ElektrodynamikaCzęść 1

Elektrostatyka

Ryszard TanaśZakład Optyki Nieliniowej, UAM

http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas

Spis treści

1 Literatura 3

2 Elektrostatyka 42.1 Pole elektryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego . . . . . . 112.3 Potencjał elektryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Praca i energia w elektrostatyce . . . . . . . . . . . . . 402.5 Przewodniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1 Literatura

Wykład oparty jest na podręczniku:D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001

W prezentacjach używam notacji zgodnej (prawie) z polską wersją tegopodręcznika.

Należy pamiętać, że tłusta czcionka oznacza wektor,np. E oznacza ~E w pisowni ręcznej.

Prezentacje mogą być wykorzystywane wyłącznie w celachdydaktycznych.

2 Elektrostatyka

2.1 Pole elektryczne

2.1.1 Zasada superpozycji

q1

q2

qi

Q

ładunki źródła ładunek próbny

F = F1 +F2 +F3 + . . .

x y

zQ

q

R

rr′

R = r − r′

Jaką siłą q działa na Q?

2.1.2 Prawo Coulomba

F = 14πε0

qQ

R2 R̂

ε0 = 8, 85 · 10−12[

C2

Nm2

]przenikalność elektryczna próżni

R̂ = RR = r − r′|r − r′|

wersor wskazujący kierunek izwrot wektora R

2.1.3 Pole elektryczne

Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q1, q2, . . . , qn

odległych od Q o R1,R2, . . . ,Rn

F = F1 +F2 + . . . = 14πε0

(q1Q

R21R̂1 + q2Q

R22R̂2 + . . .

)

= Q1

4πε0

(q1R2

1R̂1 + q2

R22R̂2 + q3

R23R̂3 + . . .

)

F = QE

E — natężenie pola elektrycznego

x y

zP

qi

q1

q2

q3

Ri

rr′

E(r) ≡ 14πε0

n∑i=1

qiR2i

R̂i

2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku

E(r) = 14πε0

∫ 1R2 R̂ dq

dq =

λ dl′ ładunek liniowy

σ da′ ładunek powierzchniowy

ρ dτ ′ ładunek objętościowy

E(r) = 14πε0

∫P

λ(r′)R2 R̂ dl′ pole od ładunku liniowego:

E(r) = 14πε0

∫S

σ(r′)R2 R̂ da′ pole od ładunku powierzchniowego

E(r) = 14πε0

∫V

ρ(r′)R2 R̂ dτ ′ pole od ładunku objętościowego

2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego

2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa

Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układuwspółrzędnych, wtedy

E(r) = 14πε0

q

r2 r̂

Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunkumaleje jak 1/r2.

Dla ładunku dodatniego pole skierowane jest od ładunku.

+E

−+

++

da

E

Strumień pola E przez powierzchnię S

ΦE ≡∫SE · da

jest miarą „liczby linii pola” przechodzących przez S.

Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układuwspółrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi

∮E · da =

∫ 14πε0

(q

r2 r̂

)·(r2 sin θ dθ dφ r̂

)= 1ε0q

Wynik nie zależy od promienia sfery.Wynik jest taki sam dla dowolnej powierzchni zamkniętej.

Prawo Gaussa

Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek qwynosi q/ε0

∮E · da =

n∑i=1

(∮Ei · da

)=n∑i=1

( 1ε0qi

)

∮E · da = 1

ε0Qwew

Strumień pola przez dowolnąpowierzchnię zamkniętą jest równyQwew/ε0

∮SE · da =

∫V

(∇ ·E) dτtwierdzenie o dywergencji(twierdzenie Gaussa)

Qwew =∫Vρ dτ∫

V(∇ ·E) dτ =

∫V

(ρ

ε0

)dτ

∇ ·E = 1ε0ρ Prawo Gaussa w postaci różniczkowej

2.2.2 Dywergencja E

E(r) = 14πε0

∫cała przestrzeń

R̂R2 ρ(r

′) dτ ′

∇ ·E = 14πε0

∫∇ ·

(R̂R2

)ρ(r′) dτ ′

∇ ·(R̂R2

)= 4πδ3(R) delta Diraca

∇ ·E = 14πε0

∫4πδ3(r − r′)ρ(r′)dτ ′ = 1

ε0ρ(r)∫

V∇ ·E dτ =

∮SE · da = 1

ε0

∫Vρ dτ = 1

ε0Qwew

2.2.3 Zastosowania prawa GaussaPrzykład:Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R icałkowitym ładunku q

Rr

∮SE · da = 1

ε0Qwew, Qwew = q

∮SE · da =

∮S|E|da = |E|

∮S

da = |E|4πr2

|E|4πr2 = 1ε0q

E = 14πε0

q

r2 r̂

Pole na zewnątrz sfery jest takie jak od ładunku punktowegoumieszczonego w środku kuli.

Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedyukład wykazuje wysoką symetrię.

• Symetria sferyczna

• Symetria osiowa

• Symetria względem płaszczyzny

Przykład:Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstościąpowierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanegoprzez tę płaszczyznę.

E

E

A

∮E · da = 1

ε0Qwew

od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy∫E · da = 2A|E|

boki pudełka nic nie wnoszą, więc

2A|E| = 1ε0σA

stąd

E = σ

2ε0n̂

n̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni

2.2.4 Rotacja E

E = 14πε0

q

r2 r̂dla ładunku punktowego umieszczonego wpoczątku układu współrzędnych

xy

z

a

b

q

rb

ra

obliczmy całkę krzywoliniowąb∫a

E · dl

dl = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sin θ dφ φ̂ we współrzędnych sferycznych

E · dl = 14πε0

q

r2 drb∫a

E · dl = 14πε0

b∫a

q

r2 dr = − 14πε0

q

r

∣∣∣∣rbra

= 14πε0

(q

ra− q

rb

)

∮E · dl = 0

całka po krzywej zamkniętejjest równa zeru (ra = rb)∫

S(∇×A) · da =

∮A · dl twierdzenie Stokesa

∇×E = 0 z twierdzenia Stokesa

Dla wielu ładunków

E = E1 +E2 + . . .

∇×E = ∇× (E1 +E2 + . . .)= (∇×E1) + (∇×E2) + . . . = 0

Słuszne dla dowolnego statycznego układu ładunków

2.3 Potencjał elektryczny

2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale

a

b

(ii)

(i)

∇×E = 0 ⇒ ∮E · dl = 0;

całka od punktu a do punktu b niezależy od drogi całkowania.

V (r) = −r∫OE · dl definiujemy funkcję V (r);

O jest punktem odniesienia.

Funkcję tę nazywamy potencjałem elektrycznym.

Różnica potencjałów

V (b)− V (a) = −b∫OE · dl+

a∫OE · dl

= −b∫OE · dl−

O∫a

E · dl = −b∫a

E · dl

V (b)− V (a) =b∫a

(∇V ) · dl twierdzenie dla gradientów

b∫a

(∇V ) · dl = −b∫a

E · dl ⇒ E = −∇V

Przykład:Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz cienkiej kulistej powłoki opromieniu R, naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową. Za punktodniesienia przyjąć punkt w nieskończoności.

R rP

Z prawa Gaussa, pole na zewnątrz kuli (r > R) wynosi

E = 14πε0

q

r2 r̂

Wewnątrz kuli (r < R) pole E = 0

Dla (r > R)

V (r) = −r∫OE · dl = − 1

4πε0

r∫∞

q

r′2dr′ = 1

4πε0q

r′

∣∣∣∣r∞ = 14πε0

q

r

Dla (r < R)

V (r) = − 14πε0

R∫∞

q

r′2dr′ −

r∫R

(0)dr′ = 14πε0

q

r′

∣∣∣∣R∞ + 0 = 14πε0

q

R

2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a

E = −∇V∇ ·E = ρ

ε0, ∇×E = 0

∇ ·E = ∇ · (−∇V ) = −∆V

∆V = − ρε0

równanie Poissona

∆V = 0 równanie Laplace’a

∇×E = ∇× (−∇V ) = 0 tożsamość wektorowa

2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku

V (r) = 14πε0

q

r

potencjał ładunku znajdującego sięw początku układu współrzędnych

V (r) = 14πε0

q

R ogólnie, ładunek w punkcie r′

V (r) = 14πε0

n∑i=1

qiRi dla wielu ładunków

V (r) = 14πε0

∫ 1R dq dla rozkładu ciągłego

V (r) = 14πε0

∫ρ(r′)R dτ ′

2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce

Rozważmy cienkie pudełko Gaussa:

E⊥nad

E⊥pod

Aσ ε

∮SE · da = 1

ε0σA prawo Gaussa

Z prawa Gaussa, dla ε→ 0, mamy

(E⊥nad − E⊥pod)A = 1ε0σA

E⊥nad − E⊥pod = 1ε0σ

Składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznegoE ma na powierzchni granicznej nieciągłość o wartości σ/ε0

Rozważmy ramkę:

E‖nad

E‖pod

l

σ ε

∮E · dl = 0, albo ∇×E = 0 pole statyczne

(E‖nad − E‖pod)l = 0 przy ε→ 0

E‖nad = E

‖pod

Składowa styczna pola E jest zawsze ciągła.

Obydwa warunki można zapisać jednym wzorem

Enad −Epod = σ

ε0n̂

n̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchniskierowanym od „dołu” do „góry”.

Jak zachowuje się potencjał?

a

bσ

Vnad − Vpod = −b∫a

E · dl = 0, dla |b− a| → 0

Potencjał jest ciągły na powierzchni.

Ponieważ E = −∇V , to gradient potencjału jest nieciągły.

∇Vnad −∇Vpod = − σε0n̂

∂Vnad∂n

− ∂Vpod∂n

= − σε0

∂V

∂n= ∇V · n̂ pochodna normalna

2.4 Praca i energia w elektrostatyce

2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku

q1

q2

qi

Q

a

b

W =b∫a

F · dl = −Qb∫a

E · dl = Q[V (b)− V (a)

]

Wynik nie zależy od drogi.

V (b)− V (a) = W

Q

Różnica potencjałów między punktami a i b jest równapracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej doprzesunięcia ładunku od a do b.

W = Q[V (r)− V (∞)

]= QV (r)

2.4.2 Energia układu ładunków punktowych

Przenosimy kolejne ładunki q1, q2,. . . z nieskończoności do punktów r1,r2, . . .

r1

r3

r2R12

R13 R23

q1 q2

q3

Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków

W1 = 0

W2 = 14πε0

q2

(q1R12

)W3 = 1

4πε0q3

(q1R13

+ q2R23

)W4 = 1

4πε0q4

(q1R14

+ q2R24

+ q3R34

)

Całkowita praca

W = W1 +W2 +W3 +W4

= 14πε0

(q1q2R12

+ q1q3R13

+ q2q3R23

+ q1q4R14

+ q2q4R24

+ q3q4R34

)

W = 14πε0

n∑i=1

n∑j=1j>i

qiqjRij , n ładunków

W = 14πε0

12

n∑i=1

n∑j=1j 6=i

qiqjRij

sumujemy podwójnie idzielimy przez dwa

W = 12

n∑i=1

qi

(n∑j=1j 6=i

14πε0

qjRij

)potencjał

W = 12

n∑i=1

qiV (ri)

2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków

W = 12

∫ρV dτ

ρ = ε0∇ ·E, z prawa Gaussa

W = ε02

∫(∇ ·E)V dτ

W = ε02

[−∫E · (∇V ) dτ +

∮VE · da

] całkujemyprzez części

= ε02

(∫VE2 dτ +

∮SVE · da

)

W = ε02

∫cała przestrzeń

E2 dτ

Energia pola

Przykład:Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłokikulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.

W = 12

∫σV da, V = 1

4πε0q

R

W = 12

14πε0

q

R

∫σ da = 1

4πε012q2

R

2.5 Przewodniki

2.5.1 Podstawowe własności

• Wewnątrz przewodnika E = 0

• Wewnątrz przewodnika ρ = 0

• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie napowierzchni przewodnika

• Potencjał w przewodniku jest stały

• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe dopowierzchni

2.5.2 Ładunki indukowane

−−−−−−−

−−−−−

++++++

+++++

przewodnik+q

−−−−−− − − −−−−−

−−−

+

+

+

++ + + +

++

+

+

+

+

+++++

+

+

+

+

przewodnik

+qE 6= 0E= 0

powierzchniaGaussa

2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik

12σ/ǫ0

12σ/ǫ0

Einne

σ

n̂

Enad −Epod = σ

ε0n̂

E = σ

ε0n̂, tuż przy powierzchni przewodnika (Epod = 0)

σ = −ε0∂V∂n

f = σE siła na jednostkę powierzchni

E =?, jakie pole? Enad,Epod, . . .

f = σEśrednie = 12(Enad +Epod)

E = Eelement +Einne

Enad = Einne + σ

2ε0n̂

Epod = Einne − σ

2ε0n̂

Einne = 12(Enad +Epod) = Eśrednie

Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie) obowiązuje takżedla ładunków powierzchniowych w przewodniku

E = 0, wewnątrz przewodnika

E = σ

ε0n̂, na zewnątrz przewodnika

Eśrednie = 12

(σ

ε0n̂+ 0

)= σ

2ε0n̂

f = σσ

2ε0n̂ = 1

2ε0σ2n̂, siła na jednostkę powierzchni

P = ε02

(σ

ε0

)2= ε0

2 E2 ciśnienie elektrostatyczne

Przewodnik jest wciągany w pole elektryczne.