Algebra - Warsaw University of Technologyfigurny/www/?download=SIMR... · ALGEBRA 3 6SR UyG...

$: Algebra - Warsaw University of Technologyfigurny/www/?download=SIMR... · ALGEBRA 3 6SR UyG Uy*Q\FKSRZLHU]FKQLVWRSQLDGUXJLHJR WR NZDGU\NLZ áD FLZH . 3R]RVWDáHWRNZDGU\ ki]GHJHQHURZDQH$
Algebra

WYKŁAD 13

ALGEBRA 2

Definicja Powierzchnią stopnia drugiego (kwadryką) nazywamy zbiór punktów przestrzeni trójwymiarowej, spełniających równanie

0222 KIzHyGxFyzExzDxyCzByAx

gdzie A, B, …, K są stałymi i przynajmniej jedna ze stałych

A, B, C, D, E, F jest różna od zera.

Równanie to nazywamy ogólnym równaniem powierzchni drugiego stopnia.

Można wykazać, że istnieje takie przekształcenie płaszczyzny (złożenie obrotu i przesunięcia) w wyniku którego otrzymamy tzw. postać kanoniczną równania powierzchni:

0~~~~ 222 KzCyBxA

lub

0~~~~ 22 KzCyBxA

Powierzchnie stopnia drugiego

ALGEBRA 3

Spośród 17 różnych powierzchni stopnia drugiego, 9 to kwadryki właściwe. Pozostałe to kwadryki zdegenerowane (niewłaściwe).

Kwadryki właściwe to:

elipsoida (w tym sfera),

hiperboloida jednopowłokowa,

hiperboloida dwupowłokowa,

stożek,

paraboloida eliptyczna,

paraboloida hiperboliczna,

walec eliptyczny,

walec hiperboliczny,

walec paraboliczny,


ALGEBRA 4

Przykłady kwadryk niewłaściwych:

Równanie x2 + y2

+ z2 = 0 przedstawia punkt O(0,0,0),

Równanie x2 + y2

+z2 = −1 przedstawia zbiór pusty,

Równanie x2 + y2

= 0 przedstawia prostą (oś Oz),

Równanie x2 − y2

= 0 przedstawia sumę dwóch płaszczyzn

o równaniach: x − y = 0 i x + y=0.


ALGEBRA 5

Elipsoida

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c


ALGEBRA 6

Uwaga

Dla a = b = c, otrzymujemy równanie sfery.


ALGEBRA 7

Wszystkie przekroje płaskie elipsoidy są elipsami.

Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, powstała przez obrót elipsy wokół jednej z osi symetrii:

jeśli a = b to obrotowa o osi obrotu Oz,

jeśli a = c to obrotowa o osi obrotu Oy,

Jeśli b = c to obrotowa o osi obrotu Ox.

Równanie elipsoidy o środku w punkcie (x0, y0, z0), osiach

równoległych do osi układu i półosiach długości a, b, c ma postać:

1)()()(

2

2

0

2

2

0

2

2

0

c

zz

b

yy

a

xx


ALGEBRA 8

Stożek eliptyczny (powierzchnia stożkowa)

2 2 2

2 2 2

x y z

a b c

.


ALGEBRA 9

Przekroje stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz są elipsami

(z wyjątkiem płaszczyzny przechodzącej przez początek układu

współrzędnych – wówczas częścią wspólną jest punkt).

Przekroje stożka płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy są

hiperbolami, a gdy zawierają oś Oz parą prostych, będących

tworzącymi stożka.

Podane równanie (oraz rysunek) prezentuje powierzchnię otwartą

wzdłuż osi Oz. Aby uzyskać równanie stożka otwartego wzdłuż innej osi należy

odpowiednio zmodyfikować równanie. Zmienna przeniesiona na drugą stronę równania, dla zachowania tego samego znaku współczynników,

wskazuje oś wzdłuż której stożek jest otwarty.

Przykładowo równanie

2 2 2

2 2 2

y z x

b c a

przedstawia stożek otwarty wzdłuż osi Ox.


ALGEBRA 10

Hiperboloida jednopowłokowa

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c


ALGEBRA 11

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz są

elipsami.

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy

są hiperbolami.

Szczególnym przypadkiem hiperboloidy jest hiperboloida obrotowa, powstała przez obrót hiperboli wokół osi urojonej

(jeśli a = b to obrotowa o osi obrotu Oz).

Równanie hiperboloidy przesuniętej równolegle ma postać:

1)()()(

2

2

0

2

2

0

2

2

0

c

zz

b

yy

a

xx


ALGEBRA 12

Zmienna przed którą stoi znak minus wskazuje oś wzdłuż której

hiperboloida jest otwarta (oś symetrii dla hiperboloidy obrotowej).


ALGEBRA 13

Hiperboloida dwupowłokowa

2 2 2

2 2 21

z x y

c a b


ALGEBRA 14

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi Oz są

elipsami.

Przekroje hiperboloidy płaszczyznami prostopadłymi do osi Ox i Oy

są hiperbolami.

Szczególnym przypadkiem hiperboloidy dwupowłokowej jest hiperboloida obrotowa, powstała przez obrót hiperboli wokół osi

rzeczywistej.


ALGEBRA 15

Paraboloida eliptyczna

2 2

2 2

x yz

a b


ALGEBRA 16

Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami prostopadłymi do osi

Oz są elipsami.

Przekroje paraboloidy eliptycznej płaszczyznami zawierającymi oś Oz są parabolami.

Szczególnym przypadkiem paraboloidy eliptycznej jest paraboloida obrotowa, powstała przez obrót paraboli wokół osi symetrii.


ALGEBRA 17

Paraboloida hiperboliczna

2 2

2 2

x yz

a b


ALGEBRA 18

Walec eliptyczny

12

2

2

2

b

y

a

x.

Jeśli a = b, to

otrzymamy równanie walca kołowego (czyli walca, którego równanie możemy otrzymać obracając prostą wokół innej prostej równoległej do niej).

X Y Z( )

y

z

x


ALGEBRA 19

Walec hiperboliczny

1b

y

a

x2

2

2

2

;

M

M

x

y

z

O


ALGEBRA 20

Walec paraboliczny

x2 = 2py

M matrix m n F( )

M


x

O

y

z

ALGEBRA 21

Definicja Powierzchnią obrotową nazywamy powierzchnię utworzoną przez obrót

krzywej wokół prostej zwanej osią obrotu.

Powierzchnie obrotowe

ALGEBRA 22


x

y

z

r(t)

ALGEBRA 23

Niech

K :

)(

)(

)(

3

2

1

tfz

tfy

tfx

, t [t0, t1] będzie przedstawieniem parametrycznym krzywej w R3

Jeśli za oś obrotu przyjmiemy oś Oz to każdy punkt krzywej K zakreśla okrąg

o promieniu )()()( 2

2

2

1 tftftr , którego równanie możemy napisać w postaci:

)2,0[

)(

sin)(

cos)(

3

tfz

try

trx

Stąd układ równań

definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej K wokół osi Oz

],[,)(

)()(10

3

2

2

2

1

22

ttttfz

tftfyx


ALGEBRA 24

Układ równań

],[)(

)()(10

2

2

3

2

1

22

ttttfy

tftfzx

definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej K wokół osi Oy.

Natomiast układ równań

],[)(

)()(10

1

2

3

2

2

22

ttttfx

tftfzy

definiuje powierzchnię obrotową powstałą przez obrót krzywej K wokół osi Ox.


ALGEBRA 25

Przykład

Wyznaczyć równanie powierzchni powstałej z obrotu paraboli

K:

0,

2

x

yz dookoła osi OZ.

Postać parametryczna równań paraboli K: Rt

tz

ty

x

2

0

Podstawiając do wzoru otrzymujemy

Rttz

tyx

2

2222 0

Eliminując z układu t dostajemy równanie paraboloidy obrotowej

22 yxz


ALGEBRA 26

Przykład c.d.

Uwaga

Równanie powierzchni powstałej z obrotu tej paraboli dookoła osi OY wyznaczamy korzystając z drugiego wzoru

Rtty

tzx

22222 )(0

Eliminując z układu t dostajemy równanie powierzchni obrotowej (stopnia

czwartego!)

422 yzx


ALGEBRA 27

Niech K będzie pewną krzywą w przestrzeni R3, zaś W ustalonym punktem tej

przestrzeni (WK).

Definicja

Powierzchnią stożkową nazywamy zbiór punktów współliniowych z punktami

W i P, gdzie P należy do krzywej K.

Punkt W nazywamy wierzchołkiem, krzywą K kierownicą, zaś prostą

przechodzącą przez punkty W i P tworzącą powierzchni stożkowej.

WIERZCHOŁEK

KIEROWNICA

TWORZĄCA

Powierzchnie stożkowe

ALGEBRA 28

Jeżeli krzywa K ma przedstawienie parametryczne

K :

)(

)(

)(

3

2

1

tfz

tfy

tfx

, t [t0, t1]

i W(x0, y0, z0) jest ustalonym punktem przestrzeni, to równanie powierzchni

stożkowej ma postać

][gdzie)()()(

10

30

0

20

0

10

0 t,tttfz

zz

tfy

yy

tfx

xx


ALGEBRA 29

Równanie powierzchni stożkowej w postaci parametrycznej

stfzzz

Rst,ttstfyyy

stfxxx

))((

,][))((

))((

300

10200

100

kierownica K

tworząca

)](),(),([ 302010 tfztfytfx wierzchołek W


ALGEBRA 30

Niech K będzie pewną krzywą w przestrzeni R3.

Definicja

Powierzchnią walcową nazywamy powierzchnię utworzoną przez rodzinę prostych

równoległych do danej prostej i przechodzących przez punkty krzywej K.

Krzywą K nazywamy kierownicą, zaś każdą prostą tej rodziny tworzącą

powierzchni walcowej.

kierownica K

tworząca

Powierzchnie walcowe

ALGEBRA 31

Jeżeli krzywa K ma przedstawienie parametryczne

K :

)(

)(

)(

3

2

1

tfz

tfy

tfx

, t [t0, t1]

zaś prosta l

Rs

svz

svy

svx

l

z

y

x

:

to równanie powierzchni walcowej ma postać

][gdzie)()()(

10321 t,tt

v

tfz

v

tfy

v

tfx

zyx

Powierzchnie walcowe

ALGEBRA 32

Równanie powierzchni walcowej w postaci parametrycznej

svtfz

Rst,ttsvtfy

svtfx

z

y

x

)(

,][)(

)(

3

102

1

],,[ zyx vvv

kierownica K

tworząca


ALGEBRA 33

Dziękuję za uwagę

Algebra - Warsaw University of Technologyfigurny/www/?download=SIMR... · ALGEBRA 3 6SR UyG...

Documents

Transcript of Algebra - Warsaw University of Technologyfigurny/www/?download=SIMR... · ALGEBRA 3 6SR UyG...