平成29年度講義予定

1. (10/ 4) 伝熱の応用と伝熱機器2. (10/11) 輻射伝熱3. (10/18) 相変化を伴う伝熱4. (10/25) 沸騰伝熱5. (11/ 8) 流動沸騰6. (11/15) 凝縮を伴う伝熱7. (11/22) 熱交換器の基礎8. (11/27(月))[水曜日課] 物質伝達9. (12/ 6) 蒸気タービン・ガスタービン複合発電10.(12/13) 冷凍・空調・コジェネレーション11.(12/20) 定期試験

輻射伝熱の基礎

輻射の物理メカニズム

電磁波によるエネルギー伝播のうち、温度差に基づいて生じる熱移動。

真空中でも熱移動できる

電磁波のスペクトル

振動数

波長

光速

:)(),(:

])/[10998.2(: 8

mcmsmc

c

)(10)(1)(10)(1

)(10)(10)(1

6

9

108

mmmnm

mcm

Å

輻射の放射機構 光の性質

熱ふく射は不連続な量子の形で伝播し、それぞれ、大きさEのエネルギをもつ。

hE )(10625.6 34 sJh プランク(Planck)の定数:

hhc

hcchmc

chm

hmcE

2

2

2

運動量

)( c

ステファン・ボルツマン法則の導出

振動子が持つ平均エネルギー(花村、伝熱、2009年10月号、pp.32-37)

振動子の吸収とエネルギー準位

空洞内の振動子間でのエネルギー収支と放射

４つの最小エネルギーが３つの振動子に配分される組み合わせ

無数の振動子と無数の最小エネルギーについて考えると、一つの振動子がエネルギー ε を持つ確率は、 kTe

!1!

!1

NPNPW

温度 T における平均エネルギーの導出

!1!!1ln)ln(

NPNPkWkS

NP

PN

NPNPkS ln

NNPPNPPNk lnlnln

N

NPN

NP

NPN

NPkN lnln1ln1

NP

PENE

T

T

ln1ln1kNS

TNS

ES

VVt

1

ln1ln11 k

NS

T V

1ln1

k

T

1/exp kT

有限個のP個のエネルギー粒子をN個の振動子間に分配する組み合わせは、

であるから、エントロピー:S は、

PもNも十分に大きいと考え、Stirlingの公式を用いると

ここで

であるから

ETを内部エネルギーとすると以下の熱力学の関係式が成り立つことから

エントロピーの式を上式に代入すると

エネルギーが ε である確率からの導出

T

kTe

1kT

kT

e1367.0

エネルギーが である確率 kTe

kTe

1

温度Tにおける平均エネルギー； は, とすると, nh

ボルツマン分布則より

温度 T における平均エネルギー：

n

kTh

n

kThn

n

kT

n

kTn

e

enh

e

e

n

n

)(

1

kTh

e

h

ここで、1

11

3232

32

0

0

xxxx

xxx

n

nxn

nx

eeeeeee

e

ne

（証明） )32()1( 32 xxxx eeee xx eee 20 32

xxx eee 32 32 xxx eee 321

xxx

xxx

x eeeeee

e 3232

132

11

温度 T における平均エネルギー：

1

1

kTh

e において、 1kT

hとすると,

kTh

kTh

kTh

kThe kT

h

11

32

であるから,

kT

kThh

e

h

kTh

111

すなわち, 温度Tにおける平均エネルギーは, kTとなる.

数密度エネルギー密度

レーリー・ジーンズの式が以下で与えられることより

平均エネルギー を有する振動子の数密度エネルギー密度 )(U は,

kTdndckTdvU )(8)( 23

この式に

kTe

h

kThv

1

を代入することによって

de

hc

dUkth

23

1

8)(

de

ch

kTh

1

183

3

)(vU

)(mmv0

23

8)( c

vn

輻射エネルギー密度（射出能）

単位体積・単位波長当たりの輻射エネルギー密度 を

12

)(52

e kThchc

E ボルツマン定数: )(1038049.1 23 KmoleculeJk

dcd

2

と定義すると

dEdE )()( より、以下の が導かれる

)(E

プランクの法則

)(4

)( UcE

ならびに

c であるから

プランクの法則の計算結果 ステファン・ボルツマンの法則の導出

輻射の全エネルギーは,

0

)( dvUE

0 5

2

1

12

de

c

kThc

ここで,z

kThc

とおくと, dzhckTdz

hckT 2,1

より

0

2

5

2

112 dz

hckT

ehcE z

152

12

)1(2

)1(12

4

32

44

0

3

32

44

0

33

0 3

hcTkcdz

ez

hcTkc

dze

zhckTkTc

dze

kTc

z

z

z

ステファン・ボルツマンの法則の導出

151

4

0

3

dze

zz

ここで,積分公式より

(定数)

を用いている。

432

45

152 T

hckE

いま,)/(1067.5

152 428

32

45

KmWhck

（ステファン・ボルツマン定数）とおくと

4TE （ステファン・ボルツマンの法則）

ステファン・ボルツマンの法則の導出のまとめ

T

kTe

1kT

kT

e1367.0

エネルギーがである確率 kTe

kTe

1

4TE （ステファン・ボルツマンの法則）

ステファン・ボルツマンの法則を用いた伝熱評価

ステファン—ボルツマンの法則（Stephan-Boltzman’s law）

)/(1088.4)/(1067.5

428

428

KhmkcalKmW

ステファン-ボルツマン係数:

単位体積・単位波長当たりの輻射エネルギー密度

全ての波長にわたって積分

輻射される全エネルギー

TEb 4

ステファン—ボルツマンの法則を用いた輻射伝熱の評価

高温物体から低温物体への輻射

4241 TTAq

全射出率と単色射出率の関係

全射出率：

EE

b

0 dE Eb

単色射出率： TEE dbb4

0

より

TE d

EE b

b4

0

灰色体にたいしては、

)(6.5215)(6.2897max

RmKmT

ウイーンの変位則

輻射の性質

vitytransmissi

tyabsorptivityreflectivi

透過率

吸収率

反射率

:::

1

キルヒホッフ(Kirchhoff)の法則

AqEA i

bE

Eとなる。上の２式を辺々割り算することによって、以下の式が得られる

bEE

1AqAE ib

黒体閉曲面内にある試料が熱平衡状態にあるとすると、試料からの熱放射と周囲からの熱の流入は等しい。すなわち

一方、もしも試料を黒体とすると、吸収率は１であるから、熱放射と周囲からの熱の流入は

いま、物体の射出率(emissivity)は以下により定義されるから:

これを、キルヒホッフ(Kirchhoff)の法則と呼ぶ

より が成立する。

A : 試料表面積α: 試料の吸収率

ここで

4241G TTAEq ：形態係数（View Factor）GE：輻射率

41G21 ATEq

1T 2T

二平板間の熱輻射

)/(1088.4

)/(10669.5428

428

Khmkcal

KmW

ステファン-ボルツマン係数：

42G12 ATEq

形態係数と輻射率を等しいとすると、面１から面２への輻射エネルギーは、

形態係数

正味のエネルギー収支

面１を発して面２に達するエネルギー： FAEb 1211面２を発して面１に達するエネルギー： FAEb 2122より、正味のエネルギー収支は、

QFAEFAE bb 2121221211

いま、もし２面とも同一温度の場合を考えると、熱移動はありえないから、

EEQ bb 2121 0 およびよって、 FAFA 212121

従って、正味のエネルギー収支は、

EEFAEEFAQ bbbb 212122112121

輻射能と輻射強度の関係

輻射強度: Ib

「ある特定の方向への単位射影面積、単位立体角当たり射出される輻射エネルギー」

A1

Ad 1

法線

1

11cosAd

r dA1を発して角度φ1に向うエネルギー： 11 cosdAIb

面Anの微小部分dAnに到達する輻射エネルギー：

211 cos rdAdAI nb

面Anの微小部分dAnに到達する輻射エネルギー：

211 cos rdAdAI nb

ここで、球座標系を考えると

drdrdAn sin

形態係数の計算例(1)球座標系における射出能と輻射強度の関係

2

0

2

011cossin dddAIdAE bb

形態係数の計算例(1) 続き球座標系における射出能と輻射強度の関係

11

2/

0

2/

01

2

0

2/

01

2

0

2/

011

221

22cos

22sin

cossin

dAIdAI

ddAI

dddAI

dddAIdAE

bb

b

b

bb

bb IE 従って

dr sin

sinrndA

rd

d

rd

dr sin

sinrndA

rd

d

rd

rddrdA sin1 いま

であるから

b

bEI または

22cos dAdAn

2 212112 2211121 coscoscoscos

rdAdAE

rdAdAEdq bb

212

12212 coscos rdAdAEdq b

A A rdAdAEEq bbnet

2 12

21212121

coscos

面１を発して面２に達するエネルギー：

面２を発して面１に達するエネルギー：

よって、正味のエネルギー収支は、

FAFA 212121

A1,A2の形状が分かれば積分可能

形態係数の計算例(2)２面間のエネルギー収支

形態係数の計算例(3)同心軸上の熱輻射

21221

cos2122

xR

RxRr

および

212

11

2

2cos

2

221 r

xdxdAFdA

xdxdA

AAdA

22

2

1

2

2

22

2

1

2

022

2

1

22

2

2/122

2

11

4

)2/(

)(2

)(221

DRDdA

RR

DRRdA

xRRdA

dxxR

xxR

RdAFdA

D

AAdA

22

2

421 DRDF AdA

1dA

Dx

RxRr 22

1

2

dA2

輻射熱伝達率

TThq wA 対流対流 TThq rr A 21 ふく射

TThh wrc Aq 1

111

111

2211

2122

21

212211

42

41

1

AATTTTh

TThAATT

A

r

rq

無限同心円筒２面間の輻射熱伝達率：

ガス輻射 他

ガス輻射

気体は輻射を透過する場合が多いdxIadI

xI

I dxaIdIx

00

xax eII

0

単色透過率：

ビアの法則(Beer’s law)

xae

ガスに反射性がなければ、1

であるから、吸収率は、xae

1

炎における放射伝熱の基礎式

31

31

3

31

3

3

62.0

239.0

43

34

f

f

f

f

V

VL

VL

LV

]/1[8.0~6.0 ma 　　

]/[1067.5]/[

428

24

KmWmWTEb

　　

　　

ステファン‐ボルツマンの法則：

]/[ 24 mWTE 　　炎からの放射エネルギー： ][4 WTAE fff 　

炎における放射係数： )exp(1 aLf

3/162.0 fVL ≒　ここで

の場合、放射係数は であり、

炎は同一温度の黒体とほぼ同量の放射エネルギーを放出しているとみなせる

][5 mL 　 1f

（参考）太陽輻射

• 太陽輻射の強度は大気状態、季節、日光の地球表面への入射角度などの影響を強く受ける。

• 地球と太陽の距離が平均値にあるときの日光の全入射量＝1395(W/m2) ： 太陽定数

• 太陽輻射と等価の輻射エネルギーを放出する黒体面の温度は、ウイーンの変位則

• より、 )(57955.0

6.2897 KT

)(6.2897max KmT

太陽輻射のスペクトル

火力発電所の燃焼室と輻射伝熱実際の計算例

植田辰洋「ボイラおよび蒸気原動機」（協立出版）

ボイラの概要図(油だき水管ボイラ)

燃焼室の大きさと水冷炉壁構造燃焼室出口ガス温度

• Gf： 燃料消費量 [kg(Nm3)/h]

• Hl： 燃料の低発熱量 [kcal/kg(Nm3)]

• ηc： 燃焼効率

• Lt： 理論空気量 [Nm3/kg(Nm3)]

• μ： 空気比

• Vg： 燃焼ガス量 [Nm3/kg(Nm3)]

• ca,cg：空気及び燃焼ガスの定圧比熱 [kcal/Nm3℃]

• cf： 燃料の比熱 [kcal/Nm3℃]

• ta,tf： 燃料用空気および燃料の温度 [℃]

• tg0： 燃焼温度 [℃]

• tg： 燃焼室出口ガス温度 [℃]• QR： 炎から炉壁水管への放射伝熱量

0ggfgaaftffflfc tcGVtcGLtcGHG

ggfggfRaaftffflfc tcGVHGQtcGLtcGHG 炎から炉壁水管への放射伝熱量を考慮：

燃焼室の熱量バランス（炉壁断熱を仮定）：

炎と炉壁冷却面の間の伝熱量

cfcfcf FAFA

冷却面が黒体の場合 ：

4444 cfffcffcfcfccfR TTATTFAqqQ 冷却面が灰色体の場合：

4444 cffcfcfcfcR TTFATTFAQ

1111

1111

cc

f

ffc

cf

c

fcf

AA

F

AA

F

1c

炎と炉壁冷却面の間の伝熱量

44 cfcfcR TTFAQ 　

rcffT

f

cr

T

ffcf

ccfcf

FAA

AAAA

F

FF

1/

1

/1

1111

*

*

pc zplA

放射伝熱量の計算結果例

44111

cf

TT

f

f

fR TT

AA

AQ

scT f

Tc

AA

燃焼室熱発生率と出口ガス温度

蒸発量と許容熱発生率 燃焼室の分割

問題６-１

• 面積および温度がそれぞれA=0.05m2、T1=400Kの黒体面１から、単位時間に黒体面２に吸収されるエネルギーを計算しなさい。ただし、形態係数を、 とする。

41G21 ATEq

1.0EG

)Km/W(10669.5 428 ステファン-ボルツマン係数：

：輻射率（黒体の場合=1）

問題６-２（ふく射が温度測定に与える影響）

ガラス管の中に入った水銀温度計(輻射率ε=0.9)が金属でできた管内に釣り上げられて、20℃の温度を示している。管内壁は断熱が悪く5℃である。温度計の熱伝達率hの値は8.3W/㎡・Kとみなす。このとき真の室温はいくらか。ただし、ステファン－ボルツマン係数を、以下とする。

気流

Th , T tT s

)Km/W(10669.5 428

回答の方針６-２

TTTT stt AhA 44 Tt=20℃=293K,Ts=5℃=278Kの数値を代入すると

℃6.286.301

9.0669.52933.8 27829310 448

KT

T

ゆえに

本問のような簡単な例でも、温度計の誤差は8.6℃もあることになる。

問題６-３

• 図の写真のように開いた左手に，同様に開いた右手を，触れないよう近づけると，左手はどのように感じるか．またそれはなぜか．

問題６-４

• アルミフォイルの菓子袋に手を入れる，(下図)と瞬時に温かく感じるのはなぜか．

問題６-５

• 暗闇で金属などを加熱した場合，低温では赤熱しないが，温度上昇とともに，暗赤色→明赤色→黄色と色変化するのはなぜか．

問題６-６

• 太陽の表面温度は約5,800 Kである．それを黒体と考えた場合，最大単色放射能の波長はいくらか．また，36 ℃の人の体温ではどうか．

• ヒント ウィーンの変位則• 単色放射能の最大値を与える波長は下式のようになる

　・　 KmT 6.2897max

問題６-７

• 太陽エネルギー(1 kW/m2)が黒体面の屋根(4 m×8 m)に降り注いでいるものとする（下図）．屋根温度が80 ℃の時正味として，屋根が受け取るエネルギー量はいくらか．ここで，対流による放熱が無視できるものとする．