Elementy statystyki i metodologia prowadzenia badan...

Wprowadzenie Analiza struktury Analiza dynamiki Elementy wnioskowania

Elementy statystyki i metodologia prowadzeniabadań statystycznych dla celów analizy

finansowej

Jan AcedańskiUniwersytet Ekonomiczny w Katowicach

Katedra Metod Statystyczno–Matematycznych w Ekonomii


Statystyka — definicjaStatystyka — dyscyplina naukowa zajmująca się metodamizbierania, opracowywania i analizy danych dotyczących zjawiskmasowych

Zjawiska masowe — procesy powtarzające się dużą liczbę razy

Statystyka opisowa — zajmuje się opisem zjawisk lub zbiorowościprzy pomocy miar statystycznych (analiza struktury, dynamiki iwspółzależności)

Wnioskowanie statystyczne — zajmuje się uogólnianiem wynikówuzyskanych na podstawie próby na całą populację wykorzystującprawa rachunku prawdopodobieństwa


Statystyka - literatura

• Starzyńska W., Statystyka praktyczna, PWN, Warszawa 2000• Sobczyk M., Statystyka, PWN, Warszawa 2015• Regel W., Podstawy statystyki w Excelu, PWN, Warszawa 2013• Kukuła K., Elementy statystyki w zadaniach, PWN, Warszawa

2011• Hołda A., Pociecha J., Probabilistyczne metody badania

sprawozdań finansowych, Wydawnictwo UEK w Krakowie,Kraków 2009

• Węglarczyk S., Statystyka w Excelu, Wydawnictwo PolitechnikiKrakowskiej, Kraków 2012


Etapy badania statystycznego1. Przygotowanie badania (cel, zakres, źródła informacji,

przygotowanie kwestionariusza, szkolenie personelu, badaniepilotażowe)

2. Obserwacja statystyczna (czyli zbieranie danych)3. Opracowanie surowego materiału statystycznego

• Kontrola formalna (kompletności) i merytoryczna (brak błędówprzypadkowych i systematycznych)

• Porządkowanie i grupowanie materiału statystycznego(tworzenie szeregów statystycznych)

• Prezentacja materiału (w formie tabel lub wykresów)4. Analiza opracowanego materiału statystycznego

• Analiza struktury• Analiza dynamiki• Analiza współzależności• Uogólnianie wyników z próby na całą populację


Rodzaje szeregów statystycznych statystycznego

• Szereg szczegółowy (wyliczający) — lista zaobserwowanychwartości badanej cechy

• Szereg rozdzielczy punktowy — obserwacje zgrupowane wedługwartości badanej cechy

• Szereg rozdzielczy przedziałowy — obserwacje zgrupowanewedług przedziałów wartości badanej cechy


Skale pomiaru zmiennychSkale pomiarowe pokazują, z jaką „dokładnością” możliwy jestpomiar danego zjawiska (w jakim zakresie możliwe jestporównywanie uzyskanych wartości badanej zmiennej)

• Skala nominalna: dwie wartości są albo takie same, albo różne,np. płeć, lokalizacja sklepu, rodzaj wyrobu

• Skala porządkowa: można stwierdzić, która wartość jestwiększa, np. wykształcenie, stopień akceptacji pewnegostwierdzenia w badaniach ankietowych

• Skala różnicowa: można stwierdzić, o ile dana wartość jestwiększa od innej, np. temperatura w st. Celsjusza, ilorazinteligencji

• Skala ilorazowa: można stwierdzić, ile razy dana wartość jestwyższa od innej, np. przychód, zysk, cena


Analiza struktury zjawisk

• Miary tendencji centralnej — średnia harmoniczna, średniaarytmetyczna, dominanta, mediana

• Pozycyjne miary położenia — kwartyle, percentyle• Miary zróżnicowania — rozstęp, odchylenie standardowe,

odchylenie ćwiartkowe, współczynniki zmienności• Miary asymetrii — klasyczny współczynnik skośności,

współczynnik asymetrii Pearsona


Średnia harmonicznaŚrednia harmoniczna — obliczana dla wielkości stosunkowych(miar natężenia), gdy wagi wyrażone są w jednostkach licznikabadanej cechy

Wersja prosta (dla szeregów szczegółowych):

x̄h =n

1x1 +

1x2 + · · ·+

1xn, (1)

xi — wartości badanej cechy, n — liczba obserwacji

Wersja ważona (dla szeregów rozdzielczych):

x̄h =n1 + n2 + · · ·+ nkn1x1 +

n2x2 + · · ·+

nkxk, (2)

ni — liczebności poszczególnych grup, k — liczba grup


Średnia arytmetycznaŚrednia arytmetyczna — obliczana zarówno dla wielkościstosunkowych, gdy wagi wyrażone są w jednostkach mianownikajak i w pozostałych przypadkach, gdy nie stosowana jest średniageometryczna

Wersja prosta (dla szeregów szczegółowych):

x̄ = x1 + x2 + · · ·+ xnn , (3)


x̄ = x1 · n1 + x2 · n2 + · · ·+ xn · nkn1 + n2 + · · ·+ nk, (4)


Dominanta i mediana

Dominanta (moda) (D) — wartość występująca najczęściej

Mediana — wartość środkowa, poniżej mediany znajduje się połowaobserwacji a powyżej jest druga połowa

Me =

x n+12 gdy n jest nieparzyste0,5 · (x n2

+ x n2+1

)gdy n jest parzyste (5)


Miary poziomu przeciętnego — wady i zalety

Średnia — uwzględnia wszystkie obserwacje (miara klasyczna) alenieodporna na obserwacje odstające, czasami nie nadaje się do opisutypowego obiektu, nie może być obliczona dla skal słabych

Dominanta — nadaje się do opisu typowego obiektu, odporna naobserwacje odstające, ale czasami może nie być jednoznacznieokreślona oraz nie bierze pod uwagę wszystkich obserwacji (miarapozycyjna)

Mediana — nadaje się do opisu typowego obiektu, odporna naobserwacje odstające, nie bierze pod uwagę wszystkich obserwacji(miara pozycyjna) oraz nie może być stosowana dla skali nominalnej


Kwartyle i percentyle

Kwartyl pierwszy (Q1) — dzieli zbiorowość w stosunku 1:3 (25%wartości poniżej Q1 i 75% powyżej)

Kwartyl drugi (Q2) — mediana

Kwartyl trzeci (Q3) — dzieli zbiorowość w stosunku 3:1 (75%wartości poniżej Q3 i 25% powyżej)

Percentyl rzędu p — poniżej znajduje się p% obserwacji, a powyżej(1− p)%


Miary zróżnicowania — rozstęp i odchylenie stand.Pokazują na ile obserwacje różnią się od pomiędzy sobą lub wstosunku do poziomu przeciętnego.

Rozstęp — różnica między wartością maksymalną a minimalnąR = xmax − xminOdchylenie standardowe — mierzy średnie odchylenie od średniejarytmetycznej Wersja prosta (dla szeregów szczegółowych):

s =√

(x1 − x̄)2 + (x2 − x̄)2 + · · ·+ (xn − x̄)2n , (6)


s =√

(x1 − x̄)2 · n1 + (x2 − x̄)2 · n2 + · · ·+ (xk − x̄)2 · nkn1 + n2 + · · ·+ nk

(7)


Odchylenie ćwiartkowe i współczynniki zmiennościOdchylenie ćwiartkowe — pozycyjny odpowiednik odchyleniastandardowego; mierzy zróżnicowanie z wyłączeniem 25%najmniejszych i 25% największych obserwacji:

Q = Q3 − Q12 (8)

Współczynniki zmienności — odnoszą poziom zróżnicowania dopoziomu przeciętnego badanego zjawiska:

• klasyczny:Vs =

sx̄ · 100% (9)

• pozycyjny:VQ =

QMe · 100% (10)


Miary zróżnicowania — podsumowanie

Odchylenie standardowe — bierze pod uwagę wszystkieobserwacje, brak odporności na obserwacje odstające

Odchylenie ćwiartkowe — odporne na obserwacje odstające,bazuje na wybranych obserwacjach pomijając skrajne, stąd zaniżazmienność

Współczynniki zmienności — służą do porównywania zmiennościw różnych zbiorowościach lub dla różnych cech


Interpretacja współczynników zmienności

„Umowne” przedziały interpretacyjne dla współczynnikówzmienności:0-10% — małe, nieistotne zróżnicowanie10-40% — umiarkowane zróżnicowaniepow. 40% — silne zróżnicowanie


Miary asymetriiPokazują, czy większość obserwacji jest poniżej (asymetriaprawostronna) czy powyżej średniej (asymetria lewostronna)

Klasyczny współczynnik asymetrii (skośności):

A = m3s3 , (11)

m3 =(x1 − x̄)3 · n1 + (x2 − x̄)3 · n2 + · · ·+ (xk − x̄)3 · nk

n1 + n2 + · · ·+ nk(12)

Współczynnik asymetrii Pearsona:

AP =x̄ − D

s (13)

Wartości dodatnie współczynników świadczą o asymetriiprawostronnej, a ujemne — o lewostronnej; im wartość jestbliższa 0, tym słabsza jest asymetria


Analiza dynamiki — wprowadzenie

Miary dynamiki służą do opisu zmian zachodzących w czasie.Wyróżnia się następujące metody analiz dynamiki:

1. Analiza przyrostów2. Analiza indeksowa:

• indeksy wielkości indywidualnych (np. sprzedaż w ujęciuilościowym, zysk)

• indeksy agregatowe dla wielkości absolutnych (np. przychód)• indeksy agregatowe dla wielkości stosunkowych (np. wydajność

pracy, wskaźnik rentowności, wskaźniki płynności)3. Analiza szeregów czasowych

• trendy• wahania sezonowe


Przyrosty

• Przyrosty absolutne jednopodstawowe (względem pewnegookresu s): δt/s = yt − ys

• Przyrosty absolutne łańcuchowe: δt/t−1 = yt − yt−1• Przyrosty względne jednopodstawowe: ∆t/s = yt−ysys• Przyrosty względne łańcuchowe: ∆t/t−1 = yt−yt−1yt−1

Przyrosty absolutne wyrażone są w takich samych jednostkach jakbadana cecha, natomiast absolutne — w procentach (poprzemnożeniu przez 100%)


Indeksy wielkości indywidualnych• Jednopodstawowe (względem pewnego okresu s):

it/s =ytys

(14)

• Łańcuchowe:it/t−1 =

ytyt−1

(15)

Po odjęciu 1 i przemnożeniu przez 100% ((i − 1) · 100%) indeksyilustrują zmiany procentowe, a więc to samo, co przyrosty względne.

Zależności pomiędzy przyrostami a indeksami:

it/s = ∆t/s − 1, it/s =δt/sys− 1 (16)


Zamiana indeksów• Jednopodstawowe na łańcuchowe — trzeba podzielić przez

siebie sąsiednie indeksy:

it/t−1 =it/s

it−1/s(17)

• Łańcuchowe na jednopodstawowe:• gdy t > s — mnożymy przez siebie kolejne indeksy

it/s = is+1/s · is+2/s+1 · · · · · it/t−1 (18)

• gdy t < s — mnożymy przez siebie kolejne indeksy i bierzemyich odwrotność:

it/s =1

is/s−1 · is−1/s−2 · · · · · it+1/t(19)


Średnie tempo zmian zjawiska

Średnie tempo zmian pomiędzy okresami 0 i t obliczamy jakośrednia geometryczna odpowiednich indeksów łańcuchowych:

īg = t√

i1/0 · i2/1 · · · · · it/t−1 = t√

yty0

= t√

it/0 (20)

Wartość (̄ig − 1) · 100% pokazuje, o ile procent z okresu na okresmusiał zmieniać się poziom badanego zjawiska, aby z poziomu y0 wokresie 0 dojść do poziomu yt w okresie t.


Indeksy agregatowe wielkości absolutnych• Służą do badania dynamiki agregatów będących sumą

iloczynów dwóch zmiennych (np. łącznych przychodów zesprzedaży kilku wyrobów obliczanych jako iloczyny ilościsprzedanych wyrobów i cen jednostkowych)

• Pozwalają na oddzielną analizę wpływu każdego z czynników(ilości i cen) na zmianę poziomu badanego zjawiska

• Agregatowy indeks wartości — pokazuje zmianę wartościsprzedaży pomiędzy dwoma okresami 0 i 1:

Iw =p11q11 + p12q12 + · · ·+ p1kq1kp01q01 + p02q02 + · · ·+ p0kq0k

=

∑ p1jq1j∑ p0jq0j (21)gdzie ptj oraz qtj oznaczają odpowiednio cenę oraz ilośćwyrobu j (j = 1, 2, . . . , k) sprzedanego w okresie t (t = 0, 1).


Indeksy agregatowe ilości• Pokazują wpływ zmian ilości sprzedanych produktów na zmianę

przychodów ze sprzedaży• Indeks ilości Paaschego (ilości z dwóch okresów, stałe ceny z

okresu badanego):IPq =

∑ p1jq1j∑ p1jq0j (22)• Indeks ilości Laspeyresa (ilości z dwóch okresów, stałe ceny z

okresu bazowego):ILq =

∑ p0jq1j∑ p0jq0j (23)• Indeks ilości Fishera:

IFq =√

IPq · ILq (24)


Indeksy agregatowe cen

• Pokazują wpływ zmian cen jednostkowych sprzedanychproduktów na zmianę przychodów ze sprzedaży

• Indeks cen Paaschego (ceny z dwóch okresów, stałe ilości zokresu badanego):

IPp =∑ p1jq1j∑ p0jq1j (25)

• Indeks cen Laspeyresa (ceny z dwóch okresów, stałe ilości zokresu bazowego):

ILp =∑ p1jq0j∑ p0jq0j (26)

• Indeks cen Fishera:IFp =

√IPp · ILp (27)


Indeksy agregatowe — dodatkowe tożsamości

Iw = IFp · ILq = ILp · IPq (28)

p1jq0j = ipjp0jq0j p0jq1j =p1jq1j

ip(29)

ILq =w01iq1 + w02iq2 + · · ·+ w0k iqk

w01 + w02 + · · ·+ w0k(30)

ILp =w01ip1 + w02ip2 + · · ·+ w0k ipk

w01 + w02 + · · ·+ w0k(31)

IPq =w11 + w12 + · · ·+ w1kw11iq1 +

w12iq2 + · · ·+

w1kiqk

(32)

IPp =w11 + w12 + · · ·+ w1kw11ip1 +

w12ip2 + · · ·+

w1kipk

(33)

ipj , iqj — indywidualne indeksy cen i ilości dla wyrobu j , wtj = ptjqtj


Indeksy agregatowe wielkości stosunkowych• Wskaźnik rotacji zapasów W = sprzedaż/zapasy• Wszechstronny indeks rotacji zapasów — pokazuje zmianę

średniego wskaźnika rotacji w kilku działach przedsiębiorstwa:

IW =W̄1W̄0

, W̄t =wt1zt1 + wt2zt2 + · · ·+ wtkztk

zt1 + zt2 + · · ·+ ztk(34)

W̄t — średnia wskaźnik rotacji w okresie t, wtj — wskaźnikrotacji w dziale j , wtj — wartość zapasów w dziale j

• Wpływ zmian wskaźników indywidualnej rotacji wposzczególnych działach oraz struktury zapasów nawszechstronny indeks rotacji można badać w podobny sposóbjak w przypadku wartości sprzedaży ustalając zawsze jedną ztych dwóch wielkości zgodnie z formułami Laspeyresa lubPaaschego.


Linia trendu

Linia trendu — opisuje teoretyczną zależność pomiędzy poziomembadanego zjawiska a zmienną reprezentującą upływ czasut = 1, 2, . . . ,T lub jej funkcją. Służy do prognozowania zjawisk.

Najczęściej stosowane postaci analityczne:• liniowa: yt = α0 + α1 · t• kwadratowa: yt = α0 + α1 · t + α2 · t2

• logarytmiczna: yt = α0 + α1 · ln(t)• potęgowa: yt = α0 · tα1• wykładnicza: yt = α0 · αt1 lub yt = α0 · eα1t


Prognozowanie na podstawie liniowej funkcji trendu• Punktem wyjścia jest funkcja trendu postaci:

ŷt = α̂0 + α̂1 · t, (35)

gdzie α̂i oznaczają oszacowania parametrów uzyskane napodstawie T obserwacji.

• Prognozę na okres T + h uzyskujemy podstawiając wpowyższym równaniu wartość T + h w miejsce t:

ŷT+h,p = α̂0 + α̂1 · (T + h) (36)

• Średni błąd prognozy obliczamy ze wzoru:

S(ŷT+h,p) = Su ·

√√√√1 + 1T + (T + h − t̄)2∑T

t=1(t − t̄)2, t̄ = T + 12 (37)

Su — odchylenie standardowe reszt linii trendu


Wskaźniki sezonowości — wprowadzenieWskaźniki sezonowości — pokazują, w jakim stopniu, średniorzecz biorąc, w danym podokresie wartości badanego zjawiskaodchylają się od poziomu przeciętnego określonego przez trend;wykorzystywane są w prognozowaniu

Dwa rodzaje szeregów czasowych:• Szeregi addytywne — amplituda wahań sezonowych jest stała,

niezależna od trendu• Szeregi multiplikatywne — amplituda wahań sezonowych jest

proporcjonalna do poziomu trendu (im wyższy poziomprzeciętny zjawiska, tym większe odchylenia sezonowe)

Dla szeregów addytywnych wskaźniki sezonowości wyrażone są wjednostkach badanej cechy a dla multiplikatywnych wskazują naodchylenia procentowe.


Szereg addytywny — przykład

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Y(t

)

t


Szereg multiplikatywny — przykład

0

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Y(t

)

t


Wskaźniki sezonowości — procedura1. Oszacuj trend ŷt2. Wyznacz odchylenia od trendu

ws,t = yt − ŷt lub ws,t =ytŷt

(38)

3. Oblicz surowe wskaźniki sezonowości w ′j dla jednoimiennychpodokresów jako średnie arytmetyczne odpowiednich odchyleńod trendu

4. Wyznacz czyste wskaźniki sezonowości dla podokresów:

wj = w ′j − w̄ ′ lub wj =w ′jw̄ ′ (39)

5. Wyznacz prognozy korygując prognozowany trend o odpowiedniwskaźniki sezonowości

ŷ ∗T+h,p = ŷT+h,p + wj lub t̂∗T+h,p = ŷT+h,p · wj (40)


Wnioskowanie statystyczne — wprowadzenie• Zajmuje się przenoszeniem sądów statystycznych dotyczących

prób na całą populację• Dwa główne działy:

• Przedziały ufności — przedziały, w których z dużymprawdopodobieństwem znajdują się wartości badanychparametrów dla całej populacji

• Weryfikacja hipotez — badanie fałszywości sądów dotyczącychwartości parametrów dla całej populacji

• Oznaczenia: x̄ , s, wn — charakterystyki obliczane na podstawiepróby; µ, σ, p — ich odpowiedniki w całej populacji (zazwyczajnieznane)

• Prezentowane poniżej wzory wykorzystują założenie o losowaniuelementów do próby prostym ze zwracaniem


Przedziały ufności — ogólny schemat

• Ogólny wzór:

P(θ̂ − kθ̂,αB(θ̂) < θ < θ̂ + kθ̂,αB(θ̂)

)= 1− α

θ, θ̂ — wartości analizowanego parametru w populacji i w próbie1− α — poziom ufnościB(θ̂) — średni błąd szacunku badanego parametrukθ̂,α — stała zależna od szacowanego parametru i poziomuufności

• Błąd B maleje wraz ze wzrostem liczebności próby i spadkiemzmienności badanej cechy

• Stała k maleje wraz ze spadkiem poziomu ufności


Przedziały ufności dla średniej1. σ (odchylenie standardowe dla całej populacji) znana

Px̄ − zα · σ√n < µ < x̄ + zα ·

σ√n

= 1− α (41)x̄ — średnia z próby,n — liczebność próby,zα — wartość odczytana z tablic dystrybuanty rozkładunormalnego standardowego, tak że P(|Z | > zα) = α

2. σ nieznana, próba duża n 30:

Px̄ − zα · s√n < µ < x̄ + zα ·

s√n

= 1− α (42)s — odchylenie standardowe z próby


Przedziały ufności dla średniej c.d.

3. σ nieznana, próba mała n < 30:

P(

x̄ − tα|n−1 ·s√

n − 1< µ < x̄ + tα|n−1 ·

s√n − 1

)= 1− α

(43)tα|n−1 — wartość odczytana z tablic rozkładu t Studenta zn − 1 stopniami swobody


Przedziały ufności dla odchylenia standardowego

1. Próba duża n 30:

P(

s − zα ·s√2n

< σ < s + zα ·s√2n

)= 1− α

(44)2. Próba mała n < 30:

P√√√√√ ns2χ21−α2 |n−1

< σ <

√√√√√ ns2χ2α

2 |n−1

= 1− α (45)χ21−α2 |n−1

, χ2α2 |n−1

— wartości odczytane z tablic rozkładu χ2 zn − 1 stopniami swobody


Przedział ufności dla wskaźnika struktury (odsetekelementów z wyróżnioną cechą)

Pwn − zα

√wn(1− wn)

n < p < wn + zα

√wn(1− wn)

n

= 1− α(46)

wn — odsetek obserwacji z wyróżnioną cechą w próbie


Minimalna liczebność próby — problem

Problem:Co najmniej jak liczną próbę n należy pobrać, aby przy danympoziomie ufności oszacować nieznany parametr θ nie popełniającbłędu większego niż Bmax ?

Rozwiązanie:Korzystając ze wzoru na maksymalny błąd szacunku równy kθ̂,αB(θ̂)należy wyznaczyć n, tak by błąd był nie większy niż Bmax .


Minimalna liczebność próby — wzory• Dla średniej, σ znana:

n z2α · σ2

B2max(47)

• Dla średniej, σ nieznana:

n t2α/n−1 · s2

B2max+ 1 (48)

• Dla wskaźnika struktury, wn znane:

n z2α · wn · (1− wn)

B2max(49)

• Dla wskaźnika struktury, wn nieznane:

n z2α

4B2max(50)


Teoria weryfikacji hipotez — podstawowe pojęcia• Hipoteza podstawowa, H0 — hipoteza weryfikowana• Hipoteza alternatywna, H1 — przyjmowana w sytuacji

odrzucenia• Poziom istotności testu α — prawdopodobieństwo

odrzucenia hipotezy prawdziwej (zwykle równe 0,01, 0,05 lub0,1)

• Statystyka testowa — funkcja, której wartości empiryczne sąpodstawą podjęcia decyzji dotyczącej odrzucenia lubnieodrzucenia hipotezy podstawowej

• Obszar krytyczny — zbiór wartości statystyki testowejwskazujących na konieczność odrzucenia H0 (zwykle dużewartości statystyki testowej wskazują na odrzucenie H0)

• Wartości krytyczne — krańce obszaru krytycznego• p-wartość — maksymalny poziom istotności przy którym

należałoby odrzucić H0 (gdy jest mniejsza niż α, odrzucamy H0)


Teoria weryfikacji hipotez — procedura

1. Sformułowanie hipotez podstawowej i alternatywnej2. Wybór statystyki testowej i obliczenie jej wartości3. Odczytanie wartości krytycznych i budowa obszaru krytycznego4. Porównanie wartości statystyki testowej z obszarem krytycznym

oraz podjęcie decyzji dotyczącej odrzucenia H0 (odrzucamy H0,gdy wartość statystyki testowej wpada do obszaru krytycznego;brak podstaw do odrzucenia w przeciwnym przypadku)


Testy dla średniej — hipotezy

Weryfikowane hipotezy:

H0 : µ = µ0H1 : µ 6= µ0, µ > µ0, µ < µ0


Testy dla średniej — statystyki testowe1. σ znana:

Z = x̄ − µ0σ·√

n ∼ N(0, 1) (51)

2. σ nieznana, próba duża n 30:

Z = x̄ − µ0s ·√

n ∼ N(0, 1) (52)

3. σ nieznana, próba mała n < 30:

t = x̄ − µ0s ·√

n − 1 ∼ tn−1 (53)


Testy dla średniej — obszary krytyczne

H1 : µ 6= µ0

-zα zαx

f(x)

α/2 α/2

Φ(zα) = 1−α

2 (54)


Testy dla średniej — obszary krytyczne c.d.

H1 : µ > µ0

zαx

f(x)

α

Φ(zα) = 1− α (55)


Testy dla średniej — obszary krytyczne c.d.

H1 : µ < µ0

-zαx

f(x)

α

Φ(zα) = 1− α (56)


Test dla wariancji — hipotezy i statystyka testowaWeryfikowane hipotezy:

H0 : σ2 = σ20H1 : σ2 > σ20

Statystyki testowe:

1. Próba duża n 30

Z = 2 · n · s2

σ20−√

2n − 3 ∼ N(0, 1) (57)

2. Próba mała n < 30

χ2 =n · s2σ20

∼ χ2n−1 (58)


Test dla wariancji — obszar krytyczny przy małejpróbie

χ2α,n-1x

f(x)

α


Test dla wskaźnika struktury

Weryfikowane hipotezy:

H0 : p = p0H1 : p 6= p0, p > p0, p < p0

Statystyka testowa — próba duża, n 100:

Z = wn − p0√p0 · (1− p0)

√n ∼ N(0, 1) (59)

WprowadzenieAnaliza struktury zjawiskAnaliza dynamikiElementy wnioskowania

Elementy statystyki i metodologia prowadzenia badan...

Documents

Transcript of Elementy statystyki i metodologia prowadzenia badan...