1

2.6. WYBOCZENIE Wyboczeniem pręta prostego ściskanego siłą osiową P nazywamy jego nagłe wygięcie w kierunku prostopadłym do osi podłużnej, zaś sił ą krytyczn ą KP nazywamy siłę, przy której następuje jego wyboczenie. Wyboczenie jest jedną z form utraty stateczności układu mechanicznego, zaś stateczność jest zdolnością tego układu do przeciwstawiania się czynnikom zakłócającym jego stan równowagi.

2.6.1. Wyboczenie sprężyste

Rozważmy pręt prostoliniowy obciążony rosnącą siłą ściskającą P . Jeśli KPP < , pręt znajduje się w stanie równowagi statecznej, zaś jego oś pozostaje prostoliniowa (rys. 1a). Po osiągnięciu przez siłę ściskającą wartości krytycznej KPP = pojawia się stan równowagi chwiejnej, w którym jakakolwiek niewielka przyczyna (wstrząs, przypadkowe uderzenie) powoduje wyboczenie pręta i przejście do stanu równowagi obojętnej charakteryzującej się krzywoliniową osią pręta (rys. 1b). Dalszy, niewielki przyrost siły ściskającej powoduje wyraźne zwiększenie ugięcia pręta i może prowadzić do jego nagłego zniszczenia.

Rys. 1

2.6.2. Siła krytyczna EULERA

Wartość siły krytycznej EK PP ≡ wyznaczymy korzystając z teorii E ULERA wyboczenia pręta sprężystego, przy następujących założeniach upraszczających:

− materiał pręta pracuje w zakresie liniowo-sprężystym (obowiązuje prawo HOOKE’A),

− nie obowiązuje zasada zesztywnienia,

− krzywizna osi ugiętej pręta jest mała,

− kierunek siły ściskającej się nie zmienia,

2

− wpływ sił poprzecznych na siłę krytyczną jest pomijalny,

− wpływ skrócenia pręta na siłę krytyczną jest pomijalny. Z analizy krzywoliniowej postaci osi pręta (rys. 2) wynika, że wyboczenie pręta skutkuje jego zginaniem, przy czym moment zginający w dowolnym przekroju określa zależność ( ) ( )xwPxM E ⋅= (1) gdzie ( )xw jest ugięciem pręta.

Rys. 2 Podstawiając powyższą zależność do równania osi ugiętej pręta (1.11.6) otrzymujemy następujące równanie:

022

2

minmin2

2

=+→⋅−=−= wkdx

wdEI

wPEIM

dxwd E (2)

gdzie

min

2

EIP

k E= (3)

W równaniu (2) występuje minimalny moment bezwładności, gdyż wyboczenie następuje zawsze w kierunku prostopadłym do osi głównej, względem której moment bezwładności jest najmniejszy. Uzupełniając równanie (2) o warunki brzegowe, do wyznaczenia osi ugiętej pręta po jego wyboczeniu dostajemy następujące zagadnienie brzegowe :

( ) ( ) 00

022

2

==

=+

lww

wkdx

wd (4)

którego rozwiązanie ma postać

3

( ) kxBkxAxw cossin += (5) Stałe całkowania A i B wyznaczamy z warunków brzegowych

( )( ) 0sinlub00sin0cos0sin

000cos0sin0

==→=→=⋅+==→=+=

klAklAklklAlw

BBAw

Jeśli 0=A to ( ) 0=xw – co oznacza prostoliniową postać pręta. Jeśli zaś 0sin =kl

,...3,2,1, ==→= nl

nknkl

ππ

Ponieważ rzeczywistą postać osi ugiętej pręta otrzymujemy przy 1=n , więc l

kΠ= .

Podstawiając zatem k do relacji (5) otrzymujemy zależność

( ) xl

Axwπ

sin= (6)

z której wynika, że ugi ęcie osi pr ęta jest określona z dokładnością do stałej A . Podstawiając z kolei k do relacji (3) otrzymujemy sił ę krytyczn ą EULERA określoną następującym wzorem

2min

2

lEI

PE

π= (7)

2.6.3. Wpływ zamocowania na siłę krytyczną. Długość wyboczeniowa

Ponieważ rozwiązanie równania (2) jest zależne od warunków brzegowych, a więc wartość siły krytycznej zależy od sposobu zamocowania pręta. Jeśli rozwiążemy zatem odpowiednie zagadnienia brzegowe w przypadku prętów przedstawionych na rys. 3 b-d

Rys. 3

4

to otrzymamy następujące wartości siły krytycznej:

( ) ( ) ( )2min

2

2min

2

2min

2

5.0,

7.0,

2 l

EIP

l

EIP

l

EIP d

Ec

Eb

E

πππ === (8)

Porównując formuły (7) i (8) widzimy, że można je przedstawić w jednolitej postaci

2min

2

wE l

EIP

π= (9)

gdzie wl oznacza długo ść wyboczeniow ą, zależną od sposobu zamocowania pręta. W rozważanych przypadkach długość ta wynosi odpowiednio lllllw 5.0,7.0,2,= . Ze wzoru (9) wynika, że wartość siły krytycznej zależy od długości pręta, wielkości i kształtu jego przekroju, rodzaju materiału oraz sposobu zamocowania końców pręta. W przypadku różnego sposobu zamocowania pręta w obu kierunkach osi głównych należy wyznaczyć obie wartości siły krytycznej i wybrać mniejszą.

2.6.4. Naprężenie krytyczne. Smukłość pręta

Wartości siły krytycznej i pojawieniu się wyboczenia, czyli utracie stateczności, odpowiada następująca wartość naprężenia krytycznego:

2

2

2

2min

2

2min

2

λπππσ E

lEi

AlEI

AP

ww

EE ==== (10)

gdzie

minilw=λ (11)

oznacza smukło ść pręta.

2.6.5. Zakres ważności wzoru EULERA

Ponieważ pręt pracuje w zakresie liniowo-sprężystym, zatem naprężenia ściskające nie powinny przekraczać granicy proporcjonalności HR . Zatem

( ) HE RE ≤=2

2

λπλσ

Z powyższej nierówności wynika, że wzór EULERA (9) jest ważny tylko w przypadku prętów ściskanych, których smukłość spełnia następujący warunek:

5

grHR

E λπλ =≥ (12)

gdzie grλ oznacza smukło ść graniczn ą pręta. Z powyższej zależności wynika, że

smukłość ta zależy wyłącznie od rodzaju materiału pręta (np. w przypadku stali 100≅grλ ).

2.6.6. Wyboczenie niesprężyste

Z przedstawionego na rys. 4 wykresu zależności ( ) 22 λπλσ EE = – zwanego hiperbol ą EULERA – wynika, że pręty ściskane o smukłości grλλ <<0 ulegają wyboczeniu

niespr ężystemu (pracują w zakresie poza liniowo-sprężystym, gdyż ( ) HgrK R>< λλσ ).

Rys. 4 W takim przypadku nie można ich projektować przy wykorzystaniu wzoru (9), gdyż obliczone z niego wartości siły krytycznej są zbyt duże. Istnieje kilka teorii wyboczenia niesprężystego. Najprostsza z nich, opracowana przez TETMAJERA i J ASIŃSKIEGO, zakłada, że naprężenia krytyczne przy wyboczeniu niespr ężystym można aproksymować następującą prostą (rys. 4): λσ baJT −=− (13) gdzie eJTH RR ≤< −σ , zaś ba, są stałymi, zależnymi od rodzaju materiału. W przypadku wyboczenia niesprężystego sił ę krytyczn ą obliczamy z zależności

APA

PJTJT

JTJT −−

−− =→= σσ (14)

Aproksymacja TETMAJERA-JASINSKIEGO zakłada, że w przypadku prętów, których smukłość

0→λ (prętów krępych) stan graniczny nośności osiągany jest przez uplastycznienie przekroju. Dlatego stałe a i b we wzorze (13) wyznacza się z warunków (rys. 4)

6

( )

( )E

RRRRRbRbRba

Ra

HHe

gr

HeHgregrgrJT

eJT

Π−=−=→=−=−==

===

−

−

λλλλλσ

λσ 0

W przypadku stali 87.33=a kN/cm2, 148.0=b kN/cm2.

2.6.7. Wymiarowanie prętów smukłych ściskanych osiowo

W celu uproszczenia wymiarowania, możliwość wyboczenia prętów smukłych ściskanych osiowo uwzględnia się modyfikując wzór określający naprężenia normalne przy ściskaniu osiowym prętów krępych w następujący sposób

A

Pmw=σ (15)

gdzie wm jest współczynnikiem wyboczeniowym , którego wartości są stabelaryzowane (tab. 1) i podawane w normach konstrukcyjnych.

Tab. 1. Współczynniki wyboczeniowe wm stali

pλλ / 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

wm 1.12 1.25 1.48 2.00 2.88 3.92 5.12 6.48 8.00

Wartość tego współczynnika zależy od rodzaju materiału pręta oraz wartości wyrażenia

pλλ / , gdzie pλ oznacza smukło ść porównawcz ą. W przypadku konstrukcji stalowych

smukłość tę oblicza się z zależności

R

p

1645=λ (16)

przy czym rc RRR == jest wytrzymałością obliczeniową stali na ściskanie w MPa. Wymiarując pręty smukłe ściskane osiowo sprawdzamy warunek wytrzymało ści

cw R

APm ≤=σ (17)

Z powyższego warunku wynika wielkość dopuszczalnej siły osiowej

w

c

mAR

P = (18)

Przykłady

Przykład 1. W przypadku prętów stalowych o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rys. 3a-d należy wyznaczyć ich smukłość, określić rodzaj wyboczenia (sprężyste czy niesprężyste) oraz wyznaczyć wartość siły krytycznej przy wykorzystaniu wzoru EULERA lub TETMAJERA-JASIŃSKIEGO.

7

Dane: 2224 kN/cm148.0,kN/cm87.33,100,kN/cm1005.2cm,300cm,6 ===⋅==== baElhb grλ

Szukane: KP,λ Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju

cmiA

Ii

bhIIIhbA zy

73.1cm3cm3cm36cm108

cm10812

6612

,cm3666

2min

22

4min2

min

433

min2

==→===

=⋅=⋅====⋅=⋅=

Krok 2. Wyznaczamy smukłość prętów

10017373.1

300300

min

=>===→== gr

aw

aaw cm

cmil

cmll λλ wyboczenie sprężyste

10034773.1

60060030022

min

=>===→=⋅== gr

bw

bbw cm

cmil

cmcmll λλ wyboczenie sprężyste

10012173.1

2102103007.07.0

min

=>===→=⋅== gr

cw

ccw cm

cmil

cmcmll λλ wyboczenie sprężyste

1008773.1

1501503005.05.0

min

=<===→=⋅== gr

dw

ddw cm

cmil

cmcmll λλ wyboczenie niesprężyste

Krok 3. Obliczamy siłę krytyczną

( ) ( ) kNcml

EIPP

aw

aE

aK 243

300

cm108kN/cm1005.214.32

4242

2min

2

=⋅⋅⋅=Π==

( ) ( ) kNcml

EIPP

bw

bE

bK 61

600

cm108kN/cm1005.214.32

4242

2min

2

=⋅⋅⋅=Π==

( ) ( ) kNcml

EIPP

cw

cE

cK 495

210

cm108kN/cm1005.214.32

4242

2min

2

=⋅⋅⋅=Π==

( ) ( ) kNAbaAPP dJT

dJT

dK 756cm36kN/cm87148.087.33 22 =⋅⋅−=−=== −− λσ

Przykład 2. W przypadku prętów stalowych o schemacie statycznym i obciążeniu jak w przykładzie 1 należy wyznaczyć dopuszczalną wartość siły osiowej przy wykorzystaniu wzoru (18). Dane: Patrz przykład 1, 2/5.21215 cmkNMPaRRR rc ==== Szukane: P Rozwiązanie Krok 1. Obliczamy charakterystyki geometryczne przekroju (patrz przykład 1)

8

cm73.1,cm108 min4

min == iI Krok 2. Wyznaczamy smukłość prętów (patrz przykład 1) 87,121,347,173 ==== dcba λλλλ Krok 3. Obliczamy smukłość porównawczą pλ i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm

45.178.011287

33.208.1112121

1.1810.3112347

74.454.1112173

112215

16451645

=→==

=→==

=→==

=→==

===

dw

p

d

cw

p

c

bw

p

b

aw

p

a

p

m

m

m

m

R

λλλλλλλλ

λ

Krok 4. Obliczamy siłę dopuszczalną

kNcm

kNcm

m

ARP

kNcm

kNcm

m

ARP

kNcm

kNcm

m

ARP

kNcm

kNcm

m

ARP

dw

cd

cw

cc

bw

cb

aw

ca

53445.1

5.2136

33233.2

5.2136

431.18

5.2136

16374.4

5.2136

22

22

22

22

=⋅

==

=⋅

==

=⋅

==

=⋅

==

Warto zauważyć, że razie rozciągania rozważany pręt mógłby przenieść siłę

kNcmkN

cmARPPPP rdcba 7745.2136 22 =⋅=====

Przykład 3. W przypadku stalowego słupa o schemacie statycznym i obciążeniu jak na rys. P3.1 wyznaczyć pole powierzchni przekroju oraz dobrać typ profilu dwuteowego. Dane: 264 10210210,2,1035350 mNMPaRRmlNkNP c ⋅====⋅== Szukane: A Rozwiązanie Krok 1. Szacujemy wstępnie pole przekroju słupa

9

Rys. P3.1

222

26

4

171017.010210

1035cmm

mN

NRP

ARAP =⋅=

⋅

⋅==→≤= −σ

Krok 2. Przewidując możliwość wyboczenia słupa zwiększamy otrzymaną wartość A ok. trzy razy i z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 260 o następujących charakterystykach geometrycznych:

cmcmicm

cmcm

AI

i

cmIImcmA z

32.239.539.54.53

288

288,104.534.53

2min

22

4min2

min

4min

242

==→===

==⋅== −

Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm

17232.2

4004004222

min

===→==⋅==cmcm

il

cmmmll ww λ

56.451.1114172

114210

16451645 =→==→=== wp

p mR λ

λλ

Sprawdzamy warunek wytrzymałości

MPaRMPamN

mN

APm

cw 21029910299

104.5356.41035

26

24

4

=>=⋅=⋅

⋅⋅= −

Wniosek. Wyznaczone naprężenia przekraczają wytrzymałość obliczeniową stali o ok. 40%. Musimy zatem przyjąć dwuteownik o większym polu powierzchni. Krok 3. Z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 340 o następujących charakterystykach geometrycznych:

cmcmicm

cmcm

AI

i

cmIImcmA z

79.276.776.78.86

674

674,108.868.86

2min

22

4min2

min

4min

242

==→===

==⋅== −

Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm

14379.2

400400

min

===→=cmcm

il

cml ww λ

10

12.325.1114143

114 =→==→= wp

p mλλλ

Sprawdzamy warunek wytrzymałości

MPaRMPamN

mN

APm

cw 21012610126

108.8612.31035

26

24

4

=<=⋅=⋅

⋅⋅= −

Wniosek. Wyznaczone naprężenia są o ok. 40% mniejsze od wytrzymałości obliczeniowej stali. Powinniśmy zatem przyjąć dwuteownik o mniejszym polu powierzchni. Krok 4. Z tablic profili walcowanych bierzemy dwuteownik 300 o następujących charakterystykach geometrycznych:

cmcmicm

cmcm

AI

i

cmIImcmA z

55.253.653.61.69

451

451,101.691.69

2min

22

4min2

min

4min

242

==→===

==⋅== −

Obliczamy smukłość, smukłość porównawczą i z tabeli odczytujemy wartość współczynnika wm

15755.2

400400

min

===→=cmcm

il

cml ww λ

82.338.1114157

114 =→==→= wp

p mλλλ

Sprawdzamy warunek wytrzymałości

MPaRMPamN

mN

APm

cw 21019410194

101.6982.31035

26

24

4

=<=⋅=⋅

⋅⋅= −

Wniosek. Wyznaczone naprężenia są o ok. 8% mniejsze od wytrzymałości obliczeniowej stali, zatem przyjmujemy przekrój słupa w postaci dwuteownika 300. Przykład 4. Przy jakiej wartości obciążenia q układu prętowego o schemacie statycznym jak na rys. P4.1 nastąpi wyboczenie pręta 1-2 przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowo-sprężystym.

Rys. P4.1 Dane: min,,,,, JJJEEll sbsbsb = ; J oznacza tu moment bezwładności, wskaźnik b – belkę, zaś s – słup

11

Szukane: q Rozwiązanie Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać (a) 01111 =+ PX δδ Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P4.2, rysujemy wykresy PM i 1M oraz

obliczamy współczynniki 11δ i P1δ (pomijamy skrócenie pręta 1-2)

Rys. P4.2

(b)

( )

( ) ( )( )

bb

b

bb

bbb

bb

bb

PP

bb

b

bb

bbb

bb

JElq

JE

llql

lql

JEMM

JEl

JE

lll

JEMM

8

284

26

3

4

22

11

332

21

1111

−=

⋅⋅+⋅

−=×=

=⋅

=×=

δ

δ

Krok 2. Zastępujemy siłę 1X siłą EP , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną

(c) ( )22

1

s

ssE

l

JEPX

Π==

Krok 3. Podstawiamy (b) i (c) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość obciążenia krytycznego Eq

( )

( )( )

( )2

24

2

23

38

083 sb

ssE

bb

bE

s

ss

bb

b

ll

JEq

JElq

l

JEJE

l Π=→=−Π

Przykład 5. Przy jakiej wartości 0>∆T przyrostu temperatury w pręcie 1-2 układu prętowego o schemacie statycznym jak na rys. P5.1 nastąpi jego wyboczenie, przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowo-sprężystym. Dane: Tsbsbsb JJJEEll α,,,,,, min= ; gdzie J jest momentem bezwładności, Tα – współczynnikiem

rozszerzalności cieplnej materiału pręta [1/oC]; wskaźnik b oznacza belkę, zaś s – słup Szukane: T∆

12

Rys. P5.1 Rozwiązanie Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać (a) 01111 =+ TX δδ gdzie (b) 11 NTlsTT ∆= αδ przy czym sT Tl∆α oznacza przyrost długości pręta pod wpływem przyrostu jego temperatury. Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P5.2, rysujemy wykresy 1M i 1N oraz

obliczamy współczynniki 11δ i T1δ (wartość 11δ jest identyczna jak w przykładzie 43)

Rys. P5.2

(c) ( ) ( ) sTsTsTT

bb

b TlTlNTlJE

l ∆−=−∆=∆== αααδδ 1,3 11

3

11

Krok 2. Zastępujemy siłę 1X siłą EP , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną

13

(d) ( )22

1

s

ssE

l

JEPX

Π==

Krok 3. Podstawiamy (c) i (d) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość temperatury krytycznej ET∆

( )

( )( )( )3

32

2

23

30

3 sbbT

bssEsET

s

ss

bb

b

lJE

lJETlT

l

JEJE

l

αα Π=∆→=∆−Π

Przykład 6. Przy jakiej wartości 0>∆ błędu montażowego podpory 1 układu prętowego o schemacie statycznym jak na rys. P6.1 nastąpi wyboczenie pręta 1-2, przy założeniu, że pracuje on w zakresie liniowo-sprężystym.

Rys. P6.1 Dane: min,,,,, JJJEEll sbsbsb = ; J oznacza tu moment bezwładności, wskaźnik b – belkę, zaś s – słup Szukane: ∆ Rozwiązanie Zadanie rozwiążemy przy wykorzystaniu metody sił, której równanie w przypadku analizowanego układu (jednokrotnie statycznie niewyznaczalnego) przyjmuje postać (a) 01111 =+ ∆δδ X gdzie (b) 11 N∆=∆δ Krok 1. Przyjmujemy układ podstawowy przedstawiony na rys. P6.2, rysujemy wykresy 1M i 1N oraz

obliczamy współczynniki 11δ i ∆1δ (wartość 11δ jest identyczna jak w przykładzie 4)

(c) ( ) ( ) ∆−=−∆=∆== ∆ 1,

3 11

3

11 NJE

l

bb

b δδ

Krok 2. Zastępujemy siłę 1X siłą EP , gdyż wyboczenie słupa 1-2 nastąpi wtedy, gdy ściskająca go siła osiągnie określoną wzorem EULERA wartość krytyczną

(d) ( )22

1

s

ssE

l

JEPX

Π==

14

Rys. P6.2

Krok 3. Podstawiamy (c) i (d) do (a) wyznaczając poszukiwaną wartość błędu montażowego E∆

( )

( )( )

( )232

2

23

30

3 sbb

bssEE

s

ss

bb

b

lJE

lJE

l

JEJE

l Π=∆→=∆−Π

Zagadnienia na egzamin

1. Zdefiniować i omówić wyboczenie sprężyste i niesprężyste. 2. Wyprowadzić i omówić wzór Eulera; określić zakres jego ważności. 3. Omówić wpływ zamocowania na siłę krytyczną; zdefiniować długość

wyboczeniową, naprężenie krytyczne i smukłość pręta.