Płaszczyzna.

Równanie ogólne płaszczyzny:

gdzie jest punktem płaszczyzny π,

zaś liczby A, B, C są współrzędnymi wektora niezerowego, prostopadłego do tej

płaszczyzny.

Uzasadnienie:

π

Jeżeli zastąpimy symbolem D to otrzymujemy inną postać

równania ogólnego:

Przypadki szczególne:

[A, B, C]

(x0,y0,z0)

OzC

OyB

OxA

D

0

0

0

)0,0,0(0

Własność 8:

Niech

1)

2) gdy

3) gdy

Uwaga:

Własności te wynikają z własności działań na wektorach.

Przykład:

Podać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (3,0,-2) i prostopadłej

do wektora [2,-3,3].

Rozwiązanie:

Wstawiamy odpowiednie wartości do równania płaszczyzny:

A=2, B=-3, C=3, x0=3, y0=0, z0=-2.

Przykład:

Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej

przez punkt (3,4,-2) i prostopadłej do płaszczyzn:

05:

024:

2

1

zx

zyx

Rozwiązanie:

Szukamy wektora prostopadłego do szukanej płaszczyzny π.

Jest to iloczyn wektorowy wektorów prostopadłych do płaszczyzn π1 i π2:

1,18,52025

501

214],,[

]5,0,1[

]2,1,4[

jkji

kji

baCBA

b

a

Stąd szukane równanie płaszczyzny to:

lub

.

Przykład:

Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt (-1,3,-2) i

zawierającej oś Ox.

Rozwiązanie:

Skoro Ox π to A=0 i D=0.

Stąd π: By+Cz=0.

Skorzystamy z faktu, ze punkt (-1,3,-2) należy do π.

Otrzymujemy

Teraz wystarczy przyjąć (np.) C=1.

Równanie płaszczyzny:

Równanie odcinkowe płaszczyzny:

1c

z

b

y

a

x

Płaszczyzna przechodzi przez punkty (a,0,0), (0,b,0), (0,0,c),

Uzasadnienie:

01111

1 zc

yb

xac

z

b

y

a

x

Korzystając z tego równania ogólnego stwierdzamy, że:

),0,0(

011

01

01

)0,,0(

01011

01

)0,0,(

0101

011

c

ccba

b

cb

ba

a

cba

a

a

b c

Przykład.

Znaleźć równanie płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P=(-1,2,3) i odcina

na osiach układu odcinki jednakowej długości.

Rozwiązanie:

Skoro odcinki jednakowej długości to a=b=c.

4

1321

)3,2,1(

1

a

aaa

P

a

z

a

y

a

x

Równanie odcinkowe:

1

444

zyx

Równanie ogólne:

Przykład:

Obliczyć objętość czworościanu ograniczonego płaszczyzną:

i płaszczyznami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Równanie odcinkowe tej płaszczyzny to:

1236

zyx

Możemy więc wyznaczyć trzy wektory, na których zbudowany jest nasz

czworościan:

,

A teraz skorzystamy ze wzoru na objętość czworościanu:

Stąd V=6.

Własność 9.

Odległość punktu od płaszczyzny o równaniu Ax+By+Cz+D=0

wynosi:

222

000

CBA

DCzByAxd

Prosta

Równanie kierunkowe:

c

zz

b

yy

a

xx 000

gdzie punkt , a wektor i nazywamy go wektorem

kierunkowym prostej .

Uzasadnienie:

Równanie krawędziowe:

0

0

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxA

Prosta jest w nim przedstawiona jako wspólna część (krawędź) dwóch

płaszczyzn.

Fakt.1.

Wektor kierunkowy prostej o równaniu krawędziowym ma postać:

Przykład:

Wyznaczyć wektor kierunkowy prostej o równaniu:

Rozwiązanie:

Dzielimy wszystkie strony równości przez 12=NWW(4,2,3).

Stąd:

6

3

4

2

3

1

zyx

I wektor kierunkowy ma współrzędne: [3,4,-6]

Przykład:

Znaleźć punkty przecięcia prostej o równaniu:

1

5

4

2

2

1

zyx

z płaszczyznami układu współrzędnych:

Rozwiązanie:

xOy: z=0

22,9

1

5

4

2

2

1

yx

yx

Punkt: (-9,-22,0)

xOz: y=0

5,5,2

1

5

4

2

2

1

zx

zx

Punkt: (2,0;5,5)

yOz: x=0

5,4,4

1

5

4

2

2

1

zy

zy

Punkt: (0,-4;4,5)

Przykład.

Znaleźć punkt przecięcia prostej l:

023

04

zyx

zyx

z płaszczyzną xOz.

Rozwiązanie:

Zakładamy y=0 i rozwiązujemy układ równań:

023

04

zx

zx

Stąd

i punkt ma współrzędne: (-1,5;0,-2,5).

Krzywe 2 stopnia (przegląd)

Elipsa:

Dane są na płaszczyźnie dwa punkty F1 i F2 zwane ogniskami oraz pewna liczba

2a większa niż odległość między ogniskami. Elipsa to zbiór punktów płaszczyzny

X spełniających warunek: XF1+XF2=2a.

Niech F1=(-c,0), F2=(c,0) oraz . Wówczas otrzymujemy równanie

elipsy:

b

-b

a -a F1 F2

Parabola:

Dana jest prosta k i punkt F. Parabola to zbiór punktów

płaszczyzny, których odległość od prostej k równa jest

odległości od punktu F.

Niech prosta k określona jest równaniem

, a ognisko to

punkt

.

Równanie paraboli:

Hiperbola:

Dane są na płaszczyźnie dwa punkty F1 i F2 (ogniska) oraz liczba

2a mniejsza od odległości między ogniskami. Hiperbola to zbiór

punktów płaszczyzny P spełniających warunek:

Niech F1=(-c,0), F2=(c,0) oraz . Wówczas

otrzymujemy równanie hiperboli:

k

F

Tw.2.

Każdą krzywą stopnia drugiego o równaniu

022 JIyHxGxyFyEx

Można przez odpowiedni obrót z przesunięciem przekształcić

tak, aby miała ona jedno z następujących równań:

1.

(elipsa)

2.

(zbiór pusty)

3.

(punkt)

4.

(hiperbola)

5. (parabola)

6.

(dwie proste przecinające się)

7.

(dwie proste równoległe)

8.

(jedna prosta)

9.

(zbiór pusty)

F1 F2

www.pg.gda.pl/cnm/pracownicy/anita.tlalka/powierzchnie.pdf

Tw.3.

Każdą powierzchnię stopnia drugiego o równaniu:

0222 UTzSyRxQyxPxzNxyMzLyKx można tak obrócić i przesunąć, aby miała ona jedno z następujących

równań:

1. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x (elipsoida)

2. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(zbiór pusty)

3. 0

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(punkt)

4. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(hiperboloida jednopowłokowa)

5. 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(hiperboloida dwupowłokowa)

6. 0

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x(stożek)

7. pz

b

y

a

x2

2

2

2

2

(paraboloida eliptyczna)

8. pz

b

y

a

x2

2

2

2

2

(paraboloida hiperboliczna)

9. 1

2

2

2

2

b

y

a

x(walec eliptyczny)

10. 1

2

2

2

2

b

y

a

x(zbiór pusty)

11. 0

2

2

2

2

b

y

a

x(prosta)

12. 1

2

2

2

2

b

y

a

x(walec hiperboliczny)

13. 0

2

2

2

2

b

y

a

x(dwie przecinające się proste)

14. pyx 22 (walec paraboliczny)

15. 1

2

2

a

x(dwie równoległe płaszczyzny)

16. 0

2

2

a

x(płaszczyzna)

17. 1

2

2

a

x(zbiór pusty)

Odsyłacze do stron z rysunkami powierzchni 2 stopnia.

www.pl.wikipedia.org/wiki/Kwadryka

Całka podwójna.

Def.12.

Podziałem prostokąta Q={(x,y):a≤x≤b,c≤y≤d} nazywamy zbiór P złożony z

prostokątów Q1, Q2, …,Qn, które całkowicie wypełniają prostokąt Q i mają

parami rozłączne wnętrza.

Oznaczenia:

-wymiary prostokąta Qk, 1≤k≤n

-długość przekątnej prostokąta Qk

-średnica podziału P

-zbiór punktów pośrednich podziału P

Def.13.

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie Q oraz

niech P będzie podziałem tego prostokąta, a Z zbiorem punktów

pośrednich. Sumą całkową funkcji f odpowiadającą podziałowi P oraz

punktom pośrednim Z nazywamy liczbę:

kk

n

k

kk yxyxf 1

**,

Uwaga.

Suma całkowa jest przybliżeniem objętości bryły ograniczonej wykresem

funkcji z=f(x,y)≥0 leżącym nad prostokątem Q oraz płaszczyzną xOy przez

sumę objętości prostopadłościanów o podstawach Qk i wysokościach

f(

dla 1≤k≤n.

Def.14.

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie Q. Całkę podwójną z

funkcji f na prostokącie Q definiujemy wzorem:

n

k

kkkkPQ

yxyxfdxdyyxf1

**

0)(

),(),( lim

o ile granica jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P prostokąta

Q ani od wyboru punktów pośrednich Z.

Uwaga.

Całka podwójna po prostokącie jest naturalnym uogólnieniem całki

oznaczonej z funkcji jednej zmiennej po przedziale.

Tw.4.

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostokącie Q to:

Rcdxdyyxfcdxdyyxcf

dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf

dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf

QQ

QQQ

QQQ

,),(),()3

),(),(),(),()2

),(),(),(),()1

Tw.5.

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na Q, to dla dowolnego podziału tego

prostokąta na prostokąty Q1 i Q2 o rozłącznych wnętrzach prawdziwa jest

równość:

21

),(),(),(QQQ

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf

Tw.6. (o całce iterowanej)

Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostokącie [a,b]x[c,d] to

d

c

b

a

b

a

d

cdcxba

dydxyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(),(),(],[],[

ITERACJA (w matematyce)-wielokrotne powtarzanie określonej operacji

mat.

Przykład:

186462

1293

3

2

1

2

1

2

3

0

2

1

32

1

3

0

2

2

1

3

0

2

xdxxx

dxy

xxydxdyxyxdxdyxyx

Fakt.1.

Jeżeli f jest funkcją postaci f(x,y)=g(x)h(y), gdzie g i h są ciągłe

odpowiednio na przedziałach [a,b] i [c,d] to

d

c

b

adcxba

dyyhdxxgdxdyyxf )()(),(],[],[

Przykład.

a)

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1][][

eeedyedxedxdye yxyxyx

b)

12

3

3

2

3

1

3

8

2

1

2

1

2

12

3

1

3

1

3223

2

1

31

1

22

1

21

1

3

2

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

1

2

2

yxyx

dyyxdxydydxxdxdyyxxy

Def.15. (obszary normalne)

1. Obszar domknięty D nazywamy normalnym względem osi Ox jeżeli

D={(x,y):a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x)}

gdzie g i h są ciągłe na [a,b], g(x)<h(x) dla x [a,b].

2. Obszar domknięty D nazywamy normalnym względem osi Oy jeżeli

D={(x,y):c≤y≤d, p(y)≤x≤q(y)}

a b

h(x)

g(x)

gdzie p i q są ciągłe na [c,d], p(y)<q(y) dla y [c,d].

Tw.7. (całki iterowane po obszarach normalnych)

1. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

D={(x,y):a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x)} normalnym względem osi Ox to

b

a

xh

xgD

dxdyyxfdxdyyxf

)(

)(

),(),(

2. Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze domkniętym

D={(x,y):c≤y≤d, p(y)≤x≤q(y)} normalnym względem osi Oy to

d

c

yq

ypD

dydxyxfdxdyyxf

)(

)(

),(),(

Przykład.

Obszar ograniczony krzywymi:

c

d

p(y) q(y)

1

Obliczamy całkę z funkcji f(x,y)=(x+y) po tym obszarze:

3,010

1

4

1

4

1

5

2

10445

2

22

2)(

1

0

1

0

542

2

543

1

0

21

0 22

xxxxdx

xx

xxx

dxy

xydxdyyxdxdyyx

x

x

x

xD

Przykład.

Obszar ograniczony liniami:

y=ex , y=e i x=0

Obliczamy całkę z funkcji f(x,y)=xy po tym obszarze.

e 1

1

8

1

88

1

844

4

1

2

1

2

1

22

1

2

1

222

2222

1

0

22

1

0

221

0

22

1

0

221

0

21

0

eeee

exeex

dxxexe

dxee

xdxy

xdxxydyxydxdy

xxx

xe

e

e

eD xx

Def.16.

Sumę skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox lub Oy)

o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na

płaszczyźnie.

Fakt 2.

Niech obszar regularnym D będzie sumą obszarów normalnych D1, D2, …,

Dn o parami rozłącznych wnętrzach oraz niech funkcja f będzie

całkowalna na tym obszarze. Wtedy

nDDDD

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf ),(...),(),(),(

21

Przykład.

Obszar ograniczony liniami y= , y=0, x+y=2.

Obliczamy całkę z funkcji f(x,y)=2y po tym obszarze:

6

5

3

124

3

888

2

1

3244

2

22

22

2

22222

2

1

321

0

2

2

1

21

0

2

0

2

1

2

0

1

0

2

2

1

2

0

1

0 021

xxx

x

dxxxdxdxy

dxy

ydxdyydxdyydxdyydxdydxdyy

xx

xx

DDD

Def. 17.

Niech i D będą obszarami odpowiednio na płaszczyźnie uOv i xOy.

Przekształceniem obszaru w obszar D nazywamy funkcję:

określoną wzorem:

gdzie

Obrazem zbioru przy przekształceniu nazywamy zbiór:

.

2 1

D1 D2

Przekształcenie nazywamy:

a) ciągłym, gdy funkcje są ciągłe na

b) różnowartościowym, jeżeli różnym punktom obszaru

odpowiadają różne punkty jego obrazu D.

Def. 18.

Jakobianem przekształcenia nazywamy

funkcję określoną wzorem:

),(),(

),(),(''

''

),(vuvu

vuvuJ

vu

vu

vu

Tw.8. (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Niech:

1. Przekształcenie

),(

),(:

vuy

vux

przekształca różnowartościowo

wnętrze obszaru regularnego na wnętrze obszaru regularnego D.

2.Funkcje , mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na

pewnym zbiorze otwartym zawierającym obszar .

3.Funkcja f jest ciągła na obszarze D.

D

u

v

x

y

4.Jakobian J jest różny od 0 wewnątrz obszaru D.

Wtedy

dudvJvuvufdxdyyxf vu

D

),(),,,(),(

Def.19. (współrzędne biegunowe)

Położenie punktu P na płaszczyźnie można opisać parą liczb (r,), gdzie:

to miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym

punktu P, 0≤≤2 lub -≤≤

r to odległość punktu P od początku układu współrzędnych, 0≤r≤.

Parę liczb (r,) nazywamy współrzędnymi biegunowymi.

Przykład:

Zbiór punktów określonych nierównością:

x2+y2≤R2 (koło o środku (0,0) i promieniu R)

opiszemy współrzędnymi biegunowymi:

0≤r≤R, 0≤≤2.

(koło przekształcamy w prostokąt)

P=(x,y)

r

Fakt 3.

Współrzędne kartezjańskie (x,y) punktu płaszczyzny danego we

współrzędnych biegunowych (r,) określone są wzorami:

sin

cos:

ry

rxB

Jakobian tego przekształcenia JB=r

Tw.9. (współrzędne biegunowe w całce podwójnej)

Niech

1. obszar we współrzędnych biegunowych będzie regularny

2. funkcja f będzie ciągła na obszarze D, który jest obrazem zbioru

przy przekształceniu biegunowym: D=B().

Wtedy

rdrdrrfdxdyyxfD

sin,cos),(

B

Przykład

Niech D={(x,y):x2+y2≤4}.

Współrzędne biegunowe: 0≤r≤2, 0≤≤2.

4

2

0

4

0

2

0

)( 11

2

12

222

eerdrdedxdye tr

D

yx

Uwaga:

2222222222 )sin(cossincos rrrryx

Zastosowania całki podwójnej w geometrii:

Pole obszaru:

D

dxdyD

Przykład:

Obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami:

x=y2, x=1

3

4...)1(

1

1

2

1

1

1

2

dyydydxdxdyD

yD

-1

Objętość bryły:

dxdyyxdyxgVD

),(),(

Przykład:

Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

z2+y2+x2=9, x2+y2=1, z>0

216273

4

3

222

81

90

2

9

99

9

8

2

39

8

1

0

2

2

0

222

tdtt

tr

tr

dtrdr

tr

rdrdrdxdyyxVD

Zastosowania inne-pole płata

dxdyyxfyxfSD

yx ),(),(1 2'2'

Przykład:

Obliczyć pole części powierzchni =0 wyciętej przez

prostopadłościan, którego podstawa znajduje się na płaszczyźnie xOy, a

wierzchołkami jej są punkty: (0,0), (4,0), (4,9), (0,9).

Rozwiązanie:

y

x

xy

xyxf

x

y

xy

yyxf

xyz

y

x

222

2),(

222

2),(

2

'

'

252...222

22

2

221

221

4

0

9

0

4

0

9

0

4

0

9

0

24

0

9

0

22

4

0

9

0

dxdyx

y

y

xdxdy

xy

yx

dxdyxy

yxdxdy

xy

xyxy

dxdyy

x

x

ydxdy

y

x

x

yS

D