Wykład 3

Charakterystyki opisowe rozkładu

jednej cechy

Klasyfikacja miar statystycznych

• ze względu na informacje, jakie przynoszą one o rozkładzie cechy w zbiorowości:

Miary poziomu Miary dyspersji Miary asymetrii

Klasyfikacja miar statystycznych

• ze względu zakres danych niezbędnych do wyliczenia tych miar:

• ● miary klasycznedla wyliczenia tych miar wykorzystuje się wartości cechy zaobserwowane u wszystkich badanych jednostek

● miary pozycyjnedla wyliczenia tych miar wykorzystuje się wartości cechy tylko niektórych jednostek, wybranych ze względu na pozycję, jaka zajmują one w uporządkowanym ciągu zaobserwowanych jednostek cechy

Klasyfikacja miar statystycznych

• dodatkowo, miary statystyczne mogą być miarami:

• ● absolutnymimianowanymi, a więc wyrażonymi w mianie badanej cechy – lata, metry, sztuki, kilogramy, godziny itp..

● względnymi (stosunkowymi)niemianowanymi, wyrażonymi w ułamku lub w procencie – uzyskanymi poprzez podzielenie przez siebie odpowiednich miar absolutnych

Miary jednej cechy

Miary poziomu

• Miary poziomu rozkładu liczebności zwane są wartościami przeciętnymi(lub średnimi)

• najbardziej rozpowszechnione w praktyce• zacierają różnice indywidualne badanych jednostek• o wartości liczbowej tej miary decydują wartości

liczbowe cechy posiadane przez wszystkie jednostki populacji

• za pomocą jednej liczby podają centralną tendencję (poziom wartości zmiennej)

Miary przeciętne

Miary klasyczne Miary pozycyjne

MedianaDominanta (moda)

Kwantyle

Średnia arytmetycznaŚrednia geometryczna

Miary przeciętne

klasyczne

Średnia arytmetycznaŚrednia geometryczna

są wypadkowymi wartościami wszystkich odmian cechy

wszystkich badanychjednostek zbiorowości

Miary przeciętne

pozycyjne

MedianaDominanta (moda)

Kwantyle

wskazują na określoną pozycję

jednostek

Miary przeciętne

pozycyjne

Mediana

wskazują na określoną pozycję

jednostek

pozycja środkowa

Dominanta (moda) pozycja najczęstsza (typowa)

Kwantyle uporządkowaną populację dzielą na części

• Podstawową i najbardziej znaną miarą położenia i jednocześnie miarą tendencji centralnej jest średnia

• Jest to średnia arytmetyczna wartości cechy

• Aby wyznaczyć poziom średniej badana cecha musi być mierzalną

Jak otrzymać wartość średniej arytmetycznej dla danych indywidualnych?

• dysponując n wartościami cechy:

• w pierwszej kolejności obliczamy sumę tych wartości:

• a następnie dzielimy przez liczbę obserwacji n:

nxxxx ,.....,,, 321

nxxxx .....321

xn

x

n

xxxxśrednia n

...321

• Średnia arytmetyczna jest pewną abstrakcyjną wielkością, wypadkową wszystkich zaobserwowanych wartości cechy, powstałą wskutek operacji matematycznej

• Obliczona wartość średnia z reguły przyjmuje wartość w zbiorowości nie występującą

• Średnia arytmetyczna zaciera różnice indywidualne

• Zmiana jakiejkolwiek wartości w zbiorze danych pociąga za sobą zmianę wartości średniej

Jak otrzymać wartość średniej arytmetycznej dla danych pogrupowanych?

• w tym przypadku można uzyskać jedynie pewne przybliżenie, przyjmując, że każda jednostka ni należąca do danej klasy ma wartość cechy równą wartościom środka przedziału klasowego:

k

ii

k

iii

k

kk

n

nx

nnnnn

nxnxnxnxnxx

1

1

4321

44332211

....

....

Właściwości średniej arytmetycznej

Właściwości średniej arytmetycznej

• Wartość liczbowa średniej arytmetycznej ma takie samo miano jak badana cecha

Właściwości średniej arytmetycznej

• Średnia arytmetyczna zawiera się między krańcowymi wartościami cechy:

maxmin xxx

Właściwości średniej arytmetycznej

• Średnia arytmetyczna obliczona z wartości sum xi + yi jest równa sumie średnich arytmetycznych obliczonych oddzielnie dla obu wartości:

yxyx

Właściwości średniej arytmetycznej

• Wartość średniej arytmetycznej nie ulega zmianie, jeśli wszystkie wagi pomnożymy przez liczbę stałą c:

xnc

xnc

n

xn

i

ii

i

ii

)(

.)(.

Właściwości średniej arytmetycznej

• Jeżeli zbiorowość (populację) liczącą n elementów podzielimy na r podgrup (podpopulacji) o liczebnościach w1, w2, w3,…….wr, wówczas średnia arytmetyczna całej zbiorowości (populacji) jest równa średniej ważonej średnich arytmetycznych ( gdzie j = 1,2,…r) podgrup (podpopulacji), z

wagami wj :

r

jj

r

jjj

k

ii

k

iii

w

xw

n

xnx

1

1

1

1

Właściwości średniej arytmetycznej

• Jeśli zmniejszymy każdy wariant cechy xi o stałą c, to średnia arytmetyczna też ulegnie zmniejszeniu o stałą c:

cxn

cxn

i

ii

)(

Właściwości średniej arytmetycznej

• Jeśli pomnożymy każdy wariant cechy xi przez stałą c, to nowa średnia arytmetyczna będzie c – krotnością średniej pierwotnej:

xcn

xcn

i

ii

).(

Właściwości średniej arytmetycznej

• Jeśli od każdego wariantu xi odejmiemy średnią arytmetyczną wówczas suma tych różnic jest równa zeru:

• Powyższą własność formułujemy często w innej formie: suma odchyleń od średniej arytmetycznej jest równa zeru:

•

0)( xxn ii

0)( xxi

Właściwości średniej arytmetycznej

• Suma kwadratów odchyleń wartości zmiennych badanej cechy od średniej arytmetycznej rozkładu jest najmniejsza

• Oznacza to, że suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmiennych badanej cechy od jakiejkolwiek innej wartości zmiennej rozkładu, różnej od średniej, będzie zawsze większa

min)( 2xxi

Ograniczeniaw stosowaniu

średniej arytmetycznej

• Niejednokrotnie średnia arytmetyczna nie może być uznana za wielkość reprezentatywną dla całego danego zbioru, w sensie wyrażania tendencji centralnej, jej wartość poznawcza jest niewielka (lub nawet żadna), a niekiedy wprowadza po prostu w błąd

Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej

A. W przypadku, gdy przedziały klasowe są otwarte (górny i dolny lub jeden z nich).

• a) gdy liczebności przedziałów otwartych są stosunkowo nieliczne, można je zamknąć i umownie ustalić środek przedziału;

• b) gdy udział liczebności przedziałów otwartych w ogólnej sumie liczebności jest znaczny, rezygnujemy z obliczania średniej

Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej

B. Gdy największe liczebności skupiają się zdecydowanie wokół najniższych lub najwyższych wartości cechy (szereg jest skrajnie asymetryczny).

Mężczyźni w wieku produkcyjnym, bierni zawodowo, według wieku

21,04

23,52

4,872,73 2,84

4,3

6,73

9,5910,69

3,69

0

5

10

15

20

25

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65wiek w latach

%

Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej

C. Wartość poznawcza średniej jest żadna, wówczas, gdy ustalamy średnią ze zbiorów niejednorodnych

Ograniczenia w stosowaniu średniej arytmetycznej

D. Obliczanie średniej mija się z celem również w tych szeregach, które dają rozkłady z kilkoma skupiskami dominującymi (są to tzw. szeregi wielomodalne)

Rys. Rozkład dwumodalny

• W większości przypadków rozkłady cech mierzalnych (zwanych zmiennymi) charakteryzują się pewną tendencja centralną, która polega na tym, że w miarę wzrostu liczebności (częstości) zmniejszają się różnice pomiędzy wartościami zmiennej a wartością centralną.

• Rozkłady, które nie odpowiadają temu warunkowi, nie

powinny być opisywane za pomocą wartości średniej.

•rozkłady skrajnie asymetryczne

Średnia geometryczna

Średnią geometryczną n liczb jest pierwiastek stopnia n z iloczynu tych liczb.

• Wykorzystywana jest do badania zbiorowości, w których wartości jednostek są przedstawiane w liczbach względnych

nng xxxx ...21

Mediana

• Mediana odpowiada środkowi zbioru danych, w którym to zbiorze wartości cechy uporządkowano kolejno od najmniejszej do największej (czyli według rosnącej wartości cechy).

• cecha jest skokowa• jeśli liczba obserwacji n jest liczbą nieparzystą,

mediana jest wartością, którą przybiera 0,5(n+1) jednostka liczebności populacji (obserwacja środkowa):

• jeśli liczba obserwacji n jest liczbą parzystą, mediana jest średnią arytmetyczną wartości cechy dwóch sąsiadujących jednostek o numerach porządkowych 0,5n oraz 0,5(n+2):

2

)1()( nxxM

2)( 2

2

2

nn xx

xM

• cecha jest ciągła• wtedy szereg rozdzielczy jest pod postacią klasowych

przedziałów odmian cechy i wówczas kumulacja liczebności wskazuje tylko klasę, w której znajduje się mediana

• wyznaczenie mediany wymaga posłużenia się wzorem interpolacyjnym:

• gdzie:• xm0 –dolna granica klasy mediany• hm –rozpiętość przedziału klasy mediany• nm – liczebność przedziału klasy dominanty

m

mm

iim n

hn

nxxM

1

10 2

1)(

• medianę M(X) można zdefiniować jako taką wartość cechy, że prosta pionowa przechodząca przez nią dzieli obszar pod krzywą na dwie równe części

• w praktyce medianę obliczamy w sytuacji, gdzie jedna lub kilka wartości leży daleko od środka zbioru

• mediana ma często zastosowanie w ekonomii w rozkładach dochodów

• Uwaga!!!

• mediana ma sens tylko wtedy, gdy zbiór danych jest uporządkowany rosnąco lub malejąco.

• przykład

• Sprzedaż filmowych kaset video ma ograniczenia czasowe (na ekrany wchodzą coraz to nowsze filmy i „stare” szybko schodzą z ekranów kin).

Właściciel musi decydować rozsądnie, z jakimi filmami nabyć taśmy.

W tej sytuacji miary: - średnia i mediana – nie będą jemu pomocne.

Zamiast tego, właścicielowi potrzebna jest wiedza na temat, które filmy są najbardziej popularne i cieszą się największym zainteresowaniem, a zatem które filmy prawdopodobnie będą sprzedawać się najlepiej.

Dominanta (moda)

charakterystyczne własności dominanty

• dominanta znajduje zastosowanie wówczas, gdy chcemy jedną liczbą wyrazić wartość cechy najbardziej typową i najczęściej występującą

• istnieje możliwość stosowania dominanty w przypadku analizy cech mierzalnych i niemierzalnych

• dla cechy niemierzalnej dominantą jest ten wariant cechy, która ma największą częstość występowania w badanej zbiorowości

• dominanta jest jedyną miarą przeciętną, która można wyznaczyć dla cech niemierzalnych

charakterystyczne własności dominanty

• jest również możliwe - dla dużych liczebności i odpowiadającym im różnym wartościom - więcej niż jedna dominanta (moda);

• zbiór z 2-oma modami nazywamy dwumodalnym, zbiory z 3-ema modami trzymodalnymi;

• zbiory mające powyżej 2 mód zwą się wielomodalnymi;

• w diametralnie różnym przypadku, gdy każda wartość w zbiorze występuje tylko raz – zbiór nie ma mody.

• w przypadku, kiedy wartości zmiennej pogrupowane są w szereg rozdzielczy sposób wyznaczanie dominanty (mody) w oparciu o jej definicję nie może być zastosowany

• analizując liczebności poszczególnych klas można określić przedział wartości cechy, który dominuje w badanej zbiorowości. Nie wiadomo jednak, która wartość dominuje w badanej zbiorowości

• dominantę (modę) wyznacza się wówczas w sposób przybliżony poprzez interpolację jej wartości z przedziału klasowego

metoda obliczania dominanty

• Metoda interpolacyjna polega na obliczeniu dominanty według wzoru:

• lub:

• gdzie:•

Dx0 - dolna granica przedziału dominującego;• n D - liczebność (częstości względne) przedziału dominującego;• nD-1 - liczebność (częstości względne) przedziału poprzedzającego przedział

dominujący;• nD+1 - liczebność (częstości względne) przedziału następującego po przedziale

dominującym;• hD - rozpiętość przedziału dominującego.

D

DDDD

DDD h

nnnn

nnxxD

)()()(

11

10

D

DDDD

DDD h

wwww

wwxxD

)()()(

11

10

Uwaga!!!

obliczając dominantę (modę) należy pamiętać o tym, że:

• w szeregu rozdzielczym może występować jedno wyraźnie zaznaczone maksimum (tzn. rozkład empiryczny jest jednomodalny);

• przedział dominanty (mody) oraz dwa sąsiadujące z nim przedziały muszą mieć takie same rozpiętości (szerokości);

• jeśli dominanta w szeregu rozdzielczym występuje w skrajnych przedziałach klasowych, wówczas nie oblicza się jej według wzoru interpolacyjnego

Średnie pozycyjne wyższych rzędów

W statystyce często używane są:

• percentyle – dzielimy całkowitą liczebność na 100 części (a=100 elementów, b=99 percentyli)

• decyle – całkowitą liczebność dzielimy na 10 części (a=10 elementów, b=9 decyli)

• kwartyle – całkowitą liczebność dzielimy na 4 części (a=4 elementy, b=3 kwartyle)

• kwintyle - całkowitą liczebność dzielimy na 5 części (a=5 elementów, b=4 kwintyle)

• k-ty percentyl zbioru danych uporządkowanych rosnąco jest to wartość x mająca tę własność, że k procent liczebności zbioru leży na lub poniżej wartości x

• Przy dzieleniu zbiorowości statystycznej na a równych elementów i uzyskiwaniu b = a-1 charakterystyk korzystamy z formuły:

• gdzie:• Qa,b – symbol przeciętnej pozycyjnej

• xq0 –dolna granica przedziału, w której znajduje się poszukiwana przeciętna pozycyjna

• hq –rozpiętość przedziału klasy liczonej przeciętnej pozycyjnej

• nq – liczebność klasy liczonej przeciętnej pozycyjnej

q

qq

iiqba n

hn

b

naxQ

1

10,

1

Kwartyle

• kwartyle to takie wartości cechy Q4,1, Q4,2 i Q4,3 , że ¼ obserwacji leży poniżej Q4,1, ¼ powyżej Q4,3 , ¼ obserwacji leży między Q4,1 a medianą a ¼ obserwacji leży między medianą a Q4,3.

• wielkość Q4,1 zwana jest kwartylem dolnym a Q4,3 kwartylem górnym.

Uwaga!

• Posługiwanie się przeciętnymi pozycyjnymi wyższych rzędów ma sens tylko wówczas, gdy liczebność zbiorowości statystycznej jest znaczna.

Dziękuję za uwagę