Analiza matematyczna semestr I - 2011/12 Prof. dr hab. Janina Kotus

Analiza matematyczna

semestr I - 2011/12

Prof. dr hab. Janina Kotus

Analiza Matematyczna - I semestr

Zakres materialu:

Ci ↪agi liczbowe, wlasnosci i dzialania.

Funkcje jednej zmiennej: granica, ci ↪aglosc, jednostajnaci ↪aglosc. Wlasnosci funkcji ci ↪aglych i jednostajnie ci ↪aglych.

Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej.

Rachunek calkowy funkcji jednej zmiennej.

Zakres materialu:

Literatura

Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Definicje, twierdzenia, wzory.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’

Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Przyklady i zadania.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’

Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas,Analiza matematyczna 1: Kolokwia i egzaminy.Seria ’Matematyka dla studentow politechnik.’

Franciszek Leja, Rachunek rozniczkowy i calkowy. PWN

Literatura

Oznaczenia

Dzialania na zbiorach Niech A, B- zbiory

- A ∪ B - suma zbiorow

- A ∩ B - iloczyn zbiorow

- A ∖ B -roznica zbiorow

Zbiory liczbowe

- ℕ - zbior liczb naturalnych tzn. ℕ = {1, 2, 3, . . .}- ℤ - zbior liczb calkowitych tzn.ℤ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

- ℚ - zbior liczb wymiernych

- ℝ - zbior liczb rzeczywistych

- ℂ - zbior liczb zespolonych

Oznaczenia

Dzialania na zbiorach Niech A, B- zbiory

- A ∪ B - suma zbiorow

- A ∩ B - iloczyn zbiorow

- A ∖ B -roznica zbiorow

Zbiory liczbowe

- ℕ - zbior liczb naturalnych tzn. ℕ = {1, 2, 3, . . .}- ℤ - zbior liczb calkowitych tzn.ℤ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

- ℚ - zbior liczb wymiernych

- ℝ - zbior liczb rzeczywistych

- ℂ - zbior liczb zespolonych

Oznaczenia

Kwantyfikatory

- ∀ - ’dla kazdego’- kwantyfikator ogolny(szkolne oznaczenie -

- ∃ - ’istnieje’- kwantyfikator szczegolny(szkolne oznaczenie -

- ∃! - ’istnieje jedyny’ - ’istnieje dokladnie jeden’

Iloczyn kartezjanski Iloczyn kartezjanski zbiorow A i Bnazywamy A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Oznaczenia

Kwantyfikatory

Oznaczenia

Kwantyfikatory

Oznaczenia

Kwantyfikatory

Aksjomaty dzialan w zbiorze liczb rzeczywistych

W zbiorze ℝ definiujemy dzialania ’+’ i ’⋅’, ktore spelniaj ↪anast ↪epuj ↪ace warunki zwane aksjomatami liczb rzeczywistych:

1. ∀ x , y , z ∈ ℝ x + (y + z) = (x + y) + z - ’l ↪acznoscdodawania’

2. ∀ x , y ∈ ℝ x + y = y + x -’przemiennosc dodawania’

3. ∃ 0 ∀ x ∈ ℝ x + 0 = 0 + x = x , 0-element neutralnydodawania

4. ∀ x ∈ ℝ ∃ − x ∈ ℝ x + (−x) = x + (−x) = 0, −x-element przeciwny

5. ∀ x , y , z ∈ ℝ x ⋅ (y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z - ’l ↪acznosc mnozenia’

6. ∀ x , y ∈ ℝ x ⋅ y = y ⋅ x -’przemiennosc mnozenia’

7. ∃ 1 ∀ x ∈ ℝ x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x , 1-element neutralnymnozenia

8. ∀ x ∈ ℝ ∖ {0} ∃ x−1 ∈ ℝ x ⋅ x−1 = x−1 ⋅ x = 1,x−1-element odwrotny

9. ∀ x , y , z ∈ ℝ x(y + z) = xy + xz - ’rodzielnosc mnozeniawzgl ↪edem dodawania’

Porzadek w zbiorze liczb rzeczywistych

Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.

Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’

1 ∀x ∈ ℝ x ≤ x -zwrotnosc

2 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z -przechodniosc

3 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∨ y ≤ x -spojnosc

4 ∀x , y ∈ ℝ x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y -antysymetria

5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z

6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

Zawsze o dwoch roznych liczbach rzeczywistych mozemypowiedziec, ktora z nich jest wi ↪eksza.Aksjomaty ’porz ↪adku liniowego’

5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z

6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z

6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z

6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z

6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z

6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

5 ∀x , y , z ∈ ℝ x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z

6 ∀x , y ∈ ℝ 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ xy

Wartosc bewzgledna

Definicja

Wartosc bewzgl ↪edna (modul) liczby x ∈ ℝ definiujemynast ↪epuj ↪aco:

∣x ∣ :=

{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.

Dla dowolnych x , y ∈ ℝ, 0 ≤ y mamy:

1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y

3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y

4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣

Wartosc bewzgledna

Definicja

∣x ∣ :=

{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.

1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣

2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y

3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y

4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣

Wartosc bewzgledna

Definicja

∣x ∣ :=

{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.

1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y

3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y

4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣

Wartosc bewzgledna

Definicja

∣x ∣ :=

{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.

1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y

3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y

4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣

Wartosc bewzgledna

Definicja

∣x ∣ :=

{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.

1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y

3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y

4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣

5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣

Wartosc bewzgledna

Definicja

∣x ∣ :=

{x dla x ≥ 0,−x dla x < 0.

1 −∣x ∣ ≤ x ≤ ∣x ∣2 ∣x ∣ ≤ y ⇐⇒ −y ≤ x ≤ y

3 ∣x ∣ ≥ y ⇐⇒ x ≤ −y ∨ x ≥ y

4 ∀ x , y ∈ ℝ ∣x + y ∣ ≤ ∣x ∣+ ∣y ∣5 ∀ x , y ∈ ℝ ∣∣x ∣ − ∣y ∣∣ ≤ ∣x − y ∣

Przedzialy

otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}

domkni ↪ety [a, b] =< a, b >= {x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b}

(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}

Przedzialy

otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}

(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}

Przedzialy

otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}

(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}

Przedzialy

otwarty (a, b) = {x ∈ ℝ : a < x < b}

(a, b] = {x ∈ ℝ : a < x ≤ b}, (−∞, b] = {x ∈ ℝ : x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ ℝ : a ≤ x < b}, [a,+∞) = {x ∈ ℝ : x ≥ a}

Zbiory ograniczone

Definicja

Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z gory, jesli

∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X x ≤ M.

Liczb ↪e M nazywamy ograniczeniem gornym zbioru X .

Przyklad

X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

Liczba M =√

2 jest ograniczeniem gornym zbioru X , M /∈ X .

Zbiory ograniczone

Definicja

Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z gory, jesli

∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X x ≤ M.

Liczb ↪e M nazywamy ograniczeniem gornym zbioru X .

Przyklad

X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

Liczba M =√

2 jest ograniczeniem gornym zbioru X , M /∈ X .

Zbiory ograniczone

Definicja

Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z dolu, jesli

∃m ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x .

Liczb ↪e m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X .

Przyklad

X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

Liczba m = −√

2 jest ograniczeniem dolnym zbioru X , m /∈ X .

Zbiory ograniczone

Definicja

Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym z dolu, jesli

∃m ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x .

Liczb ↪e m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X .

Przyklad

X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

Liczba m = −√

2 jest ograniczeniem dolnym zbioru X , m /∈ X .

Zbiory ograniczone

Definicja

Zbior X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, nazywamy ograniczonym, jesli

∃m ∈ ℝ, ∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x ≤ M.

Twierdzenie

Niepusty zbior X ⊂ ℝ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

∃ 0 ≤ P < +∞ ∀x ∈ X ∣x ∣ ≤ P.

Twierdzenie

Suma, roznica, iloczyn zbiorow ograniczonych (zawartych w ℝ)jest zbiorem ograniczonym.

Zbiory ograniczone

Definicja

∃m ∈ ℝ, ∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x ≤ M.

Twierdzenie

∃ 0 ≤ P < +∞ ∀x ∈ X ∣x ∣ ≤ P.

Twierdzenie

Zbiory ograniczone

Definicja

∃m ∈ ℝ, ∃M ∈ ℝ ∀ x ∈ X m ≤ x ≤ M.

Twierdzenie

∃ 0 ≤ P < +∞ ∀x ∈ X ∣x ∣ ≤ P.

Twierdzenie

Kresy zbiorow

Definicja

Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresgorny (’supremum’), ktory oznaczamy przez sup X .

1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z gory, to przyjmujemy, ze� = sup X := +∞.

2) Jezeli zbior X jest ograniczony z gory, to liczb ↪e � nazywamykresem gornym zbioru X , jesli:

� jest ograniczeniem gornym zbioru X ,

dla kazdego ograniczenia gornego M zbioru X zachodzi� ≤ M.

Oznaczenie � = sup X (lacinskie ’supremum’ zbioru X )

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Aksjomat kresu gornego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z gory posiada kres gorny.

Przyklad

Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}Liczba � =

√2 jest kresem gornym zbioru X .

Kres gorny zbioru X jest najmniejszym ograniczeniem gornymzbioru X .

Jezeli � = sup X , to

- ∀x ∈ X , x ≤ �,

- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".

Kresy zbiorow

Przyklad

Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}Liczba � =

- ∀x ∈ X , x ≤ �,

- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".

Kresy zbiorow

Przyklad

Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}Liczba � =

- ∀x ∈ X , x ≤ �,

- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".

Kresy zbiorow

Przyklad

Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}Liczba � =

- ∀x ∈ X , x ≤ �,

- ∀" > 0 ∃x ∈ X x ≥ �− ".

Kresy zbiorow

Definicja

Dla dowolnego niepustego podzbioru X ⊂ ℝ definiujemy jego kresdolny (’infimum’), ktory oznaczamy przez inf X .

1) Jezeli zbior X NIE jest ograniczony z dolu, to przyjmujemy, ze� = inf X := −∞.

2) Jezeli zbior X jest ograniczony z dolu, to liczb ↪e � nazywamykresem dolnym zbioru X , jesli:

� jest ograniczeniem dolnym zbioru X ,

dla kazdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M ≤ �.

Oznaczenie: � = inf X (lacinskie ’infimum’ zbioru X )

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Definicja

Kresy zbiorow

Aksjomat kresu dolnego. Kazdy niepusty zbior X ⊂ ℝograniczony z dolu posiada kres dolny.

Przyklad

Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}.Liczba � = −

√2 jest kresesm dolnym zbioru X .

Kres dolny zbioru X jest najwi ↪ekszym ograniczeniem dolnymzbioru X .

Kresy zbiorow

Przyklad

Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}.Liczba � = −

Kresy zbiorow

Przyklad

Niech X = {x ∈ ℝ : x2 < 2} = {x ∈ ℝ : −√

2 < x <√

2}.Liczba � = −

Kresy zbiorow

Jezeli � = inf X , to

∀x ∈ X , � ≤ x,

∀" > 0 ∃x ∈ X x ≤ � + ".

Przyklad

1 X = (−∞, 1); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = 1 /∈ X .

2 X = [1, 2]; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = 2 ∈ X .

3 X = (−∞,+∞); kres dolny � = −∞ /∈ X , kres gorny� = +∞ /∈ X .

4 X = ℕ; kres dolny � = 1 ∈ X , kres gorny � = +∞ /∈ X .

Kresy zbiorow

∀x ∈ X , � ≤ x,

∀" > 0 ∃x ∈ X x ≤ � + ".

Przyklad

Kresy zbiorow

∀x ∈ X , � ≤ x,

∀" > 0 ∃x ∈ X x ≤ � + ".

Przyklad

Kresy zbiorow

Oznaczenia

Niech X ,Y ⊂ ℝ =⇒ X + Y := {x + y ; x ∈ X , y ∈ Y }

Twierdzenie

Niech X ,Y ⊂ ℝ b ↪ed ↪a zbiorami niepustymi. Wowczas

1 sup(X + Y ) = sup X + sup Y ,

2 inf(A + B) = inf X + inf Y ,

3 jesli X ≤ Y , to sup X ≤ inf Y ,

gdzie X ≤ Y oznacza, ze dla ∀x ∈ X ,∀y ∈ Y x ≤ y.

Kresy zbiorow

Oznaczenia

Twierdzenie

Kresy zbiorow

Oznaczenia

Twierdzenie

Kresy zbiorow

Oznaczenia

Twierdzenie

gdzie X ≤ Y oznacza, ze dla ∀x ∈ X , ∀y ∈ Y x ≤ y.

Kresy zbiorow

Oznaczenia

Niech X ⊂ ℝ, � ∈ ℝ =⇒ �X := {�x ; x ∈ X}.

Twierdzenie

Niech X ⊂ ℝ, X ∕= ∅, � ∈ ℝ. Wowczas

sup(�X ) =

{� sup X dla � ≥ 0� inf X dla � < 0.

inf(�X ) =

{� inf X dla � ≥ 0� sup X dla � < 0.

Zasada Archimedesa∀ x > 0 ∀ y ∈ ℝ ∃ n ∈ ℤ (n − 1)x ≤ y < nx .

Kresy zbiorow

Oznaczenia

Niech X ⊂ ℝ, � ∈ ℝ =⇒ �X := {�x ; x ∈ X}.

Twierdzenie

sup(�X ) =

{� sup X dla � ≥ 0� inf X dla � < 0.

inf(�X ) =

{� inf X dla � ≥ 0� sup X dla � < 0.

Kresy zbiorow

Oznaczenia

Niech X ⊂ ℝ, � ∈ ℝ =⇒ �X := {�x ; x ∈ X}.

Twierdzenie

sup(�X ) =

{� sup X dla � ≥ 0� inf X dla � < 0.

inf(�X ) =

{� inf X dla � ≥ 0� sup X dla � < 0.

Analiza matematyczna semestr I - 2011/12 Prof. dr hab. Janina Kotus

Documents

Transcript of Analiza matematyczna semestr I - 2011/12 Prof. dr hab. Janina Kotus