CAŁKOWANIE - Home - Instytut Mechaniki i Inżynierii ... · 22 Metoda trapezów Przykład...

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

całki pojedyncze

Kwadratury interpolacyjne

3


Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale

domkniętym [a, b].

Przedział [a, b] dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów,

wyróżniając na osi x zbiór punktów:

0 1 2 1... ...i i na x x x x x x b

Punkty xi, i = 0, 1, ..., n tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):

1 consti ix x h

4



5


Z własności całki oznaczonej wynika, że:

1

0

1

0

( )d ( )dn i

i

x b xn

ix a x

f x x f x x

Oznaczenie:

1

( )di

i

x

i

x

f x x

6


Istota metody kwadratur interpolacyjnych

Przybliżenie funkcji podcałkowej f(x) w przedziale [xi, xi+1]

lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem interpolacyjnym

1 1

( )d ( )di i

i i

x x

i

x x

f x x W x x

W(x) – wielomian interpolacyjny

7


Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość

całki w przedziale [a, b]

Wielomian interpolacyjny

I. wzór Newtona

2( 1)( ) ...,

2!

ii i i

x xq qW x y q y y q

h

Metoda prostokątów

9


Niech:

1( ) , [ , ]i i iW x y x x x

Oznacza to:

f(x) w przedziale [xi, xi+1] jest przybliżona wielomianem

interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika

f(x) na odcinku [xi, xi+1] zastępujemy linią poziomą

10


1 1

( )d di i

i i

x x

i i

x x

f x x y x

Wprowadzamy podstawienie:

1

1, d d , 0, 1i

i i

x xq q x x x q x x q

h h

Otrzymujemy:

1 1

0

d di

i

x

i i i i

x

y x h y q hy

11


1 1

0 0

( )d

b n n

i i

i ia

f x x h y

Wzór prostokątów:

1

0

( )d

b n

i

ia

f x x h y

12


Wzór prostokątów z niedomiarem:

1

0

( )d

b n

i

ia

f x x h y

Wzór prostokątów z nadmiarem (wyprowadzany z II. wzoru Newtona):

1

( )d

b n

i

ia

f x x h y

13


Metoda prostokątów z niedomiarem

Metoda prostokątów z nadmiarem

14


Przykład

Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:

5

2

1

2 dx x1

493

( )d

b

a

f x x2( ) 2f x x 1a 5b

15


4n Ilość podprzedziałów:

Krok całkowania: 5 1

14

b ah

n

0

1 0

2 0

3 0

4 0

1

1 1 2

2 1 2 1 3

3 1 3 1 4

4 1 4 1 5

a x

x x h

x x h

x x h

x x h b

2

0 0

2

1 1

2

2 2

2

3 3

2

4 4

( ) 1 2 3

( ) 2 2 6

( ) 3 2 11

( ) 4 2 18

( ) 5 2 27

y f x

y f x

y f x

y f x

y f x

16


Wzór prostokątów z niedomiarem:

1 3

0 0

n

i i

i i

h y h y

0 1 2 3( )h y y y y 1 (3 6 11 18) 38

Wzór prostokątów z nadmiarem:

4

1 1

n

i i

i i

h y h y

1 2 3 4( )h y y y y 1 (6 11 18 27) 62

Metoda trapezów

18

Metoda trapezów

Niech:

1( ) , [ , ]i i i iW x y q y x x x

Oznacza to:


interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych składników

19

Metoda trapezów

1 1

( )d ( )di i

i i

x x

i i i

x x

f x x y q y x

1

1

0

1( )d

2i i i i iy q y q h y y

Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:

20

Metoda trapezów

1 11

0 0

( )d2

b n ni i

i

i ia

y yf x x h

Wzór trapezów:

10

1

( )d2

b nn

i

ia

y yf x x h y

21

Metoda trapezów

Metoda trapezów

22

Metoda trapezów

Przykład

Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając ze wzoru trapezów:

5

2

1

12 d 49

3x x

Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:

4n

Punkty xi i wartości funkcji w tych punktach yi są identyczne

jak w poprzednim przykładzie

23

Metoda trapezów

1 30 0 4

1 12 2

nn

i i

i i

y y y yh y h y

0 41 2 3

2

y yh y y y

3 271 6 11 18

2

50

Wzór Simpsona

25

Wzór Simpsona

Niech:

2

1

( 1)( ) , [ , ]

2!i i i i i

q qW x y q y y x x x

Oznacza to:


interpolacyjnym ograniczonym do trzech pierwszych składników

26

Wzór Simpsona

Przedział [a, b] dzieli się na parzystą ilość podprzedziałów.

Pole pojedynczego trapezu krzywoliniowego:

2

0

2

0 0 0 0 0 1 2

( 1)d 4

2! 3

x

x

q q hy q y y x y y y

27

Wzór Simpsona

Wzór Simpsona:

0 1 2 3 2 1( )d 4 2 4 ... 2 43

b

n n n

a

hf x x y y y y y y y

28

Wzór Simpsona

Przykład

Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając ze wzoru Simpsona:

5

2

1

12 d 49

3x x

0 1 2 3 2 1( )d 4 2 4 ... 2 43

b

n n n

a

hf x x y y y y y y y

0 1 2 3 44 2 43

hy y y y y

1

3 4 6 2 11 4 18 273

1

493

Kwadratury Gaussa

30

Kwadratury Gaussa

Rozpatrujemy funkcję f(x) ciągłą i ograniczoną w przedziale

domkniętym [a, b].

Pierwszy krok:

Sprowadzenie całki do postaci znormalizowanej: ( )d

b

a

f x x

1

1

( )dF

31

Kwadratury Gaussa

Normalizacja

Podstawienia:

2 2

b a b ax

d d

2

b ax

1 , 1x a x b

32

Kwadratury Gaussa

1 1

1 1

( )d d ( )d2 2 2

b

a

b a b a b af x x f F

Czyli:

( )2 2 2

b a b a b aF f

33

Kwadratury Gaussa

Przykład

Całkę sprowadzić do postaci znormalizowanej:

5

2

1

( 2)dx x

2 2

b a b ax

5 1 5 1

2 2x

3 2

d d2

b ax

5 1d d

2x

2d

34

Kwadratury Gaussa

5

2

1

( 2)dx x 1

2

1

3 2 2 2 d

1

2

1

8 24 22 d

2( ) 8 24 22F

35

Kwadratury Gaussa

Znormalizowaną funkcję podcałkową F() w przedziale

[–1, 1] przybliża się wielomianem stopnia 2n–1

2 2 1

0 1 2 2 1( ) ... n

nF a a a a

Następnie obliczamy wartość przybliżoną całki oznaczonej:

1

11

( )d ( )n

i i

i

F F w

i – odcięte tzw. punktów Gaussa, i[–1, 1]

wi – współczynniki nazywane wagami

n – ilość punktów Gaussa

36

Kwadratury Gaussa

n i wi

2 – 0.57735

0.57735

1.00000

1.00000

4

– 0.86113

– 0.33998

0.33998

0.86113

0.34785

0.65214

0.65214

0.34785

Wagi i odcięte punktów Gaussa dla różnych wartości n

37

Kwadratury Gaussa

Przykład

Obliczyć wartość całki oznaczonej z poprzednich przykładów

kwadraturami Gaussa dla n = 2.

Funkcja podcałkowa po normalizacji: 2( ) 8 24 22F

38

Kwadratury Gaussa

2

1 1 2 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )n

i i i i

i i

F w F w F w F w

2 2

1 1 1 2 2 28 24 22 8 24 22w w

2

2

8( 0.57735) 24( 0.57735) 22 1

8(0.57735) 24(0.57735) 22 1

49.33328

39

Kwadratury Gaussa

Przykład

Wyprowadzić kwadraturę Gaussa dla przypadku n = 2.

2 3

0 1 2 3( )F a a a a

Powyższą funkcję całkujemy w przedziale [–1, 1]:

1 1

2 3

0 1 2 3

1 1

( )d dF a a a a

1

2 3 4

0 1 2 3

1

1 1 1

2 3 4a a a a

0 2

22

3a a

40

Kwadratury Gaussa

1

1 1 2 2

1

( )d ( ) ( )F F w F w

2 3 2 3

0 1 1 2 1 3 1 1 0 1 2 2 2 3 2 2a a a a w a a a a w

2 2 3 3

0 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 32a a w w a w w a

41

Kwadratury Gaussa

Porównujemy współczynniki przy a0, a1, a2, a3

ze wzorów i 1 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

3 3

1 1 2 2

2

0

2

3

0

w w

w w

w w

w w

skąd: 1 2 1 21 1 0.57735 0.57735w w

CAŁKOWANIE - Home - Instytut Mechaniki i Inżynierii ... · 22 Metoda trapezów Przykład...

Documents

Transcript of CAŁKOWANIE - Home - Instytut Mechaniki i Inżynierii ... · 22 Metoda trapezów Przykład...