FALE
description
Transcript of FALE
FALE
•Równanie falowe w jednym wymiarze
•Fale harmoniczne proste
•Zasada superpozycji
•Równanie falowe w trzech wymiarach
• Interferencja
RÓWNANIE FALOWE W JEDNYM WYMIARZE
Przykład: drgania poprzeczne struny
(z,t) - wychylenie pionowe z położenia
równowagi elementu struny z w punkcie
z w chwili t
0 - gęstość liniowa masy struny
m= 0 z - masa elementu struny
T(z) - naprężenie struny w punkcie z przy
wychyleniu z położenia równowagi
T0 - naprężenie struny w położeniu
równowagi
Zakładamy, że ruch elementu struny
odbywa się tylko wzdłuż osi pionowej Ox.
T(z+z)
T(z)
(z)
(z+z)x
z
(z,t)
T0T0
xx
z
mazzTzzzzTzT
TzzTzzzzT
zzTzzzzTzT
sinsin
coscos
0coscos
0
0
02
2
22
2
2
2
0
02
2
2
2
2
2
00
000
,1
tgtg
tg
tgtgtgtg
tgcostgcos
sinsin
Tv
tvz
tTz
zdz
d
z
tdzmadz
dz
dT
zz
zzzTzTzzT
zzzTzzzzzzT
zzTzzzzTzT
x
x
Ogólna postać równania falowego w jednym wymiarzev - prędkość fali (prędkość fazowa)
FALE HARMONICZNE PROSTE
(z,0)
(0,t)
T
Szczególne rozwiązanie równania falowego w postaci fali biegnącej.A - amplituda- długość fali - najmniejsza odległość przestrzenna miedzy dwoma punktami, w których w tej samej chwili faza drgań jest jednakowa z dokładnością do 2.k - liczba falowa (wektor falowy)T- okres fali - czas, po którym faza drgań dowolnego elementu ośrodka wzrośnie o 2.- częstość
2
,2
,sin, kT
kztAtz
Aby (z,t) było rozwiązaniem równania falowego, musi być spełniona relacja dyspersji
vk
vkt
zkztconst
kzt
00
Faza
Prędkość fazowa -
prędkość przemieszczania się stałej fazy
ZASADA SUPERPOZYCJI
Zaburzenie falowe osrodka, pochodzące od układu źródeł, równe jest sumie (wypadkowej) zaburzeń, pochodzących od poszczególnych źródeł.Równanie falowe jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym, więc kombinacja liniowa niezależnych rozwiązań jest również jego rozwiązaniem.
Przykład: fale stojace w jednym wymiarze
2k=
kztAtztztz
kztAtzkztAtz
cossin2),(),(,
sin),(,sin),(
21
21
t=T/4
t=3T/4
t=0.1T
t=0.05T
t=0
węzeł
strzałka
(z,t)
A(z,t) obwiednia
Prędkość grupowa -
prędkość przemieszczania
się obwiedni = predkości
przepływu informacji
dk
dvgr
2dk
Przykład: prędkość grupowa
zdk
ktd
zdk
td
Atztztz
zdkktdAtzkztAtz
tzA
22sin
22cos2),(),(),(
sin),(,sin),(
),(
21
21
RÓWNANIE FALOWE W TRZECH WYMIARACH
Zaburzenie, rozchodzące się w przestrzeni trójwymiarowej, opisywane jest wektorem o trzech składowych.Każda ze składowych wektora jest funkcją trzech zmiennych przestrzennych x, y, z i spełnia równanie falowe.
01
,,,,,
,,,
,,
2
2
22
2
2
2
2
2
tvzyx
zyxizyxr
zyxr
iiii
iii
zyx
Operator Laplace’a (laplasjan) 2
2
2
2
2
22
zyx
zyxitvi
i ,,,01
2
2
22
Równanie falowe w trzech
wymiarach
Przykład: fale płaskie
z
x
k
r
constrk
Płaszczyzny stałej fazysą prostopadłe do kierunku propagacji danego wektorem falowym k i odległe od siebie o
x(z,0)
tkzAkkkk
zyxitrkA
iizyx
ii
cos2
,0,0,,
,,,cos
Przykład: polaryzacja fal płaskich
z
x
y
x(z,0)
Fala płaska spolaryzowana liniowo - drgania zachodzą wzdłuż jednej osi.
0,0,cos0,0, tkzAx
x
y
tSuperpozycja dwóch fal płaskich spolaryzowanych liniowo jest w ogólności falą płaską spolaryzowaną eliptycznie - przy ustalonym z=const koniec wektora zaburzenia zakreśla w czasie elipsę.
0,cos,cos0
0,cos,00,,0
0,0,cos0,0,
21
21
22
11
tAtAz
tkzA
tkzA
y
x
t
A
2
,21
AAA
A
t
0
,21
AAA
Przykład: Fale kuliste
krtr
Ar
zyxirr
i
ii
cos
,,, Zasada Huyghensa: każdy punkt, do którego dociera zaburzenie, staje się źródłem nowej fali kulistej. Zaburzenie wypadkowe jest superpozycją fal kulistych, pochodzących od wszystkich punktów ośrodka.
Natężenie fali kulistej: energia, przepływająca przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu
22 rAI
Całkowita energia, przepływająca przez powierzchnię zamkniętą, otaczającą źródło fali kulistej, nie zależy od odległości constA
IrE
2
2
4
4
a) b)
INTERFERENCJA
Przykład: Interferencja fal kulistych
tPtPtP
krtr
AtP
kdkrtr
Akrt
r
AtP
,,,
cos,
sincoscos,
21
22
2
22
11
1
21,
2
rrdk
d
d
1
2
P
r2
r1
dsin
1,max
,max
2,max
0,min
1,min
Maksimum interferencyjne
Minimum interferencyjne
2
sincos
4)(
2
sincos
2
sincos
2,
22
2
2
22
kd
r
API
kdtkr
kd
r
AtP
Maksima interferencyjne
,...2,1,0,sin
,...2,1,0,2
sin1
2
sincos
max,
nnd
nnkdkd
n
,...2,1,0,2
1sin
,...2,1,0,22
sin0
2
sincos
min,
nnd
nnkdkd
n
Minima interferencyjne
Efektywne natężenie
d=4r 2,min=100
Interferencja fal kulistych na powierzchni wody (u dołu) i światła przechodzącego przez dwie szczeliny (z prawej)
Przykład: Dyfrakcja fali płaskiej na szczelinie
Przy przechodzeniu fali płaskiej przez szczelinę na ekranie ustawionym za wąską szczeliną obserwuje się obraz dyfrakcyjny. Jest on związany z interferencją fal kulistych, wzbudzonych przez padajacą falę płaską, wychodzących z poszczególnych punktów szczeliny (odległość poszczególnych punktów ekranu od poszczególnych punktów szczeliny jest różna, a różnice są rzędu długości fali)