Wielkość X(r,t) reprezentująca w opisie matematycznym falę spełnia tzw równanie falowe.

[Równanie falowe jest to liniowe równanie różniczkowe wiążące między sobą pochodne cząstkowe X(r,t) drugiego rzędu po współrzędnych i po czasie podzieloną przez vf

2 .] Jedną z konsekwencji równania falowego jest to, że X(r,t) może zależeć od współrzędnych i czasu tylko w kombinacji r + vft lub r –vft , tzn w najogólniejszej postaci X jest sumą dowolnych funkcji tych kombinacji (dalej vf=v): X(r,t) = f(r-vt) + g(r + vt) . Pierwszy człon f( r –vt) opisuje falę rozchodzącą się od centrum (r=0) a drugi falę schodzącą się do centrum. W przypadku fali płaskiej człon f(x-vt) opisuje falę wędrującą (biegnącą) zgodnie z osią x zaś człon g(x+vt) opisuje falę biegnącą przeciwnie do zwrotu osi x, Rys.1. [W przypadku pojedynczego impulsu, jak na Rys.12.1, jego kształt nie ulegnie zmianie w trakcie propagacji jeśli v nie zależy od długości fali.]

Inną ważną konsekwencją równania falowego (dokładnie jego liniowości) jest zasada superpozycji (dodawania) różnych fal rozchodzących się w przestrzeni – dwie fale X1(r,t) i X2(r,t), pochodzące np.z różnych źródeł, docierając do tego samego punktu r w danej chwili t dodają się (patrz p.8 dalej)

4) Najprostszym do analizy, a jednocześnie ważnym typem fal, są fale harmoniczne (w optyce nazywane także monochromatyczne) dla których zależność amplitudy lokalnej od współrzędnych i czasu opisują ilościowo funkcje sinus (lub cosinus, lub exponencjalna). W przypadku fali harmonicznej (płaskiej albo jednowymiarowej), biegnącej w kierunku zgodnym z osią x, lokalną amplitudę zaburzenia (falę) możemy opisać wzorem:

X(x,t) = A sin( 2π (t/T –x/λ) + φ0) = A sin( ωt – kx + φ0)

- Argument sinusa, czyli (ωt –kx + φ0) oznaczamy φ i nazywamy fazą fali a φ0 fazą początkową ,

- T jest okresem fali a 1/T = f częstością (albo częstotliwością) fali, ω = 2πf częstością kątową, - λ nazywamy długością fali a 2π/λ= k wartością wektora falowego zaś k=kn wektorem falowym gdzie n - jednostkowy wektor kierunku fali ; 1/λ nazywa się liczbą falową, - długość fali i okres są związane zależnością: λ = vfT - A nazywamy absolutną amplitudą fali, amplituda lokalna X(x,t) zawiera się między –A i +A. Przestrzenny rozkład fali harmonicznej dla dwóch momentów czasu przedstawia Rys.12.2

5) Dla fal harmonicznych płaskich faza i amplituda (stała) określają wartość X(x,t) w każdej chwili t i w każdym punkcie x gdy kierunek fali wybierzemy zgodny z osia x. W przypadku fal harmonicznych sferycznych rozchodzących się z początku układu (r = 0) wygodnie jest uwzględnić malenie amplitudy z odległością ~1/r, (co wynika z zasady zachowania energii por. niżej p.10) i wtedy dla ustalonego r również tylko faza i amplituda decydują o wartości X(r,t). Zatem sferyczna fala harmoniczna rozchodząca się z punktu r =0 może być opisana wzorem:

X(r,t)= (A/r) sin(ωt –kr +φ0). Zbiór punktów w przestrzeni dla których, w danej chwili czasu t, faza ma taką samą wartość (a więc także fala X(r,t)) nazywamy powierzchnią stałej fazy. Kształt powierzchni stałej fazy jest podstawą klasyfikacji fal na fale płaskie, cylindryczne, sferyczne w zależności od tego czy powierzchnie stałej fazy są płaszczyznami, cylindrami czy sferami.

6) Fale rozchodzące się w ośrodkach o zmieniających się własnościach sprężystości i/lub gęstości, co powoduje zmianę prędkości fali, ulegają refrakcji gdy zmiany cech ośrodka zachodzą płynnie oraz odbiciu i załamaniu gdy zmiana prędkości jest gwałtowna tzn. jest wyraźna granica między dwoma ośrodkami, np. w postaci płaszczyzny (por. ćw. nr8).

7) Cechą charakterystyczną wszystkich fal jest to, że ulegają one dyfrakcji (albo inaczej ugięciu). Dyfrakcja (ugięcie) fali występuje gdy na drodze (kierunku rozchodzenia się ) fali ustawimy przeszkodę, która w niektórych miejscach pochłania (absorbuje) falę a w innych

przepuszcza. Dyfrakcja polega na tym, że za przeszkodą oprócz fali nie pochłoniętej pojawia się także fala w obszarze ,,cienia geometrycznego” za miejscami pochłaniającymi. Fala za przeszkodą rozchodzi się we wszystkich kierunkach ale z różną intensywnością w różnych kierunkach. Szczegółowy obraz fali za przeszkodą, czyli tzw obraz dyfrakcyjny, zależy od kształtu przeszkody i jej rozmiarów w porównaniu z długością fali. W przypadku otworów (przesłon) kołowych o średnicy d, lub szczelin o szerokości d w pochłaniającej przesłonie, rozmycie (ugięcie) fali o długości λ za przesłoną jest tym większe im mniejszy jest stosunek λ/d. Natężenie fali za przesłoną jest różne w różnych kierunkach, przy czym jest zawsze największe w kierunku zgodnym z kierunkiem fali padającej na przeszkodę – jest to maksimum główne (nazywane też maksimum rzędu zerowego). W pewnych, ściśle określonych kierunkach fala ulega wygaszeniu – tzn. nie występują żadne drgania wielkości X, (natężenie fali I = 0) – mówimy wtedy, że w tych kierunkach występują minima dyfrakcyjne. Minima są poprzedzielane maksimami wtórnymi (albo maksimami rzędu pierwszego, drugiego, itd, o coraz mniejszym natężeniu ~ n-2 ) (patrz Rys.12.3).

Można wykazać, że dla prostokątnej (bardzo długiej i wąskiej) szczeliny o szerokości d w nieprzeźroczystej przesłonie (Rys12.3), minimum występuje pod kątami θ(m)

min,dyfr spełniającymi związek sin θ(m)

min,dyfr = mλ/d m = 1, 2, 3, ……itd.

Ponieważ sinus nie może być większy od jedynki, to ilość minimów dyfrakcyjnych jest ograniczona do mmax = d/λ . W szczególności gdy szerokość szczeliny d jest mniejsza od długości fali λ , to nie powstaje żadne minimum dyfrakcyjne i szczelina (otwór) działa jak źródło punktowe. Maksima dyfrakcyjne powstają pod kątami θ(n)

max,dyfr spełniającymi związek

sin θ(n)max,dyfr = (n +1/2)λ/d n = 0, 1, 2, …itd.

8) Do wszystkich rodzajów fal stosuje się zasada superpozycji , która brzmi: jeżeli dwie fale X1(r,t) oraz X2(r,t) ,,wędrują” w ośrodku (przestrzeni), to w każdym punkcie r i chwili t powstaje wynikowa fala X(r,t), która jest sumą (superpozycją) zaburzeń X1 i X2 w danym punkcie i danej chwili. Możemy to zapisać, że: X(r,t) = X1(r,t) + X2(r,t)

i uogólnić na dowolną liczbę fal składowych. Zjawiska dyfrakcji i interferencji są konsekwencją zasady superpozycji. Zjawiska te zachodzą zawsze i dla wszystkich fal choć nie zawsze dają się obserwowalne efekty. Obserwowalne efekty dają fale spójne (koherentne) tzn Take których różnice faz są niezależne od czasu. O interferencji mówimy, gdy w przestrzeni rozchodzi się skończona liczba fal – co najmniej dwie – z różnych, np. rozdzielonych przestrzennie źródeł. O dyfrakcji mówimy wtedy gdy źródeł jest nieskończenie wiele i są rozmieszczone w sposób ciągły (np. szczelinę z Rys.12.3 możemy traktować jako nieskończony i ciągły zbiór źródeł punktowych). Zarówno dyfrakcja jak i interferencja przejawia się tym, że w pewnych miejscach (punktach) w przestrzeni występują maksima natężeń (mówimy wtedy , że w tych miejscach jest interferencja konstruktywna) poprzedzielane miejscami w których natężenia są małe lub zerowe (interferencja destruktywna). Dla znalezienia tych miejsc korzystamy z przepisu konstrukcyjnego znanego jako zasada Huyghensa (czytaj hojhensa), która głosi: każdy punkt w przestrzeni (ośrodku) do którego dociera fala staje się źródłem (wtórnej) fali kulistej (lub inaczej: czoło fali jest ciągłym zbiorem źródeł punktowych).

Rysunek 12.4a) przedstawia wykorzystanie zasady Huygensa do konstrukcji obrazów biegnącej (,,wędrującej”) fali sferycznej a Rys.12.4b) przedstawia wykorzystanie tej zasady do konstrukcji obrazu interferencyjnego z dwóch szczelin w przesłonie na którą pada harmoniczna (inaczej monochromatyczna) fala płaska (doświadczenie Young’a).

9) Interferencja dwuszczelinowa – doświadczenie YOUNG’a (Thomas Young (1801)!) – jest to kluczowe doświadczenie dla ruchu falowego. [Wyników tego doświadczenia nie da się wyjaśnić jeśli przyjąć, że na przesłonę z dwiema szczelinami pada strumień cząstek –korpuskuł]. Zgodnie z zasadą Huygensa szczelina 1) jest źródłem fali sferycznej, która docierając do odległego o r1 punktu P na ekranie ma w chwili t wartość (amplitudę lokalną w punkcie P):

X1(r1,t) = (A/r1) cos(ωt – kr1 + φ1) gdzie φ1 jest tzw fazą początkową fali ze szczeliny 1). Podobnie szczelina 2), której odległość od (.)P jest r2 ≠ r1, daje w punkcie P falę o lokalnej amplitudzie: X2(r2,t) = (A/r2) cos(ωt –kr2 + φ2) gdzie φ2 jest fazą początkową fali ze szczeliny 2). [Gdy różnica faz początkowych jest stała w czasie, to mówimy, że źródła 1) i 2) są spójne (albo koherentne). Interferencja fal zachodzi zawsze, tzn dla fal z każdego rodzaju źródeł, ale prowadzi do łatwo bserwowalnych efektów jedynie dla źródeł spójnych.] W dalszym opisie fal przyjmiemy, że fazy początkowe są równe zero . Zgodnie z zasadą superpozycji, fale ze szczelin 1) i 2) po ,,dodaniu” dają w (.)P, położonym pod kątem θ względem kierunku fali padającej i odległym o rP = (r1 + r2)/2 od punktu między szczelinami (patrz Rys.4b) , wynikową falę sferyczną postaci: X(rP,t)= X1(r1,t) + X2(r2,t) = (AP(θ)/rP) cos(ωt – krP). Stosując wzory na dodawanie cosinusów kątów otrzymamy amplitudę AP(θ) zależną od kąta θ, odległości szczelin d i długości fali λ w postaci wzoru: AP(θ) = 2A cos[(kdsinθ)/2], Co oznacza, że :

1) AP(θ) = ±2A, gdy kąt θ = θ(n)

max,intf spełnia warunek n-tego maksimum interferencyjnego tzn

gdy d sinθ(n)max,intf = nλ, n=0,1,2,3,..

2) AP(θ) = 0 gdy kąt θ = θ(m)

min,intf spełnia warunek m-tego minimum interferencyjnego tzn gdy dsin(θ(m)

min,intf=(2m -1)λ/2, m=1,2,3,..

(Wzory powyższe otrzymamy, jeśli przyjąć przybliżenia (Rys.12.4b), że 1/r1≈ 1/r2 ≈ 1/rP, (r2 – r1) = dsinθ, ale utrzymać kr1≠ kr2 w fazach, oraz skorzystać ze wzoru trygonometrycznego cos a + cos b = 2 cos[(a+b)/2] cos[(a-b)/2] ). W wyniku interferencji fal za przesłoną ze szczelinami obserwujemy: 1) miejsca w przestrzeni leżące (symetrycznie) wzdłuż kierunków określonych przez θ(m)

min,intf w których amplituda (natężenie) fali wynikowej będzie zawsze zero – fala znika; mówimy, że w tych kierunkach obserwujemy interferencję destruktywną albo minima interferencyjne rzędu 1-go (m=1), 2-go (m=2), itd.; 2)ale też takie miejsca układające się wzdłuż kierunków określonych kątem θ(n)

max,intf wzdłuż których konstruktywna interferencja daje amplitudę maksymalną i równą sumie amplitud fal składowych 2A (natężenie I = 4A2); mówimy, że w tych kierunkach występują maksima interferencyjne rzędu zerowego (n=0, θ=0) albo główne, rzędu 1-go (n=1), 2-go (n=2), itd; 3) dla kierunków pośrednich wartości amplitudy (natężenia) też mają wartości pośrednie (0 < I <4A2) jak to wynika ze wzoru na AP(θ).

10.Natężenie fali. Z każdą falą związana jest energia. W fali mechanicznej drgają cząsteczki ośrodka, a każda cząsteczka wykonująca ruch drgający, np. harmoniczny w fali harmonicznej, ma energię. W ruchu harmonicznym energia całkowita ciała ( kinetyczna plus potencjalna) jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań. Dlatego też energia fali mechanicznej jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali. W fali elektromagnetycznej drga pole elektryczne i magnetyczne. Energia (dokładnie gęstość energii) tych pól jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola.

Fala jest zjawiskiem rozciągłym w przestrzeni więc stosowniej jest mówić o gęstości energii fali – wf (jednostka: J/m3). Z drugiej strony fala jest ,,wędrującym zaburzeniem” – więc energia fali wędruje razem z falą, w najprostszym przypadku z prędkością vf . Gęstość energii fali jest proporcjonalna do kwadratu lokalnej amplitudy fali uśrednionej w czasie (np. jednego okresu). W przypadku fali harmonicznej X = A cos(ωt –kx) średnia wartość kwadratu amplitudy lokalnej w ciągu jednego okresu jest równa <X2> = A2/2 (1/2 wynika ze średniej wartości funkcji cos2x w przedziale 0 - kπ , porównaj matematyczne twierdzenie o wartości średniej). Natężenie fali I jest iloczynem gęstości energii fali i prędkości fali; I = wfvf i ma wymiar strumienia energii J/(m2s) = W/m2 . Liczbowo natężenie fali jest to ilość energii w dżulach przechodzącej przez jeden metr kwadratowy powierzchni prostopadłej do kierunku fali w ciągu jednej sekundy. Dodatkowo należy zapamiętać, że natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu uśrednionej w czasie amplitudy. [ Przykładowo: natężenie fali akustycznej (natężenie dźwięku I): I = 0,5(pmax )2/dvf=0,5(Amω)2dvf gdzie, pmax – amplituda ciśnienia w fali, Am - amplituda drgań cząsteczek ośrodka, d - gęstość ośrodka, vf - prędkość fazowa fali dźwiękowej,

ω=2πf - częstość kołowa, f- częstotliwość fali;- natężenie fali elektromagnetycznej (natężenie światła I): I = ε0c (E2)śr w czasie = 0,5 ε0c E0

2

gdzie, ε0 – przenikalność elektryczna próżni, c – prędkość światła, E0 – amplituda fali harmonicznej.Zwróć uwagę i zapamiętaj że, energia fali świetlnej nie zależy od częstości a jedynie od kwadratu amplitudy!]. Większość efektów obserwowalnych jest zależnych od natężenia fali a nie od amplitudy chwilowej; w szczególności w zjawiskach interferencji i dyfrakcji rejestrujemy natężenia a nie same amplitudy. Natężenie fali na ekranie w doświadczeniu interferencyjnym Younga (Rys.12.4b) w zależności od kierunku (kąta θ) opisuje wzór: I(θ) = I0 [cos((πdsinθ)/λ)]2 .

Podobnie kierunkowy rozkład natężenia fali o długości λ ugiętej na pojedynczej szczelinie o szerokości a (Rys.12.3) opisuje wzór: I(θ) = I0 [ (sin(Φ/2))/(Φ/2)]2 w którym Φ = aksinθ = (2πasinθ)/λ, gdzie a –szerokość szczeliny , λ – długość fali .

1. Zasada pomiaru

Gdy w nieprzeźroczystej przesłonie wykonamy N identycznych, równoległych szczelin w równych

odstępach to otrzymamy siatkę dyfrakcyjną. Liczba szczelin N powinna być bardzo duża, im większe N tym lepsza siatka. Ponadto szczeliny powinny być dostatecznie wąskie i blisko leżące. Parametrem charakteryzującym siatkę, poza całkowitą liczbą szczelin N, jest również liczba szczelin przypadająca na 1mm lub równoważnie odległość między środkami szczelin czyli tzw. stała siatki d. Np. gdy siatka ma 600szczelin na milimetrze to stała siatki d= 1/600 mm ≈1,7μm. Stała siatki d jest sumą szerokości szczeliny a i szerokości przesłony b,Rys.12.5.

Gdy szerokość szczeliny a jest mniejsza od długości fali λ wtedy każda ze szczelin może być traktowana jako punktowe źródło fal za siatką. W przeciwnym razie, gdy a> λ, na obraz dyfrakcyjny pojedynczej szczeliny nałoży się obraz interferencyjny pochodzący od N szczelin. Każda para sąsiednich szczelin daje obraz interferencyjny, podobnie jak w doświadczeniu Younga, składający się z maksimów interferencyjnych poprzedzielanych minimami. Maksima występują pod kątami θ spełniającymi związek: d sinθmax

(n) = nλ , (1) n = 0 (maksimum rzędu zerowego) , n=1 (maks. rzędu 1-go), n=2 (maks. rzędu 2-go), itd. Przy prostopadłym padaniu światła na siatkę maksima (jasne prążki) są rozłożone symetrycznie względem maksimum rzędu zerowego. W doświadczeniu używamy źródła światła ,,białego” (żarówka) co powoduje, że maksima rzędu n>0 dla różnych barw światła występują pod różnymi kątami – następuje rozszczepienie światła zwane widmem światła. Pozwala to na pomiar długości fali światła o określonej barwie. Zasada pomiaru opiera się o wzór (1) na sinus kąta położenia n-tego maksimum, z którego otrzymujemy λ = (d/n) sin θmax

(n) (2) Stała siatki d jest podana (na siatce) i należy tylko zmierzyć sinus kąta pod którym występuje n-te maksimum. W tym celu ustalamy i mierzymy odległość L siatki od ekranu na którym obserwujemy widmo. Następnie mierzymy odległość X między środkiem centralnego prążka białego a prążkiem wybranej barwy w widmie rzędu n .

Sinus kąta obliczamy z definicji sinusa, Rys.12.6 (trójkąt SOB jest prostokątny), X sin θmax

(n) = ------------------ ≈ X/L (3) ( L2 + X2 )1/2

Widmo rzędu pierwszego (n=1) jest, na ogół, dobrze widoczne. Widma wyższych rzędów (n = 2 lub 3) są słabo widoczne szczególnie gdy doświadczenie przeprowadzamy nie w ciemni a w nie zaciemnionej sali.

2. Pomiary Zestaw pomiarowy składa się z ławy optycznej, źródła światła, siatki dyfrakcyjnej, ekranu i linijki

(liniału lub innej miarki do pomiary odległości). Zamiast ekranu można użyć białej ściany do obserwacji widma. Odległość L powinna być dostatecznie duża ( > 2m) aby uzyskać dobre, wyraźne rozczepienie ale jednocześnie niezbyt wielka aby widmo nie było zbyt ,,blade” ( pamiętaj, że natężenie maleje jak L-2 ). Po ustawieniu zestawu i uzyskaniu dobrze widocznego widma, co najmniej dla n=1, przystępujemy do pomiarów odległości. Wyniki pomiarów wpisujemy do TABELI :

TABELA pomiarów odległości siatka – ekran (L) oraz odległości barwnych prążków (X) dla n = 1Barwa L (cm) X (mm)fioletzieleńżółtaczerwonaDokładność (błąd bezwzgl.) pomiarów: ΔL = ……………., ΔX = ……………………..Dokładność wyznaczenia stałej siatki (szacunkowo) Δd = …………… Podobną tabelę sporządzić dla widm wyższych rzędów (n=2, 3?)

3. Analiza wyników i rachunek błędów. Otrzymane pomiary wstawiamy do wzoru (3), obliczamy sinus kąta położenia prążków określonej barwy a następnie długości fali λ światła każdej barwy ze wzoru (2). Błąd względny pomiarów długości fali dla każdej z barw obliczamy ze wzoru: Δλ/λ = Δd/d + ΔL/L + ΔX/XMając błąd względny obliczamy błąd bezwzględny pomiaru długości fal dla każdej z barw: Δλ = λ(Δλ/λ)

5. Konkluzja Konkluzja winna zawierać ostateczne wyniki (np. w postaci Tabeli) oraz porównanie z wartościami podawanymi w Tablicach Fizycznych. W przypadku znacznych rozbieżności

(poza granicą błędu) między otrzymanymi wynikami a wartościami w Tablicach Fizycznych uzasadnić rozbieżności.

Zadania i pytania do Ćw.nr.12 Siatka dyfrakcyjna

Zadania: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5 z cz.3 Konspektu ,, Ćwicz. Rach.”

Ćwiczenie Nr 13 Pomiar gęstości ciał stałych i cieczy.

1. Wstęp Gęstością bezwzględną substancji (albo po prostu gęstością) nazywamy stosunek jej masy m do objętości V gęstość: d = m/V [kg/m3]

(gęstość bywa też oznaczana grecką literą ρ –ro ), inaczej, gęstość jest to masa jednostki objętości substancji. Gęstość mierzymy zatem w kg/m3 . W użyciu są też jednostki: g/cm3 = tona/m3 ; np. gęstość miedzi jest ok. 9g/cm3, gęstość powietrza jest ok.1,29kg/m3 (w warunkach ,,normalnych”: temperatura = 00C, ciśnienie = 760 mm Hg = 1013hPa ) a gęstość korka 250kg/m3. Gęstość danej substancji (związku chemicznego czy czystego pierwiastka) zależy od stanu skupienia ( czyli czy jest to ciało stałe, ciecz czy gaz) oraz temperatury i ciśnienia: np. woda o temperaturze 40C ma gęstość 1g/cm3, lód (oczywiście w temperaturze <0) ma gęstość 0,9g/cm3 a para wodna (nienasycona) może mieć dowolnie małą gęstość - zawsze mniejszą niż gęstość pary nasyconej w danej temperaturze (por. Ćw. nr 11). Dla ustalonej masy substancji zmiana gęstości z temperaturą powoduje zmianę objętości ( V = m/d), ilustruje to Rys.13.1 w przypadku wody. Zmiany gęstości wody przy zmianach temperatury są przyczyną wielu interesujących zjawisk życia codziennego.

m Stosunek gęstości danej substancji do gęstości innej substancji, przyjętej jako wzorcowa, nazywamy gęstością względną (gęstość względna jest zatem wielkością bezwymiarową). Woda w warunkach ziemskich jest powszechnie występującą substancją ( związkiem chemicznym: H2O) i ma gęstość 1g/cm3 w temperaturze 40C (ciśnieniu 760mmHg) oraz zbliżoną do jedności w temperaturach nieco wyższych i nieco niższych dlatego najczęściej jako substancję wzorcową przyjmujemy wodę. Zatem

gęstość względna : dwzgl.subst. = dsubst./ dwody ( dsubst. = dwzgl. dwody),

np. gęstość względna lodu jest 0,9, miedzi 9, rtęci 13,6 etc. Ciała stałe o gęstości mniejszej od gęstości cieczy mogą w tej cieczy pływać a gęstości większej od gęstości cieczy toną w niej. Np. lód pływa w wodzie a miedź tonie ale miedź pływa w rtęci. Nie należy mylić gęstości i ciężaru właściwego substancji/ciał. Ciężar właściwy ciała (γ) jest to wartość siły z jaką Ziemia przyciąga masę ciała o jednostkowej objętości, czyli

Ciężar właściwy substancji = P/V = gęstość x przyśpieszenie ziemskie ; γ = dg, jednostką γ jest N/m3.

Ciężar ciała o objętości V i ciężarze właściwym γ (czyli siła z jaką go przyciąga Ziemia) ma wartość: P= γV Celem tego doświadczenia jest zmierzenie gęstości kilku substancji w stanie stałym i ciekłym.

2.Zasada pomiarów.

2.a Wyznaczanie gęstości ciał stałych o regularnych kształtach.W tym przypadku gęstość (bezwzględną) substancji z której wykonano dane ciało wyznaczymy z

definicji gęstości: d=m/V – będzie to pomiar pośredni. Masę wyznaczymy na wadze laboratoryjnej zaś objętość wyznaczamy z pomiaru wymiarów ciała i wzoru na objętość bryły o kształcie ciała. (Przypomnij sobie wzory na objętość kuli o zadanym promieniu, walca/cylindra o danym promieniu i wysokości oraz prostopadłościanu o zdanych długościach krawędzi.)

2.b Wyznaczanie gęstości ciał stałych (o dowolnych kształtach) i cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej.

W tym przypadku dokonujemy pomiaru gęstości względnej z wodą jako substancją wzorcową.

Zasada pomiaru opiera się o prawo Archimedesa. Na Ziemi na każde ciało zanurzone w płynie ( płyny = ciecze + gazy) płyn oddziałuje na to ciało. To oddziaływanie wynika z tego, że ciśnienie hydro-/aero- statyczne zależy od głębokości/wysokości. Miarą tego oddziaływania, jak zawsze, jest siła – w tym przypadku nazywana siłą wyporu. Prawo Archimedesa głosi, że siła wyporu, skierowana pionowo w górę, ma wartość równą ciężarowi płynu wypartego przez ciało. W naszym przypadku wartość tej siły, oznaczmy ją przez W, jest równa : W = dwgV, gdzie dw oznacza gęstość wody, g przyśpieszenie ziemskie a V jest objętością wypartej cieczy równą objętości ciała (gdy jest ono całkowicie zanurzone w wodzie). Waga hydrostatyczna mierzy (,,waży”) siłę wypadkową, działającą na ciało zanurzone w wodzie, która jest różnicą ciężaru ciała i siły wyporu, Rys.2a.

2.b1) Wyznaczanie gęstości ciała tonącego w wodzie, czyli o gęstości większej od gęstości wody. W tym przypadku kształt ciała jest dowolny (a jego objętość może być trudno obliczyć lub może nie dać się obliczyć). Objętość ciała musimy wyznaczyć doświadczalnie. Masę ciała m wyznaczamy ważąc je na wadze laboratoryjnej (ciało ważymy w powietrzu). W celu wyznaczenia jego objętości ,,ważymy” ciało gdy jest całkowicie zanurzone w wodzie –

naprawdę mierzymy wypadkową (P – W) – masa mz równoważąca lewą szalkę wagi hydrostatycznej jest wtedy mniejsza od m. Warunek równowagi wagi sprowadza się do równości sił działających na lewą i prawą belkę wagi:

mg – Vdwg = mzg

stąd objętość ciała V wynosi: V = ( m – mz)/dw .Zatem gęstość ciała obliczymy podstawiając do wzoru definiującego gęstość ciała: d = m/V = mdw/(m- mz) (1)

gdzie: m – zmierzona masa ciała w powietrzu, mz - masa ciężarka równoważącego wagę gdy ciało jest całkowicie zanurzone w wodzie , dw gęstość wody, którą możemy przyjąć jako równą 1g/cm3.

2.b2) Wyznaczanie gęstości ciała pływającego w wodzie. W tym przypadku aby ,,zmusić” ciało do całkowitego zanurzenia używamy dodatkowego obciążenia – najlepiej ciała którego gęstość wyznaczaliśmy powyżej (wg p. b1)) - jeśli jego gęstość jest dostatecznie duża aby ,,pogrążyć” ciało pływające (należy to sprawdzić przed pomiarami). Po związaniu obu ciał nitką (lub drucikiem) zawieszamy je na szalce wagi laboratoryjnej i ważymy je w powietrzu a potem podstawiamy zlewkę z wodą , zanurzamy je całkowicie i ,,ważymy w wodzie”. Gdy masy odważników równoważących wagę są odpowiednio m1 (w powietrzu) i m2 (w wodzie), to łączna objętość obu ciał jest: Vcałk. = V + V1 = (m1 – m2)/dw .Objętość ciała ,,rzadszego” od wody (V1) otrzymamy znając objętość ciała tonącego (V) z poprzedniej części doświadczenia, zatem: V1 = Vcałk. – V = (m1 – m2)/dw – (m – mz)/dw = (m1 – m2 – m + mz)/dw .Masa ciała ,,rzadszego” od wody jest równa (m1 – m), zatem gęstość ciała pływającego po wodzie dp obliczymy jako stosunek jego masy do objętości:

dp = dw (m1 –m)/( m1 – m2 – m + mz) (2) .

2.b3) Wyznaczanie gęstości cieczy Aby wyznaczyć nieznaną gęstość cieczy wykorzystujemy ciało stałe tonące w wodzie użyte w części b1) oraz pomiary tam wykonane, w szczególności wartości m i mz ( o ile ciało to tonie również w badanej cieczy, w przeciwnym wypadku należy wybrać inne ciało i powtórzyć pomiary części b1) ). Mając wyznaczone m i mz ,,ważymy” teraz to ciało zanurzone (całkowicie) w badanej cieczy,. Warunek zrównoważenia wagi hydrostatycznej w tym przypadku ma postać: mg – Vdcg = m3ggdzie: m3 – masa odważników równoważących wagę gdy ciało stałe jest zanurzone w badanej cieczy, m – masa ciała stałego, V jego objętość (= objętości wypartej cieczy) i równa (m – mz)/dw . Podstawiając V do powyższego wzoru i przekształcając otrzymujemy następujący wzór z którego obliczymy nieznaną gęstość cieczy: dc = dw(m – m3)/(m – mz)

2.c) Wyznaczanie gęstości cieczy za pomocą wagi Mohra oraz za pomocą areometru.Waga Mohra (rys.2b) jest specjalnie skonstruowaną (przez Mohra) wagą do pomiarów gęstości cieczy. Jedno z ramion wagi (na rysunku – prawe) jest podzielone na 10 równych części. Na końcu tego ramienia podwieszamy ,,nurka”, którym może być np ciężki termometr – po zanurzeniu wskazujący temperaturę badanej cieczy. W zagłębieniach nacięć belki zawiesza się specjalne odważniki tzw. Koniki o ciężarach pozostających w stosunku 1: 0,1: 0,01. Drugie ramię wagi (na rysunku lewe) ma przeciwwagę z ostrzem do obserwacji stanu równowagi. Pomiar polega na zrównoważeniu momentu siły wyporu nurka momentem siły ciężkości koników. Wyjściowo nurek wagi jest w powietrzu i moment jego ciężaru równoważy moment ciężaru przeciwwaga na lewym ramieniu. Po zanurzeniu nurka w cieczy pojawia się siła wyporu ( równowaga jest zakłócona), której moment należy zrównoważyć ciężarem koników Zasada pomiaru jest taka sama jak w metodzie wagi hydrostatycznej – tyle tylko, że waga Mohra jest bardziej dokładna. Pomiar sprowadza się do porównania masy wody wypartej przez nurka i masy badanej cieczy wypartej przez nurka. Objętości wypartej wody i badanej cieczy są takie same i równe objętości nurka, zatem Vw = Vc , stąd mw/dw = mc/dc i ostatecznie dc = (mc/mw)dw (4). Masy wypartej wody i wypartej cieczy mierzymy (w dowolnych jednostkach) przy pomocy koników. Masa konika na n-tym odcinku ramienia w warunku równowagi jest równoważna n/10 części masy na końcu (n=10) belki.

Do pomiaru gęstości cieczy używa się również przyrządu zwanego aerometrem. Jest to przyrząd mało dokładny ale łatwy w zastosowaniu z natychmiastowym odczytem gęstości dzięki odpowiedniemu wyskalowaniu. Aerometr jest to wąska rurka szklana obciążona ołowiem, żelazem, rtęcią, itp. Dzięki czemu utrzymuje równowagę w pozycji pionowej pływając częściowo zanurzony w cieczy. W warunkach równowagi ciężar aerometru równoważy siła wyporu, czyli mg = Vdcg , gdzie V jest objętością zanurzonej części aerometru, którą możemy wyrazić przez pole przekroju rurki S i głębokość zanurzenia h : V=Sh. Zatem głębokość zanurzenia aerometru w cieczy h = mg/Sg dc = C/dc

gdzie stała C jest cechą danego przyrządu. Im mniejsza gęstość cieczy tym większe zanurzenie aerometru. Po wyskalowaniu aerometr służy do bezpośrednich (choć zgrubnych) pomiarów gęstości cieczy.

2. Pomiary

3. 2.a)W przypadku wyznaczania gęstości ciała o regularnych kształtach otrzymujemy od prowadzącego: badane ciało (kształty możliwe to: kula, prostopadłościan, walec), suwmiarkę, wagę laboratoryjną z odważnikami. Mierzymy wszystkie wymiary ciała konieczne do obliczenia objętości a następnie ważymy ciało wyznaczając jego masę. Szacujemy jednocześnie dokładność (błąd) pomiaru poszczególnych wielkościWyniki zapisujemy w Tabeli .(pomiar może być pojedynczy lub seria ok. 10-ciu pomiarów)

Tabela pomiarów: ………Rodzaj ciała/ materiał

Kształt geometryczny

Wzór na objętość

Poszczególne wymiary koniczne do obliczenia objętości[mm]

Objętość [cm3]

Masa [g]

……….

Dokładność pomiaru wymiarów Δx = …………Dokładność pomiaru masy Δm = ……………….

3. b1) Wyznaczanie gęstości ciała stałego (tonącego) w wodzie. Zestaw pomiarowy składa się z: badanego ciała (dostarczonego przez prowadzącego) wagi laboratoryjnej z odważnikami, zlewki, ławeczki pod zlewkę. Ławeczka ze zlewką jest konieczna aby ze zwykłej wagi laboratoryjnej uczynić wagę hydrostatyczną. Robimy to w ten sposób, że nad lewą (lub prawą – to obojętne) szalką wagi umieszczamy ławeczkę , tak by nie dotykała szalki, a na ławeczce umieszczamy zlewkę z wodą (destylowaną). Ważymy dostarczone ciało w powietrzu i w wodzie, a wyniki zapisujemy w Tabeli. (Można wykonać serię pomiarów lub pomiar pojedynczy)Tabela pomiarów: …………………………………Nazwa ciała/ materiał

Wynik ważenia w powietrzu – masa m [g]

Wynik ważenia po zanurzeniu w wodzie – masa mz [g]

Temperatura i gęstość użytej wody [g/cm3] na podstawie Tablic Fiz.

123

Dokładność pomiarów mas Δm = ………..Dokładność przyjętej gęstości wody Δdw = ………………………

3. b2) Wyznaczanie gęstości ciała nie tonącego w wodzie. Zestaw pomiarowy jak w p.b1) uzupełniony o dodatkowe ciało pływające w wodzie.. Pomiary zapisujemy w Tabeli. ( pomiar pojedynczy albo seria Pomiarów w zależności od możliwości czasowych) Tabela pomiarów ; ……………………………………………..Nazwy ciał /substancje

Wynik ważenia ciężarka w powietrzu m [g]

Wynik ważenia ciężarka zanurzonego w wodzie mz

[g]

Wynik ważenia obu ciał w powietrzu m1 [g]

Wynik ważenia obu ciał w wodzie m2 [g]

……….…………

Dokładność pomiaru mas wynosi …….

3. b3) Wyznaczanie gęstości cieczy Zestaw pomiarowy jak w p.b1) uzupełniony o zlewkę z cieczą o nieznanej gęstości. Pomiary wykonujemy analogicznie i wyniki zapisujemy w Tabeli.

Tabela pomiarów; …………………………………………Nazwa płynu/ substancji

Wyniki ważenia ciężarka w powietrzu m [g]

Wyniki ważenia ciężarka w wodzie mz [g]

Wyniki ważenia ciężarka w badanej cieczy m3 [g]

………………

Dokładność pomiaru mas ………………..

3. c) Wyznaczanie gęstości cieczy za pomocą wagi Mohra Zestaw pomiarowy składa się z wagi Mohra oraz zlewek z wodą i z badaną cieczą. Waga Mohra w

istocie swej mierzy siłę wyporu działającą na nurka w umownych jednostkach masy koników. Kolejność czynności jest następująca.- najpierw doprowadzamy wagę do równowagi po zawieszeniu nurka (w powietrzu) przy pomocy pokrętła S- następnie wprowadzamy nurka do zlewki z wodą, powstała siła wyporu zakłóca równowagę, którą przywracamy wieszając koniki na nacięciach belki B. Koniki wieszamy zaczynając od największego kończąc na najlżejszym. Konik najcięższy o masie a na wycięciu np. 6-tym ma masą zastępczą 0,6a , konik o masie 0,1a na wycięciu 5-tym ma masę zastępczą 0,05a. itd. W tabeli pomiarów notujemy numery nacięć w których umieszczone są poszczególne koniki,- dalej, usuwamy zlewkę z wodą, osuszamy nurka i wprowadzamy go do zlewki z badaną cieczą . Znów równowaga w której była waga gdy nurek był w powietrzu została zakłócona. Powstałą siłę wyporu zniwelujemy gdy umieścimy koniki w odpowiednich nacięciach na belce wagi. Postępujemy jak w poprzednim przypadku zlewki z wodą. Położenia koników po zrównoważeniu wagi notujemy w Tabeli.

Tabela pomiarów………………………………………………..Nurek zanurzony w wodzie

Położenie konika a (największego); nacięcie nr. ……

Położenie konika 0,1a; Nacięcie nr. …….

Położenie konika 0,01a; Nacięcie nr……..

Masa wypartej wody mw w jednostkach masy konika: …………

Nurek zanurzony w badanej cieczy

Położenie konika a; nacięcie nr………

Położenie konika 0,1a; nacięcie nr…..

Położenie konika 0,01a; nacięcie nr…………

Masa wypartej cieczy mc w jednostkach masy konika………….

Temperatura nurka = temperaturze wody i badanej cieczy = ……………………………Odpowiadająca tej temperaturze gęstość wody = ………………………………………..Dokładność pomiaru mas Δmc = Δmw =………………………………………………………….

4.Analiza wyników i rachunek błędów

Dla każdego z pięciu typów pomiarów obliczamy gęstości z podanych wzorów w punkcie 2. Zasada pomiaru.

Jeśli w danej metodzie wykonujemy serię pomiarów to gęstość obliczamy dla każdego pomiaru a następnie obliczamy średnią i błąd średni kwadratowy według reguł podanych w trakcie ćwiczenia nr 0.

Jeśli dokonujemy pomiaru jednokrotnego to musimy pod Tabelami podać dokładność (błąd) każdego z pomiarów cząstkowych oraz obliczyć błąd względny wg następujących wzorów:

- W przypadku a) d = m/V , bł.wzgl. :Δd/d = Δm/m + ΔV/V, ΔV/V zależy od wzoru na objętość, np. dla kuli = 3ΔR/R, R promień kuli.- W przypadku b1) wzór (1) prowadzi do następującego wzoru na błąd względny: Δd/d =Δm/m + Δ dw/dw + 2Δm/(m – mz)- W przypadku b2) wzór (2) prowadzi do następującego wzoru na błąd względny: Δdp/dp = Δdw/dw + 2Δm/(m1 – m) + 4 Δm/(m1 - m2 – m + mz) - W przypadku b3) wzór (3) prowadzi do Δdc/dc = Δdw/dw +2 Δm/(m – m3) + 2 Δm/(m – mz)- W przypadku c) wzór (4) prowadzi do wzoru na błąd względny: Δdc/dc = Δdw/dw + Δmc/mc + Δmw/mw

Po wykonaniu wszystkich obliczeń błędu względnego obliczamy błąd bezwzględny.

4. Konkluzja W tym końcowym punkcie zamieszczamy wszystkie wyniki końcowe ( może być w postaci Tabeli) wraz z błędami . Pożądany jest komentarz dotyczący dokładności różnych metod i ewentualne porównanie z danymi z Tablic Fizycznych. Dodatek. Gęstości kilku substancji ( temp. t=200C)substancja d [g/cm3 = ton/m3] substancja d [g/cm3 = ton/m3]powietrze 0,00129 ciężka woda 1,1korek 0,22-0,26 grafit 1,6drewno 0,4(lipa)-0,9(dąb) diament 3,5benzyna 0,68-0,74 aluminium 2,72alkohol 0,79 cynk 7,1-7,2olej lniany 0,935 stal 7,5-7,9lód(00C) 0,88-0,92 miedź 8,93woda(40C) 0,9999 rtęć 13,5woda (200C) 0,9981 złoto 19,3

Zadania i pytania doĆw.nr.13 Pomiar gęstości ciał stałych i płynów.Zadanie 1.Aerometr jest prostym przyrządem do (niezbyt dokładnego) pomiaru gęstości cieczy a zasada jego działania opiera się na prawie Archimedesa. W najprostszym przypadku areometr jest długą, cylindryczną rurką szklaną (probówką), z kuleczkami żelaznymi lub ołowianymi wewnątrz i zamkniętą korkiem. Po zanurzeniu w cieczy rurka utrzymuje kierunek pionowy. Naniesiona na rurkę (albo umieszczona w środku) skala umożliwia

odczyt głębokości zanurzenia (z). Masa rurki z obciążeniem, głębokość zanurzenia i gęstość cieczy są powiązane, zatem zwykle skala zanurzenia jest od razu opisana wartościami gęstości cieczy (w g/cm3).

Na rys.a) mamy taką rurkę (areometr) zanurzoną w wodzie na głębokość zw (Pytanie: od czego zależy ta głębokość?). Kresce skali znajdującej się na poziomie powierzchni wody przypisujemy wartość 1 (gęstości wody = 1g/cm3). Zanurzając areometr w cieczach o znanej gęstości możemy go wyskalować(,,wycechować”) i każdej kresce skali przypisać odpowiadającą jej gęstość cieczy. 1) Załóżmy, że nasz areometr (na rys.a) jest cylindryczną probówką o średnicy zewnętrznej 2R=1cm2 i zanurza się w wodzie na głębokość 50mm. Oblicz masę tego areometru. 2) Ten sam areometr umieszczamy w cieczy o gęstości 0,8 g/cm3 (olej napędowy), jakie będzie wtedy jego zanurzenie z? Której działce skali milimetrowej przypiszemy wartość 0,8?3) Ten sam areometr umieszczamy w cieczy o gęstości 1,26 g/cm3 (gliceryna) – ile wyniesie zanurzenie z?4) W którą stronę (w górę czy w dół) rośnie opis skali areometru wycechowanego w g/cm3?5) Gdzie znajdzie się jedynka ,,1” skali areometru gdy na wodę nalejemy warstwę 3cm oleju – rys b) (gęstość oleju ≈ 0,8g/cm3)? , a gdzie gdy nalejemy taką samą objętość alkoholu (gęstość alkoholu ≈ 0,79)?

Zadanie 2.

Kostka lodu o masie 50g pływa w 200cm3 solanki o gęstości 1,1 g/cm3 znajdującej się w wyskalowanej w cm3 zlewce laboratoryjnej. Czy i o ile podniesie się poziom w zlewce gdy cały lód roztopi się? Czy i co zmieni się gdy solankę zastąpimy wodą?Zadanie 3. W zbiorniku wypełnionym wodą zrobiła się dziura o polu przekroju 1cm2 na głębokości 10 m licząc od powierzchni wody. Z jaką prędkością wypływa strumień wody? Jeśli objętość wody znajdującej się nad dziurą wynosi 1000m3 to po jakim czasie wpłynie cała woda znajdująca się nad dziurą?

I Otwór o S=1cm2 na głębokości10m.