Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Г. Л. Конончук, В. М. Прокопець,

В. В. Стукаленко

ВСТУП ДО ФУР’Є-

ОПТИКИ

Київ – 2010

Видавничо-поліграфічний центр «Київський університет» Вступ до фур’є-оптики: навчальний посібник. –К.: Видавничо-

поліграфічний центр «Київський університет», 2009. – 320 с.

Автори – Георгій Лукич Конончук,

Вадим Миколайович Прокопець,

Вікторія Віталіївна Стукаленко

Рецензенти: П.І. Кондратенко, д. фіз.-мат. наук, професор;

М.І. Лєбовка, д. фіз.-мат. наук, професор;

В.П. Олійник, д. фіз.-мат. наук, професор.

Рекомендовано до друку Вченою Радою фізичного факультету

протокол № 9 від 16 березня 2009 року

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як

навчальний посібник для студентів

фізичних та технічних спеціальностей університетів

від 23.02.10 № 1/11-1157

В посібнику на основі математичного апарату перетворень Фур’є розглядається взаємодія монохроматичних хвиль у однорідному середовищі з оптичними перешкодами та

лінзами, когерентність у просторі і часі та деякі питання, що пов’язані з немонохроматичністю хвиль. З єдиних позицій висвітлено задачі дифракції, формування зображення, просторової фільтрації сигналів та розпізнавання образів. Книга для студентів фізичних та технічних спеціальностей вищих навчальних закладів.

Підписано до друку . Формат 60х84/16. Папір

офсетний.

Гарнітура Times New Roman. Наклад 100 примірників.

ЗМІСТ ВСТУП 3 I. ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ОПТИЦІ

1. Кореляція і перетворення Фур’є 7 1.1. Властивості ПФ 13

1.1.1. Теореми лінійності, симетрії, масштабів. та про зміщення 14

1.1.2. Теорема Релея 20 1.1.3. Теорема про функцію взаємної кореляції 21 1.1.4. Теореми згортки 23 1.1.5. Диференціал функції 27

1.2. Приклади застосування ПФ 27 1.2.1. Розв’язування фізичних задач з

використанням теореми Парсеваля. 27 1.2.2. Приклади спектрів деяких функцій. 29

2. Формалізм Фур’є і відомі оптичні явища 37 2.1. Дифракція на гратцi з модульованим поглинанням 37 2.2. Дифракція на плоскій дифракцiйнiй гратцi з

прямокутним штрихом

43 2.3. Лінза, голограма 47

3. Пробні функції та їхні спектри 50 3.1. Узагальнена функція Дірака 52

3.1.1. Властивості δ-функції 53 3.1.2. Приклад застосування δ-функції 57

3.2. Функція поодинокого стрибка 62 3.3. Функція Хевісайда 63 3.4. Функція Гаусса 64

4. Дійсний сигнал та аналітичний сигнал. 65 5. Перетворення Френеля 70

II. ПОЛЕ І ПРОСТІР 6. Кутовий спектр поля і просторові частоти.

Подвійний зміст просторових частот 79 7. Шар простору як фільтр просторових частот 90 8. Область геометричної тіні 97 9. Взаємодія сигнала з фільтром 99 10. Принцип Гюйгенса-Френеля 108 11. Поле точкового джерела 112 12. Наближення Френеля 115

318

13. Дифракція на перешкодах 118 13.1. Дифракція на краю екрана 118 13.2. Дифракція Френеля на щілині 124

14. Область Фраунгофера 127 15. Дифракція Фраунгофера на круглому отворі 131 15.1. Функції Бесселя 131 15.2. Дифракція Фраунгофера на круглому отворі 137

16. Гаусів пучок нульового порядку 140

III. ЛІНЗА – ФАЗОВИЙ МОДУЛЯТОР 17. Параболічна та сферична оптика 152 18. Лінза як фур’є-транслятор 159 19. Просторова фільтрація 169 20. Імпульсний відгук простору, в якому є лінза 175 21. Зображення просторово некогерентного предмета 182 22. Перетворення гауссового пучка лінзовою системою 185

IV. КОГЕРЕНТНІСТЬ СВІТЛА 23. Часова когерентність 199 24. Ефект Допплера в оптиці 210 25. Приклади різночастотної інтерференції 215 26. Фур’є-спектроскопія 219 27. Основне інтегральне рівняння фур’є-спектроскопії 222 28. Аподизація. 227 29. Граничні можливості фур’є-спектроскопії 230 30. Просторова когерентність 234 30.1. Теорема ван Ціттерта-Церніке. 237 30.2. Зірковий інтерферометр 240 30.3. Точкове джерело 243

V. ЗАСТОСУВАННЯ ФУР’Є ОПТИКИ 31. Оптичні методи обробки інформації. 250 31.1. Когерентні системи оптичної обробки інформації 251 31.2. Просторова фільтрація. Синтез в частотній області 256 31.3. Узгоджена фільтрація. Фільтри Вандер Люгта 263 31.4. Некогерентні системи обробки інформації 274

32. Когерентна радіолокація із синтезованою апертурою 281

VI. ДОДАТКИ 295 Список використаних позначень і скорочень 314 Список рекомендованих джерел 316

319

3

ВСТУП

Теорема Фур’є не лише є одним із витончених результатів сучасного аналізу, але і дає нам незамінний інструмент у дослідженні найважчих питань сучасної фізики. Лорд Кельвін

Одним із нових напрямків у теорії інформації та

оптиці, які бурхливо розвиваються у зв’язку з появою лазерів, є фур’є-оптика. Застосування перетворень Фур’є для оптичних сигналів виявилось дуже плідним завдяки можливості коректно враховувати фазу при опису оптичних коливань у різних експерименталь-них установках, які використовують когерентні джерела світла. Витончений апарат перетворень Фур’є дозволив подивитися під новим кутом зору на різноманітні оптичні проблеми і відкрити нові цікаві сторони оптичних явищ. Такими виявились роль про-стору і сферичних поверхонь у передачі і пере-творенні сигналів, ідея просторових частот, погляд на дифракцію як на прояв фур’є-властивостей простору з перешкодами тощо. У представленні хвильового па-кету часові і просторові координати виступать як незалежні рівноправні змінні, логічним є розглянути основи фур’є-спектроскопії та питання когерентності світла, оскільки ці явища пов’язані між собою, а ма-тематичний апарат застосовується один і той же.

Питання, що розглядаються, за змістом та формою перекликаються з теорією сигналів у радіоелектроніці, тому висвітлюваний предмет деякий час навіть нази-вали радіооптикою. Така назва, однак, була виправ-дана у період становлення фур’є-оптики, сьогодні це самостійна галузь оптичних досліджень зі своєю спе-цифікою у експериментальному і теоретичному планах.

Під фур’є-оптикою сьогодні розуміють сукупність досліджень оптичних явищ, у процесі яких активно використовується математичний апарат перетворень Фур’є, та відповідного апаратурного забезпечення цих

4

досліджень. Це занадто широке визначення, бо важко назвати галузь наукових досліджень, де б не викорис-товувались перетворення Фур’є. Проте є дослідження, проведення яких абсолютно неможливо без викорис-тання цих перетворень. Це – теорія інформації з різноманітними її розгалуженнями, пов’язаними зі специфічністю носіїв інформації. Будучи частиною інформатики, фур’є-оптика використовує електрома-гнітні хвилі у якості носія інформації, вони виявились найшвидшим, найлегшим, найдешевшим базисом для транспортування, реєстрації і обробки сигналів. У цій галузі найпершою визначилась із об’єктом дослі-дження і апаратурою фур’є-спектроскопія, яка дозволила із цілком нових ідейних позицій розв’язати різноманітні чисто спектроскопічні проблеми, пов’язані з роздільною здатністю, чутливістю, спект-ральним діапазоном, швидкістю обробки інформації і навіть з габаритами апаратури. Вирішальну роль тут зіграли досягнення у оптичному приладобудуванні і, особливо, стрибок у технічних засобах математичної обробки. Електромагнітна хвиля характеризується, крім частоти (часова залежність), хвильовим векто-ром (просторова залежність), саме його поведінкою при взаємодії хвилі з матеріальними об’єктами і займається фур’є-оптика.

Вивчення фур’є-оптики передбачається вузівськи-ми програмами підготовки спеціалістів-оптиків. Основам методів фур’є-оптики та її використанню присвячено більше десятка закордонних і вітчизня-них монографій. Написані відомими вченими, вони є узагальненням досвіду, призначені для використання спеціалістами і, як правило, містять матеріали, які відображають область наукових інтересів авторів. У них практично не враховано специфіку процесу на-вчання, рівень математичної підготовки студентів. Крім того, завжди є потреба у посібнику, який адре-

5

сований тим, хто вперше знайомиться з предметом, який би не був перевантажений деталями, і, разом з тим, давав би цілісне уявлення про предмет.

Без постійного використання вже наявних знань неможливе ефективне засвоєння нового матеріалу. Оскільки початковий рівень знань читача може бути різним, найбільш плідним є шлях, коли базуються на мінімумі передумов з наступним послідовним розвит-ком основних положень і поширенням їх на всі прикладні області. Так побудовано цей посібник. За основу взято курс лекцій, які читаються для студен-тів-оптиків фізичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, що, зрозуміло, і відбилося на побудові посібника. В основі викладу лежать наступні положення: хвильове рівняння, теорема Фур’є про представлення функції її спектром (або у загальному випадку – набором орто-гональних функцій), принцип суперпозиції (лінійність систем). Спочатку увага мінімально приділена мате-матичному апарату, без чіткого володіння яким неможливо розібратись у суті розглянутих явищ. Цей розділ є традиційним. Всі інтегральні перетворення вводяться методом індукції, тобто, з’являються як узагальнення деяких прикладів. Розглянуті приклади мають і самостійне значення.

У посібнику розглядається взаємодія монохромати-чних хвиль із оптичними перешкодами, а також роз-глянуто питання про когерентність хвиль у просторі і часі та деякі питання, які тісно пов’язані з немонох-роматичністю та недостатньо висвітлені у навчальній літературі (фазовий контраст, фур’є-спректроскопія, зірковий інтерферометр Майкельсона, інтерференція різночастотних коливань, гаусссові хвилі, допплер-анемометрія). Розглянута природа та поведінка гаусс-сових хвиль при поширенні у просторі, що містить лінзи, а також можливості лінзи та шару простору як

6

оптичного процесора для виконання математичних операцій. З єдиних позицій висвітлено задачі дифра-кції, формування зображень, просторової фільтрації сигналів та розпізнавання образів.

Окремим темам, які викликали труднощі у розу-мінні студентами, приділено більшу увагу. У посібник включено мінімум матеріалу, що може відповідати лише вступному курсу, ознайомлення з яким, однак, дозволить мати уявлення про фур’є-оптику і розуміти оригінальні роботи у цій області. При необхідності поглибити той чи інший розділ, можна рекомендувати звертатися до наведених у списку літератури монографій.

Розділи I – IV та додатки написали Г.Л. Конончук та В.В. Стукаленко, розділ V написав В.М. Прокопець.

I. ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ У ОПТИЦІ 1. Кореляція і перетворення Фур’є Серед багатьох математичних операцій, які вико-

ристовуються у науці, виключно важливу роль відіграє кореляція. Це пов'язано з тим, що будь-яке дослідження є пошук зв'язку даного явища з іншими, як правило, дослідженими чи відомими. Математична операція під назвою кореляція найбільш повно відо-бражає зв'язок між самими явищами або функціями, які їх описують. За сучасними уявленнями розклад Фур’є - це знаходження кореляції між досліджуваною функцією і колективом гармонічних коливань, які існують у тому ж математичному просторі. Формально воно зводиться до знаходження вагових коефіцієнтів для відповідних гармонік, тобто, коефі-цієнтів кореляції. Однозначність розкладу гаран-тується лінійно незалежним базисом (див. Додаток 1).

)(tf

При обробці (опрацюванні) сигналів математичний апарат перетворень Фур’є є одним із найважливіших у практичному застосуванні, він широко використо-вується у теорії хвильових процесів, оптиці, радіо-фізиці, електродинаміці, квантовій механіці, синергетиці тощо. Це ефективний засіб розв’язку ди-ференціальних рівнянь та систем рівнянь, задач теорії випадкових процесів. Базисом перетворень Фур’є служать тригонометричні функції. У ХVІІІ ст. одними з перших використали розклад у ряд за цим базисом: Л. Ейлер (L. Euler, 1707-1783), записав ряд

...2sinsin 22 ++=−π xxx , π= 2,...0x ; Д. Бернуллі

(D. Bernoulli, 1700-1783), – при розв’язанні задачі ко-ливання струни. Розклад функції у тригонометричний ряд викликав гарячі суперечки і заперечення з боку таких корифеїв як Ж.-Л. .Лагранж (G.-L. Lagrangia,

7

1736-1813), Ж.-Л. Даламбер (J.L. d'Alembert, 1717-1783). Однак на початку ХІХ століття у праці про по-ширення тепла у твердих тілах французький математик Ж. Фур’є (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830) строго обґрунтував справедливість такого розкладу, який у результаті і отримав його ім’я. Ж. Лагранж, П. Лаплас (P.-S. Laplace, 1749-1827), Г.Монж (G.Monge, 1746-1818) А. Лежандр (A.-M. Legendre, 1752-1833), Ж.Біо (J.-B. Biot, 1774-1862) і С. Пуассон (S.-D. Poisson, 1781-1840), хоча і проголосували за присудження Фур’є премії французської академії, проте із застереженнями і недовірою, і ще довго не могли сприйняти ідею, що довільний розподіл темпе-ратури можна розкласти на складові у вигляді гармонік. Заважав досвід життя: адже очевидно, що функцію, яка змінюється різко (наприклад, функція поодинокого стрибка), неможливо уявити як суму плавних гармонічних коливань! Вивчення умов, за яких довільну функцію ) можна представити у ви-гляді ряду Фур’є, досліджувалось математиками ще майже 100 років. На початку ХХ століття Д. Гілберт (D. Hilbert, 1862-1943) розвинув теорію рядів Фур’є у геометричній формі як теорію розкладу за ортогона-льними функціями.

(tf

Класичний розклад Фур’є – представлення гармоні-чним рядом дійсної періодичної функції : )(tf

∑∞

=

π+π+=1

220 )sincos(2

)(m

TmTmmtbmta

atf , (1.1)

∫−

ππ

=2

2

2cos)(21 T

T

dtmttfa Tm , (1.2)

∫−

ππ

=2

2

2sin)(21 T

T

dtmttfb Tm . (1.3)

8

Тут T – період функції , )(tf m = 0,1,2,3... Функція повинна задовольняти умовам Дірихле (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859): бути обмеженою на проміжку [а, b], мати скінченне число відносних максимумів та відносних мінімумів і точок розриву І роду. Вважається, що у точці C є розрив І роду, як-що існують границі

)(tf

)0( +Cf i )0( −Cf , різниця між цими виразами є скачок функції. Часто використову-ється термін: "гарна" функція. Це така функція, від якої не чекають ніяких математичних "сюрпризів".

Ряд Фур’є у комплексній формі. Використавши фор-мулу Ейлера, надамо (1.1) більш симетричного вигляду

. )( )(

)(

1

22

21

2

22

1

22

21

2

][

)]()([

0

0

∑

∑∞

=

π−π

π−π∞

=

π−π

++−+=

=−−++=

m

Tmti

mmTmti

mm

TmtiT

mtim

m

TmtiT

mtim

eibaeibaa

eeibeeaatf

(1.4) У другому доданку суми зробимо заміну mm −→ .

Враховуючи парність коефіцієнтів та непарність коефіцієнтів маємо:

ma

mb

,21)(

21

)(21

2)(

221

2

1

0

Tmti

mm

Tmti

mm

Tmti

mmm

eAeiba

eibaatf

π∞

−∞=

π−

∞−

π∞

=

∑∑

∑

π=−+

+−+=

(1.5)

де 2)(2 mmm ibaA −=π . Інтегральне перетворення Фур’є. Якщо функція на

проміжку ( ∞+∞− , ) має скінченну кількість розривів

та є інтегрованою на цьому проміжку,

то для неї існує перетворення Фур’є (ПФ). За визна-ченням інтегральна операція

∞<∫∞

∞−

dttf |)(| 2

9

dtetfG ti )()( ω−∞

∞−∫=ω , (1.6)

називається прямим перетворенням Фур’є функції , тоді як )(tf

ωωπ= ω∞

∞−∫ deGtf ti )()( 2

1 (1.7)

– зворотним (оберненим) перетворенням Фур’є. Скорочено пряме перетворення Фур’є позначають:

, )()(ˆ, )()(

ˆ

ω=

ω⎯⎯→⎯

GtfF

Gtf F (1.8)

а зворотне перетворення Фур’є:

. )()(

, )()(ˆ1ˆ

1

tfG

tfGFF ⎯⎯ →⎯ω

=ω−

−

(1.9)

Функцію )(ωG називають фур’є-образом функції або спектром функції ) . У свою чергу,

називається прообразом ))(tf (tf )(tf

(ωG . Часто відмінністю між прямим і зворотним ПФ нехтують, опускаючи π21 або записують обидва вирази у симетричній формі з множником π21 перед кожним інтегралом (1.6), (1.7). На нашу думку, більш змістовним є вираз, коли множник π21 присутній у виразі (1.7) при інтегру-ванні за частотою.

ПФ – це дослідження функції на наявність у ній гармонiчної складової, що має частоту ω , та визна-чення комплексної ваги цiєї складової (амплiтуди, початкової фази) у вибранiй системi координат.

Розглянемо плавну функцію з вiдмiнним вiд

нуля середнiм значенням ( ), побудуємо до-

буток )

)(tf

0 )( ≠∫∞

∞−

dttf

sin()( ttf ω i проiнтегруємо його на великому

10

проміжку ωπ=>>Δ 2Tt . Гармонічна функцiя tωsin , помножена на ) , перетворює останню у знако-змiнну, i тепер, якщо ) не мiстить гармонiки час-тоти , то усереднення цієї швидкозмінної функції за час

(tf(tf

ωTt >>Δ дорівнює 0, точніше, мізерній, дуже малій

величині, пропорційній оберненому часу tΔ . Якщо ж така гармонiка є (навiть змiщена на довiльну фазу ϕ , крiм 2 ), під iнтегралом серед iнших компонент одержуємо добуток типу

/π=ϕtb ωsin . )sin( ϕ+ωt , що дає

суттєво вiдмiнне вiд нуля значення інтегралу. Таким чином, iнтегруючи добуток функцій ) та (tf tωsin за великий проміжок часу, ми тим самим випробовуємо дослiджувану функцiю ) на наявнiсть у нiй гар-монiки частоти

(tfω . Щоб врахувати випадок 2π=ϕ ,

аналогiчне дослiдження необхiдно провести, викорис-товуючи функцiю tωcos . Образно кажучи, процедура перетворення Фур'є являється нiби "обмацуванням" функції з метою знаходження у нiй гармоніки частоти . Чим бiльший час взаємодії ) із

)(tfω (tf tωsin та

tωcos (чим бiльшi межi iнтегрування), тим точнiший результат. Тому можна вважати, що перетворення Фур'є має змiст знаходження кореляції (зв’язку, від-повідності) мiж дослiджуваною функцiєю ) i набором гармонiчних коливань типу )

(tfexp( tiω . Це не

суперечить визначенню кореляції як математичної операції (остання має більш широкий зміст, в ній пе-редбачається порівняння взаємно зміщених функцій). Вона розглядатиметься далі.

Змiнна t у функцiї ) має довiльний змiст: час, координата, кiлькiсть людей на земнiй кулi чи у мiстi, число реєстрацiї шлюбiв або розлучень, електричний струм чи освiтленiсть, а ) – залежнiсть деякої функцiї вiд цiєї величини у вiдповiдному просторi,

(tf

(tf

11

тобто, закон розвитку деякої iншої величини у залеж-ностi вiд t . Функцiя ) iнодi називається сигналом. (tf

У фiзичних задачах t – це в основному час або ко-ордината, тобто, розглядаються часовi або просторовi сигнали. Вiдповiдно, ω повинна бути часовою або просторовою частотою.

Перетворення Фур’є – це операцiя, яка переводить функцiї (сигнали) однiєї множини або класу (напри-клад, координат) у функцiї (спектри) iншої множини (наприклад, просторових частот). Таким чином, F̂ – це оператор, який може обслуговувати функцiї рiзного фізичного змiсту. Позначення змiнної величи-ни теж може бути довiльним ( ϕα,,,, Nxt i т.д.). Функцiя, кореляцiю з якою ми знаходимо у результатi ПФ, на-зивається ядром iнтегрального перетворення. В ньому є своя незалежна змінна, яка існує в іншому нескінченному просторі, в межах ± ∞. У даному випа-дку це частота ω , а ядром є комплексна гармонiчна функцiя виду )exp( tiω− . Зауважимо, що наявність від’ємних частот часто носить формальний характер, у випадку ж просторових частот їм можна надати пе-вного фізичного змісту. Завдяки комплексному ядру дійсним функціям реального простору відповідають спектральні функції, які існують у комплексній облас-ті, добувати реальну інформацію з них необхідно орієнтуючись на теорію функцій комплексної змінної.

Узагальнення перетворення Фур’є на функцію двох змінних. Оскільки у подальшому ми вивчатимемо зо-браження, що утворюється на площині, то функція

, яка його описує, залежить від двох координат. Перетворення Фур’є для такої функції має вигляд:

),( yxf

dxdyeyxfG yxiyx

yx ) ( ),( ),( ωωωω +−∞

∞−∫= . (1.10)

Зворотне перетворення Фур’є:

12

yxyxi

yx ddeGyxf yx ωωωωπ

= ω+ω∞

∞−

∞

∞−∫∫

)(2)2(

1 ),(),( , (1.11)

де ; xx πν=ω 2 yy πν=ω 2 ; yx νν , – просторові частоти. Тобто, це частоти, пов’язані не з часом, а з просто-ром; їхня розмірність [М–1], вони позначені відповідним індексом.

Обидвi функцiї, i )(tf )(ωG , однозначно зв’язанi че-рез ПФ, тому несуть абсолютно однакову iнформацiю про явище, яке вони описують. Однак, користуючись певним приймачем, отримувати цю iнформацiю зручнiше iз однiєї iз них. Наприклад, дивлячись на екран осцилографа (або спектроаналiзатора), вхiд якого пiдключено до радiомережi, практично немож-ливо визначити змiст передачi (на екранi зображається функція ) або )(tf (ωG ). Слухове сприй-няття тiєї ж передачi (iнформацiї) через гучномовець проходить без утруднень у повному об’ємi. В остан-ньому випадку реєструється сукупнiсть гармонiчних складових (тобто, спектр )(ωG функції ) ), бо вухо у нульовому наближенні можна вважати набором резо-наторiв, настроєних на певнi частотнi iнтервали у звуковiй областi, що і дозволяє реєструвати )

(tf

(ωG . У дійсності це значно складніший інструмент.

1.1. Властивості перетворення Фур’є Розглянемо деякі основні властивості ПФ, які вико-

ристовуються при оптичній обробці інформації та відновленні хвильового фронту. Вони матимуть ви-гляд математичних теорем. Докази подаються спрощено, для більш детального розгляду необхідно звернутися до спеціальної літератури.

Серед властивостей ПФ найперше слід виділити однозначність операцій перетворення Фур’є: кожній

13

функції однозначно відповідає її спектр – його амплі-тудна і фазова частини. І, навпаки, різним спектрам відповідають різні функції.

1.1.1. Теореми лінійності, симетрії, масштабів

та про зміщення Лінійність. Лінійній суперпозиції функцій від-

повідає лінійна суперпозиція їхніх образів )(tf i

)(ωiG . Нехай ; , де )()(ˆ

11 ω= GtfF )()(ˆ22 ω= GtfF ba, довільні

числа, тоді: )()())()((ˆ 2121 ω+ω=+ bGaGtbftafF . (1.12)

Ця властивiсть витiкає iз властивостi лiнiйностi операцiї інтегрування та додавання.

Симетрія. В областi додатніх частот спектру міс-титься вся iнформацiя про функцію, вiд'ємнi частоти не несуть ніякої додаткової, порівняно з областю до-датніх частот, інформації.

Нехай Розглянемо ПФ комплексно-спряженої функції За означенням маємо:

).()(ˆ ω= GtfF).(* tf

)(*)*)(()(*)(*ˆ )( ω−=== ω−−∞

∞−

ω−∞

∞−∫∫ GdtetfdtetftfF titi . (1.13)

Окремі випадки: • Якщо – дiйсна функцiя, тобто, )(tf )(*)( tftf = , то

)(*)( ω−=ω GG ; )()(* ω−=ω GG . (1.14) Це означає, що при вiдомiй спектральнiй густинi

у областi )(ωG 0>ω автоматично стає вiдома спект-ральна густина i у областi 0<ω :

)(*)( ω=ω− GG , (1.15) тобто, область вiд'ємних частот спектру не містить додаткової інформації про функцію, вся достатня iнформацiя є у областi додатніх частот.

14

• )(tf – чисто уявна функція: )()(* tftf −= , її спектр . Знайдемо )(ˆ)( tfFG =ω )(* ωG :

)()()(*)(* )()( ω−−=−==ω ω−−∞

∞−

ω−−∞

∞−∫∫ GdtetfdtetfG titi , (1.16)

тобто, )()(* ω−−=ω GG або )(*)( ω−=ω− GG ; )(*)( ω−−=ω GG . У цьому випадку спектр )(ωG у об-

ластi також повнiстю заданий значенням 0<ω )(ωG у областi частот 0>ω . • )(tΦ – комплексна функція: )()()( 21 tiftft +=Φ , де та – дійсні функції, а

)(1 tf)(2 tf )(1 ωG , )(2 ωG – фур’є-образи

функцій та відповідно, тоді (згідно (1.12)) )(1 tf )(2 tf)()()((t)ˆ

21 ω+ω=ω=Φ GGGF . (1.17) У області : 0<ω

)()()( *2

*1 ω−ω=ω− GGG . (1.18)

У формулах (1.15), (1.18) частота ω додатнє число. Таким чином, у будь-якому випадку вiд'ємнi частоти не несуть додаткової iнформацiї про сигнал. Однак формальне введення їх надзвичайно корисне, оскiльки дозволяє використовувати довершений апа-рат комплексних функцiй.

Масштаб. Змiна масштабу плину часу (або те ж саме – швидкості розвитку сигналу) веде до змiни ма-сштабу спектру частот.

Нехай ) ; a – довiльне дійсне додатнє чис-ло. Тоді ПФ від функції

()(ˆ ω= GtfF( )f at± :

)()(ˆ ||1

aa Gat fF ±ω=± . (1.19)

Таким чином, зміна часового масштабу автома-тично змінює амплітуди спектру частот; значення самих частот теж змінюються.

Наприклад, якщо iмпульс став коротшим, можна вважати, що для нього час протiкає швидше ( att =' ),

15

при цьому вiн займає бiльшу смугу частот ' ;aω → ω ⇒ . Якщо час тече швидше (функцiя стискується

вздовж осi часу) – стискується iмпульс, а його спектр стає ширшим – збагачується високими частотами.

' aω = ω

Якщо аргументом функції є координати простору , то ця теорема показує, що розширення функції у

просторовій області веде до звуження її фур’є-образу (у області просторових частот) і до загального змен-шення амплітуд нового спектру:

yx,

)(),(ˆ yx ωω1baab ,GbyaxfF = . (1.20)

Тут ) – спектр просторових частот (спектр Фур’є) від функції координат простору :

ω,ω( yxG),( yxf

dxdyeyxfG yxiyx

yx )( ),()ω,ω( ω+ω−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫= ;

yx ω,ω – просторові частоти, ,ba – довільні сталі, у за-гальному випадку можуть бути комплексними.

Зміщення. Пряма теорема про зміщення розглядає випадок зміщення функцiї у власному координатно-му просторі. Нехай ). Перемiстимо початок вiдлiку часу на . Тоді ПФ від

()(ˆ ω= GtfF

0t )( 0ttf + буде

00 )( )(

)()(ˆ

)(

00

titi

ti

eGdef

dtet+tfttfF

ω−ξω−∞

∞−

ω−∞

∞−

ω=ξξ=

==+

∫

∫. (1.21)

Закон розподiлу густини амплiтуд спектру не змiнився, але фаза коливань на довiльнiй частотi ω виявилась змiщеною на величину 0tω .

Якщо аргументом функції є координати простору, то зміщення функції у просторовій області викликає лінійний фазовий зсув у області просторових частот:

16

.),(

),(

),(ˆ

)(

)(00

00

00

yxiyx

yxi

yx

yx

eG

dxdyeyyxxf

yyxxfF

ω+ω

∞

∞−

ω+ω−∞

∞−

ωω=

=++=

=++

∫ ∫ (1.22)

Обернена теорема стосується зміщення спектру на частотній осі. Перемiстимо його на величину 0ω :

}. )({ˆ )(

)()(

00

0

ωωω

)ωω(0

tititi

ti

etfFdteetf

dtetfG

==

==ω−ω

−∞

∞−

−−∞

∞−

∫

∫ (1.23)

Це означає, що змiщення образу на величину 0ω еквiвалентно модуляцiї функцiї гармонічним тоном частоти . Наприклад, у радіомовленні 0ω 0ω значно бiльша за частоти спектру функцiї ) , процес нази-вають модуляцiєю несучої частоти

(tf

0ω сигналом . )(tfБудь-яка модуляцiя супроводується змiнами спект-

ру сигналу. У радiомовленнi перенесення спектру (мови, музики) дозволяє одночасно працювати бага-тьом радiостанцiям без взаємних перешкод (на різних несучих частотах). Якби не було можливості перене-сення спектру (гіпотетичне припущення), то всi вони були б вимушені працювати у області 0 – 10 кГц i за-важали б одна однiй (як і люди, що розмовляють одночасно у однiй кiмнатi), бо було б неможливо роздiлити їх саме за частотною ознакою (хоча за про-сторовою можна було б). Низькочастотний спектр дiйсного сигналу знаходиться у областi додатнiх i вiд'ємних частот. На рис. 1 (а-г) показано два прикла-ди застосування балансної амплітудної модуляцiї низькочастотних сигналiв i рiзними несу-чими частотами

)(1 tf )(2 tf

1ω i 2ω : а i в – первинний 17

спектральний склад дiйсних сигналiв (перед моду-ляцiєю) б, г – результат модуляцiї. Якщо приймаючий пристрiй має смугу пропускання )(ωτ у областi 2ω , як показано на рис. 1 д, iз спiльного каналу зв'язку (iз радiоефiру, наприклад) буде прийнята iнформацiя, яка мiститься у сигналi (г). Перемноживши останній з монохроматичним тоном частоти 2ω (який потрібно спеціально для того створити у приймачі), знову отримуємо комбінаційні частоти, тобто, спектр пер-винного сигналу )(1 ωG .

Форма запису (1.23) вiдповiдає баланснiй модуляції функцiї ) монохроматичним тоном (або навпаки, оскільки обидві функції добутку рівноправні). При цьому у результуючому сигналі з’являються комбіна-ційні частоти і повнісню зникають первинні частоти. Балансна модуляцiя (із придушенням несучої, а іноді – і однієї із бокових смуг) – один iз спецiальних видiв модуляцiї, (технiчно – не самий простий), що дозволяє економно (у енергетичному і частотному сенсі) пере-давати iнформацiю. У радiомовленнi отримали поши-рення амплiтудна i частотна модуляцiя, менш вигiднi енергетично, проте вони не вимагають складних при-строїв для реалiзацiї. Якщо до сигналiв ) засто-сувати, наприклад, амплiтудну модуляцiю, результат має дещо iнший вигляд (рис. 1 е). Проте висновок про зміщення спектру залишається справедливим.

(tf

(tf

Iсторично першою була придумана модуляцiя ви-сокочастотних коливань сигналом, а пізніше стало зрозумiло, що це означає. Така ж ситуацiя склалась i у оптицi: давно було помiчено, що лiнза збирає парале-льний пучок свiтла у пляму дуже малих ("точкових") розмiрiв, i лише недавно стало ясно, що таке уявлен-ня надто спрощене i не зовсім вiдповiдає дiйсностi. Насправдi, у фокальнiй площинi лінзи знаходиться фур'є-спектр просторових частот свiтлового сигна-

18

лу, що поступає на лiнзу. Якщо хвиля плоска чи сфе-рична, то цей спектр має вигляд cпотвореної (через дифрагмування) δ-функцiї i може сприйматися як зо-браження точки.

)(ωG

ω0

б

)(ωG

ω0

г

ω

)(ωτ

0

д

ω

)(ωG

2ω 0

е

)(ω2G

ω2ω

в

0

ω1ωа

)(1 ωG

0

Рис. 1.1. Приклади застосування балансної модуляцiї низькочастотних сигналiв рiзними несучими частотами ω1 i ω2: а, в – спектральний склад дiйсних сигналiв перед модуляцiєю; б, г – результат модуляції; д – смуга пропу-скання τ(ω) каналу зв'язку в областi ω2, е – спектр частот

при амплітудній модуляції.

19

1.1.2. Теорема Релея Скалярний добуток функцiй iз скалярним добутком

їхнiх спектральних густин пов'язує формула Релея:

)()(21)()( 2121 ωωπ

= GGtftf . (1.24)

Дійсно,

=ωωπ

== ω∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−∫∫∫ dttfdeGdttftftftf ti )()(

21)()()()( 212

*121 *)(

.)()(21)()(

21

)()(21

212*1

2*1

ωωπ

=ωωωπ

=

=ωωπ

=

∫

∫∫∞

∞−

ω−∞

∞−

∞

∞−

GGdGG

dtetfdG ti

У випадку, якщо функції рівні між собою, , формула Релея має вигляд: )()()( 21 tftftf ==

ωω= ∫∫∞

∞−π

∞

∞−

dGdttf 2212 |||| )()( , (1.25а)

що відомо у літературі як формула Парсеваля. Якщо функція залежить від двох просторових ко-

ординат, причому ),(),(),( 21 yxfyxfyxf == , то формула Парсеваля має вигляд:

yxyx ddGdxdyyxf ωωωω= ∫ ∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−π

∞

∞−

∞

∞−

2412 |||| ),(),( 2 . (1.25б)

Ця рівність отримується шляхом послідовних пере-творень, а саме:

2 *( , ) ( , ) ( , ) | |f x y dxdy f x y f x y dxdy∞ ∞ ∞ ∞

−∞ −∞ −∞ −∞

= =∫ ∫ ∫ ∫

( ω ' ω' )

21 ( ' , ' ) ' '

4{ }

i x yx yx y x ydxdy G e d d

∞ ∞ ∞ ∞ +

−∞ −∞ −∞ −∞

= ω ωπ∫ ∫ ∫ ∫ ω ω ×

20

( ω' ' ω'' )*2

1 ( '' , '' ) '' ''4

{ }i x yx y

x y x yG e d d∞ ∞ − +

−∞ −∞

× ω ω ωπ ∫ ∫ ω =

×ωωωωπ

=×

×ωωωωπ

ωωωωπ

=

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

+

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

yxyxyyyxxxi

yxyxyxyx

ddGdxdy--

e

ddGddG

'')','(41

'''')'',''(41'')','(

41

2

))'ω''(ω )'ω''(ω (

*22

=ωωδωω× ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−yxyyxxyx dd--G '''')'ω' ω','ω' 'ω( )'',''(*

=ωωωωωωπ= ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−yxyxyx ddGG '')','()','(4

*12

.'')','(421 ||2 yxyx ddG ωωωωπ= ∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−

Тут – просторові частоти, – спект-ральна густина енергії.

yx ωω , 2|| ),( yxG ωω

Фактично це закон збереження енергії, оскільки, якщо ) – амплітуда електромагнітної хвилі, то

– величина, пропорційна енергії. Рівність Парсеваля означає, що енергію можна обчислити двома способами: знаходимо енергію, яка припадає 1) на інтервал простору, і інтегруємо по всьому простору;

,( yxf2|),(| yxf

2) знаходимо енергію, яка припадає на інтервал час-тот, і інтегруємо за всіма частотами.

1.1.3. Теорема про функцію взаємної кореляції За визначенням функція взаємної кореляції дорівнює

dttftfΓ )( )()( 2-

*112 τ+=τ ∫

∞

∞

. (1.26)

21

Функцiя взаємної кореляцiї (інша назва – функція крос-кореляції) – мiра зв'язку двох сигналiв у рiзнi мо-менти часу (можна розглядати також варіант з різними точками простору).

Знайдемо зв’язок між функцією взаємної кореляції і спектром кожного із сигналів. Нехай ПФ від обох функцій існує: ; . За теорема-ми симетрії та зміщення маємо

)()(ˆ11 ω= GtfF )()(ˆ

22 ω= GtfF

. )( )( )(

)( )( )()(

2*1

-21

2

- -

*12

12

-

*112

ωωωπ=τ+×

×ωωπ=τ+=τ

ωτ∞

∞

∞

∞

∞

∞

ω−∞

∞

∫

∫ ∫∫

deGGdttf

deGdttftfΓ

i

ti

(1.27)

Цей вираз отримується за допомогою формули Ре-лея iз врахуванням теореми зміщення. Отже, добуток

є фур'є-образом функцiї )( )( 2*1 ωω GG )(12 τГ . Функцiя взаємної кореляцiї вiдiграє суттєву роль у

різних роздiлах фiзики i математики, зокрема, у те-орiї випадкових процесiв, у теорiї фур'є-спектроскопiї - iнтерферограма у iнтерферометрi Майкельсона з ру-хомим дзеркалом зримо представляє функцiю автокореляцiї. Детальніше про цю функцію ми пого-воримо у розділі «Когерентність світла».

Якщо та одна і та ж функція (у різні мо-менти часу), то вираз

)(1 tf )(2 tf

dttftfΓ )( )()( 1-

*111 τ+=τ ∫

∞

∞

(1.28)

називається функцією автокореляції. Це – мiра зв'язку одного і того ж сигналу у рiзнi моменти часу (з самим собою).

Фур'є-образ функцiї автокореляцiї – добуток , що за формою є потужнiстю спектраль-)()( *

11 ωωGG

22

ної густини. Тому автокореляцiя i потужнiсть спектру сигналу пов'язанi парою перетвoрень Фур'є:

,|)(|)( 221

11 ωωπ=τ ωτ∞

∞−∫ deGΓ i (1.29)

. )()( 112|| ττ=ω ωτ−

∞

∞−∫ deΓG i (1.30)

Це твердження вiдоме у лiтературi як теорема Вiнера-Хiнчина.

1.1.4. Теореми згортки Поняття згортки має важливе значення для розу-

міння наступних розділів книги. За визначенням згортка отримується із двох функцій та

за допомогою інтегральної операції )(τS )(1 tf

)(2 tf

.)()()()()( **2121 )( dttftfdttftfS −τ=−τ=τ ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

(1.31)

де t – незалежна (біжуча) змінна, τ – це ряд послідо-вних значень зсуву функції відносно . Заради компактності згортку ще позначають:

)(2 tf )(1 tf

21 ff ⊗ . Згортка комутативна: 1221 ffff ⊗=⊗ .

Інтеграл згортки функцій двох незалежних змінних можна записати у вигляді: yx ,

.),(),(),( 21∫∫∞

∞−

∞

∞−

ηξη−ξ−ηξ= ddyxffyxS (1.32)

Фiзичний змiст згортки легко зрозумiти на при-кладi роботи будь-якого оптичного приладу. Розподiл енергiї на виходi спектрографа (монохроматора) є згорткою двох функцiй: дiйсного розподiлу енергiї у спектрi i апаратної функцiї приладу

)( 1ωJ

)(ωI )(ωQ (рис. 1.2). У тому мiсцi спектрограми, де повинна

23

)( 1ωJ

ω1

1ω ω

)(ωI

Q (ω1 – ω)

Рис. 1.2. Розподiл енергiї J(ω1) на виходi спектрографа

(монохроматора) є згорткою двох функцiй: дiйсного розподiлу енергiї у спектрi I (ω) i

апаратної функцiї приладу Q(ω1– ω).

спостерiгатися реакцiя )( 1ωJ , що вiдповiдає частотi (вiдгук на частотi 1ω 1ω ), прилад у дiйсностi додає

енергiю ωΔω)(I вiд усіх сусiднiх спектральних дiлянок із ваговим множником ωΔ )( 1 ω−ωQ :

ωω−ωω→ωΔω−ωω=ω ∫∑∞

∞−ωdQIQIJ )()()()()( 111 . (1.33)

Аналогiчний розгляд можна провести i для мiкроскопа, телескопа, будь-якої лінії передачі інфо-рмації, осцилографа, космiчного простору, телевiзiйного приймача, сприймання людиною інфо-рмації, i т.д. Результатом проходження сигналу через будь-який реєструючий прилад є згортка функцiї вхідного сигналу i апаратної функцiї приладу. Iншi назви згортки: згорнутий добуток, складений добуток, причому, )( 1 ω−ωQ називається згладжую-чою функцiєю (розмиттям), функцiєю розсiяння лiнiї (точки). Апаратна функція виникає, наприклад, вна-

24

Рис. 1.3. Приклад впливу апаратної функції на вигляд спектру. Широка апаратна функція (верхній графік), найвужча – нижній графік, на ньому добре розріз-няються окремі лінії спектру. По осі абсцис – номер каналу, по осі ординат – кількість відліків у каналі.

слідок дифракції світла на оправі лінзи, скінченого розміру щілини, спектральної чутливості ФЕП.

Як приклад впливу ширини апаратної функції, на рис. 1.3 представлено запис спектру гамма-випромінювання радію (циферблат годинника з лю-мінесціюючими цифрами) разом з його дочірнім рядом елементів при різній роздільній здатності дете-ктора реєструючого спектроаналізатора. Роздільна здатність змінювалась штучно розширенням канала реєстрації, що зумовило зміщення спектрів по верти-калі. Аналогічним буде вплив ширини щілини на родільну здатність монохроматора при запису оптич-ного лінійчатого спектру випромінювання.

Фур'є-образ згортки дорівнює добутку фур'є-образів двох функцій. Дійсно,

25

).( )( )()( )( )(

)( )( )( )(

)( )(ˆ}{ˆ)(

21 ω

12 ω

21

2ωτ

121ωτ

2121

}{

}{}{

}{

ωω=ω=ω

=τ−τ=τ−τ=

=−τ=⊗=ω

−∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

−∞

∞−

∞

∞−

−

∞

∞−

∫∫

∫ ∫∫∫

∫

GGdtetfGdteGtf

dtdtfetfddttftfe

dttftfFffFG

titi

ii

(1.34) Фур'є-образ добутку двох функцiй дорівнює згортці

фур'є-образів цих функцій.

.21)( )(

21

)(21)(

)(21 )(

)()()(

1221

)ω(12

2 ω

1

ω21

}{

}{

GGdGG

ddtetfG

dtdeGetf

dtetftfG

ti

titi

ti

⊗π

=ΩΩΩ−ωπ

=

=Ωπ

Ω=

=ΩΩπ

=

==ω

∫

∫∫

∫∫

∫

∞

∞−

Ω−−∞

∞−

∞

∞−

Ω∞

∞−

−∞

∞−

−∞

∞−

(1.35)

Операторний метод дозволяє отримати той же ре-зультат швидше. Оскiльки згортка )(21 τ=⊗ Sff , то оператор ПФ формально може дiяти лише на залежну вiд функцiю. Застосовуючи теорему про змiщення, можемо записати:

τ

).()()()(

)(ˆ)())()(ˆ)(ˆ

2121

2121 )(()(

ωω=ω=

=−τ=−τ=τ

ω−∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∫

∫∫

GGdteGtf

dttfFtfdttftfFSF

ti

(1.36)

Отже, знаючи спектри )(1 ωG та )(2 ωG сигналів, мо-жна обчислювати як згортки, так i кореляції.

26

Слiд звернути увагу на напрям розвитку часу у ін-тегралах згортки і кореляції, на відмінність між функціями i . ))((ˆ

12 τГF )( )(ˆ τSF 1.1.5. Диференціал функції Вважаємо, що для функції ) існують похідні n

порядку. Виконаємо n раз диференціювання обох сторін рівності (1.7)

(tf

}{ )()(ˆ )()(21)( 1 ω ωω=ωωωπ

= −∞

∞−∫ GiFdeGi

dttfd ntin

n

n

. (1.37)

Застосуємо до (1.37) пряме перетворення ПФ:

)()())()(ˆ(ˆ

) )()(21(ˆ)(ˆ

}{1

ω

ωω=ωω=

=ωωωπ

=

−

∞

∞−∫

GiGiFF

deGiFdt

tfdF

nn

tinn

n

. (1.38)

Таким чином, ПФ від n-похідної функції є добутком спектру цієї функції та множника . ni )( ω

Аналогічний результат можна отримати для похідної спектру.

1.2. Приклади застосування перетворень Фур’є 1.2.1. Розв’язування фізичних задач

з використанням теореми Парсеваля Нехай )()( 21 tftf = – струм через опiр R . Енергія,

яка виділяється, дорівнює

ωω= ∫∫∞

∞−π

∞

∞−

RdGRdttf 2212

1 |||| )()( , (1.39)

де – миттєва потужнiсть. Тобто, для знахо-дження енергiї можна інтегрувати вклади потужнос-тей за часом, а можна – за усіма частотами

21 || )(tfR

27

і (t)

t a

R C U

0

0 ω

Re G(ω)

Im G(ω)

G2(ω)

б Рис. 1.4. Розряд ємності через опір (а) та

нормовані спектри цього процесу (б).

інтегрувати спектр густини енергії. Це дозволяє вирiшувати вiдомi задачi нетрадицiйним способом.

Розряд зарядженої до потенцiала U ємностi С через резистор R починається у момент 0=t і відбувається за законом

0 ,)( ≥==−

tetfi RCt

RU , (1.40)

при цьому видiляється тепло у кiлькостi

∫∞

==0

22 2

)( CUdttfRW . (1.41)

Спектр функцiї )(tf

11

0

)( )( )( −ω∞

+ω==ω ∫ RCRUt-i idtetfG , (1.42)

це відома функція Лоренца (рис. 1.4). Виділене тепло (енергія) визначається формулою (1.39):

.2

)()(2

11-

22 ))((2

2

CUdii

GGWRCRC

RU

RR =ωω−ω+π=ωωπ= ∫

∞

∞

(1.43)

Як бачимо, результати розрахунку обома способа-ми співпадають. Звертаємо увагу на те, що спектр

28

t

f(t) Т

Рис. 1.5. Приклад довільної періодичної функції;

Т – період.

)(ωG , квадрат модуля спектра існують у об-ласті як додатніх, так і від’ємних частот.

2|)(| ωG

1.2.2. Приклади спектрів деяких функцій. Ряд Котельникова. Теорема Фур’є (1.5) стверджує,

що будь-яку періодичну функцію ) (рис. 1.5) мож-на представити рядом:

(tf

timm

meAtf Ω

∞

−∞=∑π

=21)( , (1.44)

де m – номер члена суми, Tπ=Ω 2 , Т – період функції , – ваговий коефіцієнт відповідної )(tf mA -m ої гар-

моніки, π21 – формальний множник. Помножимо почленно (1.44) зліва і справа на

і проінтегруємо за період: )exp( tiω

2) (sinc 2) (

2) sin(

2)(2)2) (exp()2) (exp(

21

21 )( )(

2

2

2

2

TmATm

TmA

TTmi

TmiTmiA

dteAdtetf

m

m

m

m

mm

tmiT

Tmm

tiT

T

ω−ΩΩ

=ω−Ω

ω−ΩΩ

=

=ω−Ω

ω−Ω−−ω−Ωπ

=

=π

=

∑∑

∑

∫∑∫

∞

−∞=

∞

−∞=

∞

−∞=

ω−Ω

−

∞

−∞=

ω−

−(1.45)

29

Функція ϕϕ=ϕ )sin()(sinc називається функцією відліків, а ряд, який складається із цих функцій –рядом Котельникова.

Накладемо обмеження на частоти ω : нехай Ω=ω N , N – ціле число. Тоді:

dtetfT

A tmiT

T

m )(12

2

2 Ω−

−∫=

π (1.46)

Як витікає із (1.46), π2mA може бути числом компле-

ксним: mm iAm eA ϕ

π=π 2||2 , тому при аналізі слід

розглядати амплітудний і фазовий спектри окремо. У літературі зустрічаються і інші форми позначення амплітуд розкладання: '2 mm AA →π , або π→ 2''

mA і т. д. У межах одного викладу слід користуватися од-ним певним формалізмом.

Повернемось до рівності (1.45). Вона означає, що якщо функцію )(ωG можна подати як інтеграл

dtetfG tiT

T

2

2 )()( ω−

−∫=ω (1.47)

(такі властивості мають всі функції, що описують ре-альні періодичні процеси), то її можна представити рядом Котельникова

)) (sinc(2)( π−π

=ω Ωω

∞

−∞=∑ mA

TG

mm . (1.48)

Тут враховано, що Tπ=Ω 2 , коефіцієнти у (1.48) ті ж, що і у (1.44) та (1.46). Отриманий результат мо-жна сформулювати так: якщо функція може бути розкладена у ряд Фур’є з коефіцієнтами , то її спектр представляється рядом Котельникова з тими ж ваговими коефіцієнтами.

mA

)(tf

mA

30

sinc(ϕ)

0 ϕ

2π -2π 4π -4π 6π

0,5

1,0

Рис. 1.6. Вид функції sinc ϕ.

ω

)(ωG

А

Рис. 1.7. Приклад представ-лення функції )(ωG рядом Котельникова (схематично).

З іншого боку, якщо функції ряду Котельникова можуть бути використаними для представлення «гар-ної» періодичної функції ) , то вони ортогональні (tf

. ,0, ,1

sincsinc∫∞

∞− ⎩⎨⎧

≠=

=τϕϕnmnm

dnm (1.49)

На рис. 1.6 показано вид функції sinc ϕ, а на рис. 1.7 – приклад представлення функції )(ωG рядом Котельникова. Члени ряду зображені фрагментарно. Звернемо увагу, що огинаюча крива A не є сама )(ωG , а лише пропорційна до неї функція. Цей приклад по-казає, що гармонічний базис не є єдино можливим для представлення функції.

Імпульсна функція. Теорему Фур’є можна розши-рити на випадок імпульсної функції. Нехай функція

неперіодична, обмежена і існує у межах , то, як видно із (1.46), при

)(tf][ ∞<<−∞ t ∞→T отриму-

ємо 02 →πmA . Розглянемо границю:

) ( )(lim Ω≡=Ω

Ω−∞

∞−∞→

∫ mGdtetfA tim

T

m . (1.50)

31

За формою )( ΩmG – функція частоти Ωm , вона на-зивається спектральною густиною амплітуд.

Початкове рівняння (1.44) можна представити:

ΩΩπ

= Ω∞

−∞=∑

21)( tmi

m

m eAtf (1.51)

Оскільки Ω – найнижча частота у спектрі сигналу, то ω→Ω d при Т → ∞, бо Ω не тільки мале число, але і найменший інтервал у ряду частот між 0 і Ω. Таким чином, спрямовуючи Т → ∞, робимо заміни ω→Ω d (мале число), ω→Ωk – (велике число), ∫∑ → , тобто

ωωπ

=ΩΩπ

= ω∞

∞−

Ω∞

−∞=∞→ ∫∑ deGetf titim

mT )(

21 A

21lim)( m (1.52)

із врахуванням визначення (1.50). Гармонічний сигнал, обмежений у часі. Нехай гар-

монiчний сигнал спостерiгається обмежений час

tietf 0 )( ω=τ (рис. 1.8а ), тобто:

⎪⎩

⎪⎨⎧

τ>τ≤=

ω

.2 |t| ,0,2 |t| ,)(

0 tietf (1.53)

Визначимо спектр такого сигналу. Згiдно (1.6):

2/)()2/)sin((

)(0

0)(2/

2/

0

τω−ωτω−ω

τ==ω ω−ωτ

τ−∫ dteG ti . (1.54)

Спектр )(ωG існує у області частот [ ∞+∞− , ]. Нулi у спектрi знаходяться iз умови )(ωG π=τω−ω mm 2/)( 0 ,

ω

)(ωG

1ω

2ω0ω0

- 1ωб

t

t ie Re 0ω

τ

а

Рис. 1.8. Гармонічний сигнал, що існує протягом об-меженого часу (а); спектр цього сигналу (б).

32

m = ±1, ±2, ±3... Енергія сигналу (рис. 1.8б) в основно-му зосереджена у області m = ±1, τπ±ω /2( 0 ). При збільшенні τ спектр звужується, однак це все ж не монохроматичний сигнал. Коли ∞→τ , спектральна густина ) у центрі лінії різко зростає, тобто, лінія стає більш монохроматичною. При

(ωG0→τ – зворотня

картина. Наприклад, уже при ωπ==τ 2T маємо , тобто, спектр надзвичайно розширений. 0ω=ωΔ

Спектр затухаючого коливання. Визначимо спектр затухаючого коливання виду

⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥=

ωγ−

. 0 ,0, 0 , )(

0

tteeAtf

tit (1.55)

Тут A – амплітуда коливання, γ – стала затухання. Згiдно формули (1.6)

γ+ω−ω==ω ω−ωγ−

∞

∫ )()(

0

)(

0

0

iAdteeAG tit , (1.56)

)(ωG – це середня амплiтуда коливань, що припадає на одиничний iнтервал частот у областi ω . Густина енергії у одиничному iнтервалi частот пропорцiйна величині : 2|)(| ωG

))(()(*)( 220

2 γ+ω−ω=ωω AGG . (1.57) Це вiдома функцiя Лоренца (рис. 1.9).

Таким чином, квазiмонохроматичне затухаюче коливання у дiйсностi має (у всякому випадку тео-ретично) увесь спектр частот в межах ± ∞, хоча на область частот поблизу 0ω припадає найбiльша доля енергiї коливання.

Iз прикладiв випливає, що виявити абсолютно монохроматичне коливання у чистому виглядi не-можливо, оскiльки будь-яке коливання є обмеженим у часi або при генерацiї, або при реєстрацiї. Бiльше то-го, не може бути нiяких експериментальних доказiв

33

iснування таких коливань, адже будь-яка реєстрацiя передбачає вiдокремлення хоча б малої частини енергiї для цiлей реєстрацiї, тобто, змiну амплiтуди дослiджуваних коливань. Тим самим абсолютна мо-нохроматичнiсть повинна зруйнуватися. Словом, якщо такi коливаня i iснують, то їхня взаємодiя з експериментальною установкою принципово немож-лива без порушення монохроматичностi: дізнавшись, що це було, ми, тим самим, його знищили. Це ще один із проявів нерівності Гайзенберга (Werner Karl Heisenberg, 1901-1976), яка пронизує всю фізику.

ω

2|)(ωG|

2γ .

0ω

Рис. 1.9. Спектр затухаючого коливання –

функцiя Лоренца.

)(ωG

×10

ω0

Рис. 1.10. Спектр функції типу «прямокутне вікно»

Одновимiрне вiкно" – прямокутний отвір – у прос-торi лiнiйної координати x задається функцією:

⎩⎨⎧

>>−≤≤−

=.

, ,0,1

)(rect

axaaxa

x (1.58)

Його спектр – функція )( xG ω ; xω – просторова частота:

)sinc( 22 1)( )sin(ωxa

axia

ax aaadxeG

x

xx ω==⋅=ω ωω−

−∫ . (1.59)

"Вiкно" еквiвалентне нескiнченнiй кiлькостi косину-соїдальних амплiтудних граток з пропусканням, яке залежить вiд частоти (рис. 1.10). Хоча уявити, що

34

означає від’ємне пропускання в області від’ємних просторових частот – досить проблематично – мабуть, не варто і намагатися, задовольнившись тим, що прояв фізичної реальності (наприклад, дифракція світла на щілині) цілком співпадає з математичним передбаченням. Зрештою, математичний опис явищ мікровіту не залишає ніяких шансів на подібне спів-ставлення мікроповедінки з нашим реальним побутовим макросвітом.

Функцiя ) може мати будь-який фiзичний змiст. Наприклад, розряд блискавки триває приблизно 0,1 – 1 мкс, його спектр зосереджений в основному у дiапазонi 105 - 107 Гц, однак i у областi 0,01- 50 МГц внаслiдок величезної потужностi розряду є ще помiт-на енергiя, яка легко реєструється приймачами, роз-ташованими на значнiй вiддалi від грози, незалежно вiд їхньої частотної настройки. До речі, радіоприймач А.С. Попова спочатку називався «грозоотметчик».

(xf

Якщо вiкно iснує у просторi координат, то воно еквiвалентне нескiнченнiй кiлькостi амплiтудних ко-синусоїдальних граток iз нескінченно великим набором просторових перiодiв ωπ= 2T . Тому диф-ракцiя свiтла на щiлинi повнiстю еквiвалентна дифракцiї на нескiнченнiй множинi гармонiчних ди-фракцiйних граток, для яких справедливий закон пропускання амплітуд ω=ω aaG sinc2)( .

Тривалiсть iмпульсу у режимi синхронiзацiї мод у деяких лазерiв може досягати величини 10–13 с. Якщо вважати спалах світла прямокутним у часі, то смуга частот, що вiдповiдає його спектру, складає

Гц, що у областi λ = 700 нм (рубiновий ла-зер) вiдповiдає

13102 ⋅=ωΔ≈λΔ 35 нм. Iз врахуванням бiльш

високих порядкiв функцiї вiдлікiв реальна ширина спектру частот, якi генеруються, повинна бути шир-шою в 10 – 20 разiв. Тому спектральна ширина

35

694,3

)(λI

λ, нм 692,9 Рис. 1.11. Спектр лазерного переходу

у рубiні (лінії R2, R 1 йону Cr+++ у Al2O3).

лазерного переходу повинна включати такi ж часто-ти. Звiдси випливає, що рубiновий ОКГ принципово невзмозi генерувати такi короткi iмпульси, бо сумар-на ширина i лiнiй емісії (лазерного переходу), на яких можлива генерацiя, для рубiну становить всього 2,5 нм (рис. 1.11) при кiмнатнiй температурi. Для генерацiї таких коротких iмпульсiв потрiбно ви-користовувати речовини з бiльш широкосмуговим лазерним переходом (наприклад, неодимове скло ( 40 нм), розчин барвникiв (

1R 2R

≈λΔ ≈λΔ 100 нм) i т.д.). Представлення тригонометричними функцiями є

одним iз способiв розкладу. Воно набуло широкого розповсюдження внаслідок простоти i наочностi, а також завдяки виключно корисним результатам при розв’язуванні задач. Часто воно є незамiнним при аналiзi одномiрних функцiй (у оптицi – всi задачi з прямокутними екранами i дiафрагмами). Практично вибiр базисних функцiй визначається вимогою шви-дкої збіжності ряду, який використовується.

Навіть елементарний розгляд перетворення Фур’є, наведений вище, дає дослідникам універсальний за-сіб для аналізу різноманітних задач фізичної оптики, теорії дифракції, інтерферометрії, а у багатьох випа-дках дозволяє швидко знаходити вирішення цілого ряду задач, що раніше потребували спеціально розро-блених і досить громіздких методів.

36

2. Формалізм Фур’є і відомі оптичні явища

Оскільки довільну “гарну” функцію можна пред-ставити гармонічним рядом, виявляється можливим розглядати довільну функцію координат (наприклад, зображення предмета є розподіл інтенсивності світла у деякій площині) як сукупність гармонічних функцій просторових частот. Якщо функція, яка розглядаєть-ся, є періодичною, то всі частоти у наборі (сукупності) гармонічних функцій, який представляє дану функ-цію, будуть дискретними i кратними найнижчій. Якщо ж функція неперіодична – вона також предста-вляється сумою гармонічних коливань, однак частоти цих коливань знаходяться у деякій неперервній обла-сті значень просторових частот.

Відомо, що плоскі голограми відновлюють, як правило, одночасно два зображення, дійсне та уявне. В основі цього лежить одне елементарне явище – взаємодія монохроматичної хвилі з плоскою синусоїдальною граткою (решіткою).

2.1. Дифракція на гратцi з модульованим

поглинанням Гратка з модульованим поглинанням. Задамо у

координатах ) плоску гратку наступним чином: вздовж осі

,( yxx товщина d поглинального шару гратки

змінюється за законом )2cos1()( 2

0Txdxd π−= , (1.60)

тут – максимальна товщина, Т – просторовий пері-од, вздовж осі , при заданому значенні

0dy x , товщина

є сталою і визначається формулою (1.60). Це, по суті, одномірна гармонічна структура довжини , прозо-рість якої τ не залежить від координати . На

0xy

37

dUϕ

ϕ

T

U0 sin(ωt)

0 x0

d

dx

ϕ

x+dx

x x

Рис. 1.12. Ослаблення амплітуди плоскої хвилі,

що падає на одномірну гратку, яка має довжину x0, товщину d(x).

рис. 1.12 хвилястою лінією показана функція послаб-лення амплітуди плоскої хвилі, що падає на таку гратку. Інтенсивність світла яке пройшло крізь пластинку, визначається законом Бугера (Pierre Bouguer, 1698 —1758):

),(xI

)(0)( xdeIxI α−= , (1.61)

де – інтенсивність падаючого світла, однакова по всій площі гратки, α – коефiцiєнт поглинання,

0I)(xdα –

оптична густина середовища у даній точці x . Оскіль-ки коефiцiєнт поглинання та товщина гратки входять у формулу (1.61) як добуток, то перiодичнiсть можна приписати не товщині, а коефiцiєнту поглинання. Також можна створити фазову гратку – про-модулювати показник заломлення пластинки, змінюючи оптичний шлях світла у її середовищі, – суть справи від цього не змінюється. Отже, для отримання гармонічної гратки слід промодулю-вати оптичну густину середовища , за законом (1.60), неважливо яким способом.

optD

Розглянемо випадок дуже слабкої модуляції оптич-ної густини: вважаємо, що

38

1<<αd , . (1.62) de d α−≈α− 1У цьому випадку у точці з координатою x ампліту-

да світлової хвилі ), яка пройшла крізь гратку: (xU

))2cos1(1)((

)2)(1)(()()(

0

02)(

0

TxDxU

xdxUexUxU xd

π−−=

=α−≈= α−

, (1.63)

де позначено – напруженість поля падаючої хвилі;

)(0 xU40dD α= . Надалі врахуємо, що плоска хвиля

має частоту ω tUU ω⇒ sin00 , а гратка вздовж осі x існує у межах . ],0[ 0x

Класичний підхід. За принципом Гюйгенса-Френеля (Christiaan Huygens,1629 - 1695; Augustin Jean Fresnel, 1788 - 1827) у напрямку, що становить кут із напрямком поширення хвилі, з елемента у області

ϕ dxx буде поширюватися елементарне збу-

дження, тобто, хвиля з амплітудою: dxtTxDUdU )sin())2cos1(1(0 Δ−ωπ−−=ϕ . (1.64)

Вважаємо, що при проходженні вказаної амплітудної гратки відставання фази Δ визначається лише гео-метричним фактором:

ϕ=Δ π sin2T

x . (1.65) Повне світлове збудження у напрямку ϕ (амплітуду

хвилі, що пройшла через гратку) визначаємо згідно принципу суперпозиції – додаємо амплітуди вторин-них хвиль, що їх створює падаюча хвиля:

+Δ−ω−== ∫∫ ϕϕ dxtDUdUUxx

)sin()1(00

00

0

[

=Δ−ω+ π∫ dxtD Tx

x

)sin(cos 2

0

0

39

],)1[(

cos)sin(

)sin()1(

2010

2

00

00

0

0

[

DIUIDU

dxxktDU

dxxktDU

Tx

x

x

x

x

+−=

=−ω+

+−ω−=

π∫

∫

(1.66)

де

ϕλπ= sin2 xk . (1.67)

Дослідимо, від яких величин залежать доданки та . Розглянемо

1I

2I

).sin(sin

)cos()sin(

22

20

01

01

0

0

0

00

xkxk

xk

xxkx

x

x

x

x

x

tx

xktdxxktI

−ω=

=−ω−=−ω= −∫ (1.68)

Як видно з (1.68), не містить iнформацiї про пері-одичність гратки, а лише про розмір вікна . Це озна-чає, що описує дифракцію на щiлинi (вiкнi) розміром

. Максимальна iнтенсивнiсть направлена вздовж на-прямку поширення падаючої хвилі,

1I

0x

1I

0x0=ϕ . Вторинні

(бокові) максимуми, зумовлені множником, дуже схо-жим на функцію ϕ sinc , щільно розташовані поблизу центрального і швидко втрачають інтенсивність.

Дослідимо другий інтеграл 2I0

22

0

sin( ) cos x

x TI t k x xπ dx= ω − =∫

0 0

2 2

0 0

1 1sin ( ) sin ( ) .2 2

( ) (x x

x xT Tt k x dx t k x dxπ π= ω − − + ω − +∫ ∫ ) (1.69)

40

Якщо використати заміну xTx kk ′→± π2 , то два остан-

ніх інтеграли зводяться до . Це означає, що описує дві хвилі, що мають такий же відносний роз-поділ амплітуд у просторі, як i , але рухаються у зміненому напрямку. Усі хвилі мають амплітудний множник типу

1I 2I

1I

ϕ=ϕϕ sincsin , однак поширення енергії

з максимальною густиною відбувається у напрямках, що залежать від періоду гратки і визначаються iз умови , тобто: 0=′xk

Tλ±=ϕ arcsinmax

2,1 . (1.70) Найбiльшi амплітуди падаючої i дифрагованої хви-

лі дорівнюють вiдповiдно

.

,)1(

021

),(

0)0(

21DUU

UDU

=

−=

ϕϕ=ϕ

=ϕ (1.71)

Таким чином, дифракцiйнa картина, яка утворю-ється плоскою хвилею, що пройшла гармонічну амплітудну гратку, складається із одного нульового i двох бокових максимумів (порядків) (рис. 1.13). Інших головних максимумів нема (у наближенні слабкої мо-дуляції 10 <<αd ). Якщо 10 ≈αd , необхідно враховувати наступні члени розкладу експоненти (1.62), тоді викладення втрачає наочність і висновок виявиться іншим.

Фур’є-підхід. Запишемо формулу (1.63) у дещо іншому вигляді:

))2cos1(1()0,,( 0 TxDUyxU π−−= , (1.72) Як і раніше, вважаємо, що вздовж осі x товщина

d визначається формулою (1.60), вздовж осі , при заданому значенні

yx , товщина є сталою. Гратка має

розміри 2a, 2b вздовж x , відповідно, розташована симетрично відносно точки

y0== yx .

41

0

(1–D) U0

(1/2)DU0

arcsin (λ ⁄T) –arcsin (λ ⁄T)

ϕ

Рис. 1.13. Дифракцiйнa картина поля від плоскої хвилі, яка пройшла гармонічну амплітудну гратку.

Застосуємо ПФ до розподілу поля у площині 0=z , заданого формулою (1.72). Тоді спектр:

==ωω ω+ω−+

−

+

−∫∫ dxdyeyxUG yxib

b

a

ayx

yx )( )0,,(),(

=−−= ω+ω−π+

−

+

−∫∫ dxdyeDU yxi

Tx

b

b

a

a

yx )(20 cos11 ))((

∫

∫∫

−

ω−π

−

ω−

−

ω−

=+

+−=

a

a

xiT

x

a

a

xib

b

yi

dxeD

dxeDdyeU

x

xy

cos

1

])(

)([

2

0

(1.73)

].)[(

] )sinc( )[sinc(

)sinc( 2 1)sinc( 222

0

aaaD

aaDbbU

TxTx

xy

ππ −ω++ω+

+ω−ω=

Як видно з отриманої формули: а) спектр поля (його можна назвати кутовим) міс-

тить три доданки, які відповідають трьом хвилям, які поширюватимуться після гратки;

б) доданок, що містить , відповідає диф-ракції на обмеженій структурі вздовж осі абсцис. Максимум інтенсивності відповідає поширенню сві-тла вздовж осі . Тобто, вздовж осі маємо нульовий порядок дифракції.

)sinc( axω

z z

42

в) доданки з aTx )sinc( 2π±ω відповідають ± першим порядкам дифракції. Максимуми інтенсивності цих хвиль спостерігаються під кутами, які визначаються з умови 02 =±ω π

Tx . Оскільки, за означенням, просто-

рова частота визначається рівністю xx k α=ω sin , то

Txk π=α 2sin m , звідки Txλ=α arcsinm . Цей результат

співпадає з (1.70), який отримано класичним шляхом. Слід додати, що існують ще другорядні максимуми, що відповідають ненульовим максимумам функції

. Однак їхня інтенсивність набагато менша за ін-тенсивність головних максимумів (інтенсивність нульового порядку дифракції). Так, відносна інтенси-вність першого з другорядних максимумів дорівнює

sinc

045.0)()(sinc 232

232 ≈π=π , тобто, не перевищує 4,5 %.

Роль обмеження 2b у напрямку осі цілком анало-гічна ролі обмеження 2a.

y

2.2. Дифракція на плоскій дифракцiйнiй гратцi

з прямокутним штрихом. Класичний підхід. Для розгляду дифракції на

плоскій дифракцiйнiй гратцi, що складається iз N прозорих i непрозорих смуг розміром b i bT − вiдповiдно (рис. 1.14), використаємо формули, які легко отримати майже таким самим способом i які наведені у багатьох підручниках з оптики:

.sin

sinsin

sin

)(

)(

sin210

sinsin

sin

sin

sin

0

λϕπ

λϕπ

λϕπλ

ϕπ

λϕπ

λϕπ

−ω=

=−ω=

b

bT

T

b

b

tIIU

tN

UU (1.74)

Тут множник описує дифракцiю на однiй щiлинi шириною b; множник – розподiл енергiї мiж голо-

1I

2I

43

вними i другорядними максимумами. Головнi макси-муми визначаються з умови ,sin π=ϕλ

π mT ... ,2 ,1 ,0=m , тобто:

b T

x

f(x)

Рис. 1.14. Амплітудна прямокутна гратка, її функція

пропускання ; b – ширина щілини; )(xfT – період гратки.

sin Tm λ=ϕ . (1.75) Як це випливає iз (1.75), вiдмiннiсть дифракцiї на плоскiй гратцi вiд випадку дифракцiї на гармонiчнiй амплiтуднiй гратцi полягає у наявностi багатьох го-ловних максимумiв (а не лише m = 0, ±1) у межах зміни m ( λλ ≤≤− TT m ).

Напруженiсть поля свiтлової хвилi у головних мак-симумах визначається першим множником, який з врахуванням умови (1.75):

. sin

1T

mbT

mb

mIπ

π

= (1.76)

Тобто, інтенсивність у m-му головному максимумi залежить вiд спiввiдношення мiж шириною щілини b та перiодом гратки T . Значення амплiтуд полiв пе-рших одинадцяти головних максимумiв для випадку

приведенi у табл.1. 2/Tb =Фур’є-підхід. Пропускання плоскої дифракційної

гратки може бути представлено функцiєю

44

⎩⎨⎧

−+τ

=, )( ; )(

,0,

)(21

21

T/N>x> NTT/N<x< NT

xf (1.77)

де N – порядковий номер щілини. Ця функція – улюблений приклад у математич-

ному аналізі при розгляді рядів Фур'є – легко представляється сумою

xikk

kk

TeAxfπ∞=

−∞=∑π

=2

21)( , (1.78)

де , max...3,2,1 kk = dxeA xikxf

TkT

T

-T

π−=

π∫

2/2

/2 )(

2 .

Після визначення коефiцiєнтiв розкладу отримуємо: kA

.)12sin( ...5sin

3sinsin )(

)()

(2

1

122122

222221

125

3

xT

kxT

xT

xT

xf

kk

π−π

π

πππ

−+τ=+π

+

+π

++τ=

∑∞

=

(1.79)

Таким чином, гратка, яка складається iз еквiдистантних щiлин з пропусканням τ у кожнiй щiлинi, за своїми дiями еквiвалентна сумi k гар-монiчних граток з перiодом )12( −kT i пропусканням

π−τ )12(2 k . Mаксимальне значення k обмежується, як i у (1.75), величиною λ< /max Tk . Використаємо осно-вний висновок(1.73): дифракцiя свiтла на кожнiй гармонiчнiй амплiтуднiй гратцi приводить до появи лише двох бокових пелюсток у дифракційній картині. Тобто, кожна iз k граток формує свою пару бокових дифракцiйних максимумiв, а нульовий вони форму-ють всi разом. Значення амплiтуд бокових пелюсток, отримані з формули (1.79) та з врахуванням (1.70) наведені у таблиці 2.

Спiввiдношення мiж амплiтудами у рiзних поряд-ках таке ж як i у попереднiй таблицi. Парнi порядки, як видно iз формули (1.79), вiдсутнi, що являється на-

45

слiдком умови 21=Tb . Дiйсно, формально головний максимум при 2=k iснує, вiн направлений пiд кутом

Tλ=ϕ 2

2 arcsin , однак у цьому напрямку жодна щiлина не посилає свiтла:

0 )(

)sin(sin)( sin

2

2

sin

sin

212

2

==⋅

⋅==ϕ π

πλ

λπ

λλπ

λϕπλ

ϕπ

Tb

Tb

b

b

I . (1.80)

Послідовність прямокутних імпульсів. Проде-монструємо ще один варіант використання властивостей ПФ. Аналітично послідовність прямоку-тних імпульсів можна записати таким чином:

})1((...)2()()()( TNtfTtfTtftft −−++−+−+=Φ . (1.81) Тут – період послідовності, визначено у

(1.77). Oскільки , то, використовуючи те-орему про лінійність та теорему про зсув, знаходимо

:

T )(tf

)()(ˆ ω= GtfF

)()(ˆ ω=Φ QtF

.)2sin()2sin( )(

]...1)[(

)(... )()()(

2)1(

)1(

)1(

TTNeG

eeG

eGeGGQ

TNi

TNiTi

TNiTi

ωω

ω=

=+++ω=

=ω++ω+ω=ω

ω−−

ω−−ω−

ω−−ω−

(1.82)

Таблиця 1 Значення амплiтуд полiв головних максимумів

для випадку 2/Tb = m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1I 1 2/π 0 2/3π 0 2/5π 0 2/7π 0 2/9π 0

Таблиця 2 Значення амплітуд бокових пелюсток

дифракції cвiтла на амплiтуднiй гратцi m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Am / 2τ 1 2/π 0 2/3π 0 2/5π 0 2/7π 0 2/9π 0

46

Отже, спектр послідовності прямокутних імпуль-сів є добутком двох функцій: одна з них – спектр поодинокого імпульсу )(ωG , друга – результат взає-модії N імпульсів, – функція типу

2)1(2 )(sinc TNiTN e ω−−ω . Зауважимо, що функція

ϕϕ sinsinN суттєво відмінна від нуля лише у області і веде себе майже так само, як і функція 0≈ϕ ϕ sinc .

Cпектр однієї реалізації послідовності прямокутних імпульсів показано на рис. 1.15. Із збільшенням час-тоти послідовності імпульсів кількість частот заповнення спектру буде зменшуватися.

Ще одне – просторовий спектр періодичної струк-

тури абсолютно однозначно визначає головні напрям-ки поширення хвиль, які породжені цією структурою. Це питання – про перенесення інформації з просторо-вої структури у характеристики поширення дифрагованих хвиль – буде розглянуто у подальшому.

f(x)

47

2.3. Лінза, голограма Складний просторовий сигнал, як i складний часо-

вий сигнал, можна характеризувати амплітудним i фазовим спектром. Часто це дозволяє спростити ма-тематичний опис явища i, найголовніше, ширше розкрити його фізичний зміст, показати внутрiшнiй

ω

|G(ω)|

x

Рис. 1.15. Послідовність прямокутних імпульсів та модуль її спектра.

взаємозв’язок з іншими явищами, а у ряді випадків, – отримати більш строгі i точні розв'язки.

Зупинимось коротко на одному випадку. Оскiльки кут дифракцiї залежить вiд перiоду гратки (1.70), то можна придумати квазiгармонiчну гратку зі змiнним перiодом, яка концентрувала б енергiю плоскої хвилi у точку. Ця дифракційна гратка може називатися го-лограмою, адже вона конструює зображення точки при освiтленнi плоскою (опорною, референтною) хви-лею. Такий пристрiй, однак, був відомий ще до винаходу голографiї – пiд назвою "фазова або зонна пластинка Френеля". Вона являє собою сукупнiсть концентричних свiтлих i темних кiлець, рiвної площi, тому квадрати їхнiх радiусiв пропорцiйнi номеру кiльця. Хвилi, якi приходять вiд сусiднiх кiлець плас-тинки Френеля у деяку вибрану на осі точку, від-рiзняються за фазою точно на

zπ2 (перший порядок

iнтерференцiї променiв). Таких точок в принципi мо-же бути двi, однак друга точка є уявним зображен-ням, щоб його побачити, потрiбно скористатися до-датковою оптичною системою. Отже, зонна пластин-ка Френеля є простою голограмою першого порядку.

Природньо, можна виготовити i таку фазову плас-тинку першого порядку, яка iз плоскої хвилi могла б конструювати зображення двох, п’яти чи бiльше то-чок, причому ця сукупнiсть вiдновлених точок може бути схожа на деякий предмет. Прекрасний приклад виготовлення голограми зоряного неба описано у книзі Мерца [10, с. 142-145]. Можна пiти далi i поставити вимогу, щоб при змiнi умов освiтлення такої фазової пластинки (або умов спостереження) зображення предмета неперервно переходило б саме у себе, ство-рюючи iлюзiю повороту предмета. Саме це все дозво-ляє здiйснити голограма – складна фазова пластинка, у якiй реалiзується дифракцiя першого порядку. За-уважимо, що нема нiяких принципових заперечень

48

49

проти того, щоб всi цi операцiї виконувати, викорис-товуючи не перший, а нульовий порядок дифракцiї.

Пiд цим кутом зору сферична лiнза також є голо-грамою, настроєною (при освiтленнi її плоскою хвилею) на вiдтворення зображення точки у фо-кальнiй площинi. Оскiльки всi променi, якi беруть участь у побудовi зображення, приходять у вибрану точку з нульовою рiзницею ходу, лiнза є най-простiшою голограмою нульового порядку i тому вiдновлює лише одне зображення (або дiйсне, або уявне). Очевидно, що голограма нульового порядку абсолютно не чутлива до зміни довжини хвилі (якщо матеріал лінзи має нульову дисперсію). У подальшому ми побачимо, що за допомогою лiнзи можна отриму-вати зображення точки, користуючись не лише плоскою, а i сферичною хвилею.

Таким чином, зонні пластинки i лінзи утворюють особливий вид голограм, здатних створювати зобра-ження при освiтленнi їх точковим джерелом. Предмет можна розглядати як сукупність незалежних випро-мінюючих точок, які використовуються для освітлен-ня лінзи, i відновлена сукупність точок має достатню подiбнiсть з предметом. Отримання все більш якісних зображень за допомогою лінз було, по суті, основним завданням оптики протягом багатьох вiкiв.

Отже, зображення, отримані засобами геометрич-ної оптики є, практично дуже важливим окремим випадком голографiї, який виник у давнi часи, коли про саму голографiю ще не могло бути мови. За допо-могою хвиль i спектральних перешкод (дiафрагм, фiльтрiв, голограм) можна конструювати складнi свiтловi поля, які мають великий практичний iнтерес. Формалiзм Фур'є наповнює новим змiстом вiдомi оп-тичнi явища, розширює нашi уявлення про них. У цьому ми впевнимося неодноразово.

3. Пробні функції та їхні спектри Зазвичай, при визначенні функції задають спосіб її

обчислення і досліджують поведінку цієї функції. Од-нак, можливий і інший підхід: шукають функцію з певними загальними властивостями, а потім намага-ються віднайти формулу, яка описує функцію з вказаними властивостями. Наприклад, експоненту

можна визначити так: )exp()( xxf = )(/)( xfdxxdf = – функція, похідна якої дорівнює самій функції.

Поштовхом для розвитку теорії узагальнених фун-кцій послужило те, що розв’язки рівнянь, що описують поля і процеси у природі, записуються за допомогою класичних функцій тільки поза сингуляр-ними точками. Але саме ці точки відіграють фундаментальну роль, оскільки тут розташовані дже-рела полів (точковий заряд, точкова маса).

Так з’явилися узагальнені функції, вони задаються у вигляді спеціальних правил. Результат скалярного

добутку «гарної» функції ) на узагаль-

нену ) є основним означенням узагальнених функцій. Спочатку задається результат скалярного добутку, а потім конструюють таку узагальнену фун-кцію, щоб, виконавши інтегрування, отримати заданий результат. Правила символічних розрахунків, не турбуючись про докази, ввів і успішно застосував для розв’язання фізичних проблем англійський інже-нер і фізик-самоук Олівер Хевісайд (Oliver Heaviside, 1850-1925) у кінці ХІХ ст. Саме завдячуючи йому вся теоретична фізика має сучасний вигляд, він привів рівняння Максвелла (James Clerk Maxwell, 1831-1879) до вигляду, коли ними стало можливо користуватись, спочатку вони навіть називались іменами Герца-Хевісайда, Ейнштейн (Albert Einstein, 1879-1955) по-

∫∞

∞−

dttgtf )()( (tf

(tg

50

вернув їм первісну нинішню назву. О. Хевісайд ввів у фізику векторні величини і аналіз, використав ком-плексні функції для опису електромагнітного поля, передбачив свічення Черенкова, іонізацію газів на-вколо Землі (шар Хевісайда) і ще дуже багато чого. Однак, науковий загал, вихований на класичних тра-диціях, не сприйняв нововведень, якщо коротко – були сумніви у правомірності всіх цих новацій, а Хе-вісайд, будучи практиком по натурі, зовсім не переобтяжував себе доказами очевидного.

На початку ХХ ст. Поль Дірак (Paul Adrien Maurice Dirac, 1902-1984), створюючи теорію релятивістсько-го руху електрона у електричних і магнітних полях, використовує поняття дельта-функції, що для тодіш-ньої математики все ще було нечувано і неприйнятно. Однак переможців не судять.

Інтеграл при заданій функції ) є чис-

лом. Правило, за яким кожній функції ) ставиться у відповідність число, називається функціоналом. Знаючи функціонал, можна повністю визначити вла-стивості довільної узагальненої функції ) , не задаючи її безпосередньо. Дійсно, якщо відомо скаля-

рний добуток

∫∞

∞−

dttgtf )()( (tf

(tf

(tg

dttftgtftg )()()()( ∫∞

∞−

= для будь-якої

«гарної» функції ) , то матимемо властивості уза-гальненої функції .

(tf)(tg

На сьогоднішній день теорія узагальнених функцій створює зручний апарат для розв’язування задач, що потребували раніше громіздких індивідуальних при-йомів. Суттєвим фактором є те, що у більшості задач фізики, зокрема, оптики, δ -функція та інші сингуля-рні функції у кінцевій відповіді або відсутні зовсім,

51

або входять під знак інтеграла у вигляді співмножни-ка з іншою, досить «гарною»1 функцією.

3.1. Узагальнена функція Дірака Основна властивість дельта-функції Дірака фільт-

рування, звідси і умова, з якої задають узагальнену функцію Дірака, – скалярний добуток дорівнює зна-ченню функції при нульовому аргументі:

)0()( )( fdtttf =δ∫∞

∞−

. (1.83)

З цього виразу випливає, що )(tδ – така функція, для якої при довільному вигляді допоміжної функції

має місце рівність (1.83). Виходячи з цього, δ-функцію Дірака конструюють наступним чином:

)(tf

⎩⎨⎧

≠=δ∞=δ

.0 ,0)(,(0)

tt (1.84)

Така математична конструкція не має фізичного змісту, оскільки в нулі перетворюється у нескінчен-ність, але δ-функція і не використовується сама по собі, окремо від інших.

З формули (1.83) випливає такий результат (якщо скористатись окремим випадком 1)( =tf ):

.1)( =δ∫∞

∞−

dtt (1.85)

Отже, дельта-функція Дірака )(tδ визначена суку-пністю ознак: дорівнює нулю скрізь, окрім однієї точки, де вона рівна нескінченності, проте інтеграл від -функції дорівнює одиниці. Якщо виходити, на-приклад, лише із першої ознаки, може здаватись, що

δ

52 1 Це функція, що задовольняє умовам Діріхле

t

δ(t) ∞

0

а

ω

)(ωG

1

0

б

Рис. 1.16. Умовне зображення дельта-функції Дірака (а)

та її спектр (б).

)(τδ і 2 – одне і теж саме, однак уже із наступної ознаки видно, що це не так.

/)(τδ

В силу сказаного графічно зображати δ -функцію (і називати функцією) можна лише умовно (рис. 1.16).

3.1.1. Властивості δ-функції

• δ -функція є дійсною функцією; • розмірність δ-функції обернена розмірності її аргу-менту, як видно із формули (1.85);

• )( ))(( 000

tttttdt

d −δ=−ϕδ ϕ , зокрема, )( )( ||1 taat δ=δ ,

a – дійсне число; • фільтруюча властивість δ -функції:

)()()( 00 tfdttftt =−δ∫∞

∞−

; (1.86)

• скалярний добуток

)()()(δ)()(δ 000 tfdttftttftt =−=− ∫∞

∞−

(1.87)

є прикладом функціоналу; • ПФ від δ-функції має очевидний результат:

1 )()( =δ=ω ω−∞

∞−∫ dtetG ti , (1.88)

53

де ) – спектральна густина амплітуд. Оскільки δ-функція є дійсною парною (див. нижче) функцією, її фур’є - образ дорівнює 1 – тобто, також є дійсною па-рною функцією.

(ωG

Отже, спектр δ-функції містить у рівних кількос-тях, з нульовими початковими фазами, коливання всіх дійсних частот ω , кількість яких нескінченна у обох напрямках числової осі (рис. 1.16). Зазначимо, що такий же спектральний склад має і білий шум, проте є між ними і деяка відмінність (згадаємо прин-цип однозначності).

З (1.88) видно, що δ-функція є оберненим ПФ від спектральної густини:

ωπ

=ω=δ ∫∞

∞−

− deGFt ti ω1

21)(ˆ)( . (1.89)

Для зміщених δ-функцій

0 )()( 0titi edtettG ω−ω−

∞

∞−

=−δ=ω ∫ , (1.90)

тобто, ті ж самі одиничні амплітуди для всіх коли-вань, які, однак, зміщені по фазі на 0tω . Коливання, які складають δ-функцію, не обмежені у часі, отже, змістити момент появи δ-функції можна лише змі-щенням всіх коливань по фазі за законом

0tω=ϕω . (1.91) Перетворення Фур’є від просторової двовимірної

зміщеної δ-функції дається виразом:

.)0ω 0(ω

)ω (ω004

1

),δ()ω,(ω 2

yyxxi

yyxxiyx

e

dydxeyyxxG

+−

∞

∞−

+−

=

=−−π= ∫(1.92)

Дельта-функцію можна інтерпретувати як точкову одиничну масу, яка розташована у точці з координа-

54

тами 00 , yyxx == , або точковий одиничний заряд; також – співудар абсолютно твердих тіл, тощо. • інтегральне представлення δ-функції:

ωπ

=δ ∫∞

∞−

det ti ω

21)( . (1.93)

Ядро є комплексним, проте єдина зфазована для всіх частот позиція знаходиться при

tie ω

0=ω ; при цьому його комплексність пропадає, і )(tδ виявляється функцією дійсною.

Оскільки )(tδ - парна функція, то

ωωπ

=δ ∫∞

dtt cos12)(02

. (1.94)

Дійсно,

+ωω+ωωπ=ωπ= ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

dtdtdet ti cos cos)(δ0

0

21 ω

21 [

ωωπ=ωω+ωω+ ∫∫∫∞∞

∞−

dtdtidti cos sin sin0

1

0

0] .

Умовно можна представляти δ-функцію сумою не-скінченної кількості вдало зфазованих гармонічних коливань типу tωcos різних частот ω [0 ÷ ∞] (рис. 1.17). При довільному t (крім 0=t ) додавання рівноймовірних випадкових величин, які існують у діапазоні [+1, –1], дає нуль. Єдине зфазоване місце знаходиться при 0=t , тут складається нескінченна кількість однакових значень (+1) функцій, що і дає формулу (1.94). Нескінченна сума різночастотних ко-ливань типу )sin( tω також має єдине зфазоване місце

0=t , проте всі коливання у цій точці мають нульове відхилення, тому (1.89) – дійсна функція.

55

0 87 174 261 348 400−5

0

5

10

15

20

0

δ(x)

x

збільшенийфрагмент

100 150 200 250 300 350

0

100

200

300

400

500

0 x

600

10

5

0

-5

400

300

200

0

100

δ(x)

a

б

20

15

Рис. 1.17. Результат додавання гармонічних різночас-тотних коливань з нульовою початковою фазою. У випадку (а) скаладено 20 функцій cos(x), тонкими

лініями показано окремі коливання; (б) – 500.

56

3.1.2. Приклад застосування δ-функції Додавання різночастотних коливань у техніці. Як

приклад додавання різночастотних коливань розгля-немо генерацію пікосекундних імпyльсів у квантовій електроніці. Квантовий генератор представляє собою активне середовище, розміщене у резонаторі. Актив-не середовище забезпечує підсилення світлового потоку у заданій спектральній області, а пара дзер-кал, які спочатку передбачались лише для здійснення енергетичного позитивного зворотного зв'язку, ви-явились резонатором, який характеризується влас-ними модами і обмежує набір частот ω , на яких можлива генерація, умовою: ωπ=λ= cmmLn 22 . Кіль-кість їх у реальних умовах становить у межах контуру підсилення 102 -105, хоч і може дуже відрізнятись від наведеного числа. Для простоти обмежимося лише по-здовжніми модами, частотний інтервал між якими становить Lnc 22π=Ω (Ln – оптична довжина резо-натора, c − швидкість світла у вакуумі).

Нехай у межах спектрального контуру підсилення активного середовища знаходиться 12 +N поздовжня мода (рис.1.18), для яких виконується умова підси-лення (тобто, коефіцієнт підсилення перевищує втрати випромінювання; втрати зумовлені прозорі-стю дзеркал, дифракцією, розсіюванням, тощо, а підсилення – ступінню інверсної населеності).

β

Якщо моди незалежні (між ними нема взаємодії), то у нульовому наближенні можна вважати, що існуючі у резонаторі хвилі мають амплітуди , пропорційні перевищенню підсилення над втратами

0mU

β . Якщо вва-жати, що контур лінії випромінювання (і підсилення!) Гауссів, то у нульовому наближенні

57

Підсилення

2N+1

ω

ω

Втрати

Рис. 1.18. Контур підсилення активного середовища, рівень втрат резонатора та 12 +N поздовжня мода.

)( 2

2

2)(

00

0 β−= αΩ

−m

m eUU , (1.95) де − параметр, що характеризує ширину контура підсилення, а

αm = 1, 2,…N. Хвилі з від’ємними амплі-

тудами не підсилюються, у подальшому ми ними нехтуємо, а параметр втрат β опускаємо, пам'ятаючи, проте, що кількість діючих мод обмежена (рис. 1.18). Щоб визначити поле біжучої хвилі у деякій точці ре-зонатора, віддаленій від лівого дзеркала на відстань

, врахуємо фазове запізнення у точці відносно коливань у площині лівого дзеркала у вигляді:

1x 1x

m10 )(

) (ω 0 ϕ−Ω+

= icnxtmi

mm eeUU , (1.96)

де і є амплітуда і фаза коливань 0mU mϕ m -ої моди у

площині лівого дзеркала, причому означає амплі-туду моди з частотою

00U

0ω , що відповідає середині лінії підсилення (де вважається m = 0, тому m може при-ймати 12 +N значення у інтервалі ] ,[ NN +− ). Випромінювання лазера поляризоване, тому ре-зультуюче поле у досліджуваній точці простору дорівнює простій сумі:

58

∑−

=εN

NmU . (1.97)

Енергія результуючого коливання дорівнює

, 002

2

cos

|||||| 22

mnnm

N

Nn

N

Nm

N

Nm

n

N

Nm

N

Nm

N

Nm

UUU

UUUU

ϕΔ+

∑−

=ε

∑∑∑

∗∑+∑=

+

−=

+

−=−

−−

=

= (1.98)

де Ω−−+ϕ−ϕ=ϕΔ ))(()( 1 cn

nm xtnmmn

, причому у кож-

ній з сум nm ≠ . Тут можливі два випадки. а) Початкові фази mϕ випадкові. Тоді подвоєна су-

ма дорівнює нулю, оскільки являє собою набір випадкових знакозмінних величин. Енергія | ε |2 до-рівнює сумі енергій окремих коливань і, значить, інтерференція (різночастотних коливань) відсутня.

б) Всі початкові фази дорівнюють нулю: 0=ϕm . Не будемо зупинятися на технічній стороні справи, за-значимо лише, що у квантовому генераторі такий режим роботи можна здійснити одномоментним або періодичним відкриванням затвора у резонаторі.

Цілком ясно, що у деякий момент часу cnxt 11 = сумарне поле (1.97) визначатиметься

0))( (ω0 1 m

N

N

cnxtmim

N

NUeU ∑∑

−

−Ω+

−==ε , (1.99)

а енергія цього коливання дорівнює 202 |||| m

N

NU∑=

−ε , (1.100)

що значно перевищує суму енергій окремих коливань (рівняння (1.98), випадок (а)), тобто, у момент має місце перерозподіл енергії у просторі, інтерференція. Можна у загальних рисах дослідити поведінку цієї дивної інтерференції (різночастотних коливань), якщо

0t

59

спростити задачу. Будемо вважати, що поля мають рівні амплітуди. Тоді

,1

1)(

)()12())( (ω0

0

)(

0

))( (ω00

))( (ω00

0

1

11

12

1

1

cnxti

cnxtNicnxtNi

cnxtim

m

cnxtNi

cnxtmim

eeeU

eeU

eUUN

N

N

N

N

−Ω

−Ω+−Ω−

−Ω

=

−Ω−

−Ω−

−

−=

=∑⋅=

=∑=∑=−−

ε

бо під знаком суми стоїть геометрична прогресія. За-стосовуючи формули Ейлера, одержимо у кінцевому випадку для амплітуди

)(sin

)()12sin(

12

12)( ω 00

1

cnxtcnxtN

eU cnxti

−

−+=

Ω

Ω−ε , (1.101)

і енергії

2 ω ( ) 12 02 21

0 212

sin (2 1) ( )| |

sin ( )i t x n c N t x n

U et x n c

Ω−

Ω

+ −=

−ε

c . (1.102)

Розподіл енергії у резонаторі вздовж координати x у певний момент часу показано на рис. 1.19. Вид-но, що енергія сумарного коливання в основному зосереджена у невеликій області

1t

12222 +=Δ N

Lx , величи-на якої визначається з умови:

π=+ ΔΩ nN cx

2)12( (1.103)

x12Δx

Рис. 1.19. Розподіл енергії у резонаторі у певний момент часу t1.

60

У момент часу cnxt 11 = миттєва потужність поля: 2 2

0| | (2 1)N U= +ε 02 . (1.104) З часом точка , яка відповідає максимуму мит-

тєвої потужності, переміщується вздовж резонатора вправо із швидкістю

1x

nc . Оскільки загальна енергія мод мусить зберігатись незмінною, то за межами ін-тервалу енергії майже нема. Із збільшенням числа мод

xΔ212 +N інтервал xΔ2 звужується, а висота

піка зростає. При використанні активних середовищ з широкими смугами люмінесценції хвильовий пакет, який генерується, складається всього із декількох де-сятків чи сотень періодів світлових коливань і має товщину менше міліметра (іноді декілька мікромет-рів!). Таку малу відстань світло проходить за час приблизно 10-12 с, тому такий режим генерації отри-мав назву пікосекундного.

Дійшовши до правого (напівпрозорого) дзеркала, імпульс частково виходить за межі резонатора, част-ково повертається назад у активне середовище і підсилюється. Після відбивання хвильового пакету від лівого дзеркала цикл повторюється. Випромінювання такого лазера - надкороткі імпульси, які повторюють-ся з частотою Lnc 22 =πΩ , кожен з яких є наближенням δ-функції.

Будь-який імпульсний процес у середовищі без ди-сперсії тим краще моделює δ-функцію, чим більш широкий спектр йому відповідає. Наявність дисперсії створює умови для "розповзання" імпульсу при поши-ренні у середовищі: швидкість поширення різних спектральних складових )(/ ωnc виявляється неодна-ковою, інтерференція їх у новій точці простору не створює максимуму такої ж величини, як і на почат-ку процесу. Таким чином, диспергуюче середовище,

61

порушуючи фазування коливань, "розмиває" імпульс у просторі і часі.

До речі, у чистому однорідному повітряному прос-торі звукові хвилі всіх частот поширюються із однаковими швидкостями, дисперсія практично від-сутня. Тому ударна хвиля, яка збуджується надзвуковим пролітаючим літаком, сприймається як однократне імпульсне збудження при довільному від-даленні від джерела звуку. Розряд блискавки супроводжується довготривалим гуркотом виключно через велику неоднорідність середовища поширення, якій супутні частотно залежні викривлення хвильово-го фронту (внаслідок дисперсії, рефракції, відбивання звукових хвиль). Розширення імпульсу внаслідок роз-фазування тут очевидне.

3.2. Функція поодинокого стрибка В спеціальній літературі вона ще має назву гама-

функція, це узагальнена функція (рис. 1.20), яка не має аналітичного виразу, і задається так:

.0 ;0 ;0

,2/1,0 ,2/1

)(<=>

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=γ

ttt

t

62

(1.105)

Спектр γ -функції без-посереднім інтегруванням знайти не вдається, тому що ця функція "негарна" на кі-нцях. -функція корисна у

багатьох практичних випадках, вона дозволяє моде-лювати деякі реальні процеси. Для знаходження спектру їй надають незначного затухання у вигляді множника )

γ

exp( tα− ( α − мале). Існуючі у природі сиг-нали скінченні і не потребують такого штучного прийому. Отже, якщо

0,5 γ(t)

t

Рис. 1.20. Узагальнена

гама-функція.

.0 ,;0 ,

)(21

21

<>

⎪⎩

⎪⎨⎧

−= α

α−

γtt

ee

t t

t

(1.106)

то 220

)(0

)(

21

21)()( ωα

ω=+−=γ=ω+

−∞

α+ω−

∞−

α−ω− ∫∫ idtedtetFG titi .

Враховуючи, що 0→α , отримаємо спектр -функції: γ1)(=)(

−ωω iG , (1.107) він є чисто уявною функцією, оскільки початкова функція дійсна непарна.

Аналогічно вирішується і обернена задача: знайти функцію ) , якщо її образ )(tf ()( ωγ=ωG , тобто, спектр її складається із всіх частот, але амплітуди у області

додатні, а при 0>ω 0<ω від'ємні. Представляємо

;0 ,;0 ,

)(21

21

<ω>ω

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=ω αω

αω−

ee

G (1.108)

і легко одержуємо

ti

titdeGtf ti

π⎯⎯ →⎯

+απ=ωω

π= →αω

∞

∞−∫ 2)(2

)(21)( 0

22 . (1.109)

3.3. Функція Хевісайда Це функція поодинокого стрибка (рис. 1.21 а), яка

задається виразом:

⎩⎨⎧

<>

=θ.0 ,0

,0,1

)(tt

t (1.110)

З нею необхідно працювати обережно, бо вона не задовільняє умовам Діріхле. Похідна від функції Хеві-сайда дорівнює дельта-функції Дірака. Представимо

21)()( +γ=θ tt і знайдемо спектр складових:

ωγ=ω =(t)F̂)( 11 iG . (1.111)

63

)(21)21(ˆ)(2 ωπδ===ω ∫

∞

∞−

ω− dteFG ti (1.112)

У формулі (1.112) використано (1.93) із врахуван-ням того, що знак показника експоненти в даному випадку є несуттєвим.

На основі лінійності ПФ )(=))((ˆ 1 ωπδ+

ωθ itF . (1.113)

а

0,5

θ(t) 1

t

–

0

б f (t)

t -0,5 -1

–

Рис. 1.21. Функція Хевісайда (а) та функція 21)()( −γ=−θ− tt (б).

На рис. 1.21 б зображена функція 21)()()( −γ=−θ−= tttf . Спектр її на основі властивості

лінійності і теореми про масштаб )(=))((ˆ 1 ωπδ−

ω−θ− itF . (1.114)

У радіоелектроніці функція Хевісайда називається функцією включення. У оптиці нею зручно описувати взаємодію світла з напівнескінченним екраном.

3.4. Функція Гаусса Функція Гаусса часто зустрічається у різних фізич-

них задачах. Вона задається виразом: 2

)( tetf α−= . (1.115) Наприклад, розподіл інтенсивності у перерізі лазе-

рного пучка описується саме функцією Гаусса.

64

Фур’є-образ функції Гаусса:

. /2

)(

4

22

4

22

4

2

24

22

0

)2

(

αω−

α

ζ∞

ζ−αω−

α

ζ∞

∞−

ζ−αω−

αω

+α−∞

∞−

αω−ω−

∞

∞−

α−

απ===

===ω

∫∫

∫∫

eeeee

dteedteeG

dd

ittit

(1.116)

Тут αω+α=ζ 2 it , dtd α=ζ , 2/0

22bdxe xb π=∫

∞− –

інтеграл Пуассона. Таким чином, спектр функції Гаусса теж є функцією Гаусса.

Обчислимо площу , обмежену функцією Гаусса (1.115). Розглянемо найбільш лаконічний розв'язок.

S

.2

22

00

2

0 0

)(2

2

222

απ

=α−

ξπ=ρρπ=

=ϕρρ==

∫∫

∫ ∫∫∫∞−

ξ∞

αρ−

π ∞αρ−+α−

dede

ddedxdyeS yx

Тут використано заміни: ,cos ϕρ=x ϕρ= siny ,

ϕρρ= dddxdy , , 2αρ−=ξ ραρ−=ξ dd 2 ; звідси απ=S .

4. Дійсний сигнал та аналітичний сигнал Поширення електромагнітної хвилі у просторі і часі

описується дійсними функціями. Однак, на практиці, у більшості випадків краще користуватись комплекс-ними функціями виду . Існує декілька способів заміни дійсного сигналу аналітичним (комплексним). Найпростіше – гармонічний сигнал просто замінюєть-ся комплексним, а у кінці обчислень береться дійсна частина отриманого результату (при заміні тригоно-метричних функцій використовуються формули Ейлера). Ще один спосіб – виконують просто занулен-ня спектру у області від’ємних частот. У складних

tie ω

65

випадках використовуються перетворення Гілберта (див. додаток), тощо.

Отже, вважаємо, що світло є лінійно поляризова-ним, електричне поле ),( tU r у деякій точці простору P є дійсною функцією координат r та часу t :

) ),(cos( ),(),( 0tttatU ω−ϕ= rrr , (1.117) де ),( ta r та ),( trϕ – дійсні функції, що описують, від-повідно, амплітуду і фазу, які порівняно з частотою хвилі змінюються повільно. 0ω

Дійсний гармонічний сигнал (1.117) замінюємо комплексним сигналом того ж аргумента:

),(),( ) ),(( 0ttietatU ω−ϕ= rrr . (1.118) Від кінцевого виразу розрахунків береться дійсна частина . ),( Re trU

У наближенні лінійної оптики для будь-якої точки простору частотна залежність є незмінною, тобто, (1.118) можемо записати у вигляді:

tititi etfeetatU 0 0 ),( ),( ),(),( ω−ω−ϕ == rrr r . (1.119) Комплексну функцію

),( ),( ),( tietatf rrr ϕ= (1.120) називають аналітичним сигналом. Аналітичний сиг-нал в 1946 році ввів Деннис Габор (1900-1979), який крім того ще й придумав голографію. За змістом

),( tf r – комплексна амплітуда або огинаюча квазімо-нохроматичних коливань ),( tU r . У квазімонохро-матичної світлової хвилі ефективна смуга частот ωΔ значно менша середньої частоти 0ω : 10 <<ωωΔ . Умо-ва квазімонохроматичності означає, що за період

оптичний сигнал (1.120) змінюється мало. Якщо

00 2 ωπ= /T)( ),( rr ftf ≡ – не залежить від часу, то сигнал

називається стаціонарним. Будь-який приймач світ-ла (око, фотоелектричний помножувач, фотоопір, тощо) реєструє тільки середню інтенсивність

66

><==⋅>=< ∫∫τ

τ−τ

τ

τ−τ | )(|| )(|*)( 22

21

21 rrr fdtfdtUUI .(1.121)

Якщо дійсний сигнал має вигляд )),(cos(),( 001 ttUtU rr ϕ+ω= , (1.122)

де – амплітуда хвилі, то за формулою Ейлера: 0U

)(),( 0002

11

tiitii eeeeUtU ω−ϕ−ωϕ +=r , (1.123) тобто, на комплексній площині дійсний сигнал пред-ставляється двома однаковими векторами, які синфазно обертаються у протилежних напрямках з кутовою швидкістю 0 ω (рис. 1.22). Обидва вектори рівноінформативні, тому один з них просто відкида-ємо, у іншого – подвоюємо амплітуду (для збереження величини енергії поля).

Спектр сигналу (1.123) складається із двох моно-хроматичних частот 02,1 ω±=ω (рис. 1.23), тому

коливання дійсно можна представити як суму двох векторів, що обертаються у комплексній площи-ні з рівними за величиною, але протилежно направленими кутовими швидкостями. Для дійсних сигналів ця симетрія зберігається завжди, і, природ-ньо, від'ємні частоти дійсного сигналу у такій же мірі інформативні, як і додатні. Конструюючи аналітич-

),(1 tU r

67

Re

Um/2

Um/2 Im

–ϕ – ω0 t

ϕ + ω0 t Um cos(ω0 t + ϕ)

Рис. 1.22. Представлення

дійсного сигналу векторами на комплексній площині.

0

)(ωG

ω0ω – 0ω

Рис. 1.23. Спектр дійсної функції )cos( 00 ϕ+ω tU .

ний сигнал, фактично зануляємо амплітуди в області від'ємних частот, тобто, відкидаємо їх взагалі, а амплі-туди у області додатніх частот подвоюємо. Надалі працюємо лише з одним із двох рівноінформативних векторів, і початкове ускладнення, у дійсності, спро-щує справу. Отже, замість маєм аналітичний сигнал:

),(1 tU r

tiitiiU eeUeetUtU 000

021 2),(),( ωϕωϕ ==→ rr (1.124)

Множник називається комплексною ампліту-дою, а – фаза процесу. Проведена операція відпо-відає зануленню у дійсному сигналі (1.123) від'ємних частот, це можна виконати домноженням дійсного спектру на функцію включення )

ϕieU 0

t0ω

(ωθ або додати до дійсного спектру у від’ємній області точно такий же, але з протилежним знаком. Тобто, у даному випадку "вдала уявна добавка" до дійсного сигналу є ),(1 tU r

tiiU ee 00

2ωϕ− (плюс подвоєння одержаного результату).

Довільну гарну функцію можна представити гармонічним рядом і до кожного члена ряду мож-на застосувати це правило. Таким чином, воно є найзагальнішим, хоч і не завжди зручним, пра-вилом знаходження комплексного сигналу при відомому дійсному сигналі.

Якщо сигнал не гармонічний, а більш складний, то діють інакше: даному дійсному сигналу "придумують" таку уявну частину, щоб він, не змінюючи свого фі-зичного змісту, став комплексним.

Скористаємося цим правилом у випадку довільного дійсного сигналу , спектр якого )(tUm )(ωmG . Йому відповідає якийсь аналітичний сигнал ) зі своїм спектром )

(tU(ωG . Сигнали і спектри внаслідок лінійнос-

ті ПФ зв'язані співвідношеннями:

68

))()((2)( tUtUtU mm++= , (1.125)

)( )()(2)( ω+ω=ω +mm GGG , (1.126)

де – невідома уявна добавка до дійсного сигна-лу , яка перетворює його на зручний комплек-

сний, – спектр цієї невідомої добавки. Занулен-ня амплітуд спектру у області від'ємних частот можна виконати, використовуючи функцію Хевісайда:

)(tUm+

)(tUm

)(ω+mG

][][ 21)()()()()( −ωγω=ω−θ−ω=ω+

mmm GGG (1.127)

Добуток спектральних густин ][ 21)()( −ωγωmG є спек-

тром згортки відповідних функцій і )(tUm

])([ˆ)( 211 −ωγ=ψ −Ft , тобто, уявна добавка , очеви-

дно, знаходиться як згортка: )(tUm

+

)()()( ttUtU mm ψ⊗=+ (1.128)

Оскільки 2)(

2211 ])([ˆ t

tiF δ−π=−ωγ− , то

2)()(

221

)(2 )( )()( tUdt

UidttiUtU mm

mm −τττ

π=τ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ τ−δ−τπτ=+ ∫∫

∞

∞−−

∞

∞−−

(1.129) і для аналітичного сигналу (1.125) одержуємо вираз:

)()( )())()((2)( )( tUtUdtUitUtUtUtU mmmmm

m +++=τττ

π+=++= ∫

∞

∞−−

.

(1.130) Найбільш часто саме через надзвичайну простоту,

для одержання виразу аналітичного сигналу викорис-товується формула

ωωπ=ωωπ= ω∞

ω∞

∞−∫∫ deGdeGtU ti

mti )( )()(

0

121 . (1.131)

Наприклад, дійсному сигналу ttU 01 cos)( ω= відпо-відає спектр )()()( 001 ω+ωπδ+ω−ωπδ=ωG . Викорис-

69

товуючи формулу (1.131), легко знаходимо вигляд аналітичного сигналу

titi edetU 0

0

00

1 )()()( )( ωω =ωω+ωδ+ω−ωδππ

= ∫∞

, (1.132)

який з точністю до амплітуди співпадає з (1.124). Друга δ-функція під знаком інтегралу "не спрацю-

вала", оскільки вона існує за межами інтегрування. Введення аналітичного сигналу – це реакція на не-

зручність, пов'язану з появою від'ємних частот (при обробці дійсних сигналів апаратом Фур'є). До того ж, ці частоти, у порівнянні з додатними, не несуть дода-ткової інформації. Від'ємні частоти - не більше безглуздя, ніж від'ємні числа взагалі. Останні ж існу-ють законно у математиці трохи більше двох століть, а до того вважались «абсурдними», «уявними», «не-справжніми». І все ж здається природнім бажання наблизити математичний апарат до фізичних реалій. З іншого боку, користуючись теоремою про перене-сення спектру, можна переконатися у тому, що від’ємні частоти реально існують (рис.1.1).

Вперше аналітичний сигнал для опису електромаг-нітного поля був введений у 1946 році Д. Габором [Dennis Gabor, 1900-1979, нобелівський лауреат, 1971]. Зараз це знаходить все більше застосування у описі будь-яких реальних сигналів, особливо у радіо-електроніці, у теорії коливань.

5. Перетворення Френеля Подібно до перетворення Фуp'є, перетворення Фре-

неля (ПФр) – інтегральна операція, яка дозволяє відновити початкову функцію при зворотному пере-творенні. Перетворення Френеля використовується так само часто, як і перетворення Фур'є. Якщо існує функція ) , то її френель-образ має вигляд: (xf

70

ξξ=Φξ−−∞

∞−∫ defx xi 2

2 )( )()( . (1.133)

Формально – це згортка функції )(ξf і функції Га-

усса )(2

2 xfe Γxi

=− , і вираз (1.133) можна записати:

. Таким чином, кожне значення фу-нкції ) «розмивається» у функцію , а потім всі ці зміщені образи (зміщені – оскільки ξ пробігає всі значення від –∞ до +∞) додаються.

)()()( xfxfx Γ⊗=Φ(xf )(xf Γ

Визначимо зворотне ПФр. Для цього обчислимо:

).(2)(

)( )()(

)()(2

)(2

)(2

)(2

22

222

xfdedfe

dedeηfdexI

xixi

xiixi

π=ξηη=

=ξη=ξξΦ=

−ηξ∞

∞−

η−∞

∞−

ξ−∞

∞−

η−ξ−∞

∞−

ξ−∞

∞−

∫∫

∫ ∫∫

Тут використано інтегральне представлення δ-функції та її фільтруюча властивість.

Таким чином,

ξξ−ξΦπ=ξξΦπ= ∫∫∞

∞−

ξ−∞

∞−

dxfdexf Γxi

)(* )( )()( 21

)(2

21

2

. (1.134)

Вирази (1.133) і (1.134) є парою перетворень Фре-неля. Перетворення Френеля зв'язує функції корди-нат однієї множини з функціями (також координат!) іншої множини, однак розташованої у іншому місці простору. Це пов'язано з тим, що змінні величини входять у ядро Фур'є у вигляді добутка, а у ядро Фре-неля – у вигляді доданків. У цьому (а також у законі перетворення) відмінність його від ПФ. Змінні у ПФ мають розмірність: t [c], ω [рад.c–1], [M], yx, yx ωω , [M–

1], а у ПФр вони формально безрозмірні [рад–1], хоча кутові координати можна перевести в лінійні.

71

Перетворення Френеля на площині. Перетворення Френеля для функції ) , яка залежить від двох координат, визначається так:

,( yxf

. ),(),(

, ),(),(

][

][

22

2

22

)()(2

)2(1

)()(2

ηξηξΦπ=

ηξηξ=Φ

η−+ξ−∞

∞−

∞

∞−

η−+ξ−−∞

∞−

∞

∞−

∫∫

∫∫

ddeyxf

ddefyx

yxi

yxi

(1.135)

Френелівське зображення функції є розкладання її по зміщених гауссіанах, і у цьому полягає цінність перетворення Френеля.

Довільне поле можна представити як суперпозицію (або результат дії) багатьох джерел. У свою чергу, поле точкового джерела, розміщеного в початку коорди-нат, у деякій площині, перпендикулярній , має розподіл фаз, який приблизно описується просторо-вою функцією Гаусса (згадаємо геометрію зонної пластинки Фрeнеля). Наприклад, у параксіальній об-ласті сферичну хвилю:

z

zyx <<),(

222

222

),,(zyx

er

ezyxUzyxikikr

++==

++

(1.136)

можна представити так:

zikzikzz

yxikzikz

eeeezyxU 2

2

2

22

),,(ρ+

=≈ , (1.137) тобто, фаза коливань поля у точці ) описується двомірною параболічною функцією. Якщо до того ж

, то

,( yx

z<<ρ ),,( zikzezyxU = , що у деякій області зміни

представляє собою вираз для плоскої хвилі. zВ такому разі перетворення Фур'є відповідає роз-

кладу по полю від нескінченно віддалених джерел, тобто, у точці спостереження маємо плоскі хвилі.

72

Тому ПФр є більш загальним, воно описує поле джерел на скінченній віддалі, що буде видно далі.

Як уже відмічалось, розкладання поля можна роби-ти по довільних ортогональних функціях (довільне ядро), тільки б це було зручно. Наприклад, можливий розклад за -функціями, за функціями δ )(comb 0mxx − , за функціями ряду Котельникова, нарешті, pозклад за

mxmx cossin + і за )(sinc 0 mxx − і т.д. У телебаченні використовується представлення сигналу набором зміщених П-подібних імпульсів, із яких складаються рядки кадру: )()( mTtAtf mm −Π= , де

⎩⎨⎧

+>>+<

=Π).1( , ,0

);1(<T ,1)(

mTttmTmTtm

tm

При передачі телефонних повідомлень нема необ-хідності передавати кожну мить значення функції

, яка змінюється порівняно повільно (рис. 1.24). Достатньо передавати її значення у моменти (тобто, робити виборку функції), а у проміжках

майже без втрати інформації на приймаль-ній стороні обчислювати значення цієї функції найпростішим способом (наприклад,

)(1 tf

mttt ,..., 21

1−− mm tt

t t= +(9,5) [ (10) / 2t+ (9)] ). Відповідне теоретичне обгрунтування вико-

нане академіком В.А.Котельниковим. При цьому канал зв'язку практично не завантажений, і у промі-жках між імпульсами першої серії можна передавати ще 104 чи більше серій інших імпульсів, які відпові-дають іншим повідомленням. Таким чином, по одно-му каналу зв'язку можна передавати без вза'ємних перешкод багато телефонних розмов, не використо-вуючи високочастотну модуляцію для розмежування спектрів і каналів, як це має місце у радіомовленні, але використовуючи виборки у часі. Наявність кому-таторів iмпульсів на передаючій і приймальній стороні практично не дуже ускладнює цю систему

73

f1(t)

1

f 2(t)

2 3 4 5 6 7 11 8 9

t 10

Рис. 1.24. Сигнали f1(t), f2(t) та виборка із кожного з них у послідовні моменти часу (позначено цифрами).

зв'язку, яка показала високі економічні і експлуата-ційні якості. Смуга частот, що займає канал зв'язку, все ж достатньо широка внаслідок вузьких стробую-чих імпульсів, природу «перехитрувати» неможливо.

Довгий час гармонічний спектр був єдиним у теорії і практиці передачі сигналів. Як бачимо, представлен-ня коливань тригонометричними функціями не є винятком. Більше того, один і той же сигнал може бу-ти розкладений по багатьох системах базисних функ-цій, які задовільняють умову ортогональності. Вибір того чи іншого типу розкладу диктується практичними вимогами, які полягають у тому, щоб забезпечити швидку збіжність вибраного ряду функцій при заданій точності представлення. Широко використовуються, у якості базисних, функції Бесселя першого роду, полі-номи Лежандра, Чебишева, Ерміта, Лягера і багато інших спеціальних функцій. Як правило, самі по собі вони не ортогональні, однак дозволяють побудувати системи ортонормованих функцій. Наприклад, полі-номи Лягера, які визначаються як

)()1()(

)( tnn

ntnn ettd

detL −−= , (1.138)

лежать в основі системи ортонормованих у інтервалі функцій Лягера ],0[ ∞

74

)(!)( 2/1 tLentl nt

n−= (1.139)

Поліноми Чебишева

212

2)(

2 )1(1! )2(! )2()(

−

−−−

=n

n

nn

n tdtdt

nntT (1.140)

ортогональні на проміжку [–1,+1] з вагою 211)( ttp −= , і при mn ≠ виконується рівність:

0)()(11 21

1=−∫

+

−

dttTtTt nm . (1.141)

Перетворення Френеля, як і перетворення Фур’є мають широке застосування у сучасній науці і техніці.

Контрольні питання

1. Що таке кореляція? 2. Який фізичний зміст перетворення Фур’є? 3. Які властивості перетворення Фур’є? 4. Які особливості спектра послідовності прямокут-

них імпульсів? Записати спектр послідовності прямокутних імпульсів.

5. Чому дорівнює фур'є-образ згортки, фур'є-образ добутку двох функцiй?

6. Якою функцією описуються затухаючі коливання та їхній спектр?

7. Який закон представляє формула Парсеваля? 8. Назвіть пробні функції. Якими функціями опису-

ються їхні спектри? 9. Що таке аналітичний сигнал? Назвіть способи пе-

реходу від дійсного до аналітичного сигналу. 10. Яка функція служить ядром перетворення Френеля? 11. У чому полягає перетворення Френеля? Запишіть

перетворення Френеля для двовимірного випадку. 12. Як здійснюється генерація пікосекундних імпу-

льсів (основні положення, вимоги, характе-ристики, результат)?

75

13. Енергія дифрагованих хвиль (1.66) не співпадає з енергією падаючої хвилі (1.61). Чому?

14. У чому полягає відмінність між спектрами δ-функції та білого шуму ?

Задачі

1. Довести, що зміщення функції у просторовій обла-

сті викликає лінійних фазовий зсув у області просторових частот:

)(00

00 )(),(ˆ yxiyx

yxe,GyyxxfF ω+ω−ωω=++ 2. Довести, що збільшення періоду функції у просто-

ровій області веде до зменшення її фур’є-образу у області просторових частот і до загального змен-шення амплітуд спектра:

)(),(ˆ 1baabyx ,GbyaxfF

ωω= .

3. Довести, що ( ) ( )yxab

byax ,1, δ=δ .

4. Використовуючи визначення узагальнених функ-цій довести, що похідна )()( xx δ=γ′ , де

⎩⎨⎧

<≥

=γ0,00,1

)(xx

x .

5. Знайти спектри таких функцій:

а) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

α−= 2

2exp)( xxf ;

б) ∑∞=

−∞=−δ==

n

nnxxcombxf )()()( , 1>x ;

в) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≤−=Λ=

0,0

0,1)()(

x

xxxxf .

6. Знайти вирази для спектрів процесу, який опису-ється формулою (1.40), )(Re ωG , )(Im ωG , 2|)(| ωG .

76

Визначити амплітудні значення їх та одиниці виміру.

7. Знайти ) . Проаналізувати, у

яких випадках одержана функція має нулі, мак-симуми, мінімуми.

sin(sin∫∞

∞−

ϕ+ωω dttt

8. Виявити абсолютно монохроматичне коливання у чистому виглядi неможливо, оскiльки будь-яке ко-ливання є обмеженим у часi або при генерацiї, або при реєстрацiї. Бiльше того, нема нiяких експери-ментальних доказiв iснування таких коливань, адже будь-яка реєстрацiя передбачає вiдокрем-лення хоча б малої частини енергiї для цiлей реєстрацiї, тобто, змiну амплiтуди дослiджуваних коливань. Тим самим абсолютна монохрома-тичнiсть повинна зруйнуватися. Словом, якщо такi коливаня i iснують, то взаємодiя їх з експери-ментальною установкою принципово неможлива без порушення монохроматичностi. Довести це, використовуючи функцію )(tθ .

9. Вивести властивостi симетрії Фур’є образу, якщо а) – дiйсна парна функцiя, )(tfб) – дiйсна непарна функція. )(tf

10. Довести формулу Парсеваля:

dpdqqpGdxdyyxf 2412 |),(|| ),(| 2 ∫ ∫∫ ∫

∞

∞−

∞

∞−π

∞

∞−

∞

∞−

= .

11. Знайти спектр моноімпульсу лазера: a) рубінового; довжина хвилі випромінювання

мкм; тривалість нс; 69,0=λ 8=τб) неодимового (Nd); 06,1=λ мкм; 1=τ нс; б) неодимового; 06,1=λ мкм; 1,0=τ пс.

77

12. Знайти спектр П-імпульса:

⎩⎨⎧

τ−<τ>τ=

=.2/ ,2/ ,0

;2/|| ,1)(

ttt

tf .

13. Обчислити енергію, яка виділяється на опорі R , при розряді через нього ємності С, зарядженої до напруги U0, використовуючи перетворення Фур’є. Порівняти з результатом безпосередніх обчислень за формулами електрики.

14. Електрична плитка потужністю 2 кВт (220 В, 50 Гц) включена протягом 1 хв. Підрахувати виді-лене тепло, користуючись ПФ.

15. Скільки телевізійних каналів можна розташувати у метровому діапазоні ( λ = 1÷10 м) для передачі щосекунди 25 кадрів, кожен із яких має 625 ряд-ків по 625 елементів у кожному рядку?

16. При якій умові у дифракційній картині, яку ство-ює гратка з прямокутним штрихом, відсутній третій головний максимум? Чи буде присутній при цій умові п’ятий головний максимум?

17. Чи спостерігається у дифракційній картині, яку ствоює гратка з прямокутним штрихом, п’ятий го-ловний максимум, якщо другий - відсутній?

18. При яких умовах інтеграл dtt не

дорівнює нулю.

tb )sin(sin ϕ+ωω∫τ

τ−

19. Отримати фомули (1.41)-(1.43), (1.46). 20. Написати рівняння (типу (1.66)) для хвилі, яка

пройшла фазомодулюючу гратку.

78

II. ПОЛЕ І ПРОСТІР 6. Кутовий спектр поля і просторові частоти.

Подвійний зміст просторових частот 1*. Розкладання електромагнітного поля за просто-

ровими частотами є стриж-невою ідеєю нашого розгляду, тому поглянемо на просторовий сигнал ще й з іншого боку. Предста-вимо плоску скалярну монохроматичну хвилю, що залежить від координат

та часу zyx ,, t , комплекс-ним виразом:

y

x

z

k

γ' α'

β'

Рис. 2.1. Кути між хви-льовим вектором і

осями координат x, y, z.k

tiiitii eeUezyxUtzyxU ω−ϕω−ϕ == kr

0 ),,(),,,( , (2.1) де − початкова фаза коливань, ω – частота, а скла-дові хвильового вектора

ϕ

22222

2

zyxckkkk ++=ω= (2.2)

визначаються з умови

).cos( ),cos( ),cos(∧

=∧

=∧

= kzkkkykkkxkk zyx (2.3) Як видно із рис. 2.1, хвильовий вектор утворює

із координатними осями кути

k

' ( )k x∧

α = , ' ( )k y∧

β = ,

. Зручніше, однак, користуватися не цими, а іншими кутами (рис. 2.2):

' ( )k z∧

γ ='90 α−=α , '90 β−=β ,

'90 γ−=γ . Тут γβα , , – кути між напрямком вектора і площинами YZ, XZ, XY відповідно. Це пов'язано з

тим, що у оптичних задачах використовують параксі-альне наближення, коли хвилі поширюються, в основному, вздовж напрямку OZ, при цьому ,

k

0≅xk

79

y

x

z kz

ky

α

β γ kx

k

Рис. 2.2. Кути α, β, γ між напрямком поширення хвилі

(вектор k) та ортогональними площинами YZ, XZ, XY відповідно.

0≅yk , . Кути α і β символізують відхилення вектора від напрямку OZ, бо вони пропорційні цьому відхиленню. Тоді

kkz ≅

k

.sin ,sin ,sin γ=β=α= kkkkkk zyx (2.4)

На рис. 2.3 показано сімейство векторів однієї

і тієї ж частоти 1k

ω , що мають рівні проекції , yk

y

z

k1

k2

x

Рис. 2.3. Сімейства векторів k1, з рівними проекціями

, та k2 з рівними проекціями . Частоти ω цих век-торів (довжини стрілок) однакові.

yk zk

80

причому у них різні, і сімейство таких же векторів рівних проекцій ; всі вони мають рі-вний нахил до площини XZ (у першому випадку), або до площини XY (у другому).

zx kk ,

2k zk

Як видно із (2.2), при заданих кутах α i β третій кут (γ) є визначеним автоматично, тому (2.1) можна представити інакше:

222)(0 ),,,( yxyx kkkizykxkitii eeUtzyxU

−−±+ω−ϕ= . 2.5) 2*. Монохроматичні плоскі хвилі частоти ω можуть

поширюватись у просторі під різними кутами до осей вибраної системи координат, кожна із них (а також і довільна лінійна комбінація цих хвиль) задовольняє хвильовому рівнянню. Якщо хвиль багато і напрямки поширення, які задаються кутами α і β (компонента-ми хвильового вектора при yx kk , const2 =λπ=k ), будуть змінюватись неперервно у діапазоні ( xk± , yk± ),

то є сенс говорити не про амплітуду окремої хвилі , а про густину амплітуд, яка приходиться на одиничний інтервал зміни . Оскільки фаза

кожної хвилі входить у ) , остання є комплексною густиною амплітуд, а результуюча про-сторова монохроматична хвиля у області може бути представлена інтегралом суперпозиції:

0U),( yx kkQ

yx kk ,) ,( yx kkϕ ,( yx kkQ

0>z

.)(

41

222

2

),,(),,,(

ydkdkee

zkkQetzyxU

xykxkikkkiz

yxti

yxyx +−−

∞

∞−

∞

∞−

ω−

×

×π= ∫∫ (2.6)

Вона відома у радіофізиці як представлення Релея. Формально додавання ведеться у нескінченних ме-жах, але значення практично не мають kkk yx > ,

81

змісту, бо у вільному просторі, що не підсилює і не по-глинає світло, їм відповідають або швидко затухаючі, або зростаючі за потужністю хвилі. Щоб зберегти за-гальність формули i не ввійти у протиріччя із законом збереження енергії, необхідно перед iz вибрати знак "+". У такому випадку вираз (2.6) мoже розглядатись як узагальнення поняття комплексної хвилі на випа-док неплоскої монохроматичної хвилі.

Надалі цікавимось лише просторовими характери-стиками хвилі. Якщо вважати, що хвиля поширюється від площини 0=z вправо, то, прийня-вши значення цієї хвилі на площині 0=z як початкове, із (2.6) можемо отримати

ydkdkekkQyxU xykxki

yxyx )(

41 )0,,()0,,( 2

+∞

∞−

∞

∞−∫∫π= , (2.7)

що за формою є оберненим ПФ. Отже, просторовий спектр хвилі має вигляд:

dxdyeyxUkkQ ykxkiyx

yx )()0,,( )0,,( +−∞

∞−

∞

∞−∫∫= . (2.8)

У іншому місці простору спектр функції ),,( zyxU мо-же бути іншим, тому необхідно уточнювати значення координати z для функції ) . Розглянута хви-ля, яка іде у напрямку

,,( zkkQ yx

+∞→z , називається прямою. Якщо ж хвиля поширюється у сторону 0<z , ана-

логічні міркування приводять до необхідності залишити у формулі (2.6) знак мінус перед zi . У цьо-му випадку говорять про зворотню хвилю. У залежності від конкретної ситуації необхідно застосо-вувати ту чи іншу форму запису комплексної хвилі (2.6). Ми розглядатимемо лише пряму хвилю.

3*. Тут ми підійшли до дуже важливого моменту у розумінні сутності величин . За визначенням (2.4) це проекції хвильового вектора на осі

yx kk ,x та . y

82

Однак із (2.7) і (2.8) витікає, що xk , – це просторо-ві частоти, які характеризують просторову структуру хвилі у площині , бо вони зв'язані з координатами

yk

0=zx , парою ПФ. Тому, з одного боку,

функцію ) називають кутовим спектром по-

ля, бо вона явно залежить від кутів

y,,( zkkQ yx

βα , (див. рис. 2.2.). Однак, з другого боку, – це формально і спектр просторових частот, за яким розкладається функція

),,( zkkQ yx

)0,,( yxU , розподіл поля дже-рел у площині 0=z , як це видно із (2.8).

Просторовий спектр характеризує по суті розподіл віртуальних точкових джерел у деякій вибраній площині , (принцип Гюйгенса-Френеля), тоді як кутовий – розподіл результуючого поля випроміню-вання, яке породжене цими джерелами, за кутами. Обидва спектри мають одне і те ж позначення частот ( або

0=z

yx kk , yx ωω , ), вимірюються в однакових одини-цях, однак у них різний фізичний зміст.

Цей подвійний зміст легко проявляється на при-кладі дифракційної гратки, яка раніше розглянута детально. Просторова гармонічна гратка з періодом

має симетричний просторовий спектр у вигляді T δ -функції на просторових частотах T/2π± . Нормально падаюча на цю гратку плоска монохроматична хвиля частоти λπ⋅=⋅=ω /2ckc дифрагує на періодичній структурі у напрямку кутів )/arcsin( Tλ=α± , дифра-гованим хвилям відповідають дві складові хвильового вектора типу TTkkx /2sin 2 π=λ

λπ=α= . Тому дифра-

кція – саме те явище, яке переносить інформацію про просторову структуру від матеріальних тіл (джерел) на хвильове поле. Аналіз кутового спектру хвильового поля виконується за допомогою інтерфе-

83

рометра (пристрою, який збирає у заданій точці ра-ніше розщеплені будь-яким способом промені (хвилі)), де відбувається взаємодія дифрагованих хвиль з утворенням характерних картин інтерференції (спек-тральної лінії, наприклад). За виглядом цих картин робиться висновок про просторові характеристики тіл, що змінили напрям поширення хвиль. Окремим випадком такого інтерферометра є лінза.

Інтерференційне поле, одержане поблизу фокальної площини лінзи, освітленої далеким джерелом, часто має ті ж просторово-кутові ознаки, що і сам предмет (тобто, у межах роздільної здатності, зображення схоже на предмет). Саме цим лінзи привертали увагу дослідників сотні років. Однак такий спосіб добуван-ня інформації із поля про джерело (одержання і аналіз зображення у лінзових системах) практично вичерпав свої можливості. Як буде показано далі, до-даткову інформацію про джерело можна отримати, досліджуючи властивості випромінювання, пов'язані з його когерентністю.

При взаємодії хвилі з граткою можна досліджувати періодичну структуру (гратку), якщо відома довжина хвилі. Навпаки, якщо відомі характеристики пері-одичної структури, дифраговане світло несе інфор-мацію про хроматичний склад випромінювання.

При розкладанні функції, що описує просторову структуру, у ряд Фур'є одержуємо цілком певний на-бір просторових частот, він є незмінним для даної структури, бо повністю характеризує саме її. У той же час розподіл за кутами хвиль поля, яке пройшло через цю гратку, дуже залежить від довжини хвилі. Напри-клад, для двомірного випадку (виключаючи y ), маємо

const'cos'cos 222 =γλπ=γ=−= kk xkkz . (2.9)

84

Отже, на одній і тій же просторовій частоті xω , що відповідає деякому значенню , хвилі, які відрі-зняються величиною

zkλ , будуть дифрагувати під

різними кутами γ′ , що визначаються з умови (2.9), тобто, різні за довжиною хвилі представляють одну і ту ж просторову структуру відповідними різними напрямками поширення у просторі.

Ця обставина використовується для розкладання світла у спектр за допомогою дифракційної гратки. Кольорова смужка на виході дифракційного спектро-графа, з одного боку є кутовим спектром поля немонохроматичної хвилі, відбитої конкретною диф-ракційною граткою, з другого – одночасно представляє просторові частоти, характерні лише для даної гратки, за допомогою монохроматичних хвиль, які відрізняються кольором.

Розподіл світла у порядках оптичного спектру за-лежить від профілю штриха, ступеня однаковості всіх штрихів, незмінності періоду і т.д. Цей розподіл прак-тично однозначно представляє гратку, бо породже-ний нею. Якщо (з технічних причин) у параметрах штрихів спостерігаються відхилення від стандарту, то це відразу ж проявляється у погіршенні оптичного спектру, появі зайвих (неіснуючих у дійсності) спект-ральних ліній ("духів") і інших спотворень. Досліджен-ня таких спотворень наштовхнули Ф. Церніке на ідею створення фазоконтрасного мікроскопа у 1932 р.

4*. Набір просторових частот (разом із функцією пропускання чи відбивання на цих частотах) є по-вною характеристикою оптичного зображення або самого предмету (мається на увазі його образ) точно таким же чином, як набір звукових частот характе-ризує тембр нашого голосу і мовний сигнал. Ми безпомилково, за одним вимовленим словом, впізнає-мо голос знайомої людини, що говорить поряд з нами,

85

86

однак можемо помилятись, якщо голос чуємо по те-лефону: телефон передає неоднаково частоти звукового діапазону. Близькозора людина без окуля-рів може не впізнати приятеля, що пройшов поряд: зображення на сітківці трохи розмите. Видно великі деталі, спектр яких відповідає низьким частотам, од-нак не видно дрібні характерні лінії, просторовий спектр яких зосереджений у області високих частот, що несуть, в основному, інформацію про відмінність рис даної людини від інших.

Можливо, низькі частоти не потрібні? Адже ніс, очі, вуха є у всіх. Однак завдяки аналізу просторового сигналу на низьких частотах ми відрізняємо обличчя індійця і африканця, китайця і японця, ескімоса і єв-ропейця: інформація про взаємне розташування деталей зосереджена в області низьких частот.

5*. Багато експериментальних фактів свідчать на користь гіпотези, згідно з якою функція аналізу опти-чного сигналу зорового образу у людини здійснюється у просторово-частотній області. Очі є оптичним ін-струментом лише у тій мірі, у якій необхідно одержа-ти адекватний предмету образ у деякій світлочут-ливій площині. Сітківка ока, що має світлочутливі елементи, є частиною мозку, яка винесена на пери-ферію, тут відбувається початкова обробка всієї просторово-яскравісної інформації. Колбочки і пали-чки сітківки ока виробляють сигнали (між поглинанням фотона і появою електричного імпульсу – сигналу для мозку – відбувається до 20 послідовних хімічних реакцій!), що відповідають кількості і якості їхньої освітленості, однак ці імпульси поступають не в кору головного мозку, а попередньо обробляються на світлочутливому шарі таким чином, щоб через лате-ральне тіло сигналізувати у мозок про наявність тих чи інших просторових частот, амплітудно-фазові співвідношення у них, межі областей існування.

Така система передачі даних найекономніша. Дій-сно, щоб повідомити з прийнятною точністю інформацію про одномірний розподіл (напри-клад, (2.3)), потрібно розбити на інтервали

)(xU

0x xΔ і повідомити значення ) на кожному інтервалі, що може становити не менш 103−104 біт. Із досвіду відо-мо, що два десятки коефіцієнтів Фур'є цілком адекватно представляють довільну функцію, яка не дуже швидко змінюється, саме їх і потрібно переда-вати. Якщо до цього додати стільки ж службових і допоміжних сигналів, то передаванню підлягає біля сотні біт інформації. При цьому також економія ви-ходить у засобах зберігання інформації і при порівнянні її з іншою (обробка інформації).

( ixU

Чутливість ока до різних просторових частот суттє-во неоднакова. У багатьох експериментах було показано, що вона максимальна у області

= 1−5 циклів/градус, і практично дорівнює нулю при ≥ 80 цикл/град. Останнє пов'язано з розмірами окремих світлочутливих елементів (біля 1 кутової хви-лини), а “завал” при низьких частотах – швидше за все із структурою "жовтої плями". Чутливість ока ви-мірюється у безрозмірних одиницях :

νν

1−εLLΔ=ε

87

де LΔ і L – відповідно величина модуляції і середньої освітленості гармонічної гратки, яка пред'явлена для впізнавання, з кутовим періодом ν . Після розкладу за просторовими частотами інформація існує у вигляді амплітуд відповідних частот і у такому вигляді оброб-ляється у мозку: порівнюється із всією іншою, що зберігається у пам'яті, після чого обчислюється коре-ляція, відбувається впізнавання, виникають інші асоціації, пов'язані із впізнаним предметом, оціню-ється ступінь важливості всіх асоціацій одержаного сигналу у цілому, і виробляється реакція мозку (орга-

88

нізму) на сигнал, який надійшов. Реакція може бути рухова, мовна, емоційна або у іншому вигляді. Чим більше асоціацій виникає і чим вища кореляція з ни-ми у даного сигналу, і найголовніше – чим глибше обробляються раніше одержані кореляції з інформа-цією, яка існує у пам'яті (кореляцією кореляцій, наступний хід), тим якісніша робота мозку, тим більш вона творча. Знаходження незвичайних рішень там, де, здавалося б, все давно вирішено і відомо, – саме це у кінцевому результаті відрізняє творчу людину від такої, яка мислить штампами. Як приклад можна привести реакцію на ігрові ситуації у шахах, футболі, боксі, на творах образотворчого мистецтва – у всьому кожен бачить те, що він здатен бачити у відповіднос-ті з накопиченим досвідом і потужністю свого інтелекту, і, головне, додумать, дотворити. Саме участь і співучасть у творчості доставляє вищу насо-лоду, а об'єктом творчості може бути будь-яка сфера людської діяльності – шахи, поезія, державна діяль-ність, садівництво, розробка мікросхем чи програм для обчислювальної машини.

Система аналізу зорових образів може здатися надто складною, бо потребує великої обчислювальної роботи. Мабуть, можливі і інші системи. Наприклад, комахи, маючи власну вагу у межах 10–5...10 г, не можуть собі дозволити розкіш мати систему зорового аналізу вагою навіть 1-2 г (у людини – біля 90 г), не враховуючи системи обслуговування – харчування, метаболізму, забезпечення механічної міцності і інше. Однак перед ними і завдання стоїть простіше – розрі-зняти нектар на квітці від жаби у траві.

Зорова система жаби, до речі, практично "не ба-чить" нерухомих предметів. У експериментальних умовах, будучи "закидана" цілком "кондиційними" комахами, але штучно знерухомленими, жаба вмирає від голоду, не помічаючи їжі довкола. Рецептори ока

89

влаштовані однаково з людськими – вони реагують на часову зміну освітленості. Людина бачить нерухомі предмети завдяки додатковому механізмові – дрібним коливальним рухам ока (тремор), внаслідок чого про-сторові відмінності у освітленості перетворюються у часові. Частота коливань очного яблука біля 60−70 Гц. Виживання людини як виду у складних умовах забез-печили всі системи, які максимально задовольняють дуже суперечливим вимогам. Якби виявилася б мож-ливою більш проста система, у цій вічній конкуренції, де лише один виграш – можливість продовжувати рід – перемогла б вона. Те, що ми маємо, є найбільш до-сконалий оптимум у деякому околі можливостей. Десь існують інші відносні максимуми, проте вони значно нижчі за ті, які реалізувались у ссавців.

6*. Як ми бачили, інформація про предмет може бути повністю представлена частотним спектром. При освітленості предмету інформація про нього пе-ретворюється у кутовий спектр поля, який після перетворення лінзою і, взагалі кажучи, прилеглими шарами простору знову представляється як спектр просторових частот. Якщо вказані елементи (лінза і простір) мають селективні властивості по відношен-ню до кутового спектру, інформація спотворюється, а частина її може втрачатися. Тому для збільшення інформативної ємності оптичного каналу або розді-льної здатності намагаються розширювати діапазон частот, які пропускаються, що досягається застосу-ванням світлосильних об'єктивів і зменшенням довжин хвиль, які використовуються (наприклад, ультрамікроскопія, електронна мікроскопія). Надалі ми будемо повертатися до цих питань.

Таким чином, електромагнітнітне поле можна розкласти за просторовими частотами. Представ-лення Релея: плоска скалярна монохроматична хвиля представляється інтегралом суперпозиції (2.6)

із застосуванням поняття комплексної густини амп-літуд. Подвійний зміст просторових частот: це проекції хвильового вектора на осі Оx i Оy (2.4); з іншого боку – – це просторові частоти, які характеризують просторову структуру хвилі, фак-тично розподіл джерел випромінювання у площині

. Функцію , з одного боку, називають кутовим спектром поля, з іншого – це формально і спектр просторових частот, за яким розкладаєть-ся функція – розподіл поля у площині

yx kk , –

yx kk ,

0=z ),,( zyxQ

)0,,( yxU 0=z . Просторовий спектр характеризує по суті розподіл віртуальних точкових джерел у деякій вибраній площині (принцип Гюйгенса-Френеля), тоді як кутовий – розподіл результуючого поля, яке поро-джене цими джерелами, – за кутами. Обидва спектри мають одне і те ж позначення частот ( або ), вимірюються у однакових оди-ницях. Дифракція – саме те явище, яке переносить інформацію про просторову структуру від матеріа-льних тіл на хвильове поле. Набір просторових частот (разом із функцією пропускання чи відби-вання на цих частотах) є повною характеристикою зображення або самого предмету.

yx kk , yx ω ,ω

7. Шар простору як фільтр просторових частот

1*. Фільтрування частот – це вибіркове пропускання

частотних компонент спектру просторових або часо-вих сигналів. Фільтрами (інша назва – модулятори спектру) є: середовище, пристрій, лінія зв'язку, теле-фон, кольорове скло і т.д. Розглянемо математичний опис фільтрування частот.

90

91

Нехай електромагнітне поле ),,,( tzyxu поширю-ється зліва направо і задано у площині I (рис. 2.4)

tieyx ω−)0,,(Utzyxu =),,,(1 . Тут - просторова частина залежності. По-трібно знайти поле

у площині II. Скористаємося скалярним хвильовим рівнянням, яке отримується із рівнянь Максвела для порожнечі:

)0,,( yxU

),,,(2 tzyxu

z

I

y y

x x II

z =0 Рис. 2.4.

0),,,(),,,( 2

2

212 =−∇

dttzyx

ctzyx uu d . (2.10)

Оскільки tiezyxUdttzyxd u ω2 ),,(ω),,,(

2

2 −−= , то

0 ),,(),,( ωω222

=+∇ −ω− tic

ti ezyxUezyxU , (2.11)

тобто, одержуємо рівняння Гельмгольца (Herman von Helmholtz, 1821-1894) для розподілу амплітуд у прос-торі (тут 222 ck ω= ):

0),,( ),,( 22 =+∇ zyxUkzyxU , (2.12) або

0 U22

22

222 =+++ k

dzUd

dyUd

dxUd . (2.13)

Нехай хвиля рухається вздовж осі z . Замість роз-гляду трансформацій електричного поля при його поширенні у просторі, будемо шукати трансформації просторового спектру електромагнітної хвилі. Засто-суємо перетворення Фур’є до (2.13) та перейдемо у область просторових частот. Для цього домножимо почленно (2.13) на та проінтегруємо по всьому простору

dxdye yxi yx )( ω+ω−

0)( )(22

2

2

2

2

2=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ω+ω−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ dxdyeUk

zU

yU

xU xxi yx . (2.14)

У цьому випадку просторовий спектр залежить тільки від двох частот: yx yx ↔ω↔ω , ; а z виступає у ролі параметра. Вираз (2.14) можна записати інакше:

{ } 0ˆˆˆˆ 22

22

22

2=+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂ UFk

zUF

yUF

xUF . (2.15)

Фур’є-образ похідної функції (1.38) знаходиться множенням фур’є-образу цієї функції на ( ω− i ). Із врахуванням цього доданки у рівнянні (2.15) відпові-дно дорівнюють:

),,,(ˆ 22

2zGdxx

Uxedye

xUF yxx

xiyi xy ωωω−=∂∂

∂∂=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂ ∫∫

∞

∞−

ω−∞

∞−

ω−

).,,(ˆ 2)(2

22

2zGdxdye

yU

yUF yxy

yxi yx ωωω−=∂∂=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂ ∫∫

∞

∞−

ω+ω−∞

∞−

Значення третього доданка у рівнянні (2.15) одер-жуємо, диференціюючи двічі спектральну густину

за параметром ),,( zG yx ωω z :

{ } 2

2)(

22

22 ),,(ˆ

zzG

dxdyezU

zUF yxyxi yx

∂

ωω∂=

∂∂=

∂∂ ∫∫

∞

∞−

ω+ω−∞

∞−

.

Оператори , F̂ 2

2

dzd реалізуються у різних просто-

рах, тому можливо змінити послідовність їхньої дії. Четвертий доданок у (2.15) є спектром функції.

Отже, хвильове рівняння (2.10), тепер у просторі просторових частот, має вигляд:

0),,(),(

)( 2222

,2=ωωω−ω−+

∂

ωω∂zGk

zzG

yxyxyx . (2.16)

Розв'язками цього звичайного диференційного рів-няння другого порядку є дві хвилі – пряма і обернена:

92

222222),,( yxyx kizkiz

yx BeAezGω−ω−−ω−ω−

+=ωω . (2.17) Якщо електромагнітна хвиля поширюється у одно-

рідному середовищі у додатному напрямку осі z , нема відбиттів, тобто, немає оберненої хвилі, а є лише пряма, розв'язок (2.17) спрощується:

222),,( yxkiz

yx AezGω−ω−

=ωω . Оскільки відомий розподіл амплітуди поля

при , а, значить, і спектр ))0,,( yxU

0=z 0,,( yxG ωω , то це дозво-ляє визначити невідомий коефіцієнт A. У результаті:

222

)0,,(),,( yxkizyxyx eGzG ω−ω−

ωω=ωω . (2.18) За цією формулою, знаючи спектр поля у площині

можна знайти спектр у довільній площині ,0=z z . Це дуже суттєвий результат, що має пряме відно-

шення до оптики: знаючи кутовий спектр поля (2.18) у довільній площині, знаходимо через обернене ПФ розподіл електромагнітного поля – функцію

у всьому просторі . ),,( zyxUОтже, поле у довільній точці простору визначається

за оберненим перетворенням Фур’є, якщо при 0=z відомо спектр )0,,( yxG ωω :

.)0,,(),,( )(41

222

2 yxyxikiz

yx ddeeGzyxU yxyx ωωωωπ= ω+ωω−ω−∞

∞−

∞

∞−∫∫

(2.19)

93

Рівність (2.19) означає, що спектрально-просторові характеристики хвилі передаються у прос-торі практично без змін (якщо ігнорувати природній набіг фази

)0,,( yxU

222yxkz ω−ω− ). Цей результат здається не-

ймовірним, однак це так. При проектуванні слайдів на екран сюжет у площині екрану і перед ним – аж до проектуючого об'єктива – характеризується од-

ним і тим же набором частот (і кутовим спектром). Лише певна комбінація фаз цих частот у спряженій площині може створити різке зображення. Зміна ка-ртини хвильового поля у різних, нормальних осі z площинах, викликана лише набігом фаз, а модуль спектра залишається незмінним.

3*. Таким чином, шар простору формально веде себе як фільтр просторових частот, оскільки частоти первинного спектру він пропускає вибірково, у від-повідності із множником

222

),,( yxkizyx ezK

ω−ω−=ωω , (2.20)

який називається передавальною спектральною фу-нкцією шару простору. Такий множник зустрічався у представленні Релея.

Отже, правило: щоб знайти довільне поле за заданим полем , потрібно

),,( zyxU)0,,( yxU

•визначити спектр (спектральну густину ) первинного поля у площині )0,,( yxG ωω 0=z ,

•помножити її на фільтруючий множник (2.20), •виконати обернене ПФ і знайти . ),,( zyxUЦе загальне правило для всіх випадків і систем, ко-

ли маємо справу з фільтрами, треба лише для даної системи знати множник, який відповідає за фільтру-вання частот. Досить часто цей множник коригує фази відповідних частот, проте, за традицією, вва-жається частотним фільтром.

4*. Вигляд передавальної функції ),,( zK yx ωω пока-зано на рис. 2.5. У області прозорості yxk ωω>λπ= ,2 шар простору, як фільтр частот, лише зміщує фази частот, а у області 2 2 2

x yk 2< ω + ω = Ω − катастрофічно зменшує амплітуди спектру частот (зі збільшенням z і різниці ). 2 2( )x y kω + ω − 2

94

б

1

а

ωy

|K(Ω)|

ωx

|K(Ω)|

z < λ z = λ z = ∞

Ω

K =1

00 K

Рис. 2.5. Вигляд передавальної функції K(ωx, ωy, z):

(а) – загальний вигляд; (б) – переріз площиною.

Нехай, наприклад, деяка поверхня освітлюється далеким монохроматичним ( 0λ=λ ) точковим джере-лом. Хвиля, яка прийшла здалеку, є плоскою і має лише одну просторову частоту; при відбиванні від довільної поверхні ця частота виявляється промоду-льованою і тепер несе інформацію про поверхню (наприклад, про шорсткість). Хвиля інтенсивно роз-сіюється вздовж різних напрямків, тому відбите світло має широкий спектр просторових частот

. Будемо вважати, що ця поверхня характе-ризується великими неоднорідностями з розмірами

(область малих просторових частот

),(1 yxG ωω

01 λ>Δx 12 xΔπ ), середніми 2xΔ ∼ 0λ (відповідно середні частоти), ма-лими – 03 λ<Δx (високі просторові частоти 32 xΔπ ) і надмалими неоднорідностями (наприклад, молекуля-рно-атомна структура). У такому випадку відбита від поверхні хвиля містить безліч деталей, її спектр

дуже широкий (рис. 2.6), бо описує неодно-рідності аж до внутрішньоатомних.

),(1 yxG ωω

Передавальна функція шару простору 22222

),,( Ω−ω−ω−==ωω

kizkizyx eezK yx ,

95

де для скороченого запису введено , її мо-

дуль

222xx ωωΩ +=

1 |),(| =Ω zK у області 02 λπ<Ω =k і швидко зменшується при 02 λπ>Ω . Тобто, у процесі поши-рення хвилі вздовж z ми швидко втрачаємо інформацію про дрібні деталі із розмірами 03 λ<Δx і тим швидше, чим більше z . Щоб ці деталі все ж по-бачити у відбитому світлі, треба використовувати більш коротку довжину хвилі 3xΔ<λ′ (рис. 2.6 б).

Таким чином, стає більш ясною, з точки зору фізи-ки, природа обмеження роздільної здатності різних оптичних пристроїв (шар простору – також оптичний пристрій!). На даній довжині хвилі 0λ вільний прос-тір як фільтр просторових частот просто не в змозі передати інформацію про деталі, що характеризують-ся високочастотним спектром: цей спектр у вільному

б 1

ω

)(1 ωG

)(2 ωG 0

λ′π/2

|)(ω| 0K а

0

)(1 ωG

ω

)(ωG 1

0λπ/2

)(2 ωG

λ′ < λ0

Рис. 2.6. Спектр G1(ω) хвилі, відбитої від шорсткої поверхні; модуль передавальної функції |K(ω0)| та спектр G2(ω) хвилі, яка пройшла крізь фільтр.

96

просторі товщиною z катастрофічно швидко затухає (майже за законом Бугера):

22

)0,(),(Ω−−

Ω=Ωkz

eGzG . Принципово начебто можна одержати зображення

атома за допомогою видимих хвиль, але z повинно бути настільки малим, що ця операція втрачає зміст. Крім того, слід мати на увазі, що наше наближення не працює у області великих , близьких до yx kk ,

02 λπ , принципові висновки для цієї області не мож-на робити. Тому надалі ми не будемо цікавитися полем у області сильного затухання, а будемо розгля-дати лише ті випадки, які відповідають області прозорості ( Ω>λπ2 і 1|| =K ).

8. Область геометричної тіні Якщо відстань z велика, то поле знаходять, вико-

ристовуючи наближення Френеля або Фраунгофера у залежності від поставленої задачі. Часто є потреба знати розподіл поля у області так званої геометричної тіні - безпосередньо поблизу різних перешкод, напри-клад, діафрагм, транспарантів, лінз, дзеркал, дифракційних граток, тощо.

Вважаємо, що при z = 0, де розташована пере-шкода, поле відоме. Знайдемо ),,( zyxU пр малих

поле иz у області про (з ості ор Ω>λπ2 ).

Точний вираз для поля має вигляд:

yxyxikiz

yx ddeeGzyxU yx ωωωωπ= ω+ωΩ−∞

∞−

∞

∞−∫∫

)(4

122

2 )0,,(),,( .

(2.21) де позначено . Представимо наближено 222

xx ωωΩ +=

97

kkkk

≈+Ω=− −Ω )( ...2

22221 . (2.22)

Тут ми знехтували другим доданком, який впливає на фазу. Цей крок є правомірним при певних умовах: похибка визначення фази (під інтегралом) не повинна перевищувати, наприклад, 10%:

π⋅<Ω 21,02 2 kz . (2.23) Вважаємо, що найбільша просторова частота maxΩ

пов′язана з мінімальною неоднорідністю поля maxΩ ~ min2 lπ , (2.24)

тоді λ=Ω⋅π< 2

min2 2,0)2( 2,0 lkz .

Якщо розмір щілини 1,0min =l мм, то для довжини

хвилі мм знаходимо 3105,0 −⋅=λ 4--

2,0 3

2

100,510 =<

⋅z мм;

при мм 1min =l 400<z мм. Вимоги до величини похибки можуть бути більш

жорсткими (наприклад, не більше 1%), тоді вказані відстані будуть іншими.

Отже, якщо z не перевищує значень, заданих (2.23), то поле може бути представлено у вигляді ),,( zyxU

.)0,,(

)0,,(),,( )(4

1 2

ikz

yxyxiikz

yx

eyxU

ddeeGzyxU yx

=

=ωωωωπ= ω+ω∞

∞−

∞

∞−∫∫ (2.25)

Наприклад, , тоді

. Така форма запису відповідає просто зміщенню фази, тоб-то, поле

tieyxUtyxU ω= )0,,(),0,,( 0))((

00 )0,,( )0,,(),,,( ztiikzti eyxUeyxUtzyxU ϕ+ω+ω ==

),,,( tzyxU те ж саме, що і на перешкоді ),0,,( tyxU , враховується лише набіг фази за рахунок

відстані z . Це дозволяє знаходити вираз для поля безпосередньо після перешкод, лінз і т.д.

98

Особливо часто цим наближенням користуються, коли цікавляться основним потоком енергії хвилі і не-хтують ефектами на краях.

У таблиці Д.1 (додаток 6) наведено формули, за якими визначається поле при різних наближеннях.

9. Взаємодія сигнала з фільтром 1*. Як уже встановлено, інформація про подію мо-

же знаходитися у двох рівноправних формах: 1. Власне подія (сигнал) ),,( ),( zyxftf і т.д. 2. Спектр сигналу ),,( ),( zGG yx ωωω .

Дві форми однозначно зв′язані парою ПФ: якщо сигнал визначений у вигляді , то практично відома і друга форма

),,( zyxf),,( zG yx ωω .

Всі пристрої і функції, які діють на сигнал, можна розділити на два типи:

1. Ті, які діють на сигнал (модулятори). 2. Ті, які діють на спектр сигналу (фільтри). Будь-який пристрій обробки інформації є або філь-

тром, або модулятором для даного сигналу, чим саме – залежить від фізичних властивостей цього при-строю. Однак тим самим визначається і головна математична операція для системи: або вхвих GKG )(ω= (фільтр), або вхвих UtTU )(= (модулятор). Власне, сигнал з’являється як результат дії (впливу) модулятора на деяку базову функцію (процес), яка без модуляції сво-їм змістом не несе ніякої інформації. Наприклад, цей текст надруковано на білому аркуші, який без тексту не несе інформації. В іншій ситуації, будучи наклеє-ним на шибку вікна, може мати деякий, наперед домовлений зміст і бути сигналом.

2*. Розглянемо, як змінюється коефіцієнт передачі спектру, коли сигнал на вході лінійної системи зміщу-

99

100

)

ється на величину τ. Якщо сигналу ) на вході при-строю відповідає сигнал на виході , а сигналу на вході ) відповідає сигнал на виході

(1 tf)(2 tf

(1 τ+tf (2 τ+tf , то така лінійна система, очевидно, є інваріантною до зміщення сигналу вздовж координати t (змінна t – часова або просторова координата).

У першому випадку (незміщений сигнал) спектри сигналів на вході та виході лінійної системи дорів-нюють та ))(1 ωG (2 ωG , а коефіцієнт передачі спектру

)()()( 121 ωω=ω GGK . (2.26) У другому випадку (зміщений сигнал) у відповідно-

сті до теореми про зміщення спектри мають вигляд і , причому, коефіцієнт передачі ωτω ieG )(1

ωτω ieG )(2

)( )( )()( 1222 ω=ωω=ω ωτωτ KeGeGK ii (2.27) не змінився, тобто, він не реагує на зсув сигналу у ко-ординатній площині. Пристрій, який завжди однаковим чином змінює спектр сигналу, що прохо-дить крізь нього, називається фільтром.

Якщо говорити про часові сигнали (змінна t − час), то фільтром, наприклад, оптичних частот є ко-льорове скло. Підсилювач низької частоти, який застосовується у звуковій апаратурі, також є фільт-ром частот, чим ширша його смуга при інших рівних умовах, тим кращий підсилювач. Фільтром звукових частот є також і будь-який інший лінійний пристрій, який пропускає сигнал від джерела до приймача. У підсилювачах низької частоти, які випускалися ра-ніше, з електронними лампами, для узгодження опорів вихідного лампового каскаду і гучномовця використовувався трансформатор із залізним магні-топроводом. Такий трансформатор погано передає високі частоти, у результаті сигнал спотворювався. Напівпровідникові підсилювачі низької частоти до-зволяють обходитися без узгоджуючого трансфор-

матора, їхня якість значно вища. Правда, деякі ме-ломани стверджують, що лампові підсилювачі забезпечують більш природнє звучання.

Для просторових сигналів фільтрами є шар просто-ру, діафрагми і інші оптичні елементи, які ми будемо розглядати. Таким чином, фільтр – це пристрій, інва-ріантний до зміщення сигналу у часовому (або у координатному) просторі.

3*. Модуляція. Якщо ж система інваріантна до змі-щення спектру за частотою, то вхідним спектрам і сигналам виду

tiF

F

etfGB

tfGA

0 )()( )(

)()( )(

1ˆ

01

1ˆ

1ω⎯⎯ →←ω−ω

⎯⎯ →←ω

відповідають вихідні параметри

tiF

F

etfGB

tfGA0)()( )(

)()( )(

2ˆ

02

2ˆ

2

ω⎯⎯ →←ω−ω

⎯⎯ →←ω

причому “прозорість” системи для будь-яких частот сигналу зберігається незмінною і залежить лише від постійної часу:

)()()( )()(

)( )(

1

2

1

20

0tTtf

tfetfetf

ABti

ti==ω

ω.

Даний пристрій є модулятором. Відношення густи-ни амплітуд спектрів не зберігається:

)()(

)()(

01

02

1

2ω−ωω−ω

≠ωω

GG

GG

.

Як приклад можна вказати на модуляцію у радіо-мовленні (рис.1.1), коли спектр із області звукових частот переноситься у діапазон радіохвиль (від УКХ до довгохвильового). Цей модулятор інваріантний до переміщення спектру за частотою, бо всі вхідні час-тоти він переміщує на величину . 0ω

101

102

У оптиці, як і у будь-якому іншому інформаційному каналі, модуляція сигналу пов’язана із внесенням у нього певної інформації у вигляді функції просторо-вих частот. У подальшому сигнал поширюється через елементи системи (це може бути навіть просто шар простору), які обов’язково змінюють спектр сигналу. Добування інформації здійснюється демодулятором. Модулятор і демодулятор, таким чином, встановлю-ються на кінцях лінії зв’язку, сама ж лінія зв’язку є, за визначенням, фільтром. У радіоелектроніці фільтрами є всі вимірювальні пристрої, підсилювачі, осцилогра-фи, кабелі, антени, вільний простір, і все інше, що пропускає через себе сигнал від джерела до детекто-ра. Завдання будь-якого інформаційного каналу полягає у тому, щоб передати сигнал від джерела до приймача з мінімальними спектральними спотворен-нями, втрата спектральних компонент однозначно означає втрату інформації, яка переносилась саме даною частотою. Якщо наперед відомо, як саме канал спотворює спектр сигналу, можна передбачити еле-менти, які компенсують ці спотворення, і тим самим забезпечити адекватну передачу. Саме така ідеологія використовується при магнітному запису звуку, ін-акше було б неможливо відтворювати високочастотну частину звукових сигналів. З іншого боку, фільтрую-чи за певним законом спектральний склад сигналу, можна відсікти спектральні ділянки, спотворені пе-решкодами, завадами, і покращити співвідношення сигнал-шум, тобто, у кінцевому підсумку, здійснити передачу інформації з меншими енергетичними за-тратами. Інколи простіше математичну обробку сигналів проводити у частотній області. Тому основ-ною турботою розробників пристроїв передачі і обробки інформації є фільтри, тобто, пристрої, інва-ріантні до зсуву сигналу у координатній області.

4*. Якщо на вхід вимірювального приладу у почат-ковий момент 0=t подати сигнал у вигляді П-подібного імпульсу I тривалістю , прилад певним чином відреагує на цей сигнал (рис. 2.7). При

TTt >

покази будуть прямувати до початкового положення, тобто, хоча дія сигналу припинилась, прилад буде ре-єструвати ненульовий результат. Якщо у цей момент з’явиться новий імпульс І І на вході приладу, то це викличе на його виході деяку іншу реакцію у порів-нянні із випадком, коли б цей попередній імпульс І був відсутній взагалі (наприклад, максимальне відхи-лення 1 і 2 не співпадають).

Тому покази приладу у даний момент завжди є “зважена” реакція приладу на попередні сигнали, най-більший внесок дає недавня взаємодія у порівнянні з більш ранніми. “Із двох прекрасних картин краща та, на яку я зараз дивлюся”, – Ірвін Стоун, “Жадоба жит-тя”. Тут теж спрацьовує теорема згортки.

Апаратна функція (АФ) фільтру – це реакція даної системи на δ -подібне імпульсне збудження. Із нескін-ченно широкого спектру δ-функції пристрій пропус-кає лише частину частот (і змінює, природньо, їхні початкові фази); складаючись на виході системи, во-

T t

a f1(t) I I I

0

t

б 1

2 f2(t)

0 T Рис. 2.7. Сигнали на вході приладу (а) та реакція

приладу на них (б).

103

ни утворюють вихідний сигнал, який і називається АФ. Інші назви апаратної функції: імпульсна харак-теристика, імпульсний відгук, функція розсіяння, згладжувальна функція, тощо.

Для реальних фільтрів повинна виконуватися одна, ніким не доведена, емпірична умова: вихідний сигнал не може з’явитися раніше вхідного сигналу (виявля-ється, у протилежному випадку, такий пристрій не може бути реалізованим). Це принцип причинності.

Отже, при дії на вході фільтра сигналу у вигляді δ-функції, спектр якої, як відомо, дорівнює 1, на його виході маємо:

ωωπ=ωωωπ== ω∞

∞−

ω∞

∞−∫∫ deKdeGKthtf titi )(2 )( )(2)()( 1

11 .(2.28)

Як видно, АФ і коефіцієнт передачі спектру пов′язані парою перетворень Фур′є:

. )(2)( ; )( )( 1 ωωπ==ω ω∞

∞−

ω−∞

∞−∫∫ deKthdtethK titi (2.29)

5*. Нехай на вході цього ж пристрою є довільна “гарна” функція ) і на виході відповідно . Оскільки наш пристрій – фільтр, то

(1 tf )(2 tf

,)()(

)( )(2)(

11

11

2

fhdtfh

dehdeGtf iti

⊗=ττ−τ=

=ττωωπ=

∫

∫∫∞

∞−

ωτ−∞

∞−

ω∞

∞− (2.30)

тобто, функція на виході будь-якого фільтру є згорт-кою вхідної функції з імпульсною характеристикою цього фільтру. Можна нічого не знати про пристрій, окрім АФ , однак цього досить, щоб описати вихідний сигнал. Це відомий інтеграл Дюамеля (Jean-Marie Constant Duhamel, 1797 - 1872), він має широке за-стосування скрізь, де мають справу з сигналами – у

104

105

електроніці, радіомовленні. Про роль інтеграла згорт-ки у оптиці ми згадували раніше.

Наведемо приклад використання цього інтеграла у електророзвідці корисних копалин. Процес полягає у тому, що, як правило, визначають дисперсію провід-ності об’єму землі між двома електродами (заземленнями), розташованими на відстані L, і одер-жують частотну характеристику провідності σ(ω) цієї ділянки землі. Вона дає можливість по глибині скiн-шару визначити геологічну структуру шарів землі, наявність корисних копалин, тощо.

Однак цю задачу іноді вирішують інакше. Через такі ж електроди -заземлення у досліджуване середо-вище запускають імпульс ефектричного струму у вигляді δ-функції, а сигнал знімають з іншої пари електродів, розміщених в цій же місцевості, але на меншій відстані L. Цей сигнал і є АФ (імпульсний від-гук системи). Пряме ПФ АФ дає спектр коефіцієнта провідності цієї ділянки землі і відомості про структу-ру шарів землі. Відстань між електродами L від 500 до 3000 м. Чим більша ця база, тим про більш глибокі шари можна отримати інформацію.

Про психоемоційний стан суспільства можна суди-ти, досліджуючи тематику чуток, анекдотів, які активно у ньому поширюються. Очевидно, такі дослі-дження можуть бути не лише пасивними, але і активними, з генерацією «сигналів» дуже широкого спектру. Вони можуть свідчити про настрої в суспіль-стві, дозволяють прогнозувати його поведінку.

6*. При опису реакції пристрою на сигнал суттєва одна особливість, пов′язана з симетрією простору і асиметрією часу (ліве і праве принципово не відріз-няються, тоді як минуле і майбутнє – не рівноцінні). Сигнали, які залежать від координат, можуть бути представлені інтегралом виду

ξξξ−ϕ= ∫∞

∞−

dQxxf )( )()( , (2.31)

причому )(ξQ – симетрична функція, і будь-яка сис-тема дозволяє досліджувати cигнал в будь якій точці не залежно від моменту часу t .

Якщо ж аргумент функції – час, симетричний за-пис не має фізичного змісту: майбутні сигнали ні в якій просторовій точці не існують у даний момент і не можуть давати внесок у сучасну реакцію приладу. Тому нескінченні межі у інтегралі типу (2.31) можуть бути присутні лише формально (якщо відомо, напри-клад, що на момент часу спостереження t і надалі дія на вході дорівнює нулю). Запис виду

τττ−ϕ= ∫∞−

dQttft

)()()( (2.32)

для часових сигналів є найбільш коректним. 7*. Запис (2.31) означає, що фільтр є лінійною сис-

темою: у точці x він проводить дію з врахуванням того, що початкова дія була у вигляді

у всьому діапазоні зміни

)(xf

)(ξϕ x , а вклади у результу-ючу функцію проводилися з ваговим коефіцієнтом

)(xf)( ξ−xQ . Якась подія може справляти

сильне враження, проте вона ж, згадувана через рік, сприймається більш спокійно. Час лікує...

Дії будь-якої лінійної системи можна поставити у відповідність деякий оператор , який функцію

на вході у систему перетворює у функцію )(xL

)(ξϕ )(ξf на ви-ході за правилом

)()]([ ξ=ξϕ fL , (2.33) де - реакція системи на дію )(ξf )(ξϕ на вході. Вияв-ляється, у будь-якого оператора завжди є клас функцій

mL)(ξmf , для яких (2.33) стає більш симетричним

106

)()( ξ=ξ mmm AffL , (2.34) де A − коефіцієнт; вони називаються власними функ-ціями оператора . Будь-який лінійний оператор

має власні функції виду mL

mL )exp( xi ω . Дійсно, якщо

)(][ xleL xi =ω , (2.35) то у іншій точці )( 0xx +

)(][][ 0)( 00 xxleLeeL xixixxi +== ωω+ω , (2.36)

бо . Якщо у (2.36) прийняти const0 =x x = 0 і позна-чити CL =)1( , то

0)( 0xiCexl ω= (2.37)

або, що те ж саме, xiCexl ω=)( ,

оскільки індекс нуль можна опустити, бо 0 може бу-ти довільним. Разом із (2.35) це доводить твердження (2.34) для лінійного оператора

x

)(xL : xixi CeeL ωω =][ . (2.38)

Коефіцієнт C можна визначити, пропустивши че-рез лінійну систему функцію з відомою поведінкою, наприклад, . Спектри на вході і виході си-стеми, а також вихідний сигнал мають вигляд:

xiexf 0)(1ω=

; )()(

);()(2)( );(2)(

002

02

01

xieKxf

KGG

ωω=

ωω−ωπδ=ωω−ωπδ=ω

(2.39)

що разом із (2.38) визначає )(ω= KC . (2.40)

Таким чином, оператор, який описує дію лінійної системи у просторі , має власні функції виду , які утворюють ортонормований базис, а коефіцієнти передачі спектру

x xie ω

)(ωK , природньо, є власним значен-ням оператора:

107

xixi eKeL ωω ω= )(][ . (2.41) Довільна гарна функція, яка існує у тому ж прос-

торі, що і функції базису, може бути розкладена у ряд за функціями базису, а результат дії на неї опе-ратора L може бути визначений у вигляді інтегралу суперпозиції (приймаючи до уваги лінійність систе-ми). Оскільки переважна більшість систем, якими цікавляться на практиці, є лінійними, стає зрозумі-лим, чому розклад Фур’є (за функціями виду ) отримав таке широке застосування. Розклад дослі-джуваної функції за власними функціями оператора є найбільш зручним, бо власні значення цього опера-тора наперед відомі.

xie ω

10. Принцип Гюйгенса-Френеля Згідно принципу Гюйгенса-Френеля, кожна точка,

до якої дійшло випромінювання, є джерелом вторин-них хвиль, які вподальшому поширюються у всьому просторі; результуюче світлове поле утворюється вна-слідок інтерференції вторинних хвиль.

Математичне формулювання принципу Гюйгенса-Френеля. Якщо задано поле у площині )0,,( yxU ,0=z то, оскільки простір є фільтром, у довільній площині z поле може бути знайдено як згортка функцій ),,( zyxU

),,( )0,,(),,( zyxhyxUzyxU ⊗= , (2.42) де – імпульсна характеристика шару просто-ру товщиною

),,( zyxhz . Така функція існує, бо шар

простору – фільтр просторових частот. Вона знахо-диться шляхом оберненого ПФ від коефіцієнта передачі (2.20):

),,( zyxh

yxyxikiz ddeezyxh yxyx ωωπ= ω+ωω−ω−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫

)( 222

241),,( ,(2.43)

і тоді 108

ηξη−ξ−ηξ= ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ddzyxhUzyxU ),,( )0,,(),,( . (2.44)

Тобто, поле ),,( zyxU знаходиться як зважена сума полів точкових джерел, які розташовані у площині XY при 0=z , причому середовище має коефіцієнт пере-дачі спектру ),,( zK yx ωω . Вираз (2.44) разом із виразом (2.43) є математичним формулюванням принципу Гюйгенса-Френеля.

Імпульсна характеристика шару простору ви-значається за формулою (2.43), а оскільки АФ – це реакція лінійної системи на δ-функцію, то знайти її можна, якщо розглянути аналог δ-функції у оптиці – точкове джерело. Оскільки пряме обчислення інтег-ралу (2.43) утруднене, то АФ шару простору знаходять іншим способом.

Розглянемо поширення у просторі деякої еталонної, наприклад, сферичної хвилі

222

222

),,(zyx

zyxkikr ier

ezyxU++

++== , (2.45)

поведінка якої відома у всьому просторі. Але ми спробуємо визначити цю хвилю ще й через коефіці-єнт передачі спектру шаром простору ),,( zK yx ωω . Функції (2.45) відповідає спектр ),,( zG yx ωω , який до-рівнює добутку ),,( zK yx ωω і )0,,( yxG ωω . Отже, спочатку найдемо спектр у площині 0=z :

dxdyeyxUG yxiyx

yx )( )0,,()0,,( ω+ω−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫=ωω . (2.46)

Введемо у (2.46) заміну змінних ϕ= cosrx ,

, ϕ= sinry ϕ= ddrrdxdy та позначивши , 222yx ω+ω=Ω

ψcos22 =ωωω + yxx , ψsin 22 =ωωω + yxy , тоді:

109

( ) .

)( 1)0,,(

)cos(

0

2

0

)cos(

0

2

0

sinsincoscos

0

2

0

dreddrdee

rdrdeer

G

kiririkr

irikryx

ϕΩ−∞π

ψ−ϕΩ−∞ π

ϕψ+ϕψΩ−∞ π

∫∫∫ ∫

∫ ∫

ϕ=ϕ=

=ϕ=ωω

(2.47)

У останній формулі ми знехтували ψ у показнику експоненти, оскільки інтегрування за змінною ϕ ве-деться за повний період функції ϕcos , у межах від 0 до 2π, а це означає, що початкова фаза не впливає на результат інтегрування.

Інтеграл за змінною у формулі (2.47) розрахову-ємо, ввівши множник

rre γ− із малим коефіцієнтом

загасання, , що є правомірним з фізичної точ-ки зору, адже простір не має підсилюючих власти-востей, крім того, поле точкового джерела прямує до нуля на нескінченності завдяки множнику

0→γ

r/1 . Від-повідно, спектр поля теж прямує до нуля. Отже, вираз (2.47) матиме вигляд:

( )

( ) ∫∫

∫∫ππ

γ−ϕΩ−→γ

∞γ−ϕΩ−

π

→γ

ϕ)Ω−ϕ=ϕ=

=ϕ=ωω

2

0

2

0)cos(0

0

)cos(2

00

.cos(

)1lim(

) lim()0,,(

kidd-

ddreeG

ki

rkiryx

(2.48)

Зробимо заміну змінних у (2.48): , ϕ=ζ ie ϕζ=ζ did ,

. Тоді 2/)(cos 1−ζ+ζ=ϕ

∫∫ Ω−ζΩ−ζζ=

)ζ+ζΩ−ζ

ζ=ωω−

1

02

1

01

22

2

)(()0,,(

kd

kiidG yx . (2.49)

Використаємо теорему лишків для обчислення інте-гралу (2.49) (додаток 5). У нашому випадку комплексна область С - круг з центром у точці (0, 0) та радіусом 1; 2)( =ζϕ ; . Визначи-Ω−ζΩ−ζ=ζψ 22)( k

110

мо особливі точки, прирівнявши знаменник ψ(ζ) до нуля і розв’язавши квадратне рівняння. Отримаємо

ΩΩ−±=ζ /)( 222,1 kk . У визначену область |ζ|=1

попадає тільки одна точка: ΩΩ−−=ζ /)( 221 kk ; тоді

2211 22)( Ω−=ζΩ−=ζψ′ kk . Таким чином, спектр у

площині 0=z дорівнює:

222 cos)0,,(

2

0 Ωπ=

ϕΩ−ϕ=ωω

−

π

∫ ki

kidG yx . (2.50)

Як говорилось вище, відома нам сферична хвиля (2.45) у точці з координатами zyx ,, може бути вира-жена і через обернене ПФ від свого спектру:

.

))0,,(),,((ˆ),,(

)(

42

1

222

222

2 yxyxi

k

kiz

yxyx

ddeei

GzKFzyxU

yx

yx

yx

ωωππ=

=ωω⋅ωω=

ω+ω

ω−ω−

ω−ω−∞

∞−

∞

∞−

−

∫∫ (2.51)

Порівнюючи (2.51) із (2.43), бачимо, що з точністю до множника у знаменнику під інтегралом цей вираз дорівнює імпульсній характеристиці шару простору

. Якщо продиференціювати ліву і праву час-тини (2.51), то справа отримаємо функцію :

),,( zyxh),,( zyxh

).,,( 2),,( zyxhz

zyxUπ−=

∂∂ (2.52)

Це і є вираз для визначення імпульсної характе-ристики шару простору, оскільки функція відома (2.45). Він був одержаний у процесі дослі-дження властивостей поля сферичної хвилі, однак має загальний характер, оскільки є характеристи-кою шару простору. Конкретизуємо його, під-ставивши у (2.52) формулу (2.45)

),,( zyxU

111

222

222

21),,(

zyx

zyxikez

zyxh++

++

∂∂

π−= , (2.53)

одержимо вираз, що визначає імпульсну характерис-тику шару простору.

11. Поле точкового джерела Якщо на вході шару простору розташовано точкове

джерело світла, математичною моделлю якого є дель-та-функція ),( yxδ , то на виході системи (точкове джерело плюс шар простору) одержимо імпульсну ха-рактеристику . Отже, поле у точці , що збуджується розташованим у початку координат точ-ковим джерелом, описується функцією, яка є імпульсною характеристикою шару простору .

),,( zyxh ),,( zyx

),,( zyxhНехай на вході системи діє сигнал із спектральною

густиною 1)0,,( =ωω yxG , тоді на виході матимемо )=ωω ),,( zG yx 0,,(),,( yxyx GzK ωωωω . Очевидно, поле на

виході системи визначається як обернене ПФ: ),,(),,(ˆ),,(ˆ),,( 11 zyxhzKFzGFzyxU yxyx =ωω=ωω= −− .

Тут врахована формула (2.29). Обчислимо це поле. Вважаємо, що точкове джерело

випромінює сферичну хвилю (2.45). Імпульсна харак-теристика шару простору визначається згідно (2.53). Перейдемо до сферичних координат, де

rrrz

zr

rz ∂∂γ=

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂ cos ,

бо γ= cosrz , γ - кут між радіус-вектором і напря-мком осі

rz . Тоді

)( 112coscos

21),,(

ikre

irk

re

rzyxh ikrikr

−π

γ=∂∂γ

π−= . (2.54)

112

Це – точний вираз для поля у точці , яке ми шукаємо. Воно не залежить від кута

),,( zyxϕ (симетричне

відносно осі z ) і складається з двох полів: 1) поле випромінювання reik ikr)2cos( πγ ; 2) кулонівське поле (індукційне або електростатичне)

2)2cos( krek ikrπγ . Існує іноді неправильне уявлення про електромаг-

нітне поле як про змінне кулонівське (електро-статичне) поле. Як видно із (2.54) і рис. 2.8, на якому зображено поле диполя, що повільно коливається, та-ке поле дійсно існує, але не воно є електричною компонентою електромагнітного поля. Якщо диполь

qlp = коливається за законом tpp 00 cos ω= , то у то-чці спостереження A сумарне електростатичне поле від двох заpядів також коливається з частотою 0ω . Амплітуда коливань кожного з доданків такого поля зменшується з відстанню за законом ∼кулU ,1 2r тоб-то, потужність кулонової компоненти зменшується дуже швидко ( ∼кулU *

кулU 41 r ). Для кулонівської ком-поненти окремо закон збереження енергії не виконується, тобто, її потужність якимсь чином пере-качується у потужність електромагнітної хвилі, що забезпечується, як побачимо далі, фазовим множни-ком індукційного поля. Таким чином, поле випро-

l

+

–

Eкул E1E2

А Eкул

–

+ l

E1

E2А Рис. 2.8. Електростатичне поле диполя

у двох сусідніх фазах, які відрізняються на π.

113

мінювання reik ikr)2cos( πγ при великих є власне електричною складовою електромагнітного поля, і природа його не пояснюється простим розширенням уявлень електростатики на випадок рухомих зарядів. Електромагнітне поле є якісно новим полем. Множ-ник у виразі для поля випромінювання забезпечує виконання відомого у оптиці закону обернених квад-ратів для освітленості, яка створюється точковим джерелом на нормальній до променя площадці. Діаг-рама направленості поля визначається множником

r

1−r

γcos і має максимум у напрямку осі z . Комплексне число у круглих дужках (2.54) можна

представити у вигляді

kri

rke

ikr

1 1111

arctg 22+=− ,

і можна вважати ( ikr11− ) ∼1, якщо 1>>kr . При цьо-му у виразі (2.54) буде дуже мала уявна частина, яка відповідає за кулонівське поле. Це означає, що на від-стані πλ=>> 21 kr суттєвим буде лише поле випромінювання, а електростатичне змінне поле у оптиці не відіграє практично ніякої ролі, якщо не ці-кавитися фазою )1(arctg kr=ϕ . У подальшому ми не будемо його розглядати.

Отже, з врахуванням сказаного, імпульсна харак-теристика шару простору товщиною z при поши-ренні електромагнітної хвилі може бути виражена:

.2cos),,( ikre

irkzyxh

πγ= (2.55)

Параксіальне наближення, яке є добре відомим у оптиці, відповідає випадку ,,yxz >> . При цьому вираз для імпульсної характеристики шару простору

0→γ

),,( zyxh ∼)( 22

22

yxikz zik

eeizk +

π (2.56)

114

спрощується. Отже, лінії рівної фази у площині XY є колами, як і у випадку зонної пластинки Френеля.

12. Наближення Френеля Розглянемо, у якій області зміни z допустимо ви-

користовувати наближеня Френеля, тобто, застосовувати ПФр для визначеня поля, яке поширю-ється у просторі після об′єкта.

Як ми встановили, згідно з принципом Гюйгенса-Френеля поле у точці ( zyx ,, ) знаходиться як інтеграл Дюамеля: )0,,(),,(),,( yxUzyxhzyxU ⊗= , який у набли-женні поля випромінювання для області малих кутів має вигляд:

.)()(

)0,,(2

),,(222

)()( 222

ηξ+η−+ξ−

ηξπ

=+η−+ξ−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ dd

zyx

eUi

kzyxUzyxik

(2.57)

Це таке ж математичне вираження принципу Гюй-генса, як і у попередньому параграфі. Воно означає просто додавання у точці комплексних сфери-чних хвиль від різних джерел з вагою

),,( zyxikU πηξ 2)0,,( .

Оскільки випромінювач (початкове поле) обмежений у просторі, то границі інтегрування, як правило, об-межені (2а, 2в, наприклад). Якщо розглядати поле при великих ) , то знаменник можна просто за-мінити відстанню

,( yxzz >>

z , однак фазу у експоненті треба визначати точніше, бо навіть мала відносна похибка у визначенні фази при наявності великих порядків інтерференції дає суттєвий абсолютний вклад у ре-зультуючу фазу коливань. Наприклад, при 1=z см і

см фазовий кут рад, віднос-на похибка 0,01% при заміні на

4105,0 −⋅=λ 41022 ⋅⋅π=krr z означає

визначення цього кута з абсолютною похибкою до 4π,

115

що зводить нанівець векторне додавання і є абсолют-но неприпустимим.

Скористаємося розкладом Тейлора:

...])()[(81

2)()(1)()(1

4

222

2

22

2

22

+η−+ξ−

−

−η−+ξ−

+=η−+ξ−

+

zyx

zyx

zyx

(2.58)

Якщо у розкладі залишити два члени, то величина похибки при цьому буде не більшою за величину тре-тього доданка, оскільки ряд є знакозмінним і швидко сходиться. Тоді у наближенні Френеля поле, яке ми шукаємо, має вигляд:

.)0,,(2

),,())()(( 22

2 ηξηξπ

=η−+ξ−

−−∫∫ ddeU

izkezyxU

yxzikb

b

a

a

ikz (2.59)

Формула (2.59) формально є згорткою, але може бути інтерпретована і по іншому – як кореляція сферичних хвиль з плоскими хвилями, які описуються ядром Фур’є, з ваговим множником : )0,,( ηξU

. )(

)0,,(

2),,(

)(2

)(2

22

22

ηξηξ×

×π

=

ηω+ξω−η+ξ

−−

+

∫∫ ddeU

eiz

kezyxU

yxizikb

b

a

a

yxz

ikikz

e (2.60)

Тут під просторовими частотами розуміють вирази zkyzkx yx =ω=ω , . (2.61)

Будемо вважати, що таке представлення справед-ливе, якщо абсолютна похибка у обчисленні відстані (2.58) не більша λ /10 (за Релеєм):

λ<η−+ξ− 1,08))()(( 3222 zyx . (2.62) Найбільш несприятливий випадок: ba −=η−=ξ ;

(рис. 2.9). Тоді

116

y

x

R

z = 0

2b

z

y

x

ρ 2a

a

y

x A

–b

–a

y

x

ρ

б

R

R

B

Рис. 2.9. До розрахунку точності наближення.

3222 8,0))()(( zbyax λ<+++ ∼ 3zλ , (2.63) тобто,

33 22 )()( λ+++≥ byaxz (2.64) Число є квадратом гіпотенузи

трикутника з катетами

222 )()( byaxA +++=)( ax + і )( by + . Можна скласти

інше число, ρ+= RB , де . Із рис. 2.9 б видно, що

222222 ; yxbaR +=ρ+=AB ≥ , причому знак рівності

реалізується лише у випадку bxay = . Тому, якщо за-

мість (2.64) вимагати 3 4 λ≥ Bz , одержимо нерівність, яка також (і навіть ще більш гарантовано) визначає область Френеля, однак є більш зручною для аналізу. Оскільки R задано, (площадка ba 22 × визна-чена), то ),( yxfz = . Нехай mR=ρ , де m , очевидно, показує, у скільки разів область спостереження біль-ше області випромінювання (у поперечнику). Тоді

.)1( 3/43/1

3/4mz R +≥

λ (2.65)

Для точки на осі 0== yx маємо 3 41 λ= Rz . Як

видно із (2.65), залежність від m дещо більш швидка, ніж пряма (рис. 2.10); область Френеля обмежена

117

x

zy

z1

Рис. 2.10. Область Френеля починається у т. z1 у

межах внутрішнього конуса.

параболою степені 4/3, яка проходить через точку 3 4

1 λ= Rz (внутрішній конус на рис. 2.10). Приклад: якщо R = 1 мм, λ = 1 мкм, то мм. 101 =z

13. Дифракція на перешкодах 13.1. Дифракція на краю екрана Це явище варте детальної уваги, оскільки зіграло

історичну роль у становленні ідей хвильової оптики, ми його розглянемо як приклад для області Френеля (рис. 2.11). За Френелем

.)0,,(),,()( 22 )()(2

2ηξηξπ=

η−ξ +−∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ ddUeeiz

kzyxUyxz

ikikz (2.66)

При цьому вважаємо, що хвиля, яка падає і пройшла повз екран, представляється функ-цією Хевісайда

118

)0x()0,,( xyxU −Θ= , тобто, не залежить від

. Дійсно, якщо зроби-ти заміну

ydtdty =η=−η ; , то межі інтегрування

майже не зміняться, бо ] ,[ yy −∞+−−∞ те ж саме, що і

Рис. 2.11.

z y

x x0

η

ξ

0

] ,[ ∞+−∞ , a не залежить від y , і ніяких змін у інтегруванні не відбудеться. Тому

)0,,( yxU

.),,()( 22) +ξ

0

(22

ηξπ=η−∞

∞−

∞

∫ ∫ ddeeizkzyxU

xzk

x

ikzi

(2.67)

Другий інтеграл за визначенням дорівнює

.22

22 k

izdeI zik

π=η=η∞

∞−∫ (2.68)

У першому інтегралі

ξ=ξ−∞

∫ deIx

zik

x

2)(2

10

(2.69)

використаємо заміну . , 2

)(2

dtkzdtix

zik π

=ξπ

=−ξ Тоді

=π=π=π∞

−

π

−∫∫

∞

dtkzdtk

zIti

v

tkz

zik

vee

22

221

+ππ=+π= ∫π

∫ dttkzidt

kz

vtive 2

20

22

0

cos()(2

,)() 222

20

1)( )(1sin ivSivCkzidtti

v+++π=++π+ ∫

де kzxxv π−=− )( 0 .

Значення інтегралів Френеля i у залежності від верхньої межі показано на рис. 2.12; таблиці цих значень є у довідниковій математичній літературі.

)(vC )(vS

Загальний розв'язок має вигляд

,))(())((22

),,( ][ 21

21

21 vSivCi

eIIiz

kezyxUikzikz

+++=π

= (2.70)

що можна представити

( ) ,)()(),,( 21

2212

21

21)( ][ )()(4 +++=

π−ϕvSvCeezyxU

iikz (2.71)

119

де )( )()(arctg21

21 ++=ϕ CS ,

i

i

e 14 =π

−.

У наближенні Френеля це найбільш точний вираз для поля за перешкодою у вигляді прямолінійного ек-рану (рис. 2.11).

Із формули (2.71), зокрема, одержуємо: 1. Якщо ,∞=x то ∞=v i 1),,( ;2

1 === zyxUSC .

2. Якщо ,−∞=x то −∞=v i 0),,( ;21 =−== zyxUSC .

3. Якщо ,0xx = то 0=v i 21),,( ;0 === zyxUSC

У інших випадках користуються спіраллю Корню. Будується вона таким чином. Для даного x із ),( +∞−∞

знаходиться zkxxv π−= )( 0 , а по ньому – значення інтегралів Френеля )(vC i . Потім у координатах

ставиться відповідна даному точка. Переби-раючи послідовність значень і виконуючи вказані операції, одержуємо сукупність точок на графіку (

)(vSSC , x

x

SC , ), які відповідають значенням координати x (рис. 2.13). За допомогою побудованої таким чином спіралі знаходимо поле , звернувши увагу на те, )(xU

S(v) C(v)

0

0,5

1 2

1 2 3 4 v Рис. 2.12. Значення інтегралів Френеля )(vC (крива 1)

i )(vS (2) у залежності від верхньої межі.

120

що воно є векторною сумою ортогональних відрізків )(2

1 C+ і )(21 S+ . Практично для отримання результую-

чого вектора початок відліку, очевидно, зручно змістити у точку ],[ 2

121 −− . З'єднуючи цю точку з ін-

шою, яка відповідає заданому v, за довжиною одержаного вектора визначаємо (з точністю до )(xU

21 ). Цілком ясно, що поле у області повинно бути осцилюючим, а у області

0xx >

0xx < – швидко зату-хаючим (рис. 2.14а). У той же час фаза у області

змінюється слабо (нахил вектора коливається поблизу кута 45°), а у області тим більш стрім-ко, чим сильніша остання нерівність (рис. 2.14б).

0xx >

0xx <

Дія множника i1 у (2.70) проявляється у тому, що до фази коливань, одержаної із спіралі Корню (приблизно 45°), потрібно додати точну поправку (−45о). Отже, незручність користування спіраллю Корню, про якy говориться у багатьох підручниках, і яка полягає у присутності фазового спотворення ко-ливань, при більш детальному розгляді відсутня, якщо мати на увазі (2.71).

2

+0,5

–0,5

1 +0,5

–0,5

S(v)

C(v)

ϕ

Рис. 2.13. Спіраль Корню.

121

Дійсно, якщо точка спостереження x знаходиться далеко від 0x zkxx π>>− )( 0 i ∞→v , наявність на-півнескінченного екрану можна взагалі ігнорувати, бо при цьому 21)()( == vSvC (див. рис. 2.12),

4)21)(()21)((arctg )( π=++ vCvS , і поле може бути за-писано у наближенні геометричної тіні

ikzexUzyxU )(),,( 0= , (2.72) звідки видно, що ніяких додаткових фазових набігів окрім не спостерігається. ikze

Аналіз традиційного розгляду питання про дифра-кцію Френеля на напівнескінченній перешкоді. Це є програмним питанням і викладене у всіх вузівських підручниках з оптики. На жаль, за традицією, що склалася, розгляд проводиться занадто спрощено. Як правило, задача полягає у тому, щоб отримати спі-раль Корню (яка надалі все «пояснює» правильно). Для цього розбивають хвильовий фронт на смугасті зони і намагаються скористатися (позірно ніби правильним) методом, формально аналогічним методу зон Френеля. Надалі, користуючись хибно отриманою спіраллю Ко-рню, пояснюють всі особливості дифракційних картин. Однак при цьому допускається помилка, бо

x0 x

U 1

а

v

ϕ

0-π/2

-π

π

π/2 б

Рис. 2.14. Координатна залежність амплітуди (а)

та фази (б) при дифракції на краю екрана.

122

123

одержати спіраль Корню, користуючись будь-яким геометричним розбиттям фронту і знаходженням су-марної площі зони і сумарного вкладу у результуючу картину, неможливо, оскільки симетрія хвильового фронту (сфера, переріз її площиною екрану – коло) не співпадає з симетрією перешкоди (зміщений напівне-скінченний екран). На рис. 2.15 а зображена (аналогічно рис. 2.11) схема спостереження дифракції світла від точкового джерела S на прямолінійній пе-решкоді А, картина спостерігається у площині Б. На рис. 2.15 б,в,г показано взаємне розташування пере-шкоди і зон Френеля при спостереженні джерела S із точок 1, 2, 3. Визначити світлове збурення додаван-ням площ зон можливо лише у випадку б (перешкода ділить всі зони Френеля точно навпіл), для будь-яких інших випадків (в, г) просто вирішити цю задачу не-можливо. Таким чином введення смугастих зон (зон Шустера) не спрощує задачу, а дозволяє отримати правильну відповідь рядом нелогічних міркувань. На рис. 2.15 г, де одна така зона (В) приведена, видно, що фаза хвилі змінюється досить складним чином

S S

S

в г б

а

B

д

S 1Б

23

A

Рис. 2.15. Взаємне розташування джерела S, лінійної перешкоди A, екрана Б (а), зон Френеля (б,в,д) та зон Шустера В (г). Частини зон Френеля, які попадають у

одну зону Шустера В, зафарбовано.

вздовж смуги Шустера, знайти сумарний вплив у т. 3 навіть від однієї цієї смуги – непроста аналітична за-дача. З тієї ж причини у випадку круглих, але зміщених із осі перешкод (рис. 2.15 д) метод зон Фре-неля практично перестає бути корисним, а у випадку перешкоди, яка не має осьової симетрії – тим більше. Одержання правильної (за модулем, але не за фазою!) відповіді у випадку застосування смугастих зон під-манює своєю простотою, однак не має фізичного змісту і є не більш, ніж випадковим співпадінням.

При ретельнішому роз-гляді метод смугастих зон викликає ряд суттє-вих запитань, на які немає відповіді, і, як на-слідок – сумнів у пра-вильності всіх подальших висновків відносно диф-ракції у області Френеля, що у навчальній літера-турі неприпустимо.

z y y

x

U(x,y,0)

Рис. 2.16.

x

13.2. Дифракція Френеля на щілині

При збудженні щілини, яка розташована у напря-мку осі (рис. 2.16), плоскою хвилею одиничної амплітуди

y)()()0,,( 00 xxxxyxU −Θ−+Θ= поле у області

Френеля має вигляд

=ηξπ

=ηξ−∞

−∫∫ ddeee

zikzyxU z

ikxz

ikx

x

ikz220

0

2)(

2

0

),,(

20

0

0 ( )1 22

0

2 ... ...( ) x ik xikz z

x

k ze ei z ik

−ξ

−

π= +π − ∫ ∫ dξ =

124

0 0 2( ) ( )2

0 0

12

2

... ...

( ).

x x k z x x k z i tikz

ikzi

k ze ei z k

e C i S C i S

− − π − π π

− − + +

π= ⋅π

= − − + +

⎛ ⎞− +∫ ∫⎜ ⎟⎝ ⎠

dt =

(2.73) Тут використані позначення kztx π=−ξ )( ,

kzdtd π=ξ , a індекс біля C і S символізує аргу-мент; наприклад,

)( )( 0 zkxxCC π−−=− , )( )( 0 zkxxCC π−=+ . Аналогічно (2.71) одержуємо точний вираз для мо-

дуля амплітуди і повної фази поля у точці x : 22( 0 )( ) 21)( −−++−−+= SSCCxU (2.74)

4)]()[(arctg π−+−−+−−+=ϕ ikzCCSS . Для знаходження можна знову скористатися

спіраллю Корню (рис. 2.17а). Оскільки i функ-

ції непарні, то і – від’ємні величини, тому у круг-лих дужках формули (2.74) знову маємо додавання. Ре-зультуюче поле знаходимо як довжину вектора, наприклад, вектора 1, який починається у точці з коор-динатами

)( 10 xU)(vS )(vC

−C −S

)( )( 101 zkxxCC π−−= , )( )( 101 zkxxSS π−−= і закінчується у точці з координатами

)( )( 102 zkxxCC π+−= i )( )( 102 zkxxSS π+−= . На рис. 2.17 та рис. 2.18, як приклад, показані ве-

личини фази і амплітуди поля у різних точках простору області Френеля після проходження світлом щілини (різної ширини). Вони обчислені за формула-ми (2.74). Можна зробити висновок, що хвильові властивості світла найбільш яскраво проявляються, якщо розмір неоднорідності (перешкоди чи діаф-

125

2

0,5 -0,5

0,5 -0,5

S(v)

C(v)

a

1

x -π

π

x0 -x0

U1 U2

ϕ2

б 2

1

Рис. 2.17. Дифракція на щілині розміром 2x0; визна-чення амплітуди і фази хвилі вздовж координати x за

допомогою спіралі Корню (а) та вигляд отриманих залеж-ностей (б) (1– zx λ<<0 ; 2– ∼0x zλ ).

2

0,5 -0,5

0,5 -0,5

S(v )

C(v )

a

1

U(x)

x -π

π

x0

U1

ϕ1

б

2

0

1

U2

Рис. 2.18. Те ж саме, що і на рис. 2.17, при zx λ>0 (1); zx λ>>0 (2).

126

рагми) близький до довжини хвилі. Властивості-дифракційної картини, які випливають із спіралі Корню, досить детально розглянуті у підручниках з хвильової оптики.

Таким способом для області Френеля можна розв’язу-вати всі задачі з прямокутною геометрією перешкод.

14. Область Фраунгофера При зростанні z можна виконати подальші спро-

щення виразів, що описують поле. Цю область – далека зона – називають область Фраунгофера, вона є окремим випадком області Френеля. Поле у області Фраунгофера знаходять, використовуючи ПФ.

У відповідності з принципом Гюйгенса-Френеля

.)0,,(]})(

)[(2

exp{2

}exp{),,(

2

2

ηξηξη−+

+ξ−π

= ∫∫ddUy

xz

ikizikzkzyxU

(2.75)

Якщо джерело мале, а відстань z – велика, то об-ласть зміни ηξ, може бути настільки малою, що

можна знехтувати . Тоді 22,ηξ

)()(2

)()(2

2222 )( η+ξ−+≈η−+ξ− yxzikyx

zikyx

zik ,

для поля одержуємо

.0

)0,,(

),,(

)( ,,)(

22

)()(2

2

22

22

zkx

zkxGee

ddUeee

zyxU

yxz

ikikz

izk

yxzkyx

zik

ikziz

ki

+

π

η+ξ−∞

∞−

∞

∞−

+

π

=

=ηξηξ≅

≅

∫ ∫ (2.76)

Інтегрування у нескінченних межах формальне, у дійсності джерело світла має обмежені розміри. Отже, розподіл поля у просторі ( zyx ,, ) пропорційний спект-

127

ральній густині самого джерела у площині 0=z , під просторовими частотами розуміємо величини

α===ω sinkkzkx xx , β===ω sinkkzky yy , де α ,β – кути між напрямком поширення хвилі k та площи-нами YZ, XZ. Це означає, що точці з координатами

, яка розташована на віддаленому екрані, відповідають у площині джерела дві просторові час-тоти

),,( 011 zyx

01 zkxx =ω′ i 01 zkyy =ω′ , а точці з

координатами ) відповідають частоти ,,( 022 zyx

02 zkxx =ω ′′ , 02 zkyy =ω ′′ . Вказані частоти притаман-ні всій просторовій структурі джерела випромі-нювання, а не якійсь окремій його точці. Ці рівності є правилом визначення величини просторових частот джерела за величиною сигнала у площині 0zz = .

Модуль функції (2.76) дорівнює |)0,,(|)2( |),,(| yxGzkzyxU ωωπ= , (2.77)

тобто, розподіл амплітуд у області Фраунгофера та-кий, як розподіл спектральної густини у самому джерелі (з поправкою zzk λ=π 12 ).

Особливість такого розгляду полягає у тому, що по-ле у площині представляється через спектральну густину функції у площині

0z)0,,( yxU 0=z , причому

тепер просторові частоти xω та yω , які є аргумент-тами функції G , кількісно залежать від положення площини спостереження z . Фізичний зміст цього стає цілком зрозумілим, якщо пам′ятати про подвійну природу просторових частот. Наявність у структурі джерела просторової частоти

xω означає, що від всіх точок джерела у напрямку зростання z поширюється плоска хвиля 011 2 zxk λπ= . При віддаленні від дже-рела у сторону площини спостереження, розташованій на значній відстані , хвиля створює 0z

128

129

)збудження у точці з координатами . Інтен-сивність світла у цій точці і відповідає квадрату амплітуди відповідної просторової частоти

,,( 011 zyx

01 zkxx =ω . Напруженість поля у точці пропорційна амплітуді просторової решітки частоти

у структурі джерела. Такий зміст рівності (2.77).

),,( 011 zyx

xωВизначимо допустимість представлення (2.76).

Вважатимемо, що максимальна похибка у визначенні фази, не повинна перевищувати величину 102π :

π⋅<=η+ξ 21,022222 )( z

kRz

k ,

де R2 – розмір джерела по діагоналі, тобто, повинна виконуватися нерівність

zR λ<2 . (2.78) Останню нерівність можна представити інакше:

022 ϕ=λ<=ϕ RzR , (2.79)

де − найбільший кут, під яким видно джерело із то-чки спостереження , а − константа даного досліду. У області Фраунгофера цей кут повинен бути досить малим, тому вважається, що формула (2.76) добре описує поле на нескінченності. Наприклад, для

ϕ),,( zyx 0ϕ

R2 =1 мм і λ = 500 нм область Фраунгофера почина-ється лише при 2)2( 2 =λ= Rz м. Область Френеля значно більша. Наприклад, для осьової точки 0=ρ і

тих же λ і R2 маємо 5)(314 )( =λρ+> Rz мм.

Дифракція на щілині в області Фраунгофера. Роз-глянемо дифракцію на щілині ba 22 × :

.2

),,( 21)(

IIAddeeiz

kzyxUyx

zika

a

b

b

ikz ⋅⋅=ηξπ

=η+ξ−

− −∫ ∫

де введено такі позначення

ikzeiz

kAπ

=2

, z

bkxz

bkx

zakx

zakx

bIaIsin

2 ,sin

2 21 == .

Функції і проходять через нулі при 1I 2I

az

azn

n nx 22λ

λππ == і b

zmym 2λ= , де mn , – цілі числа,

окрім нуля. Таким чином,

),(sinc )(sinc 4),,()(

22

22

zbky

zakx

yxz

ikikz

izk abeezyxU ×=

+

π(2.80)

тобто, при прямокутному сигналі у координатній площині у області Фраунгофера маємо розпо-діл поля у вигляді функції відліків, і сигнал на виході шару простору товщиною

)0,,( yx

z пропорційний густині спектра амплітуд вхідного сигналу. На рис. 2.19 по-казано цей розподіл для такого випадку. Отже, при виконанні умови (2.78) шар простору товщиною z виконує перетворення Фур’є над вхідним сигналом.

z

x

y

ξ

η

Рис. 2.19. Прямокутний сигнал (у координатній площині та розподіл поля у вигляді )0,,( yx

функції відліків у області Фраунгофера.

130

15. Дифракція Фраунгофера на круглому отворі При дослідженні оптичних систем, які мають осьо-

ву симетрію, доводиться користуватися розкладом Фур’є-Бесселя (Friedrich Wilhelm Bessel, 1784 - 1846), яке є окремим випадком застосування перетворення Ганкеля (Herman Hankel, 1839-1873). Оскільки пере-важна більшість оптичних систем має осьову симетрію, перетворення Ганкеля одержало широке застосування у описах практичних оптичних задач. Воно відповідає розкладу у ряд за системою ортого-нальних функцій, у якій за основу взяті функції Бесселя.

15.1. Функції Бесселя Функції Бесселя з’являються як розв’язок диференцій-

ного рівняння другого порядку (рівняння Ейлера-Бесселя): 0)(''' 222 =−++ ynxxyyx , (2.81)

причому n називається індексом рівняння. За винят-ком декількох окремих випадків, розв’язок рівняння (2.81) не виражається через елементарні функції. Од-нак, всі розв’язки рівняння (2.81), зважаючи на їхню виняткову важливість, протабульовані і представлені у довідниковій математичній літературі, графіки де-яких функцій Бесселя показані на рис. 2.20.

1*. Є декілька можливостей для представлення розв’язків рівняння (2.81) за допомогою набору орто-гональних функцій. Виявляється, однак, і у цьому ми зараз переконаємось, що якщо деяку функцію

θ=θ sin),( ixexf (2.82) розкласти у ряд Фур’є

θ∞

=∑=θ in

nn

exJxf )(),(1

, (2.83)

131

0 2 4 6 8 10 120.5

0

0.5

1

x)

x)

x

21

3 4

Рис. 2.20. Хід функцій Бесселя нульового J0 (кр.1),

першого J1 (2), другого J2 (3) та третього J3 (4) порядків.

то коефіцієнти розкладу ) задовольняють рівнян-ню (2.81), тому вираз для функцій Бесселя I-го роду можна визначити через перетворення Фур’є:

(xJn

θθπ= θ−π

π−∫ dexfxJ in

n ),()( 21 .

Розклад (2.83) правoмірний, бо ),( θxf − “гарна” пе-ріодична функція з періодом 2π. Тут застосований формалізм перетворення Фур’є, про таку можливість згадувалося раніше: число 2π входить у за ви-значенням (2.83). Отже,

)(xJn

θπ= θ−θ−π

π−∫ dexJ xni

n)sin(

21)( . (2.84)

Очевидно, що x , як і θ, є кутовою мірою і вимі-рюється у радіанах.

132

Підстановкою виразів (2.82) і (2.83) у (2.81) можна показати, що інтегральне представлення (2.84) є

розв’язком рівняння Ейлера-Бесселя. Для цього зна-ходимо із (2.82)

. )cossin(),(

; sin),(

; sin),(

sin222

sin22

sin

2

2

θ

θ

θ

θ−θ−=θ∂

θ∂

θ−=∂

θ∂

θ=∂θ∂

ix

ix

ix

exixxf

exxf

eixxf

Помноживши першу рівність на , другу та (2.82) на , і додаючи їх потім з третьою, одержуємо тотож-

ність у правій частині а, значить, зліва теж:

x2x

0),(),(),(2

22

222

=θ∂

θ∂++∂θ∂+

∂θ∂ xfaxx

xfxxxfx . (2.85)

Замінюючи тут функцію гармонійним рядом (2.83) з амплітудою ) , одержуємо (xJn

0 )()()(')(" )( 222 =−++ θ∞

∞−∑ ni

nnn exJnxxxJxJx ,

що повинно бути справедливим для довільних θ i n . Таким чином, є розв’язком (2.81), бо кожен член суми (2.85) дорівнює нулеві:

)(xJn

0)()()(')(" 222 =−++ xJnxxxJxJx nnn . (2.86) 2*. Якщо врахувати, що набір є спектром

функції )(xJn

),( θxf , тобто, , то стає очевидним, що є дійсною функцією: на основі властивостей ПФ для даного випадку маємо ланцю-жок рівностей:

)()(),(ˆ xJGxfF n=ω=θ)(xJn

)()(*),(*ˆ),(ˆ)()( * xJGxfFxfFGxJ nn −=ω−=θ=θ−=ω−=− ,

і, значить, . )()( * xJxJ nn =Отже, знак у показнику експоненти (2.84) є несут-

тєвим, часто його просто опускають, тобто, правомірним є і такий запис:

133

θπ= θ−θπ

π−∫ dexJ xni

n)sin(

21)( . (2.87)

3*. Функції Бесселя мають ряд цікавих властивос-тей, які детально викладені у спеціальній літературі. Ми звернемо увагу лише на деякі з них.

Диференціюванням (2.87) легко отримуємо:

).()( )(

)sin(2)('2

11)sin(

21

)sin(21

xJxJdeee

deixJ

nnxniii

xnin

+−θ−θ

π

π−

θ−θ

θ−θπ

π−

−=θ−π−=

=θθ−π=

∫

∫(2.88)

Це одне із рекурентниx співвідношень, які зв’язують функції Бесселя різних індексів. Далі дифе-ренціюючи (2.82), маємо:

. )( )(2

)()(2 cos),(

)( )1()1(

sin

θ−∞

∞−

θ+∞

∞−

θ∞

∞−

θ−θθ

∑∑

∑

+=

=−=θ=θ∂θ∂

nin

nin

nin

iiix

exJexJix

exJeeixeixxf

(2.89)

У першій сумі зробимо заміну 1−→ nn , а у другій 1+→ nn , від зміни нумерації членів обидві суми не

зміняться, бо число доданків нескінченне. Похідну ∂a/∂θ можна одержати також із (2.83), що дає:

θ+

∞

∞−−

∞

∞−

θ +==θ∂θ∂ ∑∑ )( )( )(2 )(),(

11ni

nnni

n exJxJixexinJxf .

)(2)( )( 11 xJxnxJxJ nnn =+ +− . (2.90)

Комбінація (2.88) і (2.90) дає )()( )(1 xJxJx

nxJ nnn ′+=−

)()( )(1 xJxJxnxJ nnn ′−=+ , (2.91)

а домножаючи останні рівності на і відповід-но, одержуємо ще пару корисних співвідношень:

nx nx −

134

)( )()()( )( 11 xJxxJxxJnxxJx n

ndxd

nn

nn

nn =′+= −

− ,

.)()()( )( )()1(1

nndx

dn

nn

nn

n xxJxJxxJnxxJx −=′−= −+−+

− (2.92) Результат перетворень (2.92) можна представити у

більш симетричній формі: )( )( )( 1

11 xJxxJx n

nxxn

n∂∂

−− = ,

)( )( )( 11

11

nnxxnx

xxJxJn ∂∂

+ −=+ . (2.93)

Із (2.91) видно, що кожна наступна функція дорівнює похідній від попередньої , взя-

тої з оберненим знаком, плюс поправка

)(1 xJn + )(xJn

)( xJxn

n . При

великих xn поправка прямує до нуля, і всі функції

Бесселя вироджуються у систему тригонометричних функцій (це виродження проходить тим швидше, чим менший індекс n. Всі функції Бесселя знаходяться послідовним застосуванням формул (2.91), крім , яка вимушено знаходиться числовим інтегруванням

)(0 xJ

θθπ= ∫π

π−dxxJ )sincos()( 2

10 . (2.94)

На відміну від всіх останніх, при 0=x вона дорів-нює 1 (рис. 2.20). Цікаво, що

)()( 01 xJxJ dxd−= , (2.95)

як це витікає із (2.91). 4*. Розглянемо інтергал

θπ= θπ

π−

α−θ−∫ deeI nixi )cos(21 .

Підінтегральний вираз є періодичною функцією, тому І не залежить від початкової фази α . Якщо

2π=α , одержимо вираз (2.87); якщо 0=α , то одер-жимо іншу форму запису

135

θπ== θ−θπ

π−∫ dexJI xni

n)cos(

21)( , (2.96)

яка еквівалентна (2.87). Вирази (2.84), (2.87), (2.96) у однаковій мірі придатні для обчислення . )(xJn

5*. Тригонометричні функції можуть бути предста-влені рядом Бесселевих функцій.

Якщо у (2.90) 0=n , одержимо )()( 11 xJxJ −= ; якщо 1±=n , то )()( 22 xJxJ −= . При подальшому віддаленні

номера у обидві сторони від 0=n послідовно отриму-ємо )()( 33 xJxJ −−= , і, взагалі, )()( 44 xJxJ −=

nnn xJxJ )1()()( −=− , де n – ціле число. Отже,

==θ ∑∞

−∞=

θ )(),( in

nn exJxf

+++= −∞

=∑ )( θ2θ2

120 )()( nini

nn eexJxJ

=++ +−+∞

=+∑ )( θ)12(θ)12(

012 )( nini

nn eexJ

.)12sin( )(2cos )(20

121

2 ∑∑∞

=+

∞

=+θ+

nn

nn xJnxJ)( 0 θ+= nxJ

Порівнюючи цей вираз з дійсною і уявною части-ною функції ),( θxf (2.82) відповідно і прирівнявши

2π=θ одержимо

. )1( )(2)sin(

,)1( )(2)()cos(

012

120

∑

∑

∞

=+

∞

=

−=

−+=

n

nn

n

nn

xJx

xJxJx (2.97)

Це є ще однією практичною ілюстрацією формули (1.15), яка стверджує, що функції одного базису можуть бути виражені через функції іншого базису,

136

а, отже, розклад “гарної” функції може бути вико-наний за довільним базисом, який існує у тому ж просторі, що і функція. Вибір базису визначається практичними зручностями.

15.2. Дифракція Фраунгофера на круглому отворі

137

0

Проходження плоскої хвилі через круглий отвір радіуса у непрозорому екрані (рис. 2.21). У площині

0r

=z хвиля визначена наступним чином

⎩⎨⎧ ϕ

=ϕ> ,0< ),0,,(

)0,,(rrrrrE

rU,,

0

0 (2.98)

де )0,,( ϕrE – функція пропускання отвору.

x

z r0

y

Рис. 2.21.

Кутовий спектр цього поля (тобто, поле у області Фраунгофера) знаходимо у результаті ПФ, викорис-товуючи полярні координати ( ϕ=ξ cosr ; ϕ=η sinr ;

). ϕ=ηξ rdrddd

.)0,,(

)0,,(

)0,,(),(

)cos(2

00

)cos(2

00

)sincos(

0

2

0

0

0

0

ϕϕ=

=ϕϕ=

=ϕϕ=ωω

ϕΩ−π

θ−ϕΩ−π

ϕω+ϕω−π

∫∫

∫∫

∫∫

derEdrr

derErdr

ddrrerEG

rir

rir

rrir

yxyx

(2.99)

де введені позначення: 22yx ω+ω=Ω , Ωω=θ xcos ,

Ωω=θ ysin , )( θ−ϕ замінено на ϕ , бо інтеграл за період підінтегральної функції не залежить від її по-чаткової фази. Якщо 0)0,,( ErE =ϕ (отвір не має

модуляції), то внутрішній інтеграл є функцією Бесселя другого роду )( 0 ΩrJ , тому

)()()()0,(

0

2

00

20 ΩΩΩπ=Ω ∫

Ω

ΩrdrrJEG

r.

Використовуючи співвідношення (2.92) )( )()(1 xJxxJx n

ndxd

nn =−

для випадку 1=n , одержуємо

.)(2))()(

))((()0,(

12

0

2

020010

20

01

20

xxJErrJrE

dxxxJdxdEG

r

π=ΩΩπ=

=π=Ω

Ω

Ω

Ω ∫ (2.100)

Повний вираз для поля ),,( zrU ϕ , крім ),0,( 21 ωωG , має, звичайно, амплітудно-фазовий множник, який не залежить від форми перешкоди. Розподіл (2.100) відомий у літературі як круг розсіяння Ейрі (George Biddell Airy, 1801 – 1892). Квадрат модуля цієї функції (інтенсивність дифрагованого світла) показаний на рис. 2.22. Нулі інтенсивності відповідають кореням функції )( 01 ΩrJ і знаходяться при Ω0r =3,8; 7,0; 10,2... Це дозволяє визначити радіуси ρ темних кілець у крузі Ейрі. Розмір першого темного кільця знаходимо із рівняння

121

21

200

028,3 ρλ

π=+λ

π=ω+ω= zryxzrr yx ,

02021 22,18,3 rz

rz λ=

πλ=ρ ,

або у кутовій мірі ,22,1

021 rλ=θ (2.101)

Наступні кільця знаходяться при ;23,2 ;0,7

022022 rr

zπλ=θπ

λ=ρ

138

;4,13

;2,10

024

023

rzrz

πλ=ρ

πλ=ρ

т.д. і ;27,4

;25,3

024

023

r

r

πλ=θ

πλ=θ

Кореляція функції з функцією Бесселя. Повер-немося до виразу (2.99). Якщо функція

)(rE)(),( rErE =ϕ ,

то вираз (2.99) набуває вигляду ( Ω= rx ):

xdxxJxEGr

)()()(0

00

2 ∫Ω

Ωπ=Ω , (2.102)

що можна розглядати як кореляцію досліджуваної фун-кції з функцією Бесселя нульового порядку. Таким чином, рівняння (2.102) можна інтерпретувати як аналог ПФ, у якому ядром перетворення виступає фу-нкція Бесселя нульового порядку з ваговим множником х (про таку можливість згадувалося у попередніх параг-рафах). Формула (2.102) називається перетворенням

)(rE

z

0

0

y

x

Рис. 2.22. Зображення функції, яка описує круги Ейрі.

139

Фур’є-Бесселя і застосовується при розв’язуванні опти-чних задач, які мають осьову симетрію.

16. Гауссів пучок нульового порядку Одним із оптичних явищ, гідним подиву, є гауссові

пучки (ГП). Поняття гауссів пучок виникло після по-яви лазерної фізики. У долазерній оптиці (та й досі) плоска і сферична хвилі вважаються базовими: всі явища розглядаються як приклад поширення і взає-модії з середовищем саме таких хвиль. Хоча власти-вості реальних хвиль у якійсь мірі можуть наближати-ся до властивостей цих хвиль, проте у природі їх не існує, тоді як гауссів пучок існує реально. Лазер при відповідній настройці, як правило, генерує ГП нульо-вого порядку, у якого амплітуда напруженості поля максимальна на осі пучка і, при віддалені від осі, експоненціально зменшується у відповідності з функ-цією Гаусса. Унікальна особливість ГП – найменша дифракційна розбіжність. Мінімальні втрати на диф-ракцію у ГП дозволяють найбільш ефективно утриму-вати енергію у резонаторі. Експоненціальне зменшен-ня амплітуди поля при віддалені від осі пучка, яке описується функцією Гаусса, і дало назву цим хвилям.

Використовуючи ПФ розглянемо математичний опис гауссового пучка, який поширюється у вакуумі вздовж осі z зліва направо (рис. 2.23). Нехай при

0=z існує плоска за формою гауссова хвиля одинич-ної амплітуди ( 10 =U ), яка має такий розподіл напруженості поля у площині XY, перпендикулярній напрямку поширення хвилі z :

20

22

)0,,( ayx

eyxU+−

= . (2.103)

140

Це плоска чисто амплітудна хвиля, бо у неї відсут-ня фазова модуляція у площині XY. Тут, як і раніше, опущено множник )exp( tiω− , що виражає залежність напруженості поля від часу. Величина а0 – відстань від осі пучка, при якій напруженість поля зменшуєть-ся в e разів, а інтенсивність – в e2 раз відносно максимального значення. Ця характеристика ГП є мі-рою ширини розподілу інтенсивності (радіальний розподіл) і її прийнято називати радіусом гауссового пучка. У межах цієї ширини переноситься 86 % всієї

енергії пучка. У процесі поширення ГП його ширина на рівні e1 змінюється, мінімальна площа перерізу

гауссового пучка називається перетяжкою, тут − мінімальний радіус гауссового пучка, коли співвідношення амплітуд поля на осі та на відстані

від осі становить

200 aS π=

0a

0a e1 .

U(x,y,z )

U(x,y,0) z = 0

R z

2a0

2θ

a

x a

a0 U(x

)

z = 0z > 0

б Рис. 2.23. Поширення гауссового пучка у просторі (а).

R – радіус кривини хвильового фронту ГП, а0 – ра-діус (перетяжка) ГП при U/U0 = е−1, θ − кут розбіжності ГП; (б) – розподіл амплітуди ГП при довільному z та при z = 0. Амплітуди умовно показано однаковими, у

дійсності вони відрізняються у (1+r2)1/2 разів.

Вияснимо, як змінюється така хвиля при поши-ренні у вільному просторі. Згідно принципу Френеля:

141

якщо на вході шару простору існує функція ( )0,, yxU , то на виході у точці простору ( zyx ,, ), що задовольняє умові параксіальності, функція ( )zyxU ,, є згорткою вхідної функції з ядром Френеля:

( )

21

)(2

)(2

)()(2

)()(2

2

2

2

)0,,( 2

,,

220

22

20

2

2220

22

22

)(

)(

IIeiz

k

dedeeiz

k

ddeeeiz

k

ddeUeiz

kzyxU

ikz

yz

ika

xz

ikaikz

yxz

ikaikz

yxz

ikikz

⋅π

=

=ηξπ

=

=ηξπ

=

=ηξηξπ

=

η−+η

−

−

ξ−+ξ

−

−

η−+ξ−η+ξ

−

−−

η−+ξ−

−−

∫∫

∫∫

∫∫

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

∞

(2.104)

де ξ=ξ−+

ξ−

−∫∞

∞

deIx

zik

a2

20

2)(

2

1 ; η=η−+

η−

−∫∞

∞

deIy

zik

a2

20

2)(

2

2 .

Кожен з цих інтегралів зводиться до інтеграла Пуас-

сона π=−

−∫∞

∞

dxe x2 . Для цього у показнику степеня

підінтегральної функції виділимо повний квадрат змінної інтегрування. Виконаємо перетворення для першого з інтегралів : 1I

=+ξ−ξ+ξ

−=−ξ+ξ

− 2220

22

20

2

22

22 )(

2 x

zikx

zik

zik

ax

zik

a

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−⋅ξ⋅−−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ξ⋅−=

−1

20

20

2

20

122

212

12 az

ikz

ikxaz

ikaz

ik

142

=+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−−2

21

20

2

21

20

2

21

221

22x

zik

azik

zikx

azik

zikx

,122

12

2

21

20

20

Dxaz

ikz

ikxaz

ik+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−ξ⋅−=

−

(2.105)

.122

12

21

22

2

20

2

22

20

22

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

azik

zikx

zik

xz

ikaz

ikz

ikxDx

Розглянемо підкореневий вираз, позначивши 202

10 kaz = ,

0zzr = :

)()()( 12

1122

112

12 0

20

20

irz

ikzizz

ikzikaz

ikaz

ik+=−=−=−

При цьому

.1

111212

111

2)1(

221

2

220

022

222

xirair

zzxz

kir

irxz

ikir

xz

ikirz

ikz

ikxz

ikDx

+−=

+−=

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

Вводимо позначення

( ).1

2

,122

12

)(

)()(

irz

ikdpid

ipirz

ikz

ikxirz

ik

+=ξ

=+−+ξ (2.106)

Тоді

143

.

12

11

)1( 2

11

)1(2

1

11

1

20

2

220

2

20

22 )(

irax

irzik

pirax

irz

ik

irax

p

ei

dpeei

irz

ikdpieeI

+−

+π

−+−

+

+−

−

=

==

=+=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

(2.107)

Аналогічно

. 11

)1( 222

0

2

irairzik

y

eiI +−

+π= (2.108)

Отже, поле у довільній точці простору визначається:

( )

. 1

2

,,

11

11 2

)1( 2

20

22

20

22

irayx

ikz

irayx

irzikikz

eir

e

eieiz

kzyxU

+−

+−

+π

+

+

+=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

π=

(2.109)

Виразимо ( )zyxU ,, через модуль і фазу:

( )

2

2

22

2

22

1

1,, a

yxriiikzayx

eeeer

zyxU+

ϕ−+

−

+= , (2.110)

де – радіус пучка на довільній відстані вздовж осі

)1( 220

2 raa +=z ; )(arctg r=ϕ – фазове запізнення при

поширенні пучка вздовж осі z ; це додаткове по від-ношенню до фазове запізнення також являється особливістю ГП;

kz0/zzr = – безрозмірна координата;

– радіус дифракційної розбіжності ГП, константа, яка у теорії ГП часто використовуєть-ся як масштаб. У ближній зоні, коли

λπ== /2/ 20

200 akaz

0|| zz << , площа

144

перерізу пучка практично є сталою. При 0 || zz = площа подвоюється, а на великих відстанях (далека зона або область дифракції Фраунгофера) ширина пучка зростає лінійно із збільшенням

0 || zz >>

z : . )/()/(2)( 00 azkazza πλ=≈

Проаналізуємо, які зміни відбулися у гауссовій хви-лі при поширенні на відстань z від перетяжки. Порівняємо поле при z = 0 та у довільній точці z (формула 2.110). Видно, що

• розподіл амплітуди у площині (х, у) залишився га-уссовим: )( 222 ) (exp ayx +− , проте радіус пучка при поширенні хвилі вздовж z збільшився;

• амплітуда поля, що була одиничною, зменшилась

в 21 r+ разів; • зі збільшенням z змінюється фаза: .

При поширенні у просторі гауссової хвилі набіг фази у ній відбувається із додатковим зсувом на величину

)( exp ϕ− iikz

ϕ ;

• з’явився фазовий множник ) ) ( exp( 222 ayxri + , який майже такий як і у сферичної хвилі (при пара-болічному наближені). Проте, зазначимо знову, при поширенні у просторі у ГП спостерігається, на відмі-ну від сферичної хвилі, додаткове (крім ) запізнення фази

kzϕ .

Величина λ= mz0 − стандарт для гауссового пучка, − це відстань, коли площа перерізу (перетяжки) збі-

льшується вдвічі. З іншого боку, якщо врахувати, що вимірюється в одиницях

0z

0z λ : λ=λπ= maz 200 , число

220 λπ= am показує, скільки разів площадка вкла-

дається у площі перетяжки . Енергія у кожному перерізі зберігається. Чим більша площа ,

2λ200 aS π=

0S

145

тим більше m , тим більше і тим повільніше розхо-диться ГП. Для вузького пучка плоский фронт розбігається швидше.

0z

Введемо радіус кривини R гауссової хвилі, анало-гічно як для сферичної хвилі, прирівнявши показники експонент у виразах обох хвиль:

Rik

rair

2)1( 220

=+

.

Звідси, враховуючи попередні позначення, маємо

)( 00

222021( r

a0

102

) )( zz

rz

zr

akrk zrzR +=+===+ , (2.111)

Як видно, радіус гауссової хвилі не є монотонно зростаюча з пройденим шляхом величина: ∞→R , як при z = 0 так і при ∞→z , тобто, у цих областях фронт ГП плоский, а у всіх інших – сферичний (рис. 2.24). Між крайніми випадками існує екстремум радіуса кривини фронту ГП – максимальна кривина фронту ГП. Положення екстремуму знаходимо, прирі-внюючи до нуля похідну від (2.111):

01 )( 2000 =−= zzzzdz

dR . ⇒ при 0zz = , minRR = . Радіус кривини гауссового пучка при поширенні

вздовж z постійно змінюється і у точці 0zz = є мі-німальним і дорівнює:

λπ

===20

2

20

0min 22aka

zR . (2.112)

Мінімум відповідає положенню, коли хвильовий фронт знаходиться у точці 0zz = , а центр кривини фронту – у точці 0zz −= . На рис. 2.24 наведено зміну радіуса кривини ГП при додатних z . У області спра-ва від перетяжки прийнято вважати координату z додатною величиною, від’ємною – зліва від перетяж-ки. Відповідно радіус кривини R є додатною величиною при знаходженні фронту справа від пере-тяжки і від’ємною величиною – зліва від неї, тобто,

146

R(z)

2

3

1

z

Рис. 2.24. Зміна радіуса кривизни ГП при поширенні у просторі. y = R(z) (кр. 1); y = z (2); y =1/z (3).

формула для амплітуди (2.110) описує пучок у напря-мку додатних і від’ємних z (до і після перетяжки). Радіус кривини хвильової поверхні і ширина ГП по-вністю визначаються геометрією резонатора лазера. Якщо знехтувати невеликим заломленням у матеріалі підкладинки (дзеркала), то можна вважати, що кри-вина хвильового фронту на виході лазера співпадає з кривиною дзеркала.

Вважаючи, що енергія пучка зосереджена у межах 2а, введемо кут розходження 2θ гауссового пучка як відношення дуги до радіуса:

)/1(12=/2=2

0

20

rrzraRa

++

θ

Враховуючи позначення

.1)(

122

1)(

12

1

1

1

1

)1(

1=

20220

0

210

020

0

20

20

00

+πλ

=+

=

=+

=+

=+

+θ

za

zka

ar

za

rzra

rrz

ra

zz

(2.113)

У точці 0=z (тут знаходиться перетяжка), кут ; це означає, що хвиля плоска. При віддаленні 0=θ

147

від перетяжки, кут θ , у якому поширюється гауссів промінь, збільшується, проте величина його обмеже-на: якщо ∞→z ( ∞→r ), то

ГГ DDaλ

=λ

π=

λπ

=θ 64,022

2

0, (2.114)

де − еквівалент діаметру круглого отвору. ГDa =02Відомо, що для плоскої хвилі, обмеженої круглою

діафрагмою діаметра , кут розходження визнача-ється формулою

cD

c/ 22,1 Dλ=θ . Хоч це і не зовсім коректно, але якщо вважати перетяжку еквівалентом круглого отвору діаметром , то при однакових роз-мірах отвору, через який проходить хвиля, ГП має майже вдвічі менший кут дифракційного розходжен-ня порівняно з плоскою хвилею.

ГD

Комплексне представлення амплітуди поля, вве-дене Когельником (Herwig Kogelnik, p.н.1932), дозволяє більш компактно записати вираз (2.110):

( ) ) (2

1

122

2 ,,

yxqik

iikz eeer

zyxU+ϕ−

+= , (2.115)

де комплексний параметр пучка введено так, щоб хвиля зовнішньо виглядала як чисто сферична, тобто,

q

⇒+

+− ) ( 2 22

2

22

yxR

ika

yx

ee ) (2

22 yxqik

e+

. (2.116) Прирівнюючи показники експонент, і врахувавши, що Rzz

ka =0

2

2 , після спрощень маємо:

)1(12110

2 zzi

RikaRq+=−= . (2.117)

Із формули (2.117) отримаємо вираз для комплекс-ного параметра ГП:

148

. )( 0

000

)(1

1

11

00

0

00

0

20

10

0

zizzzzzz

RRRq

zzzzizz

zzzzizz

zz

zzi

zzi

−=+=

====

+−

+−

+

−

+ (2.118)

Таким чином, при поширенні ГП вільним просто-ром комплексний радіус кривини поверхні постійної фази гауссового пучка залежить від координати q z та параметра . У області перетяжки 0z 00 izq −= , а на відстані : 1z 01011 qzzizq +=−= . Комплексний радіус кривини при 2q 1212 zzzz Δ+== можна визначити:

211022 zqzizq Δ+=−= . (2.119) Використання цього представлення значно спрос-

тить подальші викладки при розгляді поширення ГП у просторі, у якому присутні оптичні елементи.

Енергія. До цього часу мова йшла про величини, які описують параметри поля. Оскільки на практиці завжди мають справу з інтенсивністю випроміню-вання I ∼ , перейдемо до величин, які можна виміряти у дослідах. Якщо хвиля описується виразом

|*|UU

( )

2

0

2

2

2

2

1

,,

ari

aiikz

eer

eUzyxUρρ−ϕ−

+= , де – амплітуда

поля у центрі перетяжки, , то розподіл ін-тенсивності цієї хвилі буде:

0U

222 yx +=ρ

2

22

2

20

1ae

rU

Iρ−

+= . (2.120)

Енергія у елементі перерізу на будь-якій відстані z :

dxdyer

UdW a2

22

2

20

1

ρ−

+= . (2.121)

Повна енергія у довільному перерізі a при довіль-ній координаті z :

149

220

2022

2022

2

20

112

2

π=π+

=+

=ρ−∞+

∞−

∞+

∞−∫∫ aU

rU

adxdyer

UW a (2.122)

залежить від амплітуди поля у центрі перетяжки та від розміру перетяжки.

Контрольні питання

1. У чому полягає подвійний зміст просторових частот? 2. Які пристрої називають фільтрами, модуляторами?

Яка принципова різниця між ними? 3. Запишіть передавальну функцію шару простору. 4. Поясніть природу обмеження роздільної здатності

оптичних пристроїв. 5. Охарактеризуйте наближення Френеля та Фраун-

гофера. 6. Якими функціями описується дифракція Фраун-

гофера на круглому отворі? 7. Сформулюйте принцип Гюйгенса-Френеля та за-

пишіть його математичний вираз. 8. Чим відрізняється гауссів пучок світла від пучка

світла, який утворюється при проходженні плоскої хвилі через круглий отвір?

9. Які характеристики притаманні гауссовому пучку? 10. Як змінюється радіус кривини ГП при поширенні

ГП у просторі?

Задачі

l L

Рис. 2.25.

1. Знайти розподіл інтенсивності у випадку дифракції Фраунгофера на 2-х щілинах.

2. Знайти вираз, який описує роз-поділ інтенсивності у випадку дифракції Фраунгофера на отво-рі, який наведений на рис. 2.25.

150

3. Знайти вираз, який описує розподіл інтенсивності у випадку дифракції Фраунгофера на непрозорому диску діаметром R .

4. Знайти вираз, який описує розподіл інтенсивності у випадку дифракції Фраунгофера на круглому отворі діаметром R , у який вставлений непрозо-рий диск діаметром r , при цьому центри диску та отвору співпадають і rR > .

5. Знайти вираз, який описує розподіл інтенсивності у випадку дифракції Френеля на круглому отворі діаметром R .

6. Побудувати сімейство графіків, у залежності від z – відстані до площини спостереження, розподілу інтенсивності у дифракційній картині при дифра-кції Френеля на одновимірній щілині вздовж осей OX та OY площини спостереження.

7. Взаємно доповнюючі екрани, будучи складеними один з одним, повністю перекривають світловий потік, без щілин та взаємних накладок, як, напри-клад, отвір та диск однакового діаметра. Здавалось би – якщо накласти одна на одну диф-ракційні картини від взаємно доповнюючих екранів, то повинні отримати рівномірно освітлене поле, як і при відсутності будь-яких екранів. Од-нак це не так. Пояснити феномен.

8. Шар простору товщиною z у наближенні Фраун-гофера виконує ПФ над сигналом. Наступний такий же шар теж виконує ПФ (тепер уже над спектром сигналу). Однак у площині 2z зобра-ження предмета відсутнє, хоча двічі виконане ПФ повинно б дати обернене зображення предмета. Крім того, шар простору товщиною 2z також ви-конує ПФ. Так що ж ми отримуємо у площині 2z – ПФ сигналу чи сам сигнал?

151

III. ЛІНЗА – АМПЛІТУДНО-ФАЗОВИЙ МОДУЛЯТОР 17. Параболічна та сферична оптика 1*. Розглянемо відбивання хвилі від дзе-

ркальної поверхні параболічного дзеркала у наближенні геометричної оптики (рис. 3.1). Вважає-мо, що падаючий пучок йде зліва направо вздовж . Використаємо наближення геометричної тіні у парак-сіальній області. Виберемо початок відліку

),,(п zyxU

z

0=z так, щоб відбиту хвилю можна було записати у вигляді

),(2п ),( ),(),,( yxikz

відбвідб eyxUyxRzyxU = . (3.1) ),( yxRвідб – комплексний коефіцієнт відбивання, зу-

мовлений властивостями поверхні, він може мати як амплітудну, так і фа-зову складову, подвоєн-ня степені експоненти з’явилось внаслідок по-двійного проходу відста-ні . Якщо поверхня дзеркала є параболоїд обертання, координати поверхні якого пов’язані рівнянням

z

Uп

0

z

x

y

–R1

Uвідб

d Рис. 3.1. Відбивання хвилі від поверхні параболічного

дзеркала у наближенні геометричної оптики.

022 2)( Ryxzd +=− , (3.2)

де d – максимальна відстань між площиною XY та по-верхнею параболоїда, – параметр, то комплексний коефіцієнт відбивання хвилі отримує фазове зміщення:

0R

022 2)(222 ),( ),( Ryxikikd

відбikz

відб eeyxReyxR +−= . (3.3) Нехай сферична хвиля іде з точки 11 Rz −= , у пло-

щині вона має вигляд 0=z

152

1221

21

22

2)(

121

22п )0,,( RyxikikRRyxik

eR

e

Ryx

eyxU +++

≅++

= , (3.4)

бо . Тоді, заради спрощення вважаючи, що , тобто, коефіцієнт відбивання поверхні

дзеркала не має амплітудно-фазових особливостей, після відбивання хвилі маємо у площині

1, Ryx <<1),( =yxRвідб

0=z нову хвилю, яка рухається у зворотному напрямку

))((01

221 12

1

1

)2(

)0,,( RRyxikdRik

відб eR

eyxU−

=++

. (3.5)

Якщо позначити 201 21121 RRR =− , то

2

22

1 2)2(

1

1 RyxikdRik

відб eeR

U+

+= . (3.6)

Це така ж сферична хвиля, як і падаюча , лише

з радіусом кривини пU

1012 )21( −−= RRR , тобто, при

відбиванні сферичної хвилі від поверхні параболоїда обертання одержуємо нову сферичну хвилю, однак із зміненим радіусом кривини.

Хоча цей висновок добре відомий з початкового курсу геометричної оптики, одержання його з рівнянь Максвела вдало демонструє можливості апарата фур’є-перетворень.

Окремі випадки: 1. Якщо 01 RR = , то 02 RR −= , тобто, хвиля сходить-

ся у точку з координатою 0Rz −= . 2. Якщо хвиля виходить із фокуса дзеркала

( ), то 2/01 RR = ∞→2R , тобто, після відбиття маємо плоску хвилю.

Оскільки ми користувалися наближенням геомет-ричної тіні, у якому крайові ефекти ігноруються, ми отримали лише основні співвідношення геометричної

153

154

оптики. Із цього на-ближення не можна одержати відомості про структуру оптичного зображення, роздільну здатність оптичної сис-теми, дефекти зобра-ження. Для вирішення цих питань необхідні подальші уточнення про характер взаємодії сферичних хвиль із фа-зуючими поверхнями.

2*. Розглянемо прохо-дження хвилі крізь про-зоре середовище (рис. 3.2), обмежене плоскою і параболі-чною поверхнями. Комплексний коефіцієнт пропускання такої системи у наближенні геометричної тіні є

Uп

0 z

x

y

–R1

z1

z2 = d

Рис. 3.2. Проходження хвилі через прозоре середовище з показником заломлення n, обмежене плоскою і парабо-

лічною поверхнями.

ikzeyxTyxT ),( ),( 12= , (3.7) причому z визначається із формули (3.2), – модуль функції. У загальному випадку

),(12 yxT),( yxT може впливати на

амплітуду складним чином, однак у найпростішому випад-ку обмежує хвилю (наприклад, оправою лінзи).

Нехай зліва на лінзу падає сферична хвиля і центр її знаходиться на осі OZ у точці з координатами

. У площині } ,0 ,0{ 1R− 0=z хвиля має вигляд (3.4), а пі-сля проходження лінзи у загальному випадку:

)0,,( ),( ),,( ),(12 yxUeyxTzyxU вх

yxikzвих = , (3.8)

причому, ),( yxzz = – функція повної зміни фази за рахунок переміщення хвилі на відстань . zВсередині лінзи ( dz << 10 ) хвиля, може бути визначена так

вхRyxdikn UeyxTzyxU )2)((

12110

22 ),( ),,( +−= , (3.9)

де n – показник заломлення матеріалу лінзи. Після лінзи у проміжку між лінзою і площиною dz =2 :

z R0′ d2

R0′′

d1

Рис. 3.3. Представлення двоопуклої лінзи двома співoсними плоскоопуклими. R0′ та R0′′ – радіуси;

d1 та d2 – товщини кожної з лінз.

.),,( ),,( ),,( 022

1 2)(11

)(112

Ryxikzdik ezyxUezyxUdyxU +− == Повний набіг фази у площині dz =2 визначається:

022 2)( )1( Ryxikniknd ee +− , (3.10)

якщо вважати, що поза лінзою показник заломлення середовища дорівнює 1. Отже,

.))((

),( ),,( 0

1

1 22

1

1

2) ( 2

11

12R

nRyxikikR

Riknd

вих eeeyxTdyxU−++

= (3.11)

За формою – це сферична хвиля, яка розходиться, координата її центру R ′ визначається із умови

021

211

1 Rn

RR−−=

′. (3.12)

Можна було б розглядати двоопуклу лінзу, вводячи , (рис. 3.3). Двоопукла лінза може бу-

ти представлена двома співвісними плоскоопуклими лінзами, складеними впритул плоскими сторонами. Кожна із них діє за правилом (3.11), тому загальний результат має вигляд

00 RR ′′′ i 21 dd i

.))((

),( ),,(

2

1 2

1 2

1 1

)(122

001

22

1

1

21

Rn

Rn

Ryxik

ikRR

ddiknвих

ee

eyxTdyxU

′′−

+′

−++

+

×

×= (3.13)

155

Постійна складова набігу фази )( 21 ddkn + зсуває всі фази однаково, її майже завжди можна опустити. Ко-ордината центру нової хвилі:

1

1)( 11* −−=

FRR , (3.14)

де

)(00

11)1(1RR

nF ′′

+′

−= . (3.15)

Розглянемо деякі окремі випадки. 1. Для плоскопаралельної пластинки ∞→F , тоді

. Центр пучка не переноситься (пластинка тонка). 1RR =′2. Якщо ∞<< FR1 , то 1RR >′ , пучок розходиться

менше, лінза називається збірною, колективною. 3. Якщо джерело суміщене з фокусом лінзи, тобто,

, то після лінзи маємо паралельний пучок, 1RF =∞→′R . При поступовому переході від випадку 2 до

випадку 3 послідовно проходить зміна радіуса кри-вини фронту, центр кривини нового хвильового фронту йде у нескінченність, хвиля у області dz =2 і далі виявляється плоскою.

4. При одержуємо 1RF < 0<′R , це означає, що центр сферичного фронту переходить через площину 0=z вправо.

5. Якщо самосвітна точка знаходиться на подвоєній фокусній відстані від лінзи, , то її зображення буде справа від лінзи на такій же відстані

FR 21 =FR 2−=′ .

Отже, одержали практично всі закономірності гео-метричної оптики з параболічними лінзами. Одержані результати легко узагальнити на випадок лінз з від’ємною оптичною силою.

3*. Можна показати, що всі викладки можна вико-ристати і для сферичного дзеркала або лінзи. З рівняння зміщеної сфери:

20

20

22 )( RRzyx =−++ , (3.16)

156

у області зміни 02Rz = і 0=z одержуємо

02 ,2222

20

22

01 RyxzR

yxRz +≅+−≅ . (3.17)

Видно, що за формою запису зв'язок між коорди-натами (3.17) аналогічний (3.2).

Таким чином, комплексна прозорість для тонкої сферичної лінзи має вигляд

FyxikeyxT 2)(12

22),( +− , (3.18)

тобто, у загальному випадку лінза є амплітудно-фазовим модулятором, хоч досить часто вважають, що . 1),(12 =yxT

Зазначимо, що у деяких випадках роблять аподиза-цію (виправлення) об’єктива, тоді прозорість неоднакова по апертурі, наприклад, вона може змен-шуватися від центру до периферії за законом Гаусса:

20

22 2)(12 ),( ρ+−= yxeyxT , (3.19)

де 2ρ0 – величина, близька до діаметра лінзи. У результаті зникають темні кільця у дифракційній

картині Eйрі, головний максимум стає ширшим, а форма його – гауссова. Частотна залежність просвіт-лення оптичних поверхонь теж може бути врахована через коефіцієнт . ),(12 yxT

Таким чином, у параксіальній області сферичні лі-нзи трансформують світлові пучки, не змінюючи їхньої гомоцентричності, тобто, так само добре, як і параболічні лінзи.

4*. Застосування наближення геометричної тіні для лінзи рівноцінне твердженню, що лінза є моду-лятором сигналу

.2/)( ),(),( ),( ),( 22 FeyxUyxUyxTyxU yxik

вхвхвих+−== (3.20)

У такому разі спектр вихідного сигналу, просторові частоти якого xω , yω , визначається через ПФ:

157

dxdyeyxUyxTG yxiвхyx

yx )( ),( ),(),(2ω+ω−

∫∫=ωω . (3.21) Однак

yxyxi

yxвх ddeGyxU yx ΩΩΩΩπ

= Ω+Ω∫∫

)( ),(),( 1241 , (3.22)

де – просторові частоти вхідного сигналу. Тому yx ΩΩ ,

.)(),(41)( ),(

),(

12

2

yxyxi

yxyxi

yx

ddeGdxdyeyxT

G

yxyx ΩΩΩΩπ

=

=ωω

Ω+Ωω+ω−∫∫∫∫

Змінимо порядок інтегрування:

. )( ),( ),(

),( )( )(

1241

2

dxdyeyxTddG

Gyxi

yxyx

yx

yyxx Ω−ω+Ω−ω−∫∫∫∫ ΩΩΩΩ

π=

=ωω

Внутрішня пара інтегралів є прямим перетворен-ням Фур’є функції прозорості, вона має позначення

і називається частотною характеристи-кою лінзи. Таким чином,

),( yxH ωω

,),(),(),( 1241

2 yxyyxxyxyx ddHGG ΩΩΩ−ωΩ−ωΩΩπ

=ωω ∫∫

(3.23) тобто, спектральна густина вихідного сигналу безпо-середньо за лінзою дорівнює згортці спектральної густини вхідного сигналу і частотної характеристи-ки лінзи ),( yxH ωω . Це означає – якщо прилад є модулятором сигналу, то у цьому випадку інтеграл Дюамеля (3.23) пов’язує спектри вихідного, вхідного сигналів і частотну характеристику приладу.

Якщо ж прилад є фільтром спектра (наприклад, шар простору), то інтеграл Дюамеля пов’язує самі си-гнали – вхідний, вихідний і імпульсну характеристику приладу. Про це йшлося раніше.

5*. Обчислимо частотну характеристику лінзи. За визначенням

158

).()()( /)(),( 21222

yxyxiFyxik

yx IIdxdyeeH yx ωω==ωω ω+ω−+−∫∫

(3.24) Подвійний інтеграл розпадається на два інтеграли,

бо змінні є незалежними. Кожен із множників є інтег-ралом Пуассона, тому

.)(

,22

221

22

21

2)()(),(

,2)(2)(

22

yxkF

yxyx

kF

iy

kFi

x

ie

ikFIIH

eik

FIeik

FIyx

ωωπ=ωω=ωω

ωπ

=ωω

π=ω

+

(3.25)

18. Лінза як фур’є-транслятор 1*. Розглянемо фокусуючу властивість тонкої лінзи.

Нехай на лінзу падає хвиля, що йде зліва направо вздовж оптичної осі (рис. 3.4):

)0,,()0,,( yxUyxU Lвх = . Враховуючи, що лінза є модулятором, поле після неї:

FyxikLLL eyxUyxU 2)( 22

)0,,()0,,( +−= . (3.26) Шар простору між лінзою і фокальною площиною (то-вщина шару F ) - це фільтр просторових частот, тому вхідний і вихідний сигнали для нього зв’язані інтегра-лом Дюамеля, який у наближенні Френеля:

. )0(

)0(

),(

)(2

2()(

2

2

22

2222

2

2

ηξ=

=ηξ=

=

η+ξ−∞

∞−

∞

∞−

+

η−+ξ−+−∞

∞−

∞

∞−

∫ ∫

∫ ∫

ddeη,ξ,Uee

ddeeη,ξ,Ue

Fx,yU

yxFki

LFyxikikF

F)yxik

Fηξik

LikF

πiFk

πiFk (3.27)

Подвійний інтеграл є перетворенням Фур’є функції , яка існує у межах апертури лінзи, на частотах LU

FyFx kykx =ω=ω , , тому 159

)0,,(2),,( 2

22

2 yx

yxikikF GeeiFkFyxU F ωωπ=

+

. (3.28)

Зауважимо, що таке ж, у загальних рисах, поле ми мали у області Фраунгофера (Joseph Fraunhofer, 1787—1826). Модуль сигналу (3.28) дорівнює

|)0,,(||),,(| 12 yxLF GFyxU ωω= λ ,

тобто, у фокальній площині лінзи з точністю до фа-зи і масштабного множника маємо спектр вхідного

сигналу U . )0,,( yxL

L

Лінза збирає пара-лельні промені у малу (майже точкову) об-ласть на фокальній площині. Паралельним променям відповідає лише одне значення

, тому точкове зображення, яке спостерігається у фокальній площині, повністю представляє плоску хвилю з проекціями хвильового вектора (одна окрема реалізація хвильового спектру поля).

yx kk ,

yx kk ,

Рис. 3.4. Лінза як фур'є транслятор.

L

F z

GLL UL ULL

z=0 U(x,y,0)

Розміри лінзи, як правило, обмежені, тому у (3.27) інтегрування ведеться у межах апертури лінзи, при цьому кутовий спектр поля спотворюється ї ї апа-ратною функцією.

2*. Нехай U є одинична функція у межах прямо-кутної апертури

)0,,( yxba 22 × , тоді її спектр є функцією відліків:

)(sinc)(sinc22)0,,( FbkyFakxbaG yx ⋅⋅×=ωω . (3.29) Функція (3.29) вперше стає нулем, коли аргумент

(чи ) дорівнює Fakx / Faky/ π , отже, повний розмір центрального пелюстка визначається з умови

FxakΔ=π=ϕΔ 2 , тобто, aFakFx λ=π=Δ 2 . Значить, при Fa = одержимо λ=Δx . Практично

це мінімально можливе зображення точки, менше 160

зробити важко, бо для цього потрібні лінзи з нереаль-ною світлосилою, краще, ніж 1:0,99, наприклад. Звичайні тонкі лінзи не дозволяють реалізувати і цієї можливості через наявність різного роду аберацій.

Глибина різкості у фотоапараті при зменшенні ді-афрагми зростає, але об’єктивно різкість погіршується при цьому по всьому полю. Тут нема протиріччя, бо йдеться про різні явища - вплив роз-міру діафрагми на глибину різкості (вздовж координати ) і на загальну різкість по полю у деякій заданій площині вздовж координат

zyx , . Збільшення

глибини різкості при діафрагмуванні, очевидно, виті-кає із чисто геометричних уявлень.

Таким чином, те, що вважалось фокусуванням па-ралельного пучка з допомогою лінзи, має дещо інший фізичний зміст. У фокусі лінзи у дійсності маємо роз-поділ світла, який символізує кутовий спектр поля хвилі, що пройшла крізь лінзу. Якщо плоска хвиля йде із нескінченності, її спектр досить бідний деталями, бо описується δ-функцією. Якби лінза при цьому мала нескінченні розміри у поперечнику, у її фокусі дійсно вийшло б світлова пляма у вигляді нескінченно малої точки. Однак реальна апертура лінзи обмежує плоску хвилю, у результаті її спектр збагачується за рахунок дифракції на оправі, хоча розміри його у фокальній площині можуть бути, як і раніше, невеликими і у ря-ді випадків вважатися майже точковими. На рис. 3.5 показано вплив апертури лінзи на розмір зображення.

3*. Розташуємо частково прозорий предмет впри-тул до умовно необмеженої у поперечнику лінзи, як показано на рис. 3.6. Освітимо цю систему плоскою одиничною хвилею, яка йде зліва направо. У цьому випадку, внаслідок просторової модуляцїї хвилі, у фокальній площині лінзи маємо

161

)0,,(2),,( 2

22

2 FFL

yxikikFF

kykxGeeikFyxU F

+

π= , (3.30)

в

G (ω)

б

G (ω)

a

G (ω)

L

L

L

F

F

F

Рис. 3.5. Вплив апертури лінзи на форму імпульсного відгуку.

ηξηξ=η+ξ−

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

ddeUkykxGyx

Fik

LFFL)(

2 )0,,()0,,( −

ної функції

де спектр

вхід )0,,( ηξLU , розташованої у чи трохи зліва від неї.

льній п

площині лі-нзи

Отже, у фока лощині лінзи маємо спектр вхідної функції )0,,( yxU L з точністю до фазового

множника Fyxik

e 2

22 +

нез жно від способу конструю-вання 0,,( yxU може бути утворена попереднім мами, її можна створити шляхом пропус хвилі ерез транспар нт, який має пропускання ),( yx

але)L . Вона

и систекання плоскої ч а

τ і розміщений безпосередньо у площині лінзи. Зрештою, там можна розмістити елек-трооптичний або ий модулятор, який може створювати задане інформаційне поле у вигляді про-сторової функції пропускання.

4*. Розглянемо випадок, коли тра спарант М

інш

н(предмет, модулятор хвилі) розташований перед лін-

162

UL

F

z

GL

L

М

F z

GL L

z = 0 z1

Uвх

Рис. 3.6. Амплітудно-фазовий модулятор (пунктир)

розташовано у площині лінзи L. Рис. 3.7. Амплітудно-фазовий модулятор (пунктир)

розташовано перед лінзою L на відстані z1.

зою на деякій відстані 1z (рис. 3.7). Початок коорди-нат – у площині предмета, лінза назнаходиться відстані 1z від нього. Як і раніше

),,(2),,( 12

22

zkykxGeeikFyxU FFL

yxikikFF

+

π= , (3.31)

де

2F

),,( 1zFyFkxGL – спектр сигнаk лу, який знахо-диться у площині лінзи. Згідно формули (2.18) цей спектр може бути виражений через спектр

)0,( ,0G , який існує у площині = 0: FkyFkx сигналу z222

1 )0,(),( ,01,yxkiz

L eFkyFkxGzFkyFkxGω−ω−

= , (3.32) бо шар ростору у проміжку ],0[ 1z є фільтром прос-

причому просторові частоти зв язаніп

торових частот, ’ з координатами введеним е співвіднраніш ошен-ням FyFx kykx =ω=ω , . Тому

.)(

01

0,22

22

22

), yxk

yx

kiz

izkizkL eeGeGzFkyFkxG

ω−ω−−≈=

ω−ω

(3.33) (

. )0 , ,())((

2

)(2),,(

01

2)(

02)(

2

22

2222

2

22 yxikz+

FkyFkxGeeik

GeeeikFyxU

yxzF

ikzFik

F

yxk

izFik

F

F

Fk

F

+

+−

−+

+

π=

=π= (3.34)

163

0

kx = 0

164

Знову у фокальній площині маємо спектр предме-та, однак з фазовим спотворенням

)))(1(exp( 222 yxF

zF

ik +− . Фазове спотворення зникає при Fz = . Таким чи-

ном, за допомогою лінзи і шарів п товщини росторуF , які прилягають до неї а і зліва, можна отримувати точне перетвореня Фур’є над просторо-вими с ами. Освітлення транспарантів у площині

0=z повинно здійснюватися когерентн м джерелом, при цьому, як побачимо далі,

справ

игнали

хвиля не обов’язково повинна бути плоскою.

им кміститься транспа-

л

, (3.35)скориставшись представленням (3.8). Тут kдають напрямок падаючої хвилі.

Оскільки , то у відповідності з теоремою про зміщення

. (3.36)

5*. Якщо плоска хвиля ),,( zyxUвх під деяк утом до осі падає на лінзу, перед якоюрант , то хви ю, яка пройшла

),( yxT його, можна

визначити за такою формулою),(),(),,(),,( )( yxTeyxTzyxUzyxU ykxki

вхLLyx +==

k , за-yx

),(),(ˆ

yxF GyxT ωω⎯⎯ →←

),(),(ˆ)(

yyxxFykxki kkGeyxT yx −ω−ω⎯⎯ →←+

ωx

a G (ωx)

ωx

kx ≠ 0

G (ωx) б

0

k ωx кимиРис. 3.8. Формування спектру плос хвилями,

що йдуть паралельно осі z (а), під кутом α = kx/k (б).

165

Отже, спектр транспаранта ),( yxT , який розташо-ваний у лівій фокальній площи , ерігає попе-редній вигляд, однак всі частотні компо енти зміщені на як показано на рис.

6*. За допомогою лінзи а отримати зображення двох т а-лених на нескінченність, у в ь (круги Ейрі). Якщо дж рела ві ні-стю, менш інтенсивне джерело 2 може не сп ення

ах (в на-зи

, у н

ні лінзи збн

yx kk , , 3.8 для перерізу kx. в круглій оправі можночкових джерел, відд

игляді двох систем кілецдрізняються інтенсиве

остерігатися у площині зображ , бо загубиться у

дифракційних кільцях картини більш потужного джерела 1 (рис. 3.9). По суті, це означає погіршення роздільної здатності, або навіть пропуск сигналу у шум трату дійсно існуючого сигналу – так цевається в теорії інформації). Оскільки кільця

дифракційної каpтини у фокальній площині з’являються як результат дифракції на апертурі об’єктива, потрібно змінити характер цієї дифракції, тобто треба вибрати так функцію пропуска ня об’єктива ),( yxT , щоб її образ був гладким, без різких змін і додаткових сплесків. Такою функцією може бу-ти функція Гаусса:

)( 222)( yxex,yT +− α

= , (3.37) де α - дода ні коеффіцієнт. При цьому кожна само-світня точка ростору ред етів, яка досить

т йп п м є

2ω |)(|G

1

2

ω0

Рис. 3.9. Зображення двох точкових різноінте-

нсивних джерел при різкому обмеженні пуч-ків апертурою лінзи.

віддаленою, обр жається у фокальній площині у ви-гляді функції Гаусса. Хоч на рівні напіввисоти ця функція є ширшою, ніж )(sinc , що у загальному по-гіршує теоретичну роздільну здатність, однак у цьому

з а

Операція видалення вторинн

ку лін

x

випадку можна помітити слабкий сигнал на тлі більш сильного (рис. 3.10).

их максимумів у ре-ині (у зображенні) зультуючій дифракційній карт

називається аподизацією. Вона виконується за допо-могою об’єктивів, у яких не рівномірне по полю пропускання світла, а змінюється за законом (3.37). Аподизація часто застосовується у мікроскопії.

Частотну характеристи зи у цьому випадку легко одержати, узагальнивши результат, наведений у (3.24). Дійсно, якщо

166

,

e),(

)(

2

)(

22241

)22(2

yx

yxyxF

i

FikF

yxiyx

eik

dxdyeH

ω+ω−

ω+ω−−

∞− ∞−

π=

==ωω+

∫ ∫

то із врахуванням (3.37)

∞ k∞

|G (ω)| 2

ω

2 1

0

3

Рис. 3.10. Розподіл інтенсивності при аподизації: су-

марний (1); у зображеннях точкових джерел (2) та (3) (схематично).

, (2

e),,( )()22(2

)22(2 yxyxyx

Fi yxik

yx dxdyeH ω+ω−−∞

∞−

∞

∞−

==αωω+α−+

∫ ∫

)()()2

22221

yxFikF

eikω+ωα+α−

α+

π=

(3.38)

бо Fik 2 і 2α формально рівноправні доданки пер-ший із них впливає на фазу хвилі, а другий визначає зміни амплітуди хвилі по поверхні лінзи.

картині зникають повністю, якщо на краях лінзи і інтегрування по зі-ниці лінзи еквівалентно інтегруванню у нескінченмежах (рис. 3.10). У іншому випадку інтеграл (розпадається на два, і незначна модуляція у зобра-женні все ж таки залишається.

к і у

дна частина ст

а не когер

,

Кільця у дифракційній 0),( →yxT

них 3.38)

Я випадку спіралі Корню, коли у області моно-тонного спаду амплітуди (у тіні) фаза змінюється дуже швидко (див. рис. 2.17), тут амплітуає гладкою, а фазова – ні. Однак, якщо два близько

розташованих джерел ентні, світло від них додається без врахування фази, обидва зображення виходять гладкими, адитивними за яскравістю. Якщо джерела когерентні, у фокальній площині маємо ти-пову картину інтерференції у вигляді гіпербол непостійного контрасту.

7*. Розглянемо точкове джерело на оптичній осі на довільній відстані від лінзи. У цьому випадку на об-межену діафрагмою лінзу падає сферична хвиля

Ryxik

ex,yTU L2

22

)(+

= , (3.39) де ),( yxT - модулююча функція діафрагми. Після лін-зи поширюється хвиля

1

222222

2 )(yxikyxik

Ryxik

LL ex,yTU+

−+−

+

= 22 )( dF ex,yTe = ,(3.40) де

167

RFd111

1−= , (3.41)

тобто, маємо один із випадків, розглянутих раніше: сферична хвиля виходить після лін

споча. Отже, її спектр

зи такою, ніби во-на тку була плоскою, а потім пройшла лінзу з фокусною відстанню d1 ),( yxLG ωω

буде у правій площині 1dz = , а розмір основного пе-люстка теж збільшиться: 01 xdx =λ′Δ . Це оз

змінювати лінійні розміри спектра вхідно-го сигналу (у даному випадку шляхом зміни кривини фронту вхідної хвилі. Очевид-

вий набір у фо

ормування с

, як

начає, що можна

спектр функції ),( yxT )

но, що у самій фокальній площині є збудженя у вигляді рівномірно освітленої круглої цятки. Це дійс-ний спектр просторової частоти вхідної сферичної хвилі, яка падає на лінзу і має просторо (kx, ky), що і відображено кальній площині.

Таким чином, у плані ф пектру фока-льна площина не є особливою площиною: там знаходиться спектр діафрагми (оправи лінзи) шири-ною 02x , розташованої у площині лінзи а освітлюється нескінченно віддаленим джерелом. Як-що використовується сферична хвиля, спектр діафрагми буде у спряженій площині 1dz = . Із сказа-ного можна зробити важливий висновок: змінюючи радіус кривини падаючої хвилі, можна змінити мас-штабний множник розміру спектра сигналy, який знаходиться у площині лінзи. При цьому положення спектру (площина z ) знаходиться просто за форму-лою лінзи, амплітуди відгукiв змінюються у відповідності з законом збереження енергії.

168

19. Просторова фільтрація 1*. Математичні операції диференціювання та

інтегрування. Простий спосіб отримання спектру просторових частот за допомогою оптичної системи дає можливість виконувати більшість математичних операцій над прос оровими сигналами, впливаючи на сп ктр ци сигналів. Р зглянемо риклади опти -ного диференціювання та інтегрування фун

те х о п ч

кці , як задана у просторі

ї )(xf xа , а фізично є, наприклад, фу-

нк отоку. ) Диференціюючи обернене ПФ n-разів, маємо

цією пропускання світлового па

xxi

xn

x

n

n

ndeGi

dxxfd x ωωω

π= ω∫ )(

2)( . (3.42)

Отже, щоб отримати n-ту похідну від функції )(xf , яка задана у просторі x , необхідно виконати ПФ від добутку )( x

nx G ωω . Спектр )( FkxG знаходиться у фо-

кальній площині лінзи, там же треба розмістити амплітудний фільтр з пропусканням nFkx )( , тобто, у центрі ( x = 0) пропускання відсутнє (нульове), а у на-прямку >x зростає як , причомукраю діапазону спектру пропускання бажанод сві

наступн ною кми шара ру зав

периферії ( 0 ) nx , на о зробити

иничним (повним) – для повноти використання -тлового потоку. ПФ від добутку )( x

nx G ωω необхідно

виконати ою оптич іркою (це - лінза з прилегли ми просто товшки

омF з кожної

сторони) Повна схема виконання оптичного дифере-нціювання показана на рис. 3.11. Л1 та Л2 використовуються як фур’є-транслятори, а об’єкт

)(xf та його похідна

.Лінзи

ndxxf )( , а також фільтр з пропу-

сканням nxω знаходяться у фокальних площинах

nd

169

вказаних лінз. На об’єкт )(xf сві є у вигляді пучка, який паралельний осі і якому відповідає лише одна (нульова) просторова частота. Після проходжен-ня об’єкта )(xf пучок за рахунок дифракції збагачується іншими просторовими частотами, саме ці частоти треба коригувати за правилом n

xω , при у сигнал на нульо тоті потрібно затримува-повністю. Найпр виготовити фільтр для

отриманн ідних парни порядків, який у цьому випадку є то амплітудним. ля непарни порядків фільтр повинен бути ампл но-фазовим.

б) Задача інтегрування функції )(xf деякою мірою обернена до попередньої. Запишемо перетворення Фур є для вип 0

тло пада

цьом війти остіше

я п х чис Д х

ітуд

’ адку

час

ох

=ωx .

dxxfdxexfG xix

x )( )()( ∫∫ ⇒=ω ω− . (3.43) Це означає, що якщо у схемі рис. 3.11 встановити

фільтр, який би пропускав світло лише у області

n

n

dxxfd )( f(x)

Л2 Л1 F F F

фільтр ωxn G(ωx)

Рис. 3.11. Оптична схема для диференціювання

просторового сигналу.

0==ω Fkx

x (звичайно, у розумному околі цієї точки), то після лінзи Л2 йтиме світловий потік, пропорційний інтегралу dxxf )(∫ . Це буде паралельний пучок

). Фільтр

світла

(плоска хвиля у межах апертури лінзи Л2 у 170

171

ць ий

2*. стний мікроскоп. Навколишнійсвіт сприймається органом зору завдяки ампмо

фазу хвилі

і, Прир

ати напрямок на джерело, яке у пр

о ів

9 в

ому випадку – просто невеличк отвір у екрані, розташованому у площині двох співпадаючих фокусів кожної з обох лінз.

Фазоконтра літудній

дуляції світла, яке, опромінюючи об'єкти, розсію-ючись на них, попадає у око з різних напрямків. На

орган зору не здатний реагувати – в умо-вах поліхроматизму дуже коротких хвиль нема можливості її вимірювати, порівнювати з еталоном (принаймн ода вирішила, що задоволення від результату неспівставиме з необхідними затратами). А головне, нема у тому потреби, на відміну від випа-дку звукових хвиль, де додаткова функція уможливлює визнач

оцесі виживання істоти і природнього добору мо-же бути корисним або глибоко навпаки. У науковій практиці об’єкти, що досліджуються (у мінералогії, кристалографії, хімії, медицині, біології), часто є прозорими, непоглинаючими, і, разом з тим, моду-люють його за фазою, оскільки відрізняються від оточуючого (теж прозорого) середовища лише показ-ником заломлення. Таким чином, у полі зору мікроскопа вони невидимі, що утруднює чи практи-чно унеможливлює їхнє візуальне дослідження. Методи штучног підфарбовування об’єкт , фіксу-вання клітин (у біології) частково вирішували задачу і були популярні, але це означало, що вже досліджу-вався інший об’єкт, неприродний, модифікований.

Вирішення цієї проблеми було реалізовано у фазо-контрастному мікроскопі (ФКМ), який є прекрасним прикладом застосування просторової фільтрації, хоч на той час такого поняття ще не існувало. ФКМ при-думав у 1934 році нідерландський фізик Фріц Церніке (1888-1 66), який досліджува фазові дефекти диф-ракційних граток і у якийсь момент зрозумів, як

напрацьовані методи можна використати у сусідній област мікроскопі е, що у дифракцій гратках було дефектом, завадою, створювало у реальному спектрографі фантомні (неіснуючі у природі) спект-ральні лінії, у роскопії явилось лючно цінним об'єктом досліджен

і - ї. Т них

мік ви викня. На той час дифракційна теорія

Аббе задовільно описувала всі явища у мікроскопі, проте дещо спрощене пояснення роботи ФКМ, яке ще й досі зустрічається у літературі, залишає більше за-питань, ніж відповідей1. У той же час використання елегантного апарату фур'є-перетворень дозволяє ла-конічно і точно продемонструвати ідею Церніке.

Когерентне світло, що розсіялось на об'єкті, який міс-титься на предметному столику мікроскопа, у загальному випадку описується комплексною функцією

),( yxf . У фокальній площині об’єктива маємо фур’є-образ предмета ),( yxG ωω . Надалі для простоти розгля-

немо одномірний випадок: )(),( xfyxf ⇒ , )()(ˆxGxfF ω= .

На рис. 3.12 показано формування зображення у ФКМ. Предмет 1, що знаходиться в однорідному сере-довищі 2, освітлюється паралельним пучком коге-рентних променів, які після розсіювання на предметі разом з нерозсіяними проходять через об’єктив мік-роскопа 3. При цьому промені, які у межах се

у н тредовища 1-2 не розсіялись і не змінили напрямку,

збираються центрі фокальної площи і 4 і формую ь фур’є-образ плоскої хвилі )(1 xG ω , а ті, що розсіялись

дметі 1, падають широким пучком на об’єктив 3, формуючи у ф ій площині фур’є-образ розсі-юючого об’єкта, )(2 xG

на преокальн

ω , м а далі разом з перши

172

1 Навіть в книзі М. Франсона, яка є класичною з цієї те-матики, стверджується, що в ФКМ спостерігаємо об'єкт („бактерію”), хоча це суперечить навіть тим фотографіям, які наведено в книзі.

пу

: ф

що

чком збираються у спряженій площині 5, утворю-ючи «зображення» 6 розсіюючого предмета. Нагадаємо, що це зображення – невидиме, оскільки амплітудна модуляція відсутня.

Отже, у фокальній площині 4 знаходиться фур’є-образ, що складається з двох частин дельта- ункції

)(1 xG ω , яка відповідає плоскій хвилі перед об’єктивом, та фур’є-образу розсіюючого предмета

)(2 xG ω . З рисунка видно, )(1 xG ω та )(2 xG ω прос-торово розділені: дельта-функція )(1 xG ω зосереджена майже у точці ( 0=ω ), тоді як )(Gx 2 xω роззосередже-

на по фокальній ині. Якщо у то ці 0 площ ч =ωx розташувати комплексний фільтр Φ малих розмірів, таких, щоб він впливав лише на функцію )(1 xG ω , то функція )(2 xG ω майже не зазнає змін. Проте його дія може різко змінити загальну ситуацію у площині зо-браження, яке є оберненим ПФ від суми обох вказаних спектрів (це останнє ПФ виконує шар прос-тору, за визначенням).

Нехай функція на вході (це майже плоска хвиля пі-оходження предметного ка) вигляд сля пр столи має

6 1

2 3

4

5

f(x) f3(x) G3(ωx) G1(ωx)

G2(ωx)

Ф

Рис. 3.12. Схема ФКМ.

173

)( )( xiexf ϕ= , де )(xϕ – с а) фазння Δn

лабка (мал ова модуляція, яка виникає через варіації показника заломле на мікрошляху Δl у області координати x об’єкта, че-рез малість її можна представити першим ома членами ейлора:

и дв Тряду xx x

x Δ+ϕ=ϕ ∂ϕ∂ )(

0)( . Її спектр у фокальній площині об'єктива:

))(ˆ)1(ˆ()(ˆ )( 0 xFiFexfF xx

есуттєва константа, деяка по-ча

лише фу

i Δ+= ∂ϕ∂ϕ . (3.44)

Тут 0 ϕie абсолютно нткова фаза, її можна без втрати загальності

опустити. Нехай амплітудно-фазовий фільтр, який діє льта- нкцію, зміщує фазу на π/2, а та-

кож зменшує амплітуду у M разів. Тоді зображення у спряженій площині 5 буде сформовано новим спек-тром )(3 xG ω , а саме

на де

)).)( (ˆ)1(ˆ(

)1(ˆ()( 2/ 13

xxFMF

eFG

Mi

iMx

ϕ∂Δ+=

==ω π

. (3.45) )))( (ˆ

x

xxxFi

∂

∂ϕ∂Δ+

Зазначене зображення є оберненим Ф відкт ω

)(3 xf П спе-ру )G , тобто (3 x

.))( 1(

)))( ˆˆ)1(ˆˆ)(ˆ)()(

1133

xxxMMi

Mi

Mi

x

exxxM

xxxMFFFFGFxf∂ϕ∂Δ

−−−

≈∂ϕ∂Δ+=

=∂ϕ∂Δ+=ω=(3.46)

Як бачимо, фазова модул ія у площині 1 перетво-рилася на амплітудну у площині 5. Хоча дещо своє-рідно – кція )(x

((1

яц

фун ϕ тепер представлена своєю похід-ною xx ∂ϕ∂ )(

краще аніж (та ще й через нелінійний зв’язок!), проте

це ніяк. Розподіл інтенсивностізображення вздовж координати

у площині x дається виразом:

xxxxf ∂ϕ∂Δ= )( 23 |)(| , (3.47)

тобто у місцях

MM

e212

, лише , де похідна xx ∂ϕ∂ )( відмінна від нуля, можемо спостерігати деталі прозорого

174

об’єкта. Наприклад, крапелька води на склі 2 у площині 5 виглядає як коло, тобто, видно лишеця, де кривина поверхні максимальна.

ичнє фазу

ий шар і такого металу, щоб він один в о

не тор

міс-

Практично комплексний фільтр, який необхідно розмістити у фокальній площині 4 (рис. 3.12), – це пластинка з опт ою товщиною λ/4 або 3λ/4, що зміщу відповідної хвилі на π/2 або -π/2. На пластинку напилено поглинаючий тонкий шар мета-лу, завдяки чому амплітуда хвилі послаблюється у М разів. Як правило, використовують такий тонк

иконував бидві функції. Інших тонкощів будови ФКМ каємось.

Здавалося б, як завгодно малу фазову модуляцію можна перетворити у амплітудну, вдало вибравши M для виконання умови 1)( 2 ≈∂ϕ∂Δ xxxM . Формально так, але це супроводжується значним зменшенням загальної інтенсивності у полі зору (оскільки об’єкт розсіює мало, а основний потік у центрі xω = 0 посла-

блюється у 2M разів). Практично можна візуалізувати варіації фази у кілька кутових градусів з досить при-стойним контрастом. Та обставина, що наближення

α+≈α 1e справедливе лише для малих α, на якісну сторону ефекту не впливає.

Церніке запропонував свій винахід німецькій фірмі з світовим іменем Карл Цейсс, яка спеціалізувалась на розробці і випуску мікроскопів, але „фірму винахід не зацікавив: все, що потрібно для практики, ми придумуємо самі!” Прот вчений світ збагнув, що ця революційна за результатами у мікро-скопії робота заслуговує Нобелівської премії (1953р.)

20. Імпул ний відгук простору, у якому є лінза 1*. Якщо предмет розміщений перед лінзою і освіт-

лений (рис. 3.7), то при певних умовах у іншій

е у повоєнні роки

ьс

175

площині , яке за зоровим вра-

же

то

й на

(її будемо називати спряженою) виникає розподіл інтенсивності ,(1 yxU )

нням нагадує сам предмет. Цей розподіл ),(1 yxU прийнято називати зображенням предмета. Визна-чимо умови, при яких розподіл поля ),(1 yxU нагадує предмет з максимальною достовірністю.

Спочатку нехай предмет є самосвітною точкою з координатами ),( 00 yx . Тоді у деякій іншій точці

)( справа від лінзи амплітуда поля, яке створене, 11 yx чковим джерелом, буде ),,,( 00111 yxyxU . По суті

),,, 0011 імпульсний відгук простору товщи-ною 10 dd + , у якому є лінза. Природньо, зображення точки буде більш адекватним предмету, чим більше розподіл поля 1U схожи функцію, тобто, було б бажано, щоб

),( ),,,( 010100111 MxyMxxCyxyxU

(1 yxyxU є

δ-

±±δ≈ , (3.48) де M – збільшення системи, а C – деяк ста .

Знайдемо вираз, яким можна и U

а ла описат

),,,( 0011 yxyx . Нехай ),(),( 00000 yxyxU1 −η−ξδ= . Тоді у площині, яка до лінзи зліва, поле LU ви-

ться перетворенням Френеля: прил

значаєягає

,()(22

0(

00 ηξ−ξδ=η−+∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ ddxekx,yU

)yikdL

(3.49) де інтегрування ведеться у площині джерела. Внаслі-док фільтруючо дії δ-функції маємо

)(),

20

)(2

0 −η

ξ−ey

πidxd

ik

ї )(

2

)(22

L x,yU00

00()(2

0

)yyxxdik

ikd eeπidk −+−

=

я про-мо м:

. (3.50)

Відразу після лінзи поле ),( yxU виявляєтьсLLдульованим за законо

176

)( ),(),()(

222

yxF

ik

LLL eyxPyxUx,yU+−

= , .51)де ),( yxP - “функція зіниці”, яка враховує

(3 обмеженість

області зображення поле знову знаходимо за допомогою ПФр, бо сигнал поширюється лінзи. У 1U

),( yxU LL через шар простору товщиною 1d :

,)(

),(),,(22

1 2ηξ=∞ ∞

∫ ∫ eUekyxx,yUik

ikd

21

()(

1 001 ηξ

η−+ξ−

∞− ∞−

ddπid

)yxdLL

площин(3.52)

Інтегрування ведеться у і зіниці лінзи L . Після підстановки (3.51) маємо:

.

177

)( ))((

),()

0()

002

1 0

11

011

11

11122

ηξηξ×+η++ξ−−+η+ξ∞

∞−

∞

∞−∫ ∫ ddeeP

yd

)()(),,(

(

202)(2

1001

0

22

1

20

20

10

λ=

+++− eee

ddyxx,yU

11×

dyxddx

yxdikyxd

ikddik

(3.53) Ця дещо громіздка формула є найбільш точним ви-

разом для поля у наближенні Френеля для довільних відстаней . Зображенням у точці може бути довільний кружок розсіювання, у тому і схна

є умові

dik

Fddik

10,dd 11,yx числі ожий

точку. Наприклад, відразу за лінзою – він повторює зіницю лінзи. Якщо ж віддаль 1d задовольня

011110

=−+Fdd , (3.54)

то

1 10 1 0 1

1

1 0 0

( ) ( )0 0

( , , )

( )( , ) .

d dik x x y yd d d

U x, y x y

A P e d d∞ ∞ − ξ + +η +

=

−∞ −∞

= ξ η ξ η∫ ∫ (3.55)

Множник A , який стоїть перед інтегралом (3.53) і (3.55), у основному визначає фазове спотворення, зу-мовлене віддаленням предмета і зображення від осі

z . Інтеграл (3.55) є перетворенням Фур’є від зіниці лінзи ),( yxP за просторовими частотами

).( ),( 010111 yyxx

178

01 dd

онується умова (3.54), то 01

dkd yd

d .56)

Та чином, якщо викаження самосвітної точки є нічим іншим, як

іщеним спектром зіниці лінзи. Якщо зіниця лінзи значних розмірів, спектр її досить вузька (δ−подібна) функція, як це випливає із (3.55).

Центр дифракційної картини (область нульових ча-

kx +=ω+=ω (3

ким зобрзм

стот 0=ω=ωx ) знаходиться при y

0101 0

1

0

1 , yyxx dd

dd

оптич ьзнаки) і віддалене д неї на пропорційзбільшенню системи

−=−= . (3.57)

Зображення знаходиться з протилежного боку від-носно ної осі z (координати 0x і 1x мают різні

ві величину, ну 01 ddM = .

є сукупність само-св

адекватну

При необхідності фазове спотворення можна ком-пенсувати, як це і робиться звичайно, встановленням у площині зображення додаткової лінзи з відповідною фокусною відстанню.

Таким чином, лінза перетворюітних точок, розташованих у площині на відстані

0d , у сукупність δ -подібних спектрів зіни-одержаних кожна зі зміщеням. Кут ϕ , під

інзи, точно дорів-ці, своїмяким видно точку із центру лню

л

0x , 0y є куту, під яким із центрy лінзи видно максимум

відповідної спектра ьної функції 0011 dxdx −==ϕ . (3.58)

Таким чином, збер кутоігаються ві пропорції між па

жання зображення предмета за

раметрами предмета і параметрами сукупності оде-ржаних спектрів. Тому сукупність спектрів зорово сприймається як зображення предмета, хоча мікро-структура цього зображення має складний характер. Такою є сутність одер

до

ви

ри

истовуючи промені для побудови.

помогою лінзи: зображення збудоване із “цеглинок”, кожна з яких є спектром зіниці, а вага цього спектру значається яскравістю свічення відповідної точки. 2*. Вияснимо, при яких припущеннях можливий

перехід до геомет чної оптики, коли ігноруються прояви хвильових властивостей, і зображення пред-мета можна одержувати, викор

При виконанні умови (3.54) розподіл поля у площині зображення з точністю до фазового множника має вигляд

.)(

),(),()()(2

1 0 2

1111

10101 ηξηξ

λ=

+η++ξλπ−∞

∞−

∞

∞−

− ∫ ∫ ddePdd

yxUyMyxMxd

i

(3.59) Як уже відмічалось, це є спектр функції ),( ηξP ,

тобто, напруженість поля у точці ( 11,yx ) пропорційна спектральній густині ),( yxG ωω на відповідних часто-тах )(),( 11 yx yx ωω :

)( )(),(),(),( 012

012

11111

MyydMxxdGGyxU yx +λπ+λ

π=ωω= .(3.60)

При зменшенні довжини хвилі λ (і незмінних інших ум

периферійні пелюстки у спектр ся до центру картини, сама картина ста ою, і спектр

функції

овах) абсолютне значення величини просторової частоти, яка відповідає точці ( 11,yx ), зростає, тобто,

і стягуютьє вужч

),( yxG ωω ),( ηξP стає більш повним. При де-якій малій λ область визначення ),( yxG ωω у пр і частот yx ωω , може виявитися настільки широкою, що подальше її розш врахування пелюстків більшрмац ті )

остор

ирення ( порядків) практи ьшує інфо-ійної освисоких чно не збіл

ємн ,( yxG ωω високих час

внаслідок малої енергії сигналу на таких тотах. При цьому с

все більш нагадує δ-функцію. Такий же ре-пектр

),( yxG ωω

179

зультат можна було б отримати і за інших умов, на-приклад, при тій же (не дуже малій) довжині хвилі λ , але при необмеженому розширенні зіниці ),( ηξP . Це підказує умови, за яких можливий перехід до геомет-ричної оп ики, коли імпульсний відгук си ми все

агадує δ-функцію. Нехай λ прямує до нуля; мо заміну

т більшє н

введе

сте

1' dM λξ=ξ , 1' dM λη=η , і визначимо зіниці наступн ном:

⎩⎨⎧

>η>ξ≤η≤ξ

=ηξ.|| ,|| ,0,|| ,|| ,1

),(baba

P

Тоді

функціюим чи

180

.)( )()(2

1 0 22

01

012

12

η′ξ′λλ= ∫ ∫

α

α−

β

β−

+η′++ξ′π−− ddeddM

d yyxxi MM (3.61)

де

),( 111 yxU

;01 dadaM λ=λ=α 0db λ=β . При 0→λ маємо еобмежене розширення меж інтегрування н

),(),(0

lim 1100

1111 M

yMx

MyxyxU ++δ=

→λ− . (3.62)

Таким чином, при відсутності дифракції передаль кц а и псистеми із

ва-на фун ія (імпульсна х рактер стика) о тичної

необмеженою зіницею є δ -функцією:

,,)(

),,,(),( 11 yxU

)( 10

10

)(1

0011121

212

1

0210My

Mxyxd

ikddik

Mxee

yxyxh

M

M

++δ=

=⇒

++

+−− (3.63)

існуванні дифракції:

yа при

, ) () 11−η+

∞− ∞−e yy

де 0 Mxx −= , 0 Myy −= – координати цент

,(

),,,(

)((211

)1(10011

0011

)21

21(

21

020

ηξηλξλ∫ ∫

=

−ξπ−∞ ∞

+−−

×

×+

+

ddddP

eeyxyxh

xxi

dik

MikdM

yxM

M

(3

1 1

ження у площині зображення. Із останнвидно, що залежить не стільки від са-

.64)

ру зобра-іх виразів

0 0

),,,( 0011 yxyxh

ми

111 .65) що співпадає з формулою (3.48).

Таким чином, при проходженні шару просторля набуває додатковий, окрім , набіг фази,

нсувати, використавши лі-нзу. Причому, у просторі зображень існує єдина точка, для якої компенсація може бути виконана точноцьому випадку світло від точкового джерела пру точку зображення довільним шляхом за один і той же час: лінза має таухронізм для пари точок, які нази-

ться спр еними. С

о неї знаходитостору наз а

чної системи, е яфазові зміни різного знаку. Остання

обставина дає можливість за допомогою л зшаром простору, і

отфотографуванні

. (3.66)

х координат ),,,( 0011 yxyx , скільки від їхньої різни-ці, тобто,

),(),,,( 00 yyxxhyxyxh −−= , (3001 11

у хви- )exp(ikz

його можна частково компе

. У иходить

ваю яж еред всіх площин, перпенди-кулярних осі z , є одна особлива - фокальна площина: спряжена д ься на нескінченності.

Лінза і шар пр ив ються спряженими елементами опти д поширюєтьс хви-ля, бо вносять

ін и компе-нсувати зміну фаз, внесену римати зображення, адекватне предмету. Настрой-

ка на максимальну різкість при є не що інше як знаходження спряженої площини, при якому ця компенсація виконана найточніше.

3*. Якщо у площині ),( 000 yxU знаходиться плоский предмет, для отримання результату у площині

),( 111 yxU треба скласти дію від всіх точок ),( 00 yx з відповідною вагою ),( 000 yxU , тобто, треба обчислити інтеграл суперпозиції

11 ),(),(),( dydxyxUMyyMxxhyxU ++= ∫ ∫∞ ∞

0000000111∞− ∞−

При 0→λ одержуємо

181

),,(

),( ),(),(

11

11

01

00000001

111

My

Mx

M

My

Mx

M

U

dydxyxUyxyxU

−−=

=++δ= ∫ ∫∞

∞−

∞

∞− (3.67)

тоб ометричто, маємо чисто ге ні ефекти. По відно-шенню до предмета зображення виявляється перевернутим (різні знаки аргументів у функцій 0U i

1U ), збільшеним у M разів, втрачає у яскравості:

182

2210 )( −= MUU . Останнє просто відповідає

збереження енергії у межах даної апертури. 4*. Отже, при врахуванні дифракційних е

зображення не можна вважати точною копією пред-ме держ ння дає зглажений вигляд предмета, оскільки ширина імпульсного відгуку

хоч і вузька, але не дорівнює нулюзгладжування приводить до ослаблення і розмиванзображення дрібних деталей предмета, до втрати то-

і теуд

як ровншпередачі є зго р

не буває δ-ф

закону

фектів

та. О ане зображе

),,,( 0011 yxyxh . Це ня

чності відтворення, до погіршання роздільної здатност сис ми. Так проявляється головне правило при передачі інформації: представлення події б ь-

ими засобами суп оджується обов’язковим зме-енням об’єму інформації про саму подію. Результат

ртка функції самої події з апа атною функцією каналу передачі. Остання ніколи

ункцією, вона сама завжди дещо розмита. 21. Зображення просторово некогерентного

предмета

Оскільки шар простору, у якому є лінза, має ім-пульсний відгук на збуджуюче поле моно-хроматичної хвилі ),,,,,( 101 ddyxyxh , сигнал на виході такого шару пов’язаний з вхідним, сигналом

),,,( 00 tdyxE операцією згортки

1

),,,,(),,,(),,,( 111001111 dyxyxhtdyxEtdyxE ⊗= , (3.68) причому часову залежність виділимо окремо

ϕ+ω= itiedyxUtdyxE ),,(),,,( 0000 . Визначимо сигнал на виході, у площині z 1d= , у

двох сусідніх точках

1022''''

00122 ddyxyxhedyxyxE

xyEiti ⊗ϕ+ω

н

мально її мо

),,,(),,(

),,,( ),,,,()0(

''1022

101100

>′′′′′′−′′−

×′′′−′−⋅′′=<

>=

(2 ),,,,,,(),,(),,,

),,,,,,(),,(),,,( 1011''

001111

Utd

ddyxyhedyxUtdx iti

=

⊗= ϕ+ω

які є зображеннями двох незалежних точкових дже-рел. У зв’язку з оста нім функція взаємної кореляції

)0(12Γ для поля у двох точках площини зображення однозначно дорівнює нулеві, проте все ж таки фор-

жна визначити так: 1222111112 =

183

.),,,(*),,( 0*0 ⋅′′′′×

'

<Γ

ϕ′′−ω−

∞− ∞−

ϕ′ω∫ ∫

ydxdeddyyxx

ydxdeddyyxxhdyxU

tdyxEtdyxE

iti

ii

(3.69Кожен із подвійних інтегралів береться незалежно

часом

∞ ∞+t

∞ ∞∞− ∞−

∫ ∫ hdyxU

)

один від одного по області існування джерела (тобто, функції ),,( 00 dyxU ), однак операція усереднення за

(кутові дужки) залишить ненульовими лише та-кі складові, для яких виконуються умови ϕ ′′=ϕ′ ,

ω ′′=ω′ . Очевидно, це можливо лише, якщоyyxx ′′=′, . При порушенні цієї умови кожна з фаз

ще й величиною, залежною випадковим чи-ном від конкретного шляху, пройденого хвилею, а рівними (однаковими) вони будуть лише при вико-нанні вказаної умови.

Таким чином, операція усереднення (3.69) еквіва-лентна фільтруючій дії функції, яку можна ввести

′′=′ϕ ′′ϕ′ , є

δ -

під знак інтегралів (3.69) замість виконання опера-цій усереднення:

ddyyxxhddyyxxhdyxU

ydxdyyxxddyyxxhedyxU

S

i

S

′−′−′−′−′′=

=′′′′′′−′′′−′′′−′′−′′′′×

∫∫

∫∫ ϕ−

є можлив

dI =Γ

вості предмета і квадрата імпульс-ної характеристики шару простору, який містить лінз

×′′′−′−′′=Γ ϕ∫∫ ydxdeddyyxxhdyxU i

S

'10110012 ),,,( ),,()0(

.) ydxd ′′,,,(),,,(|),,(|

),(δ),,,( ),,(

1022*

10112

00

1022*"

0*0

(3.70) Це да ість виділити у загальній формулі

(3.69) один окремий випадок, а саме: знайти інтенси-вність світла у точці ),,( 111 dyx , яка дорівнює

.),,,(

),,(0(),,(

10112

00111111

dxdyddyyxxh

yxIdyxS

−−×

×= ∫∫ (3.71)

де |),,( ),,(|),,( 0*00000 dyxUdyxUdyxI = .

Ця рівність означає, що при просторово некогерен-тн

)

ому випромінюванні світла точками предмета (теплове протяжне джерело, наприклад) розподіл інте-нсивності у його зображенні, яке одержується за допомогою лінзи, визначається згорткою розподілу енергетичної яскра

у: ),,,,,(),,(),,( 1011000000111 ddyxyxHdyxIdyxI ⊗= , (3.72)

де . Імпульсна характеристика у оптиці – це, як прави-

ло, дзвіноподібна функція з деякою напівшириною. Очевидно, що квадрат такої функції завжди маєншу ш

ю розді ніж у випадку когерентного випромінювання (освітлення).

20 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1( , , , , , ) ( , , , )H x y x y d d h x x y y d d= − −

ме-є, що напів ирину, ніж сама функція. Це означа

зображення некогерентного випромінювання (чи освітленого предмета) повинно бути більш чітким, ко-нтрастним, з кращо льною здатністю

184

22. Перетворення гауссового пучка лінзовою системою

Раніше ми розглянули поширення ГП у вільному сторі (або у однорідному прозор у середовищі).

Га

лінзу з прилегли шарами ору р ГП поширюється вздовж осі від площи

зиВикори плексне представлення гауссової

про омуссів пучок, народжуючись у резонаторі лазера

(зв’язок характеристик ГП з параметрами резонатора див. [22, C. 301]), взаємодіє з різними оптичними си-стемами, найчастіше – з лінзами. Як змінюються характеристики ГП і як отримати ГП з заданими вла-стивостями, висвітлено у цьому параграфі.

У даному випадку системою будемо називати тон-ку ми прост ( ис. 3.13).

ни Нехайдо ,

z 0P площини 3P , де містяться перетяжки ГП і прохо-

дить при цьому крізь лінзу. Вияснимо, як змінюються параметри ГП – амплітуда, фаза, величина перетяжки та її розташування – при: 1) поширенні у вільному просторі від перетяжки ( 0P ) до лінзи ( 1P ), 2) проходженні крізь лінзу ( 21 PP → ), 3) поширенні у вільному просторі від лін-

(площина 2P ) до другої перетяжки ( 3P ). стаємо ком

q0 q3 U3

z

P3P2P1 P0

U2 U1

U0

mF nF

F F

q1 q2

a01a02

Рис. 3.13. Перетворення гауссового пучка

лінзовою системою.

185

хвилі ),,( zyxU (2.115). Запишемо вирази для ГП у вказаних площинах jP (індекс j = 0, 1, 2, 3 стосується величин у відповідних площинах).

1) Гауссів п ок у площині 0P описується формулою уч

0

2

2

0 )0,,( qki

eA yxUρ

= . (3.73) Від перетяжки (P0) до площини P1 пучок поширюється

у льному прос орі, ві т і безпосередньо перед лінзою: поле

186

. )/(1

),,(),(

1

22

11

1

2)(

)(2

011

2011

qyxki

k zi

qi

eezz

A

ez yxU z yxU+

ϕ−

+≡

≡=,k

ρ2

(3. 4)

2) Гауссова хвиля ),,(2 zyxU пісвід

7

ля лінзи, фокусна стань якої F (рис. 3.14) , матиме вигляд

, e 22)(2

2

1

2

11 Fk iq

kik zi

ρρee

A

−ϕ−≡, (3.75)

/1

,(),,(

011

12

2

)(

k ρ

zz

yxU z yxU−

+

=

оскільки відомо, що при проходженні світла через тонку лінзу остання виступає як модулятор.

3) Нарешті, пучок перетинає другий вільний прос-тір (між лінзою та P3), при цьому вираз для гауссової хвилі у P має вигляд

), 2Fie z ≡

3

. )/(1

),,( 3

2

22311 2) )(()(2

0133

qki

zzk ik ziρ

eeezz

A z yxU ϕ−−ϕ−

+= (3.76)

Тут позначено: x , y – координати у площині, пер е-ндикулярній н вилі;

пρапрямку поширення х – радіус

пучка у площині ХУ, – комплексний ра-діус кривини поверхні постійної ГП – комплексна амплітуда поля у відповідних

– радіус дифракційної розбіжності стосо-перетяжки; – радіус ГП у перетяжці у

пл

222 yx +=ρ ; qфази ; ),,(0 zyxU j

площинах, λπ= /2

0101 azвно першої 01aощині 0P ; π= λ/ – х

і2k вильовий вектор; λ –

довжина хвил ; ϕ – фаза ГП; A – деяка стала. Проаналіз ємо зміни хара ристик ГП, який по-

ширюється у лінзовій системАмплітуда ГП. Із формул 73) – (3.76) вид

при поширенні у вільному просторі (або однорсередовищі) у амплітуди ГП з’являється множник

у ктеі. (3. но, що

ідному

201)( /11 zz+ , який залежить від відстані до перетя-

жки z та дифракційної розбіжності 01z . Фаза ГП. Набіг фази відраховується відносно пере-

тяжки у P0, де, без втрати загальності, ми прийняли 00 ≡ϕ . При всіх наступних перетвореннях ГП, зага-

льний набіг фази ( −kz ϕ ) може тільки збільшуватися, числі при проходженні лінз і відбиванн

дзеркал. Як видно з (3.74), (3.76), набіг фази за ра у пр

у тому і від ху-

нок поширення осторі від перетяжки до лінзистановить ( 11

187

) ϕ−k z від лінзи до другої перетяжки ,

a01 a02

z = z3

2

z = 0

+z –z+z

3

1

–z

Рис. 3.14. Перетворення гауссового пучка лінзою.

) )( 223 ϕ−− zz , де )/(arctg 0111 zzk =ϕ , )/)((arctg2 zzz

(

0123 −=ϕ . Тобто, ГП при поширенні у просторі набуває додаткового набігу фази ϕ, який, як і амплітуда, залежить від пройденої відстані z та па-

У лінзі набіг фази дорівнює раметра 01z . Fk 22ρ . Якщо система складна, то треба враховувати набігфази ослідовно на кожному проміж і

п ку поті

ва

и ввиражається формулами (2.118) та (2.119). У пло-

щині (при

м дода-ти. Наприклад, на симетричному проміжку

( 2/2/ ll + ) (рис. 3.15) набіг фази на лінзі Л2 відносно Л1 дорівнює 01/)2/((arctg2 zl ), тобто, відносно

перетяжки a01 він ма зні знаки на Л1 та Л 2. Таким чином, між двох вказаних лінз додатковий набіг фаз ϕ може досягати величини (–π/2) + (–π/2) = - π. Така

ситуація має місце у резонаторі лазера, який склада-ється із двох ввігнутих дзеркал.

Комплексний радіус кривини ГП. Зміна комплекс-ного радіуса кривин при поширенні ГП здовж осі

лінзи є рі

188

z 0P 0=z ) у місці першої перетяжки ком-

плексний параметр ГП є чисто уявною величиною: 00 izq −= . (3.77)

Комплексний радіус кривини поверхні постійної фази ГП перед лінзою у площині P1 при 1zz = :

01011011 )( izmFFizzqzq −+=−=+= . (3.78)

a01

z

Л1

l/2 l/2

Л2

Рис. 3.15. До розрахунку набігу фази гауссового пуч-

ка на лінзах Л1 та Л2.

Т чено відстань між перетяжкою і лінзою Fmz )1(1 += ,

ут познаm – д Fеяке число, – фокусна відстань

лінзи (див. рис. 3.13). Знайдемо правило перетворення комплексного ра-

діуса кривини у випадку проходження ГП через лінзу. Перепишемо формулу (3.75) у такому вигляді:

)(e ),,(e ),,( 2

012

0212 Fqq z yxU z yxU = . (3.79)

Вважаємо модулі амплітуд поля безпосередньо пе-д ),,(01 zyxU і після ),,(02 zyxU лінзи однаковими.

Прирівнявши по ники експоненти у формулі (3.79), отримаємо правило перетворення комплексного рад

1 1k i −ρ

реказ

і-уса кривини при проходжен

22k i ρ

ні ГП через лінзу:

1

11

12 Fqq−= ⇒

1)+(=1)+(+

1)+(+==01

012

01

201

1

12 mFiz

FizFmFmizF

FmiFzqF

Fqq−

−−

−−

. (3.80)

Ця кривина, як видно, може бути від’ємною. Знаючи положення лінзи 1z та її фокусну відстань

F , можна визна перетвореного лін

ки лінзи , тоді

чити радіус кривинизою ГП, врахувавши у формулі (3.80) вираз (2.117)

при умові, що відстань від перетяж до011 zz >>

FRR11

12−= (3.81)

за мінює радіус кр ини 1R хвильового фронту падаючого пу

1 .

Отже, лін з ивчка, причому можливі три ви-

падки (рис. 3.16). а) 121 RRFR <⇒< :

після проходження збірної лінзи кривина ГП (а зна-чить і розбіжність його) дещо зменшатьсяперетяжка зміститься у сторону лінзи (рис. 3.1

, а 6 а);

б) ∞→⇒= 21 RFR :

189

фронт ГП після проходження лінзи стає плоским, пе-ретяжка розташована у площині лінзи (рис. 3.16 б);

в) 1 ⇒> RFR < 02 : лінза змінює знак кривини хвильового фронту ГП, тобто, із випуклого фронт стає ввігнутим у вибраній системі координат, у якій напрямок осі співпнапрямком поширення світла (рис. 3.16 в); так

дження лін

z адає з им чи-

ном, ГП, що розбігався ( 01 >R ) після прохози – збігається ( 02 <R ). Отже, при проходженні гауссового пучка крізь лін-

зу, яка розташована у довільній точці z : • пучок залишається гауссовим (розподіл амплітуди у

ХУ не

площині змінюється), • змінюється вираз для фази х• радіус кривини його хвильов

к

вилі, ої поверхні стає іншим.

Від лінзи до площини P3 комплексна ривина ГП змінюється за правилом:

q 2323 zq= + . (3.82) Об’єднуючи формули (3.80) (3.82), отримуєм

о в Pр

пучка q1 до і q2 – після проходження лінзи) до площи

та о правило для перетворення комплексного радіуса кри-вини пучка при йог поширенні ід площини 0 (перетяжка, параметр пучка q0) через лінзу (парамет

-ни P 3 (параметр пучка q3):

Fq

Fz

FFq01

3)(1 −−

= . (3.83)

За цією формулою, знаючи фокус лінзи

zzz 123 zzq 2310 )(1 ++− 23 −

F та від-стані між відповідною перетяжкою та лінзою, можна обчислити парамет q після лінз

р ГП у довільній точці простору и і до наступної перетяжки.

190

Однак, треба коректно враховувати положення пу-чка відносно нової перетяжки. Адже у області

0izzq −= перетяжки комплексний параметр повинен

ноди вести від відповідної пе-

ретяжки (рис. 3.14). Зауважиa0

бути, як це випливає з постановки задачі, чисто уяв-ю величиною. Таким чином, щоб виконати цю

умову, відлік z слід завжмо, що перетяжки a01 та

2 не є предметом та зображенням – це характерис-тики гауссового пучка зліва і справа від лінзи; формула лінзи тут не застосовується (у формулу

191

a01 a02

z = z3 z = 0

z 2

1

б а

a

в

a01

a02 02

2

1a01

2

1

Рис. 3.16. Деформація ГП лінзою. Поверхня постійної фази ГП при вході у лінзу – 1; хвильовий фронт ГП при

виході з лінзи – 2; a01, a02 – радіуси перетяжок ГП до та після лінзи відповідно. R 1 < F ⇒ R 2 > 0 (а);

R 1 = F ⇒ R 2 → ∞ (б); R 1 > F ⇒ R 2 < 0 (в).

(3. і

одночас

о

80), що формально подібна до формули лінзи, вхо-дять комплексн величини).

Щоб мати можливість обчислити но комп-лексну кривину ГП, амплітуду і фазу ГП, отримувати співвідношення між розмірами перетяжок та відста-нями від них д лінзи, запишемо вираз для хвилі, яка б поширювалась від перетяжки 3q справа наліво, тобто, «повернулась» назад до лінзи у P2:

. )/(1

),,(),,( ) (234

3324

2

ϕ−ρ

≡= k ziqki

ee z yxU z yxU

) (2) ()(2

0332

3 2233

2

22311 ϕ−−ρ

ϕ−ϕ−

+≡ k ziq

kik zik zi eeee

zz

A (3.84)

При цьому q4 = q3 – z32 ≡ q2. (3.85)

Це дає можливість обчислити окремо комплексну кривину ГП, амплітуду і фазу ГП, адже:

);1( ; 034033 nFizqizq +−−=−= (3.86) де , Fnz )1(32 += n – деяке число. Крім того, 24 qq ≡ , тобто, маємо

1)+(=)1(01

012

03 mFziFizFmnFiz

−−

+−− ⇒

(3.87)

Звідси, розділяючи дійсну та уявну частину, знайде-мо співвідношення між розмірами перетяжок тав

.1)+(

)1()1(

012

203010301

FizFm

nmFmFzinFzizz

−=

=++++−

ідстанями від них до лінзи:

1)+()1( 220301 mFnmFzz =++ ⇒ );-(12

0301 mnFzz = (3.88)

010301 )1( zmznz −=++− ⇒03z

уємо формули (3.88) та .89 . Видно

01z )

Проаналіз (3 ) , що nm = . (3.89

192

• величини ,m n – одного знака (нагадаємо, Fm , Fn – відстані від фокуса лінзи до відповідної перетяжки); • якщо перетяжка у фокусі 0=m ⇒ 0=n , тобто, дру-га перетяжка теж у фокусі. При цьому, як видно з (3.88) 2

0301 = Fzz ; • положення перетяжок зміщуються синхронно або до лінзи, або від неї, однак 10 ≤

≤ mn ;

• якщо nm = , із (3.89) та (3.88) випливає, що .

• якщо 0301 zz = ; 22

0122 /)( FzFm −=

m = 1, перетяжка зліва від лінзи міститподвійному фокусі

ься у F2 ; при цьому 1<n , і перетяжка

справа від лінзи міститься між F і F2 . мо кілька випадків перетворення пучків. тити на ГП

відстанню

РозглянеЯкщо поміс шляху тонку лінзу з фокусною

F , щохвильової поверхні у цьому місці пучка ( 2/RF

дорівнює половині радіуса кривини = ), то

після проходження лінзи отримаємо, згідно (3.78), пу-чок 12 RR −= з , якому повністю відтвгеометрія поч ко ого ГП. Наприклад, можна -ти

уат в вибра

орюється

F , що дорівнює радіусу дифракційної розбіжності початкового пучка і розташувати л на відста-

ні від перетяжки (тут , тоді 01z інзу

01z 012zR = 01zF = ). Послідовність таких лінз, розташованих на

, утворює лінзовий хвилевід для ГП.

леко від лазера (на від-стані, більшій за ) так, щоб цятказаповнювала якомога більшу частину поверхні лінзиРадіус перетяжки перетвореного ГП у ому вприблизно дорівнює

відстанях2 01z

У деяких випадках виникає потреба отримати пе-ретяжку якомога меншого розміру. Для цього вибирають короткофокусну лінзу з якомога більшою апертурою, розміщують її да

01z і ГП .

ць ипадку ЛDF πλ /2 ), де діаметр

зи ЛD – лін-

. Якщо ЛD ∼ F , то вся енергія ГП концентрується на

193

194

площадці, лінійний розмір якої приблизно ів є довжині хвилі λ.

дор ню

ссово учка

чному пер зі часто спостерігаються нерегу-

що прос ровий спектр ви-ання,

збагачується з різних причин новими складовими; в ьо

и Дляу ово

, ніж п

обоссов

л

истики пов

ром спек

Просторова селекція гау го п . При дослі-дженні розподілу енергії у реальному ГП у попере ерілярні інперепади тенсивності. Зовні такий пучок виглядає як випадкова пляма світла, засміченим, а формально це означає, топромінюв яке виходить з лазера, ускладнюється,

основі ц го лежить взаємодія ГП з неідеальними оп-тичними поверхням і деталями. виділення у чистому вигляді лазерної моди н ль го порядку, не-обхідно виконати просторову селекцію ГП (чистку пучка), поставивши фільтр просторових частот. На практиці, після лазера на шляху променя ставлять короткофокусну лінзу, а після неї, у місці розташу-вання перетяжки (приблизно у фокусі лінзи) – точкову діафрагму – круглий отвір з діаметром трохи більшим еретяжка. У результаті у далекій зоні отримуємо закономірний гауссовий розподіл інтенси-вності у перерізі пучка. Досить часто чистка пучка є

в'язковою операцією, зокрема при використанні гау их пучків у голографії.

Фільтрація пучка є окремим випадком взаємодії ГП з інзою та обмежувальною діафрагмою, у загальному ро мінні це є фільтрація просторових чазу стот з метоювиділення регулярної частини пучка.

Контрольні питання

1. Які характер ’язує інтеграл Дюамеля у

випадку, якщо а) прилад є модулятором сигналу, б) прилад є фільт тра?

2. Спектр якого об'єкту знаходиться у правій фока-льній площині реальної лінзи, якщо зліва на неї

л с м о

р

падає паралельний пучок світла? 3. Нама юйте і поя ніть схе у птичного диферен-

ціювання просторового сигналу. 4. Які вимоги до фільтра частот для отримання n-тої

похідної? Чим відрізняються випадки парного і непарного n?

5. Сформулюйте правило вибору знака для величин 0R ′ , 0R ′′ для збірної, розсіюючої та плоско-опуклої лінз.

6. Намалюйте повну схему (разом з освітлювачем) фазоконтрастного мікроскопа. У яких випадках можна використовувати комплексний фільтр у ви-гляді кільця? круглої або квадратної плями?

7. Поясніть принцип дії фазоконтрастного мікроскопа. 8. Як відрізняються зображення в ФКМ при викори-

станні фільтрів λ/4 та 3λ/4? 9. Як змінюється фаза ГП при поширені у п осторі, у

якому є лінза? 10. Як зміниться радіус кривини хвильового фронту

ГП при проходженні через лінзу з фокусною від-станню F ?

11. Де слід розмістити лінзу, щоб сфокусувати лазер-ний пучок на якомога меншій площадці?

12. Показати, що простір між фокальною площиною об’єктива і площиною зображення у мікроскопі виконує над хвилею ПФ.

та позитивного меніску завжди по утої, плоскові-гн и від’ємні.

Задачі

1. Показати, що фокусні відстані двоопуклої та плос-коопуклої лінзи

зитивні, а фокусні відстані двовігнутої та від’ємного меніску завжд

195

2. Визначте у наближенні геометричної оптики радіус кривини 2R хвилі ),,( zyxU відб , відбитої від поверх-ні параболічного дзеркала у випадку, колиспіввідношення між радіусом кривини 1R падаю-

ом

чої хвилі та параметром 0R будуть такими: а) точка, яка світиться, знаходиться між дзеркалом і першим фокус 2/01 RR < , б) 2/01 RR > . Дійсним

для фазового пере-

а

0 відстань

чи уявним буде зображення у кожному випадку? 3. Знайти параксіальне набли-

ження

творення, яке виконує лінза, що є частиною циліндру (рис.3.17). Як впливає така лінза на плоску хвилю, яка поширюється вздовж осі?

4. Розподіл поля на предметі (предметна функція) 0U , як

Рис. 3.17.

обмежена круглою апертурою діаметром L0, задана передній фокау льній площині збирної лінзи діаме-тром D (при цьому виконується умова: D > L0). Розподіл інтенсивності вимірюється у задній фока-

йльні площині лінзи. а) Знайти вираз для максимальної просторової ча-стоти, для якої виміряна інтенсивність точно рівна квадрату модуля спектра предмета. б) Чому дорівнює ця частота (періодам), якщо D см, L = 2 см, фокусна = 4 F = 50 см, а хвилі λ = 6×10 м.

5. Амплітудний коефіцієн скання екрана опи-ується функцією, яка має осьову симетрію:

довжина -7

т пропус

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+=

Rrcircrrt 2cos

21

21)(

а) Чому такий екран діє подібно до лінзи?

196

б) Знайти вираз для фокусної відстані екрану. в) Які особливості вплинути на застосу-вання такого екрану, як системи для створення зображення?

6. Екран із амплітудним коефіцієнтом пропускання (зонна пластинка Френеля):

можуть

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠

⎜⎝⎛ α+=

Rrcircrrt )sgn(cos

21

21)( 2 ⎞

атичною плоскою казати, що такий

сними відста-сних відстаней та рипадає на кожну

ощину. еретяж л ский хвильовий

63 мкм), якщо радіус пере-т

9. Дм у площині з

нормально освітлений монохромхвилею одиничної амплітуди. Поекран діє як лінза із багатьма фокунями. Визначити значення фокувідносне значення енергії, яка пфокальну пл

7. Знайдіть на якій відстані від прозмістити лінзу, щоб отримати пфронт у площині лінзи? Яку фокусну відстань по-винна мати лінза у цьому випадку?

8. Знайти, якою повинна бути фокусна відстань лінз, щоб утворити хвилевід для випромінювання гелій-неонового лазера (λ = 0,

ки а01 слідо

яжки а01 = 1 мм. ля фазоконтрастного мікроскопа отримати фор-улу розподілу інтенсивності ,(3 yxf )ображення для випадку, коли функція на вході

),( yxf є двокоординатною комплексною.

197

198

IV. КОГЕРЕНТНІСТЬ СВІТЛА

Когерентність (від лат. cohaerens – зв’язані, взає-мозалежні) узгоджене протікання у часі і у просторі декількох коливальних або хвильових процесів, вона проявляється при їхньому накладанні, порівнянні. Завдяки когерентності хвиль виникають інтерфере-нційні явища. У цьому посібнику розглядається лише когерентність першого порядку. Під цим тер-міном розуміють взаємодію двох полів, в результаті якої утворюється інтерференційна картина. Взає-модія інтенсивностей хвиль (групування фотонів як бозе-частинок) розглядається як когерентність другого порядку. Існують когерентності і більш ви-соких порядків з іншим фізичним змістом.

Критерієм когерентності є здатність хвиль утво-рювати стійку інтерференційну картину. Якщо різниця фаз хвиль (коливань) є сталою або однаково змінюється за певним законом, то такі хвилі (ко-ливання) називаються когерентними. Зміни фази світлових хвиль від різних джерел є незалежними, випадковими, тобто, таке випромінювання вважа-ється некогерентним. При накладанні таких хвиль не спостерігається інтерференційна картина, а по-вна інтенсивність дорівнює сумі інтенсивностей окремих хвиль.

Існують два методи отримання когерентних пу-чків із одного: геометричний поділ хвильового фронту (використовуються різні ділянки фронту хвилі, наприклад, як у біпризмі Френеля); поділ ам-плітуди хвилі (світлоподільником, наприклад, напівпрозорим дзеркалом). У цьому розділі роз-глядаються питання часової і просторової когерентності та використання цих явищ у при-кладних дослідженнях.

23. Часова когерентність Випромінювання окремого атома, який належить

до деякої сукупності збуджених частинок, описуєть-ся квазігармонічною функцією такого типу

, причому всі параметри процесу – амплітуда , частота , фаза

)cos()( 2/0 ii

t teUtU ϕ−ω= τ−

0U i ω i ϕ , поляри-зація - у кожному окремому випадку є випадковими величинами. У відповідності з принципом суперпозиції результуюче поле випромінювання ансамблю однакових частинок, яке виявляється у довільній точці простору

)(tpU

P , є векторною сумою всіх діючих полів

))(cos( )( )( 2 0

1iii

tt

i

N

iip ttett

i

ϕ−−ωθ= τ−

−

=∑ UU . (4.1)

Тут – функція Хевісайда, всі стосуються мину-лого часу відносно моменту спостереження

)( itθ itt . Фаза

кожного коливання, яке дійшло до точки спостере-ження, визначається початковою фазою iϕ та запіз-ненням внаслідок пробігу певної відстані. У загальному випадку випромінювання від декількох не-однотипних атомів, яке досягло точки з координатами

, вносить у сумарне поле у цій точці невизначе-ність за всіма параметрами – частотою, амплітудою, поляризацією. Відстані між випромінювачами і точ-кою спостереження у конкретній реалізації є певним набором, однак розподіл величин у цьому наборі має випадковий характер. Таким чином, оптичне збу-дження від природного джерела у будь-якій точці простору можна розглядати як випадковий процес.

itt −

),,( zyx

Друга важлива обставина: довільний оптичний приймач реагує не нa напруженість поля, а на енер-гію (потужність) світлового потоку. Більше того, його реакція відноситься до певного проміжку часу усере-

199

200

днення. Навіть дуже коротку дію він перетворює у сигнал обмеженої тривалості, яку не можна зменши-ти. Цей сигнал не можна також приписати якомусь певному моменту часу у межах дуже короткої дії. Між енергією світлової хвилі, яка падає на приймач, і від-гуком (його електричним сигналом, підвищенням температури, механічним розширенням, взагалі - ре-акцією приймача на світло) є, взагалі кажучи, деяка кореляція, але не однозначний зв’язок. Сферична хвиля, поглинута конкретним електроном (атомом), зникає миттєво у всьому просторі, тому що фотон не-скінченний, існує у всіх точках простору одночасно, хоча і з різною ймовірністю. А максимум її переміщу-ється зі швидкістю с. Але електрон (атом) також нескінченний. Тому взаємодія проходить у всьому не-скінченному об’ємі одночасно, а результат (реакція) локально проявляється у випадковий момент часу. У такій інтерпретації саме переміщення максимальної ймовірності можливої взаємодії хвилі з електричними зарядами і є швидкість світла.

Для вивчення і достовірного опису світлових полів у таких умовах найбільш плідним виявився метод, який ґрунтується на визначенні ступеня узгодженості, ко-реляції полів у різних просторово-часових точках. Він цілком задовільно описує не лише хвильові процеси, але і корпускулярні прояви (і властивості) світлових полів.

Дослідження кореляції – є більш поширеним занят-тям, ніж прийнято вважати. Будь-яка пізнавальна діяльність (тобто, одержання і класифікація інформа-ції) носить кореляційний характер. Модуль числового значення кореляції змінюється у межах [0 ÷ 1], тобто, від відсутності її до повної (абсолютної) відповідності, кореляції. Останній випадок прийнято називати нау-ковим законом, якщо відповідна кореляція має суттєві наслідки, тобто, мова йде про фундаментальні зв’язки між явищами, наприклад: закони Ньютона,

201

Ома, Ленца і т.д. Соціометрія вивчає ступінь кореля-ції між явищами суспільного життя у різних умовах, біометрія - вплив різних факторів, які можна контро-лювати, на розвиток біоорганізмів. Є кореляція між числом Вольфа (кількість темних плям на Сонці) і час-тотою аварій на транспорті, хоча про фізичний механізм такого зв’язку можна лише здогадуватися. По суті будь-яка наука починається із встановлення кореляції між суб’єктивно вибраними явищами. Фак-тор суб’єктивності (інтуїція), як правило, економить час і засоби при пошуку кореляції: шукають не де за-вгодно, а там, де це, як нам здається, має сенс. Однак іноді і цей досвід підводить: психологічно важко примусити себе шукати те, що ні на що не схоже. Революційні знахідки і розв’язки у науці хара-ктеризуються абсолютною несхожістю на попередні. Природно, пошук може бути приречений на невдачу через помилкову гіпотезу. Наприклад, побутує пере-конання, що існує телепатичний канал передачі інформації, є достатньо переконливі експерименти, проте вхопити суть явища при сучасному науково-методичному підході не вдається. Сотні років людст-во спостерігало електричні явища, не знаючи, як до них підступитись, поки Л.Гальвані (Luigi Galvani,1737-1798) випадково не помітив (1786) див-ну поведінку жаб’ячих лапок (чи то при розрядах блискавки, чи то при простому дотику дротиною). А. Вольта (Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta, 1745-1827) пояснив, що це означає, і винайшов електричну батарею (не так давно, у рік народження Дж. Вашингтона і А. Пушкіна, 1799). Яке це мало продовження для науки, світогляду і практики - мо-жна поцікавитись у інтернеті.

Функція кореляції. Величину електромагнітного (світлового) поля поки що неможливо виміряти у дові-льній точці у заданий момент. Тому таке завдання і

не ставиться, натомість вводиться функція кореляції між полями і у різних просторово-часових позиціях, а також поняття когерентності. Практично під когерентністю першого порядку розу-міється, у кінцевому підсумку, здатність різних полів

і утворювати стійку інтерферен-ційну картину (ІК), а кількісно вона визначається як функція взаємної кореляції:

),( 111 trU ),( 222 trU

),( 111 trU ),( 222 trU

),( ),(),( ),(),,( 221122112112 trUtrUdttrUtrUrr τ+=τ+=τΓ ∫∞

∞−

∗ ,(4.2)

тут – часовий зсув між моментами спостереження досліджуваних функцій,

τ),,( 2112 τΓ rr – функція взаємної

когерентності або взаємна енергія сигналів і , це загальний її вигляд. Формально,

– це енергія поля у точці . Часова когере-нтність полів розглядається, як правило, у деякій точці , вираз (4.2) виглядає простіше. Іноді

визначається як

),( 111 trU),( 222 trU

)0,,( 1111 rrΓ 1r

21 rr =)(12 τΓ

dttUtUT

T

TT)( )(

21lim)( 2112

∗

−∞→τ+=τΓ ∫ , (4.3)

яка у цьому випадку називається взаємною серед-ньою потужністю сигналів. Слід мати на увазі, що у випадку обмежених у часі функцій інтервал інтегру-вання практично не повинен виходити за межі перекриття функцій і , бо інакше

T2)(1 tU )(2 tU )(12 τΓ бу-

де втрачати інформативність, наприклад, прямуючи до нуля для реальних функцій при ∞→T .

Частіше використовується нормована функція взаємної когерентності

)0()0()()(2211

1212

ΓΓτΓ

=τγ , (4.4)

202

яка і називається ступінню кореляції або комплекс-ною ступінню когерентності. Як відмічалось раніше,

і – це енергетична величина, пропорційна

інтенсивності світла і у точці . Межі інтегру-вання при визначення

)0(11Γ )0(22Γ21U 2

2U 1r)(12 τΓ , , )0(11Γ )0(22Γ повинні

бути однаковими і не більшими області існування і перекриття функцій і . )(1 tU )(2 tU

Розрізняють як мінімум два типи когерентності: часову і просторову. Перша характеризує джерело зі сторони спектрального складу випромінювання, сту-пінь його монохроматичності, на використанні цієї функції базується фур’є-спектроскопія. Друга описує його властивості у просторі, є функцією координат і, як наслідок, характеризується спектром просторових частот, і пов’язана із фур’є-оптикою.

Часова когерентність і видність ІК. Розглянемо експеримент, схема якого приведена на рис. 4.1. Мо-нохроматичне світло від точкового джерела Σ досягає екрану P двома шляхами і створює на ньому ІК. Різ-ниця ходу для центральних променів 1 і 2 дорівнює 2L, що відповідає запізненню на cL/2=τ . Для будь-яких нецентральних променів різниця ходу буде ін-шою, тому і спостерігається ІК у площині P.

P

IK

1

2

1

2

Σ

L

Рис. 4.1. Схема для спостереження

двопроменевої інтерференції

203

Результуюча напруженість поля дорівнює )()()( 21 tUtUtU p += , (4.5)

інтенсивність світла у точці спостереження визна-чається як

⟩⟨= )()( tUtUI ppp . (4.6) Тому

, |)(|Re 2

)(Re2

)( )(Re2

)(122121

122121

2121*

τϕ

∞

∞−

τγ++=

=τγ++=

=τ+++= ∫

i

p

eIIII

IIII

dttUtUIII

(4.7)

)(12 τγ – нормована функція взаємної когерентності (4.4)– величина комплексна, λτπ=ϕ / 2 c (c – швидкість світла, – довжина хвилі). Контраст λ V визначаємо, як завжди, за пропозицією Майкельсона

)()( minmaxminmax IIIIV +−= , (4.8)

де – інтенсивність світла у екстремумах світлої і темної інтерференційних смуг відповідно (у області нульової смуги ІК ! ). Максимальний контраст можна отримати, якщо використовувати хвилі одна-кової інтенсивності

minmax , II

|))(||)((| 21 tUtU = . Враховуючи,

що , то ))(cos( Re )( τϕ=τϕie

|),)(|1(2|),)(|1(2

)(cos|)(|12

121min

121max

121 ),(

τγ−=

τγ+=

τϕτγ+=

IIII

II p

(4.9)

бо положення світлої і темної смуг у ІК зумовлено значенням різниці ходу відповідно mT=τ або

; Tm )2/1( +=τ cT /λ= , ...2 ,1 ,0=m та значенням i 1)(cos 1 =τϕ 1)(cos 2 −=τϕ . Отже, контраст ІК (4.8) із

врахуванням (4.9) дорівнює

204

|)(||))(|1(2|))(|1(2|))(|1(2|))(|1(2

12121121

121121 τγ=τγ−+τγ+τγ−−τγ+

=IIIIV . (4.10)

Таким чином, змінюючи затримку τ одного проме-ня відносно іншого і вимірюючи величину контрасту ІК V , тим самим вимірюємо модуль функції автоко-реляції випромінювання |)(| 12 τγ , тобто, часову когерентність випромінювання даного точкового джерела Σ (рис. 4.1). Якщо 21 II ≠ , що може бути при використанні у схемі рис. 4.1 дзеркал з довільними параметрами, то із (4.8) – (4.10) одержуємо кількісний зв’язок між контрастом ІК і функцією автокореляції

|| )()(

)( 12

21

21 τγ+

=τIIII

V . (4.11)

Природньо, величини необхідно якимось чи-ном попередньо визначити.

21 , II

Діапазон зміни модуля функції автокореляції |)(| 12 τγ міститься у межах [0,1]. Природа самої часової

когерентності зумовлена, зокрема, обмеженим часом актів випромінювання атомних систем і, як наслідок цього, немонохроматичністю випромінювання (див. нижче). У загальному випадку розширення спектру випромінювання внаслідок будь-якої причини неми-нуче приводить до скорочення часу когерентності - це випливає з теореми Вінера-Хінчина.

На закінчення нагадаємо: єдиним критерієм (і спосо-бом визначення) ступеня часової когерентності випромі-нювання точкового джерела є здатність утворювати контрастну ІК при різній взаємній затримці інтерферу-ючих хвиль, одержаних від цього точкового джерела. Контраст (видність) ІК є коефіцієнтом автокореляції ви-промінювання точкового джерела (формула (4.10)).

Розглянемо як приклад функцію часової когерент-ності для дипольного випромінювання, яке від-бувається із затуханням α :

205

tit eeUttU 0 )()( 0θ ωα−= , (4.12) де – функція Хевісайда. )(tθ

Обчислимо інтеграл:

.2

)( )(

)()()(

0

0 0

20

)()(20

12

τωατ−

ω−α−τ+ω∞

∞−

τ+α−

∗∞

∞−

α=

=θτ+θ=

=τ+=τΓ

∫

∫

i

tittit

eeU

dtteeteeU

dttUtU

(4.13)

Хоч функція )( τ+θ t виникає при τ−=1t , інтегру-вання у (4.13) ведеться починаючи із t = 0, що зумовлено другою функцією Хевісайда. Зокрема,

α=θ=Γ=Γ ω+ω−α−∞

∞−∫ 2)()0()0( 2

022

0221100 UdtteeeU titit . (4.14)

Функція кореляції (4.13) у цьому випадку характе-ризує функцію випромінювання ) і називається автокореляцією.

(tU

λΔ

π+Δα

−τω+ατ− ==ΓΓτΓ

=τγ=τγll 2

2211

121211

0

)0()0()()()(

ici eeee , (4.15)

це періодична спадаюча із зростанням затримки lΔ комплексна функція.

Прийнято вважати, що когерентність зберігається протягом часу α=τ /11 , тобто, в межах зменшення функції )(11 τγ в e раз, причому виявляється, що ши-рина спектральної лінії випромінювання на половині висоти (напівширина) дорівнює

)(1 tUα2 . Множ-

ник забезпечує швидку зміну інтенсивності

у ІК (наявність смуг), а – власне залежність ко-реляції від запізнення.

)cos( 0τωατ−e

206

Для дійсних функцій )(*)( tftf = автокореляція у нулі має максимальне значення, тому сплеск інтенси-вності у нульовому максимумі у всіх ІК найбільший. Розглянемо очевидне твердження

0 )( )( ≥⟩ΦΦ⟨ tt , (4.16) де можна представити )()()( τ+λ+=Φ tftft , λ – дові-льне дійсне число.

Розкриємо його для випадку 1−=λ

)).()0((2)(2)0()0(

)()(2)()(0

111111112

11

222

τΓ−Γ=τΓλ+Γλ+Γ=

=τ+λ+τ+λ+≤ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

dttftfdttfdttf(4.17)

тобто, автокореляція дійсних функцій ніде не пере-вищує свого значення у нулі:

)()0( 1111 τγ>γ . (4.18) Крім того, для дійсних функцій вона симетрична

відносно точки τ = 0 )( )()( )( )( )( 1111 τ−Γ=⟩τ−⟨=⟩τ+⟨=τΓ tftftftf , (4.19)

що видно при заміні τ−→ tt під інтегралом (4.19). На рис. 4.2 наведено кілька прикладів ІК, які отримані за допомогою інтерферометра Жамена, для випроміню-вання різного ступеня монохроматичності: лампи розжарення (ЛР) (a та a′ ), ЛР зі світлофільтром ОС-11 (б), ЛР з інтерференційним фільтром (в). Записи (окрім a′ ) зроблені при однаковій швидкості розгорт-ки. Діючий спектр обмежується також і спект-ральною чутливістю фотокатода ФЭУ-68.

Можна зробити висновок, що функція автокореля-ції однозначно зв’язана із спектральним складом і цей зв’язок можна використати для спектрального аналізу. Відповідна наука називається фур’є-спектро-скопією. Як приклад, на рис. 4.3 показано отриману

207

в Б

A Б

A

б

а а'

Рис. 4.2. Інтерферограми випромінювання джерел з різною шириною спектра: ЛР (a; a′ ), ЛР зі світло-

фільтром ОС-11 (б), ЛР з інтерференційним фільтром (в).

208

Рис. 4.3. Фрагмент інтерферограми

випромінювання ртутної лампи, видима область.

0,4 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

Довжина хвилі, мкм

3307

400

800

1200

Інте

нсив

ніст

ь

Рис. 4.4. Спектр ртуті, одержаний у результаті вико-нання ПФ над інтерферограмою рис. 4.3.

за допомогою двопроменевого інтерферометра Май-кельсона інтерферограму (фрагмент) випромінювання ртутної лампи (видима область). Спектр ртуті, одер-жаний у результаті виконання ПФ над записаною інтерферограмою, наведено на рис. 4.4. Як еталон довжини при обчисленні переміщення дзеркала ін-терферометра використовувалась лінія 0,633 мкм гелій-неонового лазера.

209

Довжина когерентності – це відстань, яку про-ходить хвиля за час

когl

α=τ /11 :

1 τ= скогl , у випадку дипольного випромінювання – це довжина цуга, відстань, яку пройшла хвиля, зменшивши на-пруженість у е разів.

Для вивчення часової когерентності можна вико-ристовувати будь-який інтерферометр, який забез-печує потрібне запізнення τ . Джерело, яке вивча-ється, повинно бути точковим (для уникнення впливу просторової когерентності на результат виміру). На рис. 4.5 та рис. 4.6 наведено приклади фрагментів записів інтерферограм, отриманих за допомогою ін-терферометра Жамена, при виділенні із випро-мінювання ртуті жовтого дублету 577,01 =λ мкм,

мкм та жовтого дублету і зеленої лінії. 579,02 =λ

24. Ефект Допплера у оптиці У класичному досліді Юнга розподіл інтенсивності

світла вздовж координати y є періодичною функцією з періодом 0y

))((0

2cos12 0 yyII π+= , (4.20)

де – інтенсивність світла, однакова у кожному з двох когерентних пучків. Можна уявити варіант цьо-го досліду, коли пучки, залишаючись строго монохроматичними, відрізняються частотами на ве-личину . На рис. 4.7 представлено такий варіант: світло проходить через дві прозорі кювети 1, 2, при-чому у першій тиск газу і показник заломлення n0 залишаються постійними, а у другій – зростають у ча-сі за лінійним законом. З положення екрану Е це виглядає так ніби джерело світла А залишається на місці, а джерело Б віддаляється щосекунди зі швидкі-стю

0I

ωΔ

dtdnL (оскільки зростає оптична відстань між Б

210

А

А

початок запису

різниця ходу

Рис. 4.5. Інтерферограма випромінювання ртуті (лінії жовтого дублету λ1 = 577 нм, λ2 = 579 нм ).

211

Поч

аток

зап

ису

Фра

гмен

т

Різн

иця хо

ду

Рис. 4.6. Інтерферограма випромінювання ртуті (жовтий дублет і зелена лінія λ3 = 546 нм).

212

I

E

Σ

A

Б

y

IK

n0 =1

тиск

n =1+αt

1

2

P

Рис. 4.7. Утворення біжучої інтерференційної картини.

та Е) і його частота Бω мусить зменшуватися порів-няно з частотою Аω :

dtdnL

АБ λπ−ω=ω 2 . (4.21)

Для визначення поведінки ІК на екрані скористає-мось відомим виразом (4.7) для випадку рівно-інтенсивних пучків одиничної кореляції:

)).(())( cos12cos2

),( ),,(),(

02121 ωτ+=ωτ++=

=τ+ωω=τω

IIIII

tUtUI pp. (4.22)

Очевидно, що формули (4.20) та (4.22) абсолютно тотожні, виражають одне і те ж явище, у чому легко переконатись, виразивши координату через запіз-нення . Відзначимо, що формула (4.22) симетрична відносно величин

yτ

ω і τ , оскільки вони зустрічаються тут у вигляді добутку. Це означає, що (4.22) може описувати і той випадок, коли при постійному t змі-нюється частота Δω, і відповідний рис. 4.1 варіант може бути описаний аналогічною (4.20) формулою

))(( cos12),( ),,(),( 0 tItUtUtI pp ωΔ+=ωΔ+ωω=ωΔ . (4.23)

213

Вона визначає (при даному Δω ) залежність інтенси-вності світла у часі t (на відміну від формул (4.20), (4.22), які визначають інтенсивність залежно лише від координати точки ). Обидва явища (4.20), (4.23) розвиваються незалежно (перше у координа-тному просторі , друге – у часовому просторі

y

y t ), але за однаковим лінійним (під знаком косинуса) законом, це дозволяє, об’єднавши обидва закони, отримати поведінку інтенсивності в точці в будь-який момент часу

yt

))((0

0 2cos12 tyyII ωΔ+π+= (4.24)

Це рівняння біжучої хвилі, тобто, при 0≠ωΔ точка постійної фази ІК рухається вздовж координати , фазову швидкість визначаємо з умови

y

02 )(0

=ωΔ+π tyy

dtd , ⇒ 02

0=ωΔ+π

dtdy

y . (4.25)

Швидкість руху точки постійної фази краще визнача-ти, використовуючи як стандарт просторовий період

ІК : 0ydtdNy

dtdy

0= , де dtdN – кількість смуг, що пробі-

гають у точці Р протягом секунди. Із вищесказаного можна зробити такі висновки: 1. Рівняння (4.25) еквівалентно наступному твер-

дженню: кількість пробігаючих у точці Р інтерференційних смуг протягом секунди точно дорі-внює різниці монохроматичних частот (у герцах).

2. Інтерферуючі монохроматичні пучки з різними частотами завжди створюють рухому ІК.

3. Спектр поліхроматичних джерел можна розбити на нескінченно вузькі спектральні інтервали, у межах кожного можна вважати світло монохроматичним. Опираючись на два попередні висновки, можна твер-дити, що результуюча ІК від двох незалежних джерел

214

довільних розмірів (наприклад, дві лампи розжарення) у площині спостереження є нескінченний набір ІК з різними періодами, які рухаються у довільних напря-мках з різними, в основному, дуже великими швидкостями. Ніякий із існуючих детекторів не може зафіксувати цей рух. У результаті спостерігаємо усере-днену картину з середнім значенням освітленості.

4. При юстуванні інтерферометра намагаються отримати високоякісну ІК, яка найкращим чином за-довольняє вимогам конкретного експерименту. При цьому у процесі настройки спостерігається ІК, яка рухається (зміщення смуг, поворот ІК, зміна періоду смуг). Рух ІК у всіх цих випадках зумовлений ефектом Допплера, практично будь-яке зміщення ІК є проявом ефекту Допплера у оптиці.

25. Приклади різночастотної інтерференції Метод фотозмішування. Розглянемо коротко заса-

ди, на основі яких можна визначати швидкість тіла, орієнтуючись на зміну частоти хвилі при відбиванні від рухомих об’єктів.

Нехай у системі координат xyz (рис. 4.8) рухається мікрочастинка A зі швидкістю . Падаюча хвиля, що має модуль хвильового вектора

uλπ= /2 || 0k , сприйма-

ється частинкою А як збудження на частоті )cos1(' 0 ϕ−ω=ω c

u . Саме цю частоту частинка може пе-

ревипромінювати (розсіювати) у процесі вимушених коливань. Випромінювання відбувається у всіх напрям-ках, у тому числі і у напрямку точки P, яка сприйматиме хвилю від рухомої частинки вже на іншій частоті

))cos(cos1()cos1(' 01

1 ψ−ϕ−ω≈ψ−ω=ω −

cu

cu . (4.26)

215

Оскільки cu << , зміщення частот 10 ω−ω=ωΔ D зовсім незначне: 0ω<<ωΔ D , 10' ω≅ω≅ω і || || 01 kk ≅ , тому

))cos(cos0 ψ−ϕω=ωΔcu

D . (4.27)

Але )(cos20 uk ⋅=ϕ

λπ u , )(cos2

1 uk ⋅=ψλπ u ,

y

k1

k0

x

z

u

P

ψ ϕ A

Рис. 4.8. Розсіювання світ-ла на рухомій частинці A.

y

k1

k0 x

z u

P

Δk β

Рис. 4.9. До формули (4.28).

де – хвильові вектори відповідно падаючої та розсіяної хвиль. Тому

10 , kk

β⋅Δ=⋅Δ=⋅−=ωΔ cos||||)()) (( 010110 ukukukkD , (4.28) Тут β – кут між векторами 01kΔ та . uЯк видно з рис.4.9, )2/sin(2 || 001 α=Δ kk , ψ+ϕ=α , звідки:

β⋅αλπ=β⋅α=ωΔ cos)2/sin(4cos)2/sin(2 0 uukD . (4.29)

Очевидно, формула (4.29) придатна для вимірю-вання швидкості руху частинки, якщо відомі інші змінні, які входять у формулу. Зміщення DωΔ визна-чають порівнянням частот падаючої і розсіяної хвиль, користуючись будь-якою схемою зведення (одночас-ного спостереження) цих хвиль. Одна з них наведена на рис. 4.10. Промінь від лазера поділяється плоско-паралельною пластинкою ПП на два, обидва збира-

216

ються лінзою Л у області A, а далі промінь попадає на фотоприймач через круглу діафрагму Д, а перший

– поглинається чорним тілом АЧТ у вигляді зачор-неної зсередини порожнини з отвором. Якщо через простір A продувати повітря (газ), яке реально зав-жди запилене, у напрямі, показаному стрілкою, розсіяне від потужного променя світло у вигляді сферичних хвиль попадає на діафрагму Д, де, зустрі-чаючись з променем , створює біжучу ІК, частота мерехтіння смуг

2I

1I

1I

2IπωΔ=νΔ 2/DD реєструється фотоде-

тектором, сигнал з якого подається на частотомір. Пряме фотодетектування. Опромінимо двома не-

залежними плоскими хвилями частинку, яка рухається зі швидкістю , ця ситуація подібна до зображеної на рис. 4.8, але незалежних хвиль є дві, кут між напрямками поширення яких

0201 та kku

α . При цьому у точку спостереження Р прийдуть відповідно дві роз-сіяні хвилі, частоти яких визначаються (4.26), тобто

u I0(1–r)2

АЧТ

ФЕП

I0r2(1–r)2

I0 A

Л Д

I1

I2

ПП

Рис. 4.10. Оптична схема допплер-анемометра.

)].()[(

)],()[(

0202022

0101011

ukuk

ukuk

⋅−⋅−ω=ω

⋅−⋅−ω=ωPCPC

PCPC (4.30)

Тут – хвильові вектори падаючої та розсія-ної першої хвилі, аналогічно для хвиль з індексом

PC0101,kk

217

02. Розглянемо, що це дає за умови 0201 ω≈ω (та

відповідно , оскільки напрямок обох розсі-яних хвиль співпадає). Тоді з (4.30) можна визначити різницю частот

PCPC0201 kk ≈

.cos)2/sin(2

))(()(

0210

0201010212

βα+ωΔ=

=⋅−+ω−ω=ω−ω

uk

PCPC ukk (4.31)

Якщо припустити подальше спрощення ( ), то (4.31) переходить у (4.29) (з тим же смислом і вели-чиною кутів

0102 ω=ω

β ,a ), тобто, зникає підставка ,

вектори утворюють кут

)( 0102 ω−ω

0201 та kk α ; β – кут між векторами та : 21kΔ u

β⋅αλπ=ωΔ cos)2/sin(4 uD . (4.32)

Особливість такого підходу полягає у тому, що у фо-рмулі (4.32) зник напрямок на точку спостереження, це означає, що ця точка може бути де завгодно, у тому чи-слі – скрізь одночасно. Мерехтіння світла у цій схемі (рис. 4.9) буде спостерігатись у всьому просторі, отже, не потрібні обмежуючі діафрагми, а фотокатод можна використовувати великих розмірів (відповідно – чутли-вим) і ставити будь-де, окрім прямого лазерного пучка.

Цей висновок легко зрозуміти виходячи з феномену класичної інтерференції плоских когерентних хвиль. Дійсно, розмістивши у точці Б (див. рис. 4.12) екран, будемо спостерігати ІК у вигляді взаємно паралельних смуг, які є перпендикулярними до двох напрямів по-ширення хвиль k01, k02. Смуги ІК будуть спостерігатись у просторі, де перетинаються обидві хвилі. Частинка A, що пролітає через вказаний простір, буде по черзі пере-тинати мікрооб’єми з темними і світлими смугами, тобто, відіграватиме роль (рухомого) мікроекрану.

Для практичного використання цієї ідеї придатна будь-яка оптична схема спостереження двопромене-

218

вої інтерференції, яка забезпечує необхідну локаліза-цію яскравих і контрастних інтерференційних смуг у зручній для фотокатода спектральній області, причо-му, у якості джерела світла не обов’язковий лазер.

Лазерний допплерівський вимірювач швидкості (ЛДВШ) практично дає можливість вимірювати швидкості об’єктів у широких межах – від сотень ме-трів за секунду (швидкість повітря у аеродинамічних трубах) до мікрона за секунду (ріст рослини чи рух еритроцитів крові у капілярах живої тканини, рух поверхні краплі води при випаровуванні). Цілком очевидно, що одним пристроєм можна вимірювати лише одну проекцію вектора швидкості. Як правило, експеримент планують таким чином, щоб інші дві складові дорівнювали нулеві. Проте для надійного ви-значення невідомого положення у просторі треба знати всі проекції і, відповідно, ставити три ЛДВШ.

u

26. Фур’є-спектроскопія Вже з формули (4.25) видно, що швидкість перемі-

щення смуг ІК пов’язана з частотними інтервалами взаємодіючих хвиль. Це означає, що досліджуючи спектр цих швидкостей в ІК, можна знаходити і спектр частотних інтервалів хвиль.

Теорема Вінера-Хінчина стверджує, що потужність спектру функції може бути виражена через автокореляцію

21 |)(| ωG )(1 tf

)(Г11 τ цієї функції

ττ=ωω ωτ−∞

∞−∫ deGG i

11*11 )(Γ)()( . (4.33)

Функція автокореляції оптичного поля пов’язана формулою (4.11) з видністю відповідної ІК, тому, до-сліджуючи видність ІК, отриманої у будь-якому двопроменевому інтерферометрі у залежності від різ-ниці ходу променів, можна одержати нову

219

інформацію - закон спектрального розподілу функції . Розділ оптики, у якому використовується ця

ідея, називається фур’є-спектроскопією, оскільки у основі методу лежить рівняння (4.33).

)(1 tf

IK

4

3

1

2

5

z

7 6

ΔL

Рис. 4.11. Оптична схема фур’є-спектрометра (умовно). Одне із дзеркал рухається із постійною швидкістю.

На рис. 4.11 показано (умовно) оптичну схему фур’є-спектрометра. Світловий потік від джерела 1, роздво-юючись на світлоподільнику 2 (напівпрозоре напів-відбиваюче дзеркало), попадає на два дзеркала 3, 4, а далі, пройшовши знову світлоподільник 2, збирається у площині 5, де і спостерігається ІК. Тридзеркальна сис-тема інтерферометра Майкельсона використовується тут для створення двох еквівалентних когерентних джерел світла, одне з яких рівномірно рухається завдя-ки переміщенню дзеркала 4 між крайніми точками 6, 7. центральне положення дзеркала 4 симетричне дзер-калу 3 (відносно подільника 2).

Зазвичай два когерентних джерела створюють сис-тему інтерференційних смуг, локалізованих на сфері досить великого радіусу, як показано на рис. 4.12. Вид ІК у довільному двопроменевому інтерферометрі зале-жить від взаємного розташування діючих когерентних джерел і площини спостереження. Якщо ця площина

220

нормальна до падаючих на неї хвиль, то на поверхні сфери у точці А маємо ІК у вигляді концентричних кіл, у точці Б – у вигляді паралельних смуг, у точці B – у вигляді парабол. Центральна світла смуга (Б) відпові-дає нульовій різниці ходу, полярна (А) – умові λ=Δ mz , m = 1, 2, 3… При зменшенні відстані між джерелами ширина кожної смуги збільшується. При цьому всі смуги, розширюючись, зміщуються від екватора і зни-кають на полюсах. При суміщені джерел нульова смуга поширюється на весь простір поверхні сфери, світло-вий потік від джерел у будь-якому напрямку одна-ковий і максимальний. При рівномірному зростанні відстані між джерелами зі швидкістю v , навпаки, всі смуги стають вужчими, центральна кругла пляма у об-ласті А мигкотить внаслідок лінійної зміни з часом t різниці фаз взаємодіючих хвиль

221

x

y

z

Σ1 P

Σ2

A

Б

В

В

Рис. 4.12. Геометрична форма інтерференційних смуг у залежності від взаємного розташування ек-

рану спостереження та джерел Σ1, Σ2.

tvtλ

π=ϕ 2)( , (4.34)

частота мерехтіння ν залежить від довжини хвилі

,21

λ=ϕ

π=ν v

dtd (4.35)

тобто, кожній довжині хвилі відповідає своя частота мигтіння . Якщо тепер у площині 5 встановити у центрі ІК широкодіапазонний – за довжинами хвиль – фотодетектор (перетворювач інтенсивність-струм), він буде реєструвати сумарний електричний сигнал, суперпозицію гармонічних коливань, що відповіда-ють різним довжинам хвиль

λν

λ . Амплітуда цих коливань визначається інтенсивністю світла на від-повідних довжинах хвиль, яке досягло детектора, а також спектральною чутливістю детектора. Тому, якщо до отриманої суми застосувати фур’є-перетворення, то одержуємо інформацію про спект-ральний склад випромінювання.

Таким чином, фур’є-спектрометр складається з дво-променевого інтерферометра, у якому змінюється відносне запізнення хвиль (у розглянутому випадку – за лінійним законом), фотореєстратора інтенсивності центральної плями ІК та комп’ютера, що виконує ПФ над записаною інтерферограмою досліджуваного джерела.

27. Основне інтегральне рівняння фур’є-

спектроскопії У ІЧ-спектроскопії традиційно під частотою (хви-

льовим числом) розуміють величину λ=ν /1 , а не λ/c , як звичайно, і вимірюють її у одиницях см–1. Це пов’язано з тим, що число занадто велике і не зручне для використання, у той час як 1/

λ/cλ означає

число довжин хвиль, які вміщуються на довжині 1 см. Друге зауваження – прямо використати теорему Віне-

222

ра-Хінчина разом з рівнянням, яке пов’язує видність і функцію автокореляції (4.11) || γ=V , для знаходження спектру неможливо, оскільки )(τγ , як правило, – функ-ція знакозмінна, а у експерименті вимірюваний контраст завжди 0≥V . Тому, вважаючи, що на рис. 4.1 (або рис. 4.11) точкове джерело випромінює поліхроматичне світло, представимо густину амплітуд хвиль, які добігли до площини Р різними шляхами, у вигляді суми )()( 2211 zUzUU p += , причому, окремі ко-ливання у двох каналах представляємо аналітичним сигналом (з одностороннім спектром!):

,),()(

,),()(

)2(2022

)2(1011

2j

1

jj

iii

izti

jjj

izti

iii

ezUzU

ezUzU

ϕ+πν−ω

ϕ+πν−ω

∑

∑

ν=

ν=

(4.36)

Тут – фаза коливань, ji ϕϕ , ji ωω , – кругова частота i -го чи -го випромінювача, - пробігають однакові значення,

оскільки відносяться до одного і того ж випромінювача. Згідно теореми Релея, інтенсивність у точці P :

j ji,

pI

].||||

|||| [

)]()

[(

)(220

)(220

20

20

0

)2(20

)2(10

00

*

1212

2

1

к.с.),(

),(

∑∑

∑∑∫

∑

∑∫∫

=

−πν−

=

−πν

∞

ϕ+πν−ω

ϕ+πν−ω∞∞

++

++ν=

=×ν+

+νν=ν=

ij

zzij

ji

zzii

jj

ii

izti

jjj

izti

iiippp

ji

jjj

iii

eUeU

UUd

ezU

ezUddUUI

(4.37)

Тут враховано, що незалежні випромінювачі мають випадкові фази, тому подвійні суми, у яких ji ≠ , не дають внеску у інтенсивність у точці Р (точніше,

223

вклад у N менший, порівняно з членами ji = ; практично його можна вважати нульовим, оскільки N – кількість незалежних випромінювачів). Замінимо дискретний розподіл неперервним, а ка-

нали вважаємо ідентичними )(2

02

02

0 |||| ν⇒= ∑∑ UUUj

ji

i .

Тоді, ввівши заміну zzz Δ=− 21 , маємо

νΔ⋅πν+⋅ν=Δ ∫∞

dzUzI p )]2cos(1[)(2)(0

20 , (4.38)

причому у випадку 0=Δz

νν⋅= ∫∞

dUI p )(22)0(0

20 , (4.39)

тобто, (4.38) можна записати так

. )2cos()(

)2cos()(22/)0()(

20

0

20

νΔ⋅πν⋅ν=

=νΔ⋅πν⋅ν=−Δ

∫

∫∞

∞−

∞

dzU

dzUIzI pp

. (4.40)

Очевидно, цьому оберненому фур’є-перетворенню відповідає пряме:

)( )2cos()2/)0()(()()(20 zdzIzIIU pp ΔΔ⋅πν⋅−Δ=ν=ν ∫

∞

∞−

,(4.41)

або

)( )2cos())()(()( zdzIzII ppp ΔΔ⋅πν⋅∞−Δ=ν ∫∞

∞−

. (4.42)

Рівняння (4.42) зручніше на практиці, бо 2/)0(const)( 00 II ==±∞ , яка визначається з досліду як

середнє значення інтенсивності у ІК, тобто, відпадає по-треба визначати інтеграл (4.39), хоча при сучасних методах і темпах цифрових обчислень то не є проблемою.

224

Отже, задача полягає у тому, щоб у будь-якому двопроменевому інтерферометрі, змінюючи різницю ходу , зафіксувати на будь-який носій розподіл ін-тенсивності залежно від різниці ходу )

zΔ( zI p Δ . Далі,

виконавши косинусне ПФ за допомогою рівняння (4.42), отримуємо розподіл інтенсивності від частоти

– спектр випромінювання. )(νpIПрактична реалізація ідеї реєстрації спектру через

інтерферограму має особливості. 1. Рух дзеркала супроводжується механічними віб-раціями конструкції, неконтрольованим погіршенням юстування інтерферометра, результуюча інтенсив-ність )( z виявляється функцією не тільки спектрального складу джерела, а також і неконтро-льованої випадкової величини – якості юстування. Після інтегрування (4.42) ця хиба проявляється як а) зниження роздільної здатності, б) адитивний шум у спектрі, в) навіть поява фантомних ліній, яких на-справді не існує. Це стримувало поширення методів фур’є-спектроскопії на видиму та УФ-області.

I p Δ

2. Не можна (чи не потрібно) змінювати різницю хо-ду у нескінченних межах, на практиці буває достатньо кількох сантиметрів, хоча є повідомлення про унікальні прилади для астрономічних задач з різ-ницею ходу до 10 м, що відповідає фантастичній роздільній здатності 0,001 см–1. 3. Теоретично з рівняння (4.42) отримуємо спектр випромінювання у необмеженій області, оскільки у (4.41) частота ν може бути (чи мусить бути) довіль-ною. У дійсності ж будь-яке спотворення первинної функції )( zI p Δ , не пов’язане з діючим спектром (на-приклад, спектральна характеристика застосованої оптики та детектора, газова суміш у приладі, корект-ність механіки), обмежує реальну спектральну область інфрачервоним діапазоном.

225

4. Замість дзеркал використовуються спеціальні рет-ровідбивачі, які є нечутливими до незначних пере-косів, тремтіння (вібрації) механіки. Прийнятною з огляду на доступність реалізації є система з викорис-танням адаптивних дзеркал. У цьому випадку шляхом використання стабілізуючого зворотного зв’язку вда-ється контролювати кутове положення дзеркала з високою точністю відтворення у процесі поступально-го руху вздовж координати z. Контроль самого переміщення zΔ виконується за допомогою частотно стабілізованого лазера, його промінь проходить тим же шляхом, що і досліджуване світло, виділяється спеціа-льним фільтром і попадає на додатковий приймач, який і є генератором сигналів дійсного, фактичного переміщення дзеркала. Лінія лазера при цьому може з’явитись в досліджуваному спектрі (рис. 4.4). 5. Найприйнятнішим інтерферометром для цієї мети виявився інтерферометр Майкельсона. 6. Останнім часом набувають поширення більш пер-спективні твердотільні конструкції фур’є-спектромет-рів без будь-яких рухомих деталей. Стаціонарна ІК утворюється двома уявними джерелами у інтерферо-метрі типу «біпризма Френеля», реєструється одночас-но за допомогою світлочутливої матриці та практично миттєво передається у комп’ютер для виконання ПФ. У ординарних випадках спектр отримується через ча-стки секунди, у випадку слабких джерел час зростає за рахунок накопичення сигналу у ПЗЗ-матриці. Га-баритно-масові характеристики таких приладів, зручність реєстрації і форма сигналу на виході не за-лишають ніяких шансів іншим системам реєстрації спектрів, особливо у космічних дослідженнях. 7. У фур’є-спектрометрах (ФС) з рухомим дзеркалом відбувається одночасно реєстрація всіх ділянок спек-тра, проте для послідовного проходження всіх значень zΔ (від –l до +l, наприклад) необхідний час. У

226

твердотільному ФС реєстрація відбувається одночас-но і для всіх zΔ (оскільки кожний детектор у матричному наборі відповідає певному значенню zΔ і всі вони працюють одночасно і незалежно). Це та-кож дає значну кількість переваг, особливо у співвідношенні сигнал/шум. 8. Вузьким місцем ФС (щоправда, це стосується будь-якої спектрометрії) залишається спектральна залеж-ність чутливості фотодетектора – результуючий сигнал (спектр) одночасно пропорційний цій характе-ристиці, що необхідно враховувати при абсолютних спектральних вимірюваннях.

28. Аподизація Під аподизацією, як правило, розуміють покра-

щення апаратної функції. Апаратна функція (АФ) – це реакція приладу на си-

гнал у вигляді δ -функції, є важливою характерис-тикою будь-якого спектрометра, у т. ч. і фур’є-спектрометра. Для визначення АФ фур’є-спектро-метра подаємо на його вхід монохроматичний сигнал виду . Спектр цього сигналу: tieUtf 0

0 )( ω=

)( 2 )( 0)(

00 ω−ωπδ==ω ω−ω

+∞

∞−∫ dteUG ti . (4.43)

З іншого боку, за теоремою Вінера-Хінчина квад-рат модуля спектра визначається як

ττΓ=ω ωτ−+∞

∞−∫ deG i

112 )(|)(| , (4.44)

де τω

+

−∞→=τ+=τΓ ∫ 0 2

011 )()(*21lim)( i

T

TTeUdttftfT . (4.45)

227

Проте у реальному приладі неможливо забезпечити нескінченні межі затримки τ при застосуванні рів-няння (4.44), можливо забезпечити у межах від T− до

, , T+ cLT /Δ= LΔ – максимальне переміщення дзер-кала (рис. 4.11). Тоді:

TTUdeeUG iiT

T)( sinc2 |)(| 0

20

20

2 0 ω−ω=τ=ω ωτ−τω+

−∫ . (4.46)

Вираз (4.46) є імпульсним відгуком або АФ фур’є-спектрометра. Ширина цієї функції ωΔ може бути визначена з умови (див. рис. 4.11)

π=ω−ω=ω−ω TT )( )( 1002 , (4.47) тобто,

LcT Δπ=π=ω−ω=ωΔ /2/2 12 (рад⋅с–1), (4.48) Якщо виразити ширину АФ у см–1, то маємо

LΔ=νΔ /1 (см–1), (4.49) Навіть при ΔL = 1 см маємо Δν = 1 см–1, що у види-

мій області (500 нм) складає 0,025 нм, а у області 5 мкм відповідно 2,5 нм, що цілком пристойно для багатьох практичних потреб.

Аподизація. Квадратичний детектор реагує на на-явність енергії, тому результуюча зареєстрована функція є квадрат модуля спектра . У ряді випадків це незручно: відгук на малий сигнал у околі потужного може сприйматися як пелюсток АФ цього потужного сигналу, інакше кажучи, загубитися у схожих зовні вторинних сплесках відгуку на потуж-ний сигнал. Аналіз показує, що пелюстковість результату ПФ з’являється тоді, коли під інтегралом (4.46) знаходиться функція, яка різко змінюється. У оптиці саме такі задачі є типовими, оскільки світлові потоки обмежуються екранами, діафрагмами, зреш-тою, оправами, які автоматично вмонтовують функцію Хевісайда (функцію включення) у будь-який

2|)(| ωG

228

сигнал. Навіть саме увімкнення-вимкнення реєстрації означає наявність двох функцій Хевісайда!

τ T 0 –T

1 2 3

Рис. 4.13. Вигляд аподизуючих функцій:

f(τ) = (1– |τ|/T) (крива 1); (1– τ2/T2)2 (2); сos(πτ/2T) (3).

Вихід було знайдено у тому, щоб ПФ виконувати не у межах «прямокутного вікна» [ TT +− , ], а з поступовим затуханням на границях діапазону, штучно ввівши під інтеграл відповідну вагову функцію. Приклади таких функцій наведено на рис. 4.13. Для абсолютно моно-хроматичного сигналу з функцією включення типу 1 отримаємо розподіл енергії у спектрі

321

112 0 )

||1( )(|)(| IIIdee

TG ii

T

T

++=ττ

−τΓ=ω τω−τω+

−∫ , (4.50)

де

)sinc(2)sinc(2 0)(

10 TTTTdeI i

T

T

⋅Ω⋅=ω−ω⋅=τ= τω−ω−+

−∫ ;(4.51)

];

1[11 12

2

)( 0

20

Δ−

Ω−

Ω⋅=ττ= ⋅Ω−τω−ω

−∫ i

TeTT

deT

I Tii

T 0 ω−ω=Ω

229

] 1[11 12

2

)(

03

0

Δ+

Ω−

Ω⋅=ττ−= ⋅Ω+τω−ω∫ i

TeTTdeTI Tii

T. (4.52)

Тут використано табличне значення інтегралу ][ 2

1aa

xaxax edxex −=∫ [23, С.116]. Таким чином,

)2/)(( sinc))cos(1(1|)(| 02

22 TTT

TG ω−ω=Ω⋅−

Ω⋅=ω . (4.53)

Порівняємо розподіл енергії у спектрі (4.53), отри-маний з використанням аподизації із неаподизованим випадком (4.51): енергія зменшилась вдвічі, хід функ-ції більш плавний, хоча вона формально вдвічі ширша. У цьому випадку говорять про напівширину АФ, ма-ється на увазі ширина функції на половині її максимального значення, тому теоретично вона зрос-тає лише на 48 %. При використанні більш «лагідної» аподизуючої функції виду 22])(1[ T

τ− напівширина зро-

стає на 58 %, а із функцією )cos(2Tπτ – лише на 31 %

(проявляється, все ж таки, незначна різкість включен-ня). Крім того, значно зменшуються вторинні пелюстки АФ, у наведеному випадку перший з них майже у 5 разів, другий – майже у 8 (рис. 4.14).

29. Граничні можливості фур’є-спектроскопії Фур’є-спектроскопія – розділ спектроскопії, але, ра-

зом з тим, самостійна оригінальна відносно молода перспективна наука зі своїми теоретичними, інстру-ментальними і практичними засадами, проте також і з традиціями. Є ряд особливостей, на яких варто зу-пинитися. Для будь-якого спектрометра ключовими є питання про світлосилу та роздільну здатність.

Виграш Жакіно полягає у тому, що інтенсивність світла реєструється у області максимуму центральної плями ІК (на противагу спектрометрам з призмою, де реєструється світло, що пройшло крізь дві вузькі щі-лини). Скористаємось моделлю інтерферометра, у якому уявні джерела Σ1, Σ2 знаходяться на нескінчен-

230

0

1

0

0.5

1

2

3

G(ω)

ω0

ω2 ω1

ω

ω

Реакція детектора

1

Рис. 4.14. Спектр функції G(ω) (1) та

спектральна залежність реакції детектора на монохроматичну лінію частоти ω0 :

2 - без аподизації; 3 - з аподизацією типу (1– |τ|/T).

ності і на відстані L одне від одного (рис. 4.15). У площині реєстрації хвилі майже плоскі, тому ІК спо-стерігається у фокальній площині об’єктива Об. Як видно із рис. 4.15

λ= 1mL , λ=α 2cos mL , (4.54)

231

232

де порядок інтерференційного максимуму відпо-відає центру ІК, а – деякій ближній периферії ІК. Фотодетектор Ф використовуємо з такою площадкою

, яка точно дорівнює розміру центрального світло-

1m

2m

ΦS

Σ1

Σ2

L Lcosα α

α

Об

ІК

Ф SФ

x

y

m1 m2

F

Рис. 4.15. Реєстрація світлового потоку у фур’є-

спектрометрі у межах центральної світлової плями.

го кільця, 2/121 =−=Δ mmm , тобто, діаметр від-повідає діаметру першого темного кільця). Тоді з (4.54) маємо , або

ΦS

)2/(sin2 2 α=λΔ Lm

1/1/ mL =λ=α , (4.55) де саме відповідає випадку 2α /1=Δm . З іншого бо-ку, якщо ІК сформована об’єктивом з фокальною відстанню F, то з центра об’єктива площадку вид-но під тілесним кутом

ΦS

22222 // πα=πα==Ω Φ FFFS . (4.56) Роздільна здатність будь-якого інтерферометра R за-

лежить від числа променів N та максимального порядку і представляється із врахуванням (4.55),

(4.56) формулою 1max mm =

Ωπ=λ=== /2/22 1 LmmNR , тобто π=Ω 2R . (4.57)

Звичайно, формула (4.57) вказує на теоретичну те-нденцію, на практиці слід враховувати розмір джерела, залежність геометрії ІК від перебігу поряд-ків, проте реальний виграш, у порівнянні з призмовим приладом складає кілька десятків разів.

Виграш Фелжета. Послідовний запис спектру тра-диційною апаратурою відбувається наступним чином. Якщо роздільну здатність приладу позначити

, то увесь цікавий нам діапазон спектру δλ λΔ розпа-дається на N каналів, причому δλλΔ= /N . Викорис-товувати більш, ніж N каналів немає сенсу, – роздільна здатність при цьому не покращується. Якщо ж кіль-кість каналів менше N, то роздільна здатність буде гіршою, а це означає погіршення інформативності за-пису. Повна інтенсивність джерела у діапазоні λΔ є

NII ⋅λ= )( , де ) – інтенсивність у межах одного каналу, заради простоти вважаємо, що скрізь однакова. Якщо рівень шумів у системі реєстрації носить нормальний ха-

(λI

шI 233

рактер, тобто, ∼шI )(λI , то при такій послідовній ре-єстрації кінцеве значення дуже важливого параметра сигнал/шум має вигляд

)()()( λ=∼

λλ I

II

IIшc . (4.58)

При реєстрації того ж діапазону λΔ за допомогою фур’є-спектрометра всі N компонентів )(λI реєстру-ються одночасно у межах центрального інтерференційного максимуму:

NIIc ⋅λ=Φ )(C , (4.59) рівень шуму дорівнює відповідно

CΦшI ∼ NI ⋅λ)( , (4.60)

а відношення типу (4.58)

NIш

cI

I ⋅λ∼Φ

Φ)(C

C. (4.61)

Із порівняння формул (4.58) та (4.61) видно, що фур’є-спектрометр має переваги перед традиційними щілинними спектральними приладами у характерис-тиці сигнал/шум у сотні-тисячі разів, оскільки реально N = 104 ÷106. Ця перевага носить назву ви-граш Фелжета і особливо важлива при реєстрації світла слабких джерел, наприклад, у астрономії.

30. Просторова когерентність Розміри джерела і просторова когерентність. Єди-

ним критерієм відносно ступеня когерентності (у тому числі просторової) є контраст ІК. Скористаємось цим для визначення прийнятних розмірів джерела, при яких хвилі від цього джерела у області спостереження є когерентними. Звернемось до класичного досліду Т. Юнга. На рис. 4.16 точкове джерело монохромати-чного світла (довжина хвилі λ ) знаходиться у площині А над оптичною віссю QP на висоті x ; a, b – відстані

234

між площинами A, B, C. У площині B є два дуже малі отвори (це можуть бути і вузькі щілини), розташовані симетрично відносно оптичної осі на відстані h від неї. У результаті дифракції світла на цих отворах ек-ран С є одночасно освітленим двома когерентними джерелами, тому на ньому повинна спостеріггатись ІК. Визначимо -координату m-ї яскравої смуги. Для цього спочатку знайдемо різницю ходу, яку мають хвилі, що пройшли до точки спостереження першим ( ) та другим ( ) шляхами. Із відповідних прямокутних трикутників, один з катетів яких зображено штриховою лінією, запишемо:

y

)( 12 aaa rr −=Δ )( 12 bbb rr −=Δ

x y

a b

h

Q P

r1a

r2a

A B C

r1b

r2b

Рис. 4.16. Схема класичного досліду Юнга.

hxrrrr aaaaa 4 )( 122

122 =Δ+=− ;

hyrrrr bbbbb 4 )( 122

122 =Δ+=−

Вважаючи, що , , знайде-мо повну різницю ходу

arr aa 221 ≈+ brr bb 221 ≈+

λ=+=Δ+Δ=Δ mby

axhba )(2 ,

звідки положення m-ої смуги визначається:

xab

hbmy −λ=2

. (4.62)

Відстань між m-ою смугою та m ±1:

235

hby 2/0 λ=Δ . (4.63) Видно, що ширина смуги залежить від відстані між щілинами h та відстані b між екранами B та C. Якщо у площині А розмістити ще одне джерело, координата якого xxx Δ+=′ , то його ІК у площині C зміститься до рівня yyy ′Δ+=′ . Очевидно, вигляд результуючої ІК від двох джерел залежить від взаємного розташуван-ня смуг: ІК зникне повністю, якщо зміщення

. При 05,0 yy Δ=′Δ 0=Δx обидві ІК просто наклада-ються одна на одну, хоча вони утворені різними взаємно некогерентними джерелами. При зміщенні

ІК ще має певний контраст, у цьому випадку, за домовленістю, можна вважати, що два джерела створюють у області двох щілин когерентне поле, оскільки у подальшому воно спроможне створи-ти ІК у площині С. Отже, при наявності ІК у схемі рис. 4.16 можна стверджувати, що розмір джерела складає приблизно

025,0 yy Δ≤′′Δ

hax 8/λ=Δ , при великій відстані a його кутовий розмір буде порядку величини

hax 8// λ=Δ≈ϕ . (4.64) Оскільки не існує принципових обмежень для збіль-

шення h, можна скористатися цією ідеєю для вимі-рювання кутових розмірів досить віддалених об’єктів.

Хвильова поверхня точкового монохроматичного джерела є сферою. Рівновіддалені від джерела точки знаходяться у однаковому коливальному стані, яке визначається фазою коливання у джерелі і запізнен-ням за рахунок відстані . Якщо джерело збільшити до розмірів

rλ /1000 чи λ /100, ситуація практично не

зміниться, тобто, фаза результуючого коливання у то-чках спостереження, які знаходяться на тій же сфері, буде відрізнятися від такої у місці вимірювання од-ним і тим же множником exp(i kr) з помилкою, яка не перевищує 2π.10–3 або 2π.10–2 відповідно. Тому ми можемо прийняти, що квазіточкове джерело склада-

236

ється із багатьох однотипних елементарних випро-мінювачів, відстань між якими не перевищує λ /100.

Очевидно також, що при подальшому збільшенні розмірів джерела не можна напевне щось стверджу-вати відносно фазових співвідношень коливань на всій раніше побудованій сфері, можна лише допуска-ти, що у дуже близьких точках на сфері фази коливань все ж можуть виявитися пов’язаними (саме внаслідок тісного сусідства точок).

Все сказане легко узагальнюється на випадок джерела, яке має елементарні випромінювачі немонохроматичних хвиль, для цього достатньо спектральну ділянку розбити на такі вузькі діапазони, щоб у кожному з них довжина когерентності була б більшою за радіус сфери r .

30.1. Теорема ван Ціттерта-Церніке1 Розглянемо поле у точках 1 і 2 площини XY

(рис. 4.17), яке створюється елементарним випромі-нювачем m джерела Σ у площині (ξ,0,η), яка розташована на відстані R від першої.

,)( )/(

,)( )/(

22

21)(

2

1111)(

1

0

0

m

m

imkrtimm

mm

imkrtimm

mm

eecrtUrU

eecrtUrU

ϕ−ω

ϕ−ω

−=

−= (4.65)

де – напруженість поля на одиничній відстані від джерела (

mUm ), , – віддаленості точок спостере-

ження від вказаного елементарного випромінювача. Щоб знайти у цих точках сумарне поле від всього джерела, яке знаходиться у площині

mr1 mr2

0=z , треба скласти всі елементарні вклади:

237

1 van Cittert-Zernike theorem; ван Ціттерт (Р. van Cittert), Ф. Церніке (F. Zernicke )

.)( )/( (t)

,)( )/( (t)

22

21

2

11

11)(

11

0

0

m

m

imkrtimm

m m

imkrtimm

m m m

m

eecrtUrA

eecrtUrUA

ϕ−ω

ϕ−ω

−=

−==

∑

∑ ∑(4.66)

Знайдемо взаємну кореляцію полів у т. 1 і 2 при нульовій затримці ( ):

)0,,(Г 2112 rr0=τ

.)( )(

)( )(

(t)(t))0,,(

2221

1111

212112

0

0

⟩−×

×−=

=⟩⟨=Γ

ϕ−ω

ϕ−ω

∑

∑

n

m

inkrtinn

n n

imkrtimm

m m

eec

rtUr

eec

rtUr

AArr

(4.67)

Оскільки фази коливань елементарних випроміню-вачів розподілені за випадковим законом, при усе-редненні всі члени суми із випадковими фазами типу

дають нуль, ненульовий вклад у функцію ко-реляції забезпечують лише члени, де

mϕ

)( nmie ϕ−ϕ

nm = ; тобто

.)( )()()0,,( 1221

12112

mrmrikmm

m mmetUtUrrrr −⟩⟨=Γ ∑ (4.68)

Додавання нескінченного числа m елементів за-мінюємо інтегруванням по площині випромінювання σ, пам’ятаючи що

. ),( )0(

; ),( )0( );,( ||

22

1222

21

1111

2

ηξηξ==Γ

ηξηξ==Γηξ=⟩⟨

∫

∫

σ

σ

ddIr

I

ddIr

IIU m

(4.69)

Отже, коефіцієнт взаємної кореляції дорівнює

ηξηξ==γ−

σ∫ ddeIrrII

rrik )( ),(1)0(Г)0(Г

)0(Г)0( 12

211

212211

1212 .(4.70)

Із рис. 4.17 видно, що, знаючи координати початку {ξ, η, 0} та кінця { }, {0,0,Ryx ,, R } відрізків і від-повідно, можемо записати

1r 2r

238

))()(())(( 2222221212

21

22 RyxRrrrrrr +η−+ξ−−+η+ξ=−+=− . Звідки, вважаючи, що Rrr 212 ≈+ , знаходимо

).(2

2212 R

yR

xR

yxrr η+

ξ+

+−=− (4.71)

Поклавши α=ξ R , β=η R , одержуємо:

∫∫

βαβα

βαβα=γ

β+α+−

ddI

ddeIe

yxikyxR

ki

),(

),()0(

)()(2

12

22

, (4.72)

де і β – кути, під якими видно джерело із точки спостереження

αRz = . Тобто, інтегрування ведеться

за кутовими координатами. Останній вираз за фор-мою є нормований фур’є-образ

Σ

0 2

η y

x

r2

z = 0

z

1 r1

z =R

ξ

m

Рис. 4.17. Утворення поля у точках 1,2 від джерела Σ.

),(),( kykxGG yx =ωω кутової яскравості джерела:

)22(2

12 ),()0(yx

Rk

yx

i

eG+−

ωω=γ , (4.73) причому змінні λπ /2 x , λπ /2 y відіграють роль прос-торових (кутових) частот і вимірюються у кутовій мірі.

Таким чином, кутова світимість віддаленого дже-рела і функція просторової когерентності пов’язані між собою перетворенням Фур’є – цe твердження і є

239

змістом теореми ван Ціттерта-Церніке, сформульова-ної в 30-х роках минулого століття.

30.2. Зірковий інтерферометр Ще Г. Фізо (Hippolyte Fizeau; 1819–1896) висловив

припущення, що контраст інтерференційних смуг можна використовувати для визначення просторових характеристик джерела. Однак лише А. Майкельсон (Albert Abraham Michelson 1852–1931) довів цю ідею до досконалості. Навряд чи варто доводити, наскіль-ки важливим для науки є уміння визначати розміри зірок. Між тим інструменти, які традиційно викорис-товуються для оптичного спостереження, такої можливості не дають: кутові розміри зірок (окрім Бе-тельгейзе) менші, ніж кутова роздільна здатність найкращих телескопів світу.

У 1920 році А. Майкельсон запропонував і реалізу-вав ідею – визначати розміри зірок через функцію когерентності. Якщо на апертурі телескопу (рис. 4.18) встановити дві діафрагми (отвори) 1, 2 на відстані x одна від одної і спрямувати телескоп 3 на зірку, то отримане раніше зображення зірки у фокальній пло-щині об’єктива телескопу тепер виглядатиме значно ширшим (через обмеження пучків) і смугастим (5). Дійсно, отвори освітлюються просторово когерентним джерелом (розмір області когерентності випроміню-вання у місцерозташуванні телескопа перевищує відстань x ), отже, повинні бути інтерференційні сму-ги, як у інтерферометрі Релея чи Юнга. З іншого боку, паралельний світловий потік повинен, пройшо-вши об’єктив, зібратися у фокальній площині F у вигляді кружка розсіяння Ейрі (якщо отвори круглі). Цей круг і спостерігається, але завдяки інтерференції він пересічений смугами. Контраст картини у області нульової смуги (що відповідає нульовій різниці ходу)

240

3

1 x 2

6

5 4

F

Рис. 4.18. Утворення зображення зірки у телескопі з двома вхідними щілинами в монохроматичному світлі. 1, 2 – щілини, 3 – об’єктив телескопу, 4 – розподіл інтенсив-ності при повністю некогерентному випромінюванні,

5 – зображення зірки при наявності кореляції в точках 1, 2, 6 – огинаюча інтерференційної картини.

визначається ступенем когерентності хвиль γ12, які проходять у телескоп через діафрагми 1 і 2. На рис. 4.18 зображено випадок 100%-го контрасту у монохроматичному світлі, однак по мірі зростання x контраст смуг повинен зменшуватися. Вважатимемо для простоти, що далеке джерело

Σ1(ξ,η) монохроматичного світла у площині (ξ,η) є ква-драт зі стороною 2a. Його фур’є-образ, наприклад, вздовж координати x

)(sinc 2)( RakxaG x =ω . (4.74) Тут λπ= /2k , R – відстань до джерела (рис. 4.17). Змінюючи x , вимірюють контраст ІК ) і отриму-ють залежність, яка має вигляд як на рис. 4.19 (пунктирна крива). Очевидно, за визначенням

≥ 0, тоді як функція γ12(0) змінює знак у точках , , . Із даних ) легко відтворити функцію

(xV

)(xV

1x 2x 3x (xV

241

x

V γ12

γ, V 1

x1 x2 x4 x3 0

0,5

Рис. 4.19. Залежність видності V та кореляції γ12(x) від відстані x між щілинами на апертурі телескопу.

γ12(0) (суцільна крива на рис. 4.19), а по ній шляхом оберненого ПФ і розміри . Якщо джерело Ra / ∑ ηξ1 ),( безструктурне (наприклад, поодинока зірка), то із за-лежності ) достатньо отримати значення першого нуля, оскільки кут

(xV 1xRa /22 =α , під яким вид-

но об’єкт, визначається з умови π=Rakx /1 ⇒ 1/2 xλ=α . (4.75)

Якщо віддаль R до об’єкта визначена незалежним способом, то тим самим з урахуванням (4.75) визна-чаються його розміри a2 . Об’єктом може бути подвійна, а не поодинока зірка. Тоді функція виднос-ті залежить від двох координат, , вона відрізняється вздовж характерних напрямків об’єкта

),( yxV

x та . Аналогічно – швидке обертання у системі двох зірок робить функцію ) змінною у часі.

y,( yxV

Особливістю таких вимірів є те, що область x (рис. 4.18) для реальних випадків значно перевищує розмір об’єктива, це примушує використовувати до-поміжні дзеркала для розширення діапазону зміни x . Вся конструкція повинна бути нечутливою до ме-ханічних коливань, зміни температури, турбу-

242

лентності атмосфери і т.ін. Відповідні інструменти і результати є унікальними. Майкельсон працював із найбільшим на той час 2,5-метровим телескопом та розширенням x до 6 метрів.

x1

2F

δ

2F

1

2

2′

1′

Об

b b′

Рис. 4.20. Зображення об’єктивом гранично малого

предмета.

30.3. Точкове джерело Нехай дві незалежні самосвітні точки 1, 2 знахо-

дяться на невеликій відстані b одна від одної, а від об’єктива Об - на 2F, де F – фокусна відстань об’єктива. Їхнє зображення спостерігається у спря-женій площині справа від об’єктива на відстані 2F і має вигляд двох функцій Ейрі, як умовно показано на рис. 4.20. У площині об’єктива маємо розподіл прос-торової когерентності джерел 1, 2 у вигляді функції

Fkxb22sinc (модуль її показано пунктиром), положення

першого нуля визначається значенням аргумента, що дорівнює π, тобто:

bFx λ= 2

1 . (4.76)

243

Точки все ще виглядатимуть як окремі, якщо задо-вольняється умова Релея

Dλ=δ 22,1 , (4.77)

де D – діаметр об’єктива. Оскільки δ== 2' Fbb , то звідси маємо

bFD λ= 222,1 . (4.78)

Очевидно, що при діаметрі, меншому ніж за умови (4.78), зображення 1′, 2′ зіллються у одне: на місці двох точок спостерігаємо одну. Приблизна рівність

1xD ≈ (4.79) є граничною умовою, коли предмет із двох самосвіт-них точок, віддалених на відстань b одна від одної, мо-же спостерігатись як складний об’єкт (дві точки), при

, предмет має вигляд однієї самосвітної точки. 1xD <Зауважимо, що рівняння (4.76) та (4.77) з’явились

тут з різних фізичних розділів теорії – когерентності і дифракції, вони дають можливість логічно обґрунту-вати поняття точкового джерела. Очевидно, що це не може бути математична точка, це завжди реальний, просторово об’ємний матеріальний предмет. Точкове джерело визначається тим, що на апертурі прийма-льної оптики діаметром D створює просторово когерентне поле діаметром , тобто, – це роз-мір центральної плями функції когерентності.

D2 D2

Контрольні питання

1. Що таке часова і просторова когерентність? 2. Від чого залежить вид ІК (геометрична форма

смуг) у двопроменевому інтерферометрі? 3. Який вигляд має ІК в площині P рис. 4.1 Як вона

зміниться при нахилі кожного з дзеркал? Те ж, при зміні затримки L?

244

4. Поясніть, навіщо у визначенні кореляції

dttr застосовано змі-

щення часу

UtrUrr ),( ),(),,( 22112112∗

∞

∞−τ+=τΓ ∫

τ . 5. Придумайте експеримент, де б рух смуг ІК не був

би пов'язаний з ефектом Допплера. 6. Чому формулу Майкельсона (4.8) при визначенні

просторової когерентності можна використовува-ти лише у області нульового порядку інтерференції? Як практично виконати цю умову, якщо відомо, що minI спостерігається при

2/λ= , тобто, 0Δ ≠m ? 7. Поясніть що таке аподизація і як вона застосову-

ється у фур’є-спектроскопії. 8. У чому полягає виграш Фелжета та виграш Жакіно? 9. Яку величину називають степенем просторової ко-

герентності? Як вона пов’язана з видністю інтерференційних смуг?

10. Як впливають розмір джерела світла і відстань до нього на величину області когерентності випромі-нювання?

11. Сформулюйте теорему ван-Ціттерта-Церніке. 12. Поясніть принцип дії зіркового інтерферометра.

Які є практичні обмеження його використання? 13. Як за допомогою зіркового інтерферометра Май-

кельсона визначити положення площини обертання подвійної зірки?

14. Дві щілини встановлено на телескопі на відстані пів-діаметра. Як змінюється зображення зірки, якщо щілини синхронно збільшувати від най-меншого до максимального розмірів?

15. Двомодовий лазер ЛГН-207 на неоднорідно розши-реній лінії λ = 633 мкм генерує дві поздовжні моди з різницею частот 640 МГц (база резонатора 24 см), які, будучи сфокусованими на фотодіоді,

245

викликають періодичний струм у ньому з тією ж частотою 640 МГц, яка реєструється спектроаналі-затором. Показати, що і в цьому випадку ІК зумовлена ефектом Допплера.

Задачі

1. Отримати кількісний зв'язок (формула 4.11) між

контрастом ІК та функцією автокореляції для ви-падку, коли інтенсивності пучків двопроменевого інтерферометра різні, тобто I1 ≠ I2.

2. Користуючись рис. 4.11, показати, як змінюється ІК у площині 5: а) при нахилі одного із дзеркал (наприклад, 3); б) при рухові дзеркала 4 вздовж оптичної осі.

3. На рис. 4.11 зображена принципова схема інтер-ферометра Майкельсона з точковим монохроматичним джерелом Σ. а) Знайти положення уявних джерел, які утворюють ІК. б) Намалювати форму інтерференційних смуг. в) Як зміниться ІК, якщо дзеркало 4 повернути у площині малюнка на невеликий кут α ? г) Як зміниться ІК, якщо дзеркало 3 перемістити у площині малюнка вздовж нормалі до дзеркала вверх на відстань Δ? д) При яких умовах нульова інтерференційна сму-га заповнює всю площину 5? Як у цьому інтерферометрі отримати ІК у вигляді майже па-ралельних смуг? Як ці смуги повернути у площині 5 точно на 30°, 45°, 90°, 180°? е) Намалювати розподіл інтенсивності світла у ІК у площині 5 вздовж однієї координати x для таких випадків: * точкове джерело, монохроматичне світло; * точкове джерело, немонохроматичне світло; * неточкове джерело, монохроматичне світло;

246

* неточкове джерело, немонохроматичне світло; Розглянути випадки абсолютно симетричного ін-терферометра ( 0=Δz , нормальне падіння променів на дзеркала 021 =α=α ) та загальний випадок ( 0>Δz , 01 >α , 02 =α ). ж) Якщо дзеркало 3 рухається вздовж нормалі зі швидкістю ,v± то відповідне уявне джерело руха-ється зі швидкістю ,2v± за рахунок ефекту Допплера всі його частоти відрізнятимуться від відповідних частот іншого когерентного джерела на величину cv /2ω± . Як цей рух позначиться на інтерференційній картині? з) Як залежить контраст ІК у області нульової ін-терференційної смуги від коефіцієнта відбивання

дзеркала 2 (поглинанням у ньому знехтувати, вважаючи

2R143 == RR ). Розглянути також варіант

інтерферометра, коли дзеркало 2 повернуто у площині рисунка на кут 90° по відношенню до зо-браженого на рис. 4.11). Врахувати у ньому можливість багатопроменевої інтерференції; який вигляд у цьому випадку матиме розподіл інтерфе-ренції вздовж радіальної координати x (приблизно, основні суттєві моменти).

4. Визначити роздільну здатність фур’є-спектрометра у інфрачервоній області (20 мкм та 1 мкм), у якого максимальна різниця ходу становить 500 мм.

5. Визначити збільшення чутливості фур’є-спектро-метра порівняно з призмовим спектрометром (з аналогічною оптикою) за рахунок ефекту Жакіно.

6. Визначити максимальний розмір вхідної щілини рефрактометра Релея, якщо відстань між пучками 20 мм, фокус об’єктива 100 мм.

7. Предмет знаходиться на відстані l = 4 м і спостері-гається неозброєним оком. При яких поперечних розмірах предмета він виглядає як точка? Те ж

247

248

саме – при спостереженні його через польовий бі-нокль? Те ж саме – при відстані l, що дорівнює 430 світлових років (яскрава зірка нашого неба – Бетельгейзе, Альфа Оріона). При якому мінімаль-ному діаметрі дзеркала телескопа можна помітити, що зображення цієї зірки є кругом, а не точкою?

8. Вхідна щілина монохроматора рівномірно освітлена лазерним випромінюванням, фотометричний ска-нуючий пристрій веде запис спектру при кількох значеннях розмірів вхідної щілини, починаючи з нульової ширини. Вихідна щілина монохроматора достатньо вузька. Який вигляд мають кілька (5-6) записів? Пояснити якісні зміни у записах.

9. Більшість оптичних лазерів працює на неоднорід-но розширених спектральних переходах. Якщо взяти два однакові одномодові лазери, вони мо-жуть генерувати монохроматичне світло, проте частоти трохи відрізняються (експериментальний факт). Якщо звести два пучки від них на один ек-ран, мусимо отримати біжучу ІК, яку можна помітити навіть неозброєним оком, якщо частоти дуже близькі (відрізняються не більше, ніж 10 Гц). Довести, що біжуча ІК у цьому випадку існує за-вдяки ефекту Допплера.

10. Визначити з рис. 4.10 кут сходження когерентних пучків у точці А та інтенсивності цих пучків.

11. Як розташовані смуги ІК на діафрагмі Д (рис. 4.10)? Як саме вони рухаються?

12. Яка форма діафрагми Д (рис. 4.10) повинна бути? Чому її розміри повинні бути обмеженими?

13. Максимальний контраст ІК отримуємо при одна-кових інтенсивностях двох променів. Запропонуйте прості способи регулювання конт-расту ІК у схемі рис. 4.10.

14. Які наслідки може викликати використання у схемах ЛДВШ немонохроматичного джерела?

15. Яким чином можна змінювати DωΔ у широких межах при сталій швидкості u ?

16. Виявляється, що при деякій відстані BD (рис. Д3.1) різниця фаз α між розсіяною і прямою хвилями може дорівнювати навіть нулеві. Знайти цю від-стань. Від яких параметрів схеми рис. Д3.1 залежить α ? Як саме залежить? Знайти значення параметрів для випадку α = 10°.

17. В площині А (рис Д3.2) знаходиться плоский фазо-вий об’єкт діаметром λ . Намалювати якомога точніше розподіл інтенсивностей та фаз двох хвиль в площині Е.

18. Лінза разом з прилеглими шарами простору (рис Д3.2) в площині F створює фур’є-образ предмета, розташованого в площині А. Разом з тим, в площині Е маємо більш-менш точ-не зображення предмета. Виходить, шар простору FЕ виконує обернене ПФ над спектром, хоча віддаль FЕ складає 15-25 см, що не є нескінченність і навіть не 2 м (порушується умова (2.78) !). Пояснити це „протиріччя”.

19. Отримати формулу Ейрі типу (Д4.6) або (Д4.11) з врахуванням поглинання світла дзеркальними ша-рами в ІФП. Пояснити чому металеве покриття дзеркал не поглинає хвилі, які є власними модами інтерферометра Фабрі-Перо.

249

250

V. ЗАСТОСУВАННЯ ФУР’Є-ОПТИКИ 31. Оптичні методи обробки інформації Можливість використовувати світло для обробки

інформації цікавить вчених та інженерів ще з почат-ку минулого століття. Перший патент на опто-електронну лінзову систему обробки інформації отримав Е. Голдберг в Німеччині. Розробка Ф.Церніке в 1935 році методу просторової фільтрації зображен-ня в когерентному світлі стимулювало подальший розвиток фур’є-оптики. З появою лазерів – потужного джерела когерентного світла, розвитком голографії та оптоелектроніки дослідження в цій галузі отримали небачений розмах. Найпростіші оцінки вказували на можливість створення оптичних обчислювальних ма-шин, характеристики яких значно переважають характеристики ЕОМ.

Створення оптичних систем обробки інформації розвивалося двома шляхами: обробка інформації в процесі переносу зображення крізь оптичну систему та створення «оптичного транзистора» (оптоелектронного аналога напівпровідникового транзистора, приладу, де світло керується світлом) та побудови на його основі логічних елементів та процесорів. Перша демонстра-ційна модель такого оптичного процесора була створена в 1990 році фірмою «Bell». В 2003 році ком-панія «Lenslet» створила перший в світі комерційний оптичний процесор EnLight 256 із швидкістю 8 три-льйонів елементарних операцій в секунду. Ядро такого процесора – оптичне, воно складається із 256 напів-провідникових лазерів, просторових модуляторів світла, фокусуючих систем та системи приймачів світ-ла. Базовою елементарною операцією цього процесора є множення вектора із 256 компонент на квадратну матрицю розміром 256×256, за рахунок цього і досяга-

251

ється висока продуктивність. Якщо порівнювати із продуктивністю ЕОМ, то пошук одного слова в тексті із 1000 стандартних сторінок триватиме близько секунди. Комп’ютер на основі EnLight 256 здатен переглядати 80000 сторінок за 1 секунду. Такі оптичні комп’ютери використовуються там, де є критичною швидкодія або доводиться обробляти великі обсяги даних.

Розвиток іншого напряму, обробка даних в процесі проходження світла крізь оптичну систему, базується на здатності оптичної системи виконувати складні дво-вимірні математичні операції – перетворення Фур’є, Френеля, знаходження двовимірних згорток та кореля-ції. Це використовуються для вирішення спеціальних задач обробки інформації – створення систем оптично-го виявлення та розпізнавання образів, радіолокації, систем зберігання інформації. Принципи роботи та ме-тодики побудови таких систем базуються на теоре-тичних засадах, викладених у попередніх розділах.

31.1. Когерентні системи оптичної

обробки інформації Когерентні системи оптичної обробки інформації -

це спеціалізовані пристрої, які виконують надзви-чайно швидко одну чи декілька складних математичних операцій, наприклад, обчислюють зго-ртку, кореляцію, визначають спектр двовимірних функцій. Як правило, використовується когерентне джерело світла - оптичний квантовий генератор. Ос-новними елементами когерентної оптичної системи обробки інформації є:

• модулятор – транспарант; • збірна лінза; • вільний простір; • приймач світла; • фільтр просторових частот.

Вхідним сигналом для оптичних систем обробки ін-формації (ОСОІ) є розподіл електромагнітного поля на вході оптичної системи. Для створення необхідного розподілу використовують оптичні транспаранти. Оп-тичним транспарантом (ОТ) називається двовимірний оптичний елемент чи обладнання (наприклад, фазова пластинка, діапозитив, діафрагма), яке встановлене на шляху пучка світла і яке виконує задане перетворення амплітуди й фази світлової хвилі. За своєю дією на світлове поле - це модулятор. Дія ОТ характеризується комплексною функцією пропускання ),( yxτ . В залеж-ності від вигляду ),( yxτ розрізняють амплітудні (на-приклад, щілини, сітки, діафрагми), фазові (призми, лінзи) і амплітудно-фазові (світлофільтри, голограми, лінзи з амплітудною маскою) оптичні транспаранти, які, крім того, поділяються на керовані зовнішнім сиг-налом (із змінними характеристиками) і некеровані (з постійними оптичними характеристиками).

Збірна лінза змінює фазу електромагнітного поля і, у поєднанні із вільним простором, може виконувати перетворення Фур’є. Фільтр просторових частот змі-нює заданим чином спектр сигналу, і, отже, після виконання зворотного ПФ сигнал теж буде зміненим. На виході такої системи використовується приймач світла із лінійною передавальною характеристикою, який реєструє інтенсивність світла.

Найпоширенішим застосуванням ОСОІ є знаходжен-ня спектра двовимірної функції. За умови когерентного освітлення оптична система, схема якої наведена на рис. 5.1, є двовимірним спектроаналізатором.

Нехай у вхідній площині розміщено транспа-рант із коефіцієнтом пропусканням

1P),( yxτ , розподіл

поля відповідає заданій двовимірній функції. Освіт-лювальна система (лінза , та джерело когерентного випромінювання, наприклад, напівпровідниковий

1L

252

лазер) освітлює транспарант плоскою хвилею . Якщо площина співпадає із фока-

льною площиною лінзи , то в задній фокальній площині розподіл електромагнітного поля буде про-порційний до спектру функції :

constyxU =),(0 1P

2L

2P),( yxτ

)},({ˆ~),( 0 yxUFG τηξ (5.1) де - координати в площині . ηξ, 2P

η

ξ

f

P2

P1 S

τ(x,y) G(ξ,η)

y

x L1 L2

f

Рис. 5.1. Оптична схема для знаходження спектра двовимірної функції.

Відповідно просторовий розподіл інтенсивності бу-

де пропорційний до квадрату спектра функції, яка задається на вході оптичної системи.

20 )},({ˆ~),( yxUFI τηξ (5.2)

Отриманий спектр можна записати на фотоплас-тинку, зареєструвати за допомогою світлочутливої лінійки пристроїв із зарядовим зв’язком (ПЗЗ), ПЗЗ матриці чи відеокамери. Основна перевага ОСОІ над ЕОМ є те, що перетворення Фур’є виконується миттє-во. Недоліком таких систем є складність введення вхідних даних та виведення результату обробки.

Оптичний двовимірний спектроаналізатор можна перетворити в багатоканальний одновимірний, якщо добавити у оптичну систему циліндричну лінзу (як по-казано на рис.5.2). Пропускання такої лінзи

253

fxi

c e 22 2

λπ

−=τ , отже, квадратична зміна фази буде вне-

сена тільки вздовж осі OX, тому у задній фокальній площині циліндричної лінзи розподіл поля вздовж осі OX буде пропорційний до просторового спектра сигна-лу вздовж цієї осі, а розподіл поля вздовж координати у буде передано без змін. Сферична лінза виконує ПФ, і в задній фокальній площині розподіл поля вздовж OY пропорційний до просторового спектра вздовж цієї осі, а розподіл вздовж OX, буде пропорцій-ний до інвертованого розподілу поля вздовж осі OY після транспаранту, оскільки

2L

{ } )()}({ˆˆ xfxfFF −= . Якщо вхідний сигнал позначити ),( yxiτ , де i – номер каналу, то розподіл поля матиме вигляд:

)},({ˆ),( yxFxGii τχ=η , (5.3)

де χ комплексний коефіцієнт пропорційності.

Рис. 5.2. Оптична схема

багатоканального спектроаналізатора.

P2

ξ

η

fi(xi,y) Gi(ξi,η)

P1

S

y

x L1 L2

f f f f

L3

Використання паралельної обробки підвищує як

швидкодію, так і інформаційну ємність системи. Прикладом практичного застосування таких сис-

тем є оптичні спектроаналізатори сигналів надви- 254

сокої частоти (НВЧ). В такому приладі у якості транспаранту використовується акусто-оптичний модулятор. Дія акусто-оптичного модулятора засно-вана на дифракції світла на динамічних фазових дифракційних ґратках, які утворюється в результаті поширення у оптично прозорім середовищі акустич-них хвиль. Акустична хвиля створює в однорідному середовищі періодичні зміни густини і, відповідно, зміни показника заломлення середовища. Утворю-ється фазова дифракційна ґратка, у залежності від періоду утвореної фазової ґратки буде змінюватися кут дифракції світлової хвилі. Біжуча акустична хви-ля, створюється п'єзоелектричним випромінювачем звуку, закріпленим на нижньому торці пластинки. На протилежному верхньому торці пластинки розмі-щується поглинач звуку Pl, який не допускає утворення стоячих хвиль в пластинці. Оптична схема такої системи наведена на рис. 5.3.

S

L1 L2

f f НВЧ

ПЗЗ Pl

Рис.5.3. Оптичний аналізатор спектру сигналів НВЧ.

Радіочастотний сигнал надвисокої частоти збуджує

у пластинці акустичні коливання, просторовий спектр яких визначається спектром радіосигналу та передавальною характеристикою електроакустичного перетворювача. При освітленні акусто-оптичного мо-дулятора світлом у фокальній площині лінзи формується фур'є-образ оптичного сигналу, який ди-

255

256

фрагує на цьому модуляторі. Кожній складовій спект-ра оптичного сигналу відповідає певна фур'є-компонента спектра аналізованого радіосигналу над-високої частоти. Розподіл інтенсивності світла у фокальній площині лінзи, який відображає спектр радіосигналу може реєструватися за допомогою фо-топластинки чи світлочутливої лінійки ПЗЗ.

Якщо замість ПЗЗ лінійки в вихідній площині P2

поставити, в певному місці, яке відповідає куту диф-ракції потрібної нам частоти НВЧ сигналу, діафрагму та фотоприймач із лінійною передавальною характе-ристикою, то можна записувати залежність НВЧ сигналу заданої частоти від часу. Це можливо тому, що кут дифракції залежить від періоду фазової ґрат-ки, а інтенсивність залежить від оптичної густини. Така система буде працювати як смуговий фільтр – можна виділяти корисну смугу частот. Ширина смуги буде задаватися діаметром діафрагми. Така досить проста система дозволяє проводити ефективну фільт-рацію та демодуляцію НВЧ сигналів.

31.2. Просторова фільтрація. Синтез в

частотній області Оскільки сигнал та його спектр пов’язані однознач-

но, то змінюючи сигнал, ми змінимо його спектр і навпаки – зміна спектра призведе до зміни того, що ми отримаємо після зворотного ПФ. Ця проста ідея ле-жить в основі методів просторової фільтрації. Створення бажаного сигналу шляхом зміни спектра називають синтезом в частотній області або синтезом Фур’є. Історія цього методу почалася тоді, коли почали свідомо змінювати спектр зображення. Перші експе-рименти із просторової фільтрації були виконані Аббе у 1873 році, а потім такі експерименти були повторен-ні та доповненні Портером в 1906 році. Метою цих

експериментів була перевірка теорії Аббе утворення зображення в мікроскопі. Ці експерименти дозволяють зрозуміти основні принципи просторової фільтрації.

Схема експерименту Аббе-Портера наведена на рис. 5.4. На вході оптичної системи (площина , вона одночасно є фокальною площиною лінзи ) розміще-но транспарант – в цьому випадку двовимірна прямокутна сітка із тонкого дроту. Сітка освітлюється когерентним світлом, у вигляді плоскої хвилі

. В задній фокальній площині лінзи розподіл електромагнітного поля відповідає просторо-

вому спектру об’єкта. Спектр – це сукупність яскравих „крапок”. Якщо в спектральній площині розташу-вати діафрагму у вигляді щілини вздовж осі у, то будуть екрановані – відфільтровані просторові частоти які несуть інформацію про періодичну структуру об’єкта вздовж осі х. Після оберненого ПФ, у задній фокальній площині лінзи отримаємо зображен-ня, яке містить тільки вертикальну структуру сітки, оскільки просторові частоти, які формують горизонта-льну структуру, обнулені. Повернувши щілину на 90° у вихідній площині побачимо тільки горизонтальну

1P

2L

constyxU =),(0 2L

2P

3P 3L

P2 ξ

η y

P1

S

L1 L2

f f f f

L3 x

Рис. 5.4. Схема експерименту Аббе-Портера.

257

структуру. Якщо замість щілини поставити круглу ді-афрагму, яка виділить тільки центральний дифрак-ційний максимум, який лежить на оптичній осі в точці фокуса – це відповідає „нульовій” частоті, то площина

буде рівномірно засвічена. Це легко зрозуміти, як-що згадати, що рівномірно засвічений фон утворю-ється плоскою хвилею, яка поширюється паралельно оптичній осі, така хвиля фокусується лінзою в точці фокуса. Якщо помістити круглу непрозору діафрагму в точку фокуса лінзи – відфільтрувати „нульову” час-тоту, то рівномірне освітлення площини зникне і зображення сітки буде мати інвертований контраст. Така операція, видалення рівномірного світлого фону, називається оптичним диференціюванням (за аналогі-єю із математики – в результаті диференціювання зникають постійні величини).

3P

2L

2L

3P

Якщо в спектральну площину , в точку фокуса, помістити „ірисову” діафрагму (діафрагма змінного ді-аметру) то, змінюючи її діаметр і, відповідно, фільтруючи різні просторові частоти, можна спостері-гати процес утворення зображення. Якщо діафрагма закрита і крізь неї проходить тільки „нульова” частота (центральна світна пляма) – маємо світлий фон. Зі збі-льшенням діаметру діафрагми, коли проходять „перша” та „друга” частоти (дифракційні максимуми першого та другого порядків), побачимо зображення ґратки правильної періодичності, але значно згладже-не по інтенсивності. Це пов’язано з тим, що зображення сітки моє розподіл інтенсивності, який описується послідовністю прямокутних імпульсів – плоска дифракційна ґратка із прямокутним штрихом. Її спектр - це сума гармонік різної частоти. Якщо в спектрі залишити тільки 3 складові, то такий спектр відповідає ґратці із поглинанням модульованим за за-

2P

258

коном )2sin1(20

Txπ+

α=α , де - амплітудний коефі-

цієнт поглинання. Після зворотного ПФ в фокальній площині лінзи отримаємо розподіл інтенсивнос-

ті, пропорційний до

α

3P 3L

Txπ2sin . Поступово розширюючи

діафрагму, так щоб в неї потрапляли все вищі просто-рові, частоти будемо спостерігати збільшення чіткості зображення і перехід від розподілу інтенсивності за законом синуса до сукупності прямокутних штрихів.

P3 P2

ξ

η

τ(x,y) H(ξ,η) P1

S

y

x L1 L2

f f f f

L3

U(x3,y3)

Рис. 5.5. Оптична схема для когерентної

просторової фільтрації.

В загальному випадку оптична схема для здійснен-ня просторової фільтрації має вигляд такий, як наведено на рис. 5.5.

Когерентне джерело світла S та лінза утворюють систему освітлення, в передню фокальну площину лі-нзи поміщають вхідний сигнал у вигляді транс-паранту із просторовим розподілом пропускання

. У задній фокальній площині матимемо роз-поділ поля, який визначатиметься спектром сигналу. Фільтрацію просторових частот можна здійснити, якщо в цю спектральну площину помістити транспа-рант із комплексним коефіцієнтом пропускання

1L

2L

),( yxτ 2P

259

),(),(),( ηξϕηξ=ηξ ieHH , який змінить спектр сигналу. Пі-сля фільтра в площині розподіл поля матиме вигляд: 2P

),(),(),( ηξηξ=ηξ GHU , (5.4) де - спектр вхідного сигналу ),( ηξG ),( yxτ . Лінза виконує зворотне ПФ, і у вихідній площині

розподіл поля рівний 3L

3P)},(),({ˆ),( 1 ηξηξ=′′′ − GHFyxU . (5.5)

Обернене ПФ від добутку спектрів є згортка функцій, тоді вихідний сигнал можна подати у вигляді:

hdxdyyyxxhyxyxU ⊗τ=−′−′∫∞

∞−τ∫

∞

∞−=′′′ ),(),(),( , (5.6)

де - це спектр функції ),( yxh ),( ηξH - імпульсна хара-ктеристика фільтра. Із цього рівняння видно, що замінюючи імпульсну характеристику фільтра, можна отримати на виході системи бажаний розподіл поля.

Практичне застосування просторової фільтрації – це, в першу чергу, покращення зображення, яке утворюють оптичні системи. В 50-х роках ХХ століття були розроблені методи покращення фотографій за допомогою когерентної просторової фільтрації. На той час вже було розуміння того, що недоліки зобра-ження на фотографіях є наслідком недосконалості передавальної функції оптичних систем, які утворю-ють зображення на фотографіях. Якщо фото-пластинку помістити на вході системи когерентної просторової фільтрації, то, змінюючи спектр зобра-ження в спектральній площині, за допомогою сукупності амплітудних та фазових фільтрів, можна виправити недоліки зображення. Якщо передавальна функція оптичної системи фотоапаратури далека від ідеальної (в ідеальної оптичної системи це δ-функція), то добуток цієї передавальної функції на передаваль-ну функцію компенсуючої системи із фільтром дасть

260

більш правильний частотний відгук. Наприклад, мо-жна підвищити контраст дрібних деталей зобра-ження, якщо послабити низькочастотні компоненти в спектрі зображення. Для цього в точку фокуса ком-пенсуючої системи необхідно поставити поглинаючий фільтр. В цьому випадку рівномірне фонове освітлен-ня зображення матиме меншу інтенсивність, а дрібні деталі, спектр яких не змінився, будуть краще виді-лятися на цьому фоні. Можна також покращити чіткість зображення. Для цього когерентна оптична система розфокусовується таким чином щоб її пере-давальна характеристика мала вигляд:

ρπρπ

≈ρa

aJH )(2)( 1 , (5.7)

де - функція Бесселя 1-го порядку,1J 22

21 ω+ω=ρ , а

– постійна величина. В площині, де міститься спектр, розташовується амплітудно-фазова пластинка, яка послаблює низькочастотний пік функції (5.7), та змі-нює фазу першого максимуму на π . Приклад такого фільтра наведено на рис.5.6.

Якщо за допомогою такого фільтра повністю обну-лити максимум нульового порядку - провести оптичне диференціювання, то на виході оптичної системи отримаємо контур зображення, який відповідає гео-метричним розмірам об’єкта. Якщо на виході оптичної системи фільтрації поставити лінійку фото-приймачів, то можна в режимі реального часу вимірювати розміри об’єктів. Такий метод викорис-товується в промисловості для контролю габаритних розмірів деталей під час виробництва.

Інший приклад – це придушення небажаних висо-кочастотних гармонік в зображенні, які виникають в процесі відтворення сигналу представленого у вигляді ряду Котельникова. Такий сигнал – це сукупність точ-кових джерел світла, кожне з яких має свою

261

інтенсивність. Для того, щоб із сукупності точок отримати зображення, необхідно позбавитися висо-кочастотних гармонік, які передають інформацію про відстань між окремими світними точками. Занулити високі частоти можна за допомогою діафрагми – фі-льтра низьких частот. Прикладом використання такого принципу є формування зображення екраном телевізора чи монітору – зображення утворюється су-купністю світних точок – „пікселів” малого розміру. Підчас поширення електромагнітної хвилі в просторі відбувається ПФ, зіниця ока є діафрагмою – фільтром низьких частот. Відфільтрований спектр – перетво-рюється у згладжене зображення на сітківці за допомогою лінзи – кришталика. Якщо дивитися на екран телевізора із близької відстані, коли ділянка простору не є достатньо великою для виконання ПФ, ми побачимо окремі елементи зображення – „пікселі”.

H

ρ

Поглинальний шар Зсув фази на π

а б

Рис.5.6. а) компенсуючий фільтр для покращення чіткості та контрасту зображення;

б) його передавальна функція (до компенсації - пунктирна лінія, після – суцільна).

262

31.3. Узгоджена фільтрація. Фільтри Вандер Люгта Окрім покращення зображення існує певний клас

задач, де застосування когерентної просторової філь-трації та фур’є синтезу знайшло широке застосування – це оптичне виявлення корисного сигналу на фоні шумів і завад та розпізнавання образів. Ці методи отримали назву узгодженої фільтрації. Ідея узгодже-ної фільтрації дуже проста, щоб зрозуміти її, розглянемо когерентну оптичну систему (рис. 5.7).

P3 P2

ξ

η

f(x,y)+n(x,y) H(ξ,η)

P1 S

y

x L1 L2

f f f f

L3

U(x3,y3)

Рис. 5.7. Оптична система для здійснення коге-рентної узгодженої просторової фільтрації.

Вхідний сигнал задається за допомогою транспа-

ранту із пропусканням ),( yxτ в площині . В задній фокальній площині лінзи отримаємо спектр вхідного сигналу:

1P

2P 2L

),()},({ˆ)},({ˆ),( 0002 ηξ=τ=τ=ηξ GUyxFUyxUFU .(5.8) Функція спектра ),( ηξG є комплексною і може бути

записана у вигляді: ),(),(),( ηξϕηξ=ηξ ieGG . (5.9)

Якщо в площині помістити фільтр із комплекс-ним пропусканням

2P

),(0),( ηξϕ−=ηξ ieHH , (5.10)

263

фаза якого є комплексно-спряженою величиною до фази фур’є-образу сигналу, то після фільтра розподіл поля матиме вигляд:

00),(

0),(

02 ),(),(),( HGUeHeGUU ii ηξ=ηξ=ηξ′ ηξϕ−ηξϕ . (5.11) Рівняння (5.11) описує плоску хвилю, яка поширю-

ється паралельно до оптичної осі, із деяким амплітудним розподілом поля площині . Лінза виконує зворотне ПФ, і плоска хвиля відобразиться у вигляді яскравої світної точки в її задньому фокусі. Оскільки розподіл фази в спектрі сигналу та фільтра є однаковими за модулем, але протилежні за знаком, то такий фільтр називають узгодженим. Особливо ефек-тивно застосувати узгоджену фільтрації якщо необхідно виявити корисний сигнал на фоні шумів, чи виділити певний елемент зображення. Припусти-мо, що вхідний сигнал є сумою корисного сигналу

та випадкового шуму

2P 2L

),( yxf ),( yxn : ),(),(),( yxnyxfyx +=τ . (5.12)

Нехай узгоджений фільтр має пропускання, яке пропорційне комплексно-спряженому спектру корис-ного сигналу:

( ) ),()},({ˆ),( ηξ∗α=∗α=ηξ fGyxfFH , (5.13)

де α - постійна величина, - спектр корисного сигна-лу. Розподіл амплітуди світлової хвилі відразу після фільтра:

fG

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ηξηξ+ηξα=ηξ′ ∗ ),(),(),(),(

202 ff GNGUU , (5.14)

де - спектр випадкового шуму. )},({ˆ),( yxnFN =ηξ2

),( ηξfG - цей дійсний член описує плоску хвилю, яка

буде зібрана лінзою в яскраву пляму у точці фоку-са. Таким чином узгоджений фільтр компенсує фазові зміни фур’є-образу корисного сигналу. Завдання узго-

2L

264

дженої фільтрації полягає не у створенні чи покра-щенні зображення у задній фокальній площині лінзи , а в „стягуванні” його енергії в маленьку об-ласть простору. З іншого боку, на другий доданок

, який описує шум, фільтр не здійснює компенсуючої дії на фазу спектра, але змінює ампліту-ду на тих просторових частотах, де амплітуда спектра сигналу є має відносно малу величину. Розподіл поля у вихідній площині – це зворотне ПФ від (5.14):

3P

2L

),(),( ηξηξ ∗fGN

)},(),(),({ˆ)},({ˆ),(21

021

33 ηξηξ+ηξγ=ηξ′= ∗−−ff GNGFUUFyxU

(5.15) де γ - постійна величина, - координати вихід-ної площини когерентної оптичної системи.

33,yx

3PПерший доданок є автокореляція вхідного сигналу,

відповідно до теореми Вiнера-Хiнчина, а другий – згортка шуму із дзеркальним відображенням корис-ного сигналу, тому рівняння (5.15) можна записати у символьній формі:

)],(),(),([),( 3333331133 yxfyxnyxΓyxU −−⊗+γ= . (5.16) У вихідній площині шум відтвориться майже без змін, лише він буде послаблений по відношенню до сигналу. Таким чином, узгоджена фільтрація зводить-ся до знаходження кореляції між вхідним сигналом та фільтром. Якщо вхідний сигнал і фільтр є узгоджени-ми, то це буде автокореляція - значення якої буде максимальне в початку координат.

3P

Незважаючи на простоту ідеї, під час практичної реалізації виникли труднощі із виготовленням фільтра із потрібним розподілом амплітудного пропускання та фази. Виготовляючи амплітудно-фазові пластинки традиційними методами (вакуумне напилення, зміна оптичної товщини чи густини) важко отримати біль-ше двох значень зміни фази – 0 та π . Тому можна

265

було виготовляти узгоджені фільтри тільки для най-простіших функцій чи образів.

Це суттєве обмеження вдалося подолати співробіт-нику Мічиганського університету Вандер Люгту. Він запропонував синтезувати просторові фільтри за до-помогою інтерференції. Фільтри отримані таким способом дозволяють змінювати як амплітуду, так і фазу передавальної функції когерентної оптичної си-стеми, незважаючи на те, що ці фільтри виготовленні повністю із поглинальних матеріалів. Для синтезу фі-льтрів Вандер Люгта використовують різного типу інтерферометри: Релея, Маха-Цендера, Вандер Люгта.

Розглянемо синтез фільтра за допомогою інтерфе-рометра Релея, оптичну схему фільтра наведено на рис. 5.8. Сигнал ),( yxs у вигляді транспаранту, для якого виготовляють узгоджений фільтр, розташову-ють у передній фокальній площині лінзи . Він освітлюється паралельним монохроматичним пучком світла, який створюється освітлювальною системою – точковим джерелом світла та лінзою . Частина пуч-ка фокусується лінзою і утворює у передній фокальній площині опорне точкове джерело. В за-дній фокальній площині розподіл поля матиме вигляд:

3L

1L

2L

3L

),(),( 00 ηξ+=ηξ ξω− HeUU i

p , (5.17) Перший доданок – це плоска хвиля, яка поширю-

ється під деяким кутом до оптичної осі. Кут буде визначатися розташуванням діафрагми D в фокаль-ній площині лінзи, в параксіальному наближенні:

fx0

0sin =θ , (5.18)

де - відстань від діафрагми до оптичної осі систе-ми, - фокусна відстань лінзи . Цьому куту

відповідає просторова частота

0xf 3L

02

0 sin θ=ωλπ , де λ дов-

266

жина хвилі світла. Другий доданок – фур’є-образ сигналу. Рівняння (5.17) описує інтерфере-нцію опорної плоскої хвилі та

)},({ˆ),( yxsFH =ηξ

),( ηξH - що відповідає спектру сигналу і на фотопластинці записується інтен-сивність інтерференційної картини:

ξω−∗ξω

∗

ηξ+ηξ+

+ηξ+=ηξηξ=ηξ

00 ),(),(

),(),(),(),(

00

220

ii

pp

eHUeHU

HUUUI (5.19)

L2

x0

P

D

s(x,y)

θ

S

L1 L3

f

x3 x

f

Рис. 5.8. Синтез просторового фільтра за допомогою модифікованого інтерферометра Релея. - сиг-нал, P – фотопластинка, яка поміщена в частотну

область (задня фокальна площина лінзи L3 ).

),( yxs

Якщо не враховувати експоненційний фазовий

множник, то останній доданок в (5.19) пропорційний до комплексно-спряженого спектра сигналу і може бути використаний для узгодженої фільтрації. Спектр сигналу записати у вигляді:

),(),(),( ηξψ−ηξ=ηξ ieAH . (5.20) Підставляючи це у вираз для інтенсивності, отримаємо:

)),(cos(),(2),(),( 0022

0 ηξψ−ηωηξ+ηξ+=ηξ AUAUI . (5.21) Тепер легко зрозуміти, як за допомогою інтерфере-

нції інформація про просторовий розподіл фази та амплітуди спектра сигналу ),( ηξH записується на де-

267

тектор, який чутливий до інтенсивності. В кожній то-чці із координатами ηξ, інтенсивність залежить не тільки від амплітуди ),( ηξA , а і від фази ),( ηξψ . Про-водячи аналогію із теорією коливань, бачимо, що останній доданок в (5.21) описує „биття” двох просто-рових частот – опорної 0ω та сигнальної ),( ηξψ . Тобто, інформація про просторовий розподіл фази запису-ється в процесі модуляції несучої хвилі із високою просторовою частотою. Необхідно зауважити, що ін-терференційний спосіб синтезу фільтра є еквіва-лентним до односмугової модуляції у радіотехніці.

0U

На останньому етапі створення фільтра час експозиції та режим проявляння фотопластинки підбирають так, щоб її пропускання було пропорційне до інтенсивності:

),(~),( ηξηξτ I . (5.22) Отриманий таким методом транспарант можна

помістити у спектральну площину когерентної оп-тичної системи, де він слугуватиме узгодженим фільтром (рис. 5.7). Подамо на вхід оптичної системи сигнал, просторовий розподіл якого описується функ-цією . У спектральній площині маємо спектр

сигналу . Після проходження фільтра розподіл поля в спектральній площині:

2P

),( yxg)},({ˆ),( yxgFG =ηξ

),(),(),(2 ηξηξτ=ηξ GU , (5.23) оскільки пропускання пропорційне до інтенсивності, то, використавши (5.19), із точністю до постійного множника можна записати:

.),(),(),(),(

),(),(),(),(00

00

2202

ξω−∗ξω ηξηξ+ηξηξ+

+ηξηξ+ηξ=ηξii eGHUeGHU

GHGUU (5.24)

Після лінзи розподіл поля у вихідній площині пропорційний до спектра функції

3L 3P),(2 ηξU :

. Із врахуванням теореми про )},({ˆ),( 21

33 ηξ= − UFyxU

268

згортку і того, що система відліку в є інверсною по відношенню до , можна записати:

3P

2P

+⊗−−⊗+= ∗ ),(),(),(),(),( 333333332033 yxgyxsyxsyxgUyxU

).,(),(),(

),(),(),(

32033333

32033333

yxyxgyxs

yxyxgyxsf

f

πλ∗

πλ

ω−δ⊗⊗−−+

+ω+δ⊗⊗+ (5.25)

Перший та другий доданки в (5.25) описують диф-ракцію нульового порядку, яка з’явиться в початку координат (точка фокуса лінзи ) вихідної площини. Третій доданок можна записати у вигляді:

3L

,),()),((

),(),(),(

3203

32033333

ηξηξη−ω−ξ−=

=ω+δ⊗⊗

∫∫∞

∞−π

λ∞

∞−

πλ

ddgyxs

yxyxgyxs

f

f

звідки відразу видно, що це є згортка функцій s та g , яка зміщена у вихідній площині вздовж осі

на 3P 3x

πλω− 20f . Четвертий доданок

ηξηξ−η+−ξ=

=−δ⊗⊗−−

∫∫∞

∞−πλω∗

∞

∞−

πλω∗

ddgyxs

yxyxgyxs

f

f

0

0

),()),((

),(),(),(

323

3233333

описує кореляцію функцій s та g , зміщену на πλω 20f

вздовж осі . 3xЗображення, які описуються першим та другим

доданками в (5.25), в подальшому аналізі не викорис-товуються і вони розташовані в центрі вихідної площини, а результат згортки та кореляції зміщені на відстань π

λω 20f . Таким чином, якщо несуча просторо-

ва частота вибрана досить високою, або, іншими словами, опорна хвиля падає під великим кутом до оптичної осі, то компоненти зображення, які відпові-

269

дають за згортку та кореляцію функції будуть розді-лені в просторі і їх можна спостерігати окремо. На рис. 5.9. наведено розподіл сигналів у вихідній пло-щині . Тому для того, щоб знайти згортку чи кореляцію функцій, необхідно просто дослідити роз-поділ інтенсивності в околі точок (-

3P

πλω 20f , 0) та ( π

λω 20f ,

0). Ці складні математичні операції виконуються в когерентній оптичній системі миттєво – за час прохо-дження світла крізь неї.

Застосування фільтрів Вандер Люгта усуває два головні недоліки схем оптичної обробки інформації. По-перше, якщо необхідно отримати імпульсний від-гук заданої форми, то не має необхідності проводити складні математичні розрахунки для знаходження передавальної функції. Ці всі операції виконуються в оптичній системі під час синтезу фільтра. По-друге: комплексна передавальна функція (яка змінює як амплітуду так і фазу електромагнітної хвилі) синтезу-ється тільки за допомогою амплітудного транспаранту. Але в той же час існують недоліки: ре-зультуючий розподіл інтенсивності у вихідній площині сильно залежить від точності розташування

x3

πλω20

f y3

πλω20

f−

згортка

кореляція

Рис. 5.9. Розподіл інтенсивності на виході оптичної системи просторової фільтрації.

270

фільтра у спектральній площині, точності встанов-лення вхідного сигналу, висока чутливість до поворотів сигналу та зміни масштабу зображення.

Одним із практичних застосувань описаних вище методів є розпізнавання образів за допомогою узго-дженної фільтрації. Перші експерименти були проведені Вандер Люгтом. Необхідно було знайти зо-браження певної геометричної фігури – прямокутника серед сукупності інших геометричних форм. Був виготовлений узгоджений фільтр для пря-мокутника за схемою наведеною на рис. 5.8. Фільтр розміщали у спектральній площині системи коге-рентної фільтрації (рис. 5.7), а транспарант, на якому зображено набір із різних геометричних фігур, вста-новлювали на вході системи, в площині . Оскільки кореляція встановлює зв’язок між формою та розмі-ром геометричних фігур, то для прямокутників це буде автокореляція і її значення буде максимальне, а для інших фігур значення кореляції буде прямувати до нуля. У площині , на виході оптичної системи, у області розташування кореляції, спостерігатиметься яскрава світна точка.

2P

2P

3P

Процес розпізнавання образів – знаходження коре-ляції відбувається в частотній області і якщо на транспаранті, який розміщений на вході оптичної сис-теми, буде декілька прямокутників, то у вихідній площині ми будемо спостерігати кореляцію від усіх на-явних прямокутників одночасно – всі процеси обробки інформації в когерентній оптичній системі відбувають-ся паралельно для всіх фігур. Процес обробки зображень в когерентній оптичній системі можна сут-тєво прискорити якщо, в процесі виготовлення фільтра Вандер Люгта, на одну фотопластинку записати декіль-ка узгоджених фільтрів для різних фігур чи зображень. Таку фотопластинку називають бібліотекою узгоджених фільтрів. Ємність таких бібліотек є дуже високою. Про-

271

ведемо найпростіші оцінки кількості фільтрів які мо-жуть бути записані на один носій. Для запису фільтрів використаємо схему, наведену на рис. 5.8.

Нехай - максимальна просторова частота, яку може записати носій (фотопластинка чи фотополі-мер), вона залежатиме від фізичних властивостей носія. Для фотопластинки

maxω

maxω визначатиметься роз-міром фоточутливого зерна (галоїдне срібло). Якщо лінійний розмір а зображення ) займає невели-ку частину транспаранту із розмірами , ( ), розташованого у передній фокальній площині лінзи (рис. 5.7), то мінімальна відстань між сусідніми площадками на фотопластинці P буде визначатися тільки розмірами транспаранту:

,( yxsi

xA yA

yx AAa ,<<

3L

mAymAx yx 2,2 00 =Δ=Δ , (5.26) де m коефіцієнт, який пов’язує розміри області на фо-топластинці та розміри транспаранту, двійка враховує, що під час когерентної фільтрації буде отримана як кореляція, так і згортка функцій (рис. 5.9). Цим відста-ням відповідають просторові частоти:

yyyxxx Af

Af

22~,22~ 00 λπ

=ωωΔλπ

=ωωΔ , (5.27)

де - довжина хвилі світла, f – фокусна відстань лінзи , , - відповідні просторові частоти на фото-

пластинці. Кількість фільтрів , які можна записати, вздовж осі координат х буде визначатися як відношен-ня максимальної просторової частоти носія

λ3L 0xω 0yω

xn

maxω до , а повна кількість пропорційна добутку: xωΔ 0N

22max

2max

0 24~ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

πλω

=ωΔωΔ

ω=

fAA

nnNyxyx

yx , (5.28)

Розмір транспаранту не можна зробити як завгод-но малим, оскільки малим розмірам відповідають

272

високі просторові частоти – хвилі будуть поширюва-тися під великим кутом до оптичної осі і можуть не потрапити на фотопластинку. Якщо лінійні розміри фотопластинки xΦ , yΦ , то максимальні просторові частоти, які можна записати будуть визначатися її кутовою апертурою:

ffy

yx

xΦ

λπ

≤ωΦ

λπ

≤ω2,2

00 . (5.29)

Мінімальна ширина, яка необхідна для запису та-ких сигналів буде:

y

yyy

x

xxx

AAΦ

ω=ωΔΦ

ω=ωΔ 00 (5.30)

Із врахуванням цього максимальна кількість фільт-рів, які можна записати на фотопластинку:

yx

yx

yxyx AAN

ΦΦ

ωωω

=ωΔωΔ

ω=

00

2max

2max

0 . (5.31)

Це співвідношення і визначає інформаційну єм-ність бібліотеки узгоджених фільтрів. Якщо використати аналогії із радіотехнікою, то Φωmax - ха-рактеризує всю смугу частот пропускання, а A0ω - смугу частот яку займає один інформаційний канал. Щоб знайти число незалежних каналів необхідно про-сто поділити смугу пропускання на ширину одного каналу. Оскільки оптичні системи працюють із дво-вимірними сигналами, то число каналів буде дуже велике , таке значення на декілька порядків пе-ревищує параметри електронних систем.

1210≈

Отримані оцінки для є завищені, оскільки були зроблені за умови, що транспарант, на якому знахо-диться вхідний сигнал, значно менший ніж фотопластинка. Це має місце при послідовному запи-сі бібліотеки, коли у вхідній площині встановлюється один фільтр і накопичення відбувається послідовним

0N

273

експонуванням. Такий спосіб дуже непрактичний, якщо необхідно записати багато фільтрів на одну фо-топластинку. Набагато зручніше, під час експонування, в бібліотеку записувати декілька філь-трів. Окрім того, не були враховані власні шуми фоточутливого шару, тому практичне значення кіль-кості фільтрів буде значно менше. Так, для оптичної системи із параметрами f = 48 см, Φ = 6 см,

= 800 ліній/мм, maxω λ = 632,8 нм, A = 0,3 см повне число фільтрів = 2,5×106. Необхідно зазначити, що це не 2,5 комп’ютерних «мегабіт» чи «мегабайт», а зо-бражень. Якщо кожне зображення – це дактило-скопічне зображення («відбитки пальців»), то на таку фотопластинку можна записати базу даних про 250 тисяч людей. Пошук людини в такій базі даних буде відбуватися за час проходження світла в оптичній системі. Жодна електронна обчислювальна система не здатна виконати таку операцію так швидко.

0N

31.4. Некогерентні системи обробки інформації Найпростішу систему оптичної обробки інформації

можна побудувати, якщо використати властивість лі-нзи формувати зображення. Така система була запропонована ще в далекому 1927 році німецьким інженером Е. Голдбергом, в 1931 році така система була запатентована в Німеччині та США і використо-вувалася в галузі розпізнавання образів.

Некогерентна система обробки інформації базуєть-ся на простих принципах: якщо транспарант із коефіцієнтом пропускання по інтенсивності відображається на інший транспарант із коефіцієн-том пропускання , то інтенсивність світла в кожній точці за другим транспарантом пропорційна добутку . Для вимірювання повної інтенсивності

),(1 yxT

),(2 yxT

21TT

274

світла, яке пройшло крізь два транспаранти, можна використати фотоприймач із лінійною передавальною характеристикою, сигнал якого буде пропорційним до інтегрального добутку цих функцій:

dxdyyxTyxTKI ),(),( 21∫∫∞

∞−

∞

∞−

= , (5.32)

де К коефіцієнт пропорційності між інтенсивністю світла та сигналом фотоприймача (сигнал фотоприй-мача це може бути струм чи напруга, в залежності від типу приймача). Нескінченні границі інтегрування ми можемо записати вважаючи, що скінченні розміри транспарантів враховані в функціях пропускання та . Така оптична система реалізує дві математичні операції – множення та інтегрування. Оптична схема наведена на рис. 5.10. Лінза проектує протяжне некогерентне джерело світла S (яке повинно мати рі-вномірну світність) на два транспаранти, які розташовані в притул один до одного. Потім, лінза фокусує світло, яке пройшло крізь другий транспа-рант, на фотодетектор D. Сигнал фотодетектора буде описуватися співвідношенням (5.32).

1T

2T

1L

2L

Якщо необхідно часто замінювати транспаранти, то їх близьке розташування створює незручності, то-

275

T2(x,y) T1(x,y

)

L2 x L1

y

S D

Рис. 5.10. Оптична схема для отримання інтегрального добутку двох функцій, заданих за допомогою транспарантів.

му бажано їх просторово розділити, як це показано на рис. 5.11. Аналогічно до попередньої системи, лінза

створює збільшене зображення джерела світла на першому транспаранті. Друга лінза проектує зо-браження на , а світло, яке пройшло крізь , збирається лінзою і фокусується на фотодетекторі D. Для того, щоб отримати сигнал у вигляді (5.32), не-обхідно перший транспарант перевернути відповідним чином для того, щоб компенсувати інве-рсію, яку створює лінза .

1L

2L

1T 2T 2T

3L

1LЗа допомогою такої оптичної системи можна здій-

снити операцію згортки. Якщо транспарант перевернути, то операція (5.32) матиме вигляд:

2T

dxdyyxTyxTKI ),(),( 21 −−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

(5.33)

При переміщенні транспаранта із постійною швидкістю v в бік від’ємних значень x і одночасно вимірювати сигнал фотодетектора як функцію часу, то інтенсивність описуватиметься рівнянням:

2T

dxdyyxvtTyxTKtI ),(),()( 21 −−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

. (5.34)

276

-x -y

T2(x,y) T1(-x,-y)

L3 x y

S D

L2

L1

Рис. 5.11. Оптична схема для отримання

інтегрального добутку у випадку просторового розділення транспарантів.

Якщо сканування вздовж x послідовно повторювати із різними зміщеннями my− вздовж осі , то отрима-ємо сукупність функцій :

y)(tIm

,...3,2,1),(),()( 21 =−−= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

mdxdyyyxvtTyxTKtI mm

(5.34). Ця множина функцій повністю описує двовимі-рну згортку, але дискретну вздовж осі .

)(tImy

Описаний метод, для виконання операції згортки, дуже незручний і дуже повільний через необхідність механічного переміщення транспарантів. Операцію згортки можна отримати і без механічного скануван-ня, якщо змінити оптичну схему, так як це зображено на рис. 5.12. Протяжне некогерентне джерело світла S розташоване в передній фокальній площині лінзи

. Відразу за нею розташуємо транспарант із коефі-цієнтом пропускання

1L),(1 yxT −− .

На відстані d від першого транспаранту, безпосеред-ньо перед лінзою, розташуємо другий транспарант

(знаки перед координатами вказують на вза-ємну інверсію систем координат:

),(2 yxT ++),(1 yxT −− інвертовано

по відношенню до ),(2 yxT ++ ). Розподіл інтенсивності в задній фокальній площині другої лінзи можна ре-єструвати за допомогою фотоплівки, ПЗЗ матриці або відеокамери. Розглянемо поширення світла від довіль-ної точки джерела із координатами

2L

),( ss yx −− . Промені, які виходять із цієї точки, після першої лінзи і транспаранту ідуть паралельним пучком і створюють на другому транспаранті розподіл інтенсивності, який є пропорційний до

1L

1T

2T),(1 yyxxT sf

dsf

d −− . Після того,

як промені пройшли другий транспарант , вони фо-2T

277

(-xs,-ys)

T1(-x,-y) T2(x,y)

S

D L1

L2

d f f

(xd,yd)

Рис. 5.12. Оптична схема для знаходження згортки

функцій без переміщення.

кусуються другою лінзою на фотоприймачі. Розподіл інтенсивності в одній точці фотоприймача може бути записано у такому вигляді:

2L

.),(),(

),(

21 dxdyyxTyyxxTK

yyxxI

sfd

sfd

sdsd

−−=

===

∫∫∞

∞−

∞

∞−

. (5.35)

Вираз (5.35) описує згортку, але масштаб транспа-ранту змінено в 1T f

d , якщо другу лінзу помістити в

задній фокальній площині лінзи , тобто, 1L fd = , то (5.35) можна записати так:

,),(),(

),(

21 dxdyyxTyyxxTK

yyxxI

ss

sdsd

−−=

===

∫∫∞

∞−

∞

∞−

(5.36)

що є виразом для знаходження згортки. Оптична схема зображена на рис. 5.12 може вико-

нувати ще одну інтегральну операцію – знаходження кореляції функцій. Якщо не змінювати взаємне роз-ташування координатних осей в площині та , то у формулі (5.35) знаки зміняться на протилежні і рів-

1T 2T

278

няння (5.35) перетвориться в формулу для знахо-дження кореляції:

dxdyyxTyyxxTKyyxxI sfd

sfd

sdsd ),(),(),( 21 ++=== ∫∫∞

∞−

∞

∞−

.

(5.37) Знаходження функції кореляції має практичне зна-

чення - таку оптичну систему можна застосовувати для розпізнавання образів, оскільки функція автокореляції матиме максимальне значення. Для деяких прикладних задач є корисним сильна залежність розподілу інтенси-вності на виході оптичної системи від взаємного розта-шування транспарантів та лінз – при знаходженні автокореляції максимум інтенсивності буде при 1=f

d -

це можна використати, наприклад, для знаходження точного розташування фокуса невідомої лінзи чи об’єк-тива за допомогою транспарантів із відомою струк-турою. Якщо параметри лінз і транспарантів відомі, то за масштабом автокореляційної функції можна встано-вити невідому відстань у тих випадках коли безпо-середнє вимірювання відстані неможливе. Прикладом такого застосування є автоколімаційна оптична схема наведена на рис. 5.13 – вона використовується в про-мисловості для контролю точності встановлення об’єкта.

d

Система освітлення складається із джерела S колі-маційної лінзи та матової пластинки . Об’єкт спостереження О встановлюється за лінзою

sL 1PL замість

другої лінзи та транспаранту встановлюють дзеркало . Це дзеркало створює уявне зображення лінзи 1M L ′

та об’єкту O ′ і, якщо об’єкт встановлено правильно, то інтенсивність в площині спостереження буде максимальною, оскільки буде максимальним значен-ня функції автокореляції.

2P

279

Іншим прикладним застосуванням схеми для знахо-дження кореляції є дослідження випадкових процесів, особливо коли досліджувані функції є двовимірними і реєструються оптичними методами. Прикладом може бути дослідження двовимірної функції кореляції інтен-сивності лазерного світла яке пройшло крізь турбулентну область атмосфери. Інтенсивність лазер-ного променя реєструється за допомогою відеокамери, в якості транспарантів використовуються рідкокрис-талічні дисплеї, а функція кореляція записується за

допомогою іншої відеокамери. Перевагою такого ме-тоду є можливість дослідження випадкових процесів, які відбуваються в атмосфері в режимі реального часу.

P2

M2

S

M1

Ls P1

f O′

L′ L

Рис. 5.13. Автоколімаційна схема

для знаходження кореляції.

Некогерентні системи оптичної обробки інформації, які базуються на законах геометричної оптики, мають один загальний недолік: через некогерентність світла вхідні і ви-хідні дані не можуть мати від’ємних значень, оскільки сигнали передаються за допомогою інтенсивності.

Окрім того, всі некогерентні системи повинні бути сконструйовані так, щоб дифракційні ефекти в таких системах були незначними. Це легко досягти в оптич-них системах зображених на рис. 5.10 та рис. 5.11, але в оптичній системі для знаходження згортки та

280

автокореляції (рис. 5.12) буде впливати дифракція на оправі лінз. Для зменшення впливу дифракції необ-хідно вибирати розміри транспарантів меншими за розміри лінз. Дифракція також буде впливати на ін-формаційну ємність транспарантів. Для запису більшої кількості інформації необхідно зменшувати розміри зображення на транспаранті. Зменшення розмірів зображення призведе до збільшення просто-рових частот, і відповідно, кути дифракції хвиль після першого транспаранту зростуть. Якщо кут по-ширення стане достатньо великий, то ці промені не потраплять на другу лінзу, і вирази (5.35) та (5.37) не будуть точно описувати розподіл інтенсивності на ви-ході оптичної системи. Тому, під час використання некогерентних оптичних систем обробки інформації, створених на основі геометричної оптики, необхідно бути впевненим, що така система працює в умовах повного виконання законів геометричної оптики.

32. Когерентна радіолокація із синтезованою

апертурою Одним із цікавих застосувань методів оптичної об-

робки інформації є побудова карт земної поверхні із високою роздільною здатністю за допомогою радіоло-кації бічного огляду. В класичній радіолокації існує просте співвідношення: чим більший розмір антени і чим менша довжина хвилі, тим вища кутова розділь-на здатність радіолокатора:

Dλ

=θΔ (5.38).

Для того, щоб отримати роздільну здатність не гіршу ніж при аерофотозйомці потрібно застосовувати анте-ну дуже великого розміру. Наприклад, якщо частота сигналу радіолокації 9000 МГц, то для отримання роз-дільної здатності порівняльної із оптичною розміри

281

антени повинні бути близько 2000 м. Практично, дуже важко виготовити таку антену, тим більше помістити її на літак. Подолати дифракційне обмеження чіткості радіолокаційних зображень вдалося за допомогою ко-герентної оптичної обробки радіолокаційного сигналу. Розглянемо принцип роботи когерентної радіолокацій-ної станції бічного огляду. Радіолокаційна станція розташована на літаку, який рухається із постійною швидкістю по прямій і постійно випромінює радіо-імпульси із певним інтервалом (рис. 5.14). Нехай ця послідовність імпульсів направлена на землю, радіоло-каційна станція приймає відбиті сигнали від поверхні, яка розташована біля літака – зона огляду. Назвемо координату вздовж напряму польоту, вісь OX - азиму-том, а відстань від літака від об’єкту – дальністю ( на рис. 5.14 б). Завдяки високій стабільності частоти ге-нератора сигнал радіолокатора залишається когерен-тним протягом великого інтервалу часу.

0v

1r

За час когерентності літак пролітає декілька со-тень, а може навіть тисяч метрів. Утворюється своєрідна синтезована антена, яка складається із су-купності „фіктивних” когерентних радіолокаційних диполів – еквівалентних елементам реальної антени. Нехай в зоні огляду є точковий об’єкт - ціль, який розташований в точці із азимутом і дальністю . Хвилі, які відбиті від цілі, матимуть сферичний фронт. Внаслідок високої когерентності опорний сиг-нал у всіх „фіктивних” диполях синтезованої антени має однакову фазу і відповідно має плоский хвильо-вий фронт. Ця плоска хвиля поширюється перпендикулярно до траєкторії польоту. Прийнятий сигнал від цілі, у вигляді сферичної хвилі, комбінують із опорним від генератора у спеціальному електро-нному пристрої, який є чутливий до різниці фаз сигналів - синхронному детекторі. Вимірювання різ-ниці фаз сигналів - це електронний еквівалент

1x 1r

282

r1

азимут

x x

r

x1

а б

Рис. 5.14. а) радіолокація бічного огляду; б) схема траєкторії польоту

(координати – азимут, – дальність цілі). 1x 1r

інтерференції плоскої хвилі, яку створюють диполі синтезованої антени, та сферичної хвилі відбитої від цілі (рис. 5.15). Вихідна напруга синхронного детек-тора – пропорційна до інтенсивності інтерфе-ренційної картини подається на електронно-променеву трубку і фотографується на плівку.

Когерентна довжина, вздовж якої можна накопи-чувати дані про одну точку, залежить від ширини імпульсу. Чим ширший імпульс, тим більше даних можна накопичити про одну ціль. Ширина імпульсу збільшується із зменшенням лінійних розмірів антени. Звідси парадоксальний висновок: чим менша антена, тим краща кутова роздільна здатність.

Розглянемо тепер це більш детально, нехай переда-вач радіолокатора випромінює монохроматичний сигнал із частотою lω та амплітудою : 0S

ti leStS ω−= 00 )( . (5.39) Сигнал, який приходить від цілі до приймача, мо-

же бути записаний у вигляді: )(

1111 ),()( tti lerxtS Δ−ω−γ= , (5.40)

283

r1

r1

x

сферична хвиля від цілі

синтезована антена

Δh – різниця ходу

x1

Рис. 5.15. Взаємодія сферичної хвилі від цілі та синтезованої антени.

де tΔ - час запізнення радіохвилі, яка повертається від цілі, - комплексна константа, яка враховує ко-ефіцієнт відбивання цілі в т та послаблення сигналу в просторі. Час запізнення радіохвилі можна знайти знаючи відстань r від літака до цілі:

1γ

1x

crt 2

=Δ , (5.41)

де с швидкість поширення радіохвилі. Відстань можна виразити через координати цілі дальність , азимут та поточне положення літака x :

r1r

1x

21

21)(

12

12

1 1)(rxxrxxrr −+=−+= (5.42)

якщо дальність значно більша переміщення літака , то вираз (5.42) можна розкласти в ряд: )( 11 xxr −>>

1

21

1 2)(

rxxrr −

+≈ . (5.43)

Якщо літак рухається прямолінійно із постійною швидкістю , то його азимут, координата 0v x , буде пов’язана із часом tvx 0= . Отже, час затримки:

284

1

2101 )(2

crxtv

crt −

+=Δ (5.44)

Підставимо це у вираз для сигналу (5.40) і врахуємо,

що l

lc λ

π=

ω 2 , де lλ - довжина хвилі локатора.

))(24(

11111

210

1),()( r

xtvrtill

lerxtS

−λπ

−λπ

−ω−γ= . (5.45)

Якщо земну поверхню на дальності розглядати як сукупність точкових джерел радіохвиль тоді по-вний сигнал, прийнятий локатором, це сума сигналів від різних цілей:

1r

∑−

λπ

−λπ

−ω−γ=

n

rxtvrti

nn

n

lll

erxtS))(24(

11

20

1),()( . (5.46)

Для того, щоб зареєструвати як амплітуду, так і фазу прийнятого сигналу використовують сигнал від генератора, який виконує роль опорного сигналу. Для цього спочатку додають ці сигнали, а потім подають на квадратичний детектор. Математично це еквіва-лентно виконанню таких операцій:

.)()(

)()()(2

0

tStu

tStStS

s ′=

+=′ (5.47)

В оптиці такими самими виразами описується ін-тенсивність інтерференційної картини двох хвиль. Синхронне детектування еквівалентно зменшенню несучої частоти радіолокатора до якоїсь іншої не-сучої частоти

lω

lω′ . На виході синхронного детектора матимемо електричну напругу яка є пропорційною до дійсної частини сигналу:

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −λπ

−λπ

−ω′γ=n

n

lllnns r

xtvrtrxtu1

20

11)(24cos),()( . (5.48)

285

Рис. 5.16. а) схема запису даних локатора бічного огляду: ЕПТ – електронно-променева трубка, L – лінза, ФП -

фотоплівка; б) фрагмент плівки із записаним сигналом

y

ξ

ФП

y1

а б

U=U0+Us(t)

ЕП L

Отримана напруга використовується для модуля-ції інтенсивності випромінювання електронно-проме-невої трубки локатора. Оскільки функція косинус може мати як додатне так і від’ємне значення, а інтенсив-ність є додатня величина, то для відображення від’ємних значень ) вводять постійне зміщення:

)(tus

(tus

)()( 0 tuutu s+= . (5.49) Отриманий сигнал (5.49) розгортається вертикально

на екрані електронно-променевої трубки локатора протягом певного проміжку часу. Вертикальна розгор-тка відповідає дальності. Перед екраном протягується фотоплівка із постійною швидкістю , на неї запису-ється послідовність розгорток сигналу (рис. 5.16).

fv

Якщо чутливість плівки та інтенсивність свічення екрану підібрані правильно, то сигнал буде записано на фотоплівку у вигляді амплітудного коефіцієнта пропускання:

∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ξ

λπ

−λπ

−ξωγχ+τ=ξτ ξn

nfll

nn xvv

rrrxy 20

1110 )(24cos),(),( ,

(5.50) де - постійне пропускання, яке відповідає напрузі зміщення ,

0τ

0u χ - константа, а відповідають ко-ординатам плівки. Час замінили із співвідношення

y,ξ

286

між координатою ξ та швидкістю протягування плі-

вки і, відповідно, tv f=ξf

lvω′

=ωξ . Вертикальна

координата відповідає дальності до цілі, а горизон-тальна пов’язана з азимутом.

yξ

Для того, щоб зрозуміти, що отримано на плівці по-вернемося до розгляду поодинокої цілі. Під час переміщення променя вверх вздовж осі дальності, радіосигнал відбитий від цілі, з’явиться тільки при певному значенні часової затримки, яка відповідає подвоєній величині дальності. На плівці виникне по-слідовність точок, яка буде складати пунктирну горизонтальну лінію – лінія однакової дальності. Кое-фіцієнт пропускання вздовж цієї лінії буде змінюватися від точки до точки (рис. 5.17). Рис. 5.17. Інтерференційна картина записана на плівку

для 2-х цілей із координатами ( 1x , 1r ) та ( 2x , 2r ), яким відповідають координати ξ та у на плівці.

ξ2 ξ1

y

ξ

y2

y1

Модуляція пропускання плівки ),( 1yξτ виникає вна-слідок інтерференції сферичної хвилі відбитої від цілі із опорною плоскою хвилею, яку випромінює синте-зована антена (рис. 5.15). Коли літак підлітає до цілі, то чергування максимумів та мінімумів інтерферен-ційної картини відбувається спочатку швидко (різниця ходу сильно змінюється від точки до точки), а потім уповільнюються із наближенням літаку до цілі ( різниця ходу змінюється менше із наближенням до

287

цілі рис. 5.15). Коли літак знаходиться на мінімальній відстані від цілі, чергування максимумів та мінімумів буде найбільш повільним. Таким чином, на плівці бу-де записана інтерференційна картина. Чим більша дальність (відстань від літаку до цілі), тим вище на плівці буде розташована інтерференційна картина, і тим більша відстань на плівці між сусідніми макси-мумами, оскільки чим далі ціль, тим кривизна фронту відбитої сферичної хвилі буде менша і, від точки до точки прийому сигналу, різниця ходу буде меншою.

Нанесені на плівку одномірні інтерференційні карти-ни, які містять дані про координати предметів на земній поверхні, необхідно перетворити так, щоб отримати зо-браження земної поверхні. Для відтворення карти земної поверхні застосовують когерентну оптичну сис-тему - плівку засвічують плоскою монохроматичною хвилею, наприклад, лазерним випромінюванням:

tiL

LetU ω−=)( (5.51) де LL c λπ=ω /2 частота, а Lλ - довжина хвилі лазер-ного випромінювання, амплітуду, для спрощення розгляду, приймемо рівною одиниці. Безпосередньо за плівкою просторовий розподіл поля:

ti LeytyU ω−ξτ=ξ ),(),,( (5.52) Якщо у коефіцієнті пропускання ),( yξτ замінити

функцію косинус на суму 2-х експонент, то вираз (5.50) матиме вигляд:

∗τ+τ+τ=ξτ ssy 0),( , (5.53) де

.),(21

),(2

2

0

20

1

20

11

)(2

1

))(2(4

1

∑

∑

−ξ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λπ

−ξω

−ξλπ

−ξωλπ

−

ξ

ξ

σ=

=γχ

=τ

n

xvv

vv

ri

inn

n

xvv

riri

nns

nf

fl

nfll

eerx

eerx

(5.54)

288

Розглянемо лише одну ціль, наприклад із номером і, тоді відповідна компонента : i

sτ

.),(21

2

0

20

1)(2

1

if

flx

vv

vv

ri

ini

is eerx

−ξ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λπ

−ξωξσ=τ (5.55)

Перший експоненціальний множник вносить лінійну фазову затримку в залежності від ξ . Другий множник вносить зміну фази таку, як циліндрична лінза:

,2

0 )( ξ−ξλπ

−=τ cL f

i

c e (5.56) де - фокусна відстань, cf Lλ - довжина хвилі світла. Порівнюючи (5.55) та (5.56) знаходимо, що область на плівці в точці ξ діє на світлову хвилю як циліндрична лінза із фокусною відстанню:

102

1 rvv

f f

L

lc λ

λ= , (5.57)

а центр лінзи розташований на плівці в точці із коор-

динатою if x

vv

0=ξ . Фокусна відстань цієї лінзи прямо

пропорційна до дальності цілі. Таким чином, на стадії відновлення зображення геометричним місцем де бу-дуть фокусуватися зображення об’єктів, які освітлює радіолокатор, буде площина нахилена до оптичної осі.

Поле після плівки можна записати у вигляді трьох до-данків, що відповідає трьом світловим хвилям (рис. 5.18):

( ) tiis

tiis

tii LLL eeetyU ω−∗ω−ω− τ+τ+τ=ξ 0),,( . (5.58) Перший доданок відповідає за послаблення плоскої

хвилі, але не змінює її фазу. Другий доданок змінює як амплітуду, так і фазу – утворюється хвиля із циліндрич-ним фронтом, яка створить дійсне зображення. Оскільки фокусуючі властивості є тільки вздовж осі ξ , то утвориться дійсне зображення у вигляді лінії за плів-

289

кою. Третій доданок є комплексно спряжений до другого і описує розбіжну циліндричну хвилю, яка утворює уяв-не зображення лінії перед плівкою (рис. 5.18).

290

Якщо на поверхні землі, на відстані від літака, є багато об’єктів розсіяння, то кожному із них відпові-дає своя пара ліній фокусування – дійсна і уявна. Відносному розташуванню об’єктів на поверхні землі відповідає відносне розташування центрів лінзоподі-бних структур на плівці і відповідно відносне розташування ліній фокусування. Таким чином, як перед, так і за плівкою утвориться повна картина

азимутального розподілу цілей, які мають однакову дальність . Для відтворення карти земної поверхні необхідно також мати відомості про другу координату – дальність. Дальність цілі записана на плівці вздовж осі OY (рис. 5.16 б), тому, щоб отримати розподіл по дальності, необхідно відобразити зміну пропускання вздовж осі OY в площину фокусування азимутальних сигналів. Це не просто, оскільки точки фокусування азимутальних сигналів залежать від дальності, тобто від координати на плівці (формула (5.57)), і лежать на похилій площині (рис. 5.19) – площина азимуталь-

1r

1r

y

уявне зображення

S

L ФП дійсне

зображення

Рис. 5.18. Дифракція світла на фотоплівці.

r2

r1

y2

y1

Рис. 5.19. Відображення азимутальних сигналів

на похилу площину

них сигналів і площина сигналів дальності не співпа-дають. Для того, щоб „вирівняти” азимутальну площину і сумістити її із площиною дальності, необ-хідно ввести в когерентну оптичну систему лінзу в якої фокусна відстань залежить лінійно від координа-ти у. Цим вимогам задовольняє конічна лінза із коефіцієнтом пропускання:

2ξλπ

−=τ kL f

i

k e (5.59) по азимутальній осі вона є циліндричною, а її фокусна відстань повинна лінійно залежати від дальності цілі : 1r

102

1 rvv

f f

L

lk λ

λ= . (5.60)

Ця лінза прикладається впритул до площини плів-ки. Вона перетворює циліндричний хвильовий фронт хвилі після плівки в плоский, таким чином „перено-сить” уявне зображення похилої площини азиму-тального розподілу в нескінченність.

Тепер, інформація про азимути цілей – це напрямки на розташовані в нескінченності уявні лінійні джерела світла. Для того, щоб лінії перетворити в точки, які відповідають об’єктам на земній поверхні, необхідно використати циліндричну лінзу. Якщо плівку розташу-

291

вати в фокальній площині циліндричної лінзи, то отримаємо зображення в нескінченності. Таким чином досягається суміщення площин азимуту та дальності – вони знаходяться в нескінченності. Перетворити уявне зображення, розташоване в нескінченності, в дійсне можна, додавши до оптичної системи сферичну збир-ну лінзу. Ця лінза створює дійсне зображення цілей в фокальній площині. Оптична система, яка відтворює зображення земної поверхні за даними радіолокації бічного огляду зображена на рис. 5.20.

Ефективність оптичного методу обробки даних ра-діолокації бічного огляду пояснюється надзвичайною легкістю, із якою когерентна оптична система вико-нує складні і заплутані лінійні перетворення необхідні для відтворення зображення. Така простота обумов-лена однаковим характером законів, які описують поширення радіохвиль відбитих від земної поверхні

292

L

Lc

f

Lk

P

f

f

ФП

Рис. 5.20. Когерентний оптичний пристрій для від-

новлення зображення земної поверхні в радіолокації бічного огляду, ФП – фотоплівка із записаними інтер-ферограмами, – конічна лінза, – циліндрична лінза, L – сферична лінза, Р – вихідна площина.

kL cL

293

та поширення світлових хвиль в когерентній оптичній системі відтворення зображення.

Контрольні питання

1. Намалюйте оптичну схему і поясніть принцип дії

оптичного спектроаналізатора. 2. Намалюйте оптичну схему та поясніть принцип дії

аналізатора спектра сигналів надвисокої частоти. 3. Намалюйте оптичну схему досліду Аббе-Портера та

поясніть, як залежить зображення від типу та розміру діафрагми.

4. Як можна покращити контраст зображення? 5. Намалюйте оптичну схему для отримання згортки

двох функцій. Поясніть принцип дії. 6. Намалюйте оптичну схему та поясніть принцип

узгодженої фільтрації. Які переваги цього методу? 7. Намалюйте оптичну схему для синтезу фільтра

Вандер Люгта. Яким чином на фотопластинку за-писується інформація про розподіл фази електромагнітної хвилі?

8. Чому для отримання більшої роздільної здатності в радіолокації бічного огляду необхідно застосовува-ти якомога меншу антену?

9. Чому радіолокацію бічного огляду називають ра-діолокацією із синтезованою апертурою?

10. Поясніть вигляд інтерференційної картини, яка записується на фотоплівку під час реєстрації да-них в радіолокаторі бічного огляду.

11. Намалюйте оптичну схему та поясніть принцип відновлення зображення земної поверхні згідно даних радіолокації бічного огляду.

Задачі

1. На вхід когерентної оптичної системи обробки ін-формації, зображену на рис. 5.5 (розділ 31.2), подали сигнал у вигляді транспаранту із амплітуд-ним пропусканням ),( yxτ . Інтенсивність вихідного сигналу реєструється на лінійній фотопластинці. Доведіть, що розподіл електромагнітного поля на виході оптичної системи буде пропорційний до фу-нкції автокореляції, якщо записану фотопластинку розташувати у площині P2.

2. Транспарант містить сигнал із адитивною складо-вою білого гауссівського шуму. Запропонуйте схему для оптичної фільтрації сигналу:

⎩⎨⎧ ≤+≤=0

0),(),(222 ayxyxAyxf ,

знайдіть простий амплітудний фільтр, який знач-но збільшить співвідношення сигнал/шум.

3. Показати, що розташування вхідного сигналу відно-сно узгодженого фільтра впливає тільки на розта-шування положення максимуму вихідного сигналу.

294

VI. ДОДАТКИ 1. Базиси у просторі комплексних функцій Якщо сукупність m комплексних функцій )(xmϕ ,

заданих на множині дійсних чисел x на проміжку { ba , }, задовольняє умовам

⎩⎨⎧

′=

′≠=ϕϕ∫ , якщо 1,

, якщо 0, '

*

mmmm

dxb

amm (Д1.1)

то такі функції називаються ортогональними, а умова (Д1.1) - умовою взаємної ортогональності функцій.

Функції називаються базисом або базисними функціями, причому простір {

)(xmϕba , } , як правило, не-

скінченний в обох напрямках числової осі. Набір функцій можна використати як базис для представлення довільної функції , яка існує у цьому ж просторі

)(xmϕ)(xf

x . Її можна однозначно представи-ти лінійною комбінацією функцій )(xmϕ . Під простором x можна розуміти час t або Декартів про-стір ( ). Наприклад, положення точки у просторі однозначно задається розкладом радіус-вектора точ-ки в одиничних векторах декартових осей (ортах), проте в чотиривимірному просторі даного базису уже недостатньо.

zyx ,,

zyx ,,

Розклад у базисі функціонального простору значно спрощує аналіз функції ) , звівши його до аналізу поведінки функцій базису, які, будучи взятими з пев-ними ваговими коефіцієнтами, і формують функцію

. Функція ) , яка розкладається в ряд (або ін-теграл) Фур’є, взагалі кажучи, може бути розкладена і за іншим набором базисних функці )(x

(xf

)(xf (xf

й n ψ , що задо-вольняють умову ортогональності (Д1.1). Якщо існує

295

дві системи ортонормованих ф цiй mунк ϕ i nψ (два базиси , то ун ції )(f може бут ви-конане за будь-якою із них, причому, між коефіцієнтами Am, Bn цих розклад

) розкладання ф к

ів мо віднайти зв’язок, використавши рівняння

x и

жна

)()()( xBxAxf nn

nmm

m ψ=ϕ= ∑∑ . (Д1.2)

Помножимо нно рiвнiсть (Д1.2) на комплекс-но спряжену (*

jψпочле

) i проінтегруємо на проміжку існування базису:

BdxBdxA =ψψ=ψϕ ∑∫∑∞

∞

∞** . (Д1.3)

прi ном

риці коефіцієнтів пе-ре

. Перетворення Гільберта

Інтегральна операція

x

jnn

nmm jj∫−∞−

Отже, и відомих коефіцієнтах розкладу Аm функц ї )(xf у од у із базисів (базисі 1) коефіцієн-ти її розкладу jB в іншому базисі (базисі 2) визначаються за допомогою мат

m

ходу від базису 1 до базису 2. 2

)( )(1 ∫

∞−−τπ t1

∞

ττ=++ dUitU (Д2.1)

на тьсязиває перетворенням Гільберта. При τ=t підінтегральний вираз прямує в нескін-

ченність, тому інтеграл слід розуміти як межу:

][ )()(lim)( 1101 ττπ ∫∫ε+

−∞−

−→ε ttt

)()( 11 τττ+τττ=++∞ε−

dUUdUUitUt

.

Зазначимо, що справедливе і обернене перетворення:

)( )(1

1 τττ

π= ∫∞

∞−−

++dt

UitU . (Д2.2)

296

Уявна частина називається спряженим си-гналом. Таким чином, аналітичний сигнал, який відповідає заданому дійсному, одержується простим додаванням спряженого сигналу (Д2.1) до дійсного, тобто, його можна отримувати не лише за правилом (1.118), але і використовуючи спряжений сигнал (Д2.1). Як уже зазначалось, його зміст наочно демонструється на прикладі га-рмонічних коливань.

)(1 tU ++

297

Приклад. Нехай є дійсне ко-ливання t AtU cos)(1 ω= . На рис. Д2.1. значення від-кладаємо вздовж осі Re. Знаходимо спряжений сиг-нал, виконуючи перетворення Гільберта:

Re

Im

tω

++1U

1U

A

Рис. Д2.1. )t(1U

. sin sin sin cos cos

)(cos cos)(

1

tiAdxxxtiAdxx

xtiA

dxxxtiAdt

AitU

ω=ωωπ+ωωπ=

=−ωπ=ττ

ωτπ=++

∫∫

∫∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−−

(Д2.3)

Тут використана заміна xt =τ− , а також значення інтегралів Si і Ci . Величину tA sinω відкладаємо вздовж осі . Таким чином, аналітичний сигнал є вектор , який обертається проти годинникової стрі-лки із кутовою швидкістю

ImA

ω tieAUUtU

11 )( ω=+++= . (Д2.4) що можна визначити також із рис. Д2.1.

Нехай tAtU sin)(1 ω= , знайдемо спряжений сигнал

. Для цього скористаємося отриманим результа-том (Д2.3). Дійсному сигналу

)(1 tU ++

=ω= tAtU sin)(

) cos( 2 tA ω−π= у відповідності із (Д2.3) повинен відпо-

відати спряжений сигнал

tiAtiAtU ω=π−ω−=++ cos ) sin( )( 21 . (Д2.5) Аналітичний сигнал при цьому має вигляд:

tii eeAUUtU /2 11 )( ω−π=+++= , (Д2.6)

йому відповідає вектор , що обертається в комплек-сній площині за годинниковою стрілкою із швидкістю

, і відстає по фазі на

A

ω 2π відносно значення кута t ω . При конструюванні аналітичного сигналу в цьому

випадку відбулось занулення області від'ємних частот із всього спектру дійсного сигналу.

В обох розглянутих випадках спряжений сигнал дорівнює по модулю дійсному сигналу і відстає по фазі на 90o. Цей результат може бути отриманий без-посередньо застосуванням перетворень Гільберта до функції tAtU sin)(1 ω= .

Одержаний аналітичний сигнал репрезентується, як і раніше, вектором довжини || , що обертається в комплексній площині з частотою

Aω . Тому є про-

екція вектора на дійсну вісь, а ) є проекцією того ж вектора на уявну вісь. Проекції мають рівні амплітуди, обертаються з однаковою швидкістю

)(1 tU

A (1 tU ++

ω і з відносною різницею фаз 2π .

Визначимо спектральну функцію спряженого і комплексного коливань. Хоч відповідь нам по суті уже відома, її корисно отримати, використавши пе-ретворення Гільберта.

За визначенням фур'є-образу

∫∫∫∞

∞−−

∞

∞−

−∞

∞−

− τττ

π=++=ω++ dtUdtidttUG tiωtiω )(

111 e e )()( . (Д2.7)

Введемо нову змінну vv ddtt =⇒τ−= і змінимо по-рядок інтегрування:

298

v.v

v sinv cos )(

v v )(

v 1

)(v 1

1

diedeUi

dUedeiG

iωiω

iωiω

ω−ωττπ=

=ττπ=ω++

∫∫

∫∫∞

∞−

−∞

∞−

τ−

−∞

∞−

τ−∞

∞− (Д2.8)

На рис. Д2.2. показано хід функцій vv cos ω і vv sinω . Враховуючи асиметрію першої функції, за-

значимо, що інтеграл від неї в симетричних межах дорівнює нулю, інтеграл від другої дорівнює π− i та

π+ i для випадків 0>ω і 0 <ω відповідно. Оскільки

перший інтеграл є фур'є-образ , то

v

v )cos(

v

vv )sin(

vv

Рис. Д2.2. Хід функцій v

v )cos( та v

v )sin( .

)(ˆ1 τUF

⎩⎨⎧

<ω>ω

ω−ω+

=ω++.0 ;0

),(),(

)(1

1

GG

G (Д2.9)

Для спектру комплексного сигналу маємо у кін-цевому підсумку

⎩⎨⎧

<ω>ωω

=+++=ω.0 ;0

,0),(2

)( 111

GGGG (Д2.10)

Останнє співвідношення цікаве тим, що дозволяє одержати комплексний сигнал, застосовуючи ПФ, якщо відомий спектр дійсного сигналу.

299

3. Фазоконтрастний мікроскоп Роботу ФКМ, використовуючи метод зон Френеля,

можна пояснити наступним чином. Нехай світло па-ралельним пучком S падає на однорідне середовище із обмеженою апертурою A, на якому є мала, майже точкова флуктуація показника заломлення, показана на пластинці у вигляді малої області B. Плоска хвиля S, дійшовши до області B, частково дифрагує у ви-гляді сферичної хвилі C. Таким чином, у деяку віддалену точку D, розташовану на осі, дійдуть дві хвилі: сферична хвиля C′, яка отримає запізнення по фазі завдяки пробігу відстані BD, та плоска S, яка у точці D створює збудження S′ лише половиною центральної зони Френеля, причому фаза його відстає від фази центральної зони (або, що те ж саме, від фа-зи сферичної хвилі С) на кут 2/π=α (рис. Д3.1). Природньо, зони Френеля ми розташовуємо у площині А. Хоч хвилі C′, S′ когерентні і повинні створювати інтерференційну картину, результуюча інтенсивність

α++= cos2 '''' CSCSD IIIII (Д3.1) дорівнює простій сумі інтенсивностей інтерферуючих хвиль, оскільки 2/π=α . Очевидне співвідношення між інтенсивностями двох хвиль: SC II ′′ << .

Поставимо на оптичній осі лінзу L так, щоб у спряженій з A площині E отримати зображення B′ то-чки B (рис. Д3.2). Освітленість екрана E у довільній точці x утворюється двома когерентними хвилями – C′, що дифрагувала на об’єкті B, та залишками прямої хвилі S′, яка пройшла по всій площі A (крім малої об-ласті B) і не брала участі у дифракції на об’єкті B. Розподіл інтенсивностей цих хвиль умовно зображено на рис. Д3.2. Очевидно, знову отримуємо рівномірно освітлене поле на екрані E, тобто, у будь-якій точці x результуюча інтенсивність складається з суми двох

300

хвиль у цій точці x . Звернувшись до формули (Д3.1), мусимо констатувати: у будь-якій точці екрану E різ- ниця фаз інтерферуючих хвиль строго дорівнює π/2 (хоча сама фаза плоскої хвилі змінюється квадратич-но при віддалені точки x від центра до периферії).

S′

C′

б

S′

S

A

B C

D

а

C′

Рис. Д3.1. Падаюча плоска хвиля S та розсіяна на об’єкті B сферична хвиля C; D – точка на осі, в яку

приходять обидві хвилі (а). Співвідношення між фаза-ми кожної із хвиль у віддаленій точці D (б).

S

A

B C

E

S′ F L

B′

x1

C′

Рис. Д3.2. Утворення зображення в ФКМ.

301

Другий суттєвий момент явища – інтерференція когерентних хвиль відбувається в спільній області пе-рекриття цих хвиль. Цей очевидний факт зводить нанівець існуючі популярні пояснення роботи ФКМ. З тих пояснень виходить, що в ФКМ видима картина являє собою амплітудну модуляцію, яка однозначно пропорційна фазовій, однак це не так.

Очевидно, щоб суттєво змінити розподіл інтенсив-ності на екрані E в області точки B′, зробити її зримою, треба в рівнянні (Д3.1) довести різницю фаз до 0° або 180° - це і досягається встановленням у фо-кальній площині F, де збирається вся хвиля S, тонкої фазової пластинки, яка створює відповідне запізнен-ня хвилі S′ на π/2 або на 3π/2. Додатковий виграш в контрасті буде, якщо приблизно вирівняти інтенсив-ності інтерферуючих полів. Практично для цього потрібно ослабити хвилю S′, тобто, фільтр в площині F мусить бути амплітудно-фазовим.

302

Розглянемо приклад. На пластинці A (рис. Д3.2) мі-ститься тонкий шар рідини – пляма діаметром λ і товщиною λ/10. В полі E мікроскопа при цьому буде видно світле кільце на сірому фоні. Збільшимо діа-метр плями до 10λ (100 λ, 1000 λ) при незмінній товщині λ/10. В полі зору ФКМ будемо бачити на сі-рому тлі світле кільце діаметром 10 λ (100 λ, 1000 λ), причому в середині кільця таке ж сіре тло, як і ззовні його. Це означає, що у ФКМ спостерігається не сама функція ϕ, а її похідна dxd /ϕ . Вказаний ефект з оче-видністю спостерігається на всіх фотографіях, починаючи з перших наукових повідомлень Ф. Церніке (рис. Д3.3). Зображення в ФКМ виглядає більш складно, оскільки має місце невідповідність об-раної моделі (точкова неоднорідність) і реального просторового об’єкту. Проте висновки, отримані в даній моделі, є правильними – сигнал на виході про-порційний похідній від сигналу на вході.

Рис. Д.3. Фотографія зображення в ФКМ [14].

4. Скануючий інтерферометр Фабрі-Перо: інтерференція різночастотних коливань

Інтерферометр Фабрі-Перо (ІФП) використовується

як спектральний прилад високої роздільної здатності з фотографуванням (наприклад, рис. Д4.1) або фото-електричною реєстрацією спектру. Фотоелектрична реєстрація має безсумнівні переваги: окрім чисто технічних зручностей з’являється можливість дослі-дження спектру, який змінюється в часі. Оптичну схему для цього випадку зображено на рис. Д4.2. Сві-тло від досліджуваного джерела Σ за допомогою лінзи Л1 формується у систему паралельних пучків, які,

пройшовши дзеркальну систему ІФП (1, 2) та ка-мерний об’єктив Л2, в площині Д створюють ка-ртину кілець, радіус яких в межах робочого діапа-зону однозначно пов’яза-ний з довжиною хвилі у

303

Рис. Д4.1. Інтерферограма,

отримана в ІФП.

спектрі. Товщина L еталону 3 може змінюватись в межах (1 – 2)λ за допомогою п’єзокерамічного рушія 3. З усієї інтерференційної картини (ІК) в площині Д ре-єструється через досить малий отвір центральна частина її, світло з центрального порядку інтерфере-нції попадає на ФЕП, сигнал якого у найпростішому випадку подається на вертикальний канал осцилог-рафа або через аналого-цифровий перетворювач (АЦП) заноситься в пам’ять комп’ютера.

Рис. Д4.2. Формування зображення у ІФП.

Л 2 Д

ФЕП Σ

Л 1

3

ІФП

2 1 сигнал

Залежність результуючого розподілу спектру ви-промінювання від координат та товщини L еталону 3 після ІФП, як відомо, дається формулою Ейрі. Отри-мати висновки щодо результуючого спектрального розподілу випромінювання після скануючого ІФП мо-жливо, використовуючи два підходи: 1) кожному значенню L відповідає певна довжина хвилі , яка і реєструється детектором ФЕП: непе-рервний рухомий процес замінюється дискретними квазістаціонарними положеннями дзеркал;

λ

2) незначну зміну відстані L виражають через швид-кість руху дзеркала; причому частота випроміню-вання 0ω при відбиванні від рухомого дзеркала змінюється на деяку величину Ω (допплерівське змі-щення частоти). В цьому випадку маємо одну незалежну змінну, отримуємо спектральний розподіл випромінювання в центрі ІК залежно від часу.

304

На рис. Д4.3. показано послідовне відбивання хви-лі у паралельних одне одному дзеркалах М1 та М2, у результаті чого утворюється система джерел плоских хвиль, їхня швидкість і напрям руху позначені для відповідних площин цифрами 1,2,3...7. Хвиля 2, на-приклад, існує як відбиття хвилі 1 в дзеркалі М2, а хвиля 3 – як відбиття хвилі 2 в дзеркалі М1.

Вважаємо, що уявне джерело 1 (первинна хвиля) протягом часу t випромінює в напрямку осі z плоску електромагнітну хвилю , амплітуда якої дорівнює

, частота 1U

0U 0ω , λπ= /2k , λ – довжина хвилі: )(

010 kztieUU −ω= . (Д4.1)

Щоразу після відбивання від рухомого дзеркала та подвійного проходу відстані між дзеркалами харак-теристики відповідної хвилі змінюються, причому врахувати ці зміни можливо двома способами.

Розглянемо традиційний підхід отримання форму-ли Ейрі. Хвиля у положенні 1 (z = 0) має вигляд:

tieUU 0 01ω= . (Д4.2)

У наступних відповідних площинах хвилю можна описати такими виразами (швидкість дзеркала v):

2)(03

10 ρ⋅= −ω kztieUU , )(2221 vtLvtLz −=−= ; 4)(

0520 ρ⋅= −ω kztieUU , )(22442 vtLvtLz −⋅=−= ;

, 6)(07

30 ρ⋅= −ω kztieUU )(23663 vtLvtLz −⋅=−= ; …

nkztin

neUU 2)(012

0 ρ⋅= −ω+ , )(2 vtLnzn −⋅= ; (Д4.3)

Вираз для сумарної хвилі, що рухається зліва направо у порожнині між дзеркалами,

nvtLnik

n

tin

nsum eeUUU 2)(2

0012

0

0 ρ⋅== −⋅⋅−∞

=

ω+

∞

=∑∑ , (Д4.4)

305

M1 M2

2 4 6 7 5 3

v

2v 4v 6v

L

1

I II III IV

V

z

z = 0

Рис. Д4.3. Врахування ефекту Допплера у скануючо-му інтерферометрі Фабрі-Перо. М1 і М2 – нерухоме та рухоме дзеркало відповідно, v – швидкість руху дзер-кала, L – відстань між дзеркалами, цифрами 2, 3…7

показано послідовні положення хвиль U2, U3… ; фігурними дужками (I - V) показано послідовність

утворення уявних хвиль (2,3…7).

є геометричною прогресією, знаменник якої . Тому 2)(2 ρ⋅= −⋅− vtLikeq

)(220 11 0

vtLikti

sum eeUU

−⋅−ω

⋅ρ−= , (Д4.5)

а результуюча інтенсивність хвилі

. ))((sin41

1 ))( 2222

20

*

vtLkUUUI sumsum

−⋅ρ+ρ−== (Д4.6)

Це відома формула Ейрі. Максимальна інтен-сивність спостерігається при виконанні умови ( ,...2,1,0=m )

k⋅(L – vt) = mπ, (Д4.7) тобто, маємо однозначний зв’язок між довжиною хвилі і появою відповідного їй максимуму інтенсив-ності у певний момент часу.

306

Тепер знайдемо вираз для спектрального розподілу сумарної інтенсивності хвиль, про які відомо, що ко-жна наступна відрізняється від попередньої на однаковий частотний інтервал (допплерівське змі-щення частоти). Хвиля у положенні 1 задана формулою Д4.2, у наступних послідовних положеннях 3, 5, 7… хвилі описуються виразами:

Ω

)2)((20

)(13

0 Lktikzti eUeUU −Ω+ω−Ω ρ=ρ= , )22)2((4

050 LktieUU ⋅ρ= −Ω+ω , …

)22)((2012

0 Lnktninn eUU ⋅ρ= −Ω+ω+ . (Д4.8)

Комплексні амплітуди хвиль (Д4.8) утворюють геометричну прогресію, знаменник якої

ϕρ= 2 ieq , kLt 2−Ω=ϕ , (Д4.9) тому їхня сума визначається за формулою:

ϕω

=+

ρ−== ∑

11 20

112

0i

ti

nn e

eUUS , (Д4.10)

а інтенсивність ) центральної моди інтерферометра – за формулою

(tI

)2/(sin4 )1(1*)( 2222

20

ϕρ+ρ−=⋅= USStI . ( Д4.11)

Вона також змінюється у часі, оскільки величина ϕ є функцією часу. Максимум інтенсивності з’являється при виконанні умови

π=−Ω mkLt 22 . ( Д4.12) Оскільки формули (Д4.7) і (Д4.12) описують одне і те ж явище, прирівнюючи почленно їхні ліві і праві частини, отримуємо вираз для допплерівського зміщення частоти

λπ=Ω /2 vD , (Д4.13) де v - швидкість руху дзеркала. Поява світла із дов-жиною хвилі 1λ однозначно відбудеться у момент часу , а із 1t 2λ - відповідно у момент . 2t

307

У реальних конструкціях скануючого ІФП еталон 3 (рис. Д4.2) виготовлений із п’єзоелектричного мате-ріалу, затискається між дзеркалами 1 та 2, на нього

308

подається пилкоподібна напруга розгортки осцилог-рафа, завдяки чому товщина L періодично змінюється лінійно у часі з амплітудою 1 – 2 мкм. Цього досить для огляду спектру в області m-го по-рядку робочого інтервалу ІФП. Спектр можна спостерігати візуально в реальному часі, якщо сигнал ФЕП подати на вертикальні пластини того ж осцилог-рафа. На рис. Д4.4 наведено приклад дослідження за допомогою скануючого ІФП частот мод гелій-неонового лазера одночасно в двох ортогональних по-ляризаціях П1 та П2. Реєстрування інтенсивності мод

а) 4

1

2

4′ П1

53

5′

6

ν

ν

Час, с

П2

П1

Рис. Д4.4. Генерація двомодового гелій-неонового

лазера. ν – частота прозорості ІФП, вздовж вертикаль-ної осі – сигнал ФЕП. Парними та непарними цифрами

позначено моди, які генеруються у відповідних ортогональних поляризаціях П1 та П2.

309

проводилось за допомогою двох ФЕП окремо у кожній з поляризацій. Положення мод у межах контуру під-силення лазера змінюється внаслідок теплового видовження резонатора. Показано результат скану-вань тривалістю 1 сек, повторюваних протягом 800 сек. , ν – частота прозорості ІФП, вздовж вертикальної осі – сигнал ФЕП. П1 та П2 – площини поляризації взаємно ортогональних мод. Цифрами позначено но-мер моди, яка генерується.

Подібний контроль за частотою лазера протягом тривалого часу може давати досить корисну інформа-цію. Наприклад, видно, як мода 2, пройшовши контуром підсилення, зникає на його низькочастотному краю, натомість на високочастотному краю виникає мода 4, проте, не дійшовши до низькочастотного краю, зникає у центрі контуру підсилення; одночасно вини-кає мода 4′ у іншій поляризації. У той же момент мода 5 також змінює площину поляризації на ортогональну. Повна вихідна енергія лазера при цьому майже не змі-нюється, видно, як вона перерозподіляється між модами. Отже, за досить складною динамікою генерації лазера можна прослідкувати, лише досліджуючи пове-дінку спектра, який, виявляється, не такий вже й стабільний. Наприклад, через видовження резонатора спектр генерації реагує на невелику зміну температури в приміщенні. У такому випадку утримувати частоту лазера в заданих межах дозволяє використання від’ємного зворотного зв’язку (рис. Д4.5).

Таким чином, на основі використання відомого явища – різночастотної інтерференції – ми отримали відому формулу Ейрі, що дозволяє поглянути під но-вим кутом зору на процеси, які відбуваються у ІФП. Наведені ілюстрації використання ІФП для дослі-дження випромінювання двомодового гелій-неонового лазера показують динаміку поведінки мод у резонаторі і можливості її візуалізації.

ν

Час, с

Рис. Д4.5. Запис протягом 130 с випромінювання лазера, стабілізованого за частотою. ν – частота випромінювання; вздовж вертикальної осі

– інтенсивність випромінювання (в.о.). У позиціях 0 - 10, 50 - 130 система стабілізації працює, 10 - 25 – система стабілізації вимкнена, 25 - 50 – процес захоплення частоти при вмиканні зворотного зв’язку.

310

5. Деякі математичні співвідношення1

Тригонометричні рівності:

22 co cos2coscos BABA sBA −+=+ ,

22 sin sin2coscos BABABA −+=− ,

)sin (sincossin 2221 BABABA −+ +=⋅ .

Формули Ейлера , ϕ+ϕ=ϕ sin cos ie i

α−α +=α ii eecos2 ,

iee ii

2sin

α−α −=α .

Ряд Тейлора

),())(()!1(

1

...))((!3

1))((!2

1))(()()(

)1()1(

32

xRaxafn

axafaxafaxafafxf

nnn +−

−+

+−′′′+−′′+−′+=

−−

де ) - дійсна функція, що в інтервалі (xf bxa ≤≤ має

-n ту похідну . )(|| xf n

Розклад деяких функцій у ряд Тейлора

!

...!3!2!1

132

nxxxxe

nx +++++= ,

!...

!2!3!2)1ln(

232

nxxxxxx

n++−+−=+ ,

1 ...,11 128

4

16

3

8

2

2 <<α±α−α±α−α±=α± .

311 1 Наведені формули використовуються у даному посібнику

Параксіальне наближення

zyx

zyx

zyx zzzzyxr 22

222 22

2

22

2

22)1(1 +++ +=+≈+=++= .

Комплексне представлення числа

abiebaiba =ϕ+=+ ϕ tg ; 22 ,

ϕ−

+=ϕ−

++=

+−=

+ 1 1

2222

22

22ie

baie

baba

baiba

iba ;

Виділення повного квадрата cxacbxax a

bab +−+≡++ 4

22

2 2)(

Інтеграл [22, C.116] ][ 2

1aa

xedxex axax −=∫ .

Інтеграл Пуассона [22, C.200]

π=−

−∫∞

∞

dxe x2 .

Інтеграл у комплексній області вздовж контуру С, згі-дно теореми про лишки, дорівнює:

∫ ∑π=ξξC

kzzfЛишкidf |),(|2)( ,

)(zf – однозначна аналітична функція в області, об-меженій контуром C, за винятком особливих точок

. Зокрема, якщо особлива точка kz kzz ≈ є простим

полюсом, а функція )()()(

zzzf

ψϕ

= , де )( kzϕ та )( kzψ -

аналітичні в точці функції, причому kz 0)( ≠ϕ kz ,

, то 0)( ≠ψ′ kz)(')( |),(|

k

kk z

zzzfЛишкψϕ

= .

312

313

6. Точний і наближені вирази для амплітуди поля Таблиця Д.1.

Точний вираз

, )0,,(41

)()()0,,(

21

),,(

)(2

222

)()(

222

222

yxyxikiz

yx

zyxik

ddeeG

ddzyx

eUdzd

zyxU

yxyx ωωωωπ

=

=ηξ+η−+ξ−

ηξπ

−=

=

ω+ωω−ω−∞

∞−

∞

∞−

+η−+ξ−∞

∞−

∞

∞−

∫∫

∫∫

Де ; dxdyeyxUG yxiyx

yx )( )0,,()0,,( ω+ω−∞

∞−

∞

∞−∫∫=ωω ∞<≤ z0 .

Наближення Френеля

, )0,,(4

)0,,(2 ),,(

)()(2

2

2)()(

22

22

yxyxik

iz

yx

ikz

zyxikikz

ddeeGe

ddeUiz

ekzyxU

yxyxωωωω

π=

=ηξηξπ

=

ω+ωω+ω−∞

∞−

∞

∞−

η−+ξ−∞

∞−

∞

∞−

∫∫

∫∫

,)(34

λρ+

≥Rz 22 baR += ; 22 yx +=ρ ;

34min λ≤ lz ; maxmin 2 Ωπ≈l ; 22

yx ω+ω=Ω ; Наближення Фраунгофера

0,,2 ),,( )(

zky

zkxG

izekzyxU

ikz

π= ; zλ≤ρ 5,0 ,

)( 0,,2 ),,( 2

22

zky

zkxGe

izekzyxU z

yxikikz +

π= ;

λ≥

25 Rz .

Наближення геометричної тіні )0,,(),,( yxUezyxU ikz= ; λ≤ /2,0 2

minlzR - параметр, який характеризує розмір джерела випромінювання;

Ωmax - максимальна просторова частота спектра;

minl - мінімільна неоднорідність поля в площині z = 0. [7, С.98]

СПИСОК

ВИКОРИСТАНИХ ПОЗНАЧЕНЬ ТА СКОРОЧЕНЬ a0 радіус гауссового пучка в місці перетяжки )(vC i )(vS інтеграли Френеля F фокусна відстань лінзи F̂ оператор перетворення Фур’є

),,( zyxh імпульсна характеристика шару про-стору товщиною z

)(ωG спектр або образ функції )(tf

21 ||G потужність спектру випромінювання

I (ω) розподіл енергії в спектрі I , )(xI інтенсивність світла )(xJn функцій Бесселя I-го роду )(ωJ розподіл енергії на виході спектрографа )(ωK коефіцієнт передачі спектру

),,( zK yx ωω коефіцієнт передачі спектру прос-торових частот

k хвильовий вектор zyx kkk , , складові хвильового вектора )(xL оператор дії довільної лінійної системи когl довжина когерентності Q(ω) апаратна функція приладу

),,( zyxQ кутовий спектр поля; спектр просторових частот

r радіус-вектор ΦS площа чутливої поверхні фотодетектора )(τS , 21 ff ⊗ згортка двох функцій ),( tU r електричне поле в точці простору r

V

контраст (видність) інтерференційної картини

2/200 kaz = радіус дифракційної розбіжності ГП

314

γβα , , кути між напрямком поширення хвилі (вектора k) і площинами

xyxzyz ,, відповідно

α2 повна ширина спектральної лінії випромінювання на половині висоти

)(tδ дельта-функція Дірака )(Γ11 τ функція автокореляції випромінювання

),,(Γ 2112 τrr

функція взаємної когерентності (фу-нкція взаємної кореляції, функція крос-кореляції) або взаємна енергія сигналів і ),( 111 trU ),( 222 trU

λ довжина хвилі ),(12 yxR комплексний коефіцієнт відбивання

)(12 τγ нормована функція автокореляції випромінювання

)(tγ узагальнена гама-функція )(tθ функція Хевісайда (функція включення)

yx kk , ;

yx νν , ;

;2 xx πν=ω

yy πν=ω 2

просторові частоти

ω кругова (циклічна) частота хвилі АФ апаратна функція АЦП аналого-цифровий перетворювач АЧТ абсолютно чорне тіло ГП гауссів пучок ІК інтерференційна картина ІФП інтерферометр Фабрі-Перо ІХ імпульсна характеристика ІЧ інфрачервона (область) (к.с.) комплексно-спряжене

ЛДВШ лазерний допплерівський вимірювач швидкості

315

316

НВЧ надвисокочастотний ОСОІ оптичні системи обробки інформації ОТ оптичний транспарант ПЗЗ прилад із зарядним зв'язком ПФ перетворення Фур’є ПФр перетворення Френеля УКХ ультракороткий діапазон радіохвиль УФ ультрафіолетова (область) ФКМ фазоконтрастний мікроскоп ФС фур’є-спектрометр

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике.– М.:Мир.–1971.–495 с.

2. Гудмен Дж. Введение в Фурье–оптику.–М.:Мир.–1970.–364 с.

3. Гудмен Дж. Статистическая оптика.–М.:Мир.–1988.–528 с.

4. Сороко П. М. Основы голографии и когерентной оптики.– М.: Наука.–1971.–616 с.

5. Юу Ф.Т.С. Введение в теорию дифракции, об-работку информации и голографию/Под ред. Соколова В.К.– М.: Сов. радио.–1979.–304 с.

6. Применение методов фурье–оптики/Под ред. Старка Г.– М.: Радио и связь.–1988.–535 с.

7. Литвиненко О.Н. Основы радиооптики.–К.:Техніка.–1974.–206 с.

8. Баскаков. С.И. Радиотехнические цепи и сигна-лы.–М.:Высшая школа, 1983.–535 с.

9. Строук Дж. Введение в когерентную оптику и го-лографию.–М.:Мир, 1967.–346 с.

317

10. Мерц Л. Интегральные преобразования в оптике.– М.:Мир.–1969.–181 с.

11. Макарець М.В., Разумова М.А. Аналіз Фур’є: Методичні ре-комендації.–2001.-К.:ВПЦ "Київський університет".-43 с.

12. Сороко Л.М. Гильберт-оптика.–М.:Наука.–1981.–160 с. 13. Сивухин Д.В., Оптика, М.: Наука.-1980.-752 с. 14. Франсон М. Фазово-контрастный и интерференци-

онный микроскопы.- М.: ФИЗМАТЛИТ.-1960.–180 с. 15. Wolf E. Introduction to the Theory of Coherence and Polari-

zation of Light.–2007.– Cambridge University Press.–222 p. 16. Mandel L., Wolf E. Optical coherence and quantum

optics.–2004.–Cambridge University Press.–1160 p. 17. шляй В.П. Квантовая оптика в фазовом пространстве/

w.p.Schleich Quantum Optics in Phase Spase. Пер. с англ./ под ред. В.П.Яковлева.–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.–760 С.

18. Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика/ Scally M.O., Zubairy Quantum Optics./.– Пер. с англ. /под ред. В.В.Самарцева.–М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.–512 с.

19. Агеев Л.А., Милославский В.К., Эльашхаб Х.И., Бло-ха В.Б. Учебные эксперименты и демонстрации по оптике.–Харків: ХНУ, 2000.–262 с.

20. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях//М.:Мир,1983.–т.2.

21. Бейтс Р., Мак-Доннел М. Восстановление и рекон-струкция изображений.–М.:Мир.–1989.–336с.

22. Бутиков Е.И. Оптика.-1986.-М.:Высшая школа.-507с. 23. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов.-1964.-М.: Наука.-228 с.