Andrzej Gawęcki - Mechanika Materiałów i Konstrukcji Prętowych

Andrzej Gawcki

MECHANIKA MATERIAW I

KONSTRUKCJI PRTOWYCH

Politechnika Poznaska 2003 r. Alma Mater

SPIS TRECI

Andrzej Gawcki MECHANIKA MATERIAW I KONSTRUKCJI PRTOWYCH

1

Andrzej Gawcki - Mechanika materiaw i konstrukcji prtowych 2003r. Alma Mater

PPrrzzeeddmmoowwaa OOkkaaddkkaa

SPIS TRECI

CZ PIERWSZA.

PODSTAWY MECHANIKI ORODKW CIGYCH

1. STAN NAPRENIA 1.1. SIY POWIERZCHNIOWE I OBJTOCIOWE 1.2. WEKTOR NAPRENIA 1.3. STAN NAPRENIA W PUNKCIE 1.4. RWNANIA RNICZKOWE RWNOWAGI. SYMETRIA TENSORA NAPRENIA 1.5. TRANSFORMACJA SKADOWYCH STANU NAPRENIA. DEFINICJA TENSORA 1.6. NAPRENIA GWNE 1.7. ROZKAD TENSORA NAPRENIA NA AKSJATOR I DEWIATOR 1.8. PASKI STAN NAPRENIA 1.9. PRZYKADY

2. STAN ODKSZTACENIA 2.1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA 2.2 TENSOR ODKSZTACENIA. ZWIZKI KINEMATYCZNE 2.3. RWNANIA NIEROZDZIELNOCI 2.4. WASNOCI TENSORA ODKSZTACENIA 2.5. PASKI STAN ODKSZTACENIA 2.6. PRZYKADY

3. ZASADA PRACY WIRTUALNEJ 4. PODSTAWOWE REZULTATY BADA DOWIADCZANYCH

4.1. PRBA ROZCIGANIA 4.2. ZJAWISKO BAUSCHINGERA 4.3. HISTEREZA 4.4. WPYW PRDKOCI ODKSZTACENIA 4.5. PEZANIE I RELAKSACJA 4.6. WYTRZYMAO DUGOTRWAA 4.7. WPYW CZYNNIKW ZEWNTRZNYCH 4.8. WYTRZYMAO ZMCZENIOWA

5. RWNANIA FIZYCZNE DLA CIA LINIOWO - SPRYSTYCH 5.1. ZWIZKI MIDZY ODKSZTACENIAMI I GWNYMI NAPRENIAMI 5.2. RWNANIA FIZYCZNE DLA CIA IZOTROPOWYCH 5.3. ZMIANA OBJTOCI 5.4. INNE POSTACIE ZWIZKW FIZYCZNYCH 5.5. IZOTROPIA I ANIZOTROPIA. JEDNORODNO I NIEJEDNORODNO 5.6. ZESTAWIENIE I DYSKUSJA RWNA TEORII SPRYSTOCI 5.7. PRZYKADY

6. PODSTAWY ENERGETYCZNE 6.1. PRACA SI ZEWNTRZNYCH 6.2. TWIERDZENIE CLAPEYRONA 6.3. ENERGIA SPRYSTA WACIWA 6.4. ZASADA WZAJEMNOCI DLA CIA LINIOWO - SPRYSTYCH 6.5. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA CIA SPRYSTYCH

6.5.1. Zasada minimum energii potencjalnej 6.5.2. Zasada minimum energii dopeniajcej

7. HIPOTEZY WYTRZYMAOCIOWE 7.1. UWAGI WSTPNE 7.2. HIPOTEZY WYTRZYMAOCIOWE DLA MATERIAW CIGLIWYCH

7.2.1.Warunek plastycznoci Hubera-Misesa-Hencky'ego 7.2.2. Warunek plastycznoci Treski - Guesta 7.2.3. Porwnanie warunkw plastycznoci HMH i TG 7.2.4. Dalsze uwagi i uoglnienia

7.3. HIPOTEZY WYTRZYMAOCIOWE DLA MATERIAW PLASTYCZNO - KRUCHYCH 7.3.1. Hipoteza ekstremalnych napre gwnych 7.3.2. Hipoteza najwikszego odksztacenia gwnego 7.3.3. Hipotezy wywodzce si z warunku O.Mohra

7.4. HIPOTEZA BURZYSKIEGO 7.5. WSPCZYNNIK BEZPIECZESTWA 7.6. PRZYKADY

PODSUMOWANIE PIERWSZEJ CZCI

SPIS TRECI


2


CZ DRUGA.

MECHANIKA ELEMENTW PRTOWYCH

8. WIADOMOCI WSTPNE 8.1. KLASYFIKACJA ZASADNICZYCH ELEMENTW KONSTRUKCJI 8.2. ZASADA DE SAINT VENANTA 8.3. SIY WEWNTRZNE 8.4. ZAKRES OBLICZE KONSTRUKCJI

9. DZIAANIE SIY NORMALNEJ 9.1. ZALENOCI PODSTAWOWE 9.2. NAGE ZMIANY PRZEKROJU. KONCENTRACJA NAPRE

10. DZIAANIE MOMENTU ZGINAJCEGO 10.1. ZALENOCI PODSTAWOWE

10.1.1. Kinematyka. Hipoteza paskich przekrojw 10.1.2. Obliczanie napre w prtach liniowo-sprystych 10.1.3. Obliczanie odksztace w prtach liniowo-sprystych 10.1.4. Wyznaczanie przemieszcze prta liniowo-sprystego. Rwnanie rniczkowe linii ugicia 10.1.5. Zakres stosowania wyprowadzonych wzorw 10.1.6. Zalenoci energetyczne

10.2. METODY WYZNACZANIA LINII UGICIA I ZASTOSOWANIA RWNANIA RNICZKOWEGO LINII UGICIA 10.2.1. Postacie rwnania rniczkowego linii ugicia. Warunki brzegowe 10.2.2. Cakowanie rwnania II rzdu 10.2.3. Metoda obcienia krzywiznami 10.2.4. Obliczanie belek statycznie niewyznaczalnych. Belki na podou sprystym

11. DZIAANIE SIY POPRZECZNEJ 11.1. ZALENOCI PODSTAWOWE

11.1.1. Obliczanie napre 11.1.2. Obliczanie odksztace 11.1.3. Obliczanie przemieszcze 11.1.4. Zalenoci energetyczne

11.2. CINANIE W BELKACH ZOONYCH 11.3. STAN NAPRENIA W BELKACH OBCIONYCH POPRZECZNIE 11.4. NAPRENIA GWNE W BELKACH 11.5. RODEK CINANIA

12. DZIAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 12.1. ZALENOCI PODSTAWOWE

12.1.1. Podstawy teorii skrcania swobodnego prtw sprystych 12.1.2. Skrcanie prta o przekroju eliptycznym 12.1.3. Skrcanie prtw o przekrojach koowych i piercieniowych 12.1.4. Skrcanie prta o przekroju w ksztacie trjkta rwnobocznego 12.1.5. Obliczanie napre i kta skrcania dla prtw o dowolnym przekroju. Przekrj prostoktny 12.1.6. Uwagi o skrcaniu nieswobodnym 12.1.7. Zalenoci energetyczne przy skrcaniu swobodnym

12.2. ANALOGIA BONOWA I ANALOGIA HYDRODYNAMICZNA 12.3. SKRCANIE SWOBODNE PRTW CIENKOCIENNYCH

12.3.1. Profile zamknite 12.3.2. Profile otwarte 12.3.3. Porwnanie skrcania swobodnego prtw cienkociennych zamknitych i otwartych

13. WYBRANE PROBLEMY ZOONEGO STANU NAPRENIA 13.1. JEDNOCZESNE DZIAANIE SIY NORMALNEJ I MOMENTU ZGINAJCEGO

13.1.1. Obliczanie napre. O obojtna 13.1.2. Rdze przekroju 13.1.3. Warunek projektowania. Obszar dopuszczalny

13.2. PODSTAWY TEORII PRTW CIENKOCIENNYCH W.Z.WASOWA 13.2.1. Wprowadzenie 13.2.2. Zalenoci kinematyczne 13.2.3. Naprenia normalne. Bimoment 13.2.4. Gwne wsprzdne wycinkowe 13.2.5. Naprenia styczne. Moment gitno-skrtny 13.2.6. Rwnania rniczkowe funkcji bimomentu i funkcji kta skrcenia. Warunki brzegowe 13.2.7. Zalenoci energetyczne 13.2.8. Przykady

13.3. PRTY SILNIE ZAKRZYWIONE 13.3.1. Zalenoci kinematyczne 13.3.2. Wyznaczanie napre 13.3.3. Zalenoci energetyczne 13.3.4. Przykad

PODSUMOWANIE DRUGIEJ CZCI

SPIS TRECI


3


CZ TRZECIA.

PODSTAWY MECHANIKI SPRYSTYCH KONSTRUKCJI PRTOWYCH

14. WIADOMOCI OGLNE 14.1. WARUNKI RWNOWAGI UKADU SI 14.2. PODPORY PRTW 14.3. CZYNNIKI ZEWNTRZNE POWODUJCE DEFORMACJ KONSTRUKCJI. OBCIENIA 14.4. DEFINICJE SI WEWNTRZNYCH W PRTACH 14.5. KLASYFIKACJA UKADW PRTOWYCH 14.6. OBLICZANIE SI WEWNTRZNYCH. ZASADA ZESZTYWNIENIA 14.7. KONSTRUKCJE STATYCZNE WYZNACZALNE I STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 14.8. RWNANIA PRACY WIRTUALNEJ DLA KONSTRUKCJI PRTOWYCH 14.9. TWIERDZENIA ENERGETYCZNE DLA PRTW SPRYSTYCH

14.9.1. Twierdzenie Clapeyrona 14.9.2. Twierdzenie o minimum energii potencjalnej 14.9.3. Twierdzenie o minimum energii dopeniajcej. Zasada Castigliano

14.10. O KINEMATYCE I STATYCE UKADW CIA IDEALNIE SZTYWNYCH 14.10.1. Mae przemieszczenia tarczy sztywnej 14.10.2. Warunek geometrycznej niezmiennoci i kinematyka ukadu tarcz sztywnych 14.10.3. Warunek statycznej wyznaczalnoci i rwnowaga ukadu tarcz sztywnych

14.11. RWNANIA RNICZKOWE RWNOWAGI PRTW 14.11.1. Prty o osi prostoliniowej 14.11.2. Prty o osi zakrzywionej

15. KONSTRUKCJE STATYCZNIE WYZNACZALNE 15.1. WARUNEK KONIECZNY STATYCZNEJ WYZNACZALNOCI PASKICH KONSTRUKCJI PRTOWYCH 15.2. OBLICZANIE SI WEWNTRZNYCH

15.2.1. Przykady zastosowania metody statycznej 15.2.2. Przykady zastosowania metody kinematycznej. Linie wpywu wielkoci statycznych

15.3. OBLICZANIE PRZEMIESZCZE KONSTRUKCJI LINIOWO-SPRYSTYCH 15.3.1. Wiadomoci oglne 15.3.2. Przykady zastosowania rwnania pracy wirtualnej do wyznaczania przemieszcze

16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 16.1. METODA SI

16.1.1. Obliczanie si wewntrznych 16.1.2. Oglne sformuowanie metody si dla konstrukcji prtowych 16.1.3. Obliczanie przemieszcze konstrukcji liniowo-sprystych. Kontrola kinematyczna

16.2. METODA PRZEMIESZCZE 16.2.1. Oglny opis metody 16.2.2. Globalne i lokalne ukady wsprzdnych 16.2.3. Zalenoci midzy reakcjami prtw i przemieszczeniami wzw. Macierz sztywnoci prta w ukadzie lokalnym 16.2.4. Macierz sztywnoci prta w ukadzie globalnym 16.2.5. Uwagi o obliczaniu kratownic 16.2.6. Przybliona metoda obliczania ram 16.2.7. Kanoniczna posta rwna metody przemieszcze 16.2.8. Kanoniczna posta rwna metody przemieszcze 16.2.9. Przykad liczbowy

16.2.9.1. Metoda cisa 16.2.9.2. Metoda przybliona

16.3. O ZASTOSOWANIACH TWIERDZENIA BETTIEGO W TEORII UKADW STATYCZNIE NIEWYZNACZALNYCH 16.3.1. Twierdzenie o wzajemnoci reakcji 16.3.2. Linie wpywu wielkoci statycznych w ukadach statycznie niewyznaczalnych

PODSUMOWANIE TRZECIEJ CZCI CZ CZWARTA

WYBRANE PROBLEMY NIELINIOWE I NIESPRYSTE

17. NIELINIOWE ZACHOWANIE SI KONSTRUKCJI WYKONANYCH Z MATERIAU LINIOWO-SPRYSTEGO

17.1. RAMA Z LUZAMI KTOWYMI NA PODPORACH 17.2. KRATOWNICA MISESA

17.2.1. Zadanie kinematycznie liniowe 17.2.2. Zadanie kinematycznie nieliniowe 17.2.3. Przykad liczbowy

17.3. CIGNO OBCIONE SI SKUPION

SPIS TRECI


4


18. PRTY WYKONANE Z MATERIAU FIZYCZNIE NIELINIOWEGO 18.1. MATERIA NIELINIOWO-SPRYSTY 18.2. MATERIA SPRYSTO - PLASTYCZNY

18.2.1. Dziaanie siy normalnej 18.2.2. Zginanie 18.2.3. Zginanie ze cinaniem 18.2.4. Skrcanie

18.3. PODSTAWY TEORII KONSTRUKCJI PLASTYCZNYCH. NONO GRANICZNA KONSTRUKCJI

18.3.1. Podstawy teorii plastycznoci 18.3.2. Podstawowe zalenoci teorii plastycznych konstrukcji prtowych 18.3.3. Dwa podstawowe twierdzenia nonoci granicznej konstrukcji 18.3.4. Warunki plastycznoci wyraone przez naprenia uoglnione 18.3.5. Przeguby plastyczne. Obliczanie obcienia granicznego 18.3.6. Wyznaczanie nonoci granicznej metod superpozycji mechanizmw podstawowych 18.3.7. Oglna metoda obliczania nonoci granicznej ram paskich

18.4. O PRZYSTOSOWANIU KONSTRUKCJI SPRYSTO - PLASTYCZNYCH 18.4.1. Istota problemu 18.4.2. Przystosowanie belek i ram 18.4.3. Przykad

18.5. MATERIAY O WASNOCIACH REOLOGICZNYCH 18.5.1. Wprowadzenie 18.5.2. Elementarne modele reologiczne 18.5.3. Liniowe materiay lepkospryste 18.5.4. Materiay sprysto - plastyczne 18.5.5. Materiay sprystolepkoplastyczne

19. PROBLEMY STATECZNOCI 19.1. WIADOMOCI WSTPNE

19.1.1. Bifurkacja stanu rwnowagi 19.1.2. Zagadnienie Eulera 19.1.3. Uwzgldnienie duych przemieszcze 19.1.4. Wpyw si poprzecznych i skrcenia osi prta 19.1.5. Wpyw imperfekcji 19.1.6. Wpyw obcie poprzecznych 19.1.7. Rozciganie mimorodowe 19.1.8. Definicja statecznoci. Punkty graniczne i punkty bifurkacji

19.2. PODEJCIE ENERGETYCZNE 19.2.1. Uwagi wstpne 19.2.2. Matematyczna interpretacja zasady minimum energii potencjalnej

19.3. STANY POKRYTYCZNE 19.3.1. Wiadomoci oglne 19.3.2. Klasyfikacja punktw bifurkacji 19.3.3. Wpyw imperfekcji

19.4. WYZNACZANIE OBCIE KRYTYCZNYCH I FORM UTRATY STATECZNOCI W PRTACH PROSTYCH 19.4.1. Wyboczenie gitne przy ciskaniu 19.4.2. Przestrzenna utrata statecznoci prtw prostych

19.4.2.1. Kinematyka i rwnania rniczkowe statecznoci 19.4.2.2. Utrata paskiej postaci zginania (zwichrzenie) 19.4.2.3. Wyboczenie skrtne i wyboczenie gitno-skrtne 19.4.2.4. Wyboczenie rubowe przy skrcaniu

19.4.3. Stateczno przy obcieniach zoonych 19.4.3.1. ciskanie ze zginaniem 19.4.3.2. ciskanie ze skrcaniem 19.4.3.3. Wzr Dunkerleya

19.4.4.Uwagi o lokalnej (miejscowej) utracie statecznoci prtw cienkociennych PODSUMOWANIE CZWARTEJ CZCI DODATEK 20. O PROJEKTOWANIU KONSTRUKCJI

20.1. WIADOMOCI OGLNE 20.2. WARUNKI WYTRZYMAOCIOWE

20.2.1. Ograniczenie napre w punkcie 20.2.2. Ograniczenie si wewntrznych na poziomie przekroju 20.2.3. Ograniczenie obcie konstrukcji

20.3. WARUNKI SZTYWNOCIOWE 20.4. WYMIAROWANIE 20.5. PRZEGLD METOD SPRAWDZANIA BEZPIECZESTWA KONSTRUKCJI

20.5.1. Metoda napre dopuszczalnych 20.5.2. Metoda napre granicznych 20.5.3. Metoda odksztace plastycznych 20.5.4. Metoda nonoci granicznej 20.5.5. Metoda stanw granicznych

SPIS TRECI


5


21. WYBRANE WIADOMOCI Z MATEMATYKI

21.1. ZAPIS WSKANIKOWY I WZR GREENA-OSTROGRADSKIEGO-GAUSSA 21.2. O WEKTORACH WASNYCH I WARTOCIACH WASNYCH TENSORA SYMETRYCZNEGO 21.3. FUNKCJA HEAVISIDE'A I FUNKCJA DIRACA 21.4. CAKOWANIE RWNANIA RNICZKOWEGO LINII UGICIA METOD A.CLEBSCHA 21.5. CAKOWANIE GRAFICZNE 21.6. METODA RNIC SKOCZONYCH 21.7. METODA NEWTONA-RAPHSONA

22. PARAMETRY GEOMETRYCZNE FIGUR PASKICH 22.1. DEFINICJE 22.2. OSIE RODKOWE, RODEK CIKOCI 22.3. MOMENTY BEZWADNOCI PRZY PRZESUNICIU I OBROCIE UKADU OSI WSPRZDNYCH. KIERUNKI

I WARTOCI GWNE 22.4. PARAMETRY GEOMETRYCZNE PRZEKROJU JAKO WIELKOCI TENSOROWE 22.5. WSKAZWKI PRAKTYCZNE 22.6. PRZYKAD LICZBOWY

LITERATURA

Przedmowa Andrzej Gawcki MECHANIKA MATERIAW I KONSTRUKCJI PRTOWYCH

1


Przedmowa do wydania trzeciego (1998 W.P.P)

Podrcznik ten jest pewn modyfikacj mojego skryptu pt. Podstawy mechaniki konstrukcji prto-wych, wydanego przez Wydawnictwo Politechniki Poznaskiej w latach 1984 i 1985. Ma on stosunkowo duy zakres i obejmuje przedmioty wytrzymao materiaw i mechanika budowli oraz wstpne wiado-moci z przedmiotu teoria sprystoci i plastycznoci, ktre s wykadane na wydziaach budowlanych wyszych szk technicznych w Polsce. Zakres tych przedmiotw odpowiada mechanice materiaw i konstrukcji prtowych. Std wanie pochodzi tytu podrcznika. Oglna koncepcja ukadu treci odpo-wiada kolejnoci: punkt materialny, przekrj elementu prtowego (czyli zbir punktw materialnych), konstrukcja (czyli zbir elementw prtowych). W podrczniku omwiem problemy statyki, statecznoci elementw prtowych oraz inne zagadnienia mechaniki ukadw fizycznie i geometrycznie nieliniowych. Zagadnienia dynamiki pominem. Wiele uwagi powiciem dobieraniu wymiarw przekrojw elemen-tw oraz rnym metodom projektowania konstrukcji. Podrcznik jest adresowany przede wszystkim do studentw wydziaw budowlanych. Sdz jednak, e bdzie on przydatny rwnie dla doktorantw, a nawet dla pracownikw dydaktyczno-naukowych. Zaoyem, e Czytelnik dysponuje wiadomociami z tradycyjnych kursw matematyki i mechaniki. Dlatego ju w pierwszych rozdziaach wykorzystuj na przykad rwnania rwnowagi, ktre szczego-wo omwiem dopiero w drugiej czci podrcznika. Dodam, e ustalenie logicznej sekwencji omawiania poszczeglnych problemw jest przysowiow kwadratur koa. Spodziewam si zatem, e duym ua-twieniem dla Czytelnika bdzie moliwo korzystania z obszernego skorowidza oraz informacji zawar-tych w dodatku. Mam wiadomo, e bardzo duo wzorw, rozwaa i dygresji zawsze stanowi podsta-wow przeszkod w opanowaniu obszernego materiau. Pocztkujcemu Czytelnikowi jest bowiem trud-no oceni, ktre informacje s mniej wane, a ktre bardziej. Z tego wanie powodu, idc za sugesti jednego z recenzentw, kad z czterech czci zakoczyem obszernym podsumowaniem, w ktrym ze-braem najistotniejsze wiadomoci i uoglnienia nawizujce do zasadniczej treci podrcznika. Przy omawianiu poszczeglnych zjawisk staraem si uwypukli przede wszystkim fizyczn stron zagadnie. Niemniej jednak w pewnych standardowych zadaniach wprowadziem elementy aparatu poj-ciowego, waciwego metodom komputerowym. Jestem zdania, e w nauczaniu podstaw mechaniki ukadw odksztacalnych zbyt duo czasu powica si metodom rozwizywania rnych zada. Zasadniczy wysiek Studentw jest wic skierowany nie na poznanie rozwaanych zjawisk i na matematyczne formuowanie problemw, a na zgbienie subtelnoci metod ich rozwizywania. Wskutek tego odnotowujemy coraz mniejsz liczb konstruktorw dysponuj-cych autentyczn intuicj i wyobrani inyniersk. Procesowi temu sprzyja niestety rozwj elektronicz-nej techniki obliczeniowej. Uwaam zatem, e przygotowaniem do tzw. mechaniki komputerowej po-winien by dosy szczegowy wykad kadcy nacisk na interpretacj fizyczn oraz matematyczne for-muowanie problemw mechaniki materiaw i konstrukcji. Podrcznik niniejszy jest prb urzeczywist-nienia tej koncepcji. Pisanie podrcznikw jest zajciem trudnym, niewdzicznym i wymaga duej motywacji ze strony autora. Motywacji tej dostarczyli mi moi Studenci, gwnie Ci, ktrzy przestudiowali nieliczne egzempla-rze wzmiankowanego wyej skryptu i wyraaj o nim bardzo pozytywne opinie oraz rozczarowanie z powodu wyczerpania nakadu. Podobne zdania formuowao wiele innych osb, przede wszystkim moi Wsppracownicy z Instytutu Konstrukcji Budowlanych. Szczeglne wyrazy wdzicznoci kieruj do dra hab. Tomasza odygowskiego i dra Jacka Pulikowskiego, ktrzy nieustannie zachcali mnie do podjcia prac zwizanych z wydaniem tego podrcznika. Odpowiedzialno za ukad, kolejno poszczeglnych zagadnie oraz merytoryczn tre ksiki spoczywa na autorze. Niemniej jednak na ostateczny ksztat podrcznika maj wpyw recenzenci pierw-szego wydania skryptu w osobach nieyjcego ju niestety prof. J.A. Kniga z Instytutu Podstawowych Problemw Techniki PAN w Warszawie oraz prof. Z. Koczaka z Politechniki Poznaskiej. Ich uwagi pozwoliy unikn wielu bdw i niecisoci. Osobne podzikowania kieruj do prof. M. Kwieciskiego z Politechniki Warszawskiej, ktry po zapoznaniu si z pierwszym wydaniem skryptu przekaza mi wiele cennych uwag i sugestii. Wdziczno wyraam take prof. M. Kleiberowi z Instytutu Podstawowych

Przedmowa Andrzej Gawcki MECHANIKA MATERIAW I KONSTRUKCJI PRTOWYCH

2


Problemw Techniki PAN i prof. J. Kubikowi z Politechniki Opolskiej, recenzentom obecnej wersji pod-rcznika. Bardzo dzikuj Prof. A. Garsteckiemu za przejrzenie ostatecznej wersji tekstu, dyskusje i cen-ne sugestie. Ksika ukazuje si po wielu latach stara dziki yczliwoci rektora Politechniki Poznaskiej prof. E. Mitkowskiego. Skadam Mu t drog podzikowania. Lista osb, ktre przyczyniy si do wydania, nie byaby pena, gdybym pomin moich Wsppra-cownikw mgr Ew Szymaniak i mgra Jacka Weissa. Powicili oni wiele czasu na korekt, organiza-cj tekstu komputerowego i rysunkw. Dzikuj rwnie Paniom Danucie Nowak i Jolancie Owsianow-skiej za pen podziwu wytrwao przy przepisywaniu tekstu podrcznika. Jestem bardzo wdziczny redaktorowi podrcznika, Pani mgr Renacie Lubawy, dziki ktrej uwia-domiem sobie, e pierwotny tekst podrcznika zawiera niezliczone wrcz usterki, gwnie jzykowe. Jej zaangaowanie, wiedza, dowiadczenie, niespotykana wnikliwo i konsekwencja maj trudny do prze-cenienia wpyw na ostateczn form podrcznika.

Wszystkim Czytelnikom, a przede wszystkim moim Studentom bd bardzo wdziczny za nadsyanie uwag krytycznych oraz wytknicie nieuniknionych bdw.

Andrzej Gawcki

Cz 1 1. STAN NAPRNIA 1


1. STAN NAPRENIA

1.1. SIY POWIERZCHNIOWE I OBJTOCIOWE

Rozwamy ciao o objtoci V0 ograniczone powierzchni S0, poddane dziaaniu si bdcych w rw-nowadze (rys. 1.1). Rozrniamy tutaj dwa rodzaje si: siy powierzchniowe, siy objtociowe (masowe). Poniewa rozpatrywane ciao jest z zaoenia cige, na jego powierzchni mona wydzieli niesko-czenie mae elementy dS0, a z jego objtoci nieskoczenie mae elementy dV0.

Rys. 1.1 Si powierzchniow dziaajc w danym punkcie na element dS0 okrelamy jako wektor pdS0. Skoro wielko pdS0 przedstawia si, wsprzdne wektora p musz by wielkociami wyraonymi w jednost-kach siy na jednostk powierzchni, np. [kN/m2]. Wektor p nazywa si czasami gstoci si powierzch-niowych. Przykadami si powierzchniowych mog by parcie cieczy na ciao w niej zanurzone lub siy oddziay-wania gruntu na mur oporowy. Si objtociow dziaajc w danym punkcie na element dV0 okrelamy jako wektor GdV0. Wynika std, e wsprzdne wektora G s wyraone w jednostkach siy na jednostk objtoci, np. [kN/m3]. Wektor G nazywamy gstoci si objtociowych. Przykadem si objtociowych mog by siy ciko-ci lub siy bezwadnoci, ktre s proporcjonalne do masy i odpowiednich przyspiesze. Dlatego siy objtociowe czsto nazywa si rwnie siami masowymi.

1.2.WEKTOR NAPRENIA Pod wpywem si powierzchniowych i masowych ciao ulegnie odksztaceniu. W konfiguracji odksztaconej wydzielimy mylowo z ciaa objto V ograniczon powierzchni S (rys. 1.2). W ten sposb ciao zostao podzielone na cz I o objtoci V i cz II o objtoci V0 V. Na po-wierzchni kontaktu tych czci wystpi siy wzajemnego oddziaywania. Cigo orodka pozwala przyj, e rozkad tych si na powierzchni S lecej wewntrz ciaa jest rwnie cigy. Poza tym, sto-sownie do trzeciej zasady Newtona (zasada akcji i reakcji), wiadomo, e w kadym punkcie odpowiadaj-ce sobie siy odniesione do czci I i II s liczbowo rwne, ale przeciwnie skierowane.

Cz 1 1. STAN NAPRENIA 2


Rys. 1.2

Rozpatrzmy teraz pewien element pola dS, styczny do powierzchni S w punkcie B. Przez n oznaczymy wektor normalny do powierzchni S w tym punkcie. Na element dS dziaaj wypadkowa sia dF i wypad-kowy moment dM, bdce odpowiednio wynikiem redukcji si wzajemnego oddziaywania, rozmiesz-czonych na elemencie dS. Wielko

f F F( ) ( ) limnS

BS

ddS

= =

0

(1.1)

nazywamy wektorem naprenia w punkcie B, odniesionym do paszczyzny o normalnej n. atwo zauway, e omwiona w p. 1.1 gsto si powierzchniowych jest po prostu wektorem napr-enia na powierzchni ograniczajcej ciao. Zgodnie z rys. 1.3 wektor naprenia moemy rozoy na dwie skadowe: normaln s(n) i styczn t(n) do elementu dS o normalnej n. Obliczenie tych skadowych objaniono w p. 1.6.

Rys. 1.3

Wzr (1.1) definiuje wektor naprenia, bdcy wynikiem wystpowania elementarnej siy wypadko-wej dF. Podobnie mona by zdefiniowa wektor wynikajcy z wystpowania elementarnego momentu wypadkowego dM:

m( ) ( ) lim .nS

BS

ddS

= =

0M M

(1.2)

Dla odrnienia od wektora napre siowych f(n) symbol m(n) oznacza tak zwany wektor napre momentowych. Zarwno f(n), jak i m(n) s funkcjami pooenia punktu B na powierzchni dS oraz kie-runku o normalnej n do powierzchni S0 w tym punkcie. W wikszoci przypadkw granica stosunku M S jest rwna zeru, co pozwala cakowicie pomin istnienie napre momentowych. Wniosek ten wydaje si oczywisty, jeli uwzgldnimy fakt, e wymia-ry elementu powierzchniowego dS s nieskoczenie mae, a zatem ramiona si wewntrznego oddziay-wania na tym elemencie d do zera. Naprenia momentowe powinny by jednak uwzgldnione wtedy, gdy gradienty si dF w danym punkcie s bardzo due. Moe si wwczas okaza, e granica stosunku M S istnieje i jest rna od zera. Podobna sytuacja zachodzi, gdy z wymiarami elementu powierzch-



niowego S nie mona zmierza do zera wobec skoczonych wymiarw czstek lub ziaren ciaa rzeczy-wistego, traktowanego jako orodek cigy. Mamy wtedy do czynienia z ciaami o pewnej mikrostruktu-rze, w ktrych odrzucenie napre momentowych moe prowadzi do istotnych bdw. Uwzgldnienie napre momentowych wymaga uoglnienia klasyfikacji si dziaajcych na ciao oraz wprowadzenia dodatkowych wewntrznych stopni swobody przy opisie kinematyki orodka. Uogl-nion w ten sposb teori orodkw cigych sformuowali bracia Cosserat ju w 1909 roku. W dalszych rozwaaniach, stosownie do klasycznej koncepcji orodka cigego, pominiemy wpyw napre momentowych. Na niektre konsekwencje przyjcia modelu orodka Cosseratw zwrcimy jednak uwag w nastpnych rozdziaach.

1.3. STAN NAPRENIA W PUNKCIE

Przyjmiemy obecnie, e pooenie badanego punktu jest ustalone. Jeli teraz bdziemy zmienia we-wntrz ciaa nachylenie elementu powierzchniowego dS przechodzcego przez ten punkt, to okae si, e zmianie podlega bd rwnie wsprzdne wektora naprenia. Jeeli potrafimy okreli wektor napr-enia dla dowolnego danego wektora normalnego n, to mwimy, e znamy stan naprenia w punkcie. Powstaje pytanie, co jest niezbdne do okrelenia stanu naprenia. Okazuje si, e stan naprenia w punkcie jest znany, gdy znane s wektory naprenia dla trzech rnych paszczyzn przechodzcych przez badany punkt. Ze wzgldw rachunkowych wygodnie jest, jeeli s to trzy wzajemnie prostopade paszczyzny ukadu kartezjaskiego. Osie takiego ukadu oznaczamy zazwyczaj przez x, y, z (zapis trady-cyjny) lub co bardzo uproci wszystkie wzory przez x x x1 2 3, , (zapis wskanikowy), przy czym

x x x y x z1 2 3 , , . W dalszych rozwaaniach tej czci bdziemy stosowa bdziemy drugi sposb oznaczania, jednake pewne wyprowadzenia i wzory zapiszemy rwnie sposobem tradycyjnym. Uatwi to Czytelnikowi z jednej strony zapamitanie podstawowych formu, z drugiej za pozwoli na konfrontacj wynikw z pod-rcznikami, w ktrych stosuje si zapis tradycyjny. Wszystkie rozwaania odnosz si do prawoskrtnego ukadu wsprzdnych. W zapisie wskaniko-wym wsprzdne wektorw oznaczamy podobnie jak wsprzdne punktw, natomiast wersory, czyli wektory jednostkowe i j k, , oznaczamy odpowiednio przez e e e1 2 3, , . Dla przykadu zapiszemy wektor A w sposb tradycyjny i wskanikowy:

zapis tradycyjny A i j k= + +A A Ax y z ,

zapis wskanikowy A e e e e= + + ==

A A A Ai ii

1 1 2 2 3 31

3.

W zapisie wskanikowym przyjto wic, e:

A A A A A Ax y z1 2 3

1 2 3

, ,

, , .

,

e i e j e k

Przejdziemy obecnie do wyprowadzenia wzorw na obliczenie wsprzdnych wektora naprenia f ( )n przyporzdkowanego paszczynie o danym nachyleniu, okrelonym jednostkowym wektorem nor-malnym n.



Rys. 1.4

Rozpatrzmy element czworocienny, przedstawiony na rysunku 1.4 znajdujcy si w stanie rwnowa-gi po odksztaceniu. Element ten jest wycity w otoczeniu badanego punktu. Cigo orodka pozwala przyj, e elementarny czworocian ma nieskoczenie mae wymiary. Interesuje nas wektor f(n) dziaa-jcy na cian ABC o polu dS i nachyleniu okrelonym wektorem n:

n e e e e = n n n n j jj

1 1 2 2 3 31

3+ + =

=

. Z uwagi na to, e wektor n ma dugo rwn jednoci, midzy jego wsprzdnymi zachodzi zwi-zek:

n n n12

22

32 1+ + = . (1.3)

Rys. 1.5

Zamy, e w badanym punkcie znamy stan naprenia, okrelony przez trzy wektory napre f f f( ) ( )( )1 2 3, , dziaajce odpowiednio na ciany dS dS dS1 2 3, , , prostopade do paszczyzn ukadu. Pola dS jj ( , , )= 1 2 3 obliczamy ze wzorw (por. rys. 1.5a):

dS n x dSdS n x dSdS n x dS

1 1

2 2

3 3

=

=

=

cos( , ) ,cos( , ) ,cos( , ) .

(1.4)



Rys. 1.6

Zwrmy uwag na to, e j-ta wsprzdna wektora n rwna si kosinusowi kta zawartego midzy wek-torem n a osi xj (por. rys. 1.5b) :

n x jj j= =cos( , ), , ,n 1 2 3. (1.5) W zwizku z tym rwnania (1.4) mona zapisa krcej:

dS n dS jj j= =, , ,1 2 3 .

Wektory naprenia f ( ) ( , , ),j j = 1 2 3 dziaajce na ciany dS j zapiszemy nastpujco (rys. 1.6):

f e e e e

f e e e e

f e e e e

(1)= + + =

= + + =

= + + =

=

=

=

11 1 12 2 13 3 11

3

221 1 22 2 23 3 2

1

3

331 1 32 2 33 3 3

1

3

i ii

i ii

i ii

,

,

,

( )

( )

(1.6)

gdzie ij i j( , , , )= 1 2 3 oznacza j-t wsprzdn wektora naprenia f(i). Umawiamy si zatem, e

pierwszy indeks i oznacza paszczyzn (tzn. indeks normalnej do paszczyzny), a indeks j kierunek dziaania skadowej (tzn. numer osi wsprzdnych, do ktrej jest rwnolega dana skadowa). Wynika std, e naprenia normalne s rwnowskanikowe ( 11 22 33, , ), a naprenia styczne rnowska-nikowe ( , , , , , ) 23 32 31 13 12 21 . Wyjanimy jeszcze przyjte tutaj zasady znakowania napre ij . Dodatnie naprenia normalne maj zwroty zgodne ze zwrotem normalnej do paszczyzny, tzn. wywouj rozciganie. Znakowanie na-pre normalnych, jak wida, nie zaley od przyjtego ukadu osi wsprzdnych. Nie zachodzi to jed-nak w przypadku napre stycznych: na paszczyznach dodatnich dodatnie naprenia styczne maj zwrot zgodny ze zwrotami osi ukadu wsprzdnych, na paszczyznach ujemnych dodatnie naprenia styczne maj zwrot przeciwny do zwrotu osi ukadu. Znak paszczyzny okrela zwrot wektora normalne-go; jeli jest on zgodny ze zwrotem odpowiedniej osi ukadu, to paszczyzna jest dodatnia, w przeciwnym razie ujemna. Na rysunku 1.4 paszczyzny 1, 2 i 3 s ujemne, zatem zaznaczone naprenia styczne s dodatnie, gdy nie s zgodne ze zwrotami osi ukadu wsprzdnych. Omwione wyej znakowanie jest znakowaniem matematycznym. Znakowanie inynierskie, stosowane wycznie w zadaniach dwuwymia-rowych (paskich) omwimy w p. 1.8. Dla obliczenia wsprzdnych wektora f(n) wykorzystamy rwnania rwnowagi rzutw si na osie x x x1 2 3, i . Suma rzutw si na o x1 w rozwaanym czworocianie przedstawia si nastpujco :

( )f dS G dS dx dS dS dSn1 1 1 1 11 1 21 2 31 3 0( ) . 13 + + + =



Na podstawie zalenoci (1.4) otrzymujemy

( )f dS G n dS dx n dS n dS n dSn1 1 1 1 11 1 21 2 31 3 0( ) , 13 + + + =

skd f n n n G n dxn1 11 1 21 2 31 3 1 1 1( ) .= + + 1

3

Jak wida, skadnik zawierajcy wpyw si masowych jest ma wielkoci wyszego rzdu i moe by pominity. Ostatecznie rwnanie rwnowagi rzutw si na o x1 prowadzi do zalenoci:

f n n n nn j jj

1 11 1 21 2 31 3 11

3( ) .= + + =

=

Analogiczne rwnania uzyskujemy przy rzutowaniu si na pozostae osie x2 i x3. Komplet poszukiwanych rwna przedstawia si nastpujco:

f n n n n

f n n n n

f n n n n

nj j

j

nj j

j

nj j

j

1 11 1 21 2 31 3 11

3

2 12 1 22 2 32 3 21

3

3 13 1 23 2 33 3 31

3

( )

( )

( )

= + + =

= + + =

= + + =

=

=

=

,

,

.

(1.7)

Rwnania (1.7), tzw. warunki we wntrzu ciaa, mona zapisa jeszcze krcej:

f n iin

ji jj

( ) , , , .= ==

1 2 31

3 (1.7a)

Zaleno (1.7a) wykorzystujemy najczciej do wyraenia wsprzdnych wektora gstoci si po-wierzchniowych p przez naprenia ji wystpujce we wntrzu ciaa. Poniewa na powierzchni ciaa p f= ( )n , zatem

p ni ji jj

=

=

.1

3 (1.7b)

Warunki (1.7b) nosz nazw warunkw na powierzchni. W zapisie tradycyjnym wsprzdne ji oznacza si nastpujco :

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= = =

= = =

= = =

x xy xz

yx y yz

zx zy z

, , ,

, , ,

, , .

Warunki na powierzchni w tym zapisie przyjmuj zatem posta (por. [43, 49]):

p n x n y n z

p n x n y n z

p n x n y n z

xn

x yx zx

yn

xy y zy

zn

xz yz z

( )

( )

( )

cos( , ) cos( , ) cos( , ),

cos( , ) cos( , ) cos( , ),

cos( , ) cos( , ) cos( , ).

= + +

= + +

= + +

(1.7c)



Z rwna (1.7) wynika, e stan naprenia jest okrelony, gdy znamy 9 wsprzdnych ji w danym ukadzie osi x1, x2, x3. Wsprzdne te moemy zapisa w nastpujcy sposb:

[ ]s = =

ji

11 12 13

21 22 23

31 32 33

paszczyzna do x1, paszczyzna do x2, (1.8) paszczyzna do x3.

Obiekt opisany zalenoci (1.8) ma dziewi skadowych tworzcych tzw. tensor naprenia (macierz naprenia). Wobec tego zalenoci (1.7) nazywamy niekiedy zalenoci wektor-tensor. Podsumowujc powysze rozwaania, moemy stwierdzi, e stan naprenia jest jednoznacznie okrelony przez tensor naprenia. Wasnoci i definicj tensora naprenia omwimy w dalszych punk-tach tego rozdziau.

1.4. RWNANIA RNICZKOWE RWNOWAGI. SYMETRIA TENSORA NAPRENIA

W poprzednim punkcie 1.3 badalimy, jak zmienia si wektor naprenia po zmianie kta nachylenia paszczyzny dla ustalonego pooenia rozpatrywanego punktu. Obecnie okrelimy warunki, jakie musz spenia skadowe stanu naprenia ij po zmianie pooenia badanego punktu. W tym celu ponownie wykorzystamy rwnania rwnowagi rzutw si na poszczeglne osie zapisane jednak dla innego elemen-tu.

Rys. 1.7

Rozwamy ciao poddane dziaaniu si powierzchniowych i masowych bdcych w rwnowadze (rys. 1.7). Pod wpywem tych si wystpi naprenia wewntrzne a ciao si odksztaci, czyli z konfiguracji pierwotnej przed obcieniem (na rys. 1.7 linia przerywana) przejdzie do konfiguracji aktualnej po ob-cieniu (na rys. 1.7 linia ciga). W konfiguracji aktualnej w otoczeniu punktu B wycinamy mylowo prostopadocian o bardzo maych wymiarach dx1, dx2, dx3. Wydzielenie tak maego elementu cakowicie wypenionego materi jest moliwe wobec zaoenia cigoci materiau. Zbadamy rwnowag elementarnego prostopadocianu, ktry w powikszeniu przedstawia rys. 1.8. Prostopadocian jest obciony siami objtociowymi GdV, a na wszystkich cianach siami wzajemne-go oddziaywania midzy kostk i pozosta czci ciaa. Na cianach niewidocznych (paszczyzny ujemne) wystpuj skadowe stanu naprenia w badanym punkcie ji. Na cianach widocznych (pasz-czyzny dodatnie) wystpuj odpowiednie skadowe powikszone o przyrosty dji wynikajce ze zmiany wsprzdnych o wartoci dxj. Przyrosty te s rwne zeru tylko w tym szczeglnym przypadku, gdy stan naprenia jest jednorodny (tzn. taki sam w kadym punkcie badanego ciaa).



Rys. 1.8

Uoymy rwnanie sumy rzutw si na jedn z osi, np. na o x3:

( ) ( )( )

+ + + +

+ + + =

23 3 1 23 23 3 1 13 2 3 13 13 2 3

33 1 2 33 33 1 2 3 1 2 3 0

dx dx d dx dx dx dx d dx dx

dx dx d dx dx G dx dx dx ,

a po redukcji wyrazw podobnych:

d dx dx d dx dx d dx dx G dx dx dx 23 1 3 13 2 3 33 1 2 3 1 2 3 0+ + + = .

Obliczymy teraz odpowiednie wyraenie na przyrosty napre. Zauwamy, e wszystkie wsprzdne tensora naprenia w przypadku oglnym s funkcjami pooenia, tzn. ij ij x x x= ( , , )1 2 3 . Wobec tego

przyrosty tych funkcji s rwne pochodnej czstkowej wzgldem odpowiedniej wsprzdnej xj razy przyrost tej wsprzdnej dxj. Poniewa przyrost d23 wynika ze zmiany wsprzdnej x2, wic

dx

dx 23

23

22= .

W podobny sposb otrzymujemy:

dx

dx dx

dx 13

13

11 33

33

33= = , .

Po podstawieniu tych wyrae do rozwaanego rwnania rwnowagi mamy:

23

2

13

1

33

33 0x

dVx

dVx

dV G dV+ + + = ,

gdzie dV = dx1dx2dx3. Ostatecznie po podzieleniu przez dV uzyskujemy rwnanie rniczkowe czstkowe:

13

1

23

2

33

33 0x x x

G+ + + =

lub

j

jjx

G3

1

3

3 0=

+ = . Rezultat ten mona atwo uoglni na pozostae rwnania rzutw przez zmian odpowiedzialnego wska-nika. Wystarczy tylko zamiast indeksu 3 napisa indeks danej osi. Tak wic sumowanie rzutw si na po-szczeglne osie rwnolege do osi ukadu wsprzdnych prowadzi do rwna rniczkowych rwnowa-gi o nastpujcej postaci:



11

1

21

2

31

31

12

1

22

2

32

32

13

1

23

2

33

33

0

0

0

x x xG

x x xG

x x xG

+ + + =

+ + +

+ + + =

,

,= (1.9)

lub =

=+3

1 ,0

ji

j

ji Gx

i = 1, 2, 3 (1.9a)

albo ji j ij

G, ,+ ==

01

3 i = 1, 2, 3, (1.9b)

gdzie przecinek na poziomie wskanika oznacza pochodn czstkow zgodnie z nastpujc umow:

( ) ( )x j j , .

Rys.1.9

Rwnania (1.9) przedstawiaj warunki, jakie musz spenia wsprzdne tensora naprenia ji x x x( , , )1 2 3 po zmianie pooenia badanego punktu. Funkcje ji jak wida nie mog by dowolne. Interesujce jest, jakie wasnoci tensora naprenia wynikaj z pozostaych warunkw rwnowagi, a mianowicie z sumy momentw wzgldem trzech osi. Obliczymy przykadowo sum momentw wzgl-dem osi rwnolegej do x2 i przechodzcej przez rodek cikoci elementarnego prostopadocianu. Na rysunku 1.9 zaznaczono t o oraz te skadowe stanu naprenia, ktre naley uwzgldni w rwnaniu momentw. Otrzymujemy rwnanie:

( ) ( ) + + + + = 13 13 2 3 1 13 2 3 1 31 31 1 2 3 31 1 2 32 2 2 2 0d dx dxdx dx dx dx d dx dx dx dx dx dx .

Po podzieleniu tego rwnania przez dx dx dx1 2 3 otrzymujemy:

13 13 31 3112

12

+ = +d d .



Skadniki d d 13 31 2/ 2 i / s maymi wielkociami wyszego rzdu, ktre mona pomin. Suma momentw wzgldem osi rwnolegej do x2 prowadzi wic do bardzo wanej zalenoci:

13 31= . Sumy momentw wzgldem osi rwnolegych do x1 i x3 daj odpowiednio: 23 32= oraz 12 21= . T wasno tensora naprenia mona zapisa krtko:

ij ji

T

i j= =, , , ,

lub

.

1 2 3

w postaci macierzowej:

s=s

(1.10)

Symbol T oznacza tutaj znak transpozycji macierzy. Na podstawie zalenoci (1.10) mwimy, e tensor naprenia jest symetryczny, tzn. wyrazy macierzy naprenia s symetryczne wzgldem gwnej prze-ktnej. Z fizycznego punktu widzenia oznacza to, e naprenia styczne na paszczyznach wzajemnie prostopadych i prostopade do krawdzi przecicia tych paszczyzn s rwne (por. rys. 1.10).

Rys. 1.10

Widzimy wic, e spord 9 wsprzdnych tensora naprenia tylko 6 jest niezalenych. W celu zde-finiowania stanu naprenia wystarczy zatem poda jedynie wyrazy lece powyej gwnej przektnej macierzy naprenia. Z symetrii tensora naprenia wynika, e macierz naprenia s jest rwna swej transpozycji T:

s s=

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

T . (1.11)

Doda warto, e zalenoci (1.9) i (1.10) mona rwnie wyprowadzi z rwna rwnowagi dowolne-go fragmentu ciaa albo z zasady zachowania pdu i zasady zachowania momentu pdu. W podsumowaniu naley stwierdzi, e skadowe stanu naprenia nie mog by dowolne; musz spenia rwnania rniczkowe rwnowagi wewntrznej (1.9) oraz wykazywa symetri wzgldem gwnej przektnej. Ostatnie stwierdzenie jest suszne jedynie w przypadku, gdy pominiemy naprenia momentowe. W orodku Cosseratw oprcz tensora napre siowych ij wystpuje rwnie tensor na-pre momentowych ij. Rwnania rwnowagi (1.9) zachowuj wwczas sw posta, a odpowiedni-kiem zalenoci (1.10) s rwnania, z ktrych wynika, e tensor napre siowych ij nie jest syme-tryczny.



1.5. TRANSFORMACJA SKADOWYCH STANU NAPRENIA.

DEFINICJA TENSORA Przyjmijmy, e w ukadzie osi x1, x2, x3 dany jest tensor naprenia s o wsprzdnych ij. Obrci-my teraz ukad osi do nowego pooenia x x x1 2 3' ' ', , , przy czym pocztek obu ukadw jest wsplny (rys. 1.11). Elementowi prostopadociennemu wycitemu mylowo w ukadzie obrconym bdzie odpowia-da tensor naprenia s, o wsprzdnych pk.

Rys. 1.11

Zadanie, jakie sobie stawiamy, to okrelenie skadowych s za pomoc danych skadowych s. Osie ukadu wsprzdnych x x x1 2 3' ' ', , tworz z osiami x x x1 2 3, , kty, ktrych kosinusy kierunkowe a x xp i p i' 'cos( , )= przedstawiono w tablicy (por. W.Nowacki [32]):

x1 x2 x3 x1' a11' a1 2' a1 3' x2' a2 1' a2 2' a2 3' x3' a31' a3 2' a3 3'

Poniewa cos() = cos, wic a ap i ip' '= . Zwrcilimy ju uwag na to, e wsprzdne wektora o dugoci jednostkowej s rwne kosinusom ktw zawartych midzy wektorem jednostkowym a osiami ukadu. Zatem elementy kadego wiersza tablicy moemy traktowa jako wsprzdne wektorw jednostkowych lecych kolejno na osiach x x x1 2 3' ' ', , . S to po prostu skadowe wersorw nowego ukadu wsprzdnych e , e , e1 2 3' ' ' (por. rys. 1.12). Wersory te zapisane za pomoc wersorw ukadu nie obrconego (pierwotnego) przyjmuj posta:

(a)

,

,

,

3

1'333'322'311'33'

3

1'233'222'211'2'2

3

1'133'122'111'1'1

=

=

=

=++=

=++=

=++=

iii

iii

iii

aaaa

aaaa

aaaa

eeeee

eeeee

eeeee



lub w postaci macierzowej:

(b) e A e A' , .' ' '

' ' '

' ' '

= =

gdzie a a aa a aa a a

11 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

31 3 2 3 3

Macierz A jest macierz transformacji wsprzdnych. Dodajmy, e macierz ta nie jest symetryczna, bo a ap i i p' ' . Oznacza to po prostu, e A

TA. Uwaga ta jest istotna przy wykonywaniu oblicze za pomoc

kalkulatorw umoliwiajcych wykonywanie operacji macierzowych.

Rys. 1.12

Poniewa wersory e p' s do siebie prostopade, ich iloczyn skalarny jest rwny zeru: (c) e e e e e e1 2 2 3 3 10 0 0' ' ' ' ' ' = = =; ; .

Mnoenie skalarne kadego z wersorw przez siebie daje z kolei kwadrat ich dugoci, czyli jedynk:

(d) e e e e e e1 1 2 2 3 31 1 1' ' ' ' ' ' = = =; ; .

Po podstawieniu do rwna (c) i (d) wzorw (a) na wersory w ukadzie obrconym otrzymujemy 6 nieza-lenych rwna wicych kosinusy kierunkowe a i pip' ( , , ; ' ' , ' , ' ):= =1 2 3 1 2 3

a a p kp i ik p ki

T

' ' ' ' ; ' , '

lub w postaci macierzowej:

= =

=

=

1

31 2 3' , ' , '

,A A I

(1.12)

gdzie p k' ' jest symbolem Kroneckera, zdefiniowanym nastpujco (por. dodatek):

p k p kp kp k' ' ' '

, ' ', ' '

=

e e ==

10

[ ]I = =

p k' ' .1 0 00 1 00 0 1

Jeli powysze postpowanie zastosujemy do wyraenia wersorw ei przez wersory ep (odpowiednie wsprzdne wystpuj wwczas w kolumnach tablicy), to otrzymamy nastpujce rwnowane zaleno-ci:

a a i jik k j ijk

T' '

' '

' , , , , lub .= = =

=

1 2 31

3A A I (1.12a)

Rwna (1.12) jest 9, przy czym rnicych si od siebie jest tylko 6. Rwnania (1.12) nie uwzgldniaj przemiennoci wzgldem mnoenia, tzn. przykadowo obok rwnania e e2 3 2 3' ' = ' ' pojawia si rwna-nie e e3 2 3 2 2 3' ' = = ' ' ' ' . S trzy takie dodatkowe rwnania. Zatem spord dziewiciu wartoci kosinu-



sw tylko 3 s niezalene (9 kosinusw 6 rwna = 3), bo wzajemny obrt ukadu opisuj 3 niezalene wartoci ktw. Przypomnimy teraz pewn wasno wynikajc z definicji iloczynu skalarnego, stosowan przy rzu-towaniu wektora na dany kierunek: rzut wektora B na kierunek okrelony wektorem jednostkowym n rwna si iloczynowi skalarnemu tych wektorw (rys. 1.13). Rzut wektora B na kierunek n wyraa wzr:

B n B n B = = ==

11

3cos . B ni i

i

Rys. 1.13 Rys. 1.14 Wsprzdne punktw przy przejciu z jednego ukadu do drugiego transformuj si tak samo jak wsprzdne wektorw. Dla przykadu wzory transformacyjne dla paskich ukadw wsprzdnych, przedstawionych na rys. 1.14, maj posta:

x x x x x x x x a x ax x x x x x x x a x a1 1 1 1 2 2 1 1 11 2 21

2 1 1 2 2 2 2 1 12 2 22

' ' ' ' '

' ' ' ' '

cos( , ) cos( , ) ,cos( , ) cos( , ) .

= + = +

= + = +

Wzory te mona uzyska natychmiast, jeli np. wsprzdn x1' potraktujemy jako rzut wektora x e e= +x x1 1 2 2 na kierunek x1', opisany wektorem jednostkowym o wsprzdnych rwnych a a11 21' 'i . Analogiczne wzory transformacyjne moemy napisa dla przypadku przestrzennego (trjwymiarowe-go):

x a x a x a x a x

x a x a x a x a x

x a x a x a x a x

i ii

i ii

i i ii

1 11 1 1 2 2 1 3 3 11

3

2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 21

3

3 31 1 3 2 2 3 3 3 31

3

' ' ' ' '

' ' ' ' '

' ' ' ' '

,

,

= + + =

= + + =

= + + =

=

=

=

(1.13)

lub w bardziej zwartym zapisie:

x a x kk k i ii

' , ( ' ' , ' , ' ),

a w zapisie macierzowym: = .

= =

=

''

1 2 31

3

x A x (1.13a)

W tym miejscu warto wprowadzi jeszcze dalsze uproszczenie zapisu. Wielokrotnie ju do tej pory uywalimy znaku sumy trzech skadnikw. Zwrmy uwag, e sumy te dotyczyy tych wskanikw, ktre powtarzay si dwukrotnie. W takich przypadkach dla skrcenia zapisu bdziemy pomija znak sumy*). Jest to tzw. konwencja sumacyjna wprowadzona przez Einsteina. Wzory transformacyjne (1.13) zapiszemy wic nastpujco:

*) Jeeli jednak nie chcemy sumowa, to wskaniki powtarzajce si dwukrotnie ujmujemy w nawiasach. Na

przykad wyraenie: P(k)u(k) oznacza tylko iloczyn dwch liczb Pk i uk (por. np. p. 5.1).



x a x p' i

x a x p' rp p'i i

p p'r r

'

'

, ' , ' , ' ; , , ,

, ' , ' , ' ; , , .

= = =

= = =

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 (1.13b)

Widzimy, e wskanik, wzgldem ktrego sumujemy, moe by oznaczony dowoln ma liter alfabetu aciskiego. Jest to tzw. wskanik niemy. Pozostae to wskaniki ywe.

Identyczne wzory stosujemy przy transformacji wsprzdnych wektorw. Na przykad wektor B o wsprzdnych B B B1 2 3, , ma w ukadzie obrconym wsprzdne B B B1 2 3' ' ', , , ktre obliczamy na pod-stawie wzorw:

B a B s ts s t t' ' ; ' ' , ' , '; , , lub ' .= = = =1 2 3 1 2 3 B A B (1.14)

Podobna zaleno obowizuje przy wyraeniu wsprzdnych w ukadzie pierwotnym przez wsprzd-ne w ukadzie obrconym:

B a B i ri ir rT

= = = =' ' ; ' , ' , '; ' ' , ' , ' lub .1 2 3 1 2 3 B A B' (1.14a)

Powrmy do problemu transformacji wsprzdnych tensora naprenia. Przyjmijmy, e jedna z osi ukadu obrconego np. o x2' (por. rys. 1.15) pokrywa si z wektorem normalnym n. Oznacza to, e n ai i= 2' . Wwczas zgodnie z rwnaniami (1.7a) wyraajcymi zaleno wektor-tensor otrzymujemy:

f n a a a ai ji j ji j i i i( ')

' ' ' ' .2

2 1 12 2 22 3 32= = = + +

Rys. 1.15

W celu obliczenia wsprzdnych wektora naprenia na cianie 2' (tzn. 2 1 2 2 2 3' ' ' ' ' ', i ) trzeba ko-

lejno rzutowa wektor f(2) o wsprzdnych fi( ')2 na kierunki osi x x x1 2 3' ' ', i :

rzut wektora f(2) na o x f a f ai i i ii

1 212

12

11

3

' ' '( ')

'( ')

': = ==

, rzut wektora f(2) na o x f a f ai i i i

i2 2 2

22

22

1

3

' ' '( ')

'( ')

': = ==

, rzut wektora f(2) na o x f a f ai i i i

i3 2 3

23

23

1

3

' ' '( ')

'( ')

': = ==

. Pamitamy tu, e wektory jednostkowe odpowiadajce tym osiom maj wsprzdne a a ai i i1 2 3' ' ', , .

Po przyjciu w tych wzorach, e f ai ji j( ')

'2

2= , otrzymujemy:



2 1 2 11

3

1

3

2 1

2 2 2 2

2 3 2 3

' ' ' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

,

,

= =

=

=

==

ji j i jiij

j i

ji j i

ji j i

a a a a

a a

a a

lub 2 2 1 2 3 1 2 3' ' ' ' , , , , ' ' , ' , 'p ji j ipa a j i p= = =gdzie oraz

Uzyskany wynik atwo mona uoglni na pozostae paszczyzny prostopade do osi x1 oraz x3:

1 1

3 3

' ' ' '

' ' ' '

,

.p ji j ip

p ji j ip

a a

a a

=

=

Otrzymane wyej rwnania mona przedstawi jednym wzorem:

k p ji jk ipa a j i k p' ' ' ' , , , , ; ' , ' ' , ' , '.= = =1 2 3 1 2 3 (1.15)

Jeli zamienimy wskaniki nieme i oraz j, to

k p ij ik jp k i ij jpa a a a i j k p' ' ' ' ' ' , , , , ; ' , ' ' , ' , '.= = = =1 2 3 1 2 3 (1.15a)

Wzory (1.15a) s poszukiwanymi wzorami transformacyjnymi skadowych tensora naprenia przy obrocie ukadu wsprzdnych.

Wzory (1.15) mona rwnie wykorzysta do transformacji z ukadu obrconego do pierwotnego: ij k p k i p j ik k p p ja a a a= =' ' ' ' ' ' ' ' . (1.15b)

Do transformacji skadowych tensora naprenia wygodnie jest uywa operacji macierzowych. W tym przypadku wykorzystamy drugie postacie prawych stron wzorw (1.15a) i (1.15b), przygotowane do zapisu macierzowego. Wynika z nich, e:

s'= A As T oraz s = A AT s' . (1.15c)

W celu lepszej ilustracji wzoru (1.15a) obliczymy rcznie wsprzdn 2 3' ' , pamitajc o konwen-cji sumacyjnej:

2 3' ' = = ij i ja a2 3' ' (sumujemy wzgldem wskanika i)

=++= 332332223121 jjjjjj aaaaaa = (sumujemy kolejno kady skadnik sumy wzgldem wskanika ) =j = + + +

+ + + +

+ + +

11 12 13 12 12 23 13 12 33

21 22 13 22 22 23 23 22 33

31 32 13 32 32 23 33 32 33

a a a a a aa a a a a aa a a a a a

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' .

Przejdziemy obecnie do definicji tensora. Zestawmy prawa transformacji wektora i tensora naprenia przy obrocie ukadu wsprzdnych:

prawo transformacji skadowych wektora B B ar i ir' '= , prawo transformacji skadowych tensora k p ij ik jpa a' ' ' '= .

W budowie obu wzorw widzimy due podobiestwo: po prawej stronie wystpuj iloczyny wsprzd-nych pierwotnych i kosinusw kierunkowych osi obrconych. Rnice s tylko ilociowe (inna liczba wskanikw i mnonikw kosinusowych). Mona sobie wyobrazi wielkoci o trzech, czterech i wicej wskanikach, transformujcych si wedug podobnego prawa:

C C a a a ap r s t ijk l ip jr ks lt' ' ',..., ' ,..., ' ' ' ',...,= . (1.16)

Wszystkie wielkoci wielowskanikowe, ktrych skadowe przy obrocie osi ukadu transformuj si zgodnie ze wzorem (1.16), nazywa si tensorami. Mamy wic tensory pierwszego rzdu (wektory), tensory drugiego rzdu (np. tensor naprenia) itd. Rzd tensora okrela liczba wskanikw. Z kolei liczba wsprzdnych takiego uoglnionego tensora wynosi mn, gdzie m jest wymiarem przestrzeni (u nas m = 3), a n jest rzdem tensora (np. wektor ma 31 = 3



wsprzdne, tensor naprenia 32 = 9 wsprzdnych). Wemy pod uwag jak wielko skalarn (np. gsto, temperatur). Przy obrocie ukadu osi w danym punkcie skalar nie zmienia swej wartoci, czyli prawo transformacji skalara ma posta: ' = . Skalar mona wic traktowa jako tensor rzdu ze-ro; liczba wsprzdnych okrelajcych skalar 30 = 1. Pojcie tensora stanowi wic uoglnienie wielkoci fizycznych. Nale do nich m.in. tensor odksztacenia i tensor staych sprystoci. Momenty bezwadno-ci figur paskich i bry s rwnie tensorami. Na przykadzie tensora naprenia omwimy specyficzne wasnoci tensorw symetrycznych drugie-go rzdu. Odwoamy si do nich przy omawianiu dalszych zagadnie.

Na zakoczenie tego punktu podamy kilka uwag na temat uywanych opisw matematycznych. Po-rwnujc zapis wskanikowy oraz zapis macierzowy, mona doj do wniosku, e macierzowe ujcie jest bardziej przejrzyste, pokazuje ogln struktur wzorw i jest atwiejsze do zapamitania. Okazuje si jednak, e zapis wskanikowy jest bardziej uniwersalny, pozwala bowiem w prosty sposb operowa obiektami wielowskanikowymi oraz zawiera informacje szczegowe o wewntrznej strukturze analizo-wanego wzoru, niedostpne w zapisie macierzowym. Przejcie z zapisu wskanikowego do macierzowe-go, jeli jest ono wykonalne, nie nastrcza kopotw, natomiast odwrotna droga jest czasami dosy cierni-sta.

1.6. NAPRENIA GWNE

Skoro na podstawie wzorw transformacyjnych (1.15a) moemy w danym punkcie obliczy wsp-rzdne tensora dla dowolnego ukadu osi prostoktnych, to zachodzi pytanie, czy mona dobra takie kie-runki osi ukadu, by naprenia styczne na ciankach elementarnego prostopadocianu byy rwne zeru. W takim przypadku wektor naprenia f(n) pokrywa si z kierunkiem normalnej do paszczyzny (por. rys. 1.16), czyli

f n iin

i( ) , , , ,= = 1 2 3

gdzie = |f(n)| oznacza dugo wektora naprenia. Z drugiej strony z zalenoci wektor-tensor (1.7) wiemy, e

f n iin

ji j( ) , , , .= = 1 2 3

Rys. 1.16

Porwnujc prawe strony obu wzorw otrzymujemy poszukiwany warunek znikania napre stycznych:

n ni ji j= lub ji j in n i = =0 1 2 3, , , .

Rozpiszemy powysze rwnania dla kolejnych wartoci wskanika i wykonujc sumowanie wzgldem wskanika j:



( ) ,( ) ,

( ) ,

11 1 21 2 31 3

12 1 22 2 32 3

13 1 23 2 33 3

000

+ + =

+ + =

+ + =

n n nn n nn n n

(1.17)

przy czym wsprzdne wektora normalnego n, jak wiemy, speniaj rwnanie:

n n = = + + =n n n n ni i 12

22

32 1 . (1.18)

Rwnania (1.17) i (1.18) tworz ukad czterech rwna o czterech niewiadomych n n n1 2 3, , .oraz Grupa rwna (1.17) stanowi ukad jednorodnych rwna liniowych ze wzgldu na wsprzdne n n n1 2 3, i . Ukad taki ma rozwizanie niezerowe tylko wwczas, gdy wyznacznik utworzony ze wsp-czynnikw ukadu jest rwny zeru. Otrzymujemy wwczas tzw. problem wartoci gwnych tensora na-prenia:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

0

= .

Po rozwiniciu wyznacznika uzyskujemy algebraiczne rwnanie III stopnia ze wzgldu na , zwane rwnaniem charakterystycznym lub wiekowym (sekularnym):

3 12

2 3 0 + =I I I , (1.19)

gdzie wspczynniki I I I1 2 3, , okrelamy ze wzorw:

( )

[ ]

I

I

I

rr

ij

ppkk rr ij ij

1 11 22 33

222 23

32 33

11 13

31 33

11 12

21 22

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

12

( ) ,

( ),,

,,

,,

,

( ) det .

s

s

s s

= + + =

= + + =

= =

= (1.20)

Rwnanie (1.19) ma 3 pierwiastki 1 2 3, , . Mona wykaza (por. dodatek), e przybieraj one zawsze wartoci rzeczywiste, jeli macierz naprenia jest symetryczna. Pierwiastki te, rzecz jasna, nie mog by zalene od przyjtego ukadu osi wsprzdnych. Oznacza to, e proporcje poszczeglnych wspczynni-kw rwnania III stopnia musz pozostawa takie same. Poniewa wspczynnik przy najwyszej pot-dze powinien by rwny jednoci, to pozostae wspczynniki rwnania (1.19), czyli

)(),(),( 321 sss III , dla kadego dowolnie przyjtego ukadu osi musz przyjmowa takie same warto-ci. Dlatego wspczynniki )(),(),( 321 sss III nazywamy niezmiennikami gwnymi tensora napr-enia. (Wektor, jako tensor pierwszego rzdu, ma tylko jeden niezmiennik; jest nim dugo wektora). Pierwiastki rwnania wiekowego (1.19) 1 2 3, , nazywamy wartociami gwnymi tensora napre-nia lub napreniami gwnymi. Czsto wartoci gwne porzdkujemy w ten sposb, e I = max ( 1 2 3, , ), a III = min ( 1 2 3, , ); naprenie II przyjmuje warto poredni. Naprenia I II III, , nazywamy uporzdkowanymi napreniami gwnymi. Pozostaje jeszcze wyznaczenie kierunkw osi odpowiadajcych poszczeglnym napreniom gw-nym. Kierunki te, tzw. kierunki gwne tensora naprenia lub osie napre gwnych, okrelone s przez 3 wektory jednostkowe n(1), n(2), n(3). Kady z tych wektorw odpowiada innej wartoci gwnej. Chcc obliczy np. wsprzdne wektora n(2), podstawiamy 2 do dowolnych dwch rwna ukadu (1.17) oraz doczamy do nich rwnanie (1.18). Otrzymujemy 3 rwnania o 3 niewiadomych n n n1

222

32( ) ( ) ( ), , :



( )( )

[ ] [ ] [ ]

11 2 12

21 22

31 32

13 12

23 22

33 2 32

12 2

22 2

32 2

0

0

1

+ + =

+ + =

+ + =

n n n

n n n

n n n

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

,

,

.

Z tego ukadu obliczamy wsprzdne normalnego wektora jednostkowego okrelajcego paszczyzn, na ktr dziaa naprenie 2. Analogicznie wyznacza si pozostae wektory n(1) i n(3). Mona wykaza, e osie gwne opisane wektorami n(1), n(2), n(3) s do siebie prostopade. Osie gwne w badanym punkcie mona wic utosamia z pewnym prostoktnym ukadem osi wsprzdnych. Pozwala to na due uproszczenie rozwaa i rachunkw. Zwrmy uwag na to, e wsprzdne n ki

k( ) ( , , )= 1 2 3 musz zatem spenia warunki ortogonalnoci, analogiczne do rwna (1.12), tzn.:

n n( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , .k l ik

il

kln n i k l = = = 1 2 3

Odpowiadajc na pytanie postawione na pocztku tego punktu stwierdzamy, e przez dobranie odpo-wiedniego ukadu osi dowolny stan naprenia mona zawsze sprowadzi do stanu odpowiadajcego dziaaniu trzech napre normalnych 1 2 3, , na trzy wzajemnie prostopade paszczyzny (rys. 1.17). Macierz naprenia okrelaj wwczas tylko 3 wsprzdne:

s =

1

2

3

0 00 00 0

.

Rys. 1.17

Liczba informacji potrzebnych do okrelenia stanu naprenia wynosi w dalszym cigu 6, poniewa

oprcz trzech wartoci I II III, , trzeba zna pooenie gwnych osi napre, okrelone przez 3 kty. Niezmienniki tensora naprenia musz by takie same dla kadego ukadu wsprzdnych, rwnie dla osi gwnych. Zgodnie ze wzorami (1.20)

I

I

I

rr

ij

pp

ij

1 1 2 3

2 2 3 3 1 1 2

3 1 2 3

= = + + =

= = + + =

= = =

const,

const,

const.

(1.21)

Zamy teraz, e ukad osi wsprzdnych x x x1 2 3, , pokrywa si z osiami napre gwnych. Ob-liczmy naprenia normalne s(n) i styczne t(n), dziaajce na dowoln paszczyzn o normalnej n. Stan naprenia w ukadzie osi gwnych opisuj wzory:

11 1 22 2 33 3 23 31 12 0= = = = = =, , ; .



Z warunkw (1.7) obliczymy wsprzdne wektora f(n):

f n

f n f n f n

in

ij jn n n

( )

( ) ( ) ( )

,

, , .

=

= = =

1 1 1 2 2 2 3 3 3

Naprenia normalne otrzymujemy, rzutujc wektor f(n) na kierunek n:

s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .n in

in n nf n f n f n f n n n n= = + + + + + 1 1 2 2 3 3 1 1

22 2

23 3

2

Naprenia styczne obliczymy ze wzoru Pitagorasa :

( )t s( ) ( ) ( ) ,n n n= f 2 2 gdzie

f ( ) ( ) ( ) ( ) .n n n nf f f n n n2

12

22

32

12

12

22

22

32

32

= + + = + +

Bardzo sugestywn interpretacj wzorw transformacyjnych (1.15a) oraz wartoci gwnych stanowi tzw. koa Mohra. W celu wykrelenia tych k obieramy prostoktny ukad wsprzdnych , . Na osi odkadamy wartoci uporzdkowanych napre gwnych I II III, , i zakrelamy koa o promie-niach:

( ) ( ) ( )12

12

12

I III I II II III , , .

Rys. 1.18

W rezultacie otrzymamy trzy wzajemnie stykajce si koa (rys. 1.18). Wykazuje si, e wsprzdne punktw obszaru zakreskowanego na rys. 1.18 odpowiadaj wszystkim moliwym kombinacjom napr-e normalnych i stycznych dla wszystkich paszczyzn przechodzcych przez badany punkt. Dowd po-prawnoci konstrukcji k Mohra oraz inne szczegy mona znale w wielu podrcznikach (np. Stani-sawskiego [43], Jakubowicza, Orosia [20], Krzysia, yczkowskiego [26]). Konstrukcj koa Mohra dla paskiego stanu naprenia omwimy szczegowo w p. 1.8.



Rys. 1.19

Z konstrukcji k napre dla przypadku przestrzennego wynikaj dalsze wasnoci tensora napre-nia, ktre podamy bez dowodu:

I jest najwikszym, a III najmniejszym ze wszystkich moliwych napre normalnych wystpuj-cych w danym punkcie,

ekstremalne naprenia styczne wystpuj na paszczyznach nachylonych pod ktem 45 w stosunku do paszczyzn gwnych. Wartoci tych napre rwnaj si promieniowi najwikszego koa Mohra (rys. 1.18 i rys. 1.19):

max = I III2

, (1.22)

a naprenia normalne na tych paszczyznach:

( ) =+ I III2

. (1.23)

1.7. ROZKAD TENSORA NAPRENIA NA AKSJATOR I DEWIATOR Kady symetryczny tensor drugiego rzdu mona rozoy na dwie czci (por. take rys. 1.20):

ij ijo

ijd

= + ( ) ( ) , (1.24)

gdzie

( ) ij(o) ij I= = + + = ; 0 0 131311 22 33 1

.

W wyraeniu tym ij

d( ) jest dewiatorem, a ijo( ) aksjatorem. Skadowe tych wielkoci przedstawiaj ma-

cierze:

[ ] [ ]

ij

oijd( ) ( ), . =

=

0

0

0

11 0 12 13

21 22 0 23

31 32 33 0

0 00 00 0



Rys.1.20

Aksjator, zwany rwnie tensorem kulistym, odpowiada wszechstronnemu rozciganiu (ciskaniu) rednim napreniem normalnym 0. Aksjator jest wic okrelony tylko przez jedn warto 0. Cech charakterystyczn dewiatora jest natomiast zerowanie si pierwszego niezmiennika:

I d d d d1 11 22 3311 22 33 11 22 33 3 0

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 0 0

= .= + + =

+ + = + + =

(1.25)

Dewiator ma wobec tego 5 niezalenych wsprzdnych, bowiem 6 liczb ijd( ) musi spenia dodatkowo

warunek I d1( ) = 0.

Rozmy jeszcze tensor naprenia zapisany w osiach gwnych (por. [32]):

[ ]

ij

d

d

d =

+

0

0

0

11

22

33

0 00 00 0

0 00 00 0

( )

( )

( )

.

Poniewa I d1( ) = 0, wic 22 11 33

( ) ( ) ( ).d d d = Wobec tego:

[ ]

ij

d

d

d

d

d

d d

d

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

, =

=

+

11

22

33

11

11 33

33

0 00 00 0

0 00 00 0 0

0 0 00 00 0

Widzimy std, e dewiator naprenia mona rozoy na dwa szczeglne przypadki paskiego stanu na-prenia; s to przypadki czystego cinania. Omwimy je bliej w p. 1.8.



Rys. 1.21

W posumowaniu stwierdzamy, e kady stan naprenia mona rozoy na aksjator, czyli wszech-stronne rwnomierne rozciganie (ciskanie), oraz na dwa czyste cinania, ktrych suma daje dewiator (por. rys. 1.21). Trzeba doda, e rozkad dewiatora na dwa czyste cinania nie jest jednoznaczny, gdy mona go dokona kilkoma sposobami.

1.8. PASKI STAN NAPRENIA

Paski stan naprenia zachodzi wwczas, gdy w kadym punkcie orodka na wszystkich paszczyznach o tym samym wektorze normalnym skadowe wektora naprenia s rwne zeru. Jeli przyjmiemy, e paszczyzny te s prostopade do osi x3, to 3i = 0, a pozostae skadowe tenso-ra naprenia nie zale od x3. Przykadem takiego stanu jest stan naprenia w cienkiej tarczy obcionej siami lecymi w paszczynie tarczy (x1, x2) i rwnomiernie rozoonymi na jej gruboci (rys. 1.22). W takim szczegl-nym przypadku naprenia 31, 32 i 33 s w przyblieniu rwne zeru na caej gruboci tarczy. Tensor naprenia ma wwczas posta:

[ ]s = =

ij 11 12

21 22

00

0 0 0, (1.26)

a wszystkie skadowe ij s tylko funkcjami x1, x2.

Rys. 1.22



W paskim stanie naprenia wzory na niezmienniki s nastpujce:

I

I

I

1 11 22

211 12

21 2211 22 12

2

3 0

= +

= =

,

,

.

(1.27)

Wobec tego rwnanie charakterystyczne, suce do obliczenia wartoci gwnych (1.19), upraszcza si do postaci:

( ) ( ) 3 11 22 2 11 22 122 0 + + = . Pierwiastki tego rwnania jak atwo stwierdzi wynosz :

1

2

11 22 11 222

122

32 20 128

=

+

+ =, . ( . )

Rwnania transformacyjne k p ij ik jpa a' ' ' '= warto zapisa nieco inaczej. Po uwzgldnieniu na podsta-wie rys. 1.23, e

a aa a

11 12

21 22

' '

' '

cos , sin ,sin , cos ,

= =

= =

mamy:

11 1 1 1 11 1 2 21 1 11 11 11 12 11 21

21 21 11 22 21 21 112

12 2222

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' cos sin cos sin ,

= = + = + +

+ + = + +

ij i j j j j ja a a a a a a a a a

a a a a

2 2 2 2 1 12 2 2 22 2 11 12 12 12 12 22

21 22 12 22 22 22 112

12 2222

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' sin sin cos cos ,

= = + = + +

+ + = +


a a a a

1 2 1 2 1 11 2 2 21 2 11 11 12 12 11 22

21 21 12 22 21 22 11 122 2

22

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' sin cos (cos sin )sin cos .

= = + = + +

+ + = + +


a a a a +

x1

x2

x1

x2

Rys.1.23

Wprowadzenie funkcji kta podwjnego:



sin cos , cos cos22 21 22

12

2 2 = = + =, sin cos sin

prowadzi do wyniku:

1111 22 11 22

12

2 211 22 11 22

12

1 211 22

12

2 22 2

2 22 2

22 2

' '

' '

' '

cos sin ,

cos sin ,

sin cos .

=+

+

+

=+

=

+

(1.29)

Z trzeciego rwnania (1.29) widzimy, e 1 2 00' ' , := =gdy

tg2 20 1211 22

=

. (1.30)

Kt 0 okrela pooenie gwnych osi napre. W praktyce inynierskiej bardzo uyteczne jest stosowanie wspomnianej ju wczeniej konstrukcji koa Mohra (1887 rok). Pena przydatno tej konstrukcji wymaga jednak wprowadzenia inynierskiego znakowania napre stycznych. Notacj inyniersk opracowano z myl, by zasada znakowania po-dobnie jak dla napre normalnych bya niezalena od przyjtego ukadu wsprzdnych. Wedug tej zasady dodatnie naprenie styczne dziaa na wycity element konstrukcji zgodnie z ruchem wskazwek zegara (rys. 1.24b). Znakowanie napre normalnych pozostaje bez zmian (+ rozciganie, ciska-nie). Doda trzeba, e znakowanie inynierskie ma sens tylko w paskim stanie naprenia.

Rys. 1.24

W celu odrnienia obu zapisw w notacji inynierskiej wprowadzamy ukad osi x, y, a naprenia zgodnie z rys. 1.24 oznaczamy nastpujco:

11 =y , y = 22 , xy = 12 , yx = + 21. (1.31)

Stosownie do tych oznacze rwnania (1.28), (1.29) i (1.30) przyjmuj posta:



1

2

22

32 20

=

+

+ =

x y x yxy , , (1.32)

xx y x y

xy

yx y x y

xy

x yx y

xy

'

'

' '

cos sin ,

cos sin

sin cos ,

=

++

=

+

+

=

+

2 22 2

2 22 2

22 2

, (1.33)

tg22

0

=

xy

x y. (1.34)

Koo Mohra wykorzystuje si na og do rozwizania nastpujcego zadania: W przyjtym ukadzie osi x, y dane s naprenia x, y i xy. Wyznaczy naprenia x i xy

dziaajce na paszczyzn o normalnej pokrywajcej si z osi x', nachylon pod ktem w stosunku do osi x. Rozwizanie tego zadania za pomoc koa Mohra (rys. 1.25) przebiega, jak nastpuje:

1) przyjmujemy prostoktny ukad osi , , 2) zaznaczamy punkt A o wsprzdnych x, xy, 3) zaznaczymy punkt B o wsprzdnych x, yx = xy, 4) znajdujemy rodek koa Mohra (punkt C) jako punkt przecicia odcinka AB z osi , 5) zakrelamy okrg o promieniu AC = CB, 6) punkt A rzutujemy poziomo (tj. rwnolegle do osi ) na przeciwn stron koa

i otrzymujemy punkt 0, bdcy pocztkiem ukadu osi x, y (o x rwnolega do osi , o y rwnole-ga do osi ),

7) z pocztku ukadu xy wyprowadzamy o x' nachylon pod ktem ; punkt przecicia prostej x' z koem (punkt D) ma poszukiwane wsprzdne x, xy.

Naprenia na paszczynie prostopadej do drugiej osi ukadu y' s wyznaczone przez wsprzdne punktu E: y, yx = xy.

Rys. 1.25

Wyznaczanie napre i kierunkw gwnych za pomoc koa Mohra (rys. 1.26): 1) wykonujemy czynnoci z poprzedniego zadania (p. 1 6),



2) kierunki gwne 1 i 2 odpowiadaj punktom, w ktrych = 0; s to punkty F(1, 0) i G(2, 0).

Rys. 1.26

Z rysunku 1.26 na podstawie znanego twierdzenia o kcie rodkowym i wpisanym stwierdzamy, e paszczyzny najwikszych napre stycznych s nachylone pod ktem 45 w stosunku do osi napre gwnych. Z atwoci odczytujemy te inne wasnoci tensora naprenia, przytoczone wczeniej przy omawianiu oglnego, trjosiowego stanu naprenia.

Rys. 1.27

Podczas wyznaczania ekstremalnych napre stycznych w paskim stanie naprenia trzeba pamita o tym, e naprenia gwne musz by uporzdkowane. W oglnoci mog wystpi 3 przypadki przedstawione na rys. 1.27. Rozwamy obecnie kilka szczeglnych przypadkw stanu naprenia.

Dwukierunkowe rwnomierne rozciganie (rys. 1.28)



11 22= = , 33 0= , 12 23 31 0= = = .

W tym przypadku tym na paszczynie x1, x2 kierunkw gwnych jest nieskoczenie wiele, a max /= 2 .

Rys. 1.28

Wszechstronne rwnomierne rozciganie (dziaanie aksjatora) 11 22 33= = = , 12 23 31 0= = = .

Aksjator naprenia nie wyrnia adnego kierunku. Dla kadego ukadu osi wsprzdna aksjatora jest taka sama, a ekstr = 0 (rys. 1.29). Std wniosek, e o kierunkach gwnych tensora decyduje tylko dewia-tor.

Rys. 1.29

Czyste cinanie

11 = =I , 22 = = III , 33 0= =II , 12 23 31 0= = = .

Z koa Mohra (rys. 1.30) wynika, e na paszczyznach nachylonych pod ktem 45 w stosunku do paszczyzn napre gwnych naprenia styczne wynosz:

I III= = =2

22

,

natomiast naprenia normalne na tych paszczyznach okrela wzr:

( ) I III=+

=

20 .

Na zakreskowany kwadracik dziaaj wic tylko naprenia styczne. Mwimy wwczas, e wystpuje w nim czyste cinanie. atwo zauway, e I1 = kk = 0. Wnioskujemy std, e czyste cinanie ma wa-sno dewiatora.



Rys. 1.30

Jednoosiowe rozciganie

11 = =I , 22 33 0= = = =II III , 12 23 31 0= = =

Przypadek ten ilustruje rysunek 1.31. Zapamitajmy, e najwiksze naprenie styczne przy osiowym rozciganiu wynosi / 2 .

Rys.1.31

1.9 PRZYKADY*)

Przykad 1 W danym punkcie stan naprenia jest okrelony przez tensor o wsprzdnych:

11 = 1000 MN/m2, 12 = 300 MN/m2, 13 = 600 MN/m2, 22 = 500 MN/m2, 23 = 100 MN/m2, 33 = 300 MN/m2.

Wyznaczy wektor naprenia f(n) na paszczynie okrelonej normaln n e e e= + +23

23

131 2 3

.

Rozwizanie Tensor naprenia jest zobrazowany macierz [ij] i rys. 1.32.

ij =

1000 300 600300 500 100600 100 300

[MN/m2].

Wsprzdne wektora f(n) okrelimy bezporednio z warunkw (1.7b):

*) Duo przykadw zawiera podrcznik [28].



f n iin

ji j( ) , ( , , ). = = 1 2 3

W naszym zadaniu:

n n n1 2 323

23

13

= = =, , .

Wsprzdne jednostkowego wektora normalnego speniaj zaleno (1.3):

n ni i = +

+

=

23

23

13

12 2 2

.

i f n n n nn j j= = = + + =

= + =

1

1000 23

300 23

600 13

667

1 1 11 1 21 2 31 3:

,

( )

MN / m2

i f n n n nn j j= = = + + =

= + =

2

300 23

500 23

100 13

567

2 2 12 1 22 2 32 3:

,

( )

+ MN / m2

i f n n n nn j j= = = + + =

= + =

3

600 23

100 23

300 13

433

3 3 13 1 23 2 33 3:

.

( )

MN / m2

Rys. 1.32 Rys. 1.33

Zaznaczymy jeszcze lady paszczyzny i obliczone wsprzdne wektora naprenia. Jeli dana pasz-czyzna odcina na osiach ukadu krawdzie o dugociach k1, k2, k3, to midzy tymi wartociami a wsprzdnymi n1, n2, n3 zachodzi zaleno (rys. 1.33):

n1k1 = n2k2 = n3k3.

W naszym zadaniu mamy

(2 / 3) std k k k k k k k k k1 2 2 3 1 2 32 3 2 3 1 3 2= = = = =( / ) , ( / ) ( / ) , , .

Rezultaty oblicze ilustruje rys. 1.34.



Rys.1.34

Na zakoczenie przykadu obliczymy skadowe normaln i styczn . Wsprzdna jest rzutem wektora f(n) na kierunek n, czyli iloczynem skalarnym tych wektorw:

MN / m2= = + + = + = f n( ) ( ) ( ) ( )n n n nf n f n f n1 1 2 2 3 3 66723

567 23

433 13

678 .

Wsprzdn obliczymy ze wzoru Pitagorasa:

= f n( ) ,2 2

przy czym f ( ) .n j(n)

j(n)f f= = + + =667 567 9772 2 2( 433) MN / m2

Zatem MN / m2= =977 678 7032 2 .

Kt midzy kierunkiem f(n) a wektorem normalnym n okrela zaleno: n f f = =( ) ( ) cos ,n n std = = arccos( / ) ,678 977 46 04 .

Wielkoci , , ilustruje rys. 1.34b.

Przykad 2 Dany jest stan naprenia ij x x x( , , ):1 2 3

[ ]ijx x xx x

x =

3 5 05 0 20 2 0

1 2 22

22

3

3

.

Sprawdzi, czy w kadym punkcie s spenione rwnania rniczkowe rwnowagi, jeeli wsprzdne si masowych okrelaj funkcje :

G1 = 13x2, G2 = 2, G3 = 0.

Rozwizanie Rwnanie rniczkowe rwnowagi okrela wzr (1.9b):

ji j iG i, ( , , )+ = =0 1 2 3 .

Po rozpisaniu tego wzoru mamy 3 rwnania:



i Gi Gi G

= + + + =

= + + + =

= + + + =

1 02 03 0

11 1 21 2 31 3 1

12 1 22 2 32 3 2

13 1 23 2 33 3 3

: ,: ,: .

, , ,

, , ,

, , ,

Na podstawie macierzy naprenia ji odczytujemy:

11 1 2 22

12 21 22

32 23 3

13 31 33

3 0

5 20 0

= =

= = = =

= = =

x x

x x

, ,

, ,, .

Obliczymy pochodne czstkowe wystpujce w rwnaniach rwnowagi:

.0 ,0 ,0

,2 ,0 ,0

,0,10,3

33,32,231,13

3

3232,32,221,12

3,3122

2121,22

1

111,11

===

====

=====

x

xx

xx

Po podstawieniu powyszych rezultatw oraz funkcji Gi do rwna rwnowagi otrzymujemy: i x x xii

= + + =

= + + =

= + + + =

1 3 10 0 13 02 0 0 2 2 03 0 0 0 0 0

2 2 2: ,: ,: .

Stwierdzamy wic, e funkcje ij x x x( , , )1 2 3 oraz gsto si masowych G x x xi ( , , )1 2 3 speniaj w kadym punkcie warunki rwnowagi.

Przykad 3 Stan naprenia w danym punkcie jest opisany macierz s odniesion do ukadu osi prostoktnych x1, x2, x3:

[ ]s = =

ij

2 2 02 3 00 0 3

.

Wyznaczy wsprzdne macierzy s, zwizanej z ukadem osi obrconych x x x1 2 3' ' ', , , opisanych macierz transformacji [aki]:

[ ]ak i' =

0 12

12

12

12

12

12

12

12

.

Rozwizanie

Sprawdzimy najpierw, czy wersory w ukadzie osi obrconych speniaj warunki ortogonalnoci (1.12):

a aik ip k p' ' ' ' = . W tym celu trzeba wymnoy przez siebie i zsumowa odpowiednie wiersze macierzy [aki]:

k' = p' = 1' (mnoymy pierwsz kolumn przez siebie):



1 2

1 2

1 0 aaaaaa22

'31'31'21'21'11'111'1 =

+

+=++= ,

k' = 1', p' = 2' (kolumna 1' kolumna 2'):

1 2 2 1 11 12 21 22 31 32 012

12' ' ' ' ' ' ' ' '

= = + + = =a a a a a a +12

12

+ 12

0 ,


13 31 012

12

12

12

12

0' ' ' '= =

+ +

= ,


2 22 2 21

212

12

1' ' =

+

+

= ,


2 3 3 212

12

12

12

12

12

0' ' ' '= =

+ +

= ,

k' = p' = 3' (kolumna 3' kolumna 3'):

332 2 21

212

12

1' ' .=

+

+

=

Warunki ortogonalnoci s zatem spenione. Spenione musz by rwnie warunki ortogonalnoci wer-sorw w ukadzie nie obrconym. Sprawdzenie polega tutaj na wymnoeniu kolumn macierzy [aki]: a ak i k j ij = . Wzajemne pooenie obu ukadw wsprzd-nych ilustruje rysunek 1.35.

Rys. 1.35



Do wyznaczenia macierzy s o wsprzdnych kp wykorzystujemy wzory transformacyjne (1.15a).

k p ij ik jp

j k jp j k jp j k jp

k p k p k p

k p k p k p

k p k p k

a a

= a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a

' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' ' '

= =

+ + =

= + + +

+ + + +

+ + +

1 1 2 2 3 3

11 1 1 12 1 2 13 1 3

21 2 1 22 2 2 23 2 3

31 3 1 32 3 2 33 3 a p3 ' .

Poniewa 13 23 31 32 0= = = = , za 11 12 22 332 2 3 3= = = = , , , , wic

k p k p k p k p k p k pa a a a a a a a a' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' .= + 2 2 2 3 31 1 1 2 2 1 2 1 3 3 Wobec tego:

( ) ( ) ( )11 11 2 11 21 21 11 21 2 31 2

22 2

2 2 2 3 3

2 0 2 0 12

2 12

0 3 12

3 12

0

' ' ' ' ' ' ' ' '

,

= + =

= +

=

a a a a a a a

1 2 11 12 11 22 21 12 21 12 31 322 2 2 3 3' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '= + =a a a a a a a a a

= 2 0 12

2 0 12

2 12

12

3 12

12

3 12

12

11213 + = , , 1 3 11 13 11 23 21 13 21 13 31 332 2 2 3 3' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '= + a a a a a a a a a =

= 2 0 12

2 0 12

2 12

12

3 12

12

3 12

12

3 1213

+

= , , ( ) ( ) ( )2 2 12 2 12 22 22 12 22 2 32 2

2 2 2

2 2 2 3 3

2 12

2 2 12

3 12

3 12

0 4142

' ' ' ' ' ' ' ' '

, ,

= + =

=

+

= a a a a a a a

2 3 12 13 12 23 22 13 22 13 32 332 2 2 3 3' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '= + =a a a a a a a a a

=

+

= 2 1

212

2 12

12

2 12

12

3 12

12

3 12

12

1,

( ) ( ) ( )3 3 13 2 13 23 23 13 23 2 33 2

2 2 2

2 2 2 3 3

2 12

2 2 12

3 12

3 12

2 4142

' ' ' ' ' ' ' ' '

, .

= + =

=

+

=a a a a a a a

Poniewa k p p k' ' ' '= , wic macierz s przyjmuje posta:

[ ]k p' ' ', ,

, ,, ,

= =

s

0 11213 3 121311213 0 4142 13 1213 1 2 4142

.

Potwierdzeniem poprawnoci otrzymanego rezultatu bd identyczne wartoci niezmiennikw stanu

naprenia. Dla macierzy s mamy:



I1 = 2 + 3 3 = 2,

I23 00 3

2 00 3

2 22 3

9 6 6 2 2 13=

+

+

= + = ( ) ( ) ,

I3

2 2 02 3 00 0 3

2 3 3 2 0 0 2 0 0 0 3 0 3 2 2 2 0 0 6=

= + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

Dla macierzy s otrzymujemy:

I1 = 0 0,4142 + 2,4142 = 2,

I22 20 4142 1

1 2 41420 31213

31213 2 41420 11213

11213 0 41422 31213 11213 13=

+ +

=

,,

,, ,

,, ,

, , ,

.61213,14142,20)1()1(1213,3)4142,0(

2)4142,0(21213,31213,1)1(4142,2)4142,0(04142,211213,3

14142,01213,11213,31213,10

22

3

+=

=I

Rezultaty oblicze ilustruje rys. 1.36, na ktrym uwidoczniono kostki napre

w obu ukadach.

Rys. 1.36

Przykad 4

Dany jest tensor naprenia o wsprzdnych:

11 = 100 MN/m2, 12 = 30 MN/m

2, 13 = 60 MN/m2,

22 = 50 MN/m2, 23 = 10 MN/m

2, 33 = 30 MN/m2,

(1 MN/m2 = 10 kG/cm2).

Wyznaczy wartoci i kierunki gwne tensora.



Rozwizanie Tensor naprenia zapiszemy w postaci macierzy:

[ ]ij =

100 30 6030 50 1060 10 30

[MN/m2].

Obliczamy niezmienniki (wzory 1.20): I1 11 22 33 120= + + = MN / m

2 ,

I2 22 33 232

11 33 132

11 22 122 24100= + + = MN / m2( ) ,

I3 11 22 33 12 23 31 22 132

11 232

33 122 32 349000= + = ( ) .MN / m2

Rwnanie charakterystyczne (1.19):

3 12

2 3 0 + =I I I .

Poszukujemy pierwiastkw rwnania III stopnia. Rwnanie o postaci (por. Bronsztejn, Siemiendiajew [6]):

ax3 + bx2 + cx + d = 0 ma 3 rozwizania:

x y ba

ii i = =31 2 3( , , ),

przy czym charakter rozwizania zaley od wartoci wyrnika D:

D q p q ba

bca

da

p ac ba

gdzie = + = + =2 3

3

2

2

23 6 23

9, , .

Jeli: D < 0, to rwnanie ma 3 pierwiastki rzeczywiste,

D > 0, to rwnanie ma 1 pierwiastek rzeczywisty i 2 zespolone, D = 0, to rwnanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste w tym jeden dwukrotny.

Przy wyznaczaniu wartoci gwnych tenora naprenia wyrnik D jest zawsze mniejszy od zera. Wwczas dalsze obliczenia przebiegaj wedug nastpujcych wzorw :

r q p qr

y r y r y r

( )

o o

= =

= = = +

sgn , cos( ) ,

cos , cos( ), cos( ).

3

2 2 60 2 60

3

1 2 3

W naszym zadaniu mamy:

p I I MN / m2= = 39

29672 12

2( ) ,

q I I I I D q p= = = + = 13

1 2 3 3 2 3 10 2 63 6 2

28500 2 53 10+ MN / m MN / m2( ) ; , ( ) ;

ba

I q

r qr

3 340 1

1 2967 54 47 3 0 176347 26 614

10

3

= = = = +

= + = = = =

MN / m (

MN / m

2

2 o

, sgn ) ,

, , cos( ) , , ,

.2MN/m4,6)o614,26o60cos(47,542

,MN/m0,91)614,2660cos(47,542,MN/m4,97)614,26cos(47,542

3

2oo2

2o1

=+=

==

==

y

yy

Nieuporzdkowane naprenia gwne wynosz:



1 1 0

2 2 0

3 3 0

97 4 40 57 4

91 0 40 131 0

6 4 40 46 4

= + = + =

= + = + =

= + = + =

y

y

y

, , ;

, , ;

, , .

MN / m

MN / m

MN / m

2

2

2

Po uporzdkowaniu ( I II III ) otrzymujemy poszukiwane wartoci gwne:

I2

II2

III2MN / m MN / m MN / m= = = = = = 2 3 1131 0 46 4 57 4, , , , , .

kierunki gwne moemy wyznaczy z rwna (1.17) i (1.18): ( )

( )( )

11 1 21 2 31 3

12 1 22 2 32 3

13 1 23 2 33 3

12

22

32

0

0

0

1

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

n n n

n n n

n n n

n n n

,

,

,

.

Do wyznaczenia ktregokolwiek kierunku gwnego wykorzystamy pierwsze dwa rwnania oraz rwnanie czwarte. Wprowadzimy pomocnicze niewiadome 2 i 3:

2 21

33

1 = =n

nnn

, .

Po podzieleniu pierwszych dwch rwna przez n1 otrzymujemy ukad dwch rwna o dwch nie-wiadomych 2 i 3 :

(a) ( ) 21 2 31 3 11

22 2 32 3 12

+ =

+ =

,

(b) skd ( )[ ]

( )( )[ ]

2 11 32 12 13

3 122

11 22

= +

= +

/

/

W

W

gdzie W = + 21 32 31 22( ) .

Z czwartego rwnania obliczymy n1:

(c) n122

32

1

1 =

+ + ,

co pozwala wyznaczy pozostae wsprzdne n2 i n3:

(d) n2 = 2n1, n3 = 3n1.

Podstawiajc we wzorach (b) kolejno = I, = II oraz = III otrzymamy wsprzdne n n n n n n1 2 3 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ; , ,I I I II II II oraz n n n1 2 3( ) ( ) ( ), ,III III III . Wyniki oblicze zestawiono w tablicy:

[MN/m2] 2 3 n1 n2 n3

I II III

131,0 46,4 57,4

0,3270 4,5446 0,5003

0,3524 1,3796 2,3730

0,9012 0,2060 0,3812

0,2947 0,9364 0,1907

0,3176 0,2842 0,9046

Sprawdzamy ortogonalno:



I II I II I II I II I II, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,= = + + = n n n n n n n ni i 1 1 2 2 3 3 0 00005 0 I,III I III I III I III I III= = + + = n n n n n n n ni i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,1 1 2 2 3 3 0 00004 0 II,III II III II III II III II III= = + + = n n n n n n n ni i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,1 1 2 2 3 3 0 00001 0

I,I (I I I I I= = + + = n n n n ni i) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,1 2 32 2 2

0 99998 1

II,II (II II II II II= = + + = n n n n ni i) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,1 2 32 2 2

1 0000506 1

III,III III III III III III= = + + = n n n n ni i( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , .1 2 32 2 2

0 99998 1

Naprenia gwne ilustruje macierz naprenia:

s =

131 0 0 00 46 4 00 0 57 4

,,

,

.

Dla kompletu sprawdzimy jeszcze wartoci niezmiennikw. Obliczymy je obecnie w ukadzie osi gwnych:

I1 = 131,0 + 46,4 57,4 = 120 MN/m2.

I2 = 46,4(57,40 + 131,0(57,4) + 131,046,4 = 4104 4100 (MN/m2)2,

I3 = 131,046,4(57,4) = 348900 349000 (MN/m2)3.

Graficzn ilustracj tensora wyjciowego oraz usytuowanie kierunkw gwnych i kostk napre gwnych przedstawia rys. 1.37.

Rys. 1.37



Przykad 5

Rozoy tensor naprenia z przykadu 4. na aksjator i dewiator. Obliczy wartoci gwne dewiato-ra. Okreli ekstremalne naprenia styczne.

Rozwizanie Rozkadu na aksjator i dewiator dokonujemy w nastpujcy sposb:

[ ]ij =

100 30 6030 50 1060 10 30

, 0 13120

340= = =I MN / m2 ,

[ ]ij =

+

40 0 00 40 00 0 40

60 30 6030 10 1060 10 70

,

[ ] [ ] [ ] ij ijo ijd = +( ) ( ) .

Obliczamy niezmienniki dewiatora:

I

I

I

d

d

d

1

22 2 2

32 2 2 3

60 10 70 0

10 70 102 60 70 60 60 10 30 8900

60 10 70 30 10 60 2 60 10 30 70 10 60 57000

( )

Andrzej Gawęcki - Mechanika Materiałów i Konstrukcji Prętowych

Documents

Transcript of Andrzej Gawęcki - Mechanika Materiałów i Konstrukcji Prętowych