Analiza matematyczna, sem. 2

Zadanie 1. Niech A : Rn → R będzie funkcjonałem liniowym.(a) Wykazać, że istnieje dokładnie jeden y ∈ Rn, że Ax = 〈x, y〉, dla x ∈ Rn;(b) Wywnioskować z punktu (a), że przestrzeń funkcjonałów liniowych na Rn jest izomor-

ficzna Rn;(c) Pokazać, że izomorfizm ten jest również izometrią, tzn: ‖A‖ = ‖y‖.

Wskazówka. Skorzystać z nierówności Schwarza do oszacowania z góry normy ‖A‖.Następnie wykazać, że znak słabej nierówności można zastąpić równością.

Zadanie 2. Wyznaczyć równanie hiperpłaszczyzny stycznej i wektor normalny w punkciex0 do wykresu funkcji:

(1) f(x1, x2, x3) := x1 exp(−x22 + x23), x0 = (1, 1, 1).(2) g(x1, x2, x3) := x1 arc tg(x2

x3), x0 = (1, 1,−1).

Zadanie 3. Wykazać, że funkcja

f(x, y) = (1 + ey) cosx− yey

posiada nieskończenie wiele maksimów, lecz nie ma żadnego minimum.

Zadanie 4. Wykazać, że równanie

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+ y = 0

po zamianie zmiennych x(t) = et, u(t) = (y x)(t) przyjmuje postać

d2u

dt2+ u = 0.

Znaleźć rozwiązanie tego równania.

Zadanie 5. Wykazać, że równanie Laplace’a∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

po zamianie zmiennych x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sin θ jest postaci

∂2v

∂r2+

1

r2∂2v

∂θ2+

1

r

∂v

∂r= 0,

gdzie v(r, θ) = u(x(r, θ), y(r, θ)).

Zadanie 6. Niech f = (f1, f2) : R4 → R2 będzie zadana wzorem:

f1(x1, x2, y1, y2) = x21 − x2y1 + x1y22

f2(x1, x2, y1, y2) = x1 + x22 − 2y21 + y2

Wykazać, że istnieje otoczenie U punktu (−1, 0) oraz funkcje g1, g2 : U → R, takie że:• g1(−1, 0) = 1, g2(−1, 0) = −1;

1

• f(g1(y1, y2), g2(y1, y2), y1, y2) = 0 dla (y1, y2) ∈ U .

Policzyć pochodne∂gi∂yj

(−1, 0), i, j = 1, 2.

Zadanie 7. Niech F : R3 → R3 będzie zadane wzorem

F (x, y, z) := (xy + yz, x− y, x+ y + z).

Wykazać, ze F jest lokalnie odwracalne w punkcie x0 = (1, 1, 1). Wyznaczyć pochodną odw-zorowania odwrotnego w punkcie y0 = F (x0). Sprawdzić czy F jest globalnie odwracalne.

Zadanie 8. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie p = (−1, 2, 1) do powierzchniM zadanej równaniem

−3x3 − yz − z2 = 0.

Zadanie 9. Niech Ω ⊂ Rn będzie zbiorem otwartym i f : Ω → R będzie funkcją gładką.Załóżmy, że y0 jest wartością regularną funkcji f , tzn. Df(x) ma rząd równy 1 (pochodnajest niezerowa) dla wszystkich x ∈ f−1(y0). Wykazać, że jeśli x0 ∈ f−1(y0), to gradient∇f(x0) jest prostopadły do poziomicy f−1(y0). Zilustrować zadanie przykładem.Wskazówka: Rozpatrzyć krzywą różniczkowalną α : (−ε, ε) → f−1(y0) taką, że α(0) = x0oraz α′(0) = v. Następnie pokazać, że ∇f(x0)⊥v.

Zadanie 10. Obliczyć pochodne pierwszego i drugiego rzędu funkcji uwikłanej postaci z =

f(x, y) zadanej równaniami:

(1) x+ y + z = e−(x+y+z);(2) x

z= ln z

y+ 1.

Zadanie 11. Niech T : R2 → R3 będzie zadane wzorem:

T (ϕ, ψ) = ((2 + cosϕ) cosψ, (2 + cosϕ) sinψ, sinϕ).

(a) Opisać obraz odwzorowania T . Nazwijmy go K. Wskazówka: jest to pewnazamknięta powierzchnia w R3.

(b) Znaleźć te punkty p zbioru K (są cztery takie punkty) dla których ∇T1(T−1(p)) = 0.(c) Wykazać, że dwa punkty znalezione w (b) realizują maksimum i minimum lokalne

T1, a pozostałe dwa nie realizują ani maksimum ani minimum lokalnego funkcji T1(pomimo tego, że gradient T1 się zeruje na przeciwobrazie tych punktów);

(d) Opisać zbiór p ∈ K : ∇T3(T−1(p)) = 0.

Zadanie 12. Niech f : Rn ⊃ Ω→ R będzie funkcją klasy C2. Jeżeli ∇f(x0) = 0, to x0 nazy-wamy punktem krytycznym funkcji f . Punkt krytyczny x0 nazywamy niezdegenerowanym,jeśli hessian f w punkcie x0 jest niezerowy: detD2f(x0) 6= 0. Wykazać, że jeśli x0 jest niezde-generowanym punktem krytycznym, to jest on punktem izolowanym w zbiorze (∇f)−1(0).Innymi słowy istnieje δ > 0, że jeśli x ∈ B(x0, δ) jest punktem krytycznym f , to x = x0.

2

Zadanie 13. Niech A ∈ L(Rn) będzie odwzorowaniem symetrycznym, tzn. 〈Ax, y〉 =

〈x,Ay〉. Formą kwadratową generowaną przez odwzorowanie symetryczne A nazywamy odw-zorowanie F : Rn → R dane wzorem

F (x) := 〈Ax, x〉.

Opisać ekstrema warunkowe formy kwadratowej generowanej przez A na sferze Sn−1 ⊂ Rn.Zilustrować zadanie przykładem, gdy A = diag(−1, 2,−1).

Wskazówka: Użyć metody mnożników Lagrange’a. Sn−1 = G−1(0), gdzie G(x) =n∑

i=1

x2i −1.

Zadanie 14. Niech F : R2 → R będzie odwzorowaniem klasy C1. Rozpatrujemy równanie

(1) F (x, λ) = 0

i zakładamy, że F (0, λ) = 0 dla wszystkich λ ∈ R. Mówimy, że punkt λ0 jest punktemrozgałęzienia rozwiązania równania (1), jeśli dla każdego ε > 0 istnieje (x, λ) ∈ B((0, λ0), ε)

taki, że x 6= 0 oraz F (x, λ) = 0. Pokazać, że jeśli punkt λ0 jest punktem rozgałęzieniarozwiązania równania (1), to ∂F

∂x(0, λ0) = 0. Znaleźć punkty rozgałęzienia rozwiązania, gdy

F (x, λ) = ax− λx.

Zadanie 15. Wyznaczyć ekstrema lokalne (i globalne) funkcji u(x, y, z) = x2 − y2 + 2z2 nazbiorze zadanym przez układ równań

x2 + y2 + z2 = 1;

x+ y + z = 0.

Co to jest za zbiór?

Zadanie 16. Narysować krzywą L zadaną równaniem f(x, y) = 0, gdzie

f(x, y) = (x2 + y2)2 − 2(x2 − y2).

Znaleźć punkty osobliwe tej krzywej, tzn. punkty w których pochodna f się zeruje. Wykazać,że iloczyn odległości punktu (x, y) ∈ L od punktów (−1, 0) i (1, 0) jest równy 1 dla wszystkichpunków krzywej L.Wskazówka: Aby narysować krzywą L, zapisać równanie krzywej we współrzędnych biegunowych.

Zadanie 17. Wykazać, że układ równań

x2 + y2 + z2 = 1, x2 − 2xy − z2 + xz =1

2

opisuje w otoczeniu punktu p = (√22, 0,

√22

) krzywą różniczkowalną α : (−ε, ε)→ R3. Znaleźćunormowany wektor styczny do tej krzywej w punkcie p.

Zadanie 18. Znaleźć wektor styczny do krzywej z poprzedniego zadania korzystając z tezyw Zadaniu 9. Sprawdzić czy spełnione są wszystkie wymagane tam warunki.

3

Zadanie 19. Przeanalizować przykład funkcji f : R→ R

f(x) :=

x+ 2x2 sin( 1

x), dla x 6= 0;

0, dla x = 0.

aby wykazać, że ciągłości pochodnej w punkcie nie można wyeliminować z założeń twierdzeniao lokalnym odwracaniu odwzorowań.

Zadanie 20. Niech f(x, y1, y2) := x2y1 + ex + y2. Wykazać, że istnieje funkcja g : R2 ⊃U → R określona na otoczeniu punktu (1,−1) o tej własności, że f(g(y1, y2), y1, y2) = 0 dla(y1, y2) ∈ U . Znaleźć ∇g(1,−1).

Zadanie 21. Znaleźć ekstrema funkcji f(x, y, z) = x− 2 + z na zbiorze x+ y2 − z2 = 1.

4