13 listopada 2018 - Zakarczemnymaciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2018/11/IWP-05...POCHODNA...

05 Pochodna funkcji

13 listopada 2018

POCHODNA

Definicja 1Niech dana b ↪edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x0. Jeżeli istnieje

granica właściwa limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= f ′(x0) to nazywamy j ↪a pochodn ↪a funkcji f

w punkcie x0.

Twierdzenie 2Niech dana b ↪edzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x0. Jeżeli mapochodn ↪a w punkcie x0 to jest w tym punkcie ci ↪agła.

DOWÓD:

Funkcja ω(x0, x) =

f (x)− f (x0)

x − x0− f ′(x0) dla x 6= x0,

0 dla x = x0traktowana jako funkcja x jest ci ↪agła w x0.

13 listopada 2018 2 / 48

POCHODNA

f (x)− f (x0)

w punkcie x0.

DOWÓD:

Funkcja ω(x0, x) =

f (x)− f (x0)

x − x0− f ′(x0) dla x 6= x0,

13 listopada 2018 2 / 48

POCHODNA

f (x)− f (x0)

w punkcie x0.

DOWÓD:

Funkcja ω(x0, x) =

f (x)− f (x0)

x − x0− f ′(x0) dla x 6= x0,

13 listopada 2018 2 / 48

POCHODNA

Mamy ponadto f (x) = f (x0) + (x − x0)f′(x0) + (x − x0)ω(x0, x) czyli

limx→x0

f (x) = f (x0).

Definicja 3Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn ↪a w każdym punkcie punkcie x ∈ (a, b)to funkcj ↪e f ′ : (a, b) 3 x −→ f ′(x) ∈ R nazywamy funkcj ↪a pochodn ↪a funkcji f .

Twierdzenie 4Zachodz ↪a nast ↪epuj ↪ace wzory:

(xα)′ = αxα−1, (ax)′ = ax ln a, (logax)′ =

1x ln a

(sin x)′ = cos x , (cos x)′ = −sin x ,

13 listopada 2018 3 / 48

POCHODNA

limx→x0

f (x) = f (x0).

1x ln a

13 listopada 2018 3 / 48

POCHODNA

limx→x0

f (x) = f (x0).

1x ln a

13 listopada 2018 3 / 48

POCHODNA

limx→x0

f (x) = f (x0).

1x ln a

13 listopada 2018 3 / 48

POCHODNA

limx→x0

f (x) = f (x0).

1x ln a

13 listopada 2018 3 / 48

POCHODNA

limx→x0

f (x) = f (x0).

1x ln a

13 listopada 2018 3 / 48

POCHODNA

limx→x0

f (x) = f (x0).

1x ln a

13 listopada 2018 3 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 5Niech b ↪edzie dana bijekcja ci ↪agła f : (a, b) −→ (c , d), x0 ∈ (a, b) i niechf ′(x0) 6= 0 wtedy funkcja odwrotna ma pochodn ↪a w punkcie y0 = f (x0) i ponadto

(f −1)′(y0) =1

f ′(x0).

DOWÓD:

limy→y0

f −1(y)− f −1(y0)

y − y0= lim

x→x0

x − x0f (x)− f (x0)

f ′(x0).

13 listopada 2018 4 / 48

POCHODNA

(f −1)′(y0) =1

f ′(x0).

DOWÓD:

limy→y0

f −1(y)− f −1(y0)

y − y0= lim

x→x0

x − x0f (x)− f (x0)

f ′(x0).

13 listopada 2018 4 / 48

POCHODNA

(f −1)′(y0) =1

f ′(x0).

DOWÓD:

limy→y0

f −1(y)− f −1(y0)

y − y0= lim

x→x0

x − x0f (x)− f (x0)

f ′(x0).

13 listopada 2018 4 / 48

POCHODNA

(f −1)′(y0) =1

f ′(x0).

DOWÓD:

limy→y0

f −1(y)− f −1(y0)

y − y0= lim

x→x0

x − x0f (x)− f (x0)

f ′(x0).

13 listopada 2018 4 / 48

POCHODNA

(f −1)′(y0) =1

f ′(x0).

DOWÓD:

limy→y0

f −1(y)− f −1(y0)

y − y0= lim

x→x0

x − x0f (x)− f (x0)

f ′(x0).

13 listopada 2018 4 / 48

POCHODNA

Przykład 6Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:

(arcsin x)′ =1√1− x2

, (arccos x)′ =−1√1− x2

DOWÓD:

Niech x = sin y dla y ∈ (−π2 ,π2 ) wówczas y = arc sin x .

Mamy: (arc sin x)′ =1

(sin y)′=1cos y

1− sin 2y=

1√1− x2

Drugi wzór dowodzimy analogicznie.

13 listopada 2018 5 / 48

POCHODNA

, (arccos x)′ =−1√1− x2

DOWÓD:

(sin y)′=1cos y

1− sin 2y=

1√1− x2

13 listopada 2018 5 / 48

POCHODNA

, (arccos x)′ =−1√1− x2

DOWÓD:

(sin y)′=1cos y

1− sin 2y=

1√1− x2

13 listopada 2018 5 / 48

POCHODNA

, (arccos x)′ =−1√1− x2

DOWÓD:

(sin y)′=1cos y

1− sin 2y=

1√1− x2

13 listopada 2018 5 / 48

POCHODNA

, (arccos x)′ =−1√1− x2

DOWÓD:

(sin y)′=1cos y

1− sin 2y=

1√1− x2

13 listopada 2018 5 / 48

POCHODNA

, (arccos x)′ =−1√1− x2

DOWÓD:

(sin y)′=1cos y

1− sin 2y=

1√1− x2

13 listopada 2018 5 / 48

POCHODNA

, (arccos x)′ =−1√1− x2

DOWÓD:

(sin y)′=1cos y

1− sin 2y=

1√1− x2

13 listopada 2018 5 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 7Jeżeli funkcje g , f są określone w otoczeniu x0 maj ↪a pochodn ↪a w punkcie x0 to

funkcje (f + g), (f − g), (f · g) maj ↪a pochodn ↪a w punkcie x0 i ponadto(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g ′(x0),(f − g)′(x0) = f ′(x0)− g ′(x0),(f · g)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + g ′(x0)f (x0).

DOWÓD:

limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x) + g(x)− f (x0)− g(x0)

x − x0=

limx→x0

(f (x)− f (x0)

x − x0+

g(x)− g(x0)

x − x0

)= f ′(x0) + g ′(x0).

13 listopada 2018 6 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x) + g(x)− f (x0)− g(x0)

x − x0=

limx→x0

(f (x)− f (x0)

x − x0+

g(x)− g(x0)

x − x0

)= f ′(x0) + g ′(x0).

13 listopada 2018 6 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x) + g(x)− f (x0)− g(x0)

x − x0=

limx→x0

(f (x)− f (x0)

x − x0+

g(x)− g(x0)

x − x0

)= f ′(x0) + g ′(x0).

13 listopada 2018 6 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x) + g(x)− f (x0)− g(x0)

x − x0=

limx→x0

(f (x)− f (x0)

x − x0+

g(x)− g(x0)

x − x0

)= f ′(x0) + g ′(x0).

13 listopada 2018 6 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x) + g(x)− f (x0)− g(x0)

x − x0=

limx→x0

(f (x)− f (x0)

x − x0+

g(x)− g(x0)

x − x0

)= f ′(x0) + g ′(x0).

13 listopada 2018 6 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x) + g(x)− f (x0)− g(x0)

x − x0=

limx→x0

(f (x)− f (x0)

x − x0+

g(x)− g(x0)

x − x0

)= f ′(x0) + g ′(x0).

13 listopada 2018 6 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

limx→x0

(f + g)(x)− (f + g)(x0)

x − x0= lim

x→x0

f (x) + g(x)− f (x0)− g(x0)

x − x0=

limx→x0

(f (x)− f (x0)

x − x0+

g(x)− g(x0)

x − x0

)= f ′(x0) + g ′(x0).

13 listopada 2018 6 / 48

POCHODNA

Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.

limx→x0

(f · g)(x)− (f · g)(x0)x − x0

= limx→x0

f (x) · g(x)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0) + f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)

x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0)

x − x0+

f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x)

g(x)− g(x0)

x − x0+ g(x0)

f (x)− f (x0)

x − x0

= f (x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0).

13 listopada 2018 7 / 48

POCHODNA

limx→x0

(f · g)(x)− (f · g)(x0)x − x0

= limx→x0

f (x) · g(x)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0)

x − x0+

f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x)

g(x)− g(x0)

x − x0+ g(x0)

f (x)− f (x0)

x − x0

= f (x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0).

13 listopada 2018 7 / 48

POCHODNA

limx→x0

(f · g)(x)− (f · g)(x0)x − x0

= limx→x0

f (x) · g(x)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0)

x − x0+

f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x)

g(x)− g(x0)

x − x0+ g(x0)

f (x)− f (x0)

x − x0

= f (x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0).

13 listopada 2018 7 / 48

POCHODNA

limx→x0

(f · g)(x)− (f · g)(x0)x − x0

= limx→x0

f (x) · g(x)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0)

x − x0+

f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x)

g(x)− g(x0)

x − x0+ g(x0)

f (x)− f (x0)

x − x0

= f (x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0).

13 listopada 2018 7 / 48

POCHODNA

limx→x0

(f · g)(x)− (f · g)(x0)x − x0

= limx→x0

f (x) · g(x)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0)

x − x0+

f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x)

g(x)− g(x0)

x − x0+ g(x0)

f (x)− f (x0)

x − x0

= f (x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0).

13 listopada 2018 7 / 48

POCHODNA

limx→x0

(f · g)(x)− (f · g)(x0)x − x0

= limx→x0

f (x) · g(x)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0)

x − x0+

f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x)

g(x)− g(x0)

x − x0+ g(x0)

f (x)− f (x0)

x − x0

= f (x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0).

13 listopada 2018 7 / 48

POCHODNA

limx→x0

(f · g)(x)− (f · g)(x0)x − x0

= limx→x0

f (x) · g(x)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

x − x0

limx→x0

(f (x) · g(x)− f (x) · g(x0)

x − x0+

f (x) · g(x0)− f (x0) · g(x0)x − x0

limx→x0

(f (x)

g(x)− g(x0)

x − x0+ g(x0)

f (x)− f (x0)

x − x0

= f (x0)g′(x0) + g(x0)f

′(x0).

13 listopada 2018 7 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 8

Niech b ↪ed ↪a dane funkcje f : X −→ Y , g : Y −→ Z , gdzie X , Y , Z sąprzedziałami w R i niech f (x0) = y0.

Jeżeli istniej ↪a pochodne f′(x0), g

′(y0) to istnieje (g ◦ f )′(x0)

i ponadto (g ◦ f )′(x0) = g ′(y0) · f ′(x0).

DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f (x1) = y0 tog(f (x1)) = g(y0) i f ′(x0) = 0.

Wówczas dla x takich, że f (x) 6= y0 mamy

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0=

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0.

13 listopada 2018 8 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 8

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0=

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0.

13 listopada 2018 8 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 8

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0=

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0.

13 listopada 2018 8 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 8

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0=

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0.

13 listopada 2018 8 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 8

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0=

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0.

13 listopada 2018 8 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 8

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0=

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0.

13 listopada 2018 8 / 48

POCHODNA

Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy limy→y0

g(y)− g(y0)

y − y0

Wnioskujemy, że limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje wartości y0 to

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

Twierdzenie 9Jeżeli funkcje f , g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w punkcie x0

oraz g(x0) 6= 0 to istnieje pochodna funkcjif

gw punkcie x0 i zachodzi wzór(

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

g(y)− g(y0)

y − y0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

g(y)− g(y0)

y − y0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

g(y)− g(y0)

y − y0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

g(y)− g(y0)

y − y0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

g(y)− g(y0)

y − y0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

g(y)− g(y0)

y − y0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

g(y)− g(y0)

y − y0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= 0.

limx→x0

g(f (x))− g(f (x0))

x − x0= lim

x→x0

g(f (x))− g(f (x0))

f (x)− f (x0)

x − x0= g ′(y0)·f ′(x0).

)′(x0) =

f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)(g(x0)2)

13 listopada 2018 9 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

Z Twierdzenia 8 mamy(1g

)′(x0) =

−1(g(x0))2

· g ′(x0).

Z Twierdzenia 7 wynika, że(1g· f)′

(x0) =

)′(x0) · f (x0) + f ′(x0)

1g(x0)(

1g· f)′

(x0) =−g ′(x0)(g(x0))2

· f (x0) + f ′(x0)1

g(x0)=

=f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)

(g(x0))2.

13 listopada 2018 10 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

)′(x0) =

−1(g(x0))2

· g ′(x0).

(x0) =

)′(x0) · f (x0) + f ′(x0)

1g(x0)(

1g· f)′

(x0) =−g ′(x0)(g(x0))2

· f (x0) + f ′(x0)1

g(x0)=

=f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)

(g(x0))2.

13 listopada 2018 10 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

)′(x0) =

−1(g(x0))2

· g ′(x0).

(x0) =

)′(x0) · f (x0) + f ′(x0)

1g(x0)(

1g· f)′

(x0) =−g ′(x0)(g(x0))2

· f (x0) + f ′(x0)1

g(x0)=

=f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)

(g(x0))2.

13 listopada 2018 10 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

)′(x0) =

−1(g(x0))2

· g ′(x0).

(x0) =

)′(x0) · f (x0) + f ′(x0)

1g(x0)(

1g· f)′

(x0) =−g ′(x0)(g(x0))2

· f (x0) + f ′(x0)1

g(x0)=

=f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)

(g(x0))2.

13 listopada 2018 10 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

)′(x0) =

−1(g(x0))2

· g ′(x0).

(x0) =

)′(x0) · f (x0) + f ′(x0)

1g(x0)(

1g· f)′

(x0) =−g ′(x0)(g(x0))2

· f (x0) + f ′(x0)1

g(x0)=

=f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)

(g(x0))2.

13 listopada 2018 10 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

)′(x0) =

−1(g(x0))2

· g ′(x0).

(x0) =

)′(x0) · f (x0) + f ′(x0)

1g(x0)(

1g· f)′

(x0) =−g ′(x0)(g(x0))2

· f (x0) + f ′(x0)1

g(x0)=

=f ′(x0) · g(x0)− f (x0) · g ′(x0)

(g(x0))2.

13 listopada 2018 10 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 10Mamy następujące wzory

(tg x)′ =1cos 2x

, (ctg x)′ =−1sin 2x

(arctg x)′ =11+ x2

, (arcctg x)′ =−11+ x2

DOWÓD:

(tg x)′ =(sin xcos x

)′=cos 2x − (sin x)(−sin x)

cos 2x=1cos 2x

13 listopada 2018 11 / 48

POCHODNA

(tg x)′ =1cos 2x

(arctg x)′ =11+ x2

, (arcctg x)′ =−11+ x2

DOWÓD:

cos 2x=1cos 2x

13 listopada 2018 11 / 48

POCHODNA

(tg x)′ =1cos 2x

(arctg x)′ =11+ x2

, (arcctg x)′ =−11+ x2

DOWÓD:

cos 2x=1cos 2x

13 listopada 2018 11 / 48

POCHODNA

(tg x)′ =1cos 2x

(arctg x)′ =11+ x2

, (arcctg x)′ =−11+ x2

DOWÓD:

cos 2x=1cos 2x

13 listopada 2018 11 / 48

POCHODNA

(tg x)′ =1cos 2x

(arctg x)′ =11+ x2

, (arcctg x)′ =−11+ x2

DOWÓD:

cos 2x=1cos 2x

13 listopada 2018 11 / 48

POCHODNA

(tg x)′ =1cos 2x

(arctg x)′ =11+ x2

, (arcctg x)′ =−11+ x2

DOWÓD:

cos 2x=1cos 2x

13 listopada 2018 11 / 48

POCHODNA

(tg x)′ =1cos 2x

(arctg x)′ =11+ x2

, (arcctg x)′ =−11+ x2

DOWÓD:

cos 2x=1cos 2x

13 listopada 2018 11 / 48

POCHODNA

Dowód dla kotangensa jest podobny.

Niech x = tg y y ∈ (−π2,π

2) czyli y = arc tg x .

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

cos 2ycos 2y + sin 2y

1+ tg 2y=

11+ x2

Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

1+ tg 2y=

11+ x2

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

1+ tg 2y=

11+ x2

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

1+ tg 2y=

11+ x2

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

1+ tg 2y=

11+ x2

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

1+ tg 2y=

11+ x2

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

1+ tg 2y=

11+ x2

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

(arctg x)′ =1

(tg y)′= cos 2y =

1+ tg 2y=

11+ x2

13 listopada 2018 12 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 11Jeżeli funkcja f : R −→ (0,∞) ma pochodn ↪a w punkcie x0 to funkcja ln f mapochodn ↪a w punkcie x0 oraz f

′(x0) = f (x0)[ln f ]′(x0).

DOWÓD:

Mamy [ln f ]′(x0) =f ′(x0)

f (x0).

Zatem [ln f ]′(x0) · f (x0) = f ′(x0).

13 listopada 2018 13 / 48

POCHODNA

′(x0) = f (x0)[ln f ]′(x0).

DOWÓD:

Mamy [ln f ]′(x0) =f ′(x0)

f (x0).

Zatem [ln f ]′(x0) · f (x0) = f ′(x0).

13 listopada 2018 13 / 48

POCHODNA

′(x0) = f (x0)[ln f ]′(x0).

DOWÓD:

Mamy [ln f ]′(x0) =f ′(x0)

f (x0).

Zatem [ln f ]′(x0) · f (x0) = f ′(x0).

13 listopada 2018 13 / 48

POCHODNA

′(x0) = f (x0)[ln f ]′(x0).

DOWÓD:

Mamy [ln f ]′(x0) =f ′(x0)

f (x0).

Zatem [ln f ]′(x0) · f (x0) = f ′(x0).

13 listopada 2018 13 / 48

POCHODNA

Definicja 9Różniczk ↪a funkcji f w punkcie x0 nazywamy odwzorowanie liniowedx0 f : R 3 h −→ f ′(x0) · h ∈ R.Twierdzenie 10Niech dx : R 3 x −→ x ∈ R wówczas dx0 f = f ′(x0) · dx ,

dy0 f−1 = (dx0 f )

−1 oraz dx0(g ◦ f ) = dy0g ◦ dx0 f .

Definicja 11Jeżeli ∀x ∈ (a, b) funkcja f : (a, b) −→ R ma pochodn ↪a w punkcie x i funkcjaf ′ : (a, b) 3 x −→ f ′(x) ∈ R ma pochodn ↪a w punkcie x0 to nazywamy ją drugąpochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f ′′(x0).

Jeżeli ∀x ∈ (a, b) funkcja f ′ : (a, b) −→ R ma pochodn ↪a w punkcie x to funkcj ↪ef ′′ : (a, b) 3 x −→ f ′′(x) ∈ R nazywamy pochodn ↪a drugiego rz ↪edu funkcji f .

13 listopada 2018 14 / 48

POCHODNA

dy0 f−1 = (dx0 f )

−1 oraz dx0(g ◦ f ) = dy0g ◦ dx0 f .

13 listopada 2018 14 / 48

POCHODNA

dy0 f−1 = (dx0 f )

−1 oraz dx0(g ◦ f ) = dy0g ◦ dx0 f .

13 listopada 2018 14 / 48

POCHODNA

dy0 f−1 = (dx0 f )

−1 oraz dx0(g ◦ f ) = dy0g ◦ dx0 f .

13 listopada 2018 14 / 48

POCHODNA

dy0 f−1 = (dx0 f )

−1 oraz dx0(g ◦ f ) = dy0g ◦ dx0 f .

13 listopada 2018 14 / 48

POCHODNA

Definicja 16Pochodn ↪a rz ↪edu n określamy rekurencyjnie

f (n)(x0) = (f (n−1))′(x0),

f (n) = (f (n−1))′.

Definicja 17Odwzorowanie f : X −→ R nazywamy klasy Cn na zbiorze X i zapisu-jemy f ∈ Cn(X ), jeżeli funkcje f , f ′, . . . f (n) s ↪a ci ↪agłe na zbiorze X .Mówimy, że f jest klasy C∞(X ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdegonaturalnego n f jest klasy Cn(X ).

13 listopada 2018 15 / 48

POCHODNA

f (n)(x0) = (f (n−1))′(x0),

f (n) = (f (n−1))′.

13 listopada 2018 15 / 48

POCHODNA

f (n)(x0) = (f (n−1))′(x0),

f (n) = (f (n−1))′.

13 listopada 2018 15 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 18Jeżeli funkcja f : (a, b) −→ R jest różniczkowalna w punkcie c ∈ (a, b) i osi ↪aga wtym punkcie kres górny ( dolny ) to f ′(c) = 0.

DOWÓD:

Dla kresu górnego

limx→c−

f (x)− f (c)

x − c≥ 0,

limx→c+

f (x)− f (c)

x − c≤ 0.

Z równości granic jednostronnych

limx→c

f (x)− f (c)

x − c= 0,

13 listopada 2018 16 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

Dla kresu górnego

limx→c−

f (x)− f (c)

x − c≥ 0,

limx→c+

f (x)− f (c)

x − c≤ 0.

limx→c

f (x)− f (c)

x − c= 0,

13 listopada 2018 16 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

Dla kresu górnego

limx→c−

f (x)− f (c)

x − c≥ 0,

limx→c+

f (x)− f (c)

x − c≤ 0.

limx→c

f (x)− f (c)

x − c= 0,

13 listopada 2018 16 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

Dla kresu górnego

limx→c−

f (x)− f (c)

x − c≥ 0,

limx→c+

f (x)− f (c)

x − c≤ 0.

limx→c

f (x)− f (c)

x − c= 0,

13 listopada 2018 16 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

Dla kresu górnego

limx→c−

f (x)− f (c)

x − c≥ 0,

limx→c+

f (x)− f (c)

x − c≤ 0.

limx→c

f (x)− f (c)

x − c= 0,

13 listopada 2018 16 / 48

POCHODNA

Twierdzenie 19 ( Rolle’a )

Jeżeli funkcja ci ↪agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale (a, b) if (a) = f (b) to ∃c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) = 0.

DOWÓD:

Jeżeli f jest stała to ∀x ∈ [a, b] mamy f ′(x) = 0.

Załóżmy wi ↪ec, że f nie jest stała. W takim razie

inf {f (x) : x ∈ [a, b]} < f (a) lub sup {f (x) : x ∈ [a, b]} > f (b).

Załóżmy, że spełniona jest druga z tych nierówności.

Z ci ↪agłości f wynika, że ∃c ∈ [a, b] takie, że f (c) = sup {f (x) : x ∈ [a, b]}.

Ponieważ f (a) = f (b) wi ↪ec c ∈ (a, b).

Dla tego c mamy f ′(c) = 0.

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNA

DOWÓD:

13 listopada 2018 17 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 20 ( Lagrange’a )

Jeżeli funkcja ci ↪agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale (a, b) to

∃c ∈ (a, b) taki, że f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

DOWÓD:

Funkcja g(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

b − a(x − a) spełnia założenia Twierdzenia

Rolle’a.

Istnieje c ∈ (a, b) taki że 0 = g ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a)

b − a.

St ↪adf (b)− f (a)

b − a= f ′(c).

13 listopada 2018 18 / 48

POCHODNE

b − a.

DOWÓD:

Rolle’a.

b − a.

b − a= f ′(c).

13 listopada 2018 18 / 48

POCHODNE

b − a.

DOWÓD:

Rolle’a.

b − a.

b − a= f ′(c).

13 listopada 2018 18 / 48

POCHODNE

b − a.

DOWÓD:

Rolle’a.

b − a.

b − a= f ′(c).

13 listopada 2018 18 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 21 ( Wniosek z Twierdzenia Lagrange’a )

Jeżeli funkcja ci ↪agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale (a, b) i∀x ∈ (a, b) f ′(x) = 0 to funkcja f jest stała w przedziale [a, b].

Jeżeli funkcja ci ↪agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale (a, b) i∀x ∈ (a, b) f ′(x) > 0 ( f ′(x) < 0 ) to funkcja f jest rosn ↪aca ( malej ↪aca ) wprzedziale [a, b].

DOWÓD:

Przypuśćmy, że ∀x ∈ (a, b) f ′(x) = 0 oraz f (d) 6= f (a) lub f (d) 6= f (b) dlapewnego d ∈ [a, b].

Załóżmy, że zachodzi nierówność f (d) 6= f (a) wówczas z twierdzenia Lagrange’a

istnieje takie c ∈ (a, d) ⊂ (a, b), że f ′(c) =f (d)− f (a)

d − a6= 0.

Otrzymana sprzeczność dowodzi pierwszej części Twierdzenia.

13 listopada 2018 19 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

d − a6= 0.

13 listopada 2018 19 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

d − a6= 0.

13 listopada 2018 19 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

d − a6= 0.

13 listopada 2018 19 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

d − a6= 0.

13 listopada 2018 19 / 48

POCHODNE

Przypuśćmy, że ∀x ∈ (a, b) f ′(x) > 0 i istnieją x1, x2 ∈ [a, b] takie, że x1 < x2 if (x1) ≥ f (x2).

Wówczas istnieje x0 ∈ (x1, x2), takie, że f ′(x0) =f (x2)− f (x1)

x2 − x1≤ 0.

Sprzeczność dowodzi, że f jest rosnąca. Dowód dla f ′ < 0 jest analogiczny.

Ćwiczenie. Jeżeli funkcja ci ↪agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale(a, b) i ∀x ∈ (a, b) f ′(x) ≥ 0 ( f ′(x) ≤ 0 ) to funkcja f jest niemalej ↪aca( nierosn ↪aca ) w przedziale [a, b].

13 listopada 2018 20 / 48

POCHODNE

x2 − x1≤ 0.

13 listopada 2018 20 / 48

POCHODNE

x2 − x1≤ 0.

13 listopada 2018 20 / 48

POCHODNE

x2 − x1≤ 0.

13 listopada 2018 20 / 48

POCHODNE

x2 − x1≤ 0.

13 listopada 2018 20 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 22Jeżeli funkcja ci ↪agła f : [a, b] −→ R jest różniczkowalna w przedziale (a, b) inierosn ↪aca ( niemalej ↪aca ) w przedziale (a, b) to ∀x ∈ (a, b) f ′(x) ≤ 0( f ′(x) ≥ 0. )

DOWÓD:

Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f (x) ≥ f (x0).

Zatemf (x)− f (x0)

x − x0≥ 0 skąd lim

x→x+0

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0.

Z istnienia pochodnej f ′(x0) ≥ 0.

Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.

13 listopada 2018 21 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

x→x+0

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0.

13 listopada 2018 21 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

x→x+0

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0.

13 listopada 2018 21 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

x→x+0

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0.

13 listopada 2018 21 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

x→x+0

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0.

13 listopada 2018 21 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 23 ( Cauchy’ego )Jeżeli funkcje ci ↪agłe f , g : [a, b] −→ R s ↪a różniczkowalne w przedziale (a, b) i

∀x ∈ (a, b) g ′(x) 6= 0 to ∃c ∈ (a, b) taki, żef (b)− f (a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

DOWÓD:

Rozważmy funkcję pomocniczą

h(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

g(b)− g(a)(g(x)− g(a))

Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle’a zatem ∃c ∈ (a, b) takie, że h′(c) = 0.

Stądf (b)− f (a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

13 listopada 2018 22 / 48

POCHODNE

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

DOWÓD:

h(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

g(b)− g(a)(g(x)− g(a))

Stądf (b)− f (a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

13 listopada 2018 22 / 48

POCHODNE

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

DOWÓD:

h(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

g(b)− g(a)(g(x)− g(a))

Stądf (b)− f (a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

13 listopada 2018 22 / 48

POCHODNE

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

DOWÓD:

h(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

g(b)− g(a)(g(x)− g(a))

Stądf (b)− f (a)

g(b)− g(a)=

f ′(c)

g ′(c).

13 listopada 2018 22 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 24Niech funkcje f , g : (a, b) −→ R s ↪a różniczkowalne w s ↪asiedztwie punktu x0 i wtym jego s ↪asiedztwie g(x) 6= 0, niech limx→x0

f (x) = limx→x0

g(x) = 0 lub

limx→x0

f (x) = ±∞ oraz limx→x0

g(x) = ±∞.

Jeżeli istnieje granica limx→x0

f ′(x)

g ′(x)to istnieje granica lim

x→x0

i limx→x0

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

DOWÓD:

Dla ”00”. Możemy przyj ↪ać, że f (x0) = g(x0) = 0.

13 listopada 2018 23 / 48

POCHODNE

f (x) = limx→x0

g(x) = 0 lub

limx→x0

g(x) = ±∞.

f ′(x)

x→x0

i limx→x0

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

DOWÓD:

13 listopada 2018 23 / 48

POCHODNE

f (x) = limx→x0

g(x) = 0 lub

limx→x0

g(x) = ±∞.

f ′(x)

x→x0

i limx→x0

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

DOWÓD:

13 listopada 2018 23 / 48

POCHODNE

f (x) = limx→x0

g(x) = 0 lub

limx→x0

g(x) = ±∞.

f ′(x)

x→x0

i limx→x0

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

DOWÓD:

13 listopada 2018 23 / 48

POCHODNE

Wtedy z Twierdzenia Cauchy’ego mamyf (x)

f (x)− f (x0)

g(x)− g(x0)=

f ′(c)

g ′(c),

gdzie c ∈ (x , x0) lub c ∈ (x0, x).

Jeżeli x −→ x0 to c −→ x0 zatem limx→x0

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

Uwaga 25Niech funkcje f , g : (a, b) −→ R s ↪a różniczkowalne w s ↪asiedztwie punktu x0 i

niech limx→x0

f (x) =∞, limx→x0

g(x) = 0 wówczas limx→x0

f (x)g(x) = limx→x0

f (x)1

13 listopada 2018 24 / 48

POCHODNE

f (x)− f (x0)

g(x)− g(x0)=

f ′(c)

g ′(c),

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

niech limx→x0

f (x)1

13 listopada 2018 24 / 48

POCHODNE

f (x)− f (x0)

g(x)− g(x0)=

f ′(c)

g ′(c),

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

niech limx→x0

f (x)1

13 listopada 2018 24 / 48

POCHODNE

f (x)− f (x0)

g(x)− g(x0)=

f ′(c)

g ′(c),

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

niech limx→x0

f (x)1

13 listopada 2018 24 / 48

POCHODNE

f (x)− f (x0)

g(x)− g(x0)=

f ′(c)

g ′(c),

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

niech limx→x0

f (x)1

13 listopada 2018 24 / 48

POCHODNE

f (x)− f (x0)

g(x)− g(x0)=

f ′(c)

g ′(c),

g(x)= lim

x→x0

f ′(x)

g ′(x).

niech limx→x0

f (x)1

13 listopada 2018 24 / 48

POCHODNE

Niech funkcje f , g : (a, b) −→ R s ↪a różniczkowalne w s ↪asiedztwie punktu x0 iniech lim

x→x0f (x) = 0, lim

x→x0g(x) = 0 wtedy lim

x→x0f (x)g(x) = lim

x→x0eg(x)ln f (x).

Jeżeli funkcje f , g : (a, b) −→ R s ↪a różniczkowalne w s ↪asiedztwie punktu x0 iniech lim

x→x0f (x) = 1, lim

x→x0g(x) =∞ to lim

x→x0f (x) =∞ lim

x→x0g(x) = 0

wówczas limx→x0

eg(x)ln f (x).

13 listopada 2018 25 / 48

POCHODNE

x→x0f (x) = 0, lim

x→x0f (x) = 1, lim

x→x0g(x) = 0

wówczas limx→x0

eg(x)ln f (x).

13 listopada 2018 25 / 48

POCHODNE

x→x0f (x) = 0, lim

x→x0f (x) = 1, lim

x→x0g(x) = 0

wówczas limx→x0

eg(x)ln f (x).

13 listopada 2018 25 / 48

POCHODNE

x→x0f (x) = 0, lim

x→x0f (x) = 1, lim

x→x0g(x) = 0

wówczas limx→x0

eg(x)ln f (x).

13 listopada 2018 25 / 48

POCHODNE

x→x0f (x) = 0, lim

x→x0f (x) = 1, lim

x→x0g(x) = 0

wówczas limx→x0

eg(x)ln f (x).

13 listopada 2018 25 / 48

POCHODNE

x→x0f (x) = 0, lim

x→x0f (x) = 1, lim

x→x0g(x) = 0

wówczas limx→x0

eg(x)ln f (x).

13 listopada 2018 25 / 48

POCHODNE

x→x0f (x) = 0, lim

x→x0f (x) = 1, lim

x→x0g(x) = 0

wówczas limx→x0

eg(x)ln f (x).

13 listopada 2018 25 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

(x · ln x) = limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

ex·ln x = elimx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

cos xsin x·cos 2x·2(−sin 2x)

= elim

x→π4

1sin x·cos x·2(−sin 2x)

= e−1 =1e.

limx→π

(tg x)cos x = limx→π

ecos x·ln tg x = elim

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Przykład 26

limx→0

= limx→0

1x−1x2

= limx→0

(−x) = 0.

limx→0

xx = limx→0

x·ln x= e0 = 1.

limx→π

(tg x)1

cos 2x = limx→π

elntg xcos 2x = e

limx→π

lntg xcos 2x

= elim

x→π4

= elim

x→π4

= e−1 =1e.

limx→π

x→π2

cos x·lntg x= e

limx→π

lntg x1cos x =

= elim

x→π2

ctg x· 1cos 2x

−sin xcos 2x = e

limx→π

cos x−sin 2x

= e0 = 1.13 listopada 2018 26 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 27 ( Taylora z resztą Lagrange’a)

Niech funkcja f : [a, b] −→ R jest klasy Cn−1 w przedziale [a, b] i ∀x ∈ (a, b)∃f n(x) wtedy ∃c ∈ (a, b) taki, że

f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) +f ′′(a)

2!(b − a)2 + · · ·+ f (n−1)(a)

(n − 1)!(b − a)n−1 + Rn,

gdzie Rn =f (n)(c)

n!(b − a)n.

DOWÓD:

Rozważmy funkcję daną wzorem

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

13 listopada 2018 27 / 48

POCHODNE

f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) +f ′′(a)

2!(b − a)2 + · · ·+ f (n−1)(a)

(n − 1)!(b − a)n−1 + Rn,

gdzie Rn =f (n)(c)

n!(b − a)n.

DOWÓD:

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

13 listopada 2018 27 / 48

POCHODNE

f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) +f ′′(a)

2!(b − a)2 + · · ·+ f (n−1)(a)

(n − 1)!(b − a)n−1 + Rn,

gdzie Rn =f (n)(c)

n!(b − a)n.

DOWÓD:

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

13 listopada 2018 27 / 48

POCHODNE

f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) +f ′′(a)

2!(b − a)2 + · · ·+ f (n−1)(a)

(n − 1)!(b − a)n−1 + Rn,

gdzie Rn =f (n)(c)

n!(b − a)n.

DOWÓD:

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

13 listopada 2018 27 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

h(x) = f (b)− f (x)−n−1∑k=1

f (k)(x)

k!(b − x)k .

h′(x) = −f ′(x) +n−1∑k=1

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−1∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k =

= −f ′(x) + f ′(x) +n−1∑k=2

f (k)(x)

(k − 1)!(b − x)k−1 −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k −

f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

(k)!(b − x)k −

n−2∑k=1

f (k+1)(x)

k!(b − x)k − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1 =

= − f (n)(x)

(n − 1)!(b − x)n−1.

13 listopada 2018 28 / 48

POCHODNE

Niech H(x) = h(x)− h(a)

(b − a)n(b − x)n.

Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle’a.

Istnieje zatem c ∈ (a, b) taki, że H ′(c) = 0.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

Mamy więc 0 = H ′(c) = h′(c) + nh(a)

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

(b − a)n(b − x)n.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

(b − a)n(b − x)n.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

(b − a)n(b − x)n.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

(b − a)n(b − x)n.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

(b − a)n(b − x)n.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

(b − a)n(b − x)n.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

(b − a)n(b − x)n.

Ale H ′(x) = h′(x) + nh(a)

(b − a)n(b − x)n−1.

(b − a)n(b − c)n−1 =

= − f (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 + n

(b − a)n(b − c)n−1.

Stądf (n)(c)

(n − 1)!(b − c)n−1 = n

(b − a)n(b − c)n−1.

13 listopada 2018 29 / 48

POCHODNE

h(a) =f (n)(c)

(n)!(b − a)n,

h(a) = f (b)− f (a)−n−1∑k=1

f (k)(a)

k!(b − a)k .

Co daje nam

f (b) =n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(b − a)k +

f (n)(c)

(n)!(b − a)n.

Co kończy dowód Twierdzenia.

13 listopada 2018 30 / 48

POCHODNE

h(a) =f (n)(c)

(n)!(b − a)n,

h(a) = f (b)− f (a)−n−1∑k=1

f (k)(a)

k!(b − a)k .

Co daje nam

f (b) =n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(b − a)k +

f (n)(c)

(n)!(b − a)n.

13 listopada 2018 30 / 48

POCHODNE

h(a) =f (n)(c)

(n)!(b − a)n,

h(a) = f (b)− f (a)−n−1∑k=1

f (k)(a)

k!(b − a)k .

Co daje nam

f (b) =n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(b − a)k +

f (n)(c)

(n)!(b − a)n.

13 listopada 2018 30 / 48

POCHODNE

h(a) =f (n)(c)

(n)!(b − a)n,

h(a) = f (b)− f (a)−n−1∑k=1

f (k)(a)

k!(b − a)k .

Co daje nam

f (b) =n−1∑k=0

f (k)(a)

k!(b − a)k +

f (n)(c)

(n)!(b − a)n.

13 listopada 2018 30 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 28 ( Maclourin’a )

Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór

f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n−1)(0)(n − 1)!

xn−1 + Rn, gdzie

Rn =f (n)(c)

(n)!xn, c ∈ (0, x).

Twierdzenie 29 ( Taylora z resztą Peano )

Niech funkcja f : (a, b) −→ R jest klasy Cn−1 w otoczeniu x0 ∈ (a, b) i ∃f (n)(x0)wtedy

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +f ′′(x0)

2!h2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!hn + ω(x0, h)h

n, gdzie

ω(x0, h) −→ 0, gdy h −→ 0 i x0 + h należy do rozważanego otoczenia.

13 listopada 2018 31 / 48

POCHODNE

f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n−1)(0)(n − 1)!

xn−1 + Rn, gdzie

Rn =f (n)(c)

(n)!xn, c ∈ (0, x).

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +f ′′(x0)

2!h2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!hn + ω(x0, h)h

n, gdzie

13 listopada 2018 31 / 48

POCHODNE

f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n−1)(0)(n − 1)!

xn−1 + Rn, gdzie

Rn =f (n)(c)

(n)!xn, c ∈ (0, x).

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +f ′′(x0)

2!h2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!hn + ω(x0, h)h

n, gdzie

13 listopada 2018 31 / 48

POCHODNE

f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)2!

x2 + · · ·+ f (n−1)(0)(n − 1)!

xn−1 + Rn, gdzie

Rn =f (n)(c)

(n)!xn, c ∈ (0, x).

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +f ′′(x0)

2!h2 + · · ·+ f (n)(x0)

n!hn + ω(x0, h)h

n, gdzie

13 listopada 2018 31 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

Rozważmy granicę funkcji

limh→0

ω(x0, h) = limh→0

f (x0 + h)−n∑

f (k)(x0)k! hk

Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym ′′ 00′′

Stosując (n-1)-krotnie Regułę de L’Hospitala otrzymamy

limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)− f (n)(x0) · hh

= limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)

h− f (n)(x0) = 0

13 listopada 2018 32 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

limh→0

f (x0 + h)−n∑

f (k)(x0)k! hk

limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)− f (n)(x0) · hh

= limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)

h− f (n)(x0) = 0

13 listopada 2018 32 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

limh→0

f (x0 + h)−n∑

f (k)(x0)k! hk

limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)− f (n)(x0) · hh

= limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)

h− f (n)(x0) = 0

13 listopada 2018 32 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

limh→0

f (x0 + h)−n∑

f (k)(x0)k! hk

limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)− f (n)(x0) · hh

= limh→0

f (n−1)(x0 + h)− f (n−1)(x0)

h− f (n)(x0) = 0

13 listopada 2018 32 / 48

POCHODNE

Definicja 30Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 ∈ R minimum lokalne ( maksimum lokalne) jeżeli ∃S sąsiedztwo punktu x0 takie, że ∀x ∈ S f (x) > f (x0) (f (x) < f (x0)).Jeżeli funkcja ma minimum lokalne lub maksimum lokalne to mówimy, że maekstremum lokalne.

Twierdzenie 31Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego funkcji różniczkowalnej f wpunkcie x0 jest to aby f ′(x0) = 0.

DOWÓD:

Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość największąlub najmniejszą z Twierdzenia 18 mamy natychmiast Twierdzenie 31.

13 listopada 2018 33 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

13 listopada 2018 33 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

13 listopada 2018 33 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 32Warunkiem wystarczaj ↪acym istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x0 funkcji fróżniczkowalnej w otoczeniu punktu x0 jest to aby f ′(x0) = 0 i aby pochodnazmieniała znak w punkcie x0.

DOWÓD:

Jeżeli f ′(x0) = 0 oraz f ′(x) > 0 dla x < x0 zaś dla x > x0 mamy f ′(x) < 0 tona mocy Twierdzenia 21 mamy

f (x) < f (x0) dla x leżących w sąsiedztwie x0.

13 listopada 2018 34 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

13 listopada 2018 34 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

13 listopada 2018 34 / 48

POCHODNE

Twierdzenie 33Jeżeli f jest klasy C1 w otoczeniu punktu x0 i istnieje f ′′(x0) 6= 0 to f ma wpunkcie x0 ekstremum lokalne. Minimum lokalne, gdy f ′′(x0) > 0, maksimumlokalne, gdy f ′′(x0) < 0.

13 listopada 2018 35 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

Z Twierdzenia Taylora z resztą Peano mamy

f (x0 + h) = f (x0) +

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

)h2, gdzie ω(x0, h) −→ 0, gdy h zmierza

do zera.

f (x0 + h)− f (x0) =

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

Dla h dostatecznie małych znak f (x0 + h)− f (x0) jest taki sam jak f ′′(x0).

Zatem dla f ′′(x0) > 0 f ma w punkcie x0 minimum lokalne, zaś dla f ′′(x0) < 0 fma w punkcie x0 maksimum lokalne.

13 listopada 2018 36 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

f (x0 + h) = f (x0) +

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

do zera.

f (x0 + h)− f (x0) =

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

13 listopada 2018 36 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

f (x0 + h) = f (x0) +

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

do zera.

f (x0 + h)− f (x0) =

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

13 listopada 2018 36 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

f (x0 + h) = f (x0) +

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

do zera.

f (x0 + h)− f (x0) =

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

13 listopada 2018 36 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

f (x0 + h) = f (x0) +

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

do zera.

f (x0 + h)− f (x0) =

(f ′′(x0)

2+ ω(x0, h)

13 listopada 2018 36 / 48

POCHODNE

Definicja 34Styczną do krzywej w punkcie P nazywamy graniczne położenie siecznychprzechodzących przez punkt P oraz punkt sąsiedni Q, gdy punkt sąsiedni Qzmierza do P.

Twierdzenie 35Niech funkcja f określona w otoczeniu punktu x0 będzie różniczkowalna w punkciex0 wówczas istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f (x0)) i marównanie y − y0 = f ′(x0)(x − x0).

DOWÓD:

Sieczna przechodząca przez punkt (x0, f (x0)) oraz punkt sąsiedni (x1, f (x1)) ma

równanie y − f (x0) =f (x1)− f (x0)

x1 − x0(x − x0).

13 listopada 2018 37 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

x1 − x0(x − x0).

13 listopada 2018 37 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

x1 − x0(x − x0).

13 listopada 2018 37 / 48

POCHODNE

DOWÓD:

x1 − x0(x − x0).

13 listopada 2018 37 / 48

POCHODNE

Przechodząc w granicy z x1 do x0 otrzymujemy

y − y0 = f ′(x0)(x − x0), gdzie y0 = f (x0).

Definicja 36Funkcja f : X −→ Y nazywamy wklęsłą ( wypukłą ) w punkcie x0 ∈ X jeżelistyczna do wykresu funkcji w punkcie x0 leży powyżej ( odpowiednio poniżej )wykresu funkcji dla x z pewnego sąsiedztwa punktu x0.

Jeżeli styczna do wykresu funkcji w punkcie x0 przechodzi w punkcie x0 na drug ↪astron ↪e wykresu to punkt x0 nazywamy punktem przegi ↪ecia wykresu funkcji.

13 listopada 2018 38 / 48

POCHODNE

y − y0 = f ′(x0)(x − x0), gdzie y0 = f (x0).

13 listopada 2018 38 / 48

POCHODNE

y − y0 = f ′(x0)(x − x0), gdzie y0 = f (x0).

13 listopada 2018 38 / 48

WYPUKŁOŚĆ

Twierdzenie 37Jeżeli funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x0 to f ′′(x0) < 0implikuje, że f jest wklęsła, a f ′′(x0) > 0 implikuje, że f jest wypukła.

DOWÓD:

Ze wzoru Taylora z reszt ↪a Peano mamy

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +

(12f ′′(x0) + ω(x0, h)

gdzie limh→0

ω(x0, h) = 0.

Dla małych h punkt (x0 + h, f (x0) + hf ′(x0)) leżący na stycznej leży poniżejwykresu dla f ′′(x0) > 0, zaś dla f ′′(x0) < 0 leży powyżej wykresu.

13 listopada 2018 39 / 48

WYPUKŁOŚĆ

DOWÓD:

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +

(12f ′′(x0) + ω(x0, h)

gdzie limh→0

ω(x0, h) = 0.

13 listopada 2018 39 / 48

WYPUKŁOŚĆ

DOWÓD:

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +

(12f ′′(x0) + ω(x0, h)

gdzie limh→0

ω(x0, h) = 0.

13 listopada 2018 39 / 48

WYPUKŁOŚĆ

DOWÓD:

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0)h +

(12f ′′(x0) + ω(x0, h)

gdzie limh→0

ω(x0, h) = 0.

13 listopada 2018 39 / 48

EKSTREMA LOKALNE

Twierdzenie 38Jeżeli funkcja jest n krotnie róźniczkowalnaw x0 i f ′(x0) = f ′′(x0) = · · · = f (n−1)(x0) = 0, a f (n)(x0) 6= 0 to

jeśli n jest liczb ↪a parzyst ↪a i f(n)(x0) > 0 to funkcja f ma w punkcie x0 minimum

lokalne,

jeśli n jest liczb ↪a parzyst ↪a i f(n)(x0) < 0 to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum

lokalne,

jeśli n jest liczb ↪a nieparzyst ↪a to wykres funkcja f ma w punkcie (x0, f (x0)) punktprzegi ↪ecia.

13 listopada 2018 40 / 48

EKSTREMA LOKALNE

lokalne,

13 listopada 2018 40 / 48

EKSTREMA LOKALNE

lokalne,

13 listopada 2018 40 / 48

EKSTREMA LOKALNE

lokalne,

13 listopada 2018 40 / 48

ASYMPTOTY

Definicja 39Prost ↪a x = x0 nazywamy asymptot ↪a pionow ↪a wykresu funkcji f jeżeli funkcja fjest określona przynajmniej w jednostronnym s ↪asiedztwie punktu x0 i przynajmniejjedna z granic lim

x→x+0

f (x), limx→x−0

f (x) jest nieskończona.

Definicja 40Prost ↪a y = y0 nazywamy asymptot ↪a poziom ↪a wykresu funkcji f w +∞( odpowiednio −∞ ) jeżeli funkcja f jest określona w s ↪asiedztwie +∞( odpowiednio −∞ ) i granica lim

x→+∞f (x) = y0 ( odpowiednio lim

x→−∞f (x) = y0 ).

13 listopada 2018 41 / 48

ASYMPTOTY

Definicja 39Prost ↪a x = x0 nazywamy asymptot ↪a pionow ↪a wykresu funkcji f jeżeli funkcja fjest określona przynajmniej w jednostronnym s ↪asiedztwie punktu x0 i przynajmniejjedna z granic lim

x→x+0

f (x), limx→x−0

f (x) jest nieskończona.

Definicja 40Prost ↪a y = y0 nazywamy asymptot ↪a poziom ↪a wykresu funkcji f w +∞( odpowiednio −∞ ) jeżeli funkcja f jest określona w s ↪asiedztwie +∞( odpowiednio −∞ ) i granica lim

x→+∞f (x) = y0 ( odpowiednio lim

x→−∞f (x) = y0 ).

13 listopada 2018 41 / 48

ASYMPTOTY

Definicja 41Prost ↪a y = ax + b, gdzie a 6= 0 nazywamy asymptot ↪a ukośn ↪a wykresu funkcji f w+∞ ( odpowiednio −∞ ) jeżeli funkcja f jest określona w s ↪asiedztwie +∞( odpowiednio −∞ ) i lim

x→+∞(f (x)− (ax + b)) = 0 ( odpowiednio

limx→−∞

(f (x)− (ax + b)) = 0

Twierdzenie 42Prosta y = ax + b, gdzie a 6= 0 jest asymptot ↪a ukośn ↪a wykresu funkcji f w +∞

( odpowiednio −∞ ) jeżeli a = limx→+∞

xoraz b = lim

x→+∞(f (x)− ax)

( odpowiednio a = limx→−∞

xoraz b = lim

x→−∞(f (x)− ax)).

13 listopada 2018 42 / 48

ASYMPTOTY

limx→−∞

(f (x)− (ax + b)) = 0

xoraz b = lim

x→+∞(f (x)− ax)

xoraz b = lim

x→−∞(f (x)− ax)).

13 listopada 2018 42 / 48

ASYMPTOTY

limx→−∞

(f (x)− (ax + b)) = 0

xoraz b = lim

x→+∞(f (x)− ax)

xoraz b = lim

x→−∞(f (x)− ax)).

13 listopada 2018 42 / 48

ASYMPYOTY

DOWÓD:

Jeżeli limx→∞

(f (x)− (ax + b)) = 0 to limx→∞

(f (x)

x− (a+

Stąd limx→∞

limx→∞

(f (x)− ax) = b.

13 listopada 2018 43 / 48

ASYMPYOTY

DOWÓD:

Jeżeli limx→∞

(f (x)− (ax + b)) = 0 to limx→∞

(f (x)

x− (a+

Stąd limx→∞

limx→∞

(f (x)− ax) = b.

13 listopada 2018 43 / 48

ASYMPYOTY

DOWÓD:

Jeżeli limx→∞

(f (x)− (ax + b)) = 0 to limx→∞

(f (x)

x− (a+

Stąd limx→∞

limx→∞

(f (x)− ax) = b.

13 listopada 2018 43 / 48

PLAN BADANIA FUNKCJI

Plan Badania funkcji:

1. Ustalenie dziedziny funkcji, miejsc zerowych, parzystości, okresowości,wyznaczanie granic na krańcach przedziałów określoności, wyznaczenie asymptot.

2. Obliczenie pochodnej, wyznaczenie dziedziny pochodnej, wyznaczenie miejsczerowych pochodnej, wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji i jejekstremów.

3. Obliczenie drugiej pochodnej, wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej,wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej, wyznaczenie przedziałówwypukłości funkcji i jej punktów przegi ↪ecia.

4. Sporz ↪adzenie tabelki i wykresu funkcji.

13 listopada 2018 44 / 48

PRZYKŁAD BADANIA FUNKCJI

Przykład 43y = f (x) = x − 2 · arc tg x .

Df = (−∞,∞), fukcja jest nieparzysta, wykres przechodzi przez początek układuwspółrzędnych. Funkcja nie jest okresowa.

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

x − 2 · arc tg xx

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

y = x + π asymptota ukośna w minus nieskończoności.

y = x − π asymptota ukośna w plus nieskończoności.

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x) = −∞, limx→∞

(x − 2 · arc tg x) =∞.

limx→±∞

= − limx→±∞

1− 2 · arc tg xx

limx→−∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→−∞

(−2 · arc tg x) = π

limx→+∞

(x − 2 · arc tg x − x) = limx→+∞

(−2 · arc tg x) = −π

13 listopada 2018 45 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

f ′(x) = 1− 21+ x2

=1+ x2 − 21+ x2

=x2 − 11+ x2

. Df ′ = (−∞,∞).

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x = −1 lub x = 1.

f ′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞). f ′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1).

fmax(−1) = −1− 2 · arc tg (−1) =π

2− 1.

fmin(1) = 1− 2 · arc tg 1 = 1−π

f ′′(x) =4x

(1+ x2)2Df ′′ = (−∞,∞).

f ′′(x) = 0 ⇐⇒ x = 0,

f ′′(x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (0,∞) f ′′(x) < 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0)

13 listopada 2018 46 / 48

13 listopada 2018 - Zakarczemnymaciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2018/11/IWP-05...POCHODNA...

Documents

Transcript of 13 listopada 2018 - Zakarczemnymaciej.zakarczemny.pl/wp-content/uploads/2018/11/IWP-05...POCHODNA...