UKSW ALGEBRAICZNE MODELE

Matematyka 2013/2014 GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

III ROK Kazimierz Jezuita

E G Z A M I N

Tematy opisowe

1. Iloczyn geometryczny w a rozkład wektora na składową równoległą i prostopadłą

Iloczyn geometryczny dla wektorów - część symetryczna i antysymetryczna.

Iloczyn skalarny i wektorowy – postaci macierzowe i wyznacznikowe.

Tożsamość

2. Algebra Grassmana dla i dla

Baza w algebrze Grassmana – multiwektory a zorientowane obiekty geometryczne.

Właściwości iloczynu geometrycznego.

Tabela mnożenia dla elementów bazowych , w przypadku .

3. Miary zorientowane i miary bezwzględne ( w tym przykłady i wzory )

Odcinek zorientowany, pole zorientowane, objętość zorientowana.

Objętość zorientowana w ( w szczególności w i w ).

Uogólnienie iloczynu skalarnego na podprzestrzenie – macierz Grama iloczynów

skalarnych.

Pola ( objętości ) k-wymiarowych równoległościanów w .

Kąt pomiędzy prostymi oraz kąt pomiędzy płaszczyznami w .

4. Modele: wektorowy, jednorodny i konforemny euklidesowej przestrzeni

( istota konstrukcji, rozszerzenia )

Punkty przestrzeni euklidesowej jako wektory w przestrzeniach liniowych ;

współrzędne kartezjańskie – wektor , współrzędne jednorodne - wektor ,

wektor

.

Rozszerzanie przestrzeni o kolejne wektory bazowe i ich interpretacja

geometryczna: środek układu współrzędnych, punkt w nieskończoności.

Aspekty metryczne – punkty jako wektory o długości zerowej. jako przestrzeń

nieeuklidesowa.

Właściwości translacji: nieliniowe liniowe ortogonalne.

Uwaga: Opracowania tematów powinny zawierać wskazane obok, szczegółowe zagadnienia

( pochyła czcionka )

Na egzaminie można mieć własnoręcznie zapisane dwie strony formatu A4.

UKSW ALGEBRAICZNE MODELE

Matematyka 2013/2014 GEOMETRII EUKLIDESOWEJ

III ROK Kazimierz Jezuita

K O L O K W I U M

Zadania

1. Dane: współrzędne kartezjańskie trzech punktów w ( wierzchołki trójkąta ABC )

oraz współrzędne czwartego punktu D.

Wyznaczyć współrzędne barycentryczne punktu D w bazie punktowej ,

a następnie ustalić położenie punktu D względem boków trójkąta ABC.

2. Dane: macierz formy kwadratowej definiującej iloczyn skalarny w przestrzeni liniowej .

Określić sygnaturę formy kwadratowej, a następnie ustalić czy jest to przestrzeń

euklidesowa. Podać przykłady wektorów ( jeśli istnieją ), których kwadraty długości

przyjmują wartości: dodatnie, ujemne lub zero.

3. Dane: dwa kwaterniony i .

Wyznaczyć dwa kwaterniony będące iloczynami kwaternionów i :

oraz .

4. Dane: równanie normalne prostej w .

Wyznaczyć punkt , położony najbliżej środka układu współrzędnych, rozwiązując

odpowiedni układ równań metodą Moora-Penrose’a ( macierz pseudo-odwrotna ).

5. Dane: równanie parametryczne płaszczyzny w oraz współrzędne punktu leżącego

poza płaszczyzną .

Wyznaczyć punkt , położony najbliżej punktu , rozwiązując odpowiedni układ

równań metodą Moora-Penrose’a ( macierz pseudo-odwrotna ).

6. Dane: macierz przekształcenia ortogonalnego w .

Ustalić jakiego typu jest to przekształcenie ( wyznacznik, wektory własne odpowiadające

wartościom własnym ), a następnie korzystając z odpowiedniego wzoru Rodriguesa

wyznaczyć wektor normalny do płaszczyzny obrotu ( lub obrotu i odbicia ) oraz kąt

obrotu .

7. Dane: wektor normalny do płaszczyzny obrotu oraz kąt obrotu .

Dokonać wyboru odpowiedniej pary wektorów kierunkowych płaszczyzny , takich, że

, a następnie wykazać, że obrót ten jest złożeniem dwóch odbić:

kolejno względem wybranych wektorów .

8. Dane: współrzędne Pluckera ( prostej w , przechodzącej przez

punkty .

Wyznaczyć równanie parametryczne prostej .

Na kolokwium można mieć własnoręcznie zapisaną jedną stronę formatu A4.