Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Wykład nr 10: DGS – blaski i cienie.

Algebraizacja geometrii. Funkcje w matematyce szkolnej

Semestr zimowy 2018/2019

Uwaga, DGS!

Najważniejszą negatywną w aspekcie szkolnym cechą DGS jest bardzo często obserwowana tendencja zastępowania dowodów matematycznych doświadczeniami wykonywanymi za pomocą DGS.

53.8 °37.5 °

88.7 °

Wynik: 180.00 °

DGS – zaleta dydaktyczna nr 1

Możliwość obejrzenia wykonanej pracy: • GeoGebra za pomocą opcji Protokół Konstrukcji

(w menu Widok), • CABRI – Pokaż opis konstrukcji (menu Opcje) oraz

Powtórz konstrukcję … (menu Edycja).

DGS – zaleta dydaktyczna nr 2

Stworzenie własnego menu, najczęściej okrojonego.

• GeoGebra – menu Narzędzia wybieramy Dostosuj pasek narzędzi

DGS – zaleta dydaktyczna nr 2

Stworzenie własnego menu, najczęściej okrojonego.

• CABRI: w menu Opcje wybieramy Ustawienie narzędzi.

DGS – zaleta dydaktyczna nr 3

Nowe narzędzie (GeoGebra), makrokonstrukcja (CABRI).

Uczy myślenia algorytmicznego, które jest powszechne w matematyce. Poprawność makrokonstrukcji, czyli geometrycznego algorytmu pozwala sprawdzić, czy uczeń poprawnie konstruuje jakiś obiekt.

Algebraizacja geometrii – geometria analityczna

1637 rok – wydanie dzieła Kartezjusza Rozprawa o metodzie (fr. Discours de la méthode); w dodatku „Geometria” Kartezjusz wprowadza do geometrii język algebry, równań, nierówności. Datę tę można uznać jako jeden z ważniejszych przełomów w historii matematyki.

Przykład

Niech 𝑆 będzie ustalonym punktem płaszczyzny. Pewne przekształcenie przekształca dowolny punkt płaszczyzny 𝑋 w punkt 𝑋’, przy czym

spełniona jest równość 𝑆𝑋′ = 2𝑆𝑋 + 3𝑋𝑋′. Opisz to przekształcenie.

• Rozwiązanie nr 1 – eksperyment.

• Rozwiązanie nr 2 – geometria wektorów z domieszką algebry.

• Rozwiązanie nr 3 – algebra

Przykład algebraizacji geometrii

Dane są trzy proste o równaniach 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0, 𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0, 𝐴3𝑥 + 𝐵3𝑦 + 𝐶3 = 0, przy czym żadne dwie z nich nie są równoległe. Wówczas proste te przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

𝑑𝑒𝑡𝐴1 𝐵1 𝐶1

𝐴2 𝐵2 𝐶2

𝐴3 𝐵3 𝐶3

= 0.

• 𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0

, 𝑥 =𝐵1𝐶2−𝐵2𝐶1

𝐴1𝐵2−𝐴2𝐵1 , 𝑦 =

𝐶1𝐴2−𝐶2𝐴1

𝐴1𝐵2−𝐴2𝐵1

• Teraz wystarczy sprawdzić, że obliczony punkt należy do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi teza.

PPM – funkcje na poziomie SP

nie pojawiają się

PP

M –

SŚ

V. Funkcje. Zakres podstawowy. Uczeń: 1) określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach); 2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym; 3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie; 4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane; 5) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej; 6) wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach; 7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej na podstawie jej wzoru; 8) interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje); 9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; 10) wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym;

PP

M –

SŚ

11) wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym; 12) na podstawie wykresu funkcji szkicuje wykresy funkcji 𝑓 𝑥 − 𝑎 , 𝑓 𝑥 + 𝑏, 𝑓 −𝑥 ,−𝑓(𝑥); 13) posługuje się funkcją 𝑓 𝑥 = 𝑎/𝑥 , w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych; 14) posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi. Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1) na podstawie wykresu funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) rysuje wykres funkcji 𝑦 = |𝑓 𝑥 |; 2) posługuje się złożeniami funkcji; 3) dowodzi monotoniczności funkcji jak w przykładzie: wykaż, że funkcja 𝑓 𝑥 =

𝑥−1

𝑥+2 jest monotoniczna w przedziale

(−∞,−2).

PP

M –

SŚ

XIII. Optymalizacja i rachunek różniczkowy. • Zakres podstawowy. Uczeń rozwiązuje zadania

optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

• Zakres rozszerzony. Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto:

1) oblicza granice funkcji (w tym jednostronne); 2) stosuje własność Darboux do uzasadniania istnienia miejsca zerowego funkcji i znajdowania przybliżonej wartości miejsca zerowego; 3) stosuje definicję pochodnej funkcji, podaje interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej; 4) oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu i funkcji złożonej; 5) stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; 6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.

Uwaga

W prezentacjach do wykładów często nie ma szczegółów rozpatrywanych przykładów, ale są one ważną częścią wykładów i będą wymagane na egzaminie.