EKONOMETRIAEKONOMETRIA

Prof. dr hab. Grażyna KarmowskaProf. dr hab. Grażyna KarmowskaGKarmowska@zpsb.szczecin.plGKarmowska@zpsb.szczecin.pl

Tematyka wykładówTematyka wykładów

1. Etapy budowy modelu ekonometrycznego. Dobór zmiennych objaśniających do modelu.

2. Szacowanie parametrów modeli liniowych MNK. Weryfikacja modeli liniowych.

3. Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych. Badanie własności odchyleń losowych.

LiteraturaLiteratura

1. B. Borkowski, H. Dudek, W. Szczęsny Ekonometria. Wybrane zagadnienia. PWN 2003

2. E. Nowak S., Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań.PWN 1999.

3. Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach. Pod red. K. Kukuły, PWN 2000

Czym jest ekonometria?Czym jest ekonometria?

Ekonometria - zastosowanie metod zastosowanie metod statystycznych i matematycznych do statystycznych i matematycznych do analizy danych empirycznych, w celu analizy danych empirycznych, w celu dostarczenia teoriom ekonomicznym dostarczenia teoriom ekonomicznym materiału empirycznego oraz weryfikacji materiału empirycznego oraz weryfikacji lub obalenia tych teorii.lub obalenia tych teorii.

Termin „ekonometria” - 1910, Paweł Ciompa „Przegląd ekonometrii i rzeczywistej teorii buchalterii”.

Ragnar Frish, 1926, wprowadził termin „ekonometria”.

Cele ekonometriiCele ekonometrii

# Formułowanie modeli ekonometrycznych, czyli

formułowanie modeli ekonomicznych w formie

pozwalającej je empirycznie testować.

# Estymowanie i testowanie modeli

ekonometrycznych na danych obserwacjach.

# Wykorzystanie modeli do analizy oraz celów

prognostycznych

ModelModel

Model Model - uproszczone przedstawienie

rzeczywistych procesów.

Szczegółowość modelu– prosty (Karl Popper, Milton Friedman),

– złożony (T.C. Koopmans, Jimmy Savage: „model powinien być duży jak słoń”).

W praktyce:W praktyce: uwzględniamy w modelu uwzględniamy w modelu wszystkie czynniki, które uważamy za wszystkie czynniki, które uważamy za ważne dla naszego problemu, a pomijamy ważne dla naszego problemu, a pomijamy wszystkie pozostałewszystkie pozostałe.

Model ekonomicznyModel ekonomiczny - zbiór założeń, które w przybliżeniu opisują zachowanie się gospodarki.

Model ekonometrycznyModel ekonometryczny - pojedyncze równanie, bądź układu równań, które przedstawia zasadnicze powiązania ilościowe między rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi.

Co najmniej jedno z równań modelu jest równaniem stochastycznym tj. zawierającym składnik losowy.

Budowa modelu ekonometrycznegoBudowa modelu ekonometrycznegoproblem ekonomicznyproblem ekonomiczny

budowa modelubudowa modelu

szacowanieszacowanie

testowanie hipoteztestowanie hipotez

wybór zmiennychwybór zmiennych

ModelModelpoprawny?poprawny?

weryfikacjaweryfikacja

AnalizaAnalizaPrognozowaniePrognozowanie

taktaknienie

Dane do modeluDane do modelu

Podstawowe źródła danych:– publikacje GUS (Roczniki i Biuletyny Statystyczne),– publikacje NBP,– dane przedsiębiorstw, giełdowe, itp.

Szereg czasowy - zestaw liczb odpowiadających wartościom, jakie przybrało rejestrowane zjawisko w kolejnych, jednakowo odległych, momentach czasu (np. latach, kwartałach, miesiącach) w danym obiekciedanym obiekcie.

Szereg przekrojowy (strukturalny) - dane wyrażające stan zjawiska w ustalonym okresie czasu, ale w odniesieniu do różnych obiektówróżnych obiektów.

Cele stosowania analizy regresjiCele stosowania analizy regresji

# AnalizaAnaliza efektów zmianefektów zmian wartości pojedynczych

zmiennych objaśniających.

# BadanieBadanie, czy jakakolwiek zmienna objaśniająca

ma istotny wpływistotny wpływ na zmienną objaśnianą.

# PrognozaPrognoza wartości zmiennej objaśnianej (y) dla

danego zestawu wartości zmiennych

objaśniających.

Dobór zmiennych objaśniających do Dobór zmiennych objaśniających do modelu ekonometrycznegomodelu ekonometrycznego

Eliminacja zmiennych quasi stałychEliminacja zmiennych quasi stałychObliczamy współczynniki zmienności dla

poszczególnych zmiennych „kandydatek” na zmienne objaśniające.

i

ii x

Sv

Za zmienną quasi stałą uznaje się tą która spełnia warunek: *vvi

I jest ona eliminowana ze zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających

Gdzie odpowiednio:

Średnia arytmetyczna dla danej zmiennej ii:

t

tii xn

x1

2)(1

itii xxn

S

Odchylenie standardowe dla danej zmiennej ii:

Przykład 1.Przykład 1.

Do opisu produkcji przedsiębiorstwa w mld zł (Y) zaproponowano cztery zmienne:

X1 – zatrudnienie w tys. osób

X2 – wartość maszyn i urządzeń w mln zł

X3 – czas przestoju maszyn w dniach

X4 – nakłady inwestycyjne w mln zł.

Przy założonym poziomie wartości krytycznej współczynnika zmienności v*=0,15 należy sprawdzić, czy ww. zmienne odznaczają się odpowiednio wysoką zmiennością.

12

20

12

10

4

3

2

1

x

x

x

x

265,1

382,4

688,3

51,2

4

3

2

1

S

S

S

S

Na podstawie danych z 10 lat otrzymano dla tych zmiennych następujące wartości średnie oraz odchyleniastandardowe

I otrzymano współczynniki zmienności:

105,0

219,0

307,0

251,0

4

3

2

1

v

v

v

v*

4 vv jedynie

Czyli nakłady inwestycyjne oznaczająsię niskim poziomem zmienności.

Y - zmienna objaśniana (zależna, endogeniczna)

X = {X1, X2, ..., Xm} - zbiór „kandydatek” na zmienne objaśniające (niezależne, egzogeniczne)

rij - współczynnik korelacji liniowej Pearsona między „kandydatkami” na zmienne objaśniające,

rj - współczynnik korelacji liniowej Pearsona między zmiennymi Xj i Y,

s = 1, 2, ..., 2m-1 - numer niepustych kombinacji zmiennych ze zbioru X,

Cs - zbiór numerów zmiennych tworzących s-tą kombinację.

Z pozostałych zmiennych wybieramy zmienne Z pozostałych zmiennych wybieramy zmienne do modelu stosując do modelu stosując

METODĘ POJEMNOŚCI INFORMACYJNEJ

22 )()(

))((

yyxx

yyxxr

ii

iij ��

��Współczynnik korelacji liniowej między zmiennymi Y i X

Współczynnik korelacji liniowej między zmiennymi Xi i Xj

22 )()(

))((

jtjiti

jtjitiij

xxxx

xxxxr �

�

mr

r

r

R

.

.2

1

0

Wektor współczynników korelacji między zmienną Y a zmiennymi X (parami)

Macierz współczynników korelacji między zmiennymi X (parami)

1...

....

...1

...1

21

221

112

mm

m

m

rr

rr

rr

R

Metoda Hellwiga badania Metoda Hellwiga badania pojemności informacyjnejpojemności informacyjnej

Indywidualna pojemność informacyjna nośnika Xj w s-tej kombinacji:

Integralna pojemność informacyjna s-tej kombinacji:

Reguła decyzyjna:

hr

rs jj

iji C s

2

H hs s jj C s

12,...,2,1: max : msoptopt sHHC

Przykład 2. (cd. P1)Przykład 2. (cd. P1)Dla pozostałych zmiennych tworzymy macierze współczynników korelacji:

1948,0863,0

948,01939,0

863,0939,01

R

932,0

968,0

973,0

0R

Możliwe kombinacje między Możliwe kombinacje między zmiennymi Xzmiennymi X

12 mL

718123 LC1=(X1)

C2=(X2)

C3=(X3)

C4=(X1, X2)

C5=(X1, X3)

C6=(X2, X3)

C7=(X1, X2, X3)

868624,0)932,0(

937024,0968,0

946729,0973,0

22333

22222

22111

rhH

rhH

rhH

9715070483251048825630

19390

9680

93901

9730

1122

21

22

12

21

42414

,,,

,

,

,

,

r

r

r

rhhH

974424,0466250,0508174,0

1863,0

)932,0(

863,01

973,0

11

22

31

23

13

21

53515

r

r

r

rhhH

926924,0445906,0481018,0

1948,0

)932,0(

948,01

968,0

11

22

32

23

23

22

63626

r

r

r

rhhH

971452,0309009,0324567,0337876,0

1948,0863,0

)932,0(

948,01939,0

968,0

863,0939,01

973,0

111222

3231

23

2321

22

1312

21

7372717

rr

r

rr

r

rr

rhhhH

Kombinacja piąta zawiera najwięcej informacji. Jej pojemność wynosi 0,974424 tzn. że należy zbudować model liniowy ze zmiennymi niezależnymi X1 i X3

32110 xxyt

METODA WYBORU ZMIENNYCH ZA METODA WYBORU ZMIENNYCH ZA POMOCĄ WSPÓŁCZYNNIKA POMOCĄ WSPÓŁCZYNNIKA KORELACJI WIELORAKIEJKORELACJI WIELORAKIEJ

)det(

)det(1

i

ii R

WR

det (R) wyznacznik macierzy R współczynników korelacji zmiennych objaśniających X1, X2, ..., Xk det (W) wyznacznik macierzy W

R0 wektor współczynników korelacji liniowej między

zmienną Y a zmiennymi X

ii

Ti

iRR

RW

0

01

PRZYKŁADPRZYKŁADNa podstawie danych z 10 lat zbudowano wektor Na podstawie danych z 10 lat zbudowano wektor współczynników korelacji miedzy zmiennymi Y i X, oraz macierz współczynników korelacji miedzy zmiennymi Y i X, oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi X łączonych parami współczynników korelacji między zmiennymi X łączonych parami o postaciach:o postaciach:

:

2679,0

8687,0

7325,0

8057,0

0R

11511,01290,00136,0

1511,015549,08353,0

1290,05549,018140,0

0136,08353,08140,01

R

Na podstawie współczynnika korelacji wielorakiej wybieramy optymalną kombinację zmiennych spośród dwuelementowych kombinacji potencjalnych zmiennych objaśniających:

K1=X1, X2

K2=X1, X3

K3=X1, X4

K4=X2, X3

K5=X2, X4

K6=X3, X4_

Dla kombinacji K1:

7325,0

8057,001R

1814,0

814,011R

18140,07325,0

8140,018057,0

7325,08057,01

1W

Współczynnik korelacji wielorakiej między zmienną objaśnianą Y a zmiennymi objaśniającymi X1 i X2:

81643,03374,0

1125,01

)det(

)det(1

1

11

R

WR

Dla pozostałych kombinacji otrzymujemy:R2=0,88083R3=0,85261R4=0,91939R4=0,91939R5=0,81858R6=0,87965Maksymalna wartość wskaźnika dla R4 oznacza, że należy zbudować model liniowy ze zmiennymi X2 i X3

28

EFEKT KATALIZY W MODELU EFEKT KATALIZY W MODELU EKONOMETRYCZNYMEKONOMETRYCZNYM

Oznacza on silne skorelowanie zmiennej objaśnianej ze zmiennymi objaśniającymi.

Eliminuje się zmienne objaśniające powodujące efekt katalizy.

Regularna para korelacyjna (R, R0) - jeżeli współczynniki korelacji w wektorze R0 są dodatnie oraz uporządkowane niemalejąco.

29

j

ijiij

mm

m

m

r

rqq

qq

qq

qq

Q

1...

....

...1

...1

21

221

112

MACIERZ NEUTRALNAMACIERZ NEUTRALNA

30

ZMIENNA KATALITYCZNA ZMIENNA KATALITYCZNA XXii (KATALIZATOR)(KATALIZATOR)

j

iij

ij

r

rr

r

0

lll HRU 2

Wskaźnik integralnej pojemności informacyjnej l-tej kombinacji zmiennej.

31

PrzykładPrzykład

Y – wartość sprzedaży usług hoteli X1 – zatrudnienie X2 – średnia cena miejsca w hotelu X3 - liczba miejsc w hotelu

79,0

50,0

43,0

0R

140,074,0

40,0125,0

74,025,01

R

32

63,079,0

50,0

54,079,0

43,0

86,050,0

43,0

3

23223

3

13113

2

12112

r

rqq

r

rqq

r

rqq

163,054,0

63,0186,0

54,086,01

Q

33

ną.katalitycz zmiennąjest X zmienna i

katalizy efekt występujeX i X zmodelu wr ponieważ

R

1

3113

1

13

13

13

01

311

54,0

74,0

174,0

74,01

79,0

43,0

),(

q

q

r

R

XXC

Dla kombinacji:

34

268,0465,0)856,0(

465,0

856,0

21

211

1

1

HRU

H

R

Jest to wartość znacznie różniąca się od zera, co potwierdzaistnienie efektu katalizy

35

040,0624,0)815,0(

624,0

815,0

63,0

40,0

140,0

40,01

79,0

50,0

),(

22

222

2

23

23

23

02

322

HRU

H

q

q

r

R

XXC

2

32

23

2

R

katalizy efekt występujeX i X zmodelu

wże enia,przypuszcz do podstaw ma nie r ponieważ

R

Dla kombinacji:

Zadania Zadania do samodzielnego do samodzielnego

rozwiązaniarozwiązania

Zad. 1.Do budowy liniowego modelu ekonometrycznego zaproponowano 4 zmienne: X1, X2, X3, X4.Wektor współczynników korelacji między zmienną Y (wartość sprzedaży) i zmiennymi X1, X2, X3, X4 oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi X1, X2, X3, X4 przedstawiają się następująco:

Zaproponuj zestaw zmiennych, najpełniej opisujący wartość sprzedaży.

5,0

1,0

9,0

7,0

0R

13,06,04,0

3,011,02,0

6,01,018,0

4,02,08,01

R

Zad.2.Dobierz zestaw dwóch zmiennych, spośród

proponowanych poniżej 4, mając dany wektor współczynników korelacji między Y a zmiennymi Xi oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi Xi.

80,0

83,0

82,0

84,0

0R

166,065,047,0

66,0199,072,0

65,099,018,0

47,072,08,01

R

5,0

1,0

9,0

7,0

0R

13,06,04,0

3,011,02,0

6,01,018,0

4,02,08,01

R

Zad. 3.Do budowy liniowego modelu ekonometrycznego (Y)

zaproponowano 4 zmienne: X1, X2, X3, X4. Wektor współczynników korelacji między zmienną Y i zmiennymi X1, X2, X3, X4 oraz macierz współczynników korelacji między zmiennymi X1, X2, X3, X4 przedstawiono poniżej. Która kombinacja zmiennych, zawierających X3 i X4, powinna być użyta do budowy modelu?

40

DO ZOBACZENIADO ZOBACZENIA