CZAS PRACY: 120 MINUTLICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50

ZADANIA ZAMKNIĘTE

W zadaniach od 1. do 26. wybierz i zaznacz jedyną poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (1 punkt)Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.

A. B. C. D.

Zadanie 2. (1 punkt)Miesięczna opłata za parking była równa 150 zł. Po podwyżce opłaty o 20% nowa wysokość

opłaty toA. 152 zł B. 153 zł C. 170 zł D. 180 zł

Zadanie 3. (1 punkt)

Liczba jest równa

A. B. C. D.

Zadanie 4. (1 punkt)Liczba jest równa

A. B. 1 C. D.

Zadanie 5. (1 punkt)Dziedziną wyrażenia jest suma przedziałów

A. C.

B. D.

Zadanie 6. (1 punkt)Rozwiązaniem nierówności jest przedział

A. B. C. D.

Zadanie 7. (1 punkt)

Wyrażenie jest równe

A. B. C. D.

Zadanie 8. (1 punkt)Wskaż liczbę przeciwną do , gdy

A. B. C. D.

Zadanie 9. (1 punkt)Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej . Wynika stąd, że

A. B. C. D.

Zadanie 10. (1 punkt)Z faktu, że funkcja liniowa jest malejąca, wynika, że

A. B. C. D.

Zadanie 11. (1 punkt)Funkcja jest określona wzorem .

Liczba miejsc zerowych funkcji jest równa

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Zadanie 12. (1 punkt)Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Prosta, która jest osią syme-

trii tej paraboli, ma równanie

A. B. C. D.

Zadanie 13. (1 punkt)Wykres funkcji kwadratowej ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu

A. B. C. D.

Zadanie 14. (1 punkt)Do zbioru rozwiązań nierówności należy liczbaA. 5 B. 1 C. —1 D. —5

Zadanie 15. (1 punkt)Iloczyn wszystkich rzeczywistych pierwiastków równania jest

równyA. —360 B. —40 C. 40 D. 360

Zadanie 16. (1 punkt)Ciąg trójwyrazowy jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wynika stąd, że

A. B. C. D.

Zadanie 17. (1 punkt)W ciągu arytmetycznym dane są i . Różnica tego ciągu jest równaA. 6 B. 2 C. —2 D. —6

Zadanie 18. (1 punkt)Dane są długości boków i trójkąta prostokątnego ABC o kącie ostrym (zo-

bacz rysunek). Wtedy

A.

B.

C.

D.

Zadanie 19. (1 punkt)Różnica miar dwóch sąsiednich kątów w równoległoboku jest równa 80o. Kąt rozwarty tego

równoległoboku ma miarę A. 120o B. 125o C. 130o D. 135o

1tg

2

tg 2

4tg

82

8tg

82

A C

B

8

4

á

4BC8AC

62a

38ana

4x3,5x3x2,5x

4, 2 , 9x

24 2 5 9 0x x x x

7 4 0x x

2y4y6y8y

27 5 3f x x

6x3x3x6x

2 6 11f x x x

f

2

4 dla 2

5 dla 2

x xf x

x xf

4;m4m3m; 3m

3 4f x m x

5m1m1m5m

2 3f x m x

6

5

6

5

3

10

10

3

2:1 2

3xx

5 6

2

x5 3x5 6x10 3x

10 6

2

x

4;2;; 2; 4

22

3

xx

;0 0;2 2;; 2 2;

; 2 2;0 0;;2 2;

2

2

x

x

6log 21

6log 151

2

6 6log 18 log 3

573

2717

5

167

5

447 7

4 2x4 2x6 2x2 6x

x60 2

1

Wtorek 19 kwietnia 2011 Gazeta Wyborcza wyborcza.pl

4 Gazeta Edukacja

Sprawdź, czy zdasz!

MaturaPoziom podstawowy

Maturzysto! Obowiązkowy egzamin z matematyki coraz bliżej. Dziś drukujemy próbny testprzygotowany przez naszych ekspertów. Jutro – angielski i niemiecki na poziomie podstawowym

R E K L A M A

Próbna matura 2011matematyka

30462591

Zadanie 20. (1 punkt)Promień koła opisanego na kwadracie jest równy 8 cm. Wynika stąd, że pole tego kwadratu

jest równeA. 16 cm2

B. 64 cm2C. 128 cm2

D. 256 cm2

Zadanie 21. (1 punkt)

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej o równaniu jest równy

A. 2 B. C. D.

Zadanie 22. (1 punkt)

Punkty , są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Promień koła wpisanego w ten kwadrat jest równyA. 5 B. C. 10 D.

Zadanie 23. (1 punkt)

Środek okręgu o równaniu ma współrzędne

A. B. C. D.

Zadanie 24. (1 punkt)

Graniastosłup ma 10 wierzchołków. Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równaA. 20 B. 18 C. 15 D. 9

Zadanie 25. (1 punkt)

Średnia arytmetyczna pięciu liczb, z których pierwsza jest równa 3, a każda następna jest o 2większa od poprzedniej jest równa

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

Zadanie 26. (1 punkt)

Ze zbioru liczb wybieramy losowo jedną liczbę. Jeśli poznacza prawdo-podobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3, to

A. B. C. D.

ZADANIA OTWARTE

Zadanie 27. (2 punkty)

Rozwiąż nierówność .

Zadanie 28. (2 punkty)

Rozwiąż równanie .

Zadanie 29. (2 punkty)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej xprawdziwa jest równość .

Zadanie 30. (2 punkty)

Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale .

Zadanie 31. (2 punkty)

Punkt E leży na boku BC prostokąta ABCD, i (zobacz rysunek).

Wykaż, że .

Zadanie 32. (2 punkty)

Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość CD trójkąta ABC, gdy ,, .

Zadanie 33. (4 punkty)

Dane są punkty , , . Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny

i wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.

Zadanie 34. (4 punkty)

Suma trzech liczb będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego jest rów-na 12. Jeśli do pierwszej liczby dodamy 2, do drugiej 5, a do trzeciej 20, to otrzymamy trzy kolej-ne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

Zadanie 35. (4 punkty)

Wysokość walca jest o 6 dłuższa od średnicy jego podstawy, a pole jego powierzchni całkowi-tej jest równe 378 . Oblicz objętość tego walca.

12, 8C4,6B0,0A

1,3C3,8B

1,6A

AEDEDCBAE

A B

CD

E

E CE B

0;12 6 11f x x x

6 364 16x x

3 23 4 12 0x x x

2 2 15 0x x

1

3p

1

3p

1

4p

1

4p

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2,3S2, 3S4,6S4, 6S

2 2 4 6 2010 0x y x y

10 25 2

5, 2B3,4A

1

2

1

22

2 3y x

1

Dokończenie – s. 6

Próbna matura z matematyki • Gazeta Edukacja 5wyborcza.pl Gazeta Wyborcza Wtorek 19 kwietnia 2011

30659579

R E K L A M A

ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

WSKAZÓWKI DO ROZWIĄZYWANIA NIEKTÓRYCH ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Zadanie 8. (1 punkt)

Obliczając wartość liczby x, otrzymujemy:

.

Dwie liczby przeciwne to takie liczby, których wartości bezwzględne są takie same, ale różniąsię znakiem. Na osi liczbowej leżą one w tej samej odległości od punktu 0, ale po jego przeciwnychstronach, np.

Liczbą przeciwną do jest liczba .

Zadanie 12. (1 punkt)

Oś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek i jej równanie ma postać x = p, gdzie pjest pierwszą współrzędną wierzchołka. Obliczamy pierwszą współrzędną pwierzchołka para-boli o równaniu :

.

Odp. Równanie osi symetrii jest postaci .

Zadanie 15. (1 punkt)

Pierwiastki równania odczytujemy wprost z jego postaci iloczynowej. Są to liczby: . Ich iloczyn jest równy .

Zadanie 20. (1 punkt)

Średnica okręgu opisanego na kwadracie jest jednocześnie jegoprzekątną.

Pole kwadratu obliczamy ze wzoru .

Zadanie 22. (1 punkt)

Promień r okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie

długości boku tego kwadratu, stąd .2 21 18 6 5

2 2r AB

22 2128cm

2

r rP

404, 2, 5

3x

63

2 2

bp

a

1162 xxxf

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

3x

x

10

3

10

3

0 1-1 -2 -3 -4 2 3 4 x

2 102 1

3 3x

ODPOWIEDZI I SZKIC ROZWIĄZAŃ

Nr zad . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Odp . C D C B B D C A C A C B D A B B C D C C D A D C B B

y

1

Wtorek 19 kwietnia 2011 Gazeta Wyborcza wyborcza.pl

6 Gazeta Edukacja • Próbna matura z matematyki

Zadanie 25. (1 punkt)Obliczamy średnią arytmetyczną liczb: 3, 5, 7, 9, 11.

Średnia arytmetyczna .

ODPOWIEDZI I SZKIC ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH

Zadanie 27. (2 punkty)Szkic rozwiązania

,

,

Odpowiedź: .

Zadanie 28. (2 punkty)

, ,

Odpowiedź: , ,

Zadanie 29. (2 punkty)

Przekształcamy nierówność równoważnie .

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, co należało udowodnić.

Zadanie 30. (2 punkty)

Funkcja kwadratowa przyjmuje najmniejszą

wartość dla , a w przedziale jest malejąca.

Wynika stąd, że najmniejszą wartością funkcji w przedziale

jest .

Odpowiedź: .

Zadanie 31. (2 punkty)Przedłużamy prostą DE do przecięcia z prostą AB w punkcie F.

1 6f

1 6f0;1

f

0;13x

2 6 11f x x x

2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

x

y

26 3 6 3 364 16 16 64 0 8 0x x x x x

32x2

2x13x

32x

22x

13x

3 2 2 0x x x

23 4 0x x

2 3 4 3 0x x x

3 23 4 12 0x x x

; 3 5;x

; 3 5;x

25x1

3x

2 2 15 0x x

3 5 7 9 11 357

5 5

Dokończenie ze s. 5

INFORMACJA DLA OGŁOSZENIODAWCÓW

REKLAMA:

22 555 63 7722 555 63 76

GazetaEdukacja

17majawtorek

ogólnopolski dodatek

Gazety Wyborczej

30657613 30656651

30667604

R E K L A M A

– kąty naprzemianległe.

Kąt AED jest kątem zewnętrznym trójkąta AFE, stąd,

co należało udowodnić.

Zadanie 32. (2 punkty)Prosta zawierająca wysokość CD trójkąta ABC to prosta prostopadła do prostej AB, przecho-

dząca przez punkt C. Prosta AB ma równanie , a prosta zawierająca wysokość CD ma rów-nanie .

Odpowiedź: .

Zadanie 33. (4 punkty), , , stąd

Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa stwierdzamy, że trójkąt ABCjest prostokątny, a odcinek BC jest jego przeciwprostokątną. Środek okręgu opisanego na trójkącieprostokątnym to środek przeciwprostokątnej, a promień R to połowa długości przeciwprostokątnej.

, Równanie okręgu jest następujące .

Odpowiedź: Równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC jest postaci .

Zadanie 34. (4 punkty)Kolejne trzy wyrazy rosnącego ciągu arytmetycznego możemy zapisać w postaci

, gdzie . Z warunku wynika, że i ciąg arytme-

tyczny jest postaci oraz .

Ciąg jest geometryczny, możemy więc zapisać

równanie (z własności ciągu geometrycznego):

, czyli , które ma dwa rozwiązania , .

Druga odpowiedź, czyli , spełnia warunki zadania i liczby będące wyrazami ciągu arytme-

tycznego to 1, 4, 7.Odpowiedź: 1, 4, 7.

Zadanie 35. (4 punkty)Oznaczmy: r – promień podstawy walca, h – wysokość walca, wtedy Pole powierzchni całkowitej Pc tego walca zapisujemy następująco:

.

Z warunków zadania zapisujemy równanie z niewiadomą r: , oraz .

Po wykonaniu przekształceń otrzymujemy równanie , którego rozwiązaniamisą liczby ; . Pierwsza liczba nie spełnia warunków zadania, więc promień podstawy

, a wysokość walca . Obliczamy objętość V walca: .Odpowiedź: .2 980V r h

2 980V r h

20h7r

27r

19r

2 2 63 0r r

0r22 2 2 6 378r r r

22 2 2 6CP r r r

2 6h r

23r

23r

121r2 18 63 0r r29 6 24r r

4 2, 4 5, 4 20 6 , 9, 24r r r r

0r4 , 4, 4r r

4a r2 12a a r a r0r, , 2a a r a r

2 28 1 65x y

2 28 1 65x y

2 65R8, 1S

2 2 2AB AC BC

2260BC

2208AC

252AB

2y x

2y x

5y x

EDCBAEBFEBAEAED

EDCEFB

A B

CD

E

F

á

á

1

wyborcza.pl Gazeta Wyborcza Wtorek 19 kwietnia 2011

Próbna matura z matematyki • Gazeta Edukacja 7

Partner radiowy

Dziś w Faktach RMF MAXXX, jak trudno maturzystom powtarzać materiał w gorączceprzedświątecznych przygotowań.

Jakie sposoby na szybką naukę mają maturzyści? Posłuchaj w Faktach RMF FM!

30657507

INFORMACJA DLA OGŁOSZENIODAWCÓW

9majaponiedziałek

Studia MBA i podyplomowe

sekcja w Gazecie Praca

Ewa Maruszak 22 555 63 77Aleksander Pieczara 22 555 63 76

30657618

30629010

30660951

R E K L A M A