7. Í Ï Î HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE · Część 1 7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE 3 Andrzej...

Część 1 7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE 1

Andrzej Gawęcki - „Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych” 2003r. Alma Mater

7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

7.1. UWAGI WSTĘPNE

Powróćmy jeszcze raz do wyników próby rozciągania omówionych w rozdziale 4. Jeżeli przyjmiemy, że oś próbki pokrywa się z osią x1, to stan naprężenia w układzie x1, x2, x3 charakteryzuje tylko jedna współrzędna σ11 = σ (por. rys. 7.1a):

s =

σ 0 00 0 00 0 0

. (7.1)

Rys. 7.1

W miarę wzrostu naprężenia σ materiał przechodzi kolejno ze stanu liniowo-sprężystego (0 < σ ≤ σH) poprzez stan nieliniowo-sprężysty (σH < σ ≤ σS) do stanu plastycznego (σP < σ ≤ σw) i w końcu próbka ulega zerwaniu (por. rys. 7.1b). Naprężenia σH, σS, σP i σw wyznaczają granice między poszczególnymi stanami mechanicznymi. Przekroczenie każdej z tych granic powoduje jakościową zmianę własności materiału. W zależności od rodzaju materiału i konstrukcji pewne zmiany własności materiału mogą być niebezpieczne, a odpowiadający im stan określamy jako stan niebezpieczny. W materiale ciągliwym za stan niebezpieczny uznaje się zazwyczaj stan plastyczny, związany z dużymi przyrostami odkształceń. W materiale kruchym proces deformacji aż do osiągnięcia wytrzymałości doraźnej jest prawie sprężysty, a stan niebezpieczny odpowiada naprężeniu σn = σW (rys. 7.1c). W próbkach wykonanych z materiału, który nie ma wyraźnych granic sprężystości i plastyczności stan niebezpieczny może odpowiadać warto-ściom umownym σn = σ0,05 lub σn = σ0,2 , lub punktowi granicznemu σn = σw (rys. 7.1d).



Problemem podstawowym dla inżyniera jest wyznaczenie tzw. współczynnika bezpieczeństwa n, który jest liczbą mówiącą, ile razy aktualne naprężenie σ jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σn. Wo-bec tego naprężeniu σ odpowiada współczynnik bezpieczeństwa n = σn/σ. Obliczenie współczynnika bezpieczeństwa przy jednoosiowym rozciąganiu (lub ściskaniu) jest więc nader proste. Na bardzo duże trudności natrafiamy jednak, gdy w danym punkcie występuje więcej niż jedna skła-dowa stanu naprężenia lub ogólniej: trójosiowy stan naprężenia opisany macierzą (7.2).

s =σ σ σσ σ σσ σ σ

11 12 13

21 22 23

31 32 33

. (7.2)

Powstaje wówczas pytanie: jak w złożonym stanie naprężenia obliczyć współczynnik bezpieczeństwa? Odpowiedź na postawione pytanie zawierają tzw. hipotezy wytrzymałościowe (wytężeniowe). Część tych hipotez podaje sposób na obliczenie pewnego fikcyjnego naprężenia noszącego nazwę naprężenia zredukowanego (zastępczego) σred. Główna idea hipotez wytrzymałościowych polega na tym, by złożony stan naprężenia opisany macierzą (7.2) sprowadzić do jednoosiowego rozciągania naprężeniem o wartości σred. Pozwala to wyznaczyć współczynnik bezpieczeństwa i określić stan mechaniczny materiału w danym punkcie. Zanim przejdziemy do bliższego omówienia wybranych hipotez wytężeniowych dla ciał izotropo-wych, zwrócimy uwagę na pewne własności, które musi spełniać naprężenie zastępcze:

− ponieważ stan mechaniczny nie zależy od przyjętego układu współrzędnych, więc naprężenie za-stępcze może być tylko funkcją niezmienników tensora naprężenia:

σ σred red= ( , , )I I I1 2 3 ; (7.3)

− uwzględniwszy fakt, że niezmienniki I1, I2, I3 zależą od wszystkich współrzędnych tensora napręże-nia, naprężenie zastępcze można również zapisać jako funkcję tych współrzędnych:

σ σ σ σ σ σ σ σred red= ( , , , , , )11 12 13 22 23 33 ; (7.4)

− wzór (7.4) jest ważny również dla stanu jednoosiowego rozciągania (ściskania), określonego macie-rzą (7.1):

σred(σ, 0, 0, 0, 0, 0) = σ ; (7.5)

− dla zerowej macierzy naprężeń naprężenia zastępcze jest równe zeru:

σred (0, 0, 0, 0, 0, 0) = 0. (7.6)

Ponieważ najczęściej interesuje nas rozgraniczenie poszczególnych stanów mechanicznych, więc po-przestajemy niekiedy na podaniu postaci tzw. warunku granicznego F(σij) = 0. Podejście takie jest ogól-niejsze, ponieważ stan mechaniczny określa czasem więcej niż jeden parametr i przy definiowaniu naprężenia zastępczego σred natrafiamy na duże trudności. Zależność graniczna wiąże ze sobą współrzędne tensora naprężenia odpowiadające osiągnięciu stanu niebezpiecznego w danym punkcie. Pojęcie zależności granicznej będzie wyjaśnione przy omawianiu poszczególnych hipotez wytężeniowych. Dokładniejsze omówienie własności warunku granicznego i pojęcia współczynnika bezpieczeństwa wraz ze stosowną interpretacją geometryczną przedstawiono w p.7.5. Omawiana problematyka jest bardzo złożona, a do tej pory dobrze rozpoznane są tylko materiały izo-tropowe. W dalszym ciągu omówimy pewne wybrane hipotezy stosowane obecnie do materiałów ciągli-wych i plastyczno-kruchych. Szczegółowe omówienie poszczególnych hipotez wytężeniowych można znaleźć w wielu podręcznikach (np. [22, 51, 53]).



7.2. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW CIĄGLIWYCH

7.2.1. Warunek plastyczności Hubera-Misesa-Hencky'ego (HMH)

Dla materiałów ciągliwych przyjmujemy zazwyczaj model ciała idealnie sprężysto-plastycznego (rys. 7.2). W takim modelu granica proporcjonalności σH, granica sprężystości σS i granica plastyczności σP mają tę samą wartość. Przyjmuje się, że osiągnięcie tej wartości, a więc początek uplastycznienia, odpo-wiada stanowi niebezpiecznemu. Dlatego hipotezy wytrzymałościowe dla materiałów ciągliwych nazy-wamy bardzo często warunkami plastyczności.

Rys. 7.2

Obecnie powszechnie stosuje się hipotezę polskiego uczonego M.T.Hubera (1904 rok).: Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy gęstość energii odkształcenia postaciowego (tj. energii dewiatorów) osiąga pewną wartość graniczną, charakterystyczną dla tego ma-teriału. Podobne sugestie wysuwał już dużo wcześniej Maxwell w liście do swego przyjaciela Thompsona (Kelvina) w 1856 roku. Hipotezę, w której miarą wytężenia była gęstość całkowitej energii odkształcenia, sformułował Beltrami w 1885 roku. Sens hipotez energetycznych jest intuicyjnie wyczuwalny. Do upla-stycznienia konieczne jest bowiem włożenie pewnej pracy mierzonej lokalnie gęstością energii. Hipoteza Beltramiego nie znalazła jednak potwierdzenia w badaniach doświadczalnych. Dlaczego więc decydująca jest tylko część energii, czyli energia dewiatorów? Na pytanie to odpowiadają badania doświadczalne metali poddanych bardzo wysokim ciśnieniom (około 50 000 MN/m2). Badania te dowiodły, że zmiany objętości, które w materiałach izotropowych są wynikiem działania aksjatora naprężenia, mają charakter czysto sprężysty, czyli znikają po usunięciu obciążenia. Oznacza to, że odkształcenia trwałe (plastyczne) są wywołane tylko działaniem dewiatorów. Matematyczne sformułowanie warunku plastyczności Hubera jest więc następujące:

W Cdσ( ) ,= (7.7)

gdzie C jest pewną stałą materiałową. Warunek plastyczności (7.7) jest związany z nazwiskami Misesa i Hencky'ego. Mises w 1913 roku wyprowadził formułę przybliżającą ówcześnie stosowany warunek Treski (por. p. 7.2.2). Okazało się, że postać tego przybliżenia była identyczna z nieznanym na zachodzie Europy warunkiem Hubera. W 1923 roku Hencky stwierdził, że warunek uzyskany przez Misesa ma interpretację energetyczną podaną równaniem (7.7). Dodamy, że Hencky nie znał jeszcze wówczas pracy Hubera z 1904 roku. Wspomniane fakty historyczne zadecydowały o tym, że warunek plastyczności (7.7) nazywa się obecnie warunkiem Hubera-Misesa-Hencky'ego lub w skrócie warunkiem HMH.



Przejdziemy obecnie do bliższej analizy warunku HMH. Ze wzoru (6.12) wynika, że energia W dσ( ) jest

funkcją tylko drugiego niezmiennika dewiatora naprężenia I d2σ( ) i wyraża ją wzór:

(a) [ ]WG

dσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .= − + − + − + + +1

12611 22

222 33

233 11

2122

232

312

Stosownie do uwag zawartych w p. 7.1 wnioskujemy, że warunek plastyczności musi być słuszny dla jednoosiowego rozciągania, tzn. gdy σ11 = σP, a pozostałe współrzędne tensora naprężenia są równe zeru. Uwzględnienie tego we wzorze (a) i podstawienie uzyskanego wyniku do wzoru (7.7) pozwala obliczyć wartość stałej materiałowej C:

(b) ( )C WG G

d P= = + =σ σ σ σ( ) .1

12 6112

112

2

Po podstawieniu wzorów (a) i (b) do równania (7.7) otrzymujemy następującą zależność graniczną:

F ij

P

( ) [( ) ( ) ( )

( )] . ( . )

σ σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

= − + − + − +

+ + − =

12

6 0 7 8

11 222

22 332

33 112

122

232

312 2+

Jeśli współrzędne σij spełniają tę zależność, to materiał w danym punkcie przechodzi w stan plastyczny. Równanie (7.8) możemy zapisać jeszcze inaczej:

σ σred − =P 0 , gdzie

σ σ σ σ σ σ σ σ σ σred = − + − + − + + +12

( ) ( ) ( ) 6( )11 222

22 332

33 112

122

232

312 ( . )7 9

i oznacza poszukiwane naprężenie zredukowane. Jeżeli σ σred − <P 0 , to mamy stan sprężysty, a jeżeli σ σred − =P 0 , to następuje uplastycznienie. Na podstawie rys. 7.2 wnioskujemy, że stan σ σred − >P 0 jest nierealny. Z postaci wzoru (7.9) widać, że wymagania dotyczące naprężenia zreduko-wanego z p. 7.1 są spełnione. Naprężenie zredukowane można wyrazić przez drugi niezmiennik stanu naprężenia:

σ σ σred = = −6 3 2GW Id d( ) ( ) . (7.9a)

Ponieważ I d

2 0σ( ) ,< więc wartości σred są zawsze rzeczywiste.

Jeśli znamy naprężenia główne, to zależność graniczną (7.8) można zapisać za pomocą nieuporządkowanych wartości głównych: (c) F P( , , ) ( ) ( ) ( ) .σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ1 2 3 1 2

22 3

23 1

2 22 0= − + − + − − = Ponieważ występują teraz tylko 3 zmienne σ1, σ2 i σ3, nasuwa się myśl, by warunek (c) przedstawić w trójwymiarowej przestrzeni naprężeń głównych. Obrazem geometrycznym tego równania jest walec ko-łowy o promieniu ( / )2 3 ⋅σ P . Oś tego walca tworzy ten sam kąt z każdą z osi układu współrzędnych σ1,



σ2, σ3. Jest to tzw. oś aksjatorów. Kosinus tego kąta wynosi 1 3/ , więc jego wartość

( )arccos / ,1 3 54 74= ° (por. rys. 7.3).

Rys. 7.3 Współrzędne punktów wypełniających wnętrze walca odpowiadają sprężystym stanom naprężenia (np. punkt B). Uplastycznienie zachodzi natomiast dla każdego stanu naprężenia odpowiadającego punk-tom leżącym na pobocznicy walca (np. punkt A). Stany naprężeń zobrazowane punktami leżącymi poza walcem są nierealne. Dla aksjatora wszystkie naprężenia normalne są równe, tzn. σ1 = σ2 = σ3. Warunek ten spełniają współrzędne osi walca, przyporządkowane zawsze stanom sprężystym. Podczas wszech-stronnego rozciągania lub ściskania w miarę wzrostu obciążenia przesuwamy się wzdłuż osi aksjatorów i nie jesteśmy w stanie doprowadzić w ten sposób do uplastycznienia materiału. W obliczeniach konstrukcji bardzo często występują płaskie stany odkształcenia i płaskie stany naprę-żenia. W płaskim stanie odkształcenia, gdzie odkształcenie główne ε3 = 0, oprócz naprężeń głównych σ1 i σ2 występują również niezerowe wartości naprężenia głównego σ3. Wartości tego naprężenia w spręży-stym materiale izotropowym wynikają ze związków fizycznych (5.1) i wyraża je wzór:

σ ν σ σ3 1 2= +( ) .

W procesie deformacji czysto plastycznych materiał zachowuje się jak ciało nieściśliwe. Ponieważ dla ciała nieściśliwego współczynnik Poissona 2/1=ν , więc między naprężeniami głównymi σ1, σ2 i σ3 w płaskim stanie odkształcenia zachodzi zależność:

σ σ σ3 1 212

= +( ).

Po podstawieniu tej zależności do równania (a) otrzymujemy warunek plastyczności dla płaskiego stanu odkształcenia:

σ σ σ1 223

− = ± p'. (7.10)



Rys. 7.4

Wobec tego deformacje czysto sprężyste zachodzą wówczas, gdy

σ σ σ1 223

0− − <p .

Obrazem tej nierówności na płaszczyźnie σ1 i σ2 jest obszar ograniczony dwoma prostymi zaznaczonymi na rys. 7.4 liniami przerywanymi (ε3 ≡ 0). Warto zwrócić uwagę na to, że proste opisujące zależność gra-niczną (7.10) pokrywają się z rzutem walca Hubera na płaszczyznę σ3 = const. Rzutowanie powierzchni plastyczności na płaszczyznę σi = const w przestrzeni naprężeń jest uniwersalnym sposobem określenia kształtu zależności granicznej, gdy εi ≡ 0. Sposób ten wynika z ogólnej teorii ciał plastycznych i można go stosować dla dowolnego warunku plastyczności. Jeżeli warunek plastyczności jest zapisany w prze-strzeni naprężeń głównych, to dla płaskiego stanu odkształcenia (ε3 = 0) zależność graniczną wyraża w ogólności równanie:

σ σ τ1 2 2− = ± p , (7.11)

gdzie τP oznacza granicę plastyczności materiału przy czystym ścinaniu. Jak wiadomo, czyste ścinanie zachodzi, gdy σ1 = − σ2 = − σ. Uplastycznienie materiału w tym przypadku odpowiada zatem punktowi przecięcia prostej σ1 = − σ2 z odpowiednim warunkiem plastyczności. Współrzędne tego punktu są rów-ne właśnie wartości τP (por. rys. 7.4). W płaskim stanie naprężenia zależność graniczną w przestrzeni naprężeń głównych otrzymuje się przyjmując, że odpowiednie naprężenie główne jest tożsamościowo równe zeru (np. σ3 ≡ 0). Obrazem geometrycznym tej zależności jest przekrój powierzchni plastyczności płaszczyzną σ3 = 0. W przypadku warunku HMH przekrój ten daje w rezultacie elipsę zaznaczoną na rys 7.4 linią ciągłą. Ponieważ w dowolnym układzie osi stan naprężenia charakteryzują tylko trzy niezależne składowe tensora naprężenia, warunkowi plastyczności można również nadać interpretację geometryczną w prze-strzeni naprężeń σ11, σ22 i σ12. Stosownie do wzoru (7.8) zależność graniczna dla płaskiego stanu naprę-żenia przyjmuje postać:

F P( , , ) .σ σ σ σ σ σ σ σ σ11 22 12 112

11 22 222

122 23 0= − ⋅ + + − = (7.12)

Wprowadzimy oznaczenia:

(d) y y yP P P

111

222

312= = =σ

σσσ

σσ

, ,

Wówczas równanie (7.12) przedstawia się następująco: (e) y y y y y1

21 2 2

2323 1 0− + + − = .



Jest to w przestrzeni (y1, y2, y3) równanie pewnej powierzchni. Dokonamy obecnie obrotu osi y1, y2, względem osi y3 o kąt 45° (rys. 7.5). Obrót taki charakteryzuje tabela kosinusów kierunkowych:

y1 y2 y3

y1'

12

12

0

y2'

12

12

0

y3'

0

0

0

Rys. 7.5 Na podstawie wzorów transformacyjnych y y ai k ik= ' ' otrzymujemy

y y a y ay y a y ay y

1 1 11 2 12

2 1 21 2 22

3 3

= += +=

' ' ' '

' ' ' '

'

,,

.

Wobec tego

y y y

y y y

y y

1 1 2

2 1 2

3 3

12

12

12

12

= −

= +

=

' '

' '

'

,

,

.

Po uwzględnieniu tych zależności równanie (e) modyfikuje się do postaci:

( ) ( ) ( )y y y1

2

222

232

22 2 3 1 3

1' ' '

/ /.+ + =



Jest to odcinkowe równanie elipsoidy, którą obrazuje rys. 7.6 (por. Szczepiński [44]). Każdemu punktowi powierzchni odpowiada pewien stan naprężenia: σ11, σ22 i σ12. Osiągnięcie tych wartości oznacza upla-stycznienie materiału. Punkty leżące wewnątrz elipsoidy odpowiadają stanom sprężystym.

Rys. 7.6

7.2.2. Warunek plastyczności Treski-Guesta (TG) Podstawą do sformułowania tego warunku była obserwacja linii Lüdersa (por. p. 4.10), które powstają w początkowej fazie uplastycznienia próbki rozciąganej. Ponieważ kąt pochyle-nia tych linii w stosunku do osi próbki jest bliski 45° i odpowiada płaszczyznom maksymalnych naprężeń stycznych, Tresca w 1872 roku podał następującą hipotezę: Materiał przechodzi w danym punkcie w stan plastyczny wówczas, gdy maksymalne naprężenie styczne osiągnie pewną graniczną wartość, charakterystyczną dla tego materia-łu.

Maksymalne naprężenie styczne τ σ σmax ( ) / ,= −I III 2 więc treść hipotezy Treski zawiera równanie: 12 1( ) ,σ σI III− = C (7.13)

gdzie C1 jest pewną stałą materiałową, a σI i σIII − największym i najmniejszym naprężeniem głównym. Coulomb w 1776 roku i później Guest (1900 rok) uplastycznienie materiału uzależnili od maksymal-nego kąta odkształcenia postaciowego γmax. Jeśli materiał do momentu uplastycznienia jest liniowo-sprężysty i izotropowy, to między hipotezą Coulomba i Guesta oraz hipotezą Treski nie ma żadnej różni-cy. Wniosek ten wynika bezpośrednio z równań fizycznych. Ponieważ nazwisko Coulomba wiąże się z jeszcze inną hipotezą, zależność graniczną (7.13) przyjęto nazywać warunkiem plastyczności Treski-Guesta (TG). Przejdziemy do analizy wzoru (7.13). Wzór ten musi obowiązywać również dla osiowego rozciągania, gdzie σI = σP, a σIII = 0. Pozwala to wyznaczyć stałą C1:

C P112

= σ .

Wobec tego warunek Treski przyjmuje postać: σ σ σI III− = P . (7.14)

Wnioskujemy stąd, że naprężenie zastępcze σred wynosi:

σ σ σred I III= − . (7.15)

Warunek plastyczności Treski można wyrazić za pomocą niezmienników dewiatora I d2( ), I d

3( ). Wa-

runek ten ma jednak wtedy bardzo złożoną postać (por. [11]):



( ) ( ) ( )4 27 2 9 6 023

32

22 4

26I I I Id d

Pd

Pd

P( ) ( ) ( ) ( ) .− − + − =σ σ σ (7.16)

Jeśli przejdziemy do nieuporządkowanych osi głównych naprężeń (σ1, σ2, σ3), to warunkiem, aby w ciele występowały tylko naprężenia sprężyste, jest jednoczesne spełnienie następu-jących nierówności

σ σ σi j P i j− < = ( , , , ).1 2 3 (7.17)

Po rozpisaniu ich otrzymujemy:

gdy gdy

gdy gdy

gdy gdy

σ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σσ σ σ σ σ

1 2 1 2

1 2 1 2

2 3 2 3

2 3 2 3

3 1 3 1

3 1 3 1

− < >− + < <

− < >− + < <

− < >− + < <

P

P

P

P

P

P

, ,, ,, ,, ,

, ,, .

(7.17a)

Rys. 7.7

W przestrzeni naprężeń σ1, σ2, σ3 nierówności (7.17a) opisują wnętrze graniastosłupa, którego podstawę jest sześciobok foremny. Oś graniastosłupa − podobnie jak oś walca w warunku Hubera − tworzy równe kąty z osiami układu (por. rys. 7.7).

Przecięcie tego graniastosłupa płaszczyzną σ3 = 0 (płaski stan naprężenia) daje obszar płaski. Waru-nek plastyczności w tym przypadku jest określony nierównościami:

gdy

gdy gdy gdy gdy gdy

σ σ σ σ σσ σ σ σ σ

σ σ σσ σ σ

σ σ σσ σ σ

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

2 2

1 1

1 1

00

00

− < >− + < <

< >− < <

< >− < <

P

P

P

P

P

P

, ,, ,

, ,, ,

, ,, .

(7.18)



Nierówności (7.18) opisują wnętrze sześcioboku przedstawionego na rys. 7.8. Dla porównania linią przerywaną zaznaczono elipsę Hubera. Z przeprowadzonych rozważań wynika, że graniastosłup Treski jest wpisany w walec Hubera; krawędzie graniastosłupa leżą na pobocznicy tego walca. Obszar sprężysty według Tre-ski jest więc mniejszy niż obszar sprężysty wynikający z warunku Hubera.

Znany jest jeszcze inny warunek plastyczności − Iwlewa-Haythornthwaite’a (IH), odpowiadający po-wierzchni opisanej na powierzchni Hubera. Zgodnie z tym warunkiem materiał przechodzi w stan pla-styczny wówczas, gdy ekstremalne naprężenie normalne w dewiatorze osiąga pewną krytyczną wartość, tzn. gdy jest spełnione choćby jedno z następujących równań:

σ σ σ σ σ σ σ σ σ11 0 22 0 33 0− = − = − =P P P, , . (7.19)

Warunek IH nie ma interpretacji fizycznej, jest jednak użyteczny, daje bowiem górną ocenę nośności. Trzy pozostałe warunki plastyczności dla płaskiego stanu naprężenia i płaskiego stanu odkształcenia zilu-strowano na rys. 7.8a,b.

Rys. 7.8

Dla płaskiego stanu naprężenia (σ3 = 0) warunek plastyczności TG możemy przedstawić również w przestrzeni naprężeń dowolnych (nie głównych). Wzory na naprężenia główne w płaskim stanie napręże-nia mają postać (por. wzór (1.28)):

(a) σ

σ

σ σ σ σ σ1

11 22 11 222

122

2 22

= + ± −

+ .

Na razie nie potrafimy powiedzieć, które z naprężeń σ1, σ2, σ3 jest największe, a które najmniejsze. Trze-ba rozważyć trzy przypadki (por. rys. 1.27):

1) σ1 > 0, σ2 > 0, wówczas σI = σ1, σIII = σ3 = 0, 2) σ1 > 0, σ2 < 0, wówczas σI = σ1, σIII = σ2, 3) σ1 < 0, σ2 < 0, wówczas σI = σ3 = 0, σIII = σ2.



Przypadek 1 (σI − σIII = σ1) Równanie (7.12) ma postać:

(b) σ σ σ σ σ σ11 22 11 222

122

2 2+ + −

+ = P .

Postępując identycznie jak przy analizowaniu warunku Hubera, otrzymujemy równanie:

(c) y y y y y1 22

1 22

32

21

2+ −

= −

+

lub w układzie obróconym o 45°

(d) 12

12

1

22

2

2 32y y y'

''

( )( )

( ) .−

= +

Dokonamy jeszcze przesunięcia układu:

(e) y z y z y z1 3 2 1 3 22' ' ', , .= + = =

Wówczas zależność (d) przedstawia równanie stożka eliptycznego (por. rys. 7.9):

(f) z z z12

222

232

212

12

12

0

+

−

= .

Przypadek 2 ( )σ σ σ σI III− = −1 2

Rys. 7.9 Rys. 7.10

(g) 22

11 222

122σ σ σ σ−

+ = P.

W układzie osi yi otrzymujemy

(h) ( ) .y y y1 22

324 1− + =

Dla osi obróconych yi ' , równanie warunku plastyczności przedstawia walec eliptyczny o osi pokrywają-

cej się z osią y1':



(i) ( ) ( ) .' 'y y22

23

2

212

12

1

+

=

Przypadek 3 ( )σ σ σI III− = − 2 Analiza tego przypadku przebiega identycznie jak przypadku 1. W efekcie otrzymujemy również sto-żek eliptyczny w odpowiednio przesuniętym układzie współrzędnych. W rezultacie analizy wszystkich przypadków otrzymujemy powierzchnię graniczną przedstawioną na rys. 7.10. Widzimy, że warunek plastyczności Treski w przestrzeni naprężeń σ11, σ22, σ12 składa się z walca eliptycznego i dwóch stożków eliptycznych. Zwróćmy uwagę na to, że elipsoida Hubera z rys. 7.6 zawiera w sobie powierzchnię plastyczności Treski.

7.2.3. Porównanie warunków plastyczności HMH i TG 1. Najistotniejsze różnice ilościowe między warunkami plastycznymi HMH i TG występują dla czy-stego ścinania, gdzie σ11 = σ22 = 0. Stan ten odpowiada punktowi C, zaznaczonemu na rys. 7.6 i 7.10. Dla warunku HMH mamy:

σσ

σ τ σ σ1212

13

13

0 58( )

( ), , .P

P

PP P P= = = = zatem

Dla warunku TG mamy:

σσ

σ τ σ1212

12

0 50( )

( ), , .P

P

PP P= = = zatem

Różnice te były decydującym argumentem na rzecz hipotezy Hubera-Misesa-Hencky'ego. Z badań labo-ratoryjnych wynika, że uplastycznienie podczas czystego ścinania zachodzi dla naprężeń stycznych bli-skich wartości 0,6σP, a nie 0,5σP jak przewiduje hipoteza Treski. W nawiązaniu do dzisiejszego stanu wiedzy warto dodać, że jeżeli materiał składa się z bezładnie ułożonych kryształów, których warunkiem uplastycznienia jest warunek Treski, to makroskopowo otrzymujemy warunek Hubera-Misesa-Hencky'ego. Współczesne normy projektowania konstrukcji metalowych są oparte na warunku HMH, najlepiej opisującym zachowanie się materiałów ciągliwych. 2. Drugą istotną cechą różniącą oba warunki plastyczności jest to, że warunek Treski w przeciwieństwie do warunku Hubera nie zależy od wartości pośredniego naprężenia głównego σII. O wytężeniu materiału według hipotezy TG decyduje więc tylko największe koło naprężeń Mohra. 3. Często występują płaskie stany naprężenia, w których jedno z naprężeń normalnych jest zawsze równe zeru (np. σ22 = 0). Zdarza się to w teorii belek. Odpowiedni warunek plastyczności uzyskamy po przecięciu powierzchni plastyczności płaszczyzną σ22 = 0. W efekcie zarówno dla warunku HMH (rys. 7.6), jak i warunku TG (rys. 7.10) otrzymujemy elipsy opisane równaniami:

− warunek HMH σ σ σ112

1223+ = P ,

− warunek TG σ σ σ112

1224+ = P .

Ilustracją tych równań jest rys. 7.11.



Rys. 7.11

4. W pewnych sytuacjach przy stosowaniu warunku HMH do uplastycznienia można doprowadzić przez zmniejszenie bezwzględnej wartości jednej ze współrzędnych tensora naprężenia, podczas gdy po-zostałe się nie zmieniają. Fakt ten ilustruje rys. 7.4. Zmniejszenie wartości σ2 , odpowiada odcinkowi ab. W punkcie a mamy stan sprężysty (F < 0), a w punkcie b występuje stan plastyczny (F = 0). Opisany przypadek często umyka uwadze projektantów konstrukcji. Warto zwrócić uwagę na to, że uplastycznie-nie materiału jest tym trudniejsze, im tensor naprężenia jest bardziej „kulisty”.

7.2.4. Uwagi o wzmocnieniu plastycznym Do tej pory rozważaliśmy materiały idealnie sprężysto-plastyczne, scharakteryzowane na rys. 7.2.

Okazuje się, że uzyskane wyniki można uogólnić na materiały wykazujące wzmocnienie i zjawisko Bau-schingera (rys. 7.12a). Efekt Bauschingera odpowiada przesunięciu powierzchni plastyczności jako bry-ły sztywnej w przestrzeni naprężeń (rys. 7.12b). Dlatego takie wzmocnienie nazywamy wzmocnieniem kinematycznym. Deformacja plastyczna powoduje, że granice plastyczności na ściskanie i rozciąganie w każdym z kierunków głównych są różne. Przesunięcie powierzchni plastyczności ilustruje więc także zjawisko anizotropii plastycznej pojawiającej się wskutek deformacji plastycznej. Stąd wzmocnienie ki-nematyczne nazywa się czasami wzmocnieniem anizotropowym.

Rys. 7.12



Warunek plastyczności przy wzmocnieniu kinematycznym zapisuje się w następujący sposób:

( )[ ]F ij ij Pσ σ σ− =∆ , ,0 (7.20a)

gdzie ∆σij oznacza współrzędne wektora przesunięcia powierzchni plastyczności w przestrzeni naprężeń.

Rys. 7.13

Poza koncepcją wzmocnienia anizotropowego posługujemy się również koncepcją wzmocnienia izotropowego. Dla rzeczywistych metali początkowo obserwuje się wzmocnienie kinematyczne. Dla różnych odkształceń dominuje wzmocnienie izotropowe. Tak więc obie koncepcje wzmocnienia są jedynie elementami pewnej hipotezy wzmocnienia. Wzmocnienie izotropowe odpowiada równomiernemu „puchnięciu” powierzchni plastyczności (por. rys. 7.13). Warunek plastyczności dla wzmocnienia izotropowego można zapisać następująco:

[ ]F ij Pσ σ χ, ( ) ,= 0 (7.20b)

gdzie współczynnik χ oznacza tzw. parametr wzmocnienia.

7.3. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE DLA MATERIAŁÓW PLASTYCZNO - KRUCHYCH

7.3.1. Hipoteza ekstremalnych naprężeń głównych

Omówimy teraz niektóre hipotezy wytrzymałościowe dla materiałów o charakterystyce przedstawio-nej na rysunku 7.14. Podczas ściskania materiały te wykazują cechy plastyczne, podczas rozciągania zachowują się liniowo-sprężyście, aż do momentu osiągnięcia wytrzymałości na rozciąganie σr, w którym następuje kruche pęknięcie. Tak przyjęty model dość dobrze opisuje tzw. materiały plastyczno-kruche. Do materiałów tych można zaliczyć beton, skały oraz ośrodki gruntowe. Ponieważ określenie stanu mechanicznego zależy teraz od większej liczby parametrów, poprzestaniemy na podaniu zależności granicznych. W roku 1632 Galileusz poddał myśl, że o wytrzymałości materiału decyduje największe naprężenie rozciągające. Łatwo stwierdzić, że hipoteza ta zawodzi już dla osiowego ściskania. Myśl Galileusza pod-



jęli jednak Rankine (1856 rok) i Clebsch (1862 rok), którzy ograniczyli także wartość ściskających naprę-żeń normalnych. Według tych badaczy stan bezpieczny określają nierówności:

− ≤ ≤ =σ σ σP i r i ( , , ),1 2 3 (7.21)

gdzie σP i σr oznaczają odpowiednio naprężenia niszczące przy ściskaniu i rozciąganiu a σ1, σ2 i σ3 − naprężenia główne. Obszar bezpieczny opisany nierównościami (7.21) przedstawia rys. 7.15. Zależność graniczna (7.21) bywa czasami stosowana do materiałów kruchych.

Rys. 7.14 Rys. 7.15

W materiałach kruchych dobre wyniki daje hipoteza największego odkształcenia głównego, stosowana już przez Ponceleta i de Saint-Venanta w połowie XIX wieku. W myśl tej hipotezy bezpieczne wartości odkształceń głównych spełniają nierówności:

ε εi r i≤ = ( 1 2 3, , ) , (7.22)

gdzie εr > 0 i oznacza graniczną wartość odkształcenia, charakterystyczną dla danego materiału (por. rys. 7.14).

Rys. 7.16

Fakty doświadczalne wykazują, że graniczne wydłużenie nie zawsze jest związane z kierunkiem dzia-łania siły. Podczas ściskania próbki betonowej między dwoma sztywnymi płytami (rys. 7.16) zniszczenie następuje wskutek przekroczenia granicznych wartości odkształceń w kierunku prostopadłym do kierun-ku ściskania. Efekt ten występuje wówczas, gdy powierzchnie docisku płyt są pokryte warstwą parafiny i nie przenoszą sił tarcia.



Aby zapisać zależność graniczną w przestrzeni naprężeń głównych, wykorzystamy fakt, że materiały kruche aż do zniszczenia zachowują się sprężyście. Jeśli materiał jest izotropowy, to dla osiowego rozcią-gania ważny jest wzór:

(a) ε σr

rE

= ,

gdzie σr oznacza naprężenie zrywające, a E − moduł Younga. Po podstawieniu wzoru (a) oraz związków fizycznych (5.3) do zależności (7.22) otrzymujemy następujące nierówności:

σ ν σ σ σσ ν σ σ σσ ν σ σ σ

1 2 3

2 1 3

3 1 2

000

− + − ≤− + − ≤− + − ≤

( ) ,( ) ,( ) ,

r

r

r

(7.23)

gdzie ν jest współczynnikiem Poissona.

Rys. 7.17

Nierówności (7.23) przedstawiają pewien obszar w przestrzeni nieuporządkowanych naprężeń głów-nych σ1 , σ2 i σ3. Wnętrze tego obszaru odpowiada stanom sprężystym. Bliższa analiza nierówności (7.23) wskazuje, że badany obszar jest ostrosłupem, którego oś pokrywa się z prostą równo nachyloną do osi układu współrzędnych σ1, σ2 i σ3. Przekroje płaszczyznami prostopadłymi do osi ostrosłupa dają trójkąty równoboczne. Środki ciężkości tych trójkątów leżą na osi ostrosłupa. Obszar graniczny ilustruje rys. 7.17. Konkretne wymiary obszaru sprężystego w istotny sposób zależą od współczynnika Poissona. Dla ν = 0 otrzymujemy warunek Galileusza (rys. 7.18a), a dla ν = 0,5 uzyskujemy graniastosłup o podstawie trójkątnej (rys. 7.18b). Wpływ współczynnika Poissona na kształt i wymiary obszaru w płaskim stanie naprężenia ilustruje rys. 7.18c.



Rys. 7.18

7.3.3. Hipotezy wywodzące się z warunku Mohra

Warunek Mohra obejmuje obszerną klasę tych hipotez, w których zniszczenie materiału nie zależy od wartości pośredniego naprężenia głównego σII. Szczególnym przypadkiem warunku Mohra jest więc hipoteza Treski. Myśl przewodnia hipotezy Mohra jest następująca. Doświadczenie pokazuje, że zarówno zniszczenie poślizgowe, jak i rozdzielcze występuje na pewnych określonych powierzch-niach. Dlatego uzasadnione jest założenie, że o zniszczeniu decyduje wektor naprężenia (tzn. naprężenie normalne σ i styczne τ) na tych właśnie powierzchniach (rys. 7.19). Można więc przyjąć, że wytężenie materiału jest określone pewną funkcją f(σ, τ). Gdy funkcja ta, wyznaczona doświadczalnie, osiągnie wartość graniczną, to materiał ulega zniszczeniu. Wartości σ i τ, odpowiadające granicznej wartości funkcji f(σ, τ), tworzą dla różnych stanów naprężenia pewną krzywą graniczną w przestrzeni (σ, τ), zwa-ną obwiednią Mohra i stanowiącą granicę obszaru bezpiecznego. Zniszczenie materiału następuje naj-pierw w tym punkcie i tej płaszczyźnie, dla których naprężenia σ i τ osiągną wartości wyznaczone punk-tami obwiedni. U podstaw hipotezy Mohra leży analogia związana ze zjawiskami tarcia. Pokonanie sił tarcia w spoczynku zależy od siły przesuwającej i od nacisku normalnego do powierzchni tarcia (rys. 7.19a).



Rys. 7.19 Rys. 7.20

W myśl warunku Mohra wszystkie graniczne stany naprężenia przedstawia się za pomocą najwięk-szych kół naprężeń na płaszczyźnie (σ, τ). Środki tych kół wyznacza wartość p, a ich promienie wartość q:

p = +12

( ),σ σI III (7.24)

q = −12

( ).σ σI III (7.25)

Dla wybranego granicznego koła Mohra stan niebezpieczny osiąga się przy pewnej wartości σ i τ (punkt A na rys. 7.20a). Ponieważ zniszczenie nie może zależeć od znaku naprężenia stycznego, stan niebezpieczny musi wystąpić również dla wartości σ i −τ (punkt A' na rys. 7.20a). Wnioskujemy stąd, że obwiednia Mohra jest symetryczna względem osi σ. Obwiednię Mohra ilustruje rys. 7.20b. Obwiednia jest styczna do największych kół Mohra, a współ-rzędne punktów styczności odpowiadają granicznym wartościom naprężeń σ i τ, dla których występuje zniszczenie materiału. Wszystkie koła styczne do obwiedni w punkcie R określają stany naprężeń, dla których pojawia się zniszczenie rozdzielcze. Pozostałe punkty obwiedni odpowiadają zniszczeniu pośli-zgowemu. Najprostsza postać warunku Mohra składa się z dwóch prostych (por. rys. 7.21):

τ σ ϕ= − ⋅c tg , (7.26)

gdzie c i ϕ są stałymi materiałowymi. Warunek (7.26) sformułował już w 1776 roku Coulomb. Hipoteza Coulomba-Mohra znalazła zastosowanie w mechanice gruntów. Wówczas c i ϕ są odpowiednio: spójno-ścią (tzn. wytrzymałością na ścinanie bez nacisku normalnego) i tzw. kątem tarcia wewnętrznego. Prostą interpretację mechaniczną wzoru (7.26) objaśnia rys. 7.21a. Przedstawiono na nim płaski element połą-czony z pewną płaszczyzną za pośrednictwem spoiwa o średniej wytrzymałości na ścinanie równej c. Wówczas graniczna wartość siły stycznej do płaszczyzny połączenia T1 = Ac, gdzie A oznacza pole po-wierzchni kontaktu. Jeżeli element jest dodatkowo dociskany siłą S, to graniczna wartość siły powodują-cej przesunięcie elementu wzdłuż styku powiększy się o siłę T2 pochodzącą od tarcia, czyli T2 = S tgϕ,



gdzie ϕ jest kątem tarcia. Zatem całkowita wartość graniczna siły stycznej T = T1 + T2, co po podzieleniu przez pole kontaktu A odpowiada równaniu obwiedni granicznej dla τ > 0:

τ = τ1 + τ2 = c − σ tgϕ . Symbol σ = S/A oznacza naprężenie normalne (znak minus wynika ze znakowania naprężeń i oznacza ściskanie). Na płaszczyźnie naprężeń σ i τ warunek (7.26) stanowi prostoliniową obwiednię kół Mohra, przedstawioną na rys. 7.21. Z rysunku wynika, że

( ) ( ) sin cos .σ σ σ σ ϕ ϕI III I III− + + − =2 0 (7.27)

Rys. 7.21

Po przejściu do nieuporządkowanych naprężeń głównych otrzymujemy 6 równań:

( ) ( )sin cos ( , , , ).σ σ σ σ ϕ ϕi j i j c i j− + + − = =2 0 1 2 3 (7.27a)

Szczegółowa analiza tych równań pozwala stwierdzić, że obszar bezpieczny odpowiada wnętrzu ostro-słupa o osi pokrywającej się z prostą σ1 = σ2 = σ3 oraz o wierzchołku w punkcie σ1 = σ2 =σ3 = c ctgϕ. Obszar ten obrazuje rys. 7.22. Przekroje ostrosłupa są nieregularnymi sześciobokami o trzech osiach sy-metrii. Dla kąta tarcia wewnętrznego ϕ = 0 obszar ten modyfikuje się do graniastosłupa, którego przekro-je są sześciobokami foremnymi. Jest to po prostu warunek Treski, w którym kohezja oznacza naprężenia styczne powodujące uplastycznienie: c = τP = 0,5σP.



Rys. 7.22

Przekrój ostrosłupa płaszczyzną σ3 = 0 daje warunek Coulomba dla płaskiego stanu naprężenia (por. rys. 7.23).

Rys. 7.23

Z hipotezy Coulomba nie wynikają różnice w mechanizmach zniszczenia dla naprężeń ściskających i rozciągających. Najprostszym warunkiem uwzględniającym te różnice jest tzw. zmodyfikowany warunek Coulomba, zilustrowany rysunkiem 7.24. Symbol σr ' oznacza tam wytrzymałość na równomierne trójo-siowe rozciąganie lub na rozciąganie osiowe, jeżeli σ ϕ ϕr c' cos / ( sin ),≤ +2 1 [19].



Rys. 7.24

Ogólniejszą klasę hipotez wynikających z warunku Mohra opisuje równanie:

σ σ ττ

β= −

r

o1 , (7.28)

gdzie τ0 oznacza wytrzymałość na ścinanie dla σ = 0 (por. rys. 7.20), przy czym 1 < β ≤ 2. W przestrzeni naprężeń głównych otrzymujemy wówczas ostrosłup krzywoliniowy. Przypadkowi β€= 3/2 odpowiada hipoteza Caquota (1949 rok), bardzo dobrze opisująca zniszczenie betonu. Gdy β = 2, otrzymujemy wa-runek paraboliczny, stosowany głównie do oceny wytrzymałości skał.



7.4. HIPOTEZA BURZYŃSKIEGO

W latach 1928-1929 Burzyński sformułował warunek wytężenia obejmujący te hipotezy, które w prze-strzeni naprężeń głównych odpowiadają obrotowym powierzchniom granicznym. W myśl hipotezy Burzyńskiego materiał ulega zniszczeniu wówczas, gdy suma energii dewiatorów i pewnej części energii aksjatorów osiąga wartość graniczną C2, tzn. gdy

W W Cd oσ ση( ) ( ) ,+ ⋅ = 2 (7.29)

gdzie 0 ≤ η ≤ 1. Współczynnik η zależy od stanu naprężenia i własności materiału. Konkretną postać warunku (7.29) ustala się doświadczalnie. Jeżeli na podstawie prób rozciągania, ściskania i ścinania ustalono odpowiednie wytrzymałości σr, σc i τ0, to warunek Burzyńskiego można zapisać w postaci:

− ⋅ + −

+ − − ⋅ =σ σ

τσ σ

τσ σ σ σc r d c r

c r c rI I I02 2

02 1

211

30( ) ( ) .

W przestrzeni naprężeń głównych równanie to przedstawia elipsoidę lub hiperboloidę obrotową o osi pokrywającej się z osią aksjatorów (σ1 = σ2 = σ3). Gdy τ σ σ0 3= ⋅c r / , otrzymuje się paraboloidę ob-

rotową. Stożek kołowy uzyskujemy, jeśli ( )[ ]τ σ σ σ σ0 2 3= +c r c r/ . W przypadkach, gdy

σ σ σr c P= = oraz τ σ ν0 2 1= +P / ( ) otrzymujemy pewien szczególny przypadek elipsoidy opisującej

warunek Beltramiego (η = 1). Z kolei, jeżeli τ σ0 3= P / , to dostajemy warunek Hubera-Misesa-Hencky'ego (η = 0) przedstawiający powierzchnię walcową. Dzięki dużej różnorodności kształtów powierzchni granicznych hipotezę Burzyńskiego można zasto-sować zarówno do materiałów ciągliwych, jak i plastyczno-kruchych. Z powyższego wynika, że hipoteza ta zajmuje pozycję analogiczną do warunku Mohra. Zasadnicza różnica geometryczna polega na tym, że powierzchnie Burzyńskiego są obrotowe i gładkie, a w warunku Mohra powierzchnie graniczne są nieobrotowe; ich elementy składowe tworzą w ogólności krzywoliniowy ostrosłup o sześciu krawędziach i wierzchołku leżącym na osi aksjatorów.

7.5. WSPÓŁCZYNNIK BEZPIECZEŃSTWA

Wspólną cechą omówionych zależności granicznych jest to, że punkty leżące na brzegu obszaru granicznego odpowiadają niebezpiecznym stanom naprężenia. Jest oczywiste, że chcąc uniknąć zniszczenia materiału, musimy wymagać, by stany naprężenia w każdym punkcie konstrukcji spełniały nierówność ostrą:

[ ]F x x xij nσ σ( , , ), .1 2 3 0< (7.30)

W jednoparametrowych warunkach wytrzymałościowych odpowiada to wymaganiu, by naprężenie zre-dukowane było mniejsze od wartości niebezpiecznej:

σ σred ( , , ) .x x x n1 2 3 < (7.31)



W bezpiecznie zaprojektowanej konstrukcji jest zachowana odpowiednio duża „odległość” aktualnego stanu naprężenia od stanu niebezpiecznego, określonego naprężeniem σn. Miarą tej odległości jest tzw. współczynnik bezpieczeństwa n. Omówione zależności graniczne dla ciał ciągliwych i plastyczno-kruchych służą do opisu większości materiałów konstrukcyjnych. Jeżeli charakterystyki fizyczne rozważanych materiałów odpowiadają rys. 7.2 (materiały ciągliwe) i rys. 7.14 (materiały plastyczno-kruche), to wnętrze obszaru granicznego odpowiada stanom sprężystym.

Rys. 7.25 Rozważmy obecnie stan naprężenia reprezentowany przez punkt A w przestrzeni naprężeń (rys. 7.25). Jeżeli stan ten jest bezpieczny, to punkt A leży wewnątrz obszaru granicznego. Zwróćmy uwagę na to, że naprężenie zastępcze jest funkcją jednorodną pierwszego stopnia względem współrzędnych stanu naprę-żenia. Rozumiemy przez to, że

σ σ σ σred red( ) ( ),n nij ij⋅ = ⋅

czyli n-krotny wzrost składowych stanu naprężenia wywołuje również n-krotny wzrost naprężenia zredu-kowanego. Dzięki tej własności współczynnik bezpieczeństwa możemy zdefiniować jako stosunek długo-ści odcinków OB i OA (por. rys. 7.25):

n OBOA

= >1. (7.32)

Współczynnik bezpieczeństwa jest liczbą większą od jedności, mówiącą, ile razy naprężenie zredukowa-ne σred jest mniejsze od naprężenia niebezpiecznego σn:

nB

AnA= = >

σσ

σσ

red

red red

( )

( ) ( ) .1

Minimalne wartości współczynnika bezpieczeństwa n0 podane są w normach projektowania konstruk-cji. Dodajmy tu, że wartości n0 mogą być różne dla różnych stanów naprężenia. Na przykład w materia-łach plastyczno-kruchych w zakresie naprężeń rozciągających współczynnik bezpieczeństwa n0 jest na ogół większy niż dla naprężeń ściskających. Bezpiecznie zaprojektowana konstrukcja powinna zatem spełniać warunek:

n ≥ n0. (7.33)



Jeżeli wartości n0 są dane, to określają one w przestrzeni naprężeń tzw. obszar dopuszczalny (rys. 7.25), którego granice odpowiadają wartościom σ σred = n n/ 0 . Iloraz σn n/ 0 nazywa się naprężeniem dopuszczalnym:

σ σdop = n

n0. (7.34)

Wobec powyższego nierówności (7.33) można nadać następującą postać:

σ σred dop( , , ) .x x x1 2 3 ≤ (7.35)

Nierówność (7.35) stanowi treść najprostszej metody projektowania, zwanej metodą naprężeń do-puszczalnych. Ma ona charakter lokalny i jest oparta na założeniu, że osiągnięcie w pewnym punkcie konstrukcji naprężenia niebezpiecznego oznacza zniszczenie całej konstrukcji. Jest to zasadnicza wada tej metody. Obserwujemy bowiem wiele takich konstrukcji, w których lokalnemu uplastycznieniu bądź pęk-nięciu towarzyszą obciążenia znacznie mniejsze od obciążeń niszczących. Co więcej, w pewnych kon-strukcjach dla obciążeń eksploatacyjnych z góry zakłada się lokalne zniszczenie materiału (np. w kon-strukcjach żelbetowych). Problemy projektowania są dokładniej omówione w dodatku.

7.6. PRZYKŁADY

Przykład 1

Dany jest stan naprężenia w punkcie

s = −−

100 100 80100 200 080 0 100

2[ ].MN / m

Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa na podstawie warunku HMH, jeśli: σP = 550 MN/m2.

Rozwiązanie

Rozwiązanie polega tutaj na obliczeniu naprężenia zredukowanego i porównaniu go z wartością σP. Naprężenie zredukowane określa wzór (7.9):

[ ] [ ]σ red = − − + − − − + − − + + =12

100 200 200 100 100 100 6 100 802 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) = 345 MN/m2,

skąd n = =550345

1 59, .

Przykład 2

Dla danych naprężeń niszczących przy ściskaniu σc i rozciąganiu σr obliczyć wytrzymałość betonu na ściskanie τ0 za pomocą zmodyfikowanego warunku Coulomba.

Rozwiązanie

Jako wytrzymałość na bezpośrednie ścinanie rozumiemy tutaj rzędną obwiedni Mohra dla σ = 0. Trzeba więc wyznaczyć długość odcinka OA na rys. 7.26. Z rysunku tego odczytujemy:



sin ,ϕ σσ

σσ

=+

=−

c

c

r

rx x22

22

skąd

x c r

c r

c r

c r

c r

c r= ⋅

−= −

+=

⋅+

σ σσ σ

ϕ σ σσ σ

ϕσ σ

σ σ oraz i sin cos .

2

Rys. 7.26

Poszukiwana wytrzymałość na ścinanie

τ ϕ σ σσ σ

σ σσ σ

σ σ0 212

= = ⋅−

⋅ −⋅

= ⋅x c r

c r

c r

c rc rtg .

Wzór ten jest często cytowany w podręcznikach konstrukcji betonowych. Wytrzymałość betonu na ściskanie jest na ogół 10 razy większa od wytrzymałości na rozciąganie. Po uwzględnieniu tego faktu otrzymujemy:

τ σ σ012

10 1 6= = r r, .

Normy konstrukcji betonowych przyjmują, że τ0 = 2σr. Rezultat ten jest potwierdzony wieloma do-świadczeniami. Wynika stąd, że przyjęty pierwotnie kształt obwiedni jest niewłaściwy. Odpowiednią korektę uwidoczniono na rysunku 7.26 linią przerywaną. Punkt A' należy obrać w ten sposób, by odcinek OA' był równy 2σr.

7. Í Ï Î HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE · Część 1 7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE 3 Andrzej...

Documents

Transcript of 7. Í Ï Î HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE · Część 1 7. HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE 3 Andrzej...