Dydaktyka matematyki

Dydaktyka matematyki

Opracowanie zagadnień do egzaminu

Sesja zimowa 2010/2011

Kolegium Nauczycielskie w Bielsku-Białej

Opracowała Klaudia Brudny

http://kn.edu.pl/

http://klaudia-brudny.blogspot.com/

Spis zagadnień1. Podstawowe komponenty procesu nauczania matematyki.............................................................5

1. Kształtowanie pojęć matematycznych........................................................................................52. Prowadzenie rozumowań matematycznych................................................................................53. Rozwiązywanie zadań matematycznych.....................................................................................54. Kształtowanie języka matematycznego......................................................................................5

2. Poziomy celów nauczania matematyki............................................................................................61. Podstawowe wiadomości i umiejętności.....................................................................................62. Aktywności matematyczne..........................................................................................................63. Postawy i zachowania intelektualne............................................................................................6

3. Cel ogólny a cele szczegółowe........................................................................................................7A. Przykład z matematyki szkolnej..................................................................................................7

4. Przygotowanie nauczyciela do lekcji................................................................................................8A. Aspekt merytoryczny...................................................................................................................8B. Aspekt dydaktyczny.....................................................................................................................8C. Aspekt organizacyjny..................................................................................................................8

5. Podstawa programowa a podręcznik...............................................................................................86. Metody, formy i środki pracy na lekcji..............................................................................................9

A. Metody stosowane w nauczaniu matematyki.............................................................................9B. Formy pracy na lekcji..................................................................................................................9C. Pomoce dydaktyczne i środki techniczne.................................................................................10

7. Wyjaśnij rolę gier w matematyce...................................................................................................108. Redukcja jako typ rozumowania....................................................................................................109. Metoda czynnościowa....................................................................................................................10

A. Aspekty czynnościowego nauczania.........................................................................................11B. Błędne wyobrażenie o czynnościowym nauczaniu...................................................................11C. Czynnościowe nauczanie matematyki......................................................................................11

10. Aspekt psychologiczny w metodzie czynnościowej.....................................................................1111. Rodzaje zadań – przykładowe klasyfikacje..................................................................................11

A. Klasyfikacja wg Zofii Krygowskiej.............................................................................................121. Zadania-ćwiczenia..................................................................................................................122. Zadania zwykłe na zastosowanie teorii...................................................................................123. Zadania-problemy...................................................................................................................124. Zadania w postaci gry.............................................................................................................13

B. Klasyfikacja wg Heleny Siwek...................................................................................................13C. Inne klasyfikacje........................................................................................................................13

1. Podział zadań ze względu na typ polecenia............................................................................132. Podział zadań ze względu na dział matematyki, którego dotyczą............................................133. Podział zadań ze względu na koncepcję realistycznego nauczania matematyki......................134. Podział zadań ze względu na metodę rozwiązywania (zadania metodologiczne)....................135. Gry i zabawy zawierające treści matematyczne......................................................................14

A. Rodzaje gier (zależne od działu matematyki).................................................................146. Zadania – matematyczne niespodzianki.................................................................................147. Zadania na zastosowanie matematyki....................................................................................148. Zadania na temat skończonych struktur..................................................................................14

12. Sposoby kontroli błędów rachunkowych......................................................................................1413. Etapy rozwiązywania zadań problemowych................................................................................15

A. Schemat Polyowski (zwykły).....................................................................................................15B. Rozszerzony schemat Polyowski..............................................................................................16

14. Znaczenie zagadnienia „rzut oka wstecz”....................................................................................1615. Sposoby przedłużania zadań.......................................................................................................16

16. Heurystyka....................................................................................................................................1617. Pojęcie a definicja i twierdzenia...................................................................................................1718. Proces wprowadzania pojęć matematycznych............................................................................17

A. Trzy fazy pracy nad definicją.....................................................................................................171. Odczytywanie i analiza tekstu definicji....................................................................................172. Wyciąganie odpowiednich wniosków z definicji.......................................................................173. Wykorzystywanie definicji ......................................................................................................17

19. Poziomy rozumienia pojęć matematycznych...............................................................................1820. Twierdzenia i dowody...................................................................................................................18

A. Twierdzenia...............................................................................................................................18B. Dowody......................................................................................................................................18

21. Zamknięty układ twierdzeń...........................................................................................................18A. Przykład.....................................................................................................................................19

22. Sposoby formułowania twierdzeń................................................................................................19A. Formułowanie twierdzeń na wybranym przykładzie.................................................................19

1. Warunkowy.............................................................................................................................192. Warunkowy-czynnościowy......................................................................................................193. Orzekający.............................................................................................................................194. Symboliczny ..........................................................................................................................19

23. Aktywności matematyczne...........................................................................................................1924. Liczebność podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych.....................................................................20

1. Zbiory mocy continuum.............................................................................................................20A. Przykłady zbiorów mocy continuum........................................................................................20

2. Zbiory przeliczalne.....................................................................................................................20A. Przykłady zbiorów przeliczalnych...........................................................................................20

3. Zbiory nieprzeliczalne................................................................................................................20A. Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych.......................................................................................20

25. Aspekty liczb naturalnych oraz aspekt dodawania......................................................................20A. Aspekty liczb naturalnych..........................................................................................................20

1. Aspekt mnogościowy..............................................................................................................202. Aspekt porządkowy.................................................................................................................203. Aspekt miarowy......................................................................................................................214. Aspekt monetarny (wartościowy)............................................................................................21

B. Aspekt dodawania liczb naturalnych.........................................................................................211. Aspekt mnogościowy..............................................................................................................212. Aspekt porządkowy.................................................................................................................213. Aspekt miarowy......................................................................................................................214. Aspekt monetarny (wartościowy)............................................................................................21

26. Rozumienie dzielenia w matematyce..........................................................................................21A. Dzielenie przez podział („na”)...................................................................................................21B. Dzielenie przez mieszczenie („po”)...........................................................................................21

27. Komentarz do wypowiedzi ucznia: „nie wolno dzielić przez zero”..............................................2128. Nauczanie liczb niewymiernych w szkole....................................................................................22

A. Definicja liczb niewymiernych...................................................................................................22B. Własności liczb niewymiernych.................................................................................................22C. Przykłady liczb niewymiernych.................................................................................................22

29. Cyfra a liczba – jaka jest różnica?...............................................................................................221. Mit nr 1.......................................................................................................................................222. Mit nr 2.......................................................................................................................................223. Mit nr 3.......................................................................................................................................22A. Prawda o cyfrach i liczbach.......................................................................................................22

30. Cechy podzielności liczb (ilustracja podzielności przez 9)..........................................................23

31. Definicja pierwiastka n-tego stopnia ...........................................................................................23A. Przykład.....................................................................................................................................23

32. Definicja funkcji i jej własności.....................................................................................................23A. Definicja funkcji.........................................................................................................................23B. Szkolne określenie funkcji.........................................................................................................24C. Własności funkcji.......................................................................................................................24D. Rodzaje funkcji poznawane w szkole.......................................................................................24

33. Sposoby opisywania funkcji.........................................................................................................25A. Sposoby zadawania funkcji:......................................................................................................25

34. Proporcjonalność odwrotna..........................................................................................................2535. Proporcjonalność prosta..............................................................................................................2536. Metody rozwiązywania równań....................................................................................................26

1. Metody rozwiązywania równań.................................................................................................27A. Metoda analizy starożytnych..................................................................................................27B. Metoda równań równoważnych..............................................................................................27C. Metoda graficzna...................................................................................................................27

37. Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą metodami dostępnymi dla ucznia SP....................27A. Przykład.....................................................................................................................................27

38. Graficzna metoda rozwiązywania układów równań.....................................................................2839. Metody rozwiązywania układu równań........................................................................................28

A. Narzędzia do rozwiązywania układów równań.........................................................................2840. Procent w ujęciu szkolnym. Współczesne tendencje w nauczaniu procentów...........................2841. Trzy typy obliczeń procentowych. Sposoby obliczania procentu z danej liczby.........................28

A. Typy obliczeń procentowych.....................................................................................................28B. Sposoby obliczania procentu z danej liczby.............................................................................29

42. Przemienność mnożenia ułamków – uzasadnienie.....................................................................2943. Liczba odcinków, które można zbudować z dwóch, trzech, czterech, … punktów.....................2944. Aspekty ułamka............................................................................................................................2945. Zamiana ułamka dziesiętnego postaci 2,45(65) na ułamek zwykły............................................29

A. Za pomocą równania z jedną niewiadomą...............................................................................30B. Za pomocą schematu – poprzez wnioskowanie empiryczne...................................................30C. Za pomocą wzoru matematycznego.........................................................................................30

46. Ogólny zapis liczby trzycyfrowej..................................................................................................3147. Równoległobok trapezem równoramiennym – prawda czy fałsz................................................3148. Źródła i literatura..........................................................................................................................32

A. Literatura tradycyjna..................................................................................................................32B. Literatura cyfrowa......................................................................................................................32

DM – Zagadnienia do egzaminu dla studentów 3. roku KNBB 2010/2011 – opracowanie

1. Podstawowe komponenty procesu nauczania matematyki

1. Kształtowanie pojęć matematycznychJakość i sposób wprowadzania pojęć matematycznych oraz ich kształtowanie są bardzo ważne. Uczeń musi posiadać pewną świadomość matematyczną, którą rozwija poprzez poznawanie i rozumienie pojęć matematycznych. Aby można było mówić o zdolności matematycznego myślenia, uczeń powinien rozumieć pojęcia, którymi operuje na lekcji. Odpowiednie zrozumienie pojęcia odgrywa kluczową rolę w rozumieniu matematyki w ogóle.

2. Prowadzenie rozumowań matematycznych

Umiejętność prowadzenia rozumowania matematycznego ma ogromne znacznie:

– dla ogólnego wykształcenia matematycznego ucznia,

– dla rozwijania logicznego myślenia oraz jasnego i przejrzystego wyrażania swoich myśli.

Osiągnięcie tych umiejętności nie jest jednak proste. W nauczaniu matematyki jest to skomplikowany i złożony proces. Trudności te stają się jeszcze bardziej widoczne, gdy uświadomimy sobie m. in. :

– Na czym polega rozumowanie matematyczne?

– Jakie rodzaje rozumowań matematycznych występują w nauczaniu szkolnym?

– Gdzie w praktyce szkolnej i w jaki sposób uczymy tych zagadnień?

Współczesna dydaktyka matematyki (DM) [za Z. Krygowską] wyróżnia trzy typy rozumowań matematycznych na poziomie nauczania szkolnego:

– wnioskowanie empiryczne,

– rozumowanie intuicyjne,

– rozumowanie formalne.

3. Rozwiązywanie zadań matematycznychIstnieje wiele typów zadań, a każde z nich obejmować może wiele aspektów kształtowania pojęć i spełniać wiele celów nauczania, niezbędnych do przechodzenia do kolejnych etapów edukacji.Niemal każde zadanie można rozwiązać na więcej niż jeden sposób. Nauczyciel powinien o tym pamiętać i mieć na uwadze twórcze umysły uczniów, które często postrzegają problem inaczej, z innego punktu widzenia, z innej perspektywy. Może i wiedzą mniej (merytorycznie), ale nie umniejsza im to bycia bystrym, spostrzegawczym i odkrywczym.Do weryfikowania rozwiązań można przedstawić inne metody, sposoby otrzymania wyniku (może się okazać, że metoda ucznia będzie bardziej przyswajalna dla innych niż sposób, jaki zaproponował nauczyciel). Z pewnością jest to okazja do wszczęcia dyskusji na tle matematyczno- -dydaktycznym z uczniami na lekcji matematyki czy lekcji wychowawczej. Taka dyskusja będzie emocjonująca i interesująca, poprzez co ma szansę zapaść uczniom w pamięć.

4. Kształtowanie języka matematycznegoKształtowanie języka matematycznego jest bardzo istotne, zwłaszcza na samym początku edukacji szkolnej. Nauczyciel powinien stworzyć uczniom odpowiednie warunki intelektualne oraz zewnętrzne, na tyle, na ile to możliwe. Powinien zadbać, by przyswajanie wiedzy było i przyjemne, i ciekawe. Przyzwyczajanie uczniów (od najmłodszych lat) do stosowania języka matematycznego ułatwia dalsze nauczanie tego przedmiotu oraz swobodne formułowanie myśli i wniosków.

Strona 5 z 32


2. Poziomy celów nauczania matematyki

1. Podstawowe wiadomości i umiejętnościPodstawowe wiadomości i umiejętności są uznawane za niezbędne i konieczne do przechodzenia do kolejnych etapów kształcenia matematycznego. Określa je Podstawa Programowa (PP), a zapisane są w programie nauczania, którego nauczyciel powinien przestrzegać i realizować. Dokumenty te stanowią zagadnienia i elementy, które powinny być realizowane i kształtowane na poszczególnych stopniach edukacji. Na tym poziomie program zawiera m. in.:

– znajomość własności liczb, umiejętności działania na nich,

– znajomość elementarnych funkcji,

– sprawne posługiwanie się technikami rachunkowymi i algebraicznymi,

– znajomość własności elementarnych figur geometrycznych, przekształceń oraz umiejętność posługiwania się tą wiedzą,

– umiejętność wnioskowania statystycznego,

– znajomość elementarnych pojęć probabilistycznych,

– umiejętność modelowania zjawisk losowych.

2. Aktywności matematyczneZ. Krygowska wymienia ten poziom jako „umiejętności specyficzne dla działania matematycznego”. Do najważniejszych z nich można zaliczyć m. in.:

– aktywną postawę wobec problemów (formułowanie, rozwiązanie),

– staranie i weryfikowanie hipotez (wnioskowanie empiryczne, dedukcja),

– uogólnianie,

– stosowanie podstawowych technik heurystycznych,

– umiejętność uczenia się z wykorzystaniem różnych źródeł,

– umiejętność matematyzowania z użyciem pojęć i języka matematycznego.

Na język matematyczny składa się język potoczny i symbole matematyczne.

3. Postawy i zachowania intelektualneZachowania (umiejętność obserwacji, wnioskowania, stawiania hipotez) kształtowane na lekcjach matematyki, wprowadzając tym samym pewien proces myślenia intelektualnego u uczniów, będą oni z powodzeniem (i z pewnością o wiele częściej) stosować poznane zachowania w życiu codziennym. Stawianie problemów młodym osobom, problemów matematycznych, wykorzystujących i zmuszających wykorzystywanie szarych komórek i umysłu, prowadzą do tego, że z większą swobodą i pewnością będą oni w przyszłości stawiać czoła problemom życia dorosłego (i w okresie burzy hormonalnej,z jaką również przyjdzie im się zmierzyć).

Kształtowanie u uczniów zachowań aktywnych bywa często nauczane nie wprost, przez co pojawić mogą się pytania problemowe (już dla nauczyciela), na które wcale nie jest prosto odpowiedzieć:

1. Po co (na przykład) uczymy w szkole ułamków zwykłych, ich dodawania i mnożenia, skoro nie używa się ich w życiu codziennym. Na ogół używa się ułamków dziesiętnych, a do obliczania z kolei ich wartości i działań na nich mamy powszechne – już – kalkulatory oraz inne programy wspomagające / zastępujące ręczne liczenie „na kartce”?

Strona 6 z 32


2. Po co męczyć się nad przekształceniami algebraicznymi, wzorami skróconego mnożenia, rozwiązywania układów równań, skoro w życiu codziennym nie można znaleźć ich zastosowania?

3. Po co badać przebieg zmienności funkcji, wykonując szereg skomplikowanych obliczeń, przekształceń – tylko po to, by narysować jej wykres (niedokładny, „od ręki”) – przecież są dostępne programy komputerowe, rysujące dokładny wykres bez naszego wysiłku?

4. Które treści są potrzebne? A może niektóre dałoby się usunąć? Które?

5. Czy rzeczywiście wiemy, co w przyszłości będzie najważniejsze i niezbędne do spokojnej egzystencji w świecie dynamicznie rosnącej świadomości postępu cywilizacyjnego i technologicznego?

3. Cel ogólny a cele szczegółoweCel ogólny – hasło, bez konkretnych czynności ucznia, nie musi dotyczyć tylko jednej lekcji.

Cele szczegółowe – sformułowane w sposób czynnościowy, dotyczący konkretnej lekcji:

– uczeń będzie wiedział (gdzie znaleźć informacje, do czego treści mogą być użyteczne),

– uczeń będzie rozumiał (pojęcia, określenia, definicje),

– uczeń będzie umiał (rozróżniać, wykonać, projektować, konstruować, zastosować etc.).

A. Przykład z matematyki szkolnejZadanie. Podaj cele szczegółowe do wybranego tematu z matematyki szkolnej.

Cel ogólny – rozwiązywanie układów równań

Przykładowe cele szczegółowe do lekcji o podanym wyżej temacie:

– uczeń potrafi rozwiązać układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi,

– uczeń widzi zależność pomiędzy równaniami z układu równań,

– uczeń potrafi przekształcać układy równań metodą równań równoważnych,

– uczeń potrafi wyznaczyć niewiadome z układu równań,

– uczeń potrafi ocenić, czy wyniki, jakie otrzymał spełniają warunki początkowe zadania,

– uczeń weryfikuje błędy w rozwiązywaniu układu równań,

– uczeń widzi różnicę w metodzie podstawiania i metodzie przeciwnych współczynników,

– uczeń widzi atuty jednej i drugiej metody,

– uczeń potrafi dokonać wyboru metody, dzięki której szybciej wyznaczy rozwiązanie,

– uczeń zna powszechne prawa działań na liczbach rzeczywistych,

– uczeń sprawnie posługuje się działaniami na liczbach rzeczywistych,

– uczeń potrafi sformułować i przedstawić poszczególne kroki postępowania w rozumowaniu wykorzystującym rozwiązywanie układu równań znanymi mu metodami,

– uczeń potrafi tworzyć układy dwóch równań z dwiema niewiadomymi z zadania z treścią,

– uczeń potrafi utworzyć układ równań z większą liczbą niewiadomych,

– uczeń wie, ile rozwiązań może mieć układ równań z dwiema niewiadomymi.

Strona 7 z 32


4. Przygotowanie nauczyciela do lekcji

A. Aspekt merytoryczny

– wiedza,

– podręcznik.

B. Aspekt dydaktyczny

– postawienie celu lekcji:

– cele dydaktyczne:

– wiadomości: uczeń zna, uczeń rozumie, uczeń potrafi,

– cele wychowawcze:

– kultura dyskusji, dbanie o czystość na stanowisku pracy, wzajemny szacunek,

– dobranie odpowiednich środków dydaktycznych i pomocy do lekcji.

C. Aspekt organizacyjny

– zaplanowanie pomocy dydaktycznych potrzebnych do lekcji,

– zaplanowanie czasu i przebiegu lekcji.

5. Podstawa programowa a podręcznikPodstawa Programowa (PP) to zbiór treści, których należy uczyć w danych typach szkół.

O ile w większości przedmiotów można operować hasłami (np. żaba, pozytywizm, II wojna światowa), o tyle w matematyce (posługując się głównie pojęciami abstrakcyjnymi) w Podstawie Programowej przedstawione są treści (jakie nauczyciel powinien zrealizować na lekcji) w sposób czynnościowy (np. uczeń potrafi obliczyć pole trójkąta, uczeń zna wzory na pola figur płaskich, uczeń potrafi wymienić elementy płaszczyzny, etc.).

Każdy podręcznik musi być zgodny z PP, by mógł trafić jako „podręcznik” do księgarni. Może on zawierać więcej treści, nie może być uboższy merytorycznie mniej.

podręcznik ≥ PPPodręcznik jest zatwierdzany przez Ministerstwo Edukacji Narodowej (MEN), gdzie recenzenci sprawdzają potencjalny podręcznik i oceniają jego wartość merytoryczną, językową oraz zgodność z Podstawą Programową.

Po zatwierdzeniu lektury wydawnictwo otrzymuje zezwolenie na wprowadzenie podręcznika na rynek. Do podręczników dla nauczycieli często dołączony zostaje „przewodnik po podręczniku”, w którym można znaleźć proponowane sposoby prowadzenia lekcji oraz wskazówki do danych tematów lekcyjnych.

Coraz częściej można spotkać się z płytą CD zawierającą materiały pomocnicze. Niedługo (najprawdopodobniej) będą to materiały e-learningowe, kompatybilne z projektorami, rzutnikami. które niewątpliwie wspomagają nauczanie (nie tylko) matematyki.

Strona 8 z 32


6. Metody, formy i środki pracy na lekcji

A. Metody stosowane w nauczaniu matematyki

METODY podające poszukujące eksponujące praktyczne

słow

na

wyjaśnienie, opowiadanie, wykład

ustne podanie materiału przez nauczyciela

wykład problemowy (dialog „wewnętrzny” nauczyciela rozwijającego problem przed uczniami)

wykład ukazujący piękno matematyki, interesujące problemy i zastosowania

wykład w połączeniu z poleceniem samodzielnego zapisu i rozwiązania zadania według instrukcji

pogadanka, dyskusja

objaśnienie nowego materiału za pomocą pytań z wykorzystaniem doświadczenia uczniów

pogadanka heurystyczna poprzedzona wysunięciem problemu do rozwiązania

dyskusja na temat rozwiązania interesujących problemów z literatury uzupełniającej

pogadanka powtórzeniowa prowadząca do rozwiązania zadania

praca z podręcznikiem

czytanie podręcznika jako źródła wiedzy, poznawanie nowego materiału z podręcznika

rozwiązanie problemu w oparciu o podręcznik

sprawozdanie z literatury uzupełniającej, referaty uczniów uwzględniające ciekawostki matematyczne

notowanie podstawowych treści albo zapis symboliczny, rozwiązywanie zadań z podręcznika

pogl

ądow

e pokaz, obserwacja

pokaz przezroczy, filmu, modeli itp. z danym z góry komentarzem

pokaz połączony z obserwacją ucznia dla rozwiązania danego problemu

pokaz ukazujący piękno matematyki, interesujące problemy i zastosowania

pokaz połączony z konkretnym zadaniem do rozwiązania

prak

tycz

ne

praca laboratoryjna

przedstawienie przez nauczyciela wyników doświadczenia bez ich wykonania przez uczniów

wykonanie doświadczeń dla dokonania uogólnień (tok indukcyjny)

konkurs na wykonanie ćwiczeń w grupach

ćwiczenia w terenie na zastosowanie teorii; ćwiczenia w pracowni dla sprawdzenia słuszności uogólnień

ćwiczenia objaśnianie przez nauczyciela sposobów rozwiązywania zadań, dowodzenia twierdzeń

rozwiązywanie zadań problemowych

zawody matematyczne; rozwiązywanie atrakcyjnych zadań, w tym historycznych

ćwiczenia na zastosowanie teorii, rozwiązywanie ćwiczeń uogólniających

B. Formy pracy na lekcji

– praca indywidualna,

– praca zespołowa (praca przy tablicy),

– praca grupowa (praca w zespołach grupowych).

Strona 9 z 32


C. Pomoce dydaktyczne i środki techniczne

– podręcznik, zeszyt ćwiczeń, zbiór zadań,

– plansze, kserokopie,

– pomoce wykonane przez nauczyciela do lekcji (karty pracy, gry i zabawy planszowe, konkursy itp.),

– kalkulatory, kalkulatory graficzne,

– programy komputerowe, oprogramowanie, programy na komórki, tablety, netbooki,

– projektor multimedialny, rzutnik, kamera, aparat fotograficzny, itp.

7. Wyjaśnij rolę gier w matematyceGry dydaktyczne pełnią bardzo ważną rolę w nauczaniu. W sposób przyjazny dla ucznia mogą prezentować, zapoznawać i kształtować pojęcia. Uczniowie przyswajają wiedzę przedstawioną w taki sposób bardzo skutecznie; zapamiętują pewne zasady, reguły, które muszą przestrzegać, by pozostać w grze. Ponadto, gry niesamowicie aktywizują młode, chłonne wiedzę umysły.

Ciekawostki, czy to historyczne czy geograficzne, przyswajane mimowolnie podczas gier zapadają w pamięć, a w szczególności w podświadomość uczniów.

Zabawa i gra dydaktyczna z powodzeniem (i z większą skutecznością) zastępuje podawanie informacji, reguł matematycznych, kolejności działań, nauki algorytmów itd. Nie ma dla ucznia niczego wartościowszego jak samodzielne odkrywanie nowych (nowych dla niego) reguł, pojęć, zależności i faktów. Ukazanie matematyki, tak bardzo nielubianej w szkole, w sposób ciekawy, nowy i zabawny, a przede wszystkim kojarzący się z przyjemnością przebywania na lekcji czy też odrabiania zadań domowych (np. w formie grania w grę) odnieść może kolosalne skutki w postrzeganiu tego przedmiotu przez uczniów. Poprzez łatwiej będzie skupić wzbudzić ich zainteresować przedmiotem również w przyszłości.

Zmiana postrzegania matematyki jako tej nieprzyjemnej, trudnej i nieosiągalnej jest trudnym zadaniem. Wiele zależy od nastawiania nauczyciela do szkoły, innych nauczycieli, samych uczniów oraz do życia. Gburowaty nauczyciel z depresją nie będzie dobrym przykładem człowieka, którego warto słuchać oraz zainteresować się tym, co mówi.

Gry mogą również stwarzać pole do rywalizacji, np. skuteczność w rozwiązywaniu rachunków pamięciowych, czy działania na ułamkach. Mobilizacja również wpływa pozytywnie na jakość gry.

Ponadto, gry uczą, wspomagają nauczanie i utrwalanie pojęć oraz własności tych pojęć, kształtują wyobraźnię i postrzeganie świata z wielu perspektyw. A przede wszystkim uczą poprzez zabawę.

8. Redukcja jako typ rozumowaniaRedukcja to typ rozumowania wstecznego, poszukiwanie przesłanki, z której wynika teza (t→z). Zupełne przeciwieństwo dedukcji (z→t). W redukcji założenie jest warunkiem koniecznym dla tezy, a teza – warunkiem wystarczającym dla założenia. Typ rozumowania redukcyjnego jest życiowy (powszechnie stosowany), można go porównać do rekurencji w programowaniu komputerowym.

9. Metoda czynnościowaJedna z metod nauczania, wprowadzona przez prof. Annę Zofię Krygowską, która jako pierwsza zauważyła i zwróciła uwagę na to, iż nauczanie matematyki powinno być nieodłączne z wykorzystaniem wiedzy psychologicznej. Nie tylko ze względu na rozwój psychiczny dziecka, ale również ze względu na jego zdolności do pojmowania pojęć oraz myślenia abstrakcyjnego.

Strona 10 z 32


A. Aspekty czynnościowego nauczaniaNauczanie czynnościowe odwołuje się do istoty pojęć matematycznych oraz analizy teoretycznej czynności; wyróżnienie (wykonywania) czynności jest podstawą do uwzględnienia ich w procesie nauczania.

B. Błędne wyobrażenie o czynnościowym nauczaniuNauczania czynnościowego nie powinno się utożsamiać z technikami nauczania poglądowego:

– nie wystarczy użyć klocków, by można mówić o nauczaniu czynnościowym,

– proces nauczania czynnościowego musi być przemyślany przez nauczyciela.

Czynnościowego nauczania nie należy kojarzyć tylko i wyłącznie z edukacją wczesnoszkolną. Stosowanie tej metody w późniejszych etapach edukacji jest jak najbardziej pożądane. Najlepszym dowodem są wykłady z dydaktyki matematyki w Kolegium Nauczycielskiego w Bielsku-Białej.

C. Czynnościowe nauczanie matematykiCzynnościowe nauczanie to postępowanie dydaktyczne uwzględniające konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z procesem psychologicznym prowadzącym od czynności konkretnych, poprzez wyobrażeniowe, aż do operacji abstrakcyjnych.

10. Aspekt psychologiczny w metodzie czynnościowejNauczanie czynnościowe obejmuje psychologiczny proces nauczania, dzięki czemu uczniowie mogą podczas rozwiązywania zadania wrócić do poprzedniego etapu czynnościowego nauczania i np. poprzez wnioskowanie empiryczne i układanie patyczków obliczyć liczbę przekątnych figury.

11. Rodzaje zadań – przykładowe klasyfikacje

Strona 11 z 32

Ilustracja 1. Różne klasyfikacje zadań matematycznych


A. Klasyfikacja wg Zofii Krygowskiej

1. Zadania-ćwiczenia

– sprawdzają umiejętności nabyte na lekcji, takie jak np. umiejętność wykonywania działań zgodnie z kolejnością, jaka obowiązuje z matematyce, rachunku pamięciowego, działania na potęgach, pierwiastkach, korzystania z własności redukowania wyrazów podobnych, wyłączania wspólnych czynników przed nawias, stosowania wzorów skróconego mnożenia itd.

– służą utrwaleniu i zmechanizowaniu określonych operacji, algorytmów i schematów rozwiązywania zadań,

– małe zastosowanie teorii,

– niski poziom twórczego myślenia ucznia.

2. Zadania zwykłe na zastosowanie teorii

– sprawdzają znajomość teorii w prostych zadaniach, bezpośrednio wykorzystujących poznane pojęcia i ich własności,

– do rozwiązania należy wykonać więcej zróżnicowanych czynności (sama znajomość algorytmu nie przynosi efektów, algorytmy nie są tak oczywiste i bezpośrednio podane),

– często wiążą się ze znajomością większej ilości wiedzy niż w zadaniach typowo rachunkowych,

– większa aktywność umysłowa uczniów (praca kilkuetapowa),

– uczniowie nadal stosują pewne własności, lecz nie formułują nowych twierdzeń i nie stawiają hipotez,

– nadal niski poziom kreatywności uczniów.

3. Zadania-problemy

– [za Krygowską] „zadania, których rozwiązania nie uzyska się na danym poziomie bez pewnej pomysłowości, bez szczypty choćby matematycznej wyobraźni, bo na ich rozwiązanie nie wystarcza ani wiedza, ani sprawność techniczna, ani nawet doświadczenie w rozwiązywaniu typowych zadań”,

– zadania nieschematyczne, wymagające pomysłowości,

– do rozwiązania zadań należy myśleć kreatywnie i twórczo, spojrzeć na problem z dystansu i (często) nieszablonowo,

– wykorzystując znane własności, uczeń układa zależności pomiędzy nimi i odnajduje te, które może i powinien wykorzystać w zadaniu,

– nie każdy uczeń potrafi rozwiązań zadanie-problem (może to wynikać głównie z tego, iż szkoła nie sprzyja myśleniu kreatywnemu, a uczy jedynie myślenia schematycznego),

– umiejętność rozwiązywania problemów matematycznych ma przełożenie na rozwiązywanie problemów w życiu codziennym,

– zadania-problemy kształtują i rozwijają wyobraźnię ucznia oraz logiczne myślenie (nieschematyczne).

Strona 12 z 32


4. Zadania w postaci gry

– służą kształtowaniu pojęć, uogólnianiu, kształtowaniu i rozwijaniu wyobraźni,

– w tradycyjnym nauczaniu matematyki występują najrzadziej.

B. Klasyfikacja wg Heleny Siwek

– zadania prowokujące czynności konkretne,

– zadania prowokujące czynności wyobrażeniowe,

– zadania prowokujące czynności abstrakcyjne.

C. Inne klasyfikacje

1. Podział zadań ze względu na typ polecenia

– zadania rachunkowe (oblicz lub rozwiąż),

– zadania na dowodzenie (udowodnij),

– zadania konstrukcyjne (skonstruuj).

2. Podział zadań ze względu na dział matematyki, którego dotyczą

– zadania arytmetyczne,

– zadania algebraiczne,

– zadania geometryczne,

– zadania trygonometryczne,

– zadania probabilistyczne.

3. Podział zadań ze względu na koncepcję realistycznego nauczania matematyki

– zadania realistyczne (obniżki w sklepach, wyprzedaże, oprocentowanie kredytu),

– zadania pararealistyczne (stwarzające pozory realności, gdzie można przedmioty lub osoby wymienić na inne, a istota zadania pozostanie taka sama i pozostaną te same sprawności do zastosowania),

– zadania „czysto” matematyczne (np. 125

4 ).

4. Podział zadań ze względu na metodę rozwiązywania (zadania metodologiczne)

– zadania na definiowanie,

– zadania, których rozwiązanie polega na wyszukaniu przez ucznia błędu lub luki w rozumowaniu (również tzw. zadania z szumem),

– zadania na dedukcję, w których uczeń korzysta ze znanych definicji, interpretuje i dowodzi twierdzenia,

– zadania na uogólnianie, w których uczeń przeprowadza rozumowanie, dowodzi, interpretuje twierdzenie, konstruuje przykład lub kontrprzykład.

Strona 13 z 32


5. Gry i zabawy zawierające treści matematyczne

– zasady oparte na matematycznej strukturze, poszukiwanie strategii,

– odkrywanie własności figur, struktur,

– związane ze stosowaniem wiadomości matematycznych i z rozwiązywaniem zadań,

– połączeniem form pracy uczniów (indywidualnej z grupową lub zespołową),

– racjonalne argumentowanie i dostrzeganie błędów przeciwnika jest bardzo kształcące.

A. Rodzaje gier (zależne od działu matematyki)Pośród miliona różnych gier edukacyjnych można wyróżnić m. in.:

– gry arytmetyczne,

– gry algebraiczne,

– gry probabilistyczne,

– gry kombinatoryczne.

6. Zadania – matematyczne niespodziankiZadania, których rozwiązania zaskakują uczniów (np. uogólnioną odpowiedź, zadania zawierające tzw. pozorne paradoksy, dwojako sformułowane treści zadań, rysunek prowokujący ucznia do popełnienia błędu w rozumowaniu).

7. Zadania na zastosowanie matematykiW zadaniach z zastosowaniem matematyki są wykorzystywane różne teorie matematyczne, służące do opisywania stosunków pozamatematycznych. W takich zadaniach stosuje się metody matematyczne do rozwiązywania konkretnych zagadnień (niekoniecznie związanych z matematyką).

8. Zadania na temat skończonych strukturZadania, w których uczeń może konkretnie (manipulacyjnie; zob. metoda czynnościowa (9.)) rozwiązywać problemy poprzez wyczerpanie wszystkich przypadków bez konieczności operowania ogólnymi pojęciami, z których jednak potrafi wysnuć wnioski dotyczące ogólniejszych struktur.

12. Sposoby kontroli błędów rachunkowych– weryfikacja w konkretnym przypadku (sprawdzenie ogólnego rozwiązania przy

szczególnym przypadku, w którym wynik jest skądinąd znany),

– kontrola błędu (sprawdzenie, czy wszystkie lub – gdy to możliwe – niektóre liczby z otrzymanego wyniku spełniają warunki zadania),

– rozwiązanie zadania na innej drodze i porównania wyniku z poprzedni otrzymanym,

– oszacowanie wyniku rachunkowego (przybliżone) i zbadaniu, czy znaleziony wynik mieści się w granicach szacowania.

Strona 14 z 32


13. Etapy rozwiązywania zadań problemowychReguły heurystyczne, czyli jak (pomóc) uczniowi rozwiązać zadanie problemowe?

A. Schemat Polyowski (zwykły)

1.

Zrozumienie zadania

Staraj się zrozumieć zadanie.

Co jest niewiadome? Co jest dane? Jaki jest warunek?Czy warunek można spełnić? Czy warunek wystarcza do spełnienia niewiadomej? Czy jest on może niewystarczający? Albo zbyt obszerny? A może sprzeczny?

2.

Układanie planu rozwiązania

Znajdź związek między danymi i niewiadomymi.

Możesz być zmuszony rozpatrywać zadania pomocnicze, jeżeli nie możesz znaleźć związku bezpośrednio.

Powinieneś w końcu ułożyć plan rozwiązywania zadania.

Czy nie spotkałeś się już kiedyś z tym zadaniem? A może spotkałeś się z tym samym zadaniem w nieco innej postaci?Czy znasz jakieś pokrewne zadanie? Czy znasz jakieś twierdzenie, które mogło by tu być użyte?Spójrz na niewiadomą I spróbuj przypomnieć sobie jakieś dobrze znane Ci zadanie mające tę samą lub podobną niewiadomą.Oto rozwiązane już przedtem zadanie, pokrewne z Twoim zadaniem. Czy nie mógłbyś z niego skorzystać? Czy nie mógłbyś skorzystać z jego wyniku? Czy nie mógłbyś skorzystać z zastosowaniem w niem metody? Czy nie trzeba wprowadzić jakiegoś elementu pomocniczego aby móc z tego zadania skorzystać?Czy nie mógłbyś postawić zadania na nowo, w inny sposób? Czy nie mógłbyś tego zrobić jeszcze inaczej? Odwołaj się do definicji.Czy nie możesz rozwiązać postawionego zadania, spróbuj najpierw rozwiązać jakieś zadanie pokrewne. Czy nie mógłbyś wymyślić jakiegoś bardziej dostępnego zadania pokrewnego? Bardziej specjalnego? Analogicznego? Czy nie mógłbyś rozwiązać części zadania? Zatrzymaj tylko część warunku, resztę odrzuć; do jakiego stopnia niewiadoma jest wtedy określona, jak może się ona zmieniać? Czy nie mógłbyś wydobyć czegoś pożytecznego z danych? Czy nie mógłbyś rozpatrzyć innych danych, mogących określić niewiadomą? Czy nie mógłbyś zmienić niewiadomej albo danych, albo – jeśli trzeba – i niewiadomej, i danych, tak, aby nowa niewiadoma i nowe dane były bliższe sobie?Czy skorzystałeś ze wszystkich danych? Czy skorzystałeś z całego warunku? Czy brałeś pod uwagę wszystkie istotne pojęcia zawarte w zadaniu?

3.Wykonanie planu

Wykonaj plan Wykonując swój plan rozwiązania, sprawdzaj każdy krok. Czy jest dla Ciebie jasne, że krok jest poprawny? Czy możesz to udowodnić?

4.

Rzut oka wstecz

Przestudiuj otrzymane rozwiązanie

Czy możesz sprawdzić wynik? Czy możesz sprawdzić uzasadnienie rozwiązania?Czy możesz otrzymać wyniki w inny sposób? Czy możesz objąć go jednym rzutem oka?Czy możesz wykorzystać wynik albo metodę rozwiązywania do innego zadania?

Strona 15 z 32


B. Rozszerzony schemat Polyowski0. Odkrycie i sformułowanie zadania. Nauczyciel stwarza sytuację problemową, uczniowie

ją badają, stawiają pytania, formułują zadania.

1. Zrozumienie zadania. Rozwiązujący analizuje zadanie, wyróżnia dane, wielkości poszukiwane, warunki wiążące dane i niewiadome, wykonuje rysunki; próbuje w pełni je zrozumieć.

2. Konstrukcja planu rozwiązania. Rozwiązujący poszukuje metody rozwiązania, tworzy plan jego rozwiązania.

3. Realizacja planu. Jeśli plan nie prowadzi do rozwiązania, trzeba ponownie zacząć pracę od etapu 3, a nawet 2.

4. Spojrzenie wstecz. Po rozwiązaniu konieczna jest refleksja nad przebytą drogą i nie tylko poszukiwanie innych rozwiązań, ale także zastanowienie się dlaczego wybrana metoda okazała się skuteczna, na czym polegały błędy, zahamowania, co mogło pomóc, jaką rolę odgrywał rysunek, model, manipulacja itp.

5. Spojrzenie w przód. Zastanawiamy się, jak zmodyfikować zadanie lub zastosowaną metodę, szukamy zadań analogicznych, ogólniejszych ze względu na dane, warunki, schemat rozwiązania. Tym samym etap szósty przeradza się w pierwszy, nowe zadanie.

14. Znaczenie zagadnienia „rzut oka wstecz”– sprawdzenie wyniku,

– poszukiwanie szybszego rozwiązania,

– opisanie metody rozwiązania zadania kolejno w krokach.

15. Sposoby przedłużania zadańZadania można przedłużać na wiele sposobów, najczęściej w szkole nie pojawia się takie zagadnienie przedłużania zadania (może jako ciekawostki).

Przy przedłużaniu zadań widać jednak bardzo przejrzyście zależności pomiędzy jednymi a drugimi własnościami, figurami, teoriami itp. Przedłużanie zadań najczęściej dokonuje się poprzez dodanie, odjęcie lub zmodyfikowanie założeń zadania, jego treści lub tezy (zmiana komponentów).

16. Heurystyka– sposób pośredniczenia między uczniem a jego myślami,

– wzbogaca wiedzę i doświadczenie ucznia,

– pomaga dążyć uczniowi w jego toku rozumowania we właściwym kierunku,

– podejście może wymuszać właściwą kolejność zadań wykonywanych przez ucznia,

– zakłada pomoc w sposób pośredni, nie zdradzając wyników ostatecznych ani cząstkowych,

– nauczyciel zadaje pytania heurystyczne, będące jedynie wskazówkami, nic nie wnoszącymi do konkretnych zadań (zob. schemat Polyowski (13.)),

– wskazówki heurystyczne, polegające na pomocy w formułowaniu myśli ucznia, nie narzuconych przez nauczyciela; on jedynie steruje wskazówkami tak, by uczeń sam odkrywał reguły, zależności i wykorzystywał je,

– wskazówki heurystyczne nie są wskazówkami jawnymi, podanymi „na tacy”; są zaledwie pomocą w formułowaniu wniosków i wyciąganiu z nich nauki.

Strona 16 z 32


17. Pojęcie a definicja i twierdzeniaPojęcie (nie tylko) matematyczne składa się z własności. Poniższy schemat ilustruje pojęcie.

18. Proces wprowadzania pojęć matematycznychIstnieją dwie drogi prowadzące do ukształtowania pojęcia:

– definicja pojęcia → stosowanie pojęcia

– doświadczenie → intuicja → pojęcie → definicja (tzw. droga genetyczna)

Druga droga jest drogą problemową, nie zawsze prowadzi jednoznacznie do sformułowania formalnej definicji (np. pojęcie miary – pole).

A. Trzy fazy pracy nad definicją

1. Odczytywanie i analiza tekstu definicji

– wyróżnienie terminu definiowanego,

– zrozumienie warunku definiującego (przypomnienie wszystkich pojęć występujących w definicji, zrozumienie opisanych czynności, etapów konstrukcji).

2. Wyciąganie odpowiednich wniosków z definicji

– wyszukiwanie, konstruowanie przykładów spełniających warunki definicji,

– podawanie i konstruowanie kontrprzykładów.

3. Wykorzystywanie definicji

– wykorzystywanie definicji w prostych ćwiczeniach, zadaniach,

– wykorzystywanie definicji we wprowadzaniu rozumowań matematycznych,

– stosowanie definicji do dowodzenia twierdzeń,

– wykorzystywanie definicji do formułowania (nowych) twierdzeń.

Strona 17 z 32

Ilustracja 2. Pojęcie matematyczne


19. Poziomy rozumienia pojęć matematycznych0. Uczeń potrafi zacytować definicję (lub szkolne określenie).

1. Uczeń podaje przykłady i kontrprzykłady.

2. Uczeń rozstrzyga przypadki graniczne.

3. Uczeń stosuje definicję w zadaniach.

4. Uczeń widzi definicję w powiązaniu z definicjami innych pojęć.

5. Uczeń widzi definicję w strukturze (na I i II etapie poziom jest często nieosiągalny).

20. Twierdzenia i dowody

A. Twierdzenia

– implikacja ( p⇒q ), np.: Jeżeli n jest liczbą naturalną, to n n−1 jest liczbą parzystą,

– równoważność ( p⇔q ), np.: x=2⇔ x−2=0 ,

– warunek konieczny i wystarczający (WKW), np.:

Liczba jest podzielna przez 15, jeśli kończy się na 0 lub 5.

Ostatnia cyfra równa 0 lub 5 jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym, bo liczba może kończyć się na 0 lub 5 i nie być podzielna przez 15, np. liczba 10.

– kwadrat logiczny (implikacje po przekątnej są równoważne):

B. Dowody

– dowód dedukcyjny – polega na szukaniu warunków koniecznych (założenie→teza),

– dowód redukcyjny – polega na szukaniu warunków wystarczających (teza→założenie),

– dowód nie wprost (apagogiczny, sokratejski) – polega na sformułowaniu zaprzeczenia tezy przy tych samych założeniach (założenia→zaprzeczona teza).

21. Zamknięty układ twierdzeńZamknięty układ twierdzeń, to taki układ, w którym:

– założenia twierdzeń wyczerpują wszystkie możliwości,

– tezy wzajemnie się wykluczają.

Strona 18 z 32

Ilustracja 3. Kwadrat logiczny

p⇒q q⇒ p

¬q ⇒¬ p ¬ p ⇒¬q

p⇒q


A. PrzykładPunkty wspólne prostej i okręgu na płaszczyźnie. Możliwości wzajemnie się wykluczają:

– prosta albo nie ma punktów wspólnych z okręgiem,

– albo ma jeden punkt wspólny i wtedy jest styczna do okręgu,

– albo ma dwa punkty wspólne i wtedy przecina okrąg w dwóch miejscach.

22. Sposoby formułowania twierdzeń

A. Formułowanie twierdzeń na wybranym przykładzie

1. Warunkowy

Jeżeli w trójkącie ABC A1 jest środkiem boku BC i B1 jest środkiem boku AC , to długość odcinka łączącego punkty A1 B2 jest dwa razy krótszy od podstawy AB tego trójkąta.

2. Warunkowy-czynnościowyJeżeli zbuduję trójkąt ABC i połączę środki jego ramion, to mierząc długość odcinka łączącego te środki okaże się, że jest on dwa razy krótszy od podstawy tego trójkąta.

3. OrzekającyOdcinek łączący środki ramion trójkąta jest dwa razy krótszy od podstawy tego trójkąta.

4. Symboliczny 2⋅∣EF∣=∣AB∣

23. Aktywności matematyczne– ćwiczenie podstawowych (elementarnych) sprawności matematycznych,

– rozwiązywanie typowych zadań z zastosowaniem podstawowych metod matematycznych,

– redagowanie, ilustrowanie schematami treści matematycznych,

– przejmowanie i asymilowanie wiedzy matematycznej, przekazywanej w rozmaitych formach z różnych źródeł,

– twórcza aktywność wykraczająca poza przedstawione wyżej czynności.

Strona 19 z 32

Ilustracja 4. Symboliczne formułowania twierdzeń


24. Liczebność podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych1. Zbiory skończone, przeliczalne, np.: {0 ,1 , 2 ,3,… ,n} .

2. Zbiory nieskończone przeliczalne, np.: ℤ .

3. Zbiory nieskończone nieprzeliczalne, np.: 0,1 .

1. Zbiory mocy continuumMoc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych ℝ nazywamy continuum i oznaczamy przez C. Istnieją więc co najmniej dwie różne liczby kardynalne nieskończone: moc zbioru wszystkich liczb naturalnych i moc zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.

A. Przykłady zbiorów mocy continuum1. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych.

2. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych dowolnego (niepustego) przedziału.

2. Zbiory przeliczalneZbiorami przeliczalnymi nazywamy zbiory skończone lub równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych. Zbiory przeliczalne można ułożyć w pewien (nieskończony) ciąg.

A. Przykłady zbiorów przeliczalnych1. Zbiór wszystkich liczb naturalnych.

2. Zbiór wszystkich liczb naturalnych nieparzystych.

3. Zbiór wszystkich liczb wymiernych.

3. Zbiory nieprzeliczalneZbiór nieprzeliczalny to taki zbiór, który nie jest przeliczalny.

A. Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych1. Zbiór liczb rzeczywistych przedziału [0,1].

2. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ℝ .

3. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych.

25. Aspekty liczb naturalnych oraz aspekt dodawania

A. Aspekty liczb naturalnych

1. Aspekt mnogościowyLiczba jest wspólną własnością wszystkich zbiorów równolicznych (5 jabłek=5monet).

2. Aspekt porządkowyLiczba związana jest z czynnością odliczania (ułożenie w rządku i odliczanie).

Strona 20 z 32


3. Aspekt miarowyLiczba jest związana z czynnością przeliczania (5m, 8l, 4kg).

4. Aspekt monetarny (wartościowy)Wypłacanie kwoty 7zł jest tożsame z wypłaceniem (5+2)zł, czyli 5zł + 2zł.

B. Aspekt dodawania liczb naturalnych

1. Aspekt mnogościowyŁączenie zbioru 2-elementowego ze zbiorem 5-elementowym, otrzymujemy zbiór 7-elementowy.

2. Aspekt porządkowyDołączenie pięciu przedmiotów do szeregu dwóch przedmiotów daje szereg siedmiu elementów.

3. Aspekt miarowyŁączenie dwóch przedmiotów o tych samych miarach (np. długości) 2 i 5 daje jeden przedmiot o łącznej mierze długości 7 (np. traktor + przyczepa).

4. Aspekt monetarny (wartościowy)Wypłacenie kwoty 7zł jest tożsame z wypłaceniem 5zł i 2zł jednocześnie.

26. Rozumienie dzielenia w matematyceRozumienie dzielenia można rozważać w dwóch aspektach:

A. Dzielenie przez podział („na”)Dzielenie na równe części – dzielenie „na”, np.:

6 podzielone „na” 3 równe (równoliczne) części daje dwa – otrzymujemy 3 równoliczne zbiory, w każdym znajdują się 2 elementy.

B. Dzielenie przez mieszczenie („po”)Dzielenie przez mieszczenie (wypełnienie) – dzielenie „po”, np.:

6 dzielone „po” 3 (6 „po” 3) elementy równa się dwa – otrzymujemy pewną liczbę 3-elementowych zbiorów, będą dwa takie zbiory.

27. Komentarz do wypowiedzi ucznia: „nie wolno dzielić przez zero”Może nie tyle, że nie wolno nam dzielić przez zero, co po prostu nie jesteśmy w stanie tego zrobić. Jest to działanie, którego wyniku nie znamy. Bo cóż znaczy podziel jabłko na zero części? Skoro całe jabłko jest jedno (czyli już mamy jedną część). A jeśli je zaczniemy kroić, to będzie więcej tych części. Więc co znaczy podziel na zero kawałków?

Zjedz? ;-) To i tak byłoby odejmowanie całego jabłka, a nie podział ;-)

Strona 21 z 32


28. Nauczanie liczb niewymiernych w szkole

A. Definicja liczb niewymiernychLiczbą niewymierną nazywamy taką liczbę, która nie jest wymierna.

Liczbę wymierną natomiast definiuje się następująco:

Liczbą wymierną nazywamy liczbę postaci ab , gdzie a ,b∈ℤ , b≠0 .

B. Własności liczb niewymiernych

– liczb niewymiernych nie da się przedstawić jako ilorazu dwóch liczb całkowitych,

– rozwinięcie dziesiętne liczb niewymiernych jest nieskończone i nieokresowe

C. Przykłady liczb niewymiernych

, ,2

29. Cyfra a liczba – jaka jest różnica?Jak się okazuje różnica pomiędzy cyfrą a liczbą nie jest tak oczywista i powszechnie znana. Istnieje bowiem wiele przesłanek na temat tej różnicy, wiele – niestety – błędnych.

Poniżej podaję kilka mitów związanych z pojęciem cyfry, które to – jak sama nazwa „mit” wskazuje, są niepoprawne.

1. Mit nr 1.Cyfra to taki znak, który zapisuje się nie odrywając długopisu od kartki. Bzdura – wtedy siódemka, jaką uczymy się pisać we wczesnym wieku szkolnym, a nawet w przedszkolnym, nie byłaby cyfrą.

7

2. Mit nr 2.Cyfry to te od zera do dziewięciu. Owszem, lecz nie do końca. Wartości liczbowe: 0, 1, 2, …, 9 są w istocie cyframi; są jednak – również – liczbami. O ile nie ma cyfry 11, o tyle jest liczba 7.

3. Mit nr 3.Cyfra to znak graficzny (0-9), a liczba składa się z co najmniej dwóch cyfr, np.11, 23, 687 itd. Prawdą jest, że liczba składa się z cyfr. Bzdurą natomiast – że liczby są tylko dwu~ i więcej cyfrowe. Jak zostało wspomniane: nie ma cyfry dwuelementowej, ale jest liczba jednocyfrowa.

A. Prawda o cyfrach i liczbachCyfry są błędnie (a z pewnością nie do końca poprawnie) traktowane jako tylko i wyłącznie cyfry. Często – w powszechnym rozumieniu pojęcia „cyfra” – nie dopuszczamy do świadomości faktu, że istnieją liczby jednocyfrowe – jest ich dokładnie dziesięć: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9.

Sama nazwa: liczba dwu-, trzy-, czterocyfrowa sugeruje, że liczby mogą być ( i są tylko i wyłącznie) wielocyfrowe (pomijając jeden). Cyfr w systemie dziesiętnym jest dziesięć; liczb – nieskończenie wiele (łącznie z tą dziesiątką).

Strona 22 z 32


Jeśli zaś poruszyć kwestię zapisu liczb, powyższe mity mają ziarenko prawdy. Przede wszystkim:

– cyfra to znak graficzny, za pomocą którego zapisujemy liczby, a ponadto:

– liczby składają się z cyfr (od użycia jednej wzwyż),

– nie istnieją cyfry dwuelementowe (cyfry dwu-, trzy-, … ~cyfrowe?),

– istnieją liczby jednocyfrowe, dwucyfrowe, trzycyfrowe itd.,

– istnieje 10 różnych liczb jednocyfrowych, 100 dwucyfrowych, 1000 trzycyfrowych itd.,

– liczby zapisujemy dzięki cyfrom, nie odwrotnie.

30. Cechy podzielności liczb (ilustracja podzielności przez 9)Oczywistym jest, że w każdej dziesiątce mieści się jedna dziewiątka. Oczywistym też jest, że w każdej dziewięćdziesiątce mieści się aż dziesięć dziewiątek. Z każdej dziesiątki (z dzielenia przez 9) zostaje jeden, z dziewięciu takich dziesiątek zostaje 9, a w tej dziewiątce znów mieści się dziewiątka – dokładnie raz. Dlatego też w każdej setce (przy dzieleniu przez 9) zostaje tylko jeden.

31. Definicja pierwiastka n-tego stopnia Pierwiastkiem stopnia n z liczby x nazywamy liczbę y spełniającą warunek: yn= x . Często zapisujemy następująco:

n x= y .

A. Przykład3−27=−3 , bo −33=−27

32. Definicja funkcji i jej własności

A. Definicja funkcjiDefinicja formalna funkcji pojawia się najczęściej dopiero na studiach:

Niech X ,Y będą dowolnymi zbiorami w ℝ . Funkcją f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy taką relację S , że

1. ∀x∈X

∃y∈Y

x S y . (warunek istnienia)

2. ∀x∈X

∀y1 , y2∈Y

y1 S x ∧ y2 S x ⇒ y1 = y2 . (warunek jednoznaczności)

Strona 23 z 32

Ilustracja 4. Podzielność liczb przez 9


B. Szkolne określenie funkcjiFunkcją nazywamy takie przyporządkowanie, gdzie każdemu elementowi ze zbioru X odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru Y .

C. Własności funkcji

– dziedzina funkcji, zbioru argumentów D f (argumenty najczęściej oznaczane literką x),

– zbiór wartości funkcji Z w (wartości najczęściej oznaczane literką y),

– miejsca zerowe funkcji (punkty przecięcia się wykresu funkcji z osią X ),

– wyraz wolny [od argumentu] (punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią Y ),

– w funkcji liniowej: b , wzór ogólny funkcji liniowej to: f x =a xb ,

– w funkcji kwadratowej: c , wzór ogólny funkcji kwadratowej to: f x =a x2b xc .

– monotoniczność funkcji:

– funkcja (silnie) rosnąca,

– funkcja (silnie) malejąca,

– funkcja stała,

– funkcja monotoniczna przedziałami,

– parzystość i nieparzystość funkcji:

– funkcja parzysta nie jest nieparzysta, np. f x =cox x ,

– funkcja nieparzysta nie jest parzysta, np. y=x ,

– istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np. y=log 2 x ,

– okresowość funkcji:

– funkcja okresowa, np. f x =sin x , gdzie okres wynosi 2 k , k ∈ℤ ,

– funkcja nieokresowa, funkcja nie posiadające okresu,

– różnowartościowość funkcji:

– funkcja różnowartościowa, np. y=x3 ,

– funkcja nieróżnowartościowa, np. y=∣x∣ .

D. Rodzaje funkcji poznawane w szkole

– funkcja punktowa, złożona z elementów (np. Każdemu uczniowi przypisujemy numer),

– funkcja liniowa (postać równania ogólnego prostej A xB yC=0 ),

– funkcja kwadratowa (postać kierunkowa funkcji kwadratowej y=a x2b xc , a≠0 ),

– funkcja wyższych stopni, wielomianowa ( f x =an xnan−1 xn−1…a2 x2a1 xa0 ),

– funkcja wykładnicza ( f x =a x , a∈ℝ∖{0}, x∈ℤ∖{0} ),

– funkcja logarytmiczna ( f x =loga x , a0 ∧ a≠1 ).

Warunki w nawiasach – do samodzielnego rozpatrzenia i rozstrzygnięcia, dlaczego zostały użyte.

Strona 24 z 32


33. Sposoby opisywania funkcjiFunkcję można zadać wieloma sposobami. Sposobów tych uczymy się we wczesnym etapie nauczania matematyki, mając do czynienia tylko ze szkolnym określeniem funkcji. Brzmi ono następująco:

Funkcją nazywamy takie przyporządkowanie, gdzie każdemu elementowi ze zbioru X odpowiada dokładnie jeden element ze zbioru Y .

Nie jest to definicja, ponieważ – jak wiadomo – na definicję składają się trzy elementy struktury:

– definiendum – element, który chcemy zdefiniować,

– łącznik pomiędzy jedną a drugą częścią definicji – najczęściej stosuje się postać „jest to”),

– definiens – wyrażenia (zdefiniowane już wcześniej), dzięki którym potrafimy określić nowy definiowany element oraz jego własności.

PrzykładOkrąg to zbiór punktów na płaszczyźnie oddalonych o odległość r od danego punktu.

Szkolne określenie funkcji nie może być zatem definicją, gdyż nie mamy wcześniej zdefiniowanego wyrażenia „przyporządkowanie”. Jest to głównie spowodowane trudnością definiowania na etapie gimnazjum iloczynu kartezjańskiego oraz relacji, poprzez którą formalnie definiujemy funkcję.

A. Sposoby zadawania funkcji:

– słownie, np. Każdemu uczniowi przypisujemy jego numer w dzienniku,

– grafem, tabelą, wykresem,

– wzorem, zbiorem uporządkowanych par liczb.

W zadawaniu funkcji niemal niezastąpione okazują się coraz powszechniejsze programy komputerowe, np. GeoGebra (darmowe oprogramowanie matematyczne).

34. Proporcjonalność odwrotnaDwie liczby a ,b (z tego samego zbioru) są odwrotnie proporcjonalne, jeśli spełniają warunek:

ab=k , gdzie k ∈ ℝ∖{0} .

PrzykładDługości boków prostokąta przy zadanym polu są odwrotnie proporcjonalne. Gdy jedna długość

a zwiększa się, druga b maleje i to dokładnie o pewną stałą k= Pb , gdzie P – pole

prostokąta (wielkość stała, niezmienna), a b – długość drugiego boku.

35. Proporcjonalność prostaDwie liczby a ,b (z tego samego zbioru) są wprost proporcjonalne, jeśli spełniają warunek:

a=bx lub (inny zapis) k=ab

, gdzie b ,≠0, k ∈ ℝ∖{0} .

PrzykładRównanie prostej y=a x , gdzie argumenty są wprost proporcjonalne do wartości funkcji i a≠0 .

Strona 25 z 32


36. Metody rozwiązywania równańJedną z najstarszych nauk w matematyce jest logika. Występuje w niej wiele praw, które poznajemy w szkole średniej (bądź dopiero na studiach). Zdania nazywane symbolicznie p , q , r , ... , którym potrafimy przypisać jednoznacznie albo prawdę, albo fałsz. Np.:

Pada deszcz .

Nie może jednocześnie padać deszcz i nie padać (w jednym miejscu, do którego się odnosimy). Jest to zdanie pojedyncze. W logice możemy formułować również zdania złożone, w których występują zdania pojedyncze p , q , r , ... oraz spójniki logiczne, m. in.:

– zaprzeczenie zdania: ~ p lub ¬ p , oznaczające tyle, co nieprawda, że p ,

– alternatywa zdań: p∨q , oznaczająca: p lub q ,

– koniunkcja zdań: p∧q , oznaczająca: (jednocześnie) p i q ,

– implikacja zdań: p⇒q , oznaczająca: jeśli p , to q ,

– równoważność zdań: p⇔q , oznaczająca: p wtedy i tylko wtedy, gdy q .

Dla powyższych zależności pomiędzy zdaniami można utworzyć zaprzeczenia i tak, na przykład:

– zaprzeczeniem alternatywy dwóch zdań jest koniunkcja zaprzeczeń tych zdań:

¬ p ∨ q ⇔ ¬ p ∧¬ q ,

– zaprzeczeniem koniunkcji dwóch zdań jest alternatywna zaprzeczeń tych zdań:

¬ p ∧ q ⇔ ¬ p ∨¬ q ,

– zaprzeczeniem implikacji jest koniunkcja poprzednika i zaprzeczenie następnika:

¬ p ⇒ q ⇔ p ∧¬ q .

Warto dodać, że nazwa ”logika matematyczna” została po raz pierwszy użyta przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano, skądinąd dobrze znanego z innych działów matematyki.

Oprócz zdań logicznych (zob. wyżej) w logice matematycznej znajdują się również inne elementy: formy zdaniowe, którym nie jesteśmy już w stanie przypisać jednoznacznie prawdy ani fałszu.

Forma zdaniowa posiada bowiem zmienne, przez co nie potrafimy przypisać jednoznacznie wartości logicznej wyrażenia będącego formą zdaniową.

Forma zdaniowa p x jest to wyrażenie, w którym występuje jedna zmienna. W zależności od zmiennej zdanie może być albo prawdziwe, albo fałszywe. Nie można więc przypisać wartości logicznej jednoznacznie.

Forma zdaniowa posiada dziedzinę zmiennej, z którego to zbioru podstawiamy elementy za zmienną i dopiero wtedy otrzymujemy zdanie logiczne, któremu możemy przypisać wartość prawdy albo fałszu.

Przykład formy zdaniowejRównanie z jedną niewiadomą jest formą zdaniową postaci:

p x =0 , gdzie p jest funkcją liczbowo-liczbową.

Dziedziną D równania jest dziedziną funkcji p . Zaś rozwiązaniem równania jest liczba, dla której prawdziwe jest zdanie: p x =0 .

Strona 26 z 32


1. Metody rozwiązywania równańW nauczaniu matematyki występują trzy metody rozwiązywania równań:

A. Metoda analizy starożytnych1. Zakładamy, że równanie posiada rozwiązania.

p x , q x – formy zdaniowe (nie można przypisać jednoznacznie wartości prawdy ani fałszu),

p x =0

D – zbiór elementów, dla których forma zdaniowa ma sens, Z – zbiór rozwiązań równania.

2. Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązania spełniają równanie.

W praktyce ten krok polega na podstawieniu otrzymanego wyniku do równania początkowego i sprawdzenie, czy zachodzi równość.

B. Metoda równań równoważnychMetoda równań równoważnych polega na przekształcaniu zadanych równań zgodnie z prawami arytmetyki, dochodząc tym samym do rozwiązania. Metoda ta zbliżona jest do metody analizy starożytnych, często jednak zapomina się o sprawdzeniu, czy rozwiązanie spełnia początkowe równanie (równania powinny być przekształcane w sposób równoważny, więc sprawdzenie wydaje się być niepotrzebne). Sprawdzenie może jednak dotyczyć warunków początkowych zadania.

Metodami równań równoważnych można też nazwać metody poznane w szkole, służące do rozwiązywania układów równań:

– metoda podstawiania.

– metoda przeciwnych współczynników,

– metoda wyznaczników (poznawana w szkole ponadgimnazjalnej).

C. Metoda graficznaDo metody graficznej wydaje się być niezbędny program komputerowy, który – w przeciwieństwie do niedoskonałego ludzkiego oka oraz ręki – narysuje bardzo dokładnie wykres funkcji, obliczy wartości zadane wzorem itp. Wykorzystanie metody graficznej nie sprawdza się jednak w dowodach twierdzeń – rysunek nie zastąpi dowodu formalnego. Może pomóc we wnioskowaniu empirycznym czy potwierdzić intuicyjne, lecz nie zastąpi dowodu matematycznego w jego formalnej postaci. Wynik zasugerowany przez program należy sprawdzić algebraicznie, „ręcznie”.

37. Rozwiązanie równania z jedną niewiadomą metodami dostępnymi dla ucznia SP

A. Przykład2 x15=60

Niech x będzie pudełkiem z liczbami. Jako, że pudełko jest zamknięte, nie wiemy, ile liczb i jaka wartość kryje się w pudełku. Wiemy jednak, że jeśli dodamy do wartości równej dwóm takim samym pudełkom liczbę 15, to otrzymamy wartość 60.

Pytania pomocnicze dla uczniów:

– Jak wyznaczyć wartość kryjącą się w dwóch pudełkach?

– Ile wynosi wartość kryjąca się w dwóch pudełkach? Co należy zrobić? Jak to obliczyć?

Strona 27 z 32


Z racji na typ zadania, będący dobrym przykładem nauczania rozumowania matematycznego u uczniów szkoły podstawowej, nie podając gotowej metody oraz nie wskazując algorytmu rozwiązania tego zadania, zostawiam do rozstrzygnięcia oraz wprowadzenia i kontynuacji tego sposobu nauczania matematyki.

38. Graficzna metoda rozwiązywania układów równańProgramy komputerowe stanowią dobre zaplecze dydaktyczne, które winno być wykorzystywane na lekcjach matematyki w szkołach (zob. rodzaje metod rozwiązywania równań (36.)).

39. Metody rozwiązywania układu równańUkład równań to pewna liczba równań, które zachodzą jednocześnie. Każde z równań układu ma tę samą dziedzinę i zbiór rozwiązań.

A. Narzędzia do rozwiązywania układów równań

– metoda podstawiania,

– metoda przeciwnych współczynników,

– metoda wyznaczników.

Do opracowania dołączam konspekt lekcji, na której została wprowadzona metoda przeciwnych współczynników (w gimnazjum) innym, niż dotychczas znanym nauczycielom szkoły, sposobem. Przeprowadzone zajęcia również bardzo się spodobały dyrektorowi szkoły, hospitującemu lekcję.

40. Procent w ujęciu szkolnym. Współczesne tendencje w nauczaniu procentówProcent kształtuje się głównie jako ułamek dziesiętny o mianowniku równym 100. Na II i III etapie nauczania wiedza na temat procentów została ograniczona przez PP (zob. PP a podręcznik (5.)) do pojęcia procentu w ujęciu praktycznym (50% to połowa, 25% – połowa z połowy).

41. Trzy typy obliczeń procentowych. Sposoby obliczania procentu z danej liczby

A. Typy obliczeń procentowych1. Obliczanie procentu danej liczby, np.:

15% z x = 15% razy x = 15% x = 15

100⋅x .

2. Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent, np.:

dana jest liczba b =20% z liczby a, czyli b stanowi 20% liczby a

b= 20100

⋅a , więc a=10020

⋅b = 5b .

3. Obliczaniem, jakim procentem jednej liczby jest druga, korzystając z proporcji można wyznaczyć, jakim procentem jednej liczby jest druga, np.:dane są liczby a ,b , dla których możemy wyznaczyć dwie proporcje:

Jakim procentem liczby a jest liczba b Jakim procentem liczby b jest liczba aa – 100 %b – x % Stąd: x =

b⋅100a

% b – 100 %a – x % Stąd: x =

a⋅100b

%

Strona 28 z 32


B. Sposoby obliczania procentu z danej liczby

– procent razy liczba (15% ze stu), zamiana procentu na ułamek i razy liczba, proporcje.

42. Przemienność mnożenia ułamków – uzasadnienie1. Powinno się rozpocząć od definicji ułamka zwykłego, czyli liczby wymiernej i jej założeń.

zał.: a ,b , c , d ∈ ℤ ∧ b , d ≠0 .

2. Aby udowodnić przemienność mnożenia ułamków zwykłych, należy zapisać działanie:

ab⋅ c

d .

3. Następnie trzeba skorzystać z własności mnożenia ułamków zwykłych:

a⋅cb⋅d .

4. Warto zauważyć, że liczby w liczniku i mianowniku powstałego ułamka są liczbami rzeczywistymi (a nawet całkowitymi – z założeń definicji) oraz, że mianownik jest różny od zera (dlatego ułamek powyższej postaci istnieje, ma sens). Dzięki temu spostrzeżeniu można skorzystać z własności mnożenia liczb w ℝ , a właściwie w podzbiorze liczb ℝ .

c⋅ad ⋅b .

5. I ponownie (tylko w drugą stronę) należy skorzystać z własności mnożenia ułamków, rozdzielając jeden ułamek na dwa osobne w następujący sposób:

cd⋅ a

b .

6. I tak (w zgodzie z: prawami matematyki, definicją ułamka, działaniami na liczbach ℝ i na ułamkach) dowodzimy przemienności mnożenia ułamków zwykłych.

43. Liczba odcinków, które można zbudować z dwóch, trzech, czterech, … punktów2 → 1, 3 → 3, 4 → 6, 5 → 10, …,

n → n⋅n−1

2.

44. Aspekty ułamka1. Ułamek jako część całości (jedna część z pięciu, dzielę na pięć części i biorę jedną).

2. Ułamek jako iloraz (jeden do dwóch, 1:2).

3. Ułamek jako porównywanie (np. połowa ciasta, 1/3 ciasta to truskawki).

45. Zamiana ułamka dziesiętnego postaci 2,45(65) na ułamek zwykłyIstnieje wiele metod zamiany ułamka dziesiętnego (o rozwinięciu nieskończonym okresowym) na ułamek zwykły. Poniżej przedstawiam trzy z nich.

Dany jest ułamek w postaci dziesiętnej 2,45(65). Liczby w nawiasie stanowią okres rozwinięcia. Liczbę tę można zapisać również następująco: 2,456565656565656565... Jest to rozwinięcie nieskończone okresowe (rozwinięcie posiada ciąg cyfr, które się systematycznie powtarzają).

Strona 29 z 32


A. Za pomocą równania z jedną niewiadomąRównanie x=2,4565656565... należy pomnożyć obustronnie przez 100, otrzymując rozwinięcie dziesiętne, które w całości jest okresem nowej liczby:

100 x=245,65656565... ,

następnie pomnożyć przez 100 , aby całości kolejnej (nowej) liczby zawierały cały ciąg okresu, w tym przypadku: 65, czyli dwa znaki, więc należy pomnożyć przez sto. Otrzymujemy wtedy:

10000 x=24565,65656565... .

Dwa ostatnie równania należy odjąć stronami. Wynik powinien być następujący:

10000 x – 100 x=24565,656565...−245,656565 ... ,

gdzie nieskończone okresy ułamków się zniosą (zredukują) i otrzymujemy w ten sposób równanie:

9900 x=24565−245 , zatem

9900 x=24320 i w końcu

x=243209900 .

Po doprowadzeniu do najprostszej postaci otrzymujemy ułamek zwykły:

x=1216495 .

Polecam sprawdzić na kalkulatorze poprawność wyniku (warto pamiętać, że kalkulatory z reguły zaokrąglają ostatnią cyfrę rozwinięcia dziesiętnego według praw zaokrąglania z nadmiarem).

B. Za pomocą schematu – poprzez wnioskowanie empiryczne

Postać ułamka dziesiętnego Licznik Mianownik Wyniki zamiany

0,34555555... 0,34 5 345 – 34=311 9 i 00⇒900 311900

0,777777 ... 0,7 7−0=7 9 79

2,71244244244 ... 2,71244 71244−71=71173 999 i 00⇒99900 2 7117399900

2,4565656565 ... 2,4565 4565−45=4520 99 i 00⇒9900 2 45209900

Podobnie, jak w poprzedniej metodzie, polecam sprawdzić wyniki. Powyższa tabela została stworzona w celu wnioskowania empirycznego, czyli odkrywania reguły, mając podane przykłady, podlegające tym regułom.

C. Za pomocą wzoru matematycznego

a=34 5= 345−341021−102=

3111000−100

=311900 ,

b=0,7= 7−01001−100=

79 ,

Strona 30 z 32


c=0,71 244=71244−711023 – 102 =

7117399900 ,

x=0,4565= 4565−451022−102=

452010000−100

=45209900 .

Sposób ten można również z powodzeniem stosować jako wnioskowanie empiryczne, ponieważ – by zrozumieć i korzystać ze wzoru – należy zaobserwować pewne jego własności i reguły; krokom przypisać pewne wartości zależne od podanego ułamka. Postać ogólną wzoru zostawiam jako dobre ćwiczenie czytelnikom (zapis ogólnego wzoru za pomocą języka matematycznego).

46. Ogólny zapis liczby trzycyfrowejLiczbę trzycyfrową można ogólnie zapisać jako sumę cyfry jedności, cyfry dziesiątek pomnożonej przez 10 i cyfry setek pomnożonej przez sto. Taki zapis liczby sprawdza się w systemie dziesiętnym, jaki obowiązuje powszechnie. Zatem, ogólny zapis liczby trzycyfrowej w tym systemie będzie wyglądać następująco:

100a10b1c , gdzie a ∈ {1,2 , ...9}, b ∈ {0,1 , ...,9} , c ∈ {0,1 , ... ,9} .

47. Równoległobok trapezem równoramiennym – prawda czy fałszAby odpowiedzieć prawidłowo na to pytanie wystarczy przytoczyć charakteryzację trapezu równoramiennego i jego własności oraz własności równoległoboku.

Trapez posiada przynajmniej jedną parę boków równoległych (równoległobok ma ich aż dwie). Trapez równoramienny charakteryzuje się tym, że pozostałe jego boki, nie będące podstawami, mają tę samą długość (w równoległoboku naprzeciwległe boki są równej długości).

Z powyższego rozumowania wynika, iż równoległobok jest trapezem równoramiennym.

Warto jednak zauważyć, że wynik jest zależny od definicji, którą przyjmiemy. Jeśliby tak trapez równoramienny zdefiniować następująco:

Trapezem równoramiennym nazywamy taki trapez, w którym kąty utworzone przez ramiona trapezu z podstawami są równej miary,

wtedy dowolny równoległobok (dowolny, czyli nie prostokąt) nie byłby prostokątem, ponieważ kąty, jakie tworzą ramiona z jego podstawami przy każdej z nich dopełniają się do 180º. W myśl tej definicji tylko specyficzne równoległoboki byłyby trapezami: prostokąt i kwadrat, a dowolny równoległobok trapezem równoramiennym by nie mógł być.

Z powyższego rozumowania wynika, iż równoległobok nie jest trapezem równoramiennym.

Strona 31 z 32

48. Źródła i literatura

A. Literatura tradycyjna

– S. Turnau, Wykłady o nauczaniu matematyki, 1990,

– Z. Krygowska, Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać znaczącą rolę w matematyce dla wszystkich, 1986,

– Z. Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, 1980,

– M. Pisarski, Realistyczne podejście przy nauczaniu procentów, 1993.

B. Literatura cyfrowa

– http://www.wmie.uz.zgora.pl ,

– http://e.kn.edu.pl ,

– http://www.wikipedia.org .

http://www.wikipedia.org/

http://e.kn.edu.pl/

http://www.wmie.uz.zgora.pl/

Dydaktyka matematyki

Documents

Transcript of Dydaktyka matematyki