Matematyka dla ciekawych świata 20 wrzesień 2012

Wiktor Woroszyński

Felek Wiecie dzieci, świat jest wielki, a na świecie same Felki.

Więc do piwa są kufelki, a do lodów są wafelki, a do pieca są kafelki, a na obiad kartofelki,

a do nóżek pantofelki. Na około wielki świat, A pośrodku stoję Ja! Ni kufelek, Ni kafelek,

Ani nawet pantofelek, Stoję ja - po prostu Felek."

A na świecie same kwadraty...

ZADANIE GŁÓWNE: Dla dowolnego wielokąta wypukłego skonstruuj kwadrat o tym samym polu.

1. Przeanalizuj poniższe zadania i powiedz, czy ich rozwiązanie zagwarantuje nam rozwiązanie zadania głównego. Dlaczego? 2. Przejrzyj poniższe zadania i zastanów się, które są proste, które dasz radę rozwiązać, a które bardzo trudne. 3. Rozwiąż zadanie główne. a. Udowodnij, że każdy wielokąt wypukły można podzielić na skończoną liczbę trójkątów. b. Dla dowolnego trójkąta skonstruuj prostokąt o tym samym polu. c. Dla dowolnego prostokąta skonstruuj kwadrat o tym samym polu. d. Dla dowolnych dwóch kwadratów skonstruuj kwadrat o polu równym sumie ich pól. e. Udowodnij, że dla dowolnych n kwadratów można skonstruować kwadrat o polu równym sumie

ich pól (gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią). Do przemyślenia:

I Czy powyższe rozumowanie da się uprościć? II Czy powyższe rozumowanie da się uogólnić na dowolne wielokąty (niekoniecznie wypukłe)? III Czy da się je uogólnić na koło?

Zadanie 1W trójkącie ABC dane są |?ACB|=1200 , |AC|=6, |BC|=3. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. a) Oblicz długość odcinka CD.b) Jaki jest związek między długościami promieni: okręgu opisanego na trójkącie ADC i okręgu opisanego na trójkącie DBC? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2Podstawy trapezu mają długości 10 i 6. Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta przy dłuższej podstawie jest równa 900. Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw.

Zadanie 3Na czworokącie wypukłym ABCD, w którym |AB|=|BC|, |AD|=2?3, |DC|=3-?3 można opisać okrąg. Wiedząc, że przekątna AC ma długość 3?2, oblicz pole tego czworokąta.

Zadanie 4 Stosunek pola rombu do pola koła wpisanego w ten romb wynosi 8 : π. Oblicz miarę kąta ostrego rombu.

Zadanie 5W trójkącie ostrokątnym ABC dane są długości boków: |AC|=6, |BC|=10. Pole trójkąta ABC jest równe 15?3. Oblicz:a) długość boku ABb) sinus kąta BACc)pole koła opisanego na trójkącie ABCd) długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt

Zadanie 6Obwód trapezu o kącie ostrym 60o równa się 2s (s>0). Jakie powinny być wymiary tego trapezu, aby jego pole było największe? Oblicz to największe pole.

Zadanie 7W trójkąt równoramienny o obwodzie 60 wpisano okrąg. Przekątna trapezu ma długość 17. Oblicz pole trapezu.

Zadanie 8Pole trapezu jest równe P, a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Zadanie 9

Trójkąt równoboczny ABC wpisany jest w okrąg. Punkt K należy do mniejszego z łuków . Udowodnij, że |AK|+|BK|=|CK|.

Zadanie 10Dany jest trójkąt ABC, w którym wysokość CD ma długość 5 i dzieli bok AB na dwie części: AD o długości 4 i DB o długości 8. Znaleźć długość odcinka równoległego do CD, którego końce należą do boków trójkąta i który dzieli pole trójkąta na połowy.

Zadanie 11W trapezie równoramiennym ABCD krótsza podstawa CD ma długość 4, a ramię AD ma długość 10. Wysokość DE trapezu przecina przekątną AC w punkcie M tak, że MC : AM = 2 : 3. Oblicz długość drugiej podstawy, długość przekątnej trapezu oraz pole koła opisanego na trapezie.

Zadanie 12W trapezie dłuższa podstawa ma długość m, a pozostałe trzy boki są równej długości. Przedłużenia ramion trapezu przecinają się pod kątem 2α. Oblicz obwód trapezu.

Zadanie 13

Stosując zasadę indukcji matematycznej wykaż, że dla prawdziwy jest wzór:

.

TRÓJKĄT

Promień okręgu wpisanego można obliczyć ze wzoru:

W przypadku gdy znamy promień okręgu opisanego (R), to promień okręgu wpisanego można

obliczyć ze wzoru:

Twierdzenie cosinusów

Warunek na wpisanie czworokąta w okrąg:

Wzór na pole czworokąta wpisanego w okrąg

Matematyka dla Ciekawych Świata, 2010/2011 10 października 2012

Ćwiczenia 2 — całka i pochodna

CałkowanieI Całka jako pole pod wykresem

Przypomnijmy, że całkę (oznaczoną)∫ baf(x) dx zdefiniowaliśmy jako „pole pod wykre-

sem f od a do b”1. Pole to jest brane ze znakiem, to znaczy jeśli funkcja jest ujemna, topole bierzemy ze znakiem minus.

1. Kilka pól treningowych. Policz: (a)5∫2

4 dx; (b)2∫−5

4 dx; (c)2∫0

−3 dx;

(d)2∫−5−2 dx; (e)

3∫0

x dx; (f)3∫0

3x dx; (g)3∫0

12x dx; (h)

0∫−3x dx; porównaj (f)

z (e)

(i)3∫−3xdx; (j)

3∫0

4+3xdx; (k)2∫3

4dx; (l)2∫3

−4dx; (m)3∫2

−4dx; porównaj (j)z (a) i (f)

(n)12∫− 1

2

x3 dx; (o)2π∫0

sinx dx; (p)1∫−1

tanx dx; (q)2∫−2x4 cos 2x sin 5x dx;

2*. Podstawy całkowania - c.d. Wiemy, żeπ∫0

sinx dx = 2 orazπ∫0

x4 dx = π5

5. Oblicz

całkę od 0 do π z f , gdzie

f(x) =

{5 sinx− 1

4x− 2x4 dla 0 ≤ x ≤ π/2

cosx+ 3x2 − 2x4 dla π/2 ≤ x ≤ π.

Uwaga! może tu się przydać informacja z wykładu, że∫ bax2 = 1

3(b3 − a3).

3. Podstawy całkowania - zadanie tekstowe. Płachta pełna cukierków ma kształtwygiętego prostokąta o wymiarach 30 m na 16 m. Przekrój płachty, wzdłuż krót-szego boku, przedstawia krzywą o równaniu h = 1

8sin πx

16, gdzie h - głębokość, x -

odległość od dłuższej krawędzi płachty (w metrach). Oszacuj liczbę cukierków napłachcie. Zacznij od oszacowania objętości cukierka.

4. Nierówności i szacowania (a) Nie wyliczając wartości ustal, która całka jest więk-

sza1∫0

x dx czy1∫0

x3 dx.

1czyli pole obszaru ograniczonego przez wykres f i proste x = a, x = b i y = 0

(b) Wykaż nierówność 1 <1∫0

ex2dx < e.

5*. Nierówności i szacowania - c.d. Oszacuj z góry całkę1∫0

sinx1+x2

dx.

Nie zapomnij o uzasadnieniu swoich obliczeń!

II Całka jako funkcja

Przypomnijmy, że całkę (nieoznaczoną)∫f(x) dx zdefiniowaliśmy jako funkcję F (x),

określoną przez wzór F (x) =∫ x0f(t) dt.

1. Przykłady Oblicz całki nieoznaczone funkcji: stałej c, liniowej ax oraz ax+ b.

2. Prędkość i droga. Narysuj wykres prędkości od czasu i odpowiadający mu wykresdrogi od czasu dla przypadków: to jest bardzo

ważne zada-nie, bo pręd-kość to po-chodna drogi!

— prędkość zerowa— prędkość stała— prędkość jednostajnie przyśpieszona.Jaki ma to związek z całkowaniem? Czym jest całka przyśpieszenia?Zrób odpowiednie rysunki.

III RóżniczkowaniePrzypomnijmy, że f ′(x0), czyli pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 zdefiniowaliśmy

jako „nachylenie stycznej do wykresu f w punkcie x0”.

0. Nachylenie (a) Ze stacji PKP Zwardoń do punktu widokowego jest na mapie (czyli„w poziomie”) około 1 km. W tym czasie wspinamy się („w pionie”) około 150metrów. Jakie jest (średnie) nachylenie na tej trasie? (w procentach)

(b) Ściana wspinaczkowa ma przekrój trójkąta prostokątnego o podstawie 10m iprzeciwprostokątnej 20m. Pod jakim kątem nachylona jest ściana?

1. Styczne do paraboli** (a) Mamy daną parabolę y = ex2 + fx + g. Udowodnij,że dowolna prosta przecina tę parabolę w jednym lub dwóch punktach (lubnie przecina w ogóle). [podpowiedź: rozpatrz prostą y = ax + b i układ tych(których?) dwóch równań2] to wcale nie

takie trudnezadanie :)(b) Zdefiniujmy styczną do paraboli jako prostą, która przecina tę parabolę do-

kładnie w jednym punkcie. Pokaż, że dla dowolnego punktu na paraboli y = x2

istnieje dokładnie jedna styczna przechodząca przez ten punkt.Znajdź jej nachylenie i wywnioskuj z tego wzór na pochodną funkcji x2.

2dla ustalonego a, ile jest b takich, że jest dokładnie jeden punkt przecięcia? co to oznacza geome-trycznie?

2

2. Styczne do wykresu

IV Pole

Choć pojęcie pola (na szczęście) jest raczej intuicyjne, matematycznie jest ono dosyćciekawe. Możemy myśleć, że jest to funkcja, która figurze3 przyporządkowuje jej poleP (A). Funkcja taka spełnia dwie bardzo ważne własności (aksjomaty), mianowicie: funkcje P ,

które tospełniająnazywamymiarami(a) P (A) ≥ 0 dla dowolnej figury A

(b) Jeśli figury A i B są rozłączne (jako zbiory), to P (A) + P (B) = P (A ∪B)

1. Znany wzór Udowodnij, że podwojone pole trójkąta jest równe polu prostokąta obokach równych dowolnej krawędzi tego trójkąta oraz wysokości, spuszczonej na tękrawędź. jaki to wzór?

(wykorzystaj własność (b) miary oraz niezmienniczość pola na izometrie)

2. Znane twierdzenie Udowodnij twierdzenie Pitagorasa. (jak w poprzednim zadaniu)

3. Zawieranie Udowodnij, że jeśli figura A jest zawarta w figurze B, to P (A) ≤ P (B).3figura to (prawie) dowolny podzbiór płaszczyzny

3

4. Pole pod parabolą Niech F (t) oznacza pole obszaru pod wykresem paraboli y = x2

ograniczonego przez proste x = 0, x = t i y = 0. Udowodnij, że F (t) = t3F (1).

Co to oznacza dla∫x2 dx?

5. Co wiedział Archimedes*** Udowodnij, że F (1) = 13. warto chwilę

pomyśleć! :)

To zadanie można rozwiązać na wiele różnych sposobów, z których najbardziej ele-mentarny (choć niekoniecznie najkrótszy) to metoda wyczerpywania Eudoksosa, za-stosowana przez Archimedesa w pracy „Kwadratura paraboli”.

6. Trochę abstrakcji Udowodnij, że pole dowolnego wielokąta A z brzegiem jest równepolu A bez brzegu. (zwróć uwagę, że jako zbiory to są dwie różne figury)

Zauważmy, że istnieje wiele różnych miar, np. jeśli modelem płaszczyzny byłby (nie-skończony) arkusz blachy a W (A) oznaczałoby wagę kawałka odpowiadającego zbiorowiA, to moglibyśmy uzyskać różne funkcje W (blacha niekoniecznie musi być jednorodna),z których każda byłaby miarą. Które z powyższych zadań są prawdziwe, a które fałszywedla dowolnej miary?

V Pole a prawdopodobieństwo

Pole, oprócz wspólnej pierwszej litery, ma dużo wspólnego z prawdopodobieństwem. coś nowego!

Przykład Dwie osoby umówiły się między godziną 9 a 10 i z powodu korków mogądotrzeć o losowej porze w tym przedziale. Zauważmy, że jeśli potraktujemy kwadratjednostkowy jako zbiór możliwych „wyników losowania”4, zaś A jest jego podzbiorem, topole P (A) oznacza prawdopodobieństwo, że obie osoby przyjdą w momencie opisanymprzez któryś z punktów należących do A. Przykładowo prawdopodobieństwo, że pierwszaz nich dotrze w trakcie pierwszej pół godziny wynosi 1/2 (tak jak miara prostokąta obokach 1/2 i 1), zaś prawdopodobieństwo, że obie z nich przyjdą będą między 9 a 9:30wynosi 1/4 (tak jak miara kwadratu o bokach 1/2).

Zadanie 1*** Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie osoby się spotkają, jeśli pierw- można sięzdziwićsza z nich będzie czekała na drugą nie więcej niż 20 minut?

Zanim zaczniesz obliczać, możesz się sprawdzić swoją intuicję: czy jest ono większeczy mniejsze niż połowa?

Zadanie 2 Zinterpretuj aksjomaty miary (tzn. podpunkty (a) i (b) na początku tej abstrakcyjne,ale proste ipouczająceczęści) w języku prawdopodobieństwa.

4to znaczy punkt [x, y] oznacza, że pierwsza osoba przyszła po 60x minutach, a druga po 60y

4

Zadanie 1

Wyznacz dziedzinę funkcji:

Zadanie 2

W urnie znajduje się n kul, z których 6 jest białych (n 6). Ile co najwyżej może być kul w urnie, aby przy dwukrotnym losowaniu a) bez zwrotu b) ze zwrotem prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania kuli białej było większe od 1/3?

Zadanie 3Dane są trzy zdarzenia A, B, C parami niezależne i takie, że jednocześnie nie mogą zachodzić. Zakładamy, że prawdopodobieństwa ich zajścia są jednakowe i równe "p". Obliczyć wartość "p", aby prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A, B, C było największe.

Zadanie 4Na kuli opisano stożek, którego pole powierzchni bocznej jest trzykrotnie większe od pola podstawy. Wykazać, że objętość tego stożka jest dwukrotnie większa od objętości kuli.

Zadanie 5Iloczyn pewnych trzech liczb pierwszych równa się ich pięciokrotnej sumie. Co to za liczby?

Zadanie 6Obliczyć stosunek maksymalnej objętości walca do maksymalnej objętości stożka wpisanych w kule przystające.

Zadanie 7Znaleźć zbiór wartości a, dla których równanie

ma rozwiązanie. Lewa i prawa strona tego równania jest sumą odpowiedniego szeregu geometrycznego.

Zadanie 8Dany odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki tak, aby objętość stożka, którego promieniem podstawy jest jeden z tych odcinków, a wysokością drugi, była największa.

Zadanie 9

Rozwiąż układ równań: , gdzie a jest daną liczbą różną

od zera.

Zadanie 10

Rozwiąż nierówność:

Zadanie 1 Wyznacz ekstrema funkcji wyznaczonej wzorem:

• f(x)=x3+6x2-3x+3• f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Zadanie 2Funkcja f jest określona wzorem f(x) = mx3-x, gdzie m jest parametrem. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m funkcja f nie osiąga ekstremum w żadnym punkcie.

Zadanie 3Suma dwóch liczb jest równa 6. wiadomo, że suma podwojonego kwadratu jednej z nich i kwadratu drugiej jest najmniejsza z możliwych. Znajdź te liczby.

Zadanie 4Znajdź tę wartość parametru m, dla której iloczyn pierwiastków równania x2-2mx+m2-4m+1=0 jest najmniejszy.

Zadanie 5 Wyznacz tę wartość parametru k, dla której suma pierwiastków równania x2+2kx+3k2-6k-2=0 jest największa z możliwych.

Zadanie 6Funkcja f określona wzorem f(x)=ax3+bx+2 osiąga w punkcie x=-1 ekstremum równe 4. Znajdź a i b. Zbadaj rodzaj ekstremum.

Zadanie 7Dany odcinek o długości a podzielić na dwa odcinki tak, aby objętość stożka, którego promieniem podstawy jest jeden z tych odcinków, a wysokością drugi, była największa.

Zadanie 8Obliczyć stosunek maksymalnej objętości walca do maksymalnej objętości stożka wpisanych w kule przystające.

ARTYKUŁYZAGADNIENIA FILOZOFICZNE

W NAUCEXIII / 1991, s. 5–18∗

Eugene P. WIGNER

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKIW NAUKACH PRZYRODNICZYCH

„Matematyka, widziana poprawnie, nie tylko posiada prawdę,ale również najwyższe piękno — piękno zimne i surowe, podobnedo piękna rzeźby, bez odniesienia do jakiegokolwiek elementu na-szej słabej natury, bez wspaniałej pompy malarstwa lub muzyki,lecz piękno wzniośle czyste i zdolne do tak srogiej doskonałości,jaką może wykazać tylko największa sztuka. Prawdziwy duch za-chwytu, egzaltacja, poczucie bycia kimś więcej niż Człowiekiem,co jest kamieniem probierczym najwyższej doskonałości, znaj-duje się w matematyce z taką samą pewnością, jak w poezji.”

Bertrand Russell, Study of Mathematics

Istnieje opowiadanie o dwóch ludziach, którzy przyjaźnili się ze sobąw czasie wyższych studiów, a którzy spotkawszy się, opowiadają sobie o swo-jej pracy. Jeden z nich zajął się statystyką i badał trendy społeczne. Poka-zał on dawnemu koledze jeden ze swych artykułów. Artykuł rozpoczynałsię, jak zwykle, uwagami na temat rozkładu Gaussa i autor wyjaśnił swemurozmówcy znaczenie poszczególnych symboli dla sytuacji aktualnego spo-łeczeństwa, dla przeciętnego społeczeństwa i tak dalej. Jego kolega okazałpewne niedowierzanie i nie był zupełnie pewny, czy przyjaciel nie żartujesobie z niego. „Skąd ta twoja wiedza?” brzmiało jego pytanie. „I czym jestten tu symbol?”. „Oh”, odpowiedział statystyk, „to jest π”. „Co to jest?”„Stosunek obwodu koła do jego średnicy”. „No, teraz już twoje dowcipyzaszły za daleko”, rzekł na to kolega, „z całą pewnością społeczeństwo niema nic wspólnego z obwodem koła”.

∗UWAGA: Tekst został zrekonstruowany przy pomocy środków automatycznych; moż-liwe są więc pewne błędy, których sygnalizacja jest mile widziana (obi@opoka.org). Tekstelektroniczny posiada odrębną numerację stron.

2 Eugene P. WIGNER

Oczywiście, jesteśmy skłonni uśmiechnąć się nad prostotą podejścia roz-mówcy statystyka. Niemniej, kiedy usłyszałem to opowiadanie, musiałemprzyznać się do dziwnego uczucia, ponieważ reakcja kolegi wykazywała zwy-kły zdrowy rozsądek. Byłem jeszcze bardziej skonfudowany, gdy niewiele dnipóźniej ktoś przyszedł do mnie i dał wyraz swojemu zadziwieniu faktem1,że dokonujemy raczej wąskiej selekcji, gdy wybieramy dane, za pomocą któ-rych testujemy nasze teorie. „Skąd wiemy, gdy tworzymy teorię, która sku-pia swoją uwagę na zjawiskach lekceważonych przez nas i lekceważy pewneze zjawisk przyciągających naszą uwagę, że nie możemy zbudować innej teo-rii, która miałaby niewiele wspólnego z obecną, ale która wyjaśniałaby tylesamo zjawisk co ona?” Należy przyznać, że nie mamy żadnego dowodu, iżtaka teoria nie istnieje.Oba powyższe opowiadania ilustrują dwa główne stwierdzenia, które

będą przedmiotem obecnych rozważań. Pierwszym stwierdzeniem jest, żepojęcia matematyczne pojawiają się w zupełnie nieoczekiwanych związkach.Co więcej, pozwalają one często na dokładny opis zjawisk występującychw tych powiązaniach. Po drugie, właśnie z tego powodu oraz dlatego, żenie rozumiemy przyczyn ich użyteczności, nie możemy wiedzieć, czy teoriaformułowana w terminach pojęć matematycznych, jest jedyną odpowiednią.Jesteśmy w sytuacji podobnej do sytuacji człowieka, który posiadając pękkluczy i mając otworzyć po kolei kilkoro drzwi, zawsze chwyta za właściwyklucz za pierwszym lub drugim razem. Mógłby on stać się sceptykiem, gdybyzaczął rozważać jedyność odpowiedniości pomiędzy kluczami i drzwiami.Większość z tego, co będzie powiedziane na te dwa tematy, nie będzie

nowe; prawdopodobnie w takiej lub innej postaci jest to znane naukowcom.Moim głównym celem jest naświetlić te problemy z kilku stron. Pierwszymwnioskiem jest to, że przedziwna skuteczność matematyki w naukach przy-rodniczych jest czymś graniczącym z tajemnicą i że nie ma dla niej żadnegoracjonalnego wyjaśnienia. Drugim jest właśnie owa niesamowita użytecz-ność pojęć matematycznych, która prowokuje pytanie o jedność naszychteorii fizycznych. By rozwinąć pierwszy punkt, dotyczący ogromnie ważnejroli, jaką matematyka odgrywa w fizyce, będzie pożytecznym powiedziećkilka słów na tematy: „czym jest matematyka?” oraz „czym jest fizyka?”,następnie, w jaki sposób matematyka wkracza w teorie fizyczne i wreszcie,

1Cytowana uwaga została uczyniona przez F. Wernera, gdy był on studentem w Prin-ceton.

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI W NAUKACH... 3

dlaczego sukces matematyki w jej roli w fizyce okazuje się tak trudny dowyjaśnienia. O wiele mniej zostanie powiedziane na drugi temat: jednośćteorii fizycznych. Właściwa odpowiedź na to pytanie wymagałaby rozwinię-cia pracy eksperymentalnej i teoretycznej, co nie jest obecnie możliwe.

CZYM JEST MATEMATYKA?

Ktoś kiedyś powiedział, że filozofia polega na niewłaściwym używaniuterminologii, która została stworzona tylko w tym celu2. W tym samym stylupowiedziałbym, że matematyka jest nauką o zręcznych operacjach na poję-ciach i regułach wymyślonych wyłącznie w tym celu. Główny akcent w tejwypowiedzi pada na wymyślanie pojęć. Matematyka szybko opuściłaby dzie-dzinę interesujących twierdzeń, jeśli byłyby one formułowane w terminachpojęć, które już występują w aksjomatach. Co więcej, podczas gdy jest nie-kwestionowalną prawdą, że pojęcia matematyki elementarnej a zwłaszczaelementarnej geometrii zostały sformułowane, by opisać wielkości bezpo-średnio podsuwane przez dostępny świat, to samo nie jest jednak prawdągdy chodzi o bardziej zaawansowane pojęcia, w szczególności te pojęcia,które grają tak ważną rolę w fizyce. W ten sposób reguły operowania naparach liczb są oczywiście tak zaprojektowane, by dawać ten sam rezultat,co operacje na ułamkach, które poznaliśmy wcześniej, bez odniesienia do„par liczb”. Reguły operowania dla ciągów, a więc dla liczb niewymiernych,nadal należą do kategorii reguł, które zostały tak określone, by odtwarzaćreguły operowania na wielkościach, które były już nam znane. Większośćzaawansowanych pojęć matematycznych, takich jak liczby zespolone, alge-bry, operatory liniowe, zbiory borelowskie — i ta lista może być przedłużanaprawie w nieskończoność — są tak wymyślone, że są one trafnie dobranymiprzedmiotami, na których matematycy mogą demonstrować swoją pomy-słowość i zmysł formalnego piękna. Rzeczywiście, definicja tych pojęć, wrazze spostrzeżeniem, że mogą być do nich stosowane interesujące i pomysłowerozważania, jest pierwszą demonstracją pomysłowości matematyka, któryje zdefiniował. Głębokość myśli, która wchodzi w sformułowanie pojęć ma-tematycznych, jest następnie usprawiedliwiana przez zręczność, z jaką tepojęcia są używane. Matematyk w pełni, prawie bezlitośnie, eksploatujedziedzinę dopuszczającą rozumienie i omija to, co niezrozumiałe. To, że

2Powyższe zdanie jest tu cytowane za W. Dubislav, Die Philosophie der Mathematikin der Gegenwart (Berlin: Junker and Dunnhaupt Verlag, 1932), s. 1.

4 Eugene P. WIGNER

jego nierozważność nie prowadzi go w bagno sprzeczności, jest samo w sobiecudem: na pewno, jest trudno uwierzyć, że nasza potęga myśli została do-prowadzona przez darwinowski proces naturalnej selekcji, do doskonałości,którą zdaje się posiadać. Nie jest to jednak naszym obecnym przedmiotem.Zasadniczym wnioskiem, który zostanie przypomniany później, jest, że ma-tematyk mógłby sformułować jedynie garść interesujących twierdzeń bezdefiniowania pojęć innych niż te, które są zawarte w aksjomatach, oraz żete nowe pojęcia są określone z zamiarem dopuszczenia pomysłowych opera-cji logicznych, które odwołują się do naszego zmysłu estetycznego zarównojako operacje, jak również w ich rezultatach, posiadających wielką ogólnośći prostotę3.Liczby zespolone dostarczają uderzającego przykładu na to, co zostało

powiedziane powyżej. W naszym doświadczeniu nie istnieje nic, co sugero-wałoby wprowadzenie tych wielkości. Rzeczywiście, jeśli matematyk zostaniepoproszony o uzasadnienie swojego zainteresowania liczbami zespolonymi,wskaże on, z pewnym oburzeniem, na wiele pięknych twierdzeń w teoriirównań, na szeregi potęgowe i na funkcje analityczne w ogólności, które za-wdzięczają swoje powstanie wprowadzeniu liczb zespolonych. Matematyknie ma zamiaru porzucać swojego zainteresowania tymi najpiękniejszymidokonaniami swojego geniuszu4.

CZYM JEST FIZYKA?

Fizyk jest zainteresowany odkrywaniem praw przyrody nieożywionej. Byzrozumieć to stwierdzenie, trzeba przeanalizować pojęcie „prawa przyrody”.Świat wokół nas posiada trudną do wyjaśnienia złożoność i najbardziej

oczywistym faktem w nim jest to, że nie możemy przepowiadać przyszło-ści. Chociaż żart przypisuje optymiście pogląd, że przyszłość jest niepewna,optymista ma rację w tym wypadku: przyszłość jest nieprzewidywalna.Jest to, jak zauważył Schrodinger, cud, że przy całej kłopotliwej złożo-

3M. Polanyi w swej książce Personal Knowledge (Chicago: University of Chicago Press,1958) mówi: „Wszystkie te trudności są niczym więcej, jak tylko konsekwencją odmowydostrzeżenia, że matematyka nie może być określona bez uznania jej najbardziej oczywi-stej cechy: mianowicie, że jest ona interesująca” (s. 188).4Czytelnik może być zainteresowany, w tym kontekście, raczej gniewnymi uwagami

Hilberta o intuicjonizmie, który „usiłuje rozbić i zeszpecić matematykę”, „Abh. Math.Sem.”, Univ. Hamburg, 157 (1923), lub Gesammelte Werke (Berlin: Springer, 1935),s. 188.

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI W NAUKACH... 5

ności świata, w zdarzeniach mogą być odkryte pewne regularności. Jednąz takich regularności, odkrytą przez Galileusza, jest fakt, że dwa kamie-nie, upuszczone w tym samym momencie z tej samej wysokości, spadną naziemię w tym samym czasie. Prawa przyrody dotyczą takich regularności.Regularność Galileusza jest prototypem dużej klasy regularności. Jest onazdumiewająca z trzech powodów.

Pierwszym powodem zdumienia jest to, że regularność ta zachodziła nietylko w Pizie, w czasach Galileusza, ale ma miejsce wszędzie na Ziemi, za-wsze zachodziła i zawsze będzie zachodziła. Ta własność regularności jestznaną własnością niezmienniczości i, jak miałem okazję wskazać jakiś czastemu, bez zasad niezmienniczości podobnych do implikowanych w poprzed-nich uogólnieniach obserwacji Galileusza, fizyka byłaby niemożliwa. Drugązdumiewającą cechą jest to, że dyskutowana przez nas regularność jest nie-zależna od wielu warunków, które mogłyby na nią oddziaływać. Jest onaważna niezależnie od tego, czy pada deszcz, czy nie, czy eksperyment jestwykonywany w pokoju, czy z Krzywej Wieży, niezależnie od tego, czy osobapuszczająca kamienie jest mężczyzną czy kobietą. Jest ona ważna nawetwtedy, gdy dwa kamienie są puszczane równocześnie i z tej samej wyso-kości, ale przez dwie różne osoby. Istnieje, oczywiście, wiele innych wa-runków, które są bez znaczenia z punktu widzenia ważności regularnościGalileusza. To nieposiadanie znaczenia przez tak wiele okoliczności, któremogłyby odgrywać rolę w obserwowanym zjawisku, nazywa się również nie-zmienniczością. Jednak ta niezmienniczość ma inny charakter od wcześniejomawianej, ponieważ nie może być sformułowana jako zasada ogólna. Ba-danie warunków, które wywierają, i które nie wywierają wpływu na zjawi-sko, jest częścią wstępnego eksperymentalnego badania dziedziny. Zręcznośći pomysłowość eksperymentatora ukazują mu zjawiska, które zależą od sto-sunkowo wąskiego zbioru dość łatwych do zauważenia i odtworzenia warun-ków5. W obecnym przypadku, ograniczenie przez Galileusza obserwacji dociał ciężkich było najważniejszym krokiem w badaniu. I znów, jest prawdą,że gdyby nie było zjawisk, które byłyby zależne jedynie od małego zbioruwarunków, fizyka byłaby niemożliwa.

5W związku z tym zob. esej M. Deutscha, Daedalus, 87, 86 (1958). A. Shimony zwróciłmi uwagę na podobny fragment w: C. S. Peirce’a Essays in the Philosophy of Science(New York: The Liberal Arts Press, 1957), s. 237.

6 Eugene P. WIGNER

Powyższe dwa fakty choć bardzo znaczące z punktu widzenia filozofa,nie są jedynymi, które zdumiewały Galileusza najbardziej, ani nie wyrażająspecyficznego prawa przyrody. Prawo przyrody jest zawarte w stwierdzeniu,że ilość czasu, który zabiera ciężkiemu obiektowi spadnięcie z danej wyso-kości, jest niezależna od wielkości, materiału i kształtu ciała, które spada.W układzie drugiego „prawa” Newtona składa się to na stwierdzenie, że siłagrawitacyjna, która działa na spadające ciało, jest proporcjonalna do jegomasy, ale niezależna od wielkości, materiału i kształtu ciała, które spada.Powyższa dyskusja miała nam przypomnieć, iż, po pierwsze, w ogóle nie

jest naturalne, że „prawa natury”, istnieją, a znacznie mniej, że człowiekjest zdolny je odkryć6. Autor miał okazję, jakiś czas temu, zwrócić uwagęna istnienie następstwa warstw „praw przyrody”, z których każda warstwazawiera bardziej ogólne i więcej obejmujące prawa niż poprzednia i jej od-krycie umożliwia głębszą penetrację w strukturę wszechświata, niż warstwyrozpoznane wcześniej. Jednak stwierdzeniem najbardziej znaczącym w obec-nym kontekście jest to, że wszystkie te prawa przyrody zawierają, nawetw swych najbardziej odległych konsekwencjach, jedynie małą część naszejwiedzy o świecie nieożywionym. Wszystkie prawa przyrody są stwierdze-niami warunkowymi, które dopuszczają przewidywanie pewnych przyszłychzdarzeń na bazie naszej wiedzy o teraźniejszości, przy pominięciu pewnychaspektów obecnego stanu świata — w praktyce przygniatającej większościwyznaczników obecnego stanu świata — które są bez znaczenia z punktuwidzenia predykcji. To nieposiadanie znaczenia jest rozumiane w sensie dru-giego punktu w dyskusji twierdzenia Galileusza7.Co do obecnego stanu świata, to znaczy istnienia Ziemi, na której ży-

jemy i na której były wykonywane eksperymenty Galileusza, istnienia Słońcai całego naszego otoczenia, prawa przyrody pozostają całkowicie milczące.Jest to zgodne z tym, że po pierwsze, prawa przyrody mogą być stosowanedo przepowiadania zdarzeń przyszłych tylko wtedy, gdy znane są wszystkieznaczące wyznaczniki obecnego stanu świata. Jest to również zgodne z tym,że konstruowanie maszyn, których funkcjonowanie może być przewidywane,stanowi najbardziej spektakularne osiągnięcie fizyka. W przypadku tych

6E. Schrodinger w swoim What Is Life? (Cambridge: Cambridge University Press,1945), s. 31, mówi, iż ten drugi cud może być niedostępny ludzkiemu zrozumieniu.7Autor uważa, że nie jest konieczne przypominanie, iż twierdzenie Galileusza, w formie

podanej w tekście, nie wyczerpuje zawartości obserwacji Galileusza dotyczących prawswobodnego spadku ciał.

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI W NAUKACH... 7

maszyn fizyk stwarza sytuację, w której wszystkie znaczące współrzędnesą znane, tak że zachowanie maszyny może być przepowiedziane. Radaryi reaktory atomowe mogą być przykładami takich maszyn.Zasadniczym celem dotychczasowej dyskusji było wykazanie, że wszyst-

kie prawa przyrody są stwierdzeniami warunkowymi i że obejmują tylkobardzo małą część naszej wiedzy o świecie. Tak więc, klasyczna mechanika,która jest najlepszym znanym prototypem teorii fizycznej, podaje drugiepochodne współrzędnych przestrzennych wszystkich ciał na podstawie zna-jomości pozycji tych ciał. Nie daje ona żadnych informacji o istnieniu, obec-nym położeniu lub o prędkościach tych ciał. Należy wspomnieć, dla ścisło-ści, iż około trzydzieści lat temu odkryliśmy, że nawet zdania warunkowenie mogą być całkowicie precyzyjne: że stwierdzenia warunkowe są prawamiprobabilistycznymi, które pozwalają nam jedynie czynić rozumne zakładyco do przyszłych własności świata nieożywionego, oparte na wiedzy o sta-nie obecnym. Nie pozwalają nam one na wypowiadanie stwierdzeń katego-rycznych, ani nawet stwierdzeń kategorycznych uwarunkowanych obecnymstanem świata. Probabilistyczny charakter „praw przyrody” manifestuje sięrównież w przypadku maszyn i może być weryfikowany, przynajmniej w wy-padku reaktorów atomowych, jeśli pracują one w obszarze wielkich mocy.Jednakże dodatkowe ograniczenie zasięgu praw przyrody wynikające z ichprobabilistycznego charakteru nie będzie odgrywało żadnej roli w dalszymciągu dyskusji.

ROLA MATEMATYKI W TEORIACH FIZYCZNYCH

Odświeżywszy poglądy na istotę matematyki i fizyki, znajdujemy sięw lepszym położeniu, by przyjrzeć się roli matematyki w teoriach fizycznych.Oczywiście, w codziennej fizyce stosujemy matematykę w tym celu, by

nadawać wartości wielkościom występującym w prawach przyrody, by sto-sować stwierdzenia warunkowe do szczególnych okoliczności, które rzeczywi-ście występują, lub które nas interesują. By było to możliwe, prawa przyrodymuszą być wcześniej sformułowane w języku matematyki, by być obiektemdla użytku matematyki stosowanej. Stwierdzenie, że prawa przyrody są za-pisane w języku matematyki, zostało właściwie uczynione trzysta lat temu8;obecnie jest ono prawdziwsze niż kiedykolwiek dotąd. By wskazać na zna-

8Przypisuje się to Galileuszowi.

8 Eugene P. WIGNER

czenie, jakie pojęcia matematyczne posiadają w formułowaniu praw fizyki,przypomnijmy, dla przykładu, aksjomaty mechaniki kwantowej w postaci,w jakiej zostały sformułowane przez wielkiego fizyka Diraca. W mechanicekwantowej istnieją dwa podstawowe pojęcia: stany i obserwable. Stany sąwektorami w przestrzeni Hilberta, obserwable zaś operatorami na tych wek-torach. Możliwe wartości obserwacji są wartościami charakterystycznymioperatorów — zatrzymajmy się w tym miejscu, byśmy nie zaangażowali sięw wyliczanie pojęć matematycznych rozwijanych w teorii operatorów linio-wych.

Jest, oczywiście, prawdą, że fizyka wybiera pewne pojęcia matematycznedla formułowania praw przyrody i z pewnością tylko ułamek wszystkich po-jęć matematycznych jest wykorzystywany w fizyce. Jest również prawdą,że pojęcia, które zostały wybrane, nie zostały wyselekcjonowane arbitral-nie z wykazu pojęć matematycznych, ale były rozwijane, w wielu, jeśli niew większości przypadków, niezależnie przez fizyków i rozpoznawane jako po-siadające znaczenie, zanim uczynili to matematycy. Nie jest jednak prawdąto, co często stwierdzano, że działo się tak dlatego, iż matematyka używanajprostszych z możliwych pojęć, i że są one ograniczone do występowaniaw formalizmie. Jak widzieliśmy powyżej, pojęcia matematyki nie zostały wy-brane dla ich pojęciowej prostoty — nawet ciągi par liczb są dalekie od bycianajprostszymi pojęciami lecz dla ich podatności na pomysłowe manipulacjei przekonywające, błyskotliwe argumenty. Nie zapominajmy, że przestrzeńHilberta w mechanice kwantowej jest zespoloną przestrzenią Hilberta z her-mitowskim iloczynem skalarnym. Dla umysłu niezaangażowanego, z pewno-ścią, liczby zespolone są dalekie od naturalnych i nie mogą zostać zasugero-wane przez obserwacje fizyczne. Co więcej, użycie liczb zespolonych nie jestw tym przypadku rachunkowym trikiem matematyki stosowanej, ale jestprawie konieczne w formułowaniu praw mechaniki kwantowej. Ostatecznie,zaczyna się okazywać, że nie tylko liczby zespolone, ale również tak zwanefunkcje analityczne powinny odgrywać kluczową rolę w formułowaniu teo-rii kwantowej. Mam tu na myśli gwałtownie rozwijającą się teorię relacjirozpraszających.

Trudno jest uniknąć wrażenia, że stajemy tu wobec cudu, zupełnie po-równywalnego w swej uderzającej naturze z cudem polegającym na tym,że ludzki umysł może wiązać razem tysiące argumentów bez wpadaniaw sprzeczności, lub z dwoma cudami: istnieniem praw przyrody i zdolno-

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI W NAUKACH... 9

ścią umysłu ludzkiego do przepowiadania ich. Obserwacja, która spośródznanych mi zbliża się najbardziej do wyjaśnienia pojawiania się pojęć ma-tematycznych w fizyce, zawarta jest w stwierdzeniu Einsteina, że jedynymiteoriami fizycznymi, które chcemy akceptować są piękne teorie fizyczne. Po-jęciom matematyki przysługuje zaś jakość piękna. Jednak obserwacja Ein-steina może najlepiej wyjaśnić własności teorii, w które chcemy wierzyć i niema odniesienia do wewnętrznej ścisłości teorii. Przejdźmy więc do drugiegopytania.

CZY SUKCES TEORII FIZYCZNYCH JEST NAPRAWDĘ ZASKAKUJĄCY?

Możliwym wyjaśnieniem stosowania przez fizyka matematyki w formu-łowaniu praw przyrody jest to, że jest on w pewnym sensie osobą nieodpo-wiedzialną. Gdy znajduje on związek pomiędzy dwiema wielkościami, któryprzypomina zależność dobrze znaną z matematyki, stwierdza on natych-miast identyczność obu związków, po prostu dlatego, że nie zna żadnychinnych podobnych zależności. Nie jest intencją obecnej dyskusji odparciezarzutu nieodpowiedzialności przedstawionego podejścia. Być może jest onotakie. Ważne jest jednak podkreślenie, że matematyczne sformułowanie czę-sto niewykończonych doświadczeń fizyka prowadzi w niesamowicie wieluprzypadkach do zdumiewająco dokładnego opisu szerokiej klasy zjawisk.Pokazuje to, że język matematyczny zasługuje na większe uznanie, niż tylkostwierdzenie, że jest to tylko język, w którym możemy mówić; wskazuje to,że jest on, w bardzo realnym sensie, poprawnym językiem. Rozważmy kilkaprzykładów.Pierwszym przykładem jest często cytowany przykład ruchów planet.

Prawa spadania ciał zostały dość dobrze ustalone jako rezultat ekspery-mentów przeprowadzonych zasadniczo w Italii. Eksperymenty te nie mogłybyć bardzo dokładne w tym sensie, w jakim pojmujemy dokładność dzisiaj,częściowo ze względu na wpływ oporu powietrza, częściowo zaś ze względuna ówczesną niemożność mierzenia krótkich odcinków czasu. Niemniej, niejest zdumiewające, że w rezultacie swoich studiów, włoscy przyrodnicy osią-gnęli znajomość sposobów, w jakie przedmioty poruszają się w atmosferze.Newton wprowadził prawo swobodnego spadku w relacje z ruchem Księ-życa, zauważywszy, że parabola drogi rzuconego kamienia na Ziemi orazkrąg drogi Księżyca na niebie, są szczególnymi przypadkami tego samegoprzedmiotu matematycznego: elipsy, i zaproponował powszechne prawo gra-

10 Eugene P. WIGNER

witacji na bazie pojedynczej, i w owym czasie bardzo przybliżonej, liczbowejkoincydencji. Filozoficznie rzecz biorąc, prawo grawitacji w postaci zapro-ponowanej przez Newtona, było odrażające dla ludzi jego czasów i dla niegosamego. Empirycznie zaś, było ono oparte na bardzo ograniczonych obser-wacjach. Język matematyczny, w którym zostało ono sformułowane, zawie-rał pojęcie drugiej pochodnej i ci z nas, którzy próbowali narysować okrągstyczny do krzywej wiedzą, że druga pochodna nie jest pojęciem natych-miastowym. Prawo grawitacji, które Newton niechętnie ustalił, i które mógłzweryfikować z dokładnością około 4% okazało się być prawdziwe z błędemmniejszym niż 1/10000 procenta i stało się blisko związane z ideą dokładno-ści absolutnej, do której zaledwie zbliża się dzisiejsza fizyka9. Z pewnością,przykład prawa Newtona, cytowany ciągle na nowo, musi być wspomnianyw pierwszej kolejności, jako monumentalny przykład prawa, sformułowa-nego w terminach, które okazują się proste dla matematyka. Podsumujmynaszą tezę w tym przykładzie: po pierwsze, prawo, zwłaszcza, że występujew nim druga pochodna, jest proste tylko dla matematyka, a nie dla zdrowegorozsądku lub dla studenta pierwszego roku, nie obdarzonego matematycz-nym umysłem; po drugie, jest to prawo warunkowe o bardzo ograniczonymzasięgu. Nie mówi ono nic o Ziemi, w którą uderzają kamienie Galileusza,lub też o kołowej orbicie Księżyca, czy też o planetach Układu Słonecznego.Wyjaśnienie tych warunków początkowych jest pozostawione geologowi lubastronomowi.Drugi przykład pochodzi ze zwykłej, elementarnej mechaniki kwanto-

wej. Powstał on, gdy Max Born zauważył, że pewne reguły obliczeń, po-dane przez Heisenberga, są formalnie identyczne z regułami obliczeń dlamacierzy, ustalonymi znacznie wcześniej przez matematyków. Born, Jor-dan i Heisenberg zaproponowali więc zastąpić zmienne położenia i momentyw równaniach mechaniki klasycznej przez macierze. Zastosowali oni regułymechaniki macierzowej do kilku mocno wyidealizowanych problemów i re-zultaty okazały się dość zadowalające. Nie istniał jednak w tym czasie żadenracjonalny argument, że ich macierzowa mechanika okazałaby się poprawnaw bardziej zbliżonych do rzeczywistości warunkach. Rzeczywiście, stwier-dzili oni: „ jeśli mechanika taka, jak zaproponowana tutaj byłaby poprawnaw swych istotnych cechach”. Pierwsze zastosowanie ich mechaniki do rze-czywistego problemu, problemu atomu wodoru, zostało uczynione kilka mie-

9Zobacz, na przykład, R. H. Dicke, „Am. Sci.”, 25 (1959).

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI W NAUKACH... 11

sięcy później, przez Pauliego. Zastosowanie to dawało rezultaty zgodne z do-świadczeniem. Było to zadowalające, jednak wciąż niezrozumiałe, ponieważreguły rachunku podane przez Heisenberga zostały wyabstrahowane z pro-blemów, które zawierały starą teorię atomu wodoru. Cud pojawił się dopierow momencie, gdy mechanika macierzowa, lub matematycznie równoważnateoria, została zastosowana do problemów, dla których reguły rachunkoweHeisenberga były bezsensowne. Reguły te zakładały, że klasyczne równaniaruchu posiadają rozwiązania z pewnymi cechami okresowości; zaś równaniaruchu dwóch elektronów atomu helu, lub większej liczby elektronów jakie-goś cięższego atomu po prostu nie posiadają tych własności, a więc regułyHeisenberga nie mogą być stosowane w tych przypadkach. Niemniej jednak,obliczenie najwyższego poziomu energetycznego dla helu, przeprowadzonekilka miesięcy temu przez Kinoshita w Cornell i przez Bazleya w BiurzeWzorców zgadza się z danymi doświadczalnymi w granicach dokładnościobserwacji, która wynosi jedną dziesięciomilionową. Z pewnością w tymprzypadku „wydobyliśmy” z równań coś, czego w nie nie włożyliśmy. Tosamo jest prawdą, jeśli chodzi o jakościową charakterystykę „widm złożo-nych”, to znaczy widm cięższych atomów. Wspominam rozmowę z Jorda-nem, który powiedział mi, gdy odkryto jakościowe cechy widm, że niezgod-ność reguł otrzymanych z mechaniki kwantowej i reguł ustalonych na drodzedoświadczeń dostarczałaby ostatniej okazji do dokonania zmiany w systemiemechaniki macierzowej. Innymi słowy, Jordan czuł, że bylibyśmy, przynaj-mniej czasowo, bezradni, gdyby nieoczekiwana niezgodność wystąpiła w teo-rii atomu helu. Była ona w tym czasie rozwijana przez Kellnera i Hilleraasa.Formalizm matematyczny był zbyt jasny i niezmienny, tak więc, gdyby cudhelu, o którym wspomniałem powyżej, nie pojawił się, powstałby praw-dziwy kryzys. Z pewnością, fizyka pokonałaby ten kryzys w taki, czy innysposób. Z drugiej strony jest prawdą, że fizyka, taka, jaką ją znamy obecnie,nie byłaby możliwa bez ciągłego pojawiania się cudów, podobnych do tegoz atomem helu, który jest cudem najbardziej uderzającym z tych, które wy-stąpiły w trakcie rozwoju elementarnej mechaniki kwantowej, ale przecieżbynajmniej nie jedynym. Faktycznie, ilość analogicznych cudów jest ograni-czona, z naszego punktu widzenia, tylko przez nasze pragnienie znajdowaniaich. Mechanika kwantowa ma wiele niemal równie uderzających sukcesów,które dają nam mocne przekonanie, że jest ona, jak mówimy, prawdziwa.

12 Eugene P. WIGNER

Ostatni przykład pochodzi z elektrodynamiki kwantowej, z teorii przesu-nięcia Lamba. Podczas gdy teoria grawitacji Newtona ma jeszcze oczywistezwiązki z doświadczeniem, eksperyment wchodzi w sformułowanie mecha-niki macierzowej jedynie w wyrafinowanej i wysublimowanej formie prze-pisów Heisenberga. Teoria kwantowa przesunięcia Lamba, w postaci takiej,jak rozważał ją Bethe i ustalił Schwinger, jest teorią czysto matematycznąi jedyny bezpośredni wpływ doświadczenia polegał na wskazaniu na istnie-nie mierzalnego efektu. Zgodność z rachunkiem jest zaledwie jedną częściąna tysiąc.Powyższe trzy przykłady, które można by mnożyć prawie w nieskończo-

ność, powinny zilustrować stosowność i dokładność matematycznego sfor-mułowania praw przyrody w terminach pojęć wybranych ze względu naich podatność na manipulacje, „praw przyrody” posiadających prawie fan-tastyczną ścisłość, ale dokładnie ograniczony zasięg. Proponuję traktowaćwniosek, które te trzy przykłady ilustrują, jako empiryczne prawo epistemo-logii. Wraz z prawami niezmienniczości teorii fizycznych, jest to niezbywalnapodstawa tych teorii. Bez praw niezmienniczości teorie fizyczne mogłybynie mieć oparcia w faktach; gdyby empiryczne prawo epistemologii nie byłoprawdziwe, mogłoby zabraknąć nam zachęty i pewności, koniecznych dlaprowadzenia badań. Dr R. G. Sachs, z którym dyskutowałem na temat tegoprawa, nazwał je artykułem wiary fizyka–teoretyka i z pewnością jest ononim. Jednak to, co nazwał on naszym artykułem wiary, może być dobrzepodtrzymane przez faktyczne przykłady — wiele dodatkowych przykładów,obok tych trzech, które zostały przedstawione.

JEDNOŚĆ TEORII FIZYCZNYCH

Empiryczny charakter powyższej obserwacji wydaje mi się być samo-oczywisty. Z pewnością nie jest ona „koniecznością myśli” i nie powinnabyć, ponieważ stosuje się tylko do niewielkiej części nieożywionego świata.Jest absurdem wierzyć, że istnienie matematycznie prostych wyrażeń dladrugiej pochodnej położenia jest samooczywiste, skoro nie istnieją żadnepodobne wyrażenia dla samego położenia lub dla prędkości. Jest więc za-dziwiające, jak łatwo został nam dany cudowny dar zawarty w empirycznymprawie epistemologii. Zdolność ludzkiego umysłu do stworzenia ciągu 1000wniosków i nadal pozostawania „w prawdzie”, co było wspomniane powyżej,jest podobnym darem.

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI W NAUKACH... 13

Każde prawo empiryczne posiada niepokojącą cechę polegającą na tym,że nikt nie zna jego ograniczeń. Widzieliśmy, że istnieją pewne regularnościw zdarzeniach zachodzących w świecie wokół nas, które mogą być sformu-łowane w terminach pojęć matematycznych z niesamowitą dokładnością.Z drugiej strony istnieją aspekty świata, które — gdy je rozważamy —nie pozwalają nam wierzyć w istnienie jakichkolwiek regularności, Nazy-wamy je warunkami początkowymi. Pytaniem, które się pojawia, jest, czyróżne regularności, to znaczy rozmaite prawa przyrody, które zostaną od-kryte, połączą się w jedną spójną całość, lub przynajmniej będą się zbliżałyasymptotycznie do takiej unifikacji. Alternatywnie, istnieje możliwość, żezawsze będą pewne prawa przyrody, które nie będą miały nic wspólnegoz żadnym z pozostałych. Obecnie tak właśnie jest, na przykład dla prawdziedziczenia i praw fizyki. Jest nawet możliwe, że niektóre z praw przy-rody będą w swoich implikacjach w konflikcie z każdym innym, lecz okażą siędość przekonywające w swej własnej dziedzinie, tak że nie będziemy chcieliodrzucić żadnego z nich. Możemy poddać się takiemu stanowi rzeczy lubnasze zainteresowanie w wyjaśnianiu konfliktów pomiędzy różnymi teoriamimoże wygasnąć. Możemy stracić zainteresowanie „ostateczną prawdą”, tojest obrazem, który jest spójnym połączeniem w jedna całość małych obra-zów stworzonych przez rozmaite aspekty przyrody.

Może być pożytecznym zilustrowanie tej alternatywy za pomocą przy-kładu. Mamy obecnie w fizyce dwie mocne, bardzo interesujące teorie: teo-rię zjawisk kwantowych i teorię względności. Obydwie te teorie mają swojekorzenie w rozłącznych grupach zjawisk. Teoria względności stosuje się dociał makroskopowych, takich jak gwiazdy. Zdarzenie koincydencji, w skraj-nej formie polegające na zderzeniu, jest pierwotnym zdarzeniem w teoriiwzględności i określa punkt w czasoprzestrzeni, lub przynajmniej określa-łoby punkt, gdyby zderzające się cząstki były nieskończenie małe. Teoriakwantowa ma swoje korzenie w świecie mikroskopijnym i, z jej punktu wi-dzenia, zdarzenie koincydencji lub zderzenia, nawet jeśli ma miejsce pomię-dzy dwiema cząstkami nie posiadającymi rozciągłości przestrzennej, nie jestpierwotne i w ogóle nie jest ostro wyróżnione w czasoprzestrzeni. Obydwie teteorie operują różnymi pojęciami matematycznymi — odpowiednio: cztero-wymiarową przestrzenią Riemanna i nieskończenie wymiarową przestrzeniąHilberta. Jak dotąd obydwie te teorie nie mogą być zunifikowane, to zna-czy nie istnieje żadne matematyczne sformułowanie, dla którego te teorie

14 Eugene P. WIGNER

byłyby przybliżeniami. Wszyscy fizycy wierzą, że zjednoczenie tych dwóchteorii jest zasadniczo możliwe i że znajdziemy je. Niemniej jednak można so-bie wyobrazić, że niemożliwym jest znalezienie jakiejkolwiek unifikacji tychdwóch teorii. Ten przykład ilustruje dwie możliwości, jedności i konfliktu,wspomniane powyżej, z których obydwie są wyobrażalne.By otrzymać wskazówkę co do tego, której z alternatyw należy ostatecz-

nie oczekiwać, możemy udawać, że jesteśmy nieco większymi ignorantami,niż jesteśmy w rzeczywistości i umieścić się na niższym poziomie wiedzy niżta, którą obecnie posiadamy. Jeśli możemy znaleźć połączenie naszych teo-rii na tym niższym poziomie inteligencji, możemy z nadzieją oczekiwać, żerównież na rzeczywistym poziomie naszej inteligencji znajdziemy połączenienaszych teorii. Z drugiej strony, jeśli doszlibyśmy do wzajemnie sprzecznychteorii na jakimś niższym poziomie wiedzy, możliwość trwałości konfliktu teo-rii nie może być z góry wykluczona również dla nas samych. Poziom wiedzyi pomysłowości jest zmienną ciągłą i jest nieprawdopodobne, by względniemała zmiana tych ciągłych zmiennych przekształcała osiągalny obraz świataz niespójnego w spójny10.Rozważany z tego punktu widzenia fakt, że pewne teorie, o których

wiemy, że są fałszywe, dają tak dokładne rezultaty, jest czynnikiem prze-ciwnym. Gdybyśmy mieli mniej wiedzy, grupa zjawisk, które wyjaśniają te„fałszywe” teorie, okazałaby się dla nas dość szeroka, by „dowieść” tychteorii. Jednak te teorie są uważane przez nas za fałszywe właśnie z tegopowodu, że są one niezgodne z większą liczbą ujmowanych obrazów oraz,jeśli tylko odkryto dostatecznie wiele takich fałszywych teorii, muszą sięone okazać sprzeczne nawzajem ze sobą. Podobnie, jest możliwe, że teorie,które uważamy za „udowodnione” przez pewną ilość zgodności liczbowych,które okazują się być wystarczająco rozległe dla nas, są fałszywe, ponie-waż są w konflikcie z możliwą teorią obejmującą więcej, która jest pozanaszymi możliwościami odkrycia. Gdyby to było prawdą, powinniśmy ocze-kiwać konfliktów pomiędzy naszymi teoriami, gdy tylko ich ilość wzrastapowyżej pewnego punktu i gdy ujmują one dostatecznie szeroką grupę zja-

10Ten ustęp został napisany po wielkim wahaniu. Autor jest przekonany, że w dysku-sjach epistemologicznych jest pożytecznym odrzucanie idealizacji polegającej na przyję-ciu, iż poziom ludzkiej inteligencji ma pojedynczą pozycję na skali absolutnej. W nie-których przypadkach może być pożytecznym rozważanie osiągnięć, które są możliwe napoziomie inteligencji innego rodzaju. Jednak autor dostrzega również, że ciąg myślowyprzedstawiony w tekście jest ujęty skrótowo i niezbyt krytycznie, by być niezawodnym.

NIEPOJĘTA SKUTECZNOŚĆ MATEMATYKI W NAUKACH... 15

wisk. W przeciwieństwie do wspomnianego powyżej artykułu wiary fizyka,to właśnie jest nocną zmorą teoretyka.

Rozważmy kilka przykładów „fałszywych” teorii, które dają alarmującodokładne opisy grup zjawisk. Przy odrobinie dobrej woli, można odsunąćpewną oczywistość, której te przykłady dostarczają. Sukces wczesnych i pio-nierskich idei Bohra dotyczących atomu był zawsze raczej wąski i to samoodnosi się do epicykli Ptolemeusza. Nasz obecny punkt widzenia daje do-kładny opis wszystkich zjawisk, które te bardziej prymitywne teorie mogąopisać. Nie jest to jednak prawdą jeśli chodzi o tak zwaną teorię swobodnegoelektronu, która daje cudownie dokładny obraz wielu, jeśli nie większości,własności metali, półprzewodników i izolatorów. W szczególności wyjaśniaona fakt, zawsze niewłaściwie rozumiany na bazie „rzeczywistej teorii”, żeizolatory wykazują specyficzną oporność elektryczną, która może być 10 razywiększa niż oporność metali. Rzeczywiście, nie istnieje żaden eksperymen-talny argument pokazujący, że oporność nie jest nieskończona w warunkach,w których teoria elektronu swobodnego kazałaby nam oczekiwać opornościnieskończonej. Niemniej jesteśmy przekonani, że teoria ta jest grubym przy-bliżeniem, które powinno być zastąpione w opisie zjawisk dotyczących ciałstałych przez bardziej dokładny obraz.

Rozważana z naszego rzeczywistego punktu widzenia, sytuacja prezento-wana przez teorię wolnego elektronu jest irytująca, ale jest nieprawdopodob-nym przepowiadać jakiekolwiek niespójności, które są nieprzezwyciężalnedla nas. Teoria ta podnosi wątpliwości co do tego, jak daleko powinniśmyufać zgodności numerycznej pomiędzy teorią i eksperymentem, jako dowo-dowi na rzecz poprawności teorii. Przywykliśmy do takiego wątpienia.

Trudniejsza i bardziej niepokojąca sytuacja powstałaby, gdybyśmy mo-gli pewnego dnia ustalić teorię zjawisk świadomości, lub też biologii, którabyłaby tak spójna i przekonywająca jak nasze obecne teorie świata nie-ożywionego. Prawa dziedziczenia Mendla i idąca za nimi praca na genachmoże tworzyć początki takiej teorii na terenie biologii. Co więcej, jest cał-kiem możliwe, że może być znaleziony abstrakcyjny argument pokazujący, żeistnieje konflikt pomiędzy taką teorią i akceptowanymi podstawami fizyki.Argument ten mógłby być tak abstrakcyjnej natury, że mogłoby nie byćmożliwym rozwiązanie konfliktu na korzyść jednej z teorii za pomocą ekspe-rymentu. Taka sytuacja nadwyrężałaby mocno naszą wiarę w nasze teoriei w rzeczywistość pojęć, które tworzymy. Mogłaby dać głębokie poczucie

16 Eugene P. WIGNER

frustracji w naszym poszukiwaniu tego, co nazywamy „ostateczną prawdą”.Racją, dla której taka sytuacja jest do pomyślenia jest to, że ostatecznie niewiemy, dlaczego nasze teorie działają tak dobrze. Stąd ich dokładność możenie dowodzić ich prawdziwości i spójności. Rzeczywiście, jest to przekona-niem autora, że istnieje coś raczej podobnego do sytuacji opisanej powyżej,jeśli konfrontuje się prawa dziedziczenia i prawa fizyki.Pragnę zakończyć nieco bardziej miłym spostrzeżeniem. Stosowność

języka matematyki do formułowania praw fizyki jest cudownym darem,którego ani nie rozumiemy, ani nań nie zasługujemy. Powinniśmy być zaniego wdzięczni i mieć nadzieję, że pozostanie on w mocy w przyszłych ba-daniach, oraz że rozszerzy się on, lepiej lub gorzej, dla naszej przyjemnościa może też dla naszego zmieszania, na szerokie gałęzie wiedzy.

Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in theNatural Sciences, w: „Communications in Pure and Applied Mathematics”,t. 13, 1 (luty 1960), ss. 1–14.

Z angielskiego przetłumaczyłJacek Dembek CSsR