Analiza matematyczna 1, semestr zimowy 2015/2016Granice ciągów rzeczywistych.

1. Obliczyć (o ile istnieją) granice następujących ciągów o wyrazie ogólnym an:

1.√n(√n+ 1−

√n)

2.

√n4 + n+ 2

3√n4 − 4n+ 1

3.√n4 + n2 −

√n4 − n2

4. n3(√

n2 +√n4 + 1− n

√2)

5.(3√n3 + 2n− n

)√n2 + 1 6.

2n2 + 3n3 + 1

7.(n+ 2)! + (n+ 1)!(n+ 2)!− (n+ 1)!

8.

(n+2n

)n2

9.12 + 22 + 32 + ...+ n2

n3

10.13 + 23 + 33 + ...+ n3

n411.1− 2 + 3− 4 + 5− ...− 2n√

n2 + 112.

4n+ 7

n(√n2 + 1−

√n2 − 1)

13.n

3√8n3 − n− n

14.

√n2 +

√n+ 1−

√n2 −

√n− 1√

n+ 1−√n

15. n(3√n3 + n− n

)16.

√n√

n+√n+√n

17.(−0, 5)n

2n+ 318.4 · 3n+1 + 2 · 4n

5 · 2n + 4n+2

19.(−2)n + 3n

(−2)n+1 + 3n+120.25−n − 9−n

5−n − 3−n[0] 21.

251n − 9 1n51n − 3 1n

22.2n + 883n − 9

23.(− 23

)n24.(32

)n25.

11 · 2+12 · 3+ ...+

1n · (n+ 1)

26. (1− 122)(1− 1

32) · ... · (1− 1

n2) 27.

1 + 2 + 22 + ...+ 22n

4 + 42 + 43 + ...+ 4n

28.12+322+523+ ...+

2n− 12n

29. sinn(n+ 1

n

)30. n2 −

√n+ 1

2. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach wyznacz granice ciągów o wyrazie ogólnym an

1. n√3n + 2n + 5n 2. n

√7n − 2n − 3n 3.

√2− (−1)

n+1 + (−1)n+2 + ...+ (−1)2n

n

4.((34)n + (

12)n) 1n 5. n

√1000 + 2n 6. n

√1k + 2k + ...+ nk, k ∈ N

7.n√2− 1

2 + (−1)n8. (n+ 1)k − nk, k ∈ (0, 1) 9.

n

n2 + 1+

n

n2 + 2+ ...+

n

n2 + n

10. n2√n+ 1 11. n

√12+23+34+ ...+

n

n+ 112.

1n2 + 1

+2

n2 + 2+3

n2 + 3+ ...+

n

n2 + n

13. n√sin1n

14. n√3n+ sinn 15.

1√n2 + 1

+1√

n2 + 2+ ...+

1√n2 + n

3. Korzystając z twierdzenia o granicy iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do 0, oblicz granice ciągówo wyrazie ogólnym an

1. (sinn!)n

n2 + 4+

2n2

(3n+ 1)(3n− 1)2. sin

√n+ 1− sin

√n 3.

n2(−1)n arc tg(−n)n3 + 2

4.2n+ cos(5n)n+ sin(6n)

4. Oblicz granice.

1.(2n+ 32n+ 5

)n+12.(n2 + 2n+ 3n2 + 2n+ 5

)n2+2n3.(1 + (12)n) 1n 4. (

n− 1n)n 5.

(1 +1n2)n

5. Korzystając z twierdzenia o granicy ilorazu dwóch kolejnych wyrazów ciągu oblicz granice ciągów:

1.n10

2n2.n!4n

3.2nn!nn

4.an

nk, k ∈ N, a > 0; 5.

7n + n7 + 7n!6n + 7n7 + 3n!

.

6. Obliczyć granice następujących ciągów rzeczywistych, o wyrazie ogólnym an

(a) n(ln(n+ 1)− lnn) (b)ln(1 +

3n)

1n

(c)log2(n

5)log8(n)

(d)8log2 n

2n(e)

√n√

n+√n+√n

(f)√2 · 4√2 · ... · 2n

√2

(g)121+322+ ...+

2n− 12n

(h)n− 1

n(ln(n+ 1)− lnn)(i) 3

√n(n+ 1)2 − 3

√n(n− 1)2

(j) (n2 + 22n2 + 1

)n2

(k) n√2n3 − 3n2 + 15 (l) 2−n4 cos(nπ) [0]

(ł)12ncosn3 − 3n

6n+ 1(m)

2n32n

n!(n) n

√10100 − n

√110100

(ń) 3n−√9n2 + 6n− 15 (o) 3

√n3 + 4n2 − n (p) n

√1 +(−1)n

n

(r)2n6 + 3n2 + n+ 1

n+ 7− n5(s)

2n6 + 3n2 + n+ 1n+ 7− n6

(t)2n6 + 3n2 + n+ 1

n8 + 7− n5

(u)

√9n2 + 1n+ 2

(w) (1 +(−1)n

n)(−1)

nn (x) (n2 − 1n2)2n

2−3

(y) n4 − 3n3 − 2n2 − 1 (z)arctgnarcctgn

(v) (n+ 12n)n

(q) n5 − 10n6 + 1 (q′) n√nn + 5 (q′′)

sinn− 2n2

7. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granice następujących ciągów:

an =1

4√n4 + 1

+1

4√n4 + 2

+ ...+1

4√n4 + n

, bn =n

√1n+2n2+3n3+4n4,

cn =n√1 + 5n2 + 3n5, dn =

n+2√3n + 4n+1, en =

n

√3n + 2n

5n + 4n.

8. Oblicz granice ciągów:

1.n

n√2 · 4 · 6... · 2n

2. n√n!nn

9. Oblicz granice korzystając z twierdzenia Stolza

1.1 + 2− 3 + 4 + 5− 6 + ...− 3n

n2 + n+ 12.1k + 2k + 3k + ...+ nk

nk+1, k ∈ N

10. Korzystając z twierdzenia Stolza udowodnij twierdzenie Cauchy’ego ( granica ciągu średnich arytmetycznychciągu an jest równa granicy ciągu an).Oblicz granicę ciągu

an =1 +√2 + 3√3 + 4√4 + ...+ n

√n

n

Odpowiedzi

1. Zadanie 1.1.12, 2. ∞, 3. 1, 4. 1

4√2, 5. 0, 6. 0, 7. 1, 8.

12, 9.13, 10.

14, 11. −1, 12. +∞, 13. 1, 14. 2, 15. 1

3, 16. 1, 17.

0, 18.18, 19.

13, 20. 0, 21. 2, 22. 0, 23. 0, 24. +∞, 25. 1, 26. 1

2, 27.

32, 28. 3, 29. 0, 30. +∞.

2. Zadanie 2.1. 5, 2. 7, 3.

√2, 4.

34, 5. 2, 6. 1, 7. 0, 8. 0, 9. 1, 10. 1, 11. 1, 12.

12, 13. 1, 14. 1, 15. 1.

3. Zadanie 3.1.23, 2. 0, 3. 0, 4. 2.

4. Zadanie 4.1. e−1, 2. e−2, 3. 1, 4. e−1, 5. 1.

5. Zadanie 5.1. 0, 2. +∞, 3. 0, 4. 0 dla a ∈ (0; 1] oraz +∞ dla a > 1, 5. 7

3.

6. Zadanie 6.( a) 1, (b) 3, (c) 15, (d) 0, (e) 1, (f) 2, (g) 3, (h) +∞, (i) 4

3, (j) 0, (k) 1, (l) 0, (ł) −1

2, (m) 0, (n) 0,

(ń) −1, (o) 2, (p) 1, (r) +∞, (s) −2, (t) 0, (u) 3, (w) e, (x) e−2, (y) +∞, (z) +∞, (v) 0, (q) −∞,(q’) +∞, (q”) 0.

7. Zadanie 7.a 1, b 1, c 1, d 4, e

35.

8. Zadanie 8.1.e2, 2.1e.

9. Zadanie 9.1.32, 2.

1k + 1

.

10. Zadanie 10.1.