18-leb-lecishikawa/18-leb-lec.pdf1.3. 測度論-1 5 集合族...

1

積分論 17－18

3

第1章 easy integration

1.1 構成1.2 準備1.3 測度論-1

1.4 積分論-1

1.5 積分論-2

1.6 練習問題

1.2 測度論の準備

1.2.1 動機づけ

複雑な図形 - 海岸線の長さを測る

1.2.2 集合と位相

「もの」の集まりを集合という。ただし、「もの」については定義しない。「もの」を集合の要素（元）という。数学では要素が集合に属するか否かが判別できることを要請する。す

なわち、x ∈ Aまたは x /∈ Aがなりたつ。Cを条件として

A = {x; xはCをみたす }とかくことができる（集合の内包的記法）。A ⊂ Bとは、「Aの任意の元 aについて、aはBの元である」というこ

とである。　A ⊂ BかつB ⊂ Aであるとき、A = Bとかき、「AとBは相等しい」という。

4 第 1章 easy integration

A∪B,A∩Bは既知のとおり定義する。A\B = A∩Bcとする。A∪Bc =

Ac ∩ Bc, A ∩ Bc = Ac ∪ Bc。これをドモルガンの法則という。Zをひとつのパラメータ集合として、Zの各元 nに一つの集合Anが対

応しているとする。

∪n∈ZAn = {x;ある n ∈ Zがあって x ∈ An}

∩n∈ZAn = {x;すべての n ∈ Zに対し x ∈ An}である。ドモルガンの法則は

(∪n∈ZAn)c = ∩n∈ZAcn, (∩n∈ZAn)c = ∪n∈ZA

cn

に拡張される。集合の列A1, A2, ...が与えられているとき、∩∞k=1∪∞n=kAnを (An)∞n=1の上

極限といい、lim supn→∞Anで表す。∪∞k=1∩∞n=kAn を (An)∞n=1の下極限といい、lim infn→∞Anで表す。当然 lim infn→∞An ⊂ lim supn→∞Anであるが、lim infn→∞An = lim supn→∞Anであるとき、この集合を limn→∞An

とかく。とくに実数全体は集合である。これをRとかく。実数には順序がつい

ている。つまり、a, b ∈ Rならば、a < b, a = b, a > bのいづれか一つがなりたつ。E ⊂ Rとする。もしすべての x ∈ Eに対し x ≤ bとなるような b ∈ Rが存在すれば、「Eは上に有界」といい、bをEの上界と

いう。BをEのすべての上界からなる集合とする。もしすべての b ∈ Bに対し c ≤ bとなるような c ∈ B が存在すれば、c を E の上限といい、supE（または

supx∈E x）とかく。Eの下限 inf E（または infx∈E x）は

infx∈E

x = − supx∈E

(−x)

によって定義する。開集合は開集合の公理を満たす集合である。開集合の公理は近傍によ

り定義する。閉集合は、その補集合が開集合となる集合である。集合X

とその中の開集合の族Oの組 (X,O)を位相空間という。とくにX 上の距離関数から開集合を決めた位相空間を距離空間という。

1.3. 測度論-1 5

集合族一つの集合 Ωが与えられ、Ωのいくつかの部分集合の集まりFを考える。Fが次を満たすとき、集合族（または有限加法族）という。

(1)∅ ∈ F

(2)A ∈ F ならばAc ∈ F(3)A,B ∈ F ならばA ∪ B ∈ F

F がさらに次を満たすとき、F は σ-集合族（σ-加法族）という:

(4)A1, A2, A3, ... ∈ F ならば ∪∞n=1 An ∈ F

(2)の条件により、「開集合の公理」とは異なることに注意せよ。

1.3 測度論-1

以下では、基礎となる集合を、主に、Ω = RないしΩ = Rn, n = 2, 3, ...

として述べていく。測度論の議論は、Ωを、開集合の定義できるような（位相のついた）一般の集合として展開することができる。

1.3.1 ジョルダン測度

正方形Q = {(x1, x2); a ≤ x1 ≤ a + l, b ≤ x2 ≤ b+ l}

に対して、Qの “面積”を |Q| = lとする。A ⊂ R2を一般の図形とする。ε > 0を決めて固定する。Aの中に一辺

ε > 0の正方形を重なり合わないように敷き詰める。各小正方形の “面積”

は ε2であり、図のように敷き詰めた正方形の面積の総和を cε(A)とかく。ε → ε

2とすると、さらに多くの（有限個の）小正方形を敷き詰めること

ができる。このようにして、さらに小さな εについて cε(A)を計算し

c(A) = supε>0

cε(A)

とおく。これをジョルダン内容量という。（[新井]参照。）一方、一辺 εの小正方形を使って、Aを覆う。つまり、

A ⊂ ∪Nj=1Qj , Qjは一辺εの小正方形


とする。（ここで小正方形は重なり合っても構わない。）このような小正方形の面積の総和をCε(A)とかく。

C(A) = infε>0

Cε(A)

とし、ジョルダン外容量という。ε′ > 0, ε′′ > 0に対してつねに

cε′(A) ≤ Cε′′(A)

だから、c(A) ≤ C(A)

である。ここでもし c(A) = C(A)ならば、Aはジョルダン可測であるといい、上の値をAのジョルダン測度という。Rn, n ≥ 2の場合も同様に議論する。なお

A = {(x1, x2); xi ∈ Q, 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2}とすると、Aはジョルダン可測でない。また、ハルナック集合はジョルダン可測でない。（このような不思議な図形たちについては、[新井]の第2部を参照。）

1.3.2 ルベーグ外測度

Ω = Rnとし、 Iをその区間

I = (a1, b1)× (a2, b2)× ...× (an, bn)

= {(x1, ..., xn); aj < xj < bj , j = 1, ..., n}とする。Iの測度 |I|を

|I| = Πnj=1(bj − aj)

とする。任意の集合E ⊂ Rnに対して、和がEを覆うような高々加算個の開区

間の組 {Iλ}:∪λ∈ΛIλ ⊃ E

1.3. 測度論-1 7

を考える。このようなについての下限

inf{Iλ}

∑λ∈Λ

|Iλ|

を、m∗(E)とかいてのルベーグ外測度という。ルベーグ外測度は次の性質をもつ：

(1)m∗(∅) = 0, m∗({a}) = 0

(2)E1 ⊂ E2ならばm∗(E1) ≤ m∗(E2)

(3)E1, E2, E3, ... ⊂ Rnに対して

m∗(∪∞n=1En) ≤∞∑

n=1

m∗(En) (3.1)

(4)Eが、互いに素な区間 JnをつかってE = ∪∞n=1Jnと表されるとき

m∗(E) =∞∑

n=1

m∗(Jn) (3.2)

(3.1)の性質を劣加法性という。(3.2)の性質を完全加法性という。証明(1) 空集合、1点集合はいかなる小正方形でも覆える。(2) E2 = E1 ∪ (E2 \ E1)とかく。{Iλ1 , Iλ2 , ...}がE2を覆えば、それら

はE1を覆う。よって

m∗(E2) = inf{Iλi

}

∑i

|Iλi| ≥ inf

{I′λi},E1⊂∪I′λi

∑i

|I ′λi| = m∗(E1)

(3) l を固定する。m∗(El) の定義から、任意の ε > 0 に対し、区間I

(l)λ1, I

(l)λ2, ...で

El ⊂ ∪iI(l)λi,

∑i

|I (l)λi| < m∗(El) +

ε

2l

となるものが存在する。これより

∪∞l=1El ⊂ ∪∞l=1 ∪∞i=1 I(l)λi

よってm∗(∪∞l=1El) ≤

∑l

∑i

|I (l)λi|


<

∞∑l=1

(m∗(El) +ε

2l) ≤

∑l

m∗(El) + ε

εは任意だから、ε→ 0とすればよい。(4) 外測度m∗(E)の定義で infimumを達成する区間 Iλが実際に存在す

る (Iλn = Jn)ので、

m∗(E) = inf{Iλ}

∑λ

|Iλ| =∑

n

|Jn|

証明終わり

1.3.3 ルベーグ内測度

SをRnの有界集合とし、S ⊂ Jなる長方形（n次元区間）Jを 1つとって固定する。Sのルベーグ内測度m∗(S)を

m∗(S) = |J | −m∗(J ∩ Sc)

と定義する。これは「外側から測った外測度」である。ルベーグ内測度は次の性質をもつ：

(1)0 ≤ m∗(S) <∞(2)m∗(S) ≤ m∗(S)

(3)S ⊂ T に対してm∗(S) ≤ m∗(T )

(4)Iが n次元区間ならばm∗(I) = |I|証明(1) |J | < +∞, m∗(J ∩ Sc) ≤ m∗(J) = |J |より。(2) J = S ∪ (J \ S)だから、外測度の劣加法性より |J | = m∗(J) ≤

m∗(S) +m∗(J \ S)。よってm∗(S) = |J | −m∗(J \ S) ≤ m∗(S)

(3) T を含む長方形 J に対し、S ⊂ T より J \ S ⊃ J \ T。よって

m∗(J \ S) ≥ m∗(J \ T )

これより

m∗(S) = |J | −m∗(J \ S) ≤ |J | −m∗(J \ T ) = m∗(T )

1.3. 測度論-1 9

(4) Iを含む長方形 J として I自身をとる。すると

m∗(I) = |I| −m∗(I \ I) = |I| −m∗(∅) = |I|

証明終わり

1.3.4 ルベーグ可測集合

Rnの有界な集合 Sが

m∗(S) = m∗(S)

をみたすとき、Sをルベーグ可測集合という。内測度の定義から、これはS ⊂ Jなる長方形（n次元区間）Jについて

m∗(J ∩ Sc)　+m∗(S) = |J | (3.3)

と同値である。なお、これをもっと強めて

すべてのEについてm∗(E ∩ S) +m∗(E ∩ Sc) = m∗(E) (3.4)

とき、Sをカラテオドリ可測集合という。注意カラテオドリ可測集合はルベーグ可測集合である。カラテオドリ

可測集合は、（外測度の定義された）一般の集合上で定義できる。Rnの上ではカラテオドリ可測集合とルベーグ可測集合は一致する。

1.3.5 ルベーグ測度空間

カラテオドリ可測集合の全体をMで表す。E ∈Mに対して

m(E) = m∗(E)

とおき、Eの測度という。３つ組 (Rn,M, m)をルベーグ測度空間という。

定理１Mは σ-加法族をなす。すなわち

(1)∅ ∈ M


(2)A ∈ MならばAc ∈M。A1 ∈M, A2 ∈Mならば A1∩A2 ∈M, A1∪A2 ∈M。(3)A1, A2, ... ∈Mならば ∪∞n=1 An ∈M

証明(1) m∗(E ∩ ∅) +m∗(E ∩ ∅c) = m∗(∅) +m∗(E) = m∗(E)より ∅ ∈ M。(2) A ∈Mとすると、(3.4)において Sと Scの役割が対称であるから、

Ac ∈M。A1, A2 ∈Mとする。(3.4)より、任意の集合Eについて

m∗(E) = m∗(E ∩ A1) +m∗(E ∩ Ac1)

= m∗(E ∩A1 ∩A2) +m∗(E ∩A1 ∩ Ac2) +m∗(E ∩ Ac

1)

S ′ = A1, E′ = E ∩ {(A1 ∩ Ac

2) ∪ Ac1}として (3.4)を適用する。E ′ ∩ S ′ =

E ∩ A1 ∩ Ac2, E

′ ∩ S ′c = E ∩Ac1となるから

(R.H.S.) = m∗(E ∩ A1 ∩ A2) +m∗(E ∩ {(A1 ∩ Ac2) ∪Ac

1})

= m∗(E ∩ (A1 ∩A2)) +m∗(E ∩ {(A1 ∩A2)c})

これよりA1 ∩ A2 ∈M。また、A1 ∪A2 = (A1 ∩A2)cより、A1 ∪ A2。

(3) (step 1) [A1, A2, ...が互いに素な場合]

A1, A2, ... ∈ M, Ai ∩ Aj = ∅ (i �= j)とする。A = ∪nAnとおく。Ac =

∩∞n=1Acnであるから、任意のnについてAc

1∩· · ·∩Acn ⊃ Ac。よってm∗(E∩

Ac1 ∩ · · · ∩Ac

n) ≥ m∗(E ∩ Ac)。ここでA1 ∈Mより

m∗(E) = m∗(E ∩ A1) +m∗(E ∩ Ac1)

ここでAc1 = (Ac

1 ∩ A2) ∪ (Ac1 ∩ Ac

2)より

(R.H.S.) = m∗(E ∩ A1) +m∗(E ∩ Ac1 ∩A2) +m∗(E ∩Ac

1 ∩ Ac2)

E ′ = E∩{A1∪ (Ac1∩A2)}, S ′ = Ac

1とおくと、E′∩S ′ = E∩Ac

1∩A2, E′∩

S ′c = E ∩ A1、またA1 ∪ (Ac1 ∩A2) = A1 ∪A2より

(R.H.S.) = m∗(E ∩ (A1 ∪ A2)) +m∗(E ∩ (A1 ∪A2)c)

= m∗(E ∩A1) +m∗(E ∩ A2) +m∗(E ∩ (A1 ∪ A2)c)

· · ·= m∗(E∩A1)+m

∗(E∩A2)+ ...+m∗(E∩An)+m∗(E∩Ac

1∩Ac2∩· · ·∩Ac

n)

1.3. 測度論-1 11

≥ m∗(E ∩A1) +m∗(E ∩A2) + ...+m∗(E ∩ An) +m∗(E ∩Ac)

よって

m∗(E) ≥∞∑

n=1

m∗(E ∩An) +m∗(E ∩ Ac)

≥ m∗(E ∩A) +m∗(E ∩Ac)

ただし、最後の不等式はm∗の劣加法性による。一方、m∗(E) ≤ m∗(E ∩A) +m∗(E ∩Ac)はつねに成り立つので等号が

成り立ち、A ∈Mである。(step 2) [A1, A2, ...が互いに素とは限らない場合]

B1 = A1, Bn = An \ (∪n−1j=1Aj), n ≥ 2とおくと (Bi)は互いに素である。

step 1より ∪nBn ∈Mだから、∪nAn = ∪nBn ∈M。どんな集合が可測か

命題１ Rnの開集合は可測集合である。Rnの有界な閉集合は可測集合である。

この定理の証明のためには次の補題が必要となる。

補題 A ⊂ Rnはm∗(A) < +∞を満たすとする。このとき

limN→∞

m∗(A ∩ QN ) = m∗(A)

ただし、QN = [−N,N)× [−N,N)とし、QN はその閉包である。[新井]補題 3.8参照。

命題１の証明 F を有界な閉集合とする。FN = F ∩ QN とおくと、FN

は有界な閉集合である。FN ⊂ F より、m∗(FN) ≤ m∗(F )となる1。また、補題より

m∗(F ) = limN→∞

m∗(FN ) ≤ m∗(F )

一方、外測度の定義より

m∗(F ) ≥ m∗(F )

よってm∗(F ) = m∗(F )となり、F は可測である。1ここでは Rn 上の内測度についての同値な定義：m∗(A) =

sup{m∗(K);K は有界閉集合で K ⊂ A} を使う。この証明については [新井]3.16’を参照


また、開集合は閉集合の補集合であるから、定理 1より開集合も可測となる。q.e.d.

次の 3つで特徴付けられる集合を n次元ボレル集合といい、その全体を Bで表す。

(1) [a1, b1)× ...× [an, bn)で表される集合は n次元ボレル集合である。(2) Bは補集合と加算和をとる操作に関して閉じている。(3) Bは (1), (2)の性質をもつ集合族のうち最小のものである。

n-次元ボレル集合族をBnとかくこともある。

定理２n次元ボレル集合はルベーグ可測集合である。

証明 [a1, b1)× ...× [an, bn)の形の集合は開集合により表現できる。たとえば、[a, b) = ∩∞n=1(a− 1

n, b)。よって、命題１、定理１より、[a1, b1)×

...× [an, bn)の形の集合はすべてMに含まれる。定理 1よりMは σ-加法族であり、Bも σ-加法族であるから、B ⊂M。証明終この定理より B ⊂ Mである。B（乃至 Bn）はたいへん大きな集合族

であり、“（普段出てくる）大抵の集合”を含んでいる。以下で出てくる命題、定理においてMをBと読み替えても、大きな問題は起こらない。なお、ボレル集合族は、開集合が定義できるような一般の集合上で定義できる。ボレル集合族上の測度をボレル測度という。

集合EでEは可測かつm(E) = 0となるものを零集合という。関数 f(x)に対し [f �= 0] = {x; f(x) �= 0}とおく。関数 f(x)で [f �= 0]

が零集合となるとき、f(x)はほとんど到るところ零といい、f = 0 a.e.

(almost everywhere)という。関数 f(x), g(x)があって、g − f = 0 a.e.となるとき、fと gはほとんど到るところ等しいといい、f = g a.e.とかく。

A ⊂ Ωをある集合とする。Aを含む最小の σ-加法族を、Aから生成された σ-加法族という。ボレル集合族は、半開区間 [a1, b1)× ...× [an, bn)から生成された σ-加法族である。

1.3. 測度論-1 13

1.3.6 測度の性質

命題１A1, A2, ... ∈ MかつAi ∩Aj = ∅ (i �= j)とする。m∗(∪∞j=1Aj) < +∞の

とき ∪∞j=1Aj ∈Mであり、

m(∪∞j=1Aj) =∞∑

j=1

m(Aj) (3.5)

である。

Ωをある集合、MをΩ上の可測集合の族、mを

m(A) = m∗(A), A ∈M

として定義する。(Ω,M, m)を測度空間という。証明A = ∪∞n=1Anとおく。定理１ (3)より、A ∈M。よって

m∗(E) = m∗(E ∩ A) +m∗(E ∩Ac)

一方、定理１ (3)の証明より

m∗(E) ≥∞∑

n=1

m∗(E ∩An) +m∗(E ∩ Ac)

E = Aととると

m∗(A) ≥∞∑

n=1

m∗(An)

m∗(A) ≤∞∑

n=1

m∗(An)

はm∗の劣加法性よりしたがう。mの定義より (3.5)が成り立つ。証明終わり

命題 2

(1) m(A ∪B) = m(A) +m(B)−m(A ∩B)

(2) 集合の増加列A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · ·に対し

m( limn→∞

An) = limn→∞

m(An)


(3) 集合の減少列A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ · · ·に対し、m(A1) < +∞ならば

m( limn→∞

An) = limn→∞

m(An)

(4) 任意のA1, A2, A3, ...に対し

m(∪∞n=1An) ≤∞∑

n=1

m(An)

(5)

m(lim infn→∞

An) ≤ lim infn→∞

m(An)

(6) m(∪∞n=1An) < +∞のとき

m(lim supn→∞

An) ≥ lim supn→∞

m(An)

証明(1) 可測性の定義 (3.4)による。

m(A) = m(A∩ (A∩B))+m(A∩ (A∩B)c) = m(A∩B)+m(A\ (A∩B)),

m(B) = m(B∩ (A∩B))+m(B∩ (A∩B)c) = m(A∩B)+m(B \ (A∩B))

一方

m(A ∪ B) = m((A ∪ B) ∩ (A ∩B)) +m((A ∪ B) ∩ (A ∩B)c)

= m(A ∩ B) +m({(A ∩ (A ∩ B)c) ∪ (B ∩ (A ∩ B)c)})= m(A∩B)+m((A∩(A∩B)c)∩(A∩(A∩B)c))+m((B∩(A∩B)c)∩(A∩(A∩B)c)c)

= m(A ∩ B) +m(A \ (A ∩B)) +m(B \ (A ∩B))

上の 2つを最後の式に代入すれば、結論を得る。(2) B1 = A1, B2 = A2 \ A1, ..., Bn = An \ An−1とおくと、Bi ∩ Bj =

∅ (i �= j) かつ limn→∞An = ∪∞n=1An = ∪∞n=1Bn, Bn ∈ M, n = 1, 2, ...となる。また (1)より

m(An) = m(Bn ∪An−1) = m(Bn) +m(An−1)

つまりm(Bn) = m(An)−m(An−1)

1.3. 測度論-1 15

これよりm( lim

n→∞An) = m(∪∞n=1An) = m(∪∞n=1Bn)

となるが、命題１より、右辺=∑∞

n=1m(Bn)

=

∞∑n=1

{m(An)−m(An−1)} = limn→∞

m(An)

(3)

B1 = A1 \ A2, B2 = A2 \ A3, ..., Bn = An \ An−1とおくと、Bi ∩ Bj =

∅ (i �= j) かつ A1 = ∪∞n=1An = (∪∞n=1Bn) ∪ (limn→∞An), Bn ∈ M, n =

1, 2, ...となる。m(A1) <∞ならば

m(A1) = m(∪∞n=1Bn) +m( limn→∞

An)

ここで

m(∪∞n=1Bn) =∞∑

n=1

m(Bn)

=

∞∑n=1

{m(An)−m(An+1)} = m(A1)− limn→∞

m(An)

この 2式より結論を得る。(4) B1 = A1, B2 = A2 \ A1, ...Bn = An \ (A1 ∪ · · ·An−1)とおくと、

Bi ∩ Bj = ∅(i �= j)かつ ∪∞n=1An = ∪∞n=1Bn, Bn ⊂ An, n = 1, 2, ...となる。あとは (3.5)を使えばよい。

(5), (6)については練習問題 [11]としてある。証明終わり命題 (5), (6)より、もし

limn→∞

An = lim infn→∞

An = lim supn→∞

An

が存在し、かつ、m(∪∞n=1An) < +∞ならば、

m(lim supn→∞

An) = lim supn→∞

m(An)

がなりたつ。


1.3.7 測度空間の例

一般の集合上でも、Rn上と同じように、外測度から始めて、測度、可測集合を定義できる。

1 (Ω,M, m)。ここで

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = Ωの部分集合全体,

m({i}) =1

6, i = 1, ..., 6, m(A) =

∑i∈A

m({i}), A ⊂ Ω.

このとき、m(∅) = 0とおくと、m(.)は (Ω,M)上の測度となる。また、m(Ω) = 1である。これは、さいころを 1回振ったとき出る目の確率を表す測度空間（確率空間）である。

2 (Ω,M, m)。ここで

Ω = {(i, j); i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6}, M = Ωの部分集合全体,

m({(i, j)}) =1

36, i, j = 1, ..., 6, m(A) =

∑i∈A

m({(i, j)}), A ⊂ Ω.

このとき、m(∅) = 0とおくと、m(.)は (Ω,M)上の測度となる。また、m(Ω) = 1である。これは、さいころを 2回振ったとき出る目の確率を表す測度空間（確率空間）である。

3 具体例（知識の体系）あることについて知識が深まるほど、その対象についての分割が詳し

くなる。これは対象Ωに関する可測集合の数が増え、より richな可測集合族を構成できることを意味する。例１　日本語とフランス語の魚の分類を並べる。言語による分類の詳

しさの違いがよくわかる。(フランスは、大西洋沿いも地中海岸も海の幸に恵まれており、ラテン文化の影響もあって、フランス人は魚介類をよく食べる。)

鯖 (サバ) maquereau (m) マクロー鯵 (アジ) chinchard シャンシャール鰹 (カツオ) bonite (f) ボニット鰤 (ブリ)／ハマチなど seriole セリヨル(関東 - モジャコ（稚魚）→ワカシ（35cm以下）→イナダ（35-60cm）

→ワラサ（60-80cm）→ブリ（80cm以上）)

鮪 (マグロ) thon (m) トン

1.3. 測度論-1 17

鮭 (サケ) saumon ソーモン鱒 (マス) truite (f) トリュイットゥニジマス／虹鱒 Truite arc-en-ciel

鯛 (タイ) daurade (f)/doradeドラードゥ黒鯛 daurade griseドラードゥ・グリーズ黒鯛 daurade noireドラードノワール赤鯛 daurade rougeドラードゥ・ルージュ真鯛 (マダイ) pageot パジュォ平目 (ヒラメ) barbue バルビュ平目 (ヒラメ)／イシビラメ turbot テュ

ルボ小平目 (コビラメ) olette 　舌平目 sole (f) ソル鱈 (タラ)の一種 aiglefin 　鱈 (タラ) cabillaud カ (キャ)ビヨ鱈 (タラ)

／イソアイナメ colin コラン小鱈 merlan メルラン鱈 (タラ)／塩タラ、干しタラ morue (f) モリュー鰈 (カレイ) carrelet キャルレ鰈 (カレイ) Flet フレ鰈 (カレイ) limande

(-sole) リマンド鰈 (カレイ) plie

メルルーサ (アルゼンチンヘイク) Anon アノンメルルーサ Cocochas

ココチャスメルルーサ Lieu リュメルルーサ merlu メルリュ鮟鱇 (アンコウ) baudroie ボードロワ鮟鱇 (アンコウ) diable de mer

ディアブル・ドゥ・メール鮟鱇 (アンコウ) lotte ロット鮟鱇 (アンコウ)

poisson-pecheur ポワッソン・ペシュール

例 2　羊肉の分類。日本では羊肉をほとんど食べない。スーパーに行ってもせいぜいラムとマトンを区別してあるくらいである。一方、ヨーロッパ人は羊肉をよく食べる。食べ心地により羊肉を詳しく分類している。ラムは若ければ若いほど取れる肉の量は少ないが、より柔らかく臭みも少なくなる。2歳以上のマトンの肉はあまり柔らかくない。ニュージーランドにおける羊肉の定義は以下のとおりである。ラム : 生後 12か月で永久門歯がない雄または雌の羊ホゲット : 永久門歯が 1から 2本の雌または去勢された雄の羊マトン : 永久門歯が 2本より多い雌または去勢された雄の羊

オーストラリアではラムの定義は以下のとおりである。ラム : 永久門歯が 0本、生後 12か月までの雌または去勢された雄。

ニュージーランドでは、永久門歯が生えていても摩耗していなければラムとする。その他の定義ラム - 1歳以下の羊ベイビーラム - 生後 6から 8週間で乳だけで育てた羊スプリングラム - 生後 3か月から 5か月で乳だけで育てた羊


イヤリングラム - 生後 12か月から 24か月の羊

部位による分類伝統的なイギリスの部位の分け方は以下のとおりである。

(首)場所 1 場所 2 場所 3 場所 4 場所 5 場所 6 (尻)スクラグエンド　ミドルネック　ベストエンドロインチャンプ脚

∅ 肩（Shoulder）　胸（Breast）胸（Breast） ∅　 ∅

例 3　牛肉の分類。牛肉も日本文化の中では歴史が浅い。ポルトガル語（ブラジル）では牛肉を詳しく分類する。○食材用語（牛肉） Carne de vaca （カルネ・デヴァッ）、または boi

（ボイ）ヒレ肉 file mignon file mignon file mignon（フィレ・ミニョン）サーロイン contrafilre （コントラフィレ）もも肉 alcatra alcatra（アルカトラ）ランプ picanha （ピカーニャ）また肉 coxao mole （コション・モーリ）、 patinho （パッチーニョ）、

lagarto （ラガルト）すね肉musculo （ムスクロ）テール rabada （ハバーダ）こぶ肉 cupim （クッピン）牛タン lingua （リングア）レバー figado （フィガド）

1.4 積分論-1

1.4.1 可測関数

f(x1, ..., xn)をE ⊂ Rnにおいて定義されたある関数とする。その値は実数または+∞,−∞をとるものとする。B ⊂ R ∪ {+∞,−∞}に対し

[f ∈ B] = {x ∈ E; f(x) ∈ B}

とかく。また、α ∈ Rに対し

[f > α] = {x ∈ E; f(x) > α}

1.4. 積分論-1 19

とかく。関数 f が可測関数とは、任意の実数αに対し [f > α] ∈M となること

である。任意の実数 αに対し [f > α] ∈ Bとなるとき、f をボレル可測関数という。

命題１f : Rn → Rについて、次は同値である。(1)f は可測(2) 任意の実数 αに対し [f ≥ α] ∈M(3) 任意の実数 αに対し [f < α] ∈M(4) 任意の実数 αに対し [f ≤ α] ∈M証明(4)→(1) [f ≤ α] = [f > α]c. 左辺 ∈M⇒ [f > α] ∈M.

(1)→(2) [f ≥ α] = ∩∞n=1[f > α − 1n], [f > α − 1

n] ∈ M. よって

[f ≥ α] ∈M.

(2)→(3) [f < α] = [f ≥ α]c, [f ≥ α] ∈ Mよって、左辺 ∈M.

(3)→(4) [f ≤ α] = ∩∞n=1[f < α + 1n]. [f < α + 1

n] ∈ M. よって

[f ≤ α] ∈M.

証明終

可測関数の意味

可測関数の例A ∈Mに対し

1A(x) = 1 if x ∈ A, 1A(x) = 0 if x /∈ A

とかく。実数 a1, a2, ...と集合A1, A2, ... ∈M　（ただし、Ai ∩ Aj = ∅ if

i �= j）に対し

f(x) =n∑

i=1

ai1Ai(x), ∪n

i=1Ai = E

と書かれる関数を、階段関数 (step function)または単関数 (simple func-

tion)という。

命題２(fn)∞n=1を可測関数とするとき(1) supn≥1 fn(x), infn≥1 fn(x)は可測関数である。


(2) lim supn→∞ fn(x), lim infn→∞ fn(x)は可測関数である。(3) fn(x)→ f(x)（各点収束）ならば、fn(x)は可測関数である。

証明(1)

An ∈M→ ∪nAn ∈MA ∈M→ Ac ∈M

よってAn ∈M→ ∩nAn ∈M

したがって fnが可測関数ならば、

[infn≥1

fn > α] = ∩n[fn > α] ∈ M

[supn≥1

fn > α] = ∪n[fn > α] ∈M

となる。(2)

lim supn

fn = infn≥1

(supk≥n

fk)

lim infn

fn = supn≥1

(infk≥n

fk)

なので、(1)よりしたがう。(3)

limnfn = lim sup

nfn = lim inf

nfn

なので、可測である。証明終

命題３f(x), g(x)をE ⊂ Rn上の可測関数とするとき、f(x)+g(x), f(x)g(x), cf(x)

は可測関数である。

証明

[f + g > α] = [f > α− g] = ∪r∈Q([f > r] ∩ [r > α− g]) ∈M

等による。証明終

1.4. 積分論-1 21

1.4.2 ルベーグ式積分

命題１非負関数 f(x) : E → [0,+∞]が可測ならば、非負単関数列 (fn)で、各

x ∈ Eについてfn(x)は単調非減少、fn(x)→ f(x)

となるものが存在する。

証明

fn(x) =n2n∑k=1

k − 1

2n1Ek

(x) + n1Fn(x)

とおく。ただし、

Ek = f−1([k − 1

2n,k

2n)) ∈M

Fn = f−1([n,∞]) ∈Mである。このとき、各 x ∈ Eについて

fn(x)→ f(x)

となる。証明終

定義（可測関数の積分）(1) 単関数 f(x) =

∑ni=1 ai1Ai

(x), ai ≥ 0, Ai ∩Aj = ∅(i �= j)に対し∫f(x)m(dx) =

n∑i=1

aim(Ai)

と定義する。なお、f(x)に２つの表し方があっても、左辺は等しい。(2) f を非負可測関数とする。上の命題より、ϕn → f となる有界階段

関数（単関数）列 (ϕn)をとり、∫f(x)m(dx) = lim

n→∞

∫ϕn(x)m(dx)

と定義する。左辺は (ϕn)の取り方によらない。(3)　 f が一般の可測関数の場合。

f+(x) =1

2(|f(x)|+ f(x)), f−(x) =

1

2(|f(x)| − f(x))


とおくと、f;(x) ≥ 0, f−(x) ≥ 0, f(x) = f+(x) − f−(x)となる。(2)により

∫f+(x)m(dx),

∫f−(x)m(dx)を定義し、その少なくとも一方が有限で

あるとき、 ∫f(x)m(dx) =

∫f+(x)m(dx)−

∫f−(x)m(dx)

と定義する。定義終

可測関数 f(x)は∫ |f(x)|m(dx)が有限のとき、可積分とよばれる。

命題２ (積分の性質 (1))

f, gはともに非負可測関数とするとき(1) a > 0, b > 0に対し∫

(af(x) + bg(x))m(dx) = a

∫f(x)m(dx) + b

∫g(x)m(dx)

(2) f(x) ≤ g(x)ならば∫f(x)m(dx) ≤

∫g(x)m(dx)

証明(1) Step 1 単関数

fn1(x) =

n1∑j=0

a1j1A1,j

(x), gn2(x) =

n2∑k=0

a2k1A2,k

(x)

で、lim

n1→∞fn1 = f, lim

n2→∞gn2 = g

となるものをとる。∫(afn1 + bgn2)m(dx) = a

∫fn1m(dx) + b

∫gn2m(dx)

を示し、n1 →∞, n2 →∞とすればよい。Step 2 a > 0, b > 0だから、afn1 + bgn2は非負関数で

(fn1 + gn2)(x) =

n1∑j=0

n2∑k=0

(aa1j + ba2

k)1A1,j∩A2,k(x)

1.4. 積分論-1 23

となっている。以下、簡単のため a = 1, b = 1とする。

∫(fn1 + gn2)m(dx) =

n1∑j=0

n2∑k=0

(a1j + a2

k)m(A1,j ∩ A2,k)

=

n1∑j=0

n2∑k=0

a1jm(A1,j ∩ A2,k) +

n1∑j=0

n2∑k=0

a2km(A1,j ∩ A2,k)

=

n1∑j=0

a1j

n2∑k=0

m(A1,j ∩ A2,k) +

n2∑k=0

a2k

n1∑j=0

m(A1,j ∩ A2,k)

=

n1∑j=0

a1j m(A1,j) +

n2∑k=0

a2km(A2,k)

=

∫fn1m(dx) +

∫gn2m(dx).

(2) (1)と同様にして、単関数の場合に、fn1(x) ≤ gn2(x)ならば∫fn1(x)m(dx) ≤

∫gn2(x)m(dx)

を示す。仮定よりA1,j ∩ A2,k �= ∅ならば、x ∈ A1,j ∩A2,kに対し

a1j = fn1(x) ≤ gn2(x) = a2

k

である。Λj = {k;A1,j ∩A2,k �= ∅}とおく。

∫fn1(x)m(dx) =

n1∑j=0

a1j

n2∑k=0

m(A1,j ∩ A2,k)

=

n1∑j=0

a1j

∑k∈Λj

m(A1,j ∩ A2,k)

≤n1∑

j=0

∑k∈Λj

a2km(A1,j ∩ A2,k)

=

n1∑j=0

n2∑k=0

a2km(A1,j ∩ A2,k)


=

n2∑k=0

a2km(A2,k) =

∫gn2(x)m(dx)

証明終

命題３ (積分の性質 (2))

(1) f 2(x), g2(x)が可積分ならば、f(x)g(x)も可積分で

|∫f(x)g(x)m(dx)| ≤ (

∫f 2(x)m(dx))1/2 · (

∫g2(x)m(dx))1/2

(2)

(

∫|f(x) + g(x)|2m(dx))1/2 ≤ (

∫f 2(x)m(dx))1/2 + (

∫g2(x)m(dx))1/2

証明は 1.5.4節を参照。

1.4.3 収束定理

定理１（単調収束定理）(fn(x))は可測関数列で、

0 ≤ fn(x) ≤ fn+1(x), n = 1, 2, ..., x ∈ Rn

とする。このとき

limn→∞

∫fn(x)m(dx) =

∫lim

n→∞fn(x)m(dx)

ただし、積分値は+∞ の場合も含む。これより、limn→∞ fn(x) = f(x)とおくと

limn→∞

∫fn(x)m(dx) =

∫f(x)m(dx)

である。

証明証明のための補題Ei ∈ Bnで、 E1 ⊂ E2 ⊂ ...,Rn = ∪∞i=1Eiとする。s(x)は非負可測単関

数とすると

limn→∞

∫Ei

s(x)m(dx) =

∫Rn

s(x)m(dx)

1.4. 積分論-1 25

証明

s(x) =n∑

j=1

aj1Aj(x)

とすると

s(x) · 1Ei(x) =

n∑j=0

aj · 1Aj∩Ei(x)

∫Ei

s(x)m(dx) =n∑

j=0

aj ·m(Aj ∩Ei)

Aj ∩Eiは集合の単調増大列であるから、測度の性質 (2)より、i→∞のとき

→n∑

j=0

aj ·m(Aj ∩Rn)

=

n∑j=0

aj ·m(Aj) =

∫Rn

s(x)m(dx).

(証明終)

本来の証明fn(x) ≤ f(x)だから、積分の性質 (1)より

∫fn(x)m(dx) ≤

∫f(x)m(dx)

よって

limn→∞

∫fn(x)m(dx) ≤

∫f(x)m(dx) (4.1)

一方、s(x)を 0 ≤ s(x) ≤ f(x)となる非負可測単関数とする。0 < a < 1

に対しEn = {x; a · s(x) ≤ fn(x)}とおく。En = {x; fn(x) − as(x) ≥ 0}は可測集合であり、

E1 ⊂ E2 ⊂ E3 ⊂ ..., ∪∞n=1En = Rn

となっている。上の補題より

limn→∞

∫En

s(x)m(dx) =

∫s(x)m(dx) (4.2)


ここで ∫fn(x)m(dx) ≥

∫En

fn(x)m(dx) ≥ a

∫En

s(x)m(dx)

だから、(4.2)より

limn→∞

∫fn(x)m(dx) ≥ a

∫s(x)m(dx)

a→ 1とすると、(右辺) ≥ ∫s(x)m(dx)

ここで s(x)は 0 ≤ s(x) ≤ f(x)をみたす任意の単関数だから

limn→∞

∫fn(x)m(dx) ≥

∫f(x)m(dx) (4.3)

(4.1), (4.3)により結論を得る。証明終

この定理より、例えば、fn(x) ≥ 0に対し

∫ ∞∑n=1

fn(x)dx =∞∑

n=1

∫fn(x)dx

(項別積分公式)が示せる。じっさい、gn(x) =

∑ni=1 gi(x), g(x) =

∑∞n=1 fn(x)として、定理 1を適

用すればよい。

数列に (an)ついて lim infn→∞ an, lim supn→∞ an を

lim infn→∞

an = limk→∞

infn≥k

an,

lim supn→∞

an = limk→∞

supn≥k

an

とおく。関数列 (fn)に対して

(lim infn→∞

fn)(x) = lim infn→∞

fn(x), (lim supn→∞

fn)(x) = lim supn→∞

fn(x)

として、関数 lim infn→∞ fn, lim supn→∞ fnを定義する。

定理２（Fatouの補題）(fn)を非負な可測関数列とするとき、∫

lim infn→∞

fn(x)m(dx) ≤ lim infn→∞

∫fn(x)m(dx),

1.4. 積分論-1 27

lim supn→∞

∫fn(x)m(dx) ≤

∫lim sup

n→∞fn(x)m(dx)

がなりたつ。証明x �→ lim infn→∞ fn(x)は非負可測関数である。k �→ infn≥k fn(x)は非負

可測関数の単調増加列であるから、単調収束定理より

limk→∞

∫infn≥k

fn(x)m(dx) =

∫limk→∞

infn≥k

fn(x)m(dx)

=

∫lim infn→∞

fn(x)m(dx) (4.4)

一方、任意の j ≥ kに対し infn≥k fn(x) ≤ fj(x)であるから∫infn≥k

fn(x)m(dx) ≤ infj≥k

∫fj(x)m(dx)

ここで両辺において k →∞とすると、(4.4)より

lim infn→∞

∫fn(x)m(dx) ≥

∫lim infn→∞

fn(x)m(dx)

後半は− supn fn(x) = inf(−fn(x))とおいて考えれば同じようにしてできる。証明終わり

定理３（ルベーグの収束定理）可測関数列 (fn)と、１つの可測関数 f

があって次を満たすとする：(1) 各 xにおいて limn→∞ fn(x) = f(x)

(2) ある非負可積分関数 gが存在して

任意の n ≥ 1,任意の xについて |fn(x)| ≤ g(x)

このとき f も可積分で∫f(x)m(dx) = lim

n→∞

∫fn(x)m(dx)

である。

系（有界収束定理）m(Ω) < +∞とする。あるM > 0があって、任意の nに対し

|fn(x)| ≤M onΩ


ならば、 ∫lim

n→∞fn(x)m(dx) = lim

n→∞

∫fn(x)m(dx)

である。

証明はルベーグの収束定理で g(x) ≡ M ととればよい。

ルベーグの収束定理の証明仮定より g(x)− f(x), g(x)+ f(x)は各々非負可測関数である。Fatouの

補題より ∫(g(x) + f(x))m(dx) =

∫lim

n→∞(g(x) + fn(x))m(dx)

≤ lim infn→∞

(

∫g(x)m(dx) +

∫fn(x)m(dx))

=

∫g(x)m(dx) + lim inf

n→∞

∫fn(x)m(dx)

これより ∫f(x)m(dx) ≤ lim inf

n→∞

∫fn(x)m(dx) (3.5)

一方、∫

(g(x) − f(x))m(dx) =∫

limn→∞(g(x) − fn(x))m(dx)。Fatouの補題より

(R.H.S.) ≤ lim infn→∞

(

∫g(x)m(dx)−

∫fn(x)m(dx))

=

∫g(x)m(dx)− lim sup

n→∞

∫fn(x)m(dx)

これより

lim supn→∞

∫fn(x)m(dx) ≤

∫f(x)m(dx) (3.6)

(3.5), (3.6)より∫f(x)m(dx) = lim inf

n→∞

∫fn(x)m(dx) = lim sup

n→∞

∫fn(x)m(dx)

となり、

limn→∞

∫fn(x)m(dx) =　

∫f(x)m(dx)

である。証明終わり

1.4. 積分論-1 29

ルベーグの収束定理の応用定理４(1) 非負可測関数列 (fn)n≥1に対して∫

(

∞∑n=1

fn(x))m(dx) =

∞∑n=1

∫fn(x)m(dx)

(2) (fn)n≥1は可積分関数列で∞∑

n=1

∫|fn(x)|m(dx) < +∞

とする。このとき∫(

∞∑n=1

fn(x))m(dx) =

∞∑n=1

∫fn(x)m(dx)

証明（1）は単調収束定理 (定理１)による。

gn(x) =n∑

i=1

fi(x), g(x) =∞∑i=1

fi(x)

とおく。ここで∞∑i=1

fi(x)　 = limn→∞

n∑i=1

fi(x)

これより ∫ ∞∑i=1

fi(x)m(dx) =

∫lim

n→∞

n∑i=1

fi(x)m(dx)

= limn→∞

∫ n∑i=1

fi(x)m(dx) (ルベーグの収束定理)

= limn→∞

n∑i=1

∫fi(x)m(dx) =

∞∑i=1

∫fi(x)m(dx)

（2）はルベーグの収束定理において、g(x) =∑∞

n=1 |fn(x)|ととればよい。

なお、Ω = Rn, m(dx) =ルベーグ測度の場合、m(dx)を単に dxとかくこともある。収束定理に関連する例題


例題 1 fn(x) = n2xe−nx, 1 ≤ x ≤ 100とし、関数列 (fn)を考える。各 x

に対し

limn→∞

fn(x) = limn→∞

n2x

enx= 0

である。さらにfn(x) ≤ 4e−2 (n ≥ 1)

である (練習問題)。よって、有界収束定理より

limn→∞

∫ 100

1

fn(x)dx =

∫ 100

1

limn→∞

fn(x)dx

=

∫ 100

1

0dx = 0.

実際、部分積分により∫ 100

1

n2xe−nxdx = [n2x(−1

ne−nx)]1001 −

∫ 100

1

n2(−1

n)e−nxdx

= [−nxe−nx]1001 +

∫ 100

1

ne−nxdx

= ne−n − 100ne−100n + n[−1

ne−nx]1001

= ne−n − 100ne−100n + (−e−100n + e−n)

ここで n→∞とすると、各項→ 0。よって、右辺 → 0。

例題 2∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n= log 2

実際、左辺を奇数・偶数とかくと、

左辺 =∞∑

m=1

(1

2m− 1− 1

2m)

(ここで 12m−1

− 12m≥ 0) さらに

1

2m− 1=

∫ ∞

0

e−(2m−1)xdx,1

2m=

∫ ∞

0

e−2mxdx

1.4. 積分論-1 31

であり、定理 4（ルベーグの収束定理の応用）より

左辺 =

∞∑m=1

∫ ∞

0

(e−(2m−1)x − e−2mx)dx

=

∫ ∞

0

∞∑m=1

(e−(2m−1)x − e−2mx)dx

ここで積分の中身は初項　 e−x − e−2x = e−x（1− e−x）, 公比　 e−2xの等比数列なので、和は

e−x(1− e−x

1− e−2x) = e−x(

1− e−x

(1− e−x)(1 + e−x)) = e−x 1

1 + e−x

となる。よって

(右辺) =

∫ ∞

0

e−x

1 + e−xdx

= [− log(1 + e−x)]∞0 = log 2

例題 3 (ルベーグ積分では計算できない例)

f(x) = (−1)n+1n,1

n+ 1< x ≤ 1

n

とおく。|f(x)| = n, 1n+1

< x ≤ 1n

∫ 1

0

|f(x)|dx =∞∑

n=1

∫ 1n

1n+1

ndx

=∞∑

n=1

n(1

n− 1

n+ 1) =

∞∑n=1

(1− n

n + 1)

= 1− 1

2+ 1− 2

3+ 1− 3

4+ 1− 4

5+ ...

=1

2+

1

3+

1

4+ ... =∞

しかし ∫ 1

0

f(x)dx =

∞∑n=1

(−1)n+1n(1

n− 1

n+ 1)

=

∞∑n=1

(−1)n+1(1− n

n + 1)


=1

2− 1

3+

1

4− ...

例題 2より

log 2 = 1− 1

2+

1

3− ...

つまり

1− log 2 =1

2− 1

3+ ...

よって ∫ 1

0

f(x)dx = 1− log 2

となる。

1.4.4 フビニの定理

Overview

(1)M0の存在(2)MZの存在(3) (Z,M)上の測度 πの存在(4)Z = X × Y 上の可測関数(5)射影定理（可測性、フビニ）

(X,MX , mX), (Y,MY , mY )を２つの測度空間とする。また、Z = X×Yとする。A ∈MX , B ∈MY に対し、A× Bは可測な積集合である。

M0Z = {∪n

i=1Ai × Bi ⊂ Z;Ai ∈MX , Bi ∈MY , i = 1, ..., n, n ∈ N}

とする。M0Z は有限加法族になる。

これを元に可測集合族 (σ-加法族)をつくる。MZをM0

Zから生成された σ-加法族とする。つまり、(1)MZ の元はM0

Z の元を含む(2) A ∈MZ ⇒ Ac ∈MZ

(3) A1, A2, ... ∈MZ ⇒ ∪∞n=1An ∈MZ

(4)MZは (1)-(3)をみたす σ-加法族のうち最小である。

このような集合族MZは、構成できる。(下記命題1証明 [Step1, Step2]

を参照)

1.4. 積分論-1 33

更に、測度の拡張定理2より、(Z,MZ)上に次のような測度が存在する。

定理１(Z,MZ)上に測度πが一意的に存在し、次をみたす：A ∈MX , B ∈MY に対し π(A× B) = mX(A)mY (B).

（証明は命題 1のあと参照）

この πをmX とmY の直積測度といい、mX ×mY とかく。また、mZ

ともかく。E ⊂ Zに対し、その x-断面Exと y-断面Eyを次のように定義する：

Ex = {y ∈ Y ; (x, y) ∈ E}, Ey = {x ∈ X; (x, y) ∈ E}また、E上の関数 f(x, y)に対し、

fx(y) = f(x, y), y ∈ Ex, fy(x) = f(x, y), x ∈ Ey

とおく。

命題１ (1) もしE ∈MZ ならばEx ∈MY , Ey ∈MX

(2) E ∈ MZ とする。また、ϕ(x) = mY (Ex), ψ(y) = mX(Ey)とおく。ϕ(x), ψ(y)は各々MX-可測、MY -可測であり、

∫X

ϕ(x)mX(dx) = mZ(E) =

∫Y

ψ(y)mY (dy)

である。(3)もし fがMZ-可測ならば、fxはMY -可測、fxはMX-可測である。

命題１の証明 ( [Step1, Step2]((1), (2))と [Step3]((3))をわける。)

[Step 1]　M0Zの元は (1), (2)を満たす。つまりM0

Z ⊂ K(証明) E = A×Bのとき、

Ex = B if x ∈ A, Ex = ∅ if /∈ A

となるので、Ex ∈MY。同様にEy ∈MX。また

mY (Ex) = mY (B) if x ∈ A, mY (Ex) = 0 if /∈ A

2E. Hopfの拡張定理。なお、Z1 ⊂ Z2 ⊂ ... で mZ(Zk) <∞ for all k, Z = ∪k≤1Zk

であることが十分である。


となるので、x �→ mY (Ex)は xに関して可測である。さらに∫mY (Ex)mX(dx) = mX(A)mY (B)

= (mX ×mY )(A× B) = mZ(E)

となる。 ∫mX(Ey)mY (dy) = mZ(E)

も同様である。

[Step 2] (1), (2)をみたすE ∈ MZ の全体をKと書く。以下K =MZ

を示す。そうすればMZの元に対し (1), (2)がなりたつ。補題　Kの元は次を満たす。(i) Kn ∈ K, K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · → AならばA ∈ K(ii) Kn ∈ K, K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃ Kn → AならばA ∈ K(補題の証明)

[省略]

補題の (i), (ii)を満たす集合族を単調族という。σ-加法族は単調族である。以下では、K1 ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · → AをKn ↑ A、K1 ⊃ K2 ⊃ · · · ⊃Kn ↓ Aとかく。

([Step 2]本来の証明)

MZ はM0Zを含む最小の σ-加法族である。一方、一般に単調族をなす

有限加法族は σ-加法族であることが知られている3。よって、Kが有限加法族であれば、K =MZとなって主張が示せる。

(Kが有限加法族であることの証明)

K1 = {K ∈ K;Kc ∈ K}とする。Kn ∈ K1.Kn ↑ Aのとき (i)よりA ∈ K。またKc

n ↓ Acだから (ii)より Ac ∈ K。よって A ∈ K1である。同様にKn ∈ K1, Kn ↓ AとすればAc ∈ Kである。これよりK1は単調族である。[Step 1]よりKはM0

Zを含む最小の単調族であるから、K = K1である。つまり、K ∈ K1ならばKc ∈ K1。次に F ∈M0

Zとし、

K2 = {K ∈ K;F ∪K ∈ K, F ∩K ∈ K}3「M を Rn の部分集合族とする。M が有限加法族かつ単調族なら σ-加法族」を示

せ。

1.4. 積分論-1 35

とおく。Kは単調族であることより、Kn ∈ K2, Kn ↑ Aのとき A ∈ K2

となり、Kn ∈ K2, Kn ↓ AのときA ∈ K2となり、上と同じ理由によりK2 = Kである。K0 ∈ Kとし

K3 = {K ∈ K;K0 ∪K ∈ K, K0 ∩K ∈ K}

とおく。K2 = Kであるから、A ∪ B = B ∪ Aであることを考えるとM0

Z ⊂ K3である。K3が単調族であることは上と同様に確かめることができる。よってK3 = Kである。したがって

K1, K2 ∈ K ⇒ K1 ∪K2 ∈ K, K1 ∩K2 ∈ K

これよりKは有限加法族である。(証明終わり)

[Step 3](証明 (3))　集合Aの定義関数を1Aとかく。(1)より、1Ex(y), 1Ey(x)

は可測関数である。f(x, y)をMZ-可測な非負関数とする。可測関数の性質 (Section 1.4.1)

より、単関数 fnでfn ≥ 0, fn ↑ f

となるものが存在する。fxn , fn,yは、各々Y,X上の単関数である。

単関数はいくつかの定義関数の１次結合だから、各々の定義関数が可測関数であることより、可測関数である。よって、Section 1.4.1命題 2より、fx, fyは可測関数である。f(x, y)が非負とは限らないMZ-可測関数の場合には、f = f+−f−, f+ ≥

0, f− ≥ 0と分解すれば、同様に議論できる。命題１の証明終わり

定理 1の証明直積測度 πの可算加法性を示す。K1, K2, ... ∈MZ , Ki ∩Kj = ∅ (i �= j), K = ∪∞n=1Knとする。1K(x, y) =

∑∞n=1 1Kn(x, y)である。よって

π(K) =

∫(

∫1K(x, y)mY (dy))mX(dx)

=

∫(

∫ ∞∑n=1

1Kn(x, y)mY (dy))mX(dx)


=

∫(

∞∑n=1

∫1Kn(x, y)mY (dy))mX(dx)

=∞∑

n=1

∫(

∫1Kn(x, y)mY (dy))mX(dx) =

∞∑n=1

π(Kn)

証明終わり

π = mX ×mY に関する積分∫X×Y

f(x, y)π(dxdy)

を考える。

定理２（フビニの定理その１）f(x, y)は非負可測とする。(1) 関数 y �→ ∫

Xf(x, y)mX(dx)はMY -可測関数であり

∫X×Y

f(x, y)π(dxdy) =

∫Y

(

∫X

f(x, y)mX(dx))mY (dy)

(2) (1)で Xと Y の役割を入れかえても同じである。

証明　命題１ (3)の証明と同様にして、f(x, y)が定義関数の場合に議論すればよい。これは命題 1（2）において証明されている。証明終わり

定理３（フビニの定理その 2）f(x, y)は可積分とする。(1) 関数 g(y) =

∫Xf(x, y)mX(dx)はMY -可測関数であり

∫X×Y

f(x, y)π(dxdy) =

∫Y

(

∫X

f(x, y)mX(dx))mY (dy)

(2) (1)で Xと Y の役割を入れかえても同じである。

証明　 f(x, y) = f+(x, y)− f−(x, y), f+(x, y) ≥ 0, f−(x, y) ≥ 0とおいて、フビニの定理その 1を使う。f+ ≤ |f |, f− ≤ |f |なので、可積分性は仮定から従う。証明終わり

注意　 f が可積分でない時には、上の主張は一般になりたたない。

1.4. 積分論-1 37

例題 4 f(x, y) = x2−y2

(x2+y2)2に対し

∫ 1

0

dx

∫ 1

0

f(x, y)dy �=∫ 1

0

dy

∫ 1

0

f(x, y)dx

である。じっさい、もし f が可積分ならフビニの定理より両者は一致するはず

であるが、 ∫[0,1]×[0,1]

|f(x, y)|dxdy = +∞

なので、f(x, y)は [0, 1]× [0, 1]で可積分でない。

証明

∫ ∫[0,1]×[0,1]

|f(x, y)|dxdy = −2

∫ ∫�(0,0)(0,1)(1,1)

x2 − y2

(x2 + y2)2dxdy

= −2

∫ 1

0

dy

∫ y

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dx = 2

∫ 1

0

([x

y2 + x2]y0)dy

= 2

∫ 1

0

dy(1

2

y

y2) = 2

∫ 1

0

dy1

y= +∞.

例題 5 f(x, y) = xy, 0 < a < bに対し∫ 1

0

(

∫ b

a

f(x, y)dy)dx =

∫ 1

0

xb − xa

log xdx = log

1 + b

1 + a

である。じっさい、∫ 1

0

∫ b

a

xydxdy ≤∫ 1

0

∫ b

a

xadxdy

= (b− a) 1

1 + a[x1+a]10

=b− a1 + a

< +∞だから、f(x, y)は [0, 1]× [a, b]で可積分である。そこで、 ∫ 1

0

dx

∫ b

a

xydy =

∫ 1

0

dx[xy 1

log x]ba


=

∫ 1

0

dx1

log x(xb − xa)

（計算不能）であるが、∫ b

a

dy

∫ 1

0

xydx =

∫ b

a

dy1

1 + y[x1+y]10

=

∫ b

a

1

1 + ydy = log

1 + b

1 + a

であるから、フビニの定理から結論を得る。

例題 6 (分布等式)

f : E → Rとする。1 ≤ p <∞に対して∫E

|f(x)|pm(dx) = p

∫ ∞

0

tp−1m(|f | > t)dt

ただし、m(|f | > t) = m({x; |f(x)| > t})

証明　 F (x, t) = 1{(y,s);y∈E,s∈[0,∞),|f (y)|>s}(x, t)とおく。∫ ∞

0

tp−1m(|f | > t)dt =

∫ ∞

0

tp−1(

∫E

F (x, t)m(dx))dt

=

∫E

(

∫ ∞

0

tp−1　 F (x, t))dt)m(dx) =

∫E

(

∫ |f |

0

tp−1dt)m(dx)

=

∫E

1

p[tp]

|f |0 m(dx) =

1

p

∫E

|f(x)|pm(dx)

上で 2番目の等式から 3番目の等式に行くときにフビニの定理を使った。証明終わりp = 1, f(.) = X(.), m = P ととれば

E[|X|] =

∫ ∞

0

dP (|X | > t)

として平均値（期待値）が計算できる。とくにXが非負ならば

E[X] =

∫ ∞

0

dP (X > t)

である。ここで P (X > t) = 1− P (X ≤ t)であり、F (t) = P (X ≤ t)はXの分布関数である。

1.4. 積分論-1 39

例題 7

（1）∫ ∞

0

sinx

xdx =

π

2

（2）∫ ∞

0

1

xsin

1

xdx =

π

2

解 1 （1） ∫ r

0

| sinx|x

dx =

∫ r

0

(

∫ ∞

0

e−xy| sinx|dy)dx

(何者、∫ ∞0e−xydy = 1

x.) したがって、(x, y) �→ e−xy sinxは (0, r)× (0,∞)

で積分可能である。これよりフビニの定理が適用できて∫ r

0

sinx

xdx =

∫ r

0

(

∫ ∞

0

e−xy sin xdy)dx

=

∫ ∞

0

(

∫ r

0

e−xy sin xdx)dy

ここで∫ r

0

e−xy sin xdx = [−e−xy cosx+ y sinx

y2 + 1]r0 =

1

y2 + 1− e−ry cos r + y sin r

y2 + 1

（じっさい

((e−xy cosx+ y sin x

y2 + 1))′ = −ye−xy cosx+ y sinx

y2 + 1+ e−xy− sinx+ y cosx

y2 + 1

= e−xy−(y2 + 1) sinx

y2 + 1= −e−xy sinx)

これより r →∞として∫ ∞

0

e−xy sin xdx =1

y2 + 1

ここで ∫ ∞

0

1

y2 + 1dy = arctan∞ =

π

2

（2） y = 1/xとおくと dy = − 1x2dx = −y2dx

LHS =

∫ ∞

0

y−2y sin ydy =

∫ ∞

0

sin y

ydy

よって (1)よりしたがう。


積分記号下の微分

f(t, x) : (a, b)×R→ Rとし、次を仮定する。(1) t ∈ (a, b)を固定すれば、x �→ f(t, x)はルベーグ可測(2) x ∈ Rを固定すれば、t �→ f(t, x)は微分可能(3) あるルベーグ可積分関数 ϕ(x)があって

| ∂∂tf(t, x)| ≤ ϕ(x) for (t, x) ∈ (a, b)×R

このとき、∫f(t, x)dxは tに関して積分可能であり、

∂

∂t

∫f(t, x)dx =

∫∂

∂tf(t, x)dx

である。証明は

∂f

∂t(t, x) = lim

h→0

f(t+ h, x)− f(t, x)

h

であることによる。つまり、条件 (3)からルベーグの収束定理が使え、∫

∂

∂tf(t, x)dx =

∫limh→0

f(t+ h, x)− f(t, x)

h= lim

h→0

∫f(t+ h, x)− f(t, x)

hdx

= limh→0

1

h

∫(f(t+h, x)−f(t, x))dx = lim

h→0

1

h(

∫f(t+h, x)dx−

∫f(t, x)dx)

=∂

∂t

∫f(t, x)dx

証明終わり

例題 8 (ガウス積分)

∫ ∞

0

x2e−ax2

dx =1

4

√πa−3/2 (a > 0)

じっさい、(step 1) x = cos θ, y = sin θという極分解（極座標変換）から、

∫ ∞0e−t2dt =√

π2である。t =

√αxとおくと、dt =

√αdx, x2 = t2/αより、

(1)

∫ ∞

0

e−αx2

dx =1

2

√π

α

1.4. 積分論-1 41

である。f(α, x) = e−αx2

とおく。 ∂f∂α

= −x2e−αx2であり、

|∂f∂α

(α, x)| = |x2e−αx2 | = x2e−αx2

となっている。(step 2)

a > 0は与えられた定数とする。a ≥ αとし、a′ < αなる a′ > 0を１つ固定する。このとき、

x2e−αx2 ≤ x2e−a′x2 ≡ ϕ(x)

とおく。ここでϕ(x)は可積分である。じっさい、(1)より、

∫ ∞

0

ϕ(x)dx =

∫ ∞

0

x2e−a′x2

dx =

∫ ∞

0

x · xe−a′x2

dx

= [− 1

2a′xe−a′x2

]∞0 +1

2a′

∫ ∞

0

e−a′x2

dx

= 0 +1

2a′· 12

√π

a′=

1

4a′

√π

a′< +∞

これより、α = aととると、(1)およびルベーグの収束定理 (lim←→ dda

)

より、 ∫ ∞

0

−x2e−ax2

dx =

∫ ∞

0

∂

∂ae−ax2

dx

=d

da

∫ ∞

0

e−ax2

dx =　d

da(1

2

√πa−1/2)

=1

2

√π(−1

2)a−3/2 = −1

4

√πa−3/2

よって、 ∫ ∞

0

x2e−ax2

dx =1

4

√πa−3/2

となる。この計算は標準正規分布の分散の計算に使われる。


1.4.5 確率論との関係

測度空間 (Ω,M, m)がm(Ω) = 1をみたすとき、確率空間という。このとき、Mの元は事象とよばれる。とくに、Ωは全事象とよばれる。Mは σ-集合体であるから、次を満たす：(i) Ω ∈M(ii)A ∈MならばAc ∈M(iii)An ∈M, n = 1, 2, ...ならば∪∞n=1An ∈Mまたmを確率（または確率測度）という。P とかくこともある。確率

は次を満たす。(i) 0 ≤ P (A) ≤ 1

(ii)P (Ω) = 1

(iii)An ∈M(n = 1, 2, ...), An ∩ Am = ∅(n �= m)ならば

P (∪∞n=1An) =∞∑

n=1

P (An)

なお、A ∩B = ∅のときAとBは排反という。

例 1 (1) Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},M = P(Ω),m(A) = 16×#A,A ∈M (ここ

で#AはAの個数を表す。)

これは、さいころを 1回振ったときに出る目を事象とする確率空間である。

(2) Ω = {(i, j); i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6},M = P(Ω),m(A) = 136×#A,A ∈

Mこれは、さいころを 2回振ったときに出る目の組を事象とする確率空

間である。たとえば、Aを、1度目に 3の倍数の目が出て、2度目に 5の目が出る

事象、とすると、#A = #{(3, 5), (6, 5)} = 2

であるから、m(A) = 236

= 118。

問 1 コインを何度も投げる試行で、n回目が表となる事象をAnとする。次の事象をAnで表し、その確率（数値）を求めよ。

(i)最初から n回表が続く事象(ii)偶数回目は裏ばかりとなる事象(iii)表が無限回出る事象

1.4. 積分論-1 43

可測関数 f : Ω→ Ω′は確率変数とよばれる。つまり

[X ∈ E] = {ω ∈ Ω;X(ω) ∈ E} ∈ M

をみたす。たとえば、

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},Ω′ = {偶,奇 },f(1) = f(3) = f(5) =奇, f(2) = f(4) = f(6) =偶

とおくと、各元 ω′ ∈ Ω′に対し、f−1(ω′) ∈ MΩであるから、f は確率変数である。例（野球のサイン表）キャチャーはピッチャーに、敵チームにわからないように情報を送る。

たとえば　グーというサインは、「(次に)カーブを送る」という意味である。キャチャー・ピッチャー間で次のサイン表を使うとする。

サイングーチョキパー notグー notチョキ notパー

ストレート o 　 o o × × ×カーブ × 　 o o o × 　 ×シュート × 　× o o o ×

たとえば、カーブを投げるよう指示するときには

　　　　　　　　「チョキ and notグー」

というサインを送る。ただし、たとえば「notグー」はグーを横に振るサインであり、「and」は 2つのサインを続けて送ることである。このとき、キャッチャーの頭の中では {グ,　チョキ,　パー, ...}の作

る σ-加法族が構成される。サインを見ただけでは敵チームにピッチャーの投げる球種は伝わらない。このときサイン表の役割をするのが可測関数 f である。

例題 9 Ω = {1, ..., 10},M = P(Ω)とし、確率P をP (A) =∑

i∈A110, A ∈

Mとする。(Ω,M, P )は確率空間である。確率変数 f : Ω→ Ω′ = {赤,青,白 }とする。ここで f(i) = 赤, for i =

1, 2, f(i) =青, for i = 3, 4, 5, f(i) =白, for i = 6, ..., 10である。(Ω′,P(Ω′))上に確率 P f = P ◦ f−1を次のように構成する。


P f(赤) = P ({1, 2}) = 210

P f(青) = P ({3, 4, 5}) = 310

P f(白) = P ({6, ..., 10}) = 510

これが関数 f の確率法則（確率分布）である。

例題 10 つぼの中に赤球 n個、白球m個が入っていて、1個づつ取り出す。全部でN 回取り出しを行うこととする。

(a) 取り出した後再びもとに戻す場合（復元抽出）赤球が出ることを 1、白球が出ることを-1で表す。起こりうる可能性

全体Ω = {1,−1}N = {(x1, ..., xN); xi = 1 or − 1}

x = (x1, ..., xN )に対して

N+(x) = #{i;xi = 1}, N−(x) = #{i;xi = −1}とおく。

m({x}) = (n

m+ n)N+(x)(

m

m+ n)N−(x), m(A) =

∑x∈A

m({x})

とおくと、mはΩ上の測度となる。さらに、

m(Ω) =∑

xi=1or−1,i=1,...,N

(n

m+ n)N+(x)(

m

m+ n)N−(x)

= (n

m+ n+

m

m+ n)N = 1

である。(b) 取り出した後再びもとに戻さない場合（非復元抽出）N ≤ m+ nの場合のみ考える。起こりうる場合の全体

Ω = {(x1, ..., xN);N+(x) ≤ n,N−(x) ≤ m}である。各試行において赤球をN+(x)個、白球をN−(x)個取り出すので、その場合の数は

n(n− 1) · · · (n−N+(x) + 1)×m(m− 1) · · · (m−N−(x) + 1)

である。よって、

m({x}) =n(n− 1) · · · (n−N+(x) + 1)×m(m− 1) · · · (m−N−(x) + 1)

(n+m)(n+m− 1) · · · (n+m−N + 1)

1.5. 積分論-2 45

一方、[x]k,lでN+(x) = k,N−(x) = lとなる元全体を表す (ただしk+l =

N)と、

m([x]k,l) =nCk n+m−nCN−k

n+mCN

とおけば、m(.)は Ω上の測度になり、m(Ω) =∑N

k=0m([x]k,N−k) = 1となる。（

∑Nk=0 nCk mCN−k = m+nCN による。演習課題：N に関する帰納

法で示せ。）

1.5 積分論-2

1.5.1 Stieltjes積分

Ω = Rとし、g を R上単調増加な関数とする。I = [a, b)にたいしg(I) = g(b)− g(a)とおき、

g∗(A) = inf{∞∑

n=1

g(In);A ⊂∞∑

n=1

In}, A ⊂ R

として外測度 g∗を導入する。これをLebesgue-Stieltjes外測度という。これから定義される完備な測度をLebesgue-Stieltjes測度という。この測度を dgで表す。f を R上の連続関数とし、f の単調増加関数 g に関する Lebesgue-

Stieltjes積分∫ b

afdgを次のように定義する：

∫ b

a

fdg =

∫(a,b)

fdg + f(a)(g(a+ 0)− g(a)) + f(b)(g(b)− g(b− 0))

とくに、a, bが gの連続点ならば∫ b

a

fdg =

∫(a,b)

fdg

となる。なお、gが異なれば dg可測な集合族Mgは一般に異なるが、それらは

一様にボレル集合族 Bを含んでいる。


1.5.2 有界変動、p-変分

この節ではΩ = Rとする。関数 g(s)は

|g|t = supn≥1

2n∑k=1

|g( tk2n

)− g(t(k − 1)

2n)|

がRの各コンパクト集合上有限であるとき、有界変動 (FV)という。fを有界関数とし、gを有界変動関数とするとき、積分

∫ t

sf(u)dg(u) を

定義することができる。

定義FV関数 g(t)に対し、 Stieltjes積分の意味で

I(t) =

∫ t

s

f(u)dg(u)

とおく。FV関数は２つの単調増加関数の差に表わされるので、この定義は意味をもつ。g = g+ − g−, g+, g−は単調増加とするとき

dg = dg+ − dg−

として Stieltjes 積分を定義する。もし u �→ f(u)が連続の場合には、この定義は上節のものと一致する。gがFV関数で、f(.)が微分可能の場合には、次の連鎖律がなりたつ：

f(g(t))− f(g(0)) =

∫ t

0

f ′(g(s))dg(s)

p-変分上と同じようにして、関数 gの p-変分を次のように定義する。

|g|(p)t = sup

n≥1

2n∑k=1

|g( tk2n

)− g(t(k − 1)

2n)|p

ただし p ≥ 1とする。gの 1-変分が有限ということは、gが有界変動関数であるということである。反復積分の列

(1, g1t , g

2t , ...)

の各成分 gkt =

∫0≤u1<...<uk<t

dg(u1)...dg(uk), k = 1, 2, ... は、p-変分ノルムを使って評価できる。

1.5. 積分論-2 47

1.5.3 Radon-Nikodymの定理

完全加法的集合関数

(Ω,M, m)上に可積分関数 fが与えられたとき、∫

Af(x)m(dx)をF (A)

とかく。このとき、−∞ < F (A) < +∞であり、A = ∪∞n=1An (Ai ∩Aj = ∅, i �= j)

とすると

F (A) =∞∑

n=1

F (An)

となっている。しかし、F (A)は負の値もとりうるので、測度ではない。

定義A ∈Mにたいし実数または+∞,−∞を対応させる対応Φが次を満たすとき、Φを完全加法的集合関数という。（別名：符号付測度 signed

measure）(1)Φ(∅) = 0

(2)A1, A2, ... ∈M, Ai ∩Aj = ∅, i �= jに対しΦ(∞∑

n=1

An) =∞∑

n=1

Φ(An)

なお、Φ(A) = +∞,Φ(B) = −∞となる A,B ∈ Mは存在しない。なぜならば、もし存在したとすると、A ∪ B ∈M。また (2)より

Φ(A) = Φ(A \B) + Φ(A ∩B) = +∞Φ(B) = Φ(B \ A) + Φ(A ∩ B) = −∞

となるから、

Φ(A ∪ B) = Φ(A \B) + Φ(B \ A) + Φ(A ∩ B)

の中に∞−∞が現れてしまう。この値は定義できないので、A∪B ∈Mであることに矛盾する。完全加法的集合関数は次の性質をもつ：(1) Ai ∈M, A1 ⊂ A2 ⊂ · · ·にたいし

limn→∞

Φ(An) = Φ(∪∞n=1An)

(2) Ai ∈M, A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , |Φ(A1)| < +∞にたいしlim

n→∞Φ(An) = Φ(∩∞n=1An)

証明は測度の場合と同様にできる。


Φの分解

（1）ハーン分解Φがあたえられたとき、Ω = P ∪N,P ∩N = ∅とかける。ここで、す

べてのA ∈Mにたいし、

Φ(A ∩ P ) ≥ 0,Φ(A ∩N) ≤ 0

（2）ジョルダン分解Φはただ１通りに

Φ = Φ+ − Φ−

とかける。ここで、Φ+,Φ−は各々完全加法的集合関数で、すべてのA ∈Mにたいし

Φ+(A) ≥ 0,Φ−(A) ≥ 0

である。

例 2

Φ(A) = F (A) =

∫A

f(x)m(dx),

f(x) = f+(x)− f−(x), f+(x) = max(f(x), 0), f−(x) = max(−f(x), 0)

とかく。

P+ = {x; f+(x) > 0}, N− = {x; f−(x) > 0}, K = {x; f(x) = 0}

とおくと、Ω = P+∪N− ∪K（互いに素）とかける。K = K1∪K2 (K1∩K2 = ∅)と分解し、P = P+ ∪K1, N = N− ∪K2とおけば、

Ω = P ∪N, P ∩N = ∅

であり、

F (A ∩ P ) =

∫A∩P

f(x)m(dx) =

∫A

f+(x)m(dx) ≥ 0

F (A ∩N) =

∫A∩N

f(x)m(dx) = −∫

A

f−(x)m(dx) ≤ 0

となっている。(ハーン分解)

1.5. 積分論-2 49

また、

F+(A) =

∫A

f+(x)m(dx), F−(A) =

∫A

f−(x)m(dx)

とおくと、F = F+ − F−, F+(A) ≥ 0, F−(A) ≥ 0

である。（ジョルダン分解）

ハーン分解、ジョルダン分解の存在の証明は省略する。

２つの分解の関係

o ハーン→ジョルダンΩ = P ∪N とする。

Φ(A) = Φ(A ∩ Ω) = Φ((A ∩ P ) ∪ (A ∩N))

よってΦ+(A) = Φ(A ∩ P ),Φ−(A) = −Φ(A ∩N),

とおくと、Φ = Φ+ − Φ−となり、これがΦのジョルダン分解を与える。o ジョルダン→ハーンΦ = Φ+ − Φ−とする。Φ+,Φ−は次で与えられる：

Φ+(A) = sup{Φ(E);E ∈M, E ⊂ A}

Φ−(A) = − inf{Φ(E);E ∈M, E ⊂ A} = sup{−Φ(E);E ∈M, E ⊂ A}これからハーン分解を次のようにしてつくる。α = sup{Φ(A);A ∈M}

とおく。各 n = 1, 2, ...に対し (An)を

Φ(An) ≥ α− 1

2n

ととることができる。An = ∪∞k=nAkとおく。また

An,m = An ∪ An+1 ∪ · · · ∪ An+m

とおくと、m→∞のときAn,m → Anとなる。


An,m+1 = An,m ∪An+m+1であるから

Φ(An,m+1) = Φ(An,m ∪ An+m+1)

= Φ(An,m) + Φ(An+m+1)− Φ(An,m ∩ An+m+1)

≥ Φ(An,m) + α− 1

2n+m+1− α

= Φ(An,m)− 1

2n+m+1

すなわち

Φ(An,m+1)− Φ(An,m) ≥ − 1

2n+m+1

となる。これをm = 0, 1, 2, ...について足すと

Φ(An,p)− Φ(An,m)

= Φ(An,p)− Φ(An,p−1) + Φ(An,p−1)− Φ(An,p−2) + ...+ Φ(An+1)− Φ(An)

≤ − 1

2n+p− ...− 1

2n+1

より、

Φ(An,p) ≥ Φ(An)− 1

2n+1− ...− 1

2n+p

≥ (α− 1

2n)− 1

2n+1− ...− 1

2n+p

ここで p→∞とすると

Φ(An) ≥ α− 1

2n(1 +

1

2+

1

22+ ...)

= α− 1

2n−1

P = lim supn→∞Anとおく。An → P だから

Φ(P ) ≥ α

一方、αの定義より Φ(P ) ≤ α。よって Φ(P ) = α = sup{Φ(A);A ∈ M}となる。ここでA ⊂ P に対し、もしΦ(A) < 0なら

Φ(P \ A) = Φ(P )− Φ(A) > Φ(P ) = α

1.5. 積分論-2 51

となって αの定義に矛盾する。よってΦ(A) ≥ 0である。またA ∩ P = ∅なるAに対し、もしΦ(A) > 0ならば

Φ(A ∪ P ) = Φ(A) + Φ(P ) > Φ(P ) = α

となって αの定義に矛盾する。よってA ⊂ P cに対しΦ(A) ≤ 0となる。N = Ω\P とおく。上より、これらのP,NがΩのハーン分解を与える。

ラドン=ニコディムの定理 (Radon-Nikodym)

Φを完全加法的集合関数とする。Φがどのような条件を満たしていれば

Φ(A) =

∫A

f(x)m(dx)

と表されるかを考察する。定義完全加法的集合関数Φのジョルダン分解Φ = Φ+ − Φ−に対し

|Φ| = Φ+ + Φ−

とおく。べつの完全加法的集合関数Ψについて

|Φ|(A) = 0⇒ Ψ(A) = 0

がすべてのA ∈ Mについてなりたつとき、Ψは Φに関して絶対連続であるという。このときΨ << Φとかく。絶対連続でないとき、つまりあるN ∈ Mがあって、Φ(N) = 0かつ

Ψ(Ω \N) = 0となるとき、ΦとΨは互いに特異であるという。

例実数直線上のヘヴィサイドの階段関数

H(x) = 0, x < 0; 1, x ≥ 0

は、その分布的導関数（distributional derivative）としてディラックのデルタ関数 δ0 を持つ。これは実数直線上の測度で、0 において点質量（point mass）を持つ。

しかし、ディラック測度 δ0 はルベーグ測度 λ に関して絶対連続ではなく、 λ も δ0 に関して絶対連続では無い。すなわち、 λ({0}) = 0 であるが δ0({0}) = 1 であり、また U を任意

の開集合で 0 を含まないものとするなら、λ(U) > 0 であるが δ0(U) = 0

である。


なお、ジョルダン分解 Φ = Φ+ − Φ− において、Φ+と Φ−は互いに特異な測度である。

定義 (Ω,M, m)が σ-有限とは、あるAn ∈M, n = 1, 2, ...が存在し

(1)m(An) < +∞, n = 1, 2, ...

(2)A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · → Ω

がなりたつことである。

定理 (Radon-Nikodym) (Ω,M, m)をσ-有限な測度空間とする。ΦはM上定義された完全加法的集合関数で

(1)|Φ|(Ω) <∞(2)Φ << m

をみたすとする。このときある f が存在し、すべてのA ∈Mに対し

Φ(A) =

∫A

f(x)m(dx)

とかける。さらに、f は一意的に定まる。

この f はRadon-Nikodym微分とよばれ、m-a.e.に一意的に決まる。f を dΦ

dmとかく。

定理 2(Radon-Nikodym(2)) (Ω,M, m)をm(Ω) < +∞をみたす測度空間とする。νを (Ω,M, m)上定義された測度で、

(1)ν(Ω) <∞(2)ν << m

をみたすとする。このときある f が存在して、すべてのA ∈Mに対して

ν(A) =

∫A

f(x)m(dx)

がなりたつ。

上の定理で、逆にν(.)が上のように書ければ、ν << mは明らかである。ν << mのとき、上の f を測度mに関する νの密度関数という。なお、

高校での変数変換の公式：

y = φ(x) のとき dy = φ′(x)dx

はこの定理の特別な場合である。

1.5. 積分論-2 53

例 3 (Ω,M, P )を確率空間とする。A ∈ Mを１つ固定する。·が起こった時のAの条件つき確率を次で定義する:

P (A|·) =P (A ∩ ·)P (·) if P (·) > 0

= 0 if P (·) = 0

このときAが何であってもP (A∩ ·) << P (·)である。したがってRadon-

Nikodym微分 dP (A∩·)dP (·) が条件つき確率 dP (A|·)を与える。

つまり

P (A|B) =P (A ∩ B)

P (B)

である。サイコロを 1回投げたとき、3の目が出る事象をAとし、奇数の目が出

る事象をBとすると、

P (A|B) =1

3

である。

例 4 年間の入院件数N は平均 λのポアソン分布に従い、入院した時の入院患者の年齢が 60歳以上である確率は pとする。60歳以上である入院患者が年間 k人である確率はいくらか。

（解）年間の、60歳以上で入院する人の数をXとする。X = kのときN ≥ kであるから、X = kという事象をN の値で分類する。

P (X = k) =

∞∑n=k

P (X = k,N = n)

=

∞∑n=k

P (X = k|N = n)P (N = n)

P (X = k|N = n)について。入院患者数 nのうち 60歳以上の人が k人いる条件付き確率は

P (X = k|N = n) = nCkpk(1− p)n−k

という二項分布になる。これより

P (X = k) =

∞∑n=k

nCkpk(1− p)n−ke−λλ

n

n!


= e−λ (λp)k

k!

∞∑n=k

(λ(1− p))n−k

(n− k)!

= e−λ (λp)k

k!eλ(1−p) = e−λp (λp)k

k!

となる。（平均 λpのポアソン分布）

定理２の証明Step 1 以下では、L2(m + ν)で Lp空間で p = 2としたもの（測度は

m+ ν）、L1(m+ ν)で Lp空間で p = 1としたもの（測度は ν）を表す。(1-1)

f ∈ L2(m+ ν)⇒ f ∈ L1(ν)

証明f ∈ L2(m + ν)とすると、

∫|f |dν ≤

∫|f |d(m+ ν) =

∫1 · |f |d(m+ ν)

≤ (

∫1d(m+ ν))

12 · (

∫|f |2d(m+ ν))

12 < +∞ by (1) (a)

(1-2) f ∈ L2(m + ν)に対し、

L(f) =

∫fdν (b)

とおくと、L(f)は L2(m+ ν)からRへの線形写像になる。証明

L(αf + βg) =

∫(αf + βg)dν

= α

∫fdν + β

∫gdν = αL(f) + βL(g).

ｆの L2(m + ν)におけるノルムを ‖f‖で表す。(a)より

|L(f)| ≤ ((m + ν)(Ω))12 · ‖f‖L2.

これよりL(f)は L2(m+ ν)からRへの連続な線形写像である。Step 2

1.5. 積分論-2 55

L2(m+ ν)上のリースの定理より、連続な線形写像L(f)は、ある h0 ∈L2(m+ ν)があって、

L(f) =

∫f · h0d(m + ν) (c)

と表される。ここでf ≥ 0のときL(f) =∫fdν ≥ 0であるから、h0(x) ≥ 0

である。(b), (c)より∫f · (1− h0)dν =

∫f · h0dm (d)

がなりたつ。ここで

E = {x;h0(x) ≥ 1}とおくと、ν << mより ν(E) = 0である。証明ϕ(x) = 1E(x)とおくと、

0 ≤ m(E) =

∫ϕ(x)dm ≤

∫ϕ(x)h0(x)dm

=

∫ϕ(x)(1− h0(x))dν ≤ 0

((d)より)。これよりm(E) = 0である。ν << mより ν(E) = 0である。

g(x) = h0(x) · (1− ϕ(x))

とおくと、ν(E) = 0, m(E) = 0より、gと h0はmに関しても νに関してもほとんど至る所等しい。((d)’)

また、0 ≤ 1− ϕ(x) ≤ 1, h0(x) < 1 on Ecであるから、0 ≤ g(x) < 1である。さらに、gの定義より

∫f · (1− g)dν =

∫f · (1− h0 + h0 · ϕ)dν

=

∫f · h0dm+

∫f · h0ϕdν by (d)

=

∫f ·h0dm−

∫f ·h0ϕdm (by (d)’, E = {h0 ≥ 1} and ν(E) = 0, m(E) = 0)


=

∫f · h0(1− ϕ)dm =

∫f · gdm (e)

Step 3

fを有界関数とする。仮定より (m+ν)(Ω) < +∞だから、f ∈ L2(m+ν)

である。また、gの定義により gは有界関数である。よって

(1 + g + · · ·+ gn−1)f ∈ L2(m + ν).

(e)より

(左辺) =

∫(1+g+· · ·+gn−1)f(1−g)dν =

∫(1+g+· · ·+gn−1)fgdm = (右辺)

ここで 0 ≤ g(x) < 1だから、上式は∫(1− gn)fdν =

∫1− gn

1− g f(1− g)dν =

∫g

1− g (1− gn)fdm (f)

とかける。ここで |g| < 1だから、n→∞のとき (1− gn)f は単調に増加して f に

収束する。よって (f)で n→∞とすると∫fdν =

∫g

1− gfdm (g)

f = 1とおくと、 g1−g∈ L1(m)となる。

そこで f = g1−gとおく。(g)で f = 1Aととると、

∫fdν = ν(A) =

∫A

f(x)dm(x)

となって、主張が成立する。q.e.d.

q.e.d.

系 (A)

λ, μ, νを σ-有限な測度とする。このとき、(1) ν << λ, λ << μならば

dν

dμ=dν

dλ· dλdμ

μ− a.e.

(2) λ1 << μ, λ2 << μならば

d

dμ(λ1 + λ2) =

dλ1

dμ+dλ2

dμμ− a.e.

1.5. 積分論-2 57

(B)

λ, μは σ-有限な測度とする。λ << μ, μ << λならば、

dλ

dμ=

1dμdλ

μ− a.e.

である。

1.5.4 Lp-空間

E ∈ Rdとし、 (E,B(E), dx)を測度空間とする。1 ≤ p < +∞とする。f : E → Rにたいし

‖f‖Lp = (

∫E

|f(x)|pdx)1/p

を f のLpノルムという。

Lp(E) = {f ∈ L(E); ‖f‖Lp < +∞}をE上のLp空間という。ただし、L(E)はE上のルベーグ可測関数全体を表す。Lp(E)は和とスカラー倍について閉じており、無限次元ベクトル空間に

なる。また、Lp(E)はノルムに関して完備 (収束先が Lp(E)の中にある)

ことから、バナッハ空間になる。いくつかの不等式

命題（ヘルダーの不等式）1 < p < +∞, 1 < q < +∞, 1

p+ 1

q= 1 にたいし、f ∈ Lp(E), g ∈ Lq(E)

ならば ∫E

|f(x)g(x)|dx ≤ ‖f‖Lp · ‖g‖l q

とくに、p = q = 2のとき、Schwarzの不等式という。


1.6 確率過程入門

1.6.1 一般の確率空間

連続値をとる確率変数族を扱うには、標本空間Ω は非加算無限集合でなければならない。Ωとしてこのように大きなものをとり、事象の族 FとしてΩの部分集合全体を採用すると、その上の確率P を矛盾なく定義することができなくなることがある。そのため、かならずしも部分集合の全体でないが、十分に多くの部分集合の族からなる完全加法族と呼ばれるものをF とする必要が起こる。この章では、標本空間 Ω は一般の抽象集合とする。標本空間 Ω の部

分集合の族F で次の性質を満たすものを完全加法族または σ-加法族という。そして、F の各元を事象と呼ぶ。•Ω ∈ F (Ω は事象である。これを全事象という).

•A ∈ F ⇒ Ac ∈ F (F は補集合をとる操作に関して閉じている)

•An ∈ F(n = 1, 2, ...) ⇒ ∪∞n=1An ∈ F (F は可算和をとる操作に関して閉じている).

σとは「可算的な」という意味である。可算演算に関しても、つぎのド・モルガンの法則が成立する。

(∪∞n=1An)c = ∩∞n=1Acn, (∩∞n=1An)c = ∪∞n=1A

cn

可算無限個の事象列 {An} にたいして、その上極限事象、下極限事象をそれぞれ、

lim supn→∞

An = ∩∞m=1 ∪∞n=m An,　 lim infn→∞

An = ∪∞m=1 ∩∞n=m An

によって定義する。これらはまた事象である。上極限事象は {An}のうち無限個が起こるという事象を表し、下極限事象は、{An}のうちある番号から先のすべてが起こるという事象を表す。σ-加法族F の各元A に対して、ある実数P (A) で 0 ≤ P (A) ≤ 1 をみ

たすものが定まってつぎの性質を満たすとき、P (A) を事象 A の確率という。

•P (Ω) = 1(全事象の確率は 1).

•An ∈ F , An∩Am = ∅(n �= m)⇒ P (∪∞n=1An) =∞∑

n=1

P (An)（確率の完全加法性の公理).

1.6. 確率過程入門 59

定理 1.1.

(1)P (Ac) = 1− P (A), P (∅) = 0.

(2)A ⊂ B ⇒ P (B) = P (A) + P (B \ A).

(3)An ⊂ An+1(n = 1, 2, ...)⇒ P (∪∞n=1An) = limn→∞

P (An).

(4)An ⊃ An+1(n = 1, 2, ...)⇒ P (∩∞n=1An) = limn→∞

P (An).

(5)P (∪∞n=1An) ≤∞∑

n=1

P (An)

独立性

確率空間 (Ω,F , P )を 1つとり固定。定義(a) 2つの事象A,B ∈ F が独立であるとは

P (A ∩ B) = P (A)P (B)

が成り立つことである。(b) n個の事象A1, ..., An ∈ F が独立であるとは、これらの任意の k個

(k ≤ n) Aj1, ..., Ajk∈ F に対して

P (Aj1 ∩Aj2 ∩ ... ∩ Ajk) = P (Aj1)P (Aj2) · · ·P (Ajk

) (∗)

が成り立つことである。(c) 任意の濃度の事象 Aλ(λ ∈ Λ, Aλ ∈ F)が独立とは、この集合族{Aλ}λ∈Λからとった任意の有限個の事象が独立になることである。

例 n個の事象の独立性では、上の (∗)の k = nのときのみの成立では不十分である。たとえば、Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A1 = {1, 2, 3, 4}, A2 = A3 =

{4, 5, 6}とすると、

P (A1 ∩A2 ∩A3) = P ({4}) =1

6, P (A1)P (A2)P (A3) =

4

6· 36· 36

=1

6

となるので、P (A1 ∩ A2 ∩ A3) = P (A1)P (A2)P (A3)は成り立つ。一方、P (A1∩A2) = P (A1∩A3) = P ({4}) = 1

6�= P (A1)P (A2) = P (A1)P (A3) =


46· 3

6= 2

6= 1

3, P (A2 ∩A3) = 3

6= 1

2�= P (A2)P (A3) = 3

6· 3

6= 1

4となって、

A1, A2, A3のどの 2つも独立にならない。

(d) ある事象Aが、F の部分集合族 Gと独立であるとは、Aが任意のB ∈ Gと独立になることである。

(e)Fのn個の部分集合族G1,G2, ...,Gnが独立であるとは、それぞれの部分集合族から任意にとった n個の事象Aj ∈ Gjが独立になることである。

ボレル・カンテリの補題

定理 1.2. (ボレル・カンテリ)

(1)An ∈ F(n = 1, 2, ...)が独立であってもなくても

∞∑n=1

P (An) <∞⇒ P (lim supn→∞

An) = 0;P (lim infn→∞

Acn) = 1.

(2)An ∈ F(n = 1, 2, ...)が独立のとき∞∑

n=1

P (An) =∞⇒ P (lim supn→∞

An) = 1;P (lim infn→∞

Acn) = 0.

問 1.1. 定理 1.1 及び定理 1.2 を証明せよ。[(1)任意のm = 1, 2, ...に対し

lim supn→∞

An ⊂ ∪∞j=mAj

であるから

P (lim supn→∞

An) ≤ P (∪∞j=mAj) ≤∞∑

j=m

P (Aj)

これより∑∞

n=1 P (An) <∞ならば、m→∞のとき∑∞j=m P (Aj)→ 0

(2) 補集合を考えると

P (lim infn→∞

Acn) = P (∪∞n=1 ∩∞j=n A

cj) = 0

を証明すればよい。そのためには任意の nに対し

P (∩∞j=nAcj) = 0


であることを証明すればよい。Ajの独立性と e−x ≥ 1− xより

P (∩n+kj=nA

cj) = Πn+k

j=n(1− P (Aj)) ≤ exp(−n+k∑j=n

P (Aj))

k → ∞とすれば仮定から∑n+kj=n P (Aj) → ∞となるので、最後の項が 0

に収束する。つまり P (∩∞j=nAcj) = 0 q.e.d. ]

標本空間がR に等しいとき、部分集合族としてはR の部分集合の全体を考えるのではなく、ボレル集合と呼ばれる特別な部分集合の全体（これをボレル集合族といいB で表す）を採用するのが標準的である。B はつぎの条件で特徴づけられる。

(1) [a, b) のタイプの区間はボレル集合である。すなわち [a, b) ⊂ B.(2) B は補集合と可算和をとる操作に関して閉じている。(3) B は上の (1),(2) の性質をもつ集合族のうち最小のものである。R の部分集合でボレル集合でないものが存在することが知られている。

しかし、常識的に考えられるほとんどの集合はボレル集合である。たとえば、あらゆるタイプの１次元区間はボレル集合であり、１点からなる集合やその加算和である有理数の集合、その補集合である無理数の集合などはみなボレル集合である。

1.6.2 確率測度の基礎

Basic space

S:complete separable metric space, d:metric

B(S) : S上のBorel集合族Probability measure P , i.e.：1 = P (S)

Prop. Let P be a probab measure. For any Borel B ∈ B(S)

P (B) = infB⊂G,Gopen

P (G) = supF⊂B,closed

P (F )

(proof) For each ε, let G be an open set G ⊃ B such that

P (B) > P (G)− ε.


Let

Gn = {x; d(x,B) <1

n}

We put ∩nGn = B.

If B is closed, this proves the first assertion as B = B. In case B is not

closed, we approximate B by closed sets; this is possible since B ∈ B(S)

and since B(S) is a smallest σ-field which contains all closed sets of S.

The proof for the second assertion is similar. q.e.d.

Prop 3

P probability measure on S. For each ε > 0 there exist a compact set

K such that P (S \K) < ε.

[1 = P (S) ≥ P (K)であるから、Kn ⊂ Kn+1 ⊂ ...、Kn → S のときP (S \Kn)→ 0.]

Cor

For any Borel B. P (B) = supK⊂B,compact P (K)

近似定理（ルベーグ, [Billingsley] Thm 1.1）; For any B ∈ B and ε > 0

there exist F :closed in S and G:open in S such that P (G \ F ) < ε.

[ B ∈ Bは上と下から、各々開集合と閉集合で近似できる。]

2つの prob measre P,Qが等しいとは

P (A) = Q(A) for all A ∈ B(S)

となることである。

Weak convergence

P(S) = {S上の prob measure}Def 1 (a)(弱収束 weak convergence of prob measures, narrow conver-

gence of prob measures)

Pn, P : S上の prob measure

Pn →w P iff

for all f ∈ Cb(S)∫f(x)Pn(dx)→ ∫

f(x)P (dx)


(b)(漠収束 vague convergence of prob measures)

μn, μ: S上の finite (Radon) measure

μn →v μ iff

for all f ∈ CK(S)∫f(x)μn(dx) → ∫

f(x)μ(dx). Here CK(S) denotes

the space of continuous functions on S with compact support.

Example μn = δ{n}∫f(x)μn(dx)→ 0, as n→∞よって μn →v 0. しかし δ{n}(S) = 1 �= 0なので、μn →w 0ではない。

P(S) ⊂ C(S)∗, where the norm of C(S)∗ is given by ‖μ‖ = sup‖f‖≤1

∫fdμ.

Prop.

P(S)は弱収束の位相（弱位相）でmetric spaceになる。[C(S)の可算個の uniformly continuous functions fjをとって

ρ(Pn, P ) =

∞∑j=1

(|∫fjdPn −

∫fjdP | ∧ 1)2−j

とおく。]

Convergence of random variables

確率変数列の収束定義 (Xn), X : (Ω,FP )上の S値 r.v., Xn → X に対し(i)XnがXに概収束するとは

P [ω;Xn(ω)→ X(ω)] = 1

となることである。これを

Xn → X a.s.

とかく。(ii)XnがXに測度収束（確率収束）するとは、for any ε > 0

P [ω; |Xn(ω)−X(ω)| > ε]→ 0

となることである。(iii)XnがX に法則収束するとは、PXn　 → PX (弱収束) となること

である。なお、(Xn), Xは同じ確率空間に定義されていなくてもよい。


Skorokhod topology

Cb(S) : S上の bounded continuous functions

D = D[0, 1] is the space of x on [0, 1] to S that are cadlag.

定義 (cadlag)

距離空間 (M, d) および E ⊂ R に対して、函数 φ : E→M が右連続左極限 (cadlag) であるとは、任意の t ∈ E において左極限 φ(t−) = lims ↑ t φ(s) が存在し、右極限 φ(t+) = lims ↓ t φ(s)

が存在してかつ φ(t) に等しいときにいう。つまり、cadlag 函数 φは右連続かつ左極限を持つ。

定義 Skorohod位相 (スコロホッド空間）EからM への cadlag函数全体の成す空間をしばしばD(E;M)あるい

は単にDと書いて、スコロホッド空間 (Skorokhod space)と呼ぶ。スコロホッド空間には、直観的に言えば「時間と空間を少し飛び跳ね

る」こと (”wiggle space and time a bit”)が許されるような位相を入れることができる。簡単のため、E = [0, T ]およびM = Rnととる（より一般の構成については文献 ([Billingsley]1995)を見よ）。まずは連続度に対応する類似の概念 w′

f (δ)を定義せねばならない。任意のF ⊂ Eに対して、wf(F ) = sups,t∈F |f(s)−f(t)|とおき、δ > 0に対してcadlag度 (cadlag modulus; cadlag=continue a droite, limite a gauche)

をwf(δ) = inf

Πmax1≤i≤k

wf([ti−1, ti))

なるものと定める。ただし、下限は任意の分割Π = 0 = t0 < t1 <… < tk = T (k ∈N,かつmini(ti − ti−1) > δ)に亙って取る。この定義は（通常の連続度が不連続函数に対して意味を持つのと同様に）cadlagでない fに対しても意味を持ち、fが cadlagであるための必要十分条件はw′

f(δ)→ 0(as δ→ 0)であることが示せる。いま、ΛはEからEへの狭義単調増大連続全単射（これらは「時間を飛

び跳ねる」）全体の成す集合とする。E 上の一様ノルムを ‖f‖ = supt∈E |f(t)|と書くとき、D 上のスコロ

ホッド距離 (Skorokhod metric)dを d(f, g) = infλ∈Λ max{‖λ − I‖, ‖f −g ◦ λ‖}と定める。ここで I : E→Eは恒等写像である。直観的な「飛び跳ね」(”wiggle”)の言葉で言えば、‖λ − I‖は「時間を飛び跳ねる」大きさを測るものであり、‖f − g ◦ λ‖は「空間を飛び跳ねる」大きさを測る


ものである。このスコロホッド距離函数 dが実際に距離函数となることが示せる。dの生成する位相をD上のスコロホッド位相と呼ぶ。

記号‖f‖ := sup

t∈E|f(t)|

d(x, y) = infλ∈Λ{‖λ− I‖ ∨ ‖x− yλ‖}

‖λ‖◦ = sups<t| log

λt− λst− s |

d◦(x, y) = infλ∈Λ{‖λ‖◦ ∨ ‖x− y ◦ λ‖}

Thm12.1. d and d◦ are equivalent.

Thm12.2 D is separable under d and d◦. Further (D, d◦) is complete.

Compactness in D

Thm 12.3(Ascoli-Arzela)

A ⊂ D is relatively compact iff

(a)supx∈A ‖x‖ <∞(b)limδ→0 supx∈A w

′x(δ) = 0

Skorokhodの定理(S, d):Polish space, Pn, P : (S,B(S))上の Prob measures

Pn → (weak) P であれば、適当な確率空間 (Ω,F , P )上に確率変数Xn, Xをとって、次を満たすようにできる：（１）Xnの分布は Pn、Xの分布は Pn

（２）Xn(ω)→ X(ω), a.e

Example

tightness

定義 (1)Let Λ ⊂ P(S). Λが tight　 iff　 for each ε > 0 there exist a

compact set Kε such that P (S \Kε) < ε for all P ∈ Λ.

(2) Let 0 ≤ t0 ≤ ... ≤ tk ≤ 1. The projection πt1...tk : D → Rk is

defined by

πt1...tk(x) = (x(t1), ..., x(tk))


Thm 13.1 If (Pn) is tight and if Pnπ−1t1,...,tk

→ Pπ−1t1,...,tk

for all t1, ..., tk,

then Pn → P (weak).

Thm 13.2 (Pn) is tight iff

(i)

lima→∞

lim supn

Pn[x : ‖x‖ ≥ a] = 0

and

(ii)

for each ε limδ

lim supn

Pn[x : w′x(δ) ≥ ε] = 0

定理 1.6 (Thm 5.2)

S は完備可分とする。Λ ⊂ P(S) が relatively compact (点列コンパクト)であるための必要十分条件は、Λが tightであることである。

Aldous tightness criterion in D[0,∞)

The condition under which the distributions (PXn) of Xn are tight.

(i)

lima→∞

lim supn

Pn[x : ‖x‖m ≥ a] = 0

for each m

(ii) For each ε, η,m there exist δ0 and n0 such that if δ ≤ δ0, n ≥ n0

and for a Xn-stopping time τ

P [|Xnτ+δ −Xn

τ | ≥ ε] ≤ η

Thm 16.9 If (i) and (ii) hold, (Xn) is tight.

記号‖|f‖| = supt∈E |f(t)|‖f‖d(x, y) = infλ∈Λ{‖λ− I‖ ∨ ‖x− yλ‖}‖λ‖◦ = sups<t | log λt−λs

t−s|

d◦(x, y) = infλ∈Λ{‖λ‖◦ ∨ ‖xyλ‖}wx(δ) = sup0≤t≤1−δ wx[t, t+ δ] = sup0≤t≤1−δ sups,t∈[t,t+δ] |x(s)− x(t)|w′

x(δ) = inf{ti} maxi wx[t, t+ δ)

w′′x(δ) = supt1≤t≤t2,t2t1≤δ{|x(t)− x(t1)| ∧ |x(t)− x(t2)|}


D∞ = D[0,∞)

D[0,∞)

d◦∞(x, y) =∑∞

m=1 2−m(1 ∧ d◦m(xm, ym)) here xm(t) = gm(t)x(t) where

gm(t) is a cut-off finction

1.6.3 一般の確率変数と平均

Ωを定義域とし、R を値域とする関数X(ω) が任意の実数 a, b にたいして

X−1((a, b]) ∈ Fを満たすとき、X を確率変数という。上の左辺の集合は関数X による(a, b] ⊂ R の逆像を表し、それはまた {X ∈ (a, b]} など略記される。離散確率空間の場合には、確率変数はΩ の上の任意の関数であると定義すればよかったが、事象の集合F がΩの部分集合全体に必ずしも等しくない場合には、その定義に上のような制限を設ける必要があるのである。

補題 1.3 (1) 上の実数値関数X についてつぎの３条件は同値である。(i) X は可測関数である。(ii) 任意の a, b(a < b) に対してX−1(B) ∈ F(iii) 任意の１次元ボレル集合B にたいしてX−1(B) ∈ F(2) n 次元確率ベクトルX はつぎの性質を満たす。任意の n 次元ボレ

ル集合B に対してX−1(B) ∈ F上の補題により、確率変数の分布や結合分布という概念を導入するこ

とができる。X を確率変数とすると、任意の一次元ボレル集合B に対してそのX の逆像の確率 P (X−1(B)) が定義可能となる。それを μ(B) とおく。μ は (R,B) 上の確率である。これを確率変数X の確率分布といい、μX で表す。任意の x ∈ Rに対して

FX(x) = P ({X(ω) ≤ x})を、確率変数Xの分布関数という。FX(x)は xに関して単調増加な関数になる。FX(x)が、ある非負積分可能関数 ϕ(x)を用いて

FX(x) =

∫ x

−∞ϕ(t)dt


と表現されるとき、ϕ(x)を確率密度関数という。一般の確率空間上の確率変数の平均の一般的定義を与えておく。それ

は Ω 上の可測関数である X(ω) の確率測度 P によるルベーグ式積分∫ΩX(ω)P (dω) の値として定義される:

E[X] =

∫Ω

X(ω)P (dω)

問 1.3. 次の不等式を示せ。(1)(シュワルツの不等式)X2, Y 2がともに可積分ならば、XY も可積分で

|E(XY )| ≤ (E(X2)E(Y 2))1/2

さらにE(|X + Y |2)1/2 ≤ E(X2)1/2 + E(Y 2)1/2

(2) X2が可積分ならばXも可積分で、

|E(X)| ≤ E(X2)1/2

(3) (チェビシェフの不等式）X2が可積分ならば任意のε > 0に対して

P (|X −m| > ε) ≤ V (X)

ε2

(Ω,F , P )上の確率変数をとる。Ω上の n個の確率変数X1, X2, ..., Xnが独立であるとは、任意の Borel

集合Aj ∈ Bに対して

P (X1 ∈ A1, ..., Xn ∈ An) = Πnj=1P (Xj ∈ Aj)

となることである。このことは、(X1, ..., Xn)の分布関数F (x1, ..., xn)が、Xjの分布関数 Fj(xj)を用いて

F (x1, ..., xn) = Πnj=1Fj(xj)

となることと同値である。とくに n = 2でX1, X2が独立ならば、

E(X1X2) = E(X1)E(X2)

となる（分布等式）。


1.6.4 確率過程

確率空間 (Ω,F , P )の上で定義され、連続時間 t ≥ 0をパラメータとする確率変数の族X = {Xt}t≥0, (Xt)0≤t≤Tを連続パラメータをもつ確率過程という。以後,標本ω ∈ Ωに関係して定まっているある主張A = A(ω)を考えると

き、‘Aが確率１で成立する′あるいは“ほとんどすべてのωについてA(ω)が成立する”という用語は「P (Λ) = 1を満たす適当な事象Λがあって、すべてのω ∈ Λに対してA(ω)が成立する」という意味で用いることにする。確率過程X = {Xt}t≥tは共通の確率空間 (Ω,F , P )上で定義されている

から、標本ωを固定するごとに時間 t ≥ 0を変数とする１つの実数値関数 t ∈ [0, 1)→ Xt(ω) ∈ Rが定まる。この関数を確率過程におけるω ∈ Ω

の道という。ωの道は「すべての t ≥ 0に対して　 lims→tXs(ω) = Xt(ω)

」を満たすとき、連続であるといわれる。道{Xt(ω); 0 ≤ t ≤ T}が連続となる標本ω全体の集合はΓ = ∩ε>0∪h>0∪(s,t);|s−t|<h{ω; |Xt(ω)−Xs(ω)| < ε}と表される。この集合は非可算個の和、積を取る操作で定まるので可測集合かどう

か一般の確率過程ではわからない。確率過程 (Xt)の性質によって可測になったりならなかったりする。(Xt)が連続な確率過程の場合は、上の和及び積をとる操作で s, t, h, εの動きうる範囲を有理数に制限しても同じ集合Γとなるので、Γは可測かつ P (Γ) = 1成立する。一般の確率過程でも上手な「変形」をとれば上の集合は可測かつその確率が１であるようにできることがある。ここである確率過程 (X ′

t)が (Xt)の変形であるとは、任意の t ∈ [0, T ]でP (Xt =

X ′t) = 1が成立することをいう。しかし変形は P (Xt = X ′

t for all t ∈[0, T ]) = 1を意味しないことに注意せよ。確率過程 (Xt)のある変形 (X ′

t)に対して集合Γが可測かつ P (Γ) = 1が成立するとき、(X ′

t)を (Xt)の連続変形という。

1.6.5 連続な確率過程

C = C([0, T ]→ R1)

(C, ‖‖) : Banach space


with norm ‖w‖ = maxt∈[0,T ] |w(t)|metric ρT (f, g) = ‖f − g‖C([0,∞))

(C([0,∞)), ρ):Polish space

where ρ(f, g) =∑∞

n=1 2−n{ρn(f, g) ∧ 1}.[0, T ]で定義された連続な確率過程とは、C－値確率変数のことである。

1.6.6 ブラウン運動

確率過程X = {Xt}t≥0が次の条件を満たすとき、定常独立増分過程と呼ばれる：

(1)X0 = 0.

(2) 任意の 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tn−1 < tnに対して、増分 Xt2 −Xt1 , ..., Xtn −Xtn−1は独立である。

(3)増分Xt..Xsの分布は t− sのみに関係する。確率過程X = {Xt}t≥0は次の性質をみたすときブラウン運動と呼ばれる

。(1) 定常独立増分過程である。(2)Xtの分布は、平均 0、分散 tの正規分布である。(3)ほとんどすべてのωにたいして、その道は連続である。

確率過程X = {Xt}t≥0がブラウン運動とする。T > 0を固定して、時間区間 [0;T ]の分割

Δ : 0 = t0 < t1 < t2 < ... < ti−1 < ti < ... < tm = T

における小区間の最大巾を |Δ|と記し、分割Δの巾という。すなわち |Δ| =max1≤i≤m(ti − ti−1)。ブラウン運動におけるω ∈ Ωの道の区間 [0;T ]上での分割Δに関する２次変分を

V (Δ)(ω) =

m∑i=1

(Xti(ω)−Xti−1(ω))2 (3)

によって定義する。

定理 1.4 時間区間 [0, T ]の分割の列Δ1, ...,Δn, ...でその巾の総和が有限なもの

∑∞n=1 |Δn| <∞を任意にとる。このとき、ほとんどすべてのω ∈ Ω

1.7. マルチンゲール 71

に対して次が成立する。

limn→∞

V (Δn)(ω) = T (4)

系ブラウン運動に関しては、ほとんどすべてのω に対してその道は有界変動ではない（有限な長さをもたない）：

supΔ

m∑i=1

|Xti(ω)−Xti−1(ω)| =∞

[もし<∞ならば (4)の右辺は 0になる。]

1.7 マルチンゲール

1.7.1 部分σ-加法族、フィルトレ－ション、停止時刻

Gを標本空間Ωのσ加法族とする。Gの任意の要素がF に含まれているとき、すなわち G ⊂ F のとき Gを部分σ加法族という。X をF 可測な確率変数とする。部分集合族 {X−1(B);B ∈ B}はF の部分σ加法族となる。これをσ(X)と表し、確率変数Xから生成されるσ加法族またはXを可測にする最小のσ加法族という。例Δ = {E1, ..., En}をΩの有限分割とする。(各要素E1, ..., EnはF に含

まれ、互いに排反かつ ∪ni=1 Ei = Ω)　確率変数Xが

X =n∑

i=1

aiIEi(1)

と表される場合、σ(X)は分割 Δ の部分和の作る集合族 (空集合を含む）σ(Δ)と一致する。逆に確率変数X が σ(Δ) 可測とすると、X は各分割の要素Ei 上で定数でなければならない。定数を ai とおくと、X は (1)

と表される。σ(X) は確率変数X を観測したときに得られる情報を表していると考

えられる。２つの確率変数X1 とX2 があって σ(X1) ⊂ σ(X2) が成り立っていれば、X2 はX1 より多くの情報を含んでいると解釈される。このとき、X1 はX2 の関数として表される。すなわちR 上のボレル可測な関数 ψ があってX1 = ψ(X2) と表される。一般にF の部分σ加法族は標本空間Ωに関してわれわれが得た情報を記

述していると見ることができる。————————–


1.8 演習問題問 2 A,B,C を集合とする。集合 A,B の対称差 AΔB を AΔB = (A \B) ∪ (B \ A)と定義する。次を示せ。

(1) (A ∪ B ∪ C) \ (A ∩ B ∩ C) = (AΔB) ∪ (BΔC)

(2) AΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC

問 3 (1) Ω = {りんご，みかん，すいか }の加法族をすべて求めよ。(2) Ω = [0, 1]とする。次の集合から生成された σ-加法族を、各々求

めよ。(i) (0, 1

2)

(ii) [0, 14), (3

4, 1]

(iii) [0, 34), (1

4, 1]

問 4 次を証明せよ。

E = {(a1, b1]× (a2, b2];−∞ ≤ ai ≤ bi ≤ +∞, i = 1, 2}

とおく。(a) 次を示せ：(i) ∅ ∈ E(R2)

(ii) A ∈ E(R2), B ∈ E(R2) ならばA ∩ B ∈ E(R2)

(iii) A ∈ E(R2)ならば、ある n ≥ 1と A1, ..., An ∈ E(R2)があって、Ac =

∑nj=1Aj.

ただし、B =∑n

j=1Bjとは、

B = ∪nj=1Bj かつ Bi ∩Bj = ∅ (i �= j)

という意味である。(b)　

A = {A =

n∑j=1

Aj;A1, ..., An ∈ E(R2)}

とおく。次を示せ：(i) ∅ ∈ A(ii) A ∈ A ならば Ac ∈ A(iii) A,B ∈ A ならば A ∩B ∈ A

1.8. 演習問題 73

（ヒント）（b）の証明には，次の表現を使ってよい。

A =

m1∑j=1

Aj , B =

m2∑j=1

Bjのとき A ∩B =

m1∑i=1

m2∑j=1

(Ai ∩ Bj)

問 5 集合X とその上の σ-加法族 AX の組 (X,AX)を可測空間という。(X,AX), (Y,AY )を２つの可測空間とし、ϕ : X → Y を写像とする。

(1) {ϕ−1(B);B ∈ AY }はXの σ-加法族であることを示せ。(2) {B ⊂ Y ;ϕ−1(B) ∈ AX}は Y の σ-加法族であることを示せ。

問 6 Ωを任意の集合とし、Ωの部分集合の族で σ-加法族になっているものをA,Bとする。

(1) A ∩ B は σ-加法族であることを示せ。(2) Ω = {1, 2, 3, 4, 5}のとき、A∪ Bが σ-加法族にならない例を作れ。

問 7 μ, νを (Ω,M)上の 2つの測度とする。a ≥ 0, b ≥ 0とし、ρ(A) =

aμ(A) + bν(A), A ∈Mとおく。ρは (Ω,M)上の測度となることを示せ。

問 8 (Ω,M, m)を確率空間とし、(Aj)j=1,2,..., Aj ∈ Mをm(Aj) = 1, j =

1, 2, ...となる集合列とする。m(∩∞j=1Aj) = 1となることを示せ。

問 9 Ω = (0,∞)とする。f(x) = 21[1,3] + 41[4,5] + 31[6,9]のグラフを書け。そのルベーグ測度 dxに関する積分値を求めよ。

問 10 X = R上の非負可測関数 f に対して、各 nごとに

An,j = {x ∈ X;j − 1

2n≤ f(x) <

j

2n}, j = 1, 2, ..., n2n

Bn = {x ∈ X; f(x) ≥ n}とおき、単関数

fn(x) =n2n∑j=1

1An,j(x)

j − 1

2n+ n1Bn(x)

をつくる。(1) f(x) = x2に対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。(2) f(x) = | sinx|に対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。(3) f(x) = | sin(x2 + 8)|に対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。(4) f(x) = exに対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。図示における定義域は適当な範囲を設定せよ。


問 11 f : R→ Rは任意の x, y ∈ Rに対し

f(x) + f(y) = f(x+ y)

をみたし、かつ連続であることがわかっている。このとき実は

f(x) = f(1)x

であることを示せ。

問 12 (Ω,M, m)を測度空間とし、A1, A2, ... ∈Mとする。次を示せ。(1) m(∪∞n=1An) ≤∑∞

n=1m(An)

(2) m(lim infn→∞An) ≤ lim infn→∞m(An)

(3) m(∪∞n=1An) < +∞ならば

m(lim supn→∞


m(An)

問 13 次を示せ。

m(∪ni=1Ai) =

n∑i=1

m(Ai)−∑i<j

m(Ai ∩Aj) +∑

i<j<k

m(Ai ∩ Aj ∩ Ak) + · · ·

· · ·+ (−1)n+1m(A1 ∩A2 ∩ ... ∩An), n = 1, 2, ...

問 14 (Rn,M, m)を測度空間とし、Rnの各要素（元）をxで表す。c > 0

に対して次を示せ。ただし、右辺の関数u(x)に関する積分値は有限とする。(1) m{x; |u|(x) > c} ≤ 1

c

∫ |u|(x)m(dx)

(2) m{x; |u|(x) > c} ≤ 1cp

∫ |u|p(x)m(dx)

ただし、0 < p < +∞。

問 15 次の関数は与えられた定義域でルベーグ積分可能かどうかを調べよ。

(1) u(x) = 1x, x ∈ [1,∞)

(2) u(x) = 1x2 , x ∈ [1,∞)

(3) u(x) = 1√x, x ∈ (0, 1]

(4) u(x) = 1x, x ∈ (0, 1]

1.9. 演習問題 75

問 16 次の等式を示せ。(1)

limn→∞

∫ ∞

0

(1 +x

n)ne−2xdx = 1

(2) ∫ ∞

1

e−x log xdx = limk→∞

∫ k

1

(1− x

k)k log x dx

(3) ∫ 1

0


∫ 1

0

(1− x

k)k log x dx

問 17 次の不等式を数学的帰納法を用いて示せ。ただし、pi ∈ (1,+∞),∑n

i=11pi

=

1とする。∫|f1(x) · f2(x) · · · fn(x)|m(dx) ≤ ‖f1‖p1 · · · ‖fn‖pn

1.9 演習問題問 18 A,B,Cを集合とする。集合A,Bの対称差AΔBを AΔB = (A \B) ∪ (B \ A)と定義する。次を示せ。

(1) (A ∪B ∪ C) \ (A ∩ B ∩ C) = (AΔB) ∪ (BΔC)

(2) AΔ(BΔC) = (AΔB)ΔC

問 19 (1) Ω = {りんご，みかん，すいか }の加法族をすべて求めよ。(2) Ω = [0, 1]とする。次の集合から生成された σ-加法族を、各々求

めよ。(i) (0, 1

2)

(ii) [0, 14), (3

4, 1]

(iii) [0, 34), (1

4, 1]

問 20 次を証明せよ。

E = {(a1, b1]× (a2, b2];−∞ ≤ ai ≤ bi ≤ +∞, i = 1, 2}

とおく。(a) 次を示せ：(i) ∅ ∈ E(R2)


(ii) A ∈ E(R2), B ∈ E(R2) ならばA ∩ B ∈ E(R2)

(iii) A ∈ E(R2)ならば、ある n ≥ 1と A1, ..., An ∈ E(R2)があって、Ac =

∑nj=1Aj.

ただし、B =∑n

j=1Bjとは、

B = ∪nj=1Bj かつ Bi ∩Bj = ∅ (i �= j)

という意味である。(b)　

A = {A =

n∑j=1

Aj;A1, ..., An ∈ E(R2)}

とおく。次を示せ：(i) ∅ ∈ A(ii) A ∈ A ならば Ac ∈ A(iii) A,B ∈ A ならば A ∩B ∈ A（ヒント）（b）の証明には，次の表現を使ってよい。

A =

m1∑j=1

Aj , B =

m2∑j=1

Bjのとき A ∩ B =

m1∑i=1

m2∑j=1

(Ai ∩ Bj)

問 21 集合Xとその上の σ-加法族AX の組 (X,AX)を可測空間という。(X,AX), (Y,AY )を２つの可測空間とし、ϕ : X → Y を写像とする。

(1) {ϕ−1(B);B ∈ AY }はXの σ-加法族であることを示せ。(2) {B ⊂ Y ;ϕ−1(B) ∈ AX}は Y の σ-加法族であることを示せ。

問 22 Ωを任意の集合とし、Ωの部分集合の族で σ-加法族になっているものをA,Bとする。

(1) A ∩ B は σ-加法族であることを示せ。(2) Ω = {1, 2, 3, 4, 5}のとき、A∪ Bが σ-加法族にならない例を作れ。

問 23 μ, νを (Ω,M)上の 2つの測度とする。a ≥ 0, b ≥ 0とし、ρ(A) =

aμ(A) + bν(A), A ∈Mとおく。ρは (Ω,M)上の測度となることを示せ。

問 24 (Ω,M, m)を確率空間とし、(Aj)j=1,2,..., Aj ∈Mをm(Aj) = 1, j =

1, 2, ...となる集合列とする。m(∩∞j=1Aj) = 1となることを示せ。

問 25 Ω = (0,∞)とする。f(x) = 21[1,3] + 41[4,5] + 31[6,9]のグラフを書け。そのルベーグ測度 dxに関する積分値を求めよ。

1.9. 演習問題 77

問 26 X = R上の非負可測関数 f に対して、各 nごとに

An,j = {x ∈ X;j − 1

2n≤ f(x) <

j

2n}, j = 1, 2, ..., n2n

Bn = {x ∈ X; f(x) ≥ n}とおき、単関数

fn(x) =n2n∑j=1

1An,j(x)

j − 1

2n+ n1Bn(x)

をつくる。(1) f(x) = x2に対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。(2) f(x) = | sinx|に対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。(3) f(x) = | sin(x2 + 8)|に対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。(4) f(x) = exに対し、f2(x), f3(x)を図示せよ。図示における定義域は適当な範囲を設定せよ。

問 27 f : R→ Rは任意の x, y ∈ Rに対し

f(x) + f(y) = f(x+ y)

をみたし、かつ連続であることがわかっている。このとき実は

f(x) = f(1)x

であることを示せ。

問 28 (Ω,M, m)を測度空間とし、A1, A2, ... ∈Mとする。次を示せ。(1) m(∪∞n=1An) ≤∑∞

n=1m(An)

(2) m(lim infn→∞An) ≤ lim infn→∞m(An)

(3) m(∪∞n=1An) < +∞ならば

m(lim supn→∞


m(An)

問 29 次を示せ。

m(∪ni=1Ai) =

n∑i=1

m(Ai)−∑i<j

m(Ai ∩ Aj) +∑

i<j<k

m(Ai ∩ Aj ∩Ak) + · · ·

· · ·+ (−1)n+1m(A1 ∩A2 ∩ ... ∩An), n = 1, 2, ...


問 30 (Rn,M, m)を測度空間とし、Rnの各要素（元）をxで表す。c > 0

に対して次を示せ。ただし、右辺の関数u(x)に関する積分値は有限とする。(1) m{x; |u|(x) > c} ≤ 1

c

∫ |u|(x)m(dx)

(2) m{x; |u|(x) > c} ≤ 1cp

∫ |u|p(x)m(dx)

ただし、0 < p < +∞。

問 31 次の関数は与えられた定義域でルベーグ積分可能かどうかを調べよ。

(1) u(x) = 1x, x ∈ [1,∞)

(2) u(x) = 1x2 , x ∈ [1,∞)

(3) u(x) = 1√x, x ∈ (0, 1]

(4) u(x) = 1x, x ∈ (0, 1]

問 32 次の等式を示せ。(1)

limn→∞

∫ ∞

0

(1 +x

n)ne−2xdx = 1

(2) ∫ ∞

1


∫ k

1

(1− x

k)k log x dx

(3) ∫ 1

0


∫ 1

0

(1− x

k)k log x dx

問 33 次の不等式を数学的帰納法を用いて示せ。ただし、pi ∈ (1,+∞),∑n

i=11pi

=

1とする。∫|f1(x) · f2(x) · · · fn(x)|m(dx) ≤ ‖f1‖p1 · · · ‖fn‖pn

18-leb-lecishikawa/18-leb-lec.pdf1.3. 測度論-1 5 集合族...

Documents

Transcript of 18-leb-lecishikawa/18-leb-lec.pdf1.3. 測度論-1 5 集合族...