2010 Metody aktuarialne 1

Metody aktuarialne

Wykład 1

Co to są metody aktuarialne ?

Literatura podstawowa

Kowalczyk Patrycja, Poprawska Ewa, Ronka-Chmielowiec Wanda „Metody aktuarialne”, PWN Warszawa 2006.

Michalski T., Twardowska K., Tylutki B., „Matematyka w ubezpieczeniach. Jak to wszystko policzyć?”, Placet, Warszawa 2005

Wieteska S., „Zbiór zadań z matematycznej teorii ryzyka ubezpieczeniowego”, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź 2001

Literatura uzupełniająca

Monkiewicz J. (red.), „Podstawy ubezpieczeń” tom I,II i III,Poltext, Warszawa 2002

Doan O., „Ubezpieczenia życiowe”, Poltext, Warszawa1996

Ostasiewicz W.(red), „Modele aktuarialne”, WydawnictwoAkademii Ekonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu,Wrocław 2000.

Ostasiewicz S., „Składki w wybranych typachubezpieczeń życiowych”, Wydawnictwo AkademiiEkonomicznej im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław2000.

Zeliaś A. (red.), „Statystyczne metody oceny ryzyka wdziałalności gospodarczej”, Wydawnictwo AkademiiEkonomicznej w Krakowie, Kraków 1998.

Literatura uzupełniająca Kaas R., Goovaerts M., Dhaene J., Denuit M., „Modern

Actuarial Risk Theory. Using R”, Springer, BerlinHeidelberg 2008.

Bowers N., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbitt C.„Actuarial Mathematics”, The Society of Actuaries, Itasca,Illinois, 1986

Taylor J.M., „General Insurance. A Summary of UKActuarial Theory and Practice”, Institute of Actuaries,OXFORD, 1992.

Goovaerts M., Kaas R., Heerwaarden A., Bauwelinckx T.,„Effective Actuarial Methods”, North-Holland, Amsterdam1990.

Klugman S.A., Panjer H.H., Willmot G.E., „Loss Models.From Data to Decisions”, John Wiley&Sons, INC., NewYork, 1998.

Daykin C.D., Pentikäinen, Pesonen M., „Practical RiskTheory for Actuaries”, Chapman&Hall, London, 1995.

Program wykładu

Podstawowe pojęcia w ubezpieczeniach (ryzyko,ubezpieczenie)

Pojęcia wstępne z rachunku prawdopodobieństwa istatystyki oraz matematyki finansowej

Probabilistyczne modele ryzyka ubezpieczeniowego

Modelowanie ryzyka ubezpieczeniowego wportfelach

Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach typunon-life

Metody kalkulacji składki w ubezpieczeniach nażycie

Program wykładu

Metody szacowania rezerw techniczno-

ubezpieczeniowych w ubezpieczeniach typu non-life

na życie

Reasekuracja

Elementy teorii ruiny

Pojęcie ryzyka w ubezpieczeniach

Próby definiowania ryzyka - krótka historia

A. Willet (rok 1901)

“Ryzyko jest miarą stopnia niepewności,

wynikającej z niedoskonałej wiedzy o prawach

rządzących procesami zewnętrznymi”.

Ryzyko jest więc stanem świata zewnętrznego, czymś

obiektywnym skorelowanym z subiektywną

niepewnością

F. Knight (rok 1921) - ogłosił

koncepcję niepewności mierzalnej i

niemierzalnej.

Według niej „ryzyko jest niepewnością

mierzalną natomiast niepewność

niemierzalna jest niepewnością sensu

stricto”.

Wg F. Knighta:

Niepewność oznacza możliwość

odchyleń od stanu oczekiwanego, której nie

można zmierzyć, ponieważ nie można

zastosować rachunku prawdopodobieństwa.

Ryzyko jest również możliwością

odchyleń od stanu oczekiwanego, ale

można je wyrazić prawdopodobieństwem.

I.Pfeffer (rok 1956)

„ Ryzyko jest kombinacją hazardu i jest

mierzone prawdopodobieństwem;

niepewność jest mierzone stopniem

wiary. Ryzyko jest stanem świata,

niepewność umysłu”.

Niebezpieczeństwo - przyczyna albo

źródło strat

Hazard - zespół warunków i okoliczności, w

których dane niebezpieczeństwo się

realizuje

Zgodnie z tą definicją istnieją dwa główne czynniki

(tzw. faktory) ryzyka:

Rodzaje hazardu

Fizyczny

(zespół warunków

zewnętrznych lub

fizycznych, które mają

bezpośredni wpływ na

szansę realizacji danego

ryzyka, a w

szczególności wpływają

na wzrost

niebezpieczeństwa)

Moralny

(zespół warunków podmiotowych danej osoby wyrażających się w negatywnych tendencjach charakterologicznych czy osobowościowych, polegających na nieuczciwości, czy skłonności do defraudacji)

Duchowy

(motywacyjny)

(subiektywna reakcja

ubezpieczonego

wywołana świadomością

istnienia ochrony

ubezpieczeniowej)

Komisja do Spraw Terminologii

Ubezpieczeniowej (USA rok 1966) – Podaje

dwie oficjalne definicje ryzyka:

Pierwsza: Ryzyko określa się jako niepewność co do nastąpienia określonego zdarzenia w warunkach istnienia dwóch lub więcej możliwości

Druga: Ryzyko jest to ubezpieczona

osoba lub przedmiot

Wnioski:

Ryzyko nie jest czymś jednorodnym (nie ma

możliwości podania jednoznacznej

uniwersalnej definicji)

Ryzyko występuje co najmniej w dwóch

różnych aspektach:

- obiektywnym

- subiektywnym

Ryzyko jest zmienne i stadialne, tzn. jest

raczej procesem niż stanem świata

zewnętrznego

Ryzyko może być badane w różnych

kontekstach, jako (np.) :

- niebezpieczeństwo

- hazard

- niepewność

- prawdopodobieństwo

Ryzyko jako zdarzenie powodujące określone straty.

Termin ten jest tutaj synonimem niebezpieczeństwa zagrażającego obiektom i osobom. Na przykład budynkom zagraża ryzyko pożaru, powodzi lub huraganu, ziemiopłody narażone są na ryzyko gradobicia, suszy, powodzi, wymarzania, człowiek narażony jest na ryzyko choroby, kalectwa, śmierci. Przyjmuje się przy tym, że termin ten określa takie niebezpieczeństwa, których prawdopodobieństwo nastąpienia oraz oczekiwane intensywności działania można ilościowo oszacować.

Ryzyko jako przedmiot ubezpieczenia. Tak rozumiane ryzyko ma szczególne znaczenie w statystyce ubezpieczeń i szkód, której jednym z głównych zadań jest podział obiektów objętych danym ubezpieczeniem na oddzielne rodzaje ryzyka, co stanowi podstawę taryfowania ubezpieczeń i podejmowania decyzji dotyczących reasekuracji danego ubezpieczenia.

Klasyfikacja proponowana przez:

“Międzynarodowe Stowarzyszenie

Organów Nadzorów Ubezpieczeń ”

(International Association of Insurers Supervisor IAIS)

Wybrane sposoby klasyfikacji ryzyka w działalności ubezpieczeniowej

Ryzyko działalności

ubezpieczeniowej

Techniczne

(zobowiązań)Inwestycyjne Nietechniczne







ubezpieczeniowej

Techniczne


Kategoria ta obejmuje różne klasy ryzyka bezpośrednio lub pośrednio powiązane z aktuarilnymi obliczeniami taryf ubezpieczeniowych i składek, np.:

ryzyko niedoszacowania cen polis

ryzyko odchyleń danych przyjętych do modelu

ryzyko niedostatecznej reasekuracji

ryzyko związane z kosztami działalności

ryzyko nieskoordynowanego wzrostu

itp.







ubezpieczeniowej

Techniczne


Kategoria ta obejmuje różne rodzaje ryzyka bezpośrednio lub pośredni związane z zarządzaniem aktywami ubezpieczyciela, np.

ryzyka deprecjacji - ryzyka utraty wartości aktywów finansowych pod wpływem różnorodnych zmian na rynku kapitałowym (ryzyko walutowe, kredytowe, cen akcji)

ryzyko płynności – polegającego na niemożności zmiany aktywów na gotówkę w wymaganych momentach

ryzyko niedopasowania – występującego, gdy przyszłe przepływy pieniężne generowane przez aktywa nie pokrywają się z przepływami pieniężnymi wynikającymi ze zobowiązań,

ryzyka stopy procentowej

ryzyko wyceny – niebezpieczeństwo przeceniania aktywów

itp.







ubezpieczeniowej

Techniczne


Kategoria obejmuje różne klasy ryzyka, które nie mogą zostać zakwalifikowane do ryzyka technicznego, czy inwestycyjnego


“Narodowe Zrzeszenie Firm Ubezpieczeniowych”

(National Association of Insurance Commissioners –

NAIC)


ubezpieczeniowej

W ubezpieczeniach na życieW ubezpieczeniach majątkowych

(nie na życie)




NAIC)


ubezpieczeniowej


(nie na życie)

C-0 - ryzyko związane z aktywami ulokowanymi w jednostkach zależnych oraz aktywami pozabilansowymi

C-1 - ryzyko związane z pozostałymi aktywami, ryzyko wynikające z reasekuracji

C-2 - ryzyko ubezpieczeniowe np. zmiany wskaźników śmiertelności

C-3 - ryzyko stopy procentowej

C-4 - ryzyko związane z działalnością gospodarczą (ryzyko biznesowe)




NAIC)


ubezpieczeniowej


(nie na życie)

R0 - ryzyko związane z aktywami ulokowanymi w jednostkach zależnych oraz aktywami pozabilansowymi

R1 - ryzyko związane z aktywami o stałym dochodzie

R2 - ryzyko związane z aktywami o zmiennym dochodzie

(akcje i udziały, nieruchomości)

R3 - ryzyko kredytowe (ryzyko związane z zapłatą należności z tytułu reasekuracji i innych należności),

R4- ryzyko związane z oceną ryzyka ubezpieczeniowego (underwritingiem) - oceną rezerw,

R5 - ryzyko związane z oceną ryzyka ubezpieczeniowego (underwritingiem) - oceną składki przypisanej na udziale

własnym.

Klasyfikacja ryzyka zgodna z

projektem Solvency II

Moduły ryzyka ubezpieczyciela

Ubezpieczeniowe

W ubezpieczeniach

innych niż na życie

W ubezpieczeniach

na życie

W ubezpieczeniach

zdrowotnych

Rynkowe

Niewykonania zobowiązania

przez kontrahenta

Operacyjne

Ryzyko ubezpieczeniowe

Jest to specyficzne ryzyko związane z

ubezpieczeniami wynikające z zawartych umów

ubezpieczenia. Kategoria ta obejmuje ryzyka

związane zarówno ze zdarzeniami objętymi

ochroną ubezpieczeniową w ramach zawartych

umów ubezpieczenia, jak również ze

specyficznymi procesami związanymi z

prowadzeniem działalności ubezpieczeniowej

(zakład ubezpieczeń musi zapewnić wypłatę

przyszłych zobowiązań, a wartość tych wypłat

musi oszacowana z wyprzedzeniem)

Obejmuje ryzyko wynikające z zawierania umów ubezpieczenia (nie na życie) w odniesieniu do pokrytych w danej działalności ryzyk i stosowanych w niej procesów. Odzwierciedla on niepewność wyników zakładów ubezpieczeń i zakładów reasekuracji w odniesieniu do istniejących zobowiązań ubezpieczeniowych i reasekuracyjnych.

Moduł ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach innych niż na życie

Podmoduły:

Ryzyko straty lub niekorzystnej zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmienności częstotliwości i skali ubezpieczanych zdarzeń oraz ze zmienności w zakresie występowania wypłat odszkodowań i ich kwot, czyli ryzyko składki i ryzyko rezerw w ubezpieczeniach innych niż na życie.

Ryzyko straty lub niekorzystnej zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze znacznej niepewności założeń dotyczących wyceny i tworzenia rezerw, związanych z ekstremalnymi lub wyjątkowymi zdarzeniami (ryzyko katastroficzne w ubezpieczeniach innych niż na życie)

Moduł ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach innych niż na życie dzieli się na podmoduły, które są dzielone na jednostki lub nośniki ryzyka

Obejmuje ryzyko wynikające z zawierania umów ubezpieczenia na życie w odniesieniu do pokrytych w danej działalności ryzyk i stosowanych w niej procesów.

Podzielony jest na następujące podmoduły:

Rryzyko umieralności. Odzwierciedla ono straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmian w poziomie współczynnika umieralności, tendencji współczynnika umieralności lub jego zmienności, w przypadku gdy wzrost współczynnika umieralności prowadzi do zwiększenia wartości zobowiązań ubezpieczeniowych;

Moduł ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach na życie

Ryzyko długowieczności. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmian w poziomie współczynnika umieralności, tendencji współczynnika umieralności lub jego zmienności, w przypadku gdy spadek współczynnika umieralności prowadzi do zwiększenia wartości zobowiązań ubezpieczeniowych;

Ryzyko niezdolności do pracy – zachorowalności. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmian w poziomie współczynników niezdolności do pracy, chorobowości i zachorowalności, tendencji tych współczynników lub ich zmienności;

Ryzyko wydatków w ubezpieczeniach na życie. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmian w poziomie wydatków ponoszonych na obsługę umów ubezpieczenia lub umów reasekuracji, tendencji tych wydatków lub ich zmienności;

Ryzyko korekty. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmian w poziomie współczynników korygujących stosowanych do ubezpieczeń rentowych, tendencji tych współczynników lub ich zmienności, w związku ze zmianami otoczenia prawnego lub stanu zdrowia ubezpieczonej osoby;

Ryzyko związane z rezygnacjami. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmian w poziomie współczynników rezygnacji z umów, zamykania polis i wykupów lub ich zmienności;

Ryzyko katastroficzne w ubezpieczeniach na życie. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze znacznej niepewności założeń dotyczących wyceny i tworzenia rezerw, związanych z ekstremalnymi lub nieregularnymi zdarzeniami.

Obejmuje ryzyko wynikające z zawierania umów ubezpieczenia zdrowotnego będące następstwem pokrytych w danej działalności ryzyk i stosowanych w niej procesów.

Podzielony jest na następujące podmoduły: Ryzyko wydatków w ubezpieczeniach zdrowotnych. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmian w poziomie wydatków ponoszonych na obsługę umów ubezpieczenia lub umów reasekuracji, tendencji tych wydatków lub ich zmienności;

Moduł ryzyka ubezpieczeniowego w ubezpieczeniach zdrowotnych

Ryzyko składki i ryzyko rezerw w ubezpieczeniach zdrowotnych. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze zmienności w zakresie występowania, częstotliwości i skali ubezpieczanych zdarzeń oraz ze zmienności w zakresie występowania wypłat odszkodowań i ich kwot w momencie tworzenia rezerw;

Ryzyko epidemii w ubezpieczeniach zdrowotnych. Odzwierciedla straty lub niekorzystne zmiany wartości zobowiązań ubezpieczeniowych, wynikające ze znacznej niepewności założeń dotyczących wyceny i tworzenia rezerw, związanych z wybuchami dużych epidemii oraz wyjątkową akumulacją ryzyka w takich ekstremalnych warunkach.

Obejmuje ryzyko wynikające z poziomu lub zmienności rynkowych cen instrumentów finansowych, które mają wpływ na wartość aktywów i zobowiązań zakładu. Odzwierciedla on strukturalne niedopasowanie aktywów i zobowiązań, w szczególności w odniesieniu do czasu ich trwania.

Podzielony jest na następujące podmoduły: Ryzyko stopy procentowej. Odzwierciedla wrażliwość wartości aktywów, zobowiązań i instrumentów finansowych na zmiany w strukturze czasowej stóp procentowych lub wahania zmienności stóp procentowych;

Moduł ryzyka rynkowego

Ryzyko związane z inwestowaniem w akcje. Odzwierciedla wrażliwość wartości aktywów, zobowiązań i instrumentów finansowych na zmiany w poziomie lub wahania zmienności rynkowych cen akcji;

Ryzyko związane z inwestowaniem w nieruchomości. Odzwierciedla wrażliwość wartości aktywów, zobowiązań i instrumentów finansowych na zmiany w poziomie lub wahania zmienności rynkowych cen nieruchomości;

Ryzyko spreadu kredytowego. Odzwierciedla wrażliwość wartości aktywów, zobowiązań i instrumentów finansowych na zmiany w poziomie spreadów kredytowych w odniesieniu do struktury czasowej stóp procentowych papierów wartościowych pozbawionych ryzyka lub wahania ich zmienności;

Ryzyko kursu walutowego. Odzwierciedla wrażliwość wartości aktywów, zobowiązań i instrumentów finansowych na zmiany w poziomie lub wahania zmienności kursów wymiany walut;

Koncentracja ryzyka rynkowego. Obejmuje dodatkowe ryzyka, na które narażony jest zakład ubezpieczeń lub zakład reasekuracji, wynikające z braku dywersyfikacji portfela aktywów lub z dużej ekspozycji na ryzyko niewykonania zobowiązania przez pojedynczego emitenta papierów wartościowych lub grupę powiązanych emitentów.

Moduł ryzyka niewykonania zobowiązania przez kontrahenta odzwierciedla straty możliwe w ciągu najbliższych dwunastu miesięcy w związku z nieoczekiwanym niewykonaniem zobowiązań przez kontrahentów i dłużników zakładów ubezpieczeń i zakładów reasekuracji, lub pogorszenia się ich zdolności kredytowej. Obejmuje on umowy służące ograniczeniu ryzyka, takie jak uzgodnienia reasekuracyjne, sekurytyzację i instrumenty pochodne, należności od pośredników ubezpieczeniowych, a także wszelkie inne ekspozycje kredytowe nieobjęte podmodułem ryzyka spreadu kredytowego. W odniesieniu do każdego kontrahenta moduł ryzyka niewykonania zobowiązania przez kontrahenta uwzględnia całkowitą ekspozycję zakładu ubezpieczeń lub zakładu reasekuracji na ryzyko w stosunku do tego kontrahenta, niezależnie od formy prawnej jego zobowiązań umownych względem danego zakładu.

Moduł ryzyka operacyjnego obejmuje ryzyka operacyjne, czyli powstania strat wynikających z niewłaściwych lub błędnych procesów wewnętrznych, działania ludzi, systemów lub z powodu zdarzeń zewnętrznych, które nie zostały wyraźnie ujęte w innych modułach. Obejmuje także ryzyko prawne.

Co to jest ubezpieczenie

Idea ubezpieczenia:

Wspólne ponoszenie ryzyka i jego

ujemnych ekonomicznych

konsekwencji

Ubezpieczenie jest to mechanizm gospodarczy, którego podstawową materią jest ryzyko.

Podstawową cechą ubezpieczenia jest zatem:

1. przenoszenie ryzyka,

2. wspólnota ryzyka czyli zebranie odpowiedniej liczby ubezpieczonych narażonych na podobne niebezpieczeństwo i na tej podstawie określenie spodziewanej częstość zdarzeń i innych potrzebnych parametrów statystycznych.

Czym jest zatem ubezpieczenie?

• jest usługą finansową oferowaną ubezpieczonemu,

• ubezpieczony uwalnia się od ryzyka objętego umową ubezpieczenia, wystawia się jednak na ryzyko niewykonania kontraktu (bankructwo ubezpieczyciela, niezrozumienie warunków ubezpieczenia, nieprecyzyjność umowy, itp.),

• ubezpieczony decyduje się na pewną stratę równą składce ubezpieczeniowej; rezygnuje z niepewnego wyniku loterii losowej, w której średnia szkoda jest niższa (często znacznie niższa) od zapłaconej składki,

• ryzyko związane z niepewnym wynikiem loterii losowej przejmuje na siebie ubezpieczyciel,

• dzięki łączeniu wielu jednorodnych, niezależnych i dobrze rozpoznanych ryzyk ubezpieczyciel osiąga stosunkowo niskim kosztem odpowiednio wysoką pewność osiągnięcia nadwyżki finansowej,

• ubezpieczyciel ma możliwość dalszej dywersyfikacji swego portfela ryzyk poprzez reasekurację,

• ubezpieczyciel ubezpiecza nie dlatego, że nie ma - w odróżnieniu od ubezpieczonego - niechęci do ryzyka. Ubezpiecza dlatego, że przy wyższej awersji do ryzyka ogranicza jego rozmiary do akceptowalnych granic dużo niższym kosztem.

Definicja ubezpieczenia

Ubezpieczenie może być definiowane od strony:

Ekonomicznej: „Ubezpieczenie rozumiane jest

jako urządzenie gospodarcze, zapewniające

pokrycie przyszłych potrzeb majątkowych,

wywołanych u poszczególnych jednostek

przez odznaczające się pewną prawidłowością

zdarzenia losowe, w drodze rozłożenia ciężaru

tego pokrycia na wiele jednostek, którym te

same zdarzenia losowe zagrażają” (J.

Łazowski)

Organizacyjno-finansowej: Ubezpieczenie jest

rozumiane jako zorganizowane narzędzie

gromadzenia funduszu ubezpieczeniowego, z

którego w przyszłości będą finansowane

ewentualne straty.

Prawnej: Ubezpieczenie jest stosunkiem

prawnym wiążącym ubezpieczyciela z

ubezpieczającym, w którym ubezpieczający

zobowiązuje się do zapłaty na rzecz

ubezpieczyciela określonej sumy pieniężnej,

natomiast ubezpieczyciel zobowiązuje się do

wypłacenia zobowiązania w razie realizacji

objętego umową ubezpieczenia ryzyka i

powstania szkody.

Cechy ryzyka ubezpieczalnego:

Losowość – realizacja ryzyka, czyli

występowanie szkód, powinno być

wynikiem pewnych zdarzeń, które mogą

zajść, ale nie muszą. Nie mogą to być

zdarzenia, które wydarzą się na pewno w

określonym wcześniej czasie

Definiowalność i mierzalność – szkody

powinny być jasno i w miarę precyzyjnie

określone, czyli powinna zaistnieć łatwość

stwierdzenia, czy i kiedy dana szkoda

wystąpiła oraz możliwe jest określenie jej

wartości

Powtarzalność – powinna być

zapewniona dostatecznie duża liczba

jednorodnych zdarzeń, które generują

szkody i stąd duża liczba powtórzeń danej

szkody, co pozwala korzystać z prawa

wielkich liczb do prognozowania wielkości

szkody

Brak szkód katastroficznych –

niepożądana jest sytuacja, w której jedną

szkodą w tym samym czasie dotkniętych

mogłoby być bardzo wiele ubezpieczonych

obiektów lub ludzi.

Rodzaje ubezpieczeń

Ubezpieczenia są dzielona na dwa działy:

ubezpieczenia osobowe,

majątkowe.

Przedmiotem ubezpieczeń osobowych

jest życie, zdrowie i zdolność

zarobkowania. Dzielą się one na

ubezpieczenia życiowe i ubezpieczenia

następstw nieszczęśliwych wypadków.

Przedmiotem ubezpieczeń majątkowych są dobra

materialne stanowiące mienie ubezpieczonego

(nieruchome i ruchome) oraz prawa lub

zobowiązania majątkowe (np. ubezpieczenie

kredytu, ubezpieczenie należności).

Dzielą się one na:

1. ubezpieczenia rzeczowe (ubezpieczenie obiektów materialnych),

2. ubezpieczenia majątkowe (ubezpieczenia praw i zobowiązań).

Urzędowa klasyfikacja ubezpieczeń

Polska ustawa o działalności ubezpieczeniowej

z 1990 r. wprowadziła, głównie dla potrzeb

nadzoru ubezpieczeniowego, urzędową

klasyfikacje ubezpieczeń. Ubezpieczenia

zostały podzielone na dwa działy.

DZIAŁ I

Został on nazwany "Ubezpieczenia na życie".

Należy do niego część ubezpieczeń osobowych,

obejmujących następujące grupy ubezpieczeń:

Ubezpieczenia na życie.

Ubezpieczenia posagowe, zaopatrzenia dzieci.

Ubezpieczenia życiowe związane z funduszem

inwestycyjnym.

Ubezpieczenia rentowe

Ubezpieczenia wypadkowe i chorobowe, jeżeli

są uzupełnieniem ubezpieczeń powyżej

wymienionych w grupach 1 - 4.

DZIAŁ II

Został on nazwany "Pozostałe

ubezpieczenia majątkowe i osobowe". Do

tych ubezpieczeń zalicza się ubezpieczenia w

następującym zakresie:

1. Wypadek, w tym wypadek przy pracy i choroba zawodowa.

2. Choroba.

3. Casco pojazdów lądowych, z wyjątkiem pojazdów szynowych, obejmujące szkody w : pojazdach samochodowych, pojazdach lądowych bez własnego napędu.

4. Casco pojazdów szynowych obejmujące szkody w pojazdach szynowych.

5. Casco statków powietrznych obejmujące szkody w pojazdach powietrznych.

6. Casco żeglugi morskiej i śródlądowej obejmujące szkody w: statkach żeglugi morskiej, statkach żeglugi śródlądowej.

7. Przedmioty w transporcie obejmujące szkody w transportowanych przedmiotach, niezależnie od każdorazowo stosowanych środków transportu.

8. Szkody spowodowane żywiołami obejmujące szkody rzeczowe, nie ujęte w grupach 3-7, spowodowane przez: ogień, eksplozje, burzę, inne żywioły, energię jądrowa, obsunięcia ziemi lub tąpnięcia.

9. Pozostałe szkody rzeczowe (jeżeli nie zostały ujęte w grupie 3, 4, 5, 6 lub 7), wywołane przez grad lub mróz oraz inne przyczyny (jak np. kradzież), jeżeli przyczyny te nie zostały ujęte w grupie 8.

10. Odpowiedzialność cywilna wszelkiego rodzaju, wynikająca z posiadania i użytkowania pojazdów lądowych z napędem własnym, łącznie z odpowiedzialnością przewoźnika.

11. Odpowiedzialność cywilna wszelkiego rodzaju, wynikająca z posiadania i użytkowania pojazdów powietrznych, łącznie z odpowiedzialnością przewoźnika.

12. Odpowiedzialność cywilna za żeglugę morska i śródlądową, wynikająca z posiadani i użytkowania statków żeglugi śródlądowej i statków morskich, łącznie z odpowiedzialnością przewoźnika.

13. Odpowiedzialność cywilna (odpowiedzialność cywilna ogólna) nie ujęta w grupach 10-12.

14. Kredyt, w tym: ogólna niewypłacalność, kredyt eksportowy, spłaty, pożyczki hipoteczne, pożyczki rolnicze.

15. Gwarancja ubezpieczeniowa: bezpośrednia, pośrednia.

16. Różne ryzyka finansowe, w tym: zatrudnienia, niewystarczającego dochodu, złych warunków atmosferycznych, utraty zysków, stałych wydatków ogólnych, nieprzewidzianych wydatków handlowych, utraty wartości rynkowej, utraty stałego źródła dochodów, innych strat finansowych.

17. Ochrona prawna.

18. Świadczenia pomocy na korzyść osób, które popadły w trudności w czasie podróży lub podczas nieobecności w miejscu zamieszkania lub miejscu stałego pobytu.

Zmienna losowa

Modelowanie ryzyka w

ubezpieczeniach za pomocą

zmiennej losowej

Za pomocą zmiennych losowych modelujemy (np.):

Liczbę szkód (np. generowanych przez polisę, portfel

ubezpieczeń, grupę ubezpieczeń)

Wysokość szkód (pojedynczej, łącznej)

Wymogi kapitałowe z tytułu ryzyka ubezpieczeniowego,

rynkowego, kredytowego, operacyjnego.

Momenty czasowe, w których zachodzi wypadek

ubezpieczeniowy.

Zmienna losowa

Niech będzie dana przestrzeń probabilistyczna PS,,

Definicja 1. Zmienną losową X nazywamy funkcję mierzalną

określoną na i przyjmującą wartości rzeczywiste, czyli

RX : oraz S xX ,1 dla każdego Rx , gdzie

xXxX )(:,1

Ω

ω

X(ω)

R

X

Zmienna losowa

Definicja 1. Zmienną losową X nazywamy funkcję mierzalną

określoną na i przyjmującą wartości rzeczywiste, czyli

RX : oraz S xX ,1 dla każdego Rx , gdzie

xXxX )(:,1

Ω x Rx1 x2 x3 x4

x, xXxX )(:,1

Zmienna losowa

Definicja 2. Dystrybuantą zmiennej losowej X

nazywamy funkcję F , która każdej liczbie rzeczywistej

przyporządkowuje prawdopodobieństwo, że zmienna ta

przyjmuje wartości mniejsze lub równe tej liczbie, czyli: 1,0: RF

xXPxXPxF ,)( 1

Zmienna losowa

Własności dystrybuanty:

1. 1)(0 xF .

2. F jest funkcją niemalejącą (stałą lub rosnącą).

3. F jest funkcją prawostronnie ciągłą, tzn.

)()(lim0

xFxxFx

4. 0)(lim

xFFx

oraz 1)(lim

xFFx

Zmienna losowa

W dalszym ciągu symbolem xF będziemy oznaczać

lewostronną granicę dystrybuanty w punkcie x, czyli: )(lim)(

0

xxFxFx

Uwaga !

xXPxxFxF

x

)(lim)(0

Można udowodnić następujące równości:

1. )()( aFbFbXaP

2. )()( aFbFbXaP

3. )()( aFbFbXaP

4. )()( aFbFbXaP

W równaniach tych można przyjąć, że a lub b

Zmienna losowa

)()( xFxFxXP5.

1111)( xXPxXPxFxF Przedział, z którego zmienna losowa

nie przyjmuje żadnej wartości: 0)()( 2332 xFxFxXxP

x1 x2 x3 x4

F(x1)

F(x2) = F(x3)

F(x4-)

F(x4)

1

F

x

Punkt nieciągłości (tę wartość zmienna

losowa przyjmuje z prawdopodobieństwem

różnym od zera)

)()( 444 xFxFxXP

)()( 444 xFxFxXP

Zmienna losowa

Zmienna losowa

Rodzaje zmiennych losowych:

• skokowe (dyskretne)

• ciągłe (absolutnie ciągłe)

• mieszane

Zmienna losowa

Definicja 3. Zmienna losowa X jest typu skokowego,

jeśli może przyjmować skończoną lub nieskończoną, ale

przeliczalną liczbę wartości ...,, 21 xx odpowiednio z

prawdopodobieństwami ...,, 21 pp , takimi, że 1i

ip .

Liczby ...,, 21 xx nazywamy dopuszczalnymi wartościami

zmiennej losowej X.

Zmienna losowa skokowa

Zmienna losowa

Definicja 4. Funkcję, która każdej dopuszczalnej

wartości ...,, 21 xx zmiennej losowej X przyporządkowuje

odpowiednio prawdopodobieństwa ...,, 21 pp nazywamy

funkcją prawdopodobieństwa ,...2,1,)( ipxXPxf iii

Dla zmiennej losowej skokowej dystrybuanta F ma

postać:

xx xx

ii

i i

pxXPxF

Zmienna losowa

Przykład

Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej

przedstawia poniższa tabela:

xi 0 1 2 3

pi 1/8 3/8 3/8 1/8

Zmienna losowa

Wykres funkcji prawdopodobieństwa

pi

3/8 . .

1/8 . .

0 1 2 3 xi

Zmienna losowa

Dystrybuanta zmiennej losowej X

F(x)

1

7/8

4/8

1/8

0 1 2 3 x

Zmienna losowa

Zmienna losowa ciągła

Definicja 5. Zmienną losową X nazywamy ciągłą jeżeli

jej zbiór wartości tworzy przedział, sumę przedziałów

lub zbiór liczb rzeczywistych R oraz istnieje taka

nieujemna funkcja rzeczywista f, że dystrybuantę tej

zmiennej można przedstawić w postaci:

RxdttfxFx

,)()( .

Funkcję f nazywamy funkcją gęstości zmiennej losowej

X.

Zmienna losowa

Z definicji zmiennej losowej ciągłej wynikają

następujące własności:

1. Funkcja f może mieć co najwyżej skończoną liczbę

punktów nieciągłości.

2. Jeżeli w punkcie x funkcja f jest ciągła to: )()( xfxF

3. 1)(

dxxf

Zmienna losowa

4.

x

xxXxPxf

x

0

lim

5. 0 xXPRx

Zmienna losowa

6. b

a

dxxfbXaP

f(x)

a b x

b

a

dxxfbXaP

Zmienna losowa

8. xxfxxXxP

7. )()()( aFbFbXaP

)()()( aFbFbXaP

)()()( aFbFbXaP

)()()( aFbFbXaP

Zmienna losowa

Zmienna losowa mieszana

Definicja 6. Zmienną losową X nazywamy mieszaną

jeżeli jej dystrybuanta jest kombinacją wypukłą

dystrybuanty typu dyskretnego i dystrybuanty typu

ciągłego, jest zatem ciągła i różniczkowalna z wyjątkiem

skończonej lub przeliczalnej liczby punktów ...,, 21 xx ,

którym odpowiadają niezerowe prawdopodobieństwa

...,, 21 pp .

Zmienna losowa

Dystrybuantę zmiennej losowej mieszanej X

można przedstawić w postaci:

)()1()()( )()( xFqxqFxF cd ,

gdzie 10 q .

Dystrybuanta rozkładu

dyskretnego

Dystrybuanta rozkładu

ciągłego

Zmienna losowa

x2

F(x2-)

F(x2)

1

F

x

F(x1)

F(x1-)

x1

Tego typu zmienne modelują np. ryzyko

wysokości wypłaty z polisy w ciągu ustalonego

okresu. W takim modelu pradopodobieństwo, że

nie będzie wypłaty w badanym okresie jest

skoncentrowane w zerze. Natomiast, jeżeli

dojdzie do wyplaty, to jej wysokość jest

modelowana za pomocą ciągłej zmiennej

losowej.

Przykład 1:

0),exp()1(1

0,0)(

xxq

xxF

Ta zmienna losowa przyjmuje wartość 0 z

prawdopodobieństwem q (jest to prawdopodobieństwo, że

nie będzie wypłaty z polisy w badanym okresie). Jeżeli

dojdzie do wypłaty, to jej wysokość modelowana jest

zmienną losową o rozkładzie wykładniczym.

Tak więc:

0,1

0,0)()(

x

xxF d

0),exp(1)()( xxxF c

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

-5 0 5 10 15 20

x

F(x

)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-5 0 5 10 15 20 25

x

f(x)

Zmienna losowa

Przykład 2

Rozważmy polisę AC samochodu, która zapewnia pokrycie

szkody do maksymalnej wysokości 2000 EURO.

Prawdopodobieństwo wypadku powodującego wypłatę z tej

polisy w ciągu roku wynosi 0,15 (zakładamy, że w ciągu roku

wystąpi tylko jedna szkoda). Wiadomo, że jeżeli zdarzy się

wypadek, to wysokość szkód ma rozkład mieszany:

2000,0,0

2000,1,0

20000,2000

1009,0

)(

Rx

x

xx

xf

Wyznaczyć rozkład wypłaty generowany przez tę polisę w ciągu

roku.

f(x)

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0,0007

0,0008

0,0009

0,001

-200 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Zmienna losowa

0,1

Zmienna losowa

Niech Z oznacza zmienną losową modelującą wypłatę

generowaną przez tą polisę w ciągu roku:

2000,1

20000,2000

119,015,0185,0

0,0

)(

2

x

xx

x

zF

Zmienna losowa

FZ

z

1

0,985

0,85

Przyjmijmy, że ...,, 21 xx są to punkty, w

których dystrybuanta jest nieciągła

(czyli punkty skokowe, punkty z

prawdopodobieństwami różnymi od

zera).

Wartość oczekiwana

Jeżeli:

-

xx

ixx

iid

ii

pxFxFxqF )()()()( ,

-

xcdc dttfxqFxFxFq )()()()()1( )()()( ,

wtedy:

dxxxfpxXE c

iii )()(

Będziemy to zapisywać:

dxxxfpxxxdFXE c

iii )()( )(

Całka Stieltjesa

tympozaxf

xxdlapxFxFxdF

c

iiii

),(

,)()()(

)(

Wartość oczekiwana dla zmiennej z przykładu 1

wynosi:

qqqXE

11)1(0

Gdy zmienna losowa jest albo skokowa albo ciągła:

ejciąglosowejzmiennejdla

skokowejlosowejzmiennejdla

ldxxxf

px

XEi

ii

Wartość oczekiwaną będziemy oznaczać

przez ,czyli )(XE .

Jeżeli X jest zmienną losową, to dowolna funkcja

(mierzalna) g(X) jest również zmienną losową i

)()()( xdFxgXgE .

Wariancja

Przez wariancję 2 zmiennej losowej X rozumiemy wartość

oczekiwaną funkcji 2)(XEX , o ile jest ona skończona:

)()()(222 xdFXEXXEXE

222 )(XEXE

Gdy zmienna losowa jest albo skokowa albo ciągła:

dxxfx

pxi

ii

2

2

2

Wariancję będziemy często oznaczć przez )(XVar

2)( XVar

Odchyleniem standardowym będziemy

nazywać liczbę:

)(XVar .

Momenty zwykłe

Momentem zwykłym rzędu r nazywamy liczbę:

)(xdFxXE rrr ,

o ile, całka ta jest skończona. Rząd r może być równy

r=0,1,2,... .

W szczególnym przypadku:

)( ,1 10 XE .

Momenty centralne

Załóżmy, że istnieje skończona wartość oczekiwana E(X).

Jeżeli ponad to, odpowiednia całka jest skończona,

momentem centralnym rzędu r nazywamy liczbę:

)()()( xdFXExXEXErrc

r

gdzie ,...2,1,0r .

W szczególnym przypadku:

)( ,0 ,1 210 XVarccc .

Skośność

33

c

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Kurtoza

344

2

c

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ograniczony moment zwykłego rzędu r

Niech X oznacza dowolną zmienną losową. Definiujemy

zmienną losową: mXmXY ,min

Wtedy r-ty ograniczony moment zwykły zmiennej X

nazywamy liczbę:

rrr mXEYEmXE ),min()(

Wysokość szkodyWysokość wypłaty

Suma ubezpieczenia

Moment ten wyznaczamy w następujący sposób

- dla zmiennej losowej skokowej:

mx

ir

mxi

ri

r

ii

pmpxmXE )(

- dla zmiennej losowej ciągłej:

m

rm

rr dxxfmdxxfxmXE )()()(0

Własności:

1. Jeżeli zmienna przyjmuje wartości nieujemne to

istnieją wszystkie ograniczone moment rzędu 0r .

2. )(lim XEmXEm

, jeżeli wartość oczekiwana

istnieje

Funkcja tworząca

Niech X będzie zmienną losową przyjmującą

nieujemne wartości całkowite. Funkcję tworzącą Xh

rozkładu zmiennej losowej X definiujemy następująco:

i

xi

i

xi

XX sspsxXPsEsh ii 11 ,)(

Przykład

Zmienna losowa X ma rozkład

xi 0 1 2 3

pi 1/8 3/8 3/8 1/8

Funkcja tworząca ma postać:

321

8

1

8

3

8

3

8

1)( sssshX

Funkcja tworząca (generująca) momenty

Funkcją tworzącą momenty (w skrócie ftm) rozkładu

zmiennej losowej X o dystrybuancie F nazywamy funkcję

XM określoną następująco:

)()( xdFeeEsM sxsXX .

Dziedziną tej funkcji jest przedział, w którym całka

występująca po prawej stronie jest zbieżna.

Jej nazwa związana jest z równością:

,...3,2,1 ),0()( rMXE rX

rr ,

z której wynika, że w przypadku, gdy znamy funkcję

tworzącą momenty rozkładu zmiennej losowej X, możemy

wyznaczyć jej momenty zwykłe rzędu r, obliczając r-te

pochodne funkcji XM w punkcie 0s .

Jeżeli 1X i 2X są niezależnymi zmiennymi

losowymi, to funkcja tworząca momenty ich

sumy 21 XXY jest równa:

)()()(

21sMsMsM XXY

Funkcja tworząca momenty transformacji liniowej

baXY jest równa:

)()( asMesM Xbs

Y

Funkcja tworząca (generująca) kumulanty

Funkcją tworzącą kumulanty (w skrócie ftk) rozkładu

zmiennej losowej X o dystrybuancie F nazywamy funkcję

XC określoną następująco:

)(ln)( sMsC XX

Kumulantą rzędu r zmiennej losowej X

nazywamy liczę:

)0()(rXr C

Własności:

1. 11

2. 22122

3. 33

4. 44

2s

Funkcja charakterystyczna

Funkcją charakterystyczną X rozkładu

zmiennej losowej X o dystrybuancie F

nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej isXe :

sxdFeeE isxisXX ),(

gdzie i jest jednostką urojoną ( 1i ).

W przypadku rozkładu absolutnie ciągłego:

dxxfes isxX )()( ,

natomiast w przypadku rozkładu dyskretnego:

k

isxxX

k

keps)( .

Za pomocą funkcji charakterystycznej można

wyznaczyć momenty zwykłe:

rrrX XEi)0()( .

Związki między wprowadzonymi funkcjami:

1. )(ln)( sMsC XX

2. )ln()( sMsh XX

3. )()( isMs XX

M s h eX X

s( )

is

XX ehs )(

4.

5.

2010 Metody aktuarialne 1

Documents

Transcript of 2010 Metody aktuarialne 1