Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 59 Politechniki Wrocławskiej Nr 59

Studia i Materiały Nr 26 2006

Układy logarytmujące i wykładnicze, układy funkcyjne

Zdzisław NAWROCKIF

*F

ANALIZA METROLOGICZNA UKŁADÓW LOGARYTMUJĄCYCH I WYKŁADNICZYCH

W pracy wykazano wpływ wejściowego napięcia niezrównoważenia i prądów polaryzacji wzmacniacza operacyjnego oraz wahań temperatury złącza pn i rezystora na parametry układu loga-rytmującego.

1. WSTĘP

Układy logarytmujące i wykładnicze umożliwiają realizację złożonych operacji nieliniowych . Układy te są wykorzystywane do budowy układów mnożących , dzie-lących potęgujących pierwiastkujących itp. Dokładność operacji matematycznych wyżej wymienionych układów determinują błędy układów logarytmujących i wykład-niczych.

2. ZASADA DZIAŁANIA UKŁADÓW LOGARYTMUJĄCYCH I WYKŁADNICZYCH

Działanie tych układów jest oparte na zależnościach opisujących złącze tranzystora bipolarnego. Zgodnie z wyidealizowanym równaniem podanym przez Ebersa i Molla opisującym złącze pn tranzystora bipolarnego, prąd kolektora jest wyrażony zależno-ścią (1)

)1()1( −−−=

−

qkT

u

csq

kTu

ESFc

CBBE

eIeIi α (1)

gdzie: αF – wzmocnienie prądowe tranzystora w układzie OB, IES, ICS – zwrotne (wsteczne) prądy nasycenia złącz odpowiednio emiterowe-

go i kolektorowego, uBE, uCB – napięcia na złączach odpowiednio BE i CB,

__________ * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-372 Wrocław ul. Smoluchowskiego 19, HUZdzisław.Nawrocki@pwr.wroc.plUH.

q – ładunek elektryczny 1 eV, k – stała Baltzmanna 8,62·10-5 eV/K, T – temperatura złącza w K.

uCB

iC C

B

E

uBE

Rys. 1. Prąd kolektora iC oraz napięcia uCB i uBE na złączach tranzystora npn Fig. 1. Collector current iC as well as uCB and uBE voltages on transistor junction npn

Jeżeli praca tranzystora zostanie tak zaprogramowana, że kolektor i baza będą mia-ły ten sam potencjał czyli uCB = 0, to powyższe równanie ma postać

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−= 11 T

BE

BE

Uu

Sq

kTu

SC eIeIi (2)

gdzie: IS – zwrotny (wsteczny) prąd nasycenia tranzystora (przyjmuje się, że dla tranzystora krzemowego wynosi 0,1 nA, a dla germanowego 0,1μA, UT – potencjał elektrotermiczny, w temperaturze złącza 300K, UT = 26mV. Charakterystykę złącza pn dla UT > 100mVz wystarczającą dokładnością opisuje

zależność

S

CBE I

iln

qkTu = (3)

Zależność ta wskazuje, że tranzystor (złącze pn) może być wykorzystane do pro-wadzenia operacji logarytmowania i odwrotnej operacji, wykładniczej.

Układy realizujące operacje logarytmowania i wykładniczą pokazano na rysunku 2.

Rys. 2. Układy realizujące operację a) logarytmowania, b) wykładniczą Fig. 2. Realization of operations a) logarithmic, b) exponential

Układy są opisane odpowiednio zależnościami Układ logarytmujący Układ realizujący operacje wykładniczą

T

BESC

S

CTBE U

uexpIi,

Ii

lnUu ⋅==

weBECwyBEcwe Uu,iI,Uu,iI

, (4)

w układach zachodzą zależności

= === . (5)

Po podstawieniu tych relacji do powyższych wzorów otrzymano wyrażenia

T

weSwy

S

weTwy U

UexpRIU,

RIU

lnUU == , (6)

które wskazują, że analizowane układy realizują operacje logarytmowania i wykładni-czą.

3. BŁĘDY POWODOWANE PRZEZ ELEMENTY UKŁADÓW

Omówione układy, w przedstawionej postaci nie znajdują zastosowania do prze-prowadzenia operacji logarytmowania lub wykładniczej, z powodu dużych błędów powodowanych przez wielkości UT i IS, które w znaczący sposób zależą od temperatu-ry.

Błędy te minimalizuje się stosując odpowiednie rozwiązania układowe (pary tran-zystorów o identycznych parametrach), które prowadzą do skrócenia wyrazów: − UT i IS, (dobre rozwiązanie), − IS, natomiast UT należy skompensować (gorsze rozwiązanie) − Błędy układów logarytmujących i delogarytmujących zależą również od:

− wartości wejściowego napięcia niezrównoważenia Vos wzmacniaczy operacyj-nych,

− wartości prądów IB1,IB2 polaryzujących wzmacniaczy operacyjnych, − symetrii parametrów zastosowanych tranzystorów, − rozproszonych rezystancji ree emiterów tranzystorów (dla dużych wartości

prądów iC). Z postulatów minimalizacji błędów układów logarytmujących i realizujących funk-

cję wykładniczą wynikają następujące wymagania stawiane tranzystorom , wzmacnia-czom operacyjnym i rezystorom.

3.1 BŁĘDY POWODOWANE PRZEZ ZŁĄCZE pn

Napięcie na złączu pn jest określone zależnością

S

cBE I

iln

qkTu = , (7)

która wskazuje, że temperatura T oddziaływuje na napięcie na złączu bezpośrednio oraz pośrednio przez wsteczny prąd nasycenia IS.

Zmiany napięcia na złączu pn pod wpływem zmian temperatury określono z róż-niczki zupełnej

SS

BEBEBE I

IuT

Tuu ΔΔΔ

∂∂

+∂∂

= . (8)

Po wyznaczeniu pochodnych cząstkowych uzyskano

TI

Iq

kTT

uT

u

S

SBEBE

ΔΔ

ΔΔ

−= . (9)

Uwzględniając relację [ 1 ]

2go

S

S

kTE

T3

TII

+=ΔΔ , (10)

gdzie: Ego – bariera potencjału, otrzymano

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

ΔΔ

qTE

qk

Tu

Tu goBEBE 3 . (11)

Dla złącza pn wykonanego z krzemu Ego/q = 1,11 V. Wprowadzając tę zależność do powyższego wzoru, w którym wyróżniono dwa wyrażenia otrzymano

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−=+= −

T11,11026,0

Tu

T)I(u

TTu

Tu 3BESBEBEBE

ΔΔ

ΔΔ

ΔΔ . (12)

Dla temperatury pokojowej T=293K i napięcia uBE =0,542V, ΔuBE/ΔT≈ -2,2·10-3 V/K.

Temperaturowy współczynnik napięcia złącza pn spowodowany bezpośrednio zmianą temperatury wynosi

K%33,0103300T1

TUU

Tuu

Tu)T(u 6

T

T

BE

BE

BE

BE +=⋅==⋅

== −

ΔΔ

ΔΔ

, (13)

natomiast pośrednio przez zmianę wstecznego prądu nasycenia

( )

K%3

BEBE

3

S

S

BEBE

SBE

73,0T21048,0

Tu11,1

u1026,0

TII

qukT

TuIu

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−≈

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅−=−=

−

−

ΔΔ

ΔΔ

. (14)

Wypadkowa wartość temperaturowego współczynnika napięcia jest równa

K%40,0Tu

)I(uTu

)T(uTu

u

BE

SBE

BE

BE

BE

BE −=+=Δ

ΔΔ

ΔΔ

Δ . (15)

W układach mnożąco-dzielących, potęgujących i pierwiastkujących są wykonywa-ne operacje logarytmowania i wykładnicze, na monolitycznych parach tranzystorów, których temperaturowy współczynnik napięcia wynosi 80 ppm/K=0,008 %/K [ 2,3 ]. W układach tych w znaczącym stopniu kompensują się zmiany napięcia, spowodowa-ne bezpośrednio zmianami temperatury złącza oraz pośrednio wywołane zmianami wstecznego prądu nasycenia.

Tak dobrej sytuacji nie ma w układach, które wykonują tylko operacje logarytmo-wania lub wykładnicze. W układach tych kompensują się zmiany temperaturowe napięcia wywołane wstecznymi prądami nasycenia, natomiast zmiany napięcia wywo-łane bezpośrednio zmianami temperatury koryguje się za pomocą układów z termisto-rami.

Względny błąd przetwarzania układu logarytmującego spowodowany zmianami temperatury złącza pn określony przez temperaturowy współczynnik napięcia podaje zależność

uBE

BE

BEP

BEPBEBE T

Tuu

uuuP Δ

ΔΔ

δ ⋅=−

= , (16)

gdzie : uBE - napięcie baza-emiter tranzystora,

uBEP - napięcie baza-emiter tranzystora idealnego, ΔTu - zmiana temperatury na złączu baza-emiter.

3.2. BŁĘDY POWODOWANE PRZEZ WZMACNIACZE OPERACYJNE

Niewłaściwie dobrane wzmacniacze operacyjne w omawianych układach mogą być źródłem znacznych błędów. Błędy powodowane przez wejściowe napięcie nie-zrównoważenia Vos prąd polaryzacji IB1 wzmacniacza operacyjnego ilustruje rys. 3

V0S

IBII

-

+UWE UWY

R

IBI

iC = IWE - IBI

RVUI SWE

WE0−

=

Rys. 3. Ilustracja wpływu wejściowego napięcia niezrównoważenia Vos i prądu polaryzacji IBI na błędy układu

Fig. 3. Effect of input offset voltage Vos and polarization current IBI to system errors

Zwrot napięcia Vos przyjęto tak, że błędy spowodowane napięciem Vos i prądem IBI dodają się, przyjmując maksymalną wartość.

Prąd płynący przez kolektor tranzystora określa zależność

BIoswe

BIwec IR

VUIIi −

−=−= . (17)

Gdy wzmacniacz jest idealny to przez kolektor tranzystora płynie prąd

R

Ui wecp = . (18)

Względna różnica prądów płynących przez kolektor

we

BIos

cp

cpcc U

RIVi

iiI +

−=−

=δ . (19)

Błąd układu logarytmującego określa zależność

wyp

wypwyW U

UUP

−=δ , (20)

gdzie: Uwy – napięcie wyjściowe układu rzeczywistego, Uwyp – napięcie wyjściowe układu idealnego. Powyższy wzór po wprowadzeniu zależności (4), (6), (17) i (18) przyjmuje postać

S

we

we

BI

we

os

S

cpT

S

cpT

S

cT

w

RIUln

URI

UV1ln

Ii

lnU

Ii

lnUIilnU

P⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=−

=δ (21)

i określa błąd przetwarzania spowodowany wejściowym napięciem niezrównoważenia i prądem polaryzacji wzmacniacza operacyjnego. We wzorze tym można uwzględnić zmiany tych wielkości w funkcji temperatury.

3.3. BŁĘDY WPROWADZANE PRZEZ REZYSTORY

Rezystor R przetwarza napięcie wejściowe Uwe na Iwe = ic. Temperaturowy współ-czynnik rezystancji rezystora (TWR) rzutuje na błąd przetwarzania układu logarytmu-jącego, zgodnie ze wzorem (20) i zależnościami (17), (18)

( )

S

we

RR

RIUln

TTWR1lnP Δδ ⋅−= , (22)

gdzie: ΔTR – zmiany temperatury rezystora, przy czym temperaturowy współczynnik rezystancji rezystora jest definiowany

TR

RTWRΔΔ

= . (23)

4. WNIOSKI

Wykazano, że błędy układu logarytmującego pokazanego na rys. 2. zależą od: − zmian temperatury złącza pn, − zmian temperatury rezystora przez który płynie prąd równy prądowi

kolektora, − wejściowego napięcia niezrównoważenia i prądów polaryzacji wzmacniaczy ope-

racyjnych. Z wyprowadzonych zależności wynika, że przy odpowiednim doborze wzmacnia-

cza operacyjnego i rezystorów, znaczący wpływ na błędy układu logarytmującego mają zmiany napięcia na złączu baza-emiter spowodowane zmianami temperatury. Jak zasygnalizowano błędy te można zmniejszyć z wartości K%40,0− do wartości

K%008,0± [2,3], a zatem o trzy rzędy, gdy zostaną zastosowane do prowadzenia operacji matematycznych monolityczne pary tranzystorów w układach, w których skompensują się zmiany napięcia baza-emiter spowodowane bezpośrednio zmianami temperatury złącza oraz pośrednio wywołane zmianami wstecznego prądu nasycenia.

W układach realizujących tylko operacje logarytmowania lub wykładnicze, kom-pensują się tylko zmiany napięcia wywołane zmianami wstecznych prądów nasycenia, natomiast zmiany napięcia wywołane bezpośrednio zmianami temperatury wynoszące +0,33%/K koryguje się za pomocą termistorów lub buduje się termostaty elektronicz-ne, które stabilizują temperaturę złącza pn.

Analogiczne rozważania można prowadzić dla układów realizujących funkcje wy-kładnicze.

Układy logarytmujące i wykładnicze umożliwiają budowę układów mnożących, mnożąco-dzielących i wielofunkcyjnych układów operacyjnych o błędzie podstawo-wym 0,2% oraz układów logarytmujących i wykładniczych o błędzie podstawowym 0,3%.

LITERATURA

[1] GRAEME J.G, TOBEY G.E. HUELSMAN L. P. , Operational amplifiers, design and application, McGraw-Hill, New York , 1971.

[2] SCHEINGOLD D. H., Nonlinear circuits hand book, Analog Devices, Massachusetts, 1976. [3] WONG Y. J. OTT W. E., Function circuits, McGraw-Hill, New York, 1976.

METROLOGICAL ANALYSIS OF LOGARITHMIC AND EXPONENTIAL CIRCUITS

The paper presents the impact operational amplifier input offset voltage and input bias current as well as pn junction temperature fluctuations and resistor on logarithm circuit parameters.