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XXVIII Reunión de Estudios Regionales, Murcia 27-29, noviembre,2002
UN MODELO DE LOCALIZACION DE EMPRESAS
CON PRECIOS VARIABLES
Blas Pelegrín Pelegrin , Universidad de Murcia.
Mª Dolores García Pérez y Mª de las Mercedes Carmona Martínez,
Universidad Católica San Antonio de Murcia.
Resumen
Se considera un problema de competencia entre empresas que ofertan un
producto homogéneo con demanda inelástica. Los consumidores compran el
producto al precio de oferta más bajo y los costes de transporte son con cargo
a las empresas. En primer lugar, para cualquier conjunto de localizaciones de
las empresas, se determinan los precios de equilibrio y se obtienen las
funciones beneficio. A continuación se analiza el problema de localizar una
nueva empresa que va a entrar en dicho mercado, en competencia con otras
previamente establecidas. Se presenta una técnica enumerativa, mediante la
cual se determinan las localizaciones que proporcionan el mayor beneficio con
precios de equilibrio. Como ilustración se realiza una aplicación en la red de
transporte de la Región de Murcia.
Clasificación UNESCO: 5309-05, 5311-07.
1. Introducción
Cuando hay varias entidades que compiten por el mercado de un
determinado bien o producto, suele existir una interdependencia entre los
lugares donde se ubican y la demanda que consigue cada una de ellas. El
estudio de estas situaciones se ha realizado mediante modelos de localización
competitiva, que tienen su origen en el trabajo de Hotelling (1929). Se han
estudiado una gran variedad de ellos, diferenciándose unos de otros, entre
otros factores, en el tipo de espacio y en las decisiones que intervienen, entre
las que destacamos localizaciones, cantidades y precios. Debido a la
1
dependencia cantidad-precio, en unos se consideran decisiones en precios,
siendo éstos funciones de las cantidades, y en otros lo contrario.
Los modelos con decisiones en localización y precio principalmente han
sido estudiados tomando como espacio de localización un mercado lineal. Su
análisis ha tratado sobre la existencia y caracterización de equilibrios (ver
D´Aspremont, Gabszewicz y Thisse (1979), Osborne y Pitchik (1986,1987),
Gabszewicz y Thisse (1992), Kilkenny y Thisse (1999)), y ha permitido
comprender los mecanismos que de una manera u otra influyen en ellos. En
espacios de localización más generales, como el plano o una red de transporte,
su estudio es muy complejo y ha recibido poca atención en la literatura
especializada.
En los modelos tipo Hotelling intervienen dos tipos de fuerzas opuestas. La
primera hace que, a igualdad de precios, cada vendedor se acerque a su
oponente para ganar más cuota de mercado. La segunda, ante la fuerte
competencia en precios que produciría un acercamiento entre los vendedores,
hace que cada uno de ellos tienda a alejarse de su oponente. Ello provoca la
ausencia de equilibrios y es la principal causa de su inestabilidad, es decir,
pequeños cambios en el modelo pueden conducir a resultados muy diferentes.
Para evitar la ausencia de equilibrios, algunos autores han introducido
diferentes variaciones en el modelo original (véase Eaton (1972), Novshek
(1980), Kohlberg y Novshek (1982), De Palma y otros (1985), Gabszcwicz y
Thisse (1986), Artle y Carruthers (1988)). Sin embargo estos sólo existen en
algunos casos muy particulares.
El problema de encontrar equilibrios, se resuelve para decisiones
secuenciales en dos etapas, primero en localización y después en precio,
cuando se considera una política de precios variables. Esta situación fué
considerada por primera vez por Lederer y Hurter (1986), quienes para dos
empresas demuestran que, bajo ciertas condiciones, existe un único equilibrio
en los precios cualquiera que sean sus localizaciones. Este hecho es utilizado
para reducir el problema, ya que una vez determinadas las localizaciones los
vendedores elegirán el correspondiente precio de equilibrio. Hamilton y Thisse
(1993) estudian tales equilibrios en un modelo similar, en el que se tienen en
cuenta limitaciones de capacidad.
2
En este trabajo se analiza un modelo general que es independiente del
espacio de localización que se considere, en el cual compiten cualquier número
de empresas. En la sección 2 se presentan los elementos que intervienen y se
determinan las funciones beneficio. Las secciones 3 y 4 se dedican al análisis
de los precios de equilibrio y del problema de localización de una nueva
empresa. Por último, en la sección 5 se ilustra el modelo con datos de la
Comunidad Autónoma de Murcia.
2. Descripción del modelo
Se considera una región dividida en un conjunto C = de
áreas, en las cuales existe una demanda de un determinado bien o producto,
que es atendida por un conjunto E = de empresas. Para cada
área C
{ }nC,..,C,C 21
{ mE,..,E,E 21 }
}
i la demanda se concentra en un punto ci , y para cada empresa Ek
representamos por ek al punto de la región en el que se encuentra ubicada, de
manera que cada empresa tiene una sola ubicación. Llamaremos I al conjunto
de los índices asociados a las áreas, y K al de las empresas, es decir I
= y K = . { n,..., , 21 { } m,..., , 21
Suponemos que se cumplen las hipótesis siguientes:
i. El producto es homogéneo y la demanda inelástica.
ii. Cada consumidor compra una unidad en la empresa que le proporciona el
precio más barato. Si en alguna de las áreas dos precios mínimos son
iguales, supondremos que los consumidores eligen la empresa más
cercana. Si también hubiese empate en la distancia, entonces la demanda
se reparte por igual entre las correspondientes empresas.
iii. El producto es enviado a los lugares de consumo desde las empresas,
siendo los costes de transporte con cargo a las mismas.
iv. El coste de transporte es lineal con la distancia y la cantidad de demanda.
v. Existe un precio mínimo en origen igual para todas las empresas.
vi. El beneficio de cada empresa depende de su precio y de los precios de las
otras en cada una de las áreas, no existiendo cooperación entre ellas para
establecer los precios.
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Denotaremos por w al número de consumidores en el área C y por W al
número total que hay en la región. Sean t el coste de transporte por unidad de
producto y unidad de distancia, la distancia entre los puntos y , el
precio en origen, y el precio de venta de la empresa en el área C .
Obsérvese que aunque los precios son variables, estos deben cumplir que
+ t .
i
ikp
i
icikd kf 0p
kE i
ikp ≥ 0p ikd
Para determinar el beneficio que obtiene cada empresa , una vez que
todas eligen sus precios, tendremos en cuenta que la demanda se reparte
entre ellas según la hipótesis ii). Para cada área C
kE
i definimos los siguientes
conjuntos:
{ } m,...,j pp:Kk MP ijiki 1=∀≤∈=
{ } MPk dd:MPh MPD iikihii ∈∀≤∈=
entonces, si MPD todos los consumidores en el área C{ h i = }
}
i compran en
Eh , y si dicho conjunto contiene más de un índice la demanda se reparte por
igual entre las empresas Eh ,h . iMPD∈
El mercado que consigue cada empresa Ek viene dado por
, con lo cual su beneficio vendrá dado por: { MPDk:Ii M ik ∈∈=
(1) ( ) ( )∑∈
••• −=kMi
iiikikmk1k MPD/w d tp p,...,p,...,pΠ
donde es el vector de precios de cada empresa E( tmjj2j1j p,...,p,pp =• ) j ,
j=1,2,...,m , y iMPD es el número de índices en el conjunto MPD . i
El problema que se plantea es encontrar la mejor localización para una
nueva empresa (Em), en competencia con otras ya existentes (E1 , E2 , ..., Em-1 )
en las condiciones indicadas, y cual deberá ser su vector de precios, con
objeto de obtener un beneficio máximo. Una vez elegida su localización, está
no se modificará en un futuro inmediato, debido a los costes de instalación y
puesta en funcionamiento, sin embargo tendrá que competir en precios con sus
rivales. Por ello, en primer lugar analizaremos la competencia en precios para
cada posible ubicación, y después determinaremos las mejores localizaciones.
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3. Competencia en precios para localizaciones fijadas
Vamos a ver que para cada conjunto de localizaciones de las empresas,
existe una matriz de precios ( mk1 p,...,p,...,pP •••= ) que están en equilibrio. Es
decir , para cualquier se verifica que:: Kk ∈
( ) ( )mk1 kmk1 k p,...,p,...,pp,...,p,...,p •••••• ≥ ΠΠ , + . ikp ≥ 0p ikd t Ii ∈∀
lo cual significa que cada empresa no puede incrementar su beneficio, si
unilateralmente cambia su vector de precios.
Para cada área Ci definimos los siguientes conjuntos:
{ } Kj dd:Kh A ijih1i ∈∀≤∈=
{ } AKj dd:AKk A 1iijik
1i
2i −∈∀≤−∈=
el primero corresponde a las empresas más cercanas y el segundo a las
siguientes más próximas al área.
Proposición 1
P es una matriz de precios en equilibrio si y solo si se verifica :
a) Si 1A1i = , sea h el índice contenido en ese conjunto, entonces:
== ikih pp + t , 0p ikd 2iAk ∈
ijp arbitrario , kj , hj ≠≠
b) Si 2A1i ≥ , entonces:
=ihp 0p + , h ihd t 1iA∈
ijp arbitrario , 1iAJj −∈
Prueba:
En cada área Ci la demanda es conseguida por aquellas empresas que
ofrezcan el precio más bajo. El menor valor del precio sólo pueden conseguirlo
las que se encuentren más cercanas. Si sólo existe una empresa más cercana
Eh , está puede conseguir toda la demanda en el área a un precio máximo igual
al menor precio de las siguientes empresas más próximas. En equilibrio, una
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de ellas deberá elegir el precio mínimo, ya que de lo contrario la primera podría
elevar aún más su precio y obtener más beneficio. Ello equivale a que se de la
condición a).
Si hay más de una empresa a mínima distancia del área, todas ellas deben
elegir el precio mínimo para que exista equilibrio. De no ser así, la de mayor
precio obtendría un mayor beneficio cambiando unilateralmente el precio al
mínimo valor. Las otras empresas pueden tener cualquier precio. Esto equivale
a la condición b).
4. Localizaciones óptimas para una nueva empresa
Si se eligen precios de equilibrio, el beneficio de cada empresa Ek
dependerá de su localización y de las localizaciones de las restantes
empresas, es decir viene determinado por una función .
Vamos a obtener cuales serían estas funciones con cualquier matriz
( ) e,...,e,...,eˆmk1kΠ
P de
precios de equilibrio.
Para cualquier área Ci se tiene ahora que . El mercado que
obtiene cada empresa E
=iMPD 1iA
k viene dado por :
{ } 2k
1kik MM MPDk:Ii M U=∈∈=
donde { }{ } k A :i 1i
1k ==M y { } Ak 2 yA :i 1
i1i
2k ∈≥=M . Por consiguiente
sustituyendo las correspondientes cantidades en (1), resulta que:
( ) (( )∑∈
′ −+=1kMi
iikki0mk1k w ddtp e,...,e,...,eΠ̂ ) 1i
Mii0 A/w p
2j
∑∈
+
donde k´ ∈ .Esta función podemos descomponerla en dos sumandos, uno
asociado a la cuota de mercado, y el otro debido al ahorro en transporte que se
origina por el incremento de precio por estar a mínima distancia. Es decir:
2iA
( ) e,...,e,...,eˆmk1kΠ = +
+ ∑∑
∈∈
1i
Mii
Mii0 A/w wp
2k
1k
( )∑∈
′ −1kMi
iikki w ddt
Si las empresas E1 , E2 , ..., Em-1 ya están establecidas en los puntos
,e,...,e,...,e 1mk1 − el beneficio de una nueva empresa Em dependerá de su
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localización en el mercado. Por tanto será una función del punto em en el cual
se ubique, que vendrá dada por :
( ) =meΠ ( ) e,e,...,e,...,eˆm1mk1m −Π
La determinación de los puntos que maximizan está función es una tarea
compleja, dependiente de cual sea el espacio de localización. Para puntos
alineados en García y Pelegrín (2001) puede verse un procedimiento para ello.
Si consideramos que el desplazamiento se realiza a través de una red de
transporte, en cuyos nodos se agrega la demanda y se localizan las empresas,
podemos determinar fácilmente los puntos óptimos. Para ello, evaluaríamos la
función , con e( meΠ ) m variando en cada uno de los nodos candidatos para su
ubicación, y obtendríamos los que le proporcionan un mayor beneficio.
El modelo puede ser generalizado a localizar más de un punto de venta, sin
más que sumar el beneficio que le proporcionaría cada uno de ellos. Es decir, si
las empresas ya establecidas están en p puntos p1 e,...,e , y una nueva se
ubicase en m-p lugares distintos , el beneficio que obtendría es: m1p e,...,e +
( ) =+ m1p e,...,eΠ ( ) e,...,e,e,...,eˆm1pp1k
m
1pk+
+=∑ Π
5. Aplicación a la Región de Murcia
En la región de Murcia existen 45 municipios. En cada una de ellos,
suponemos que uno de cada 500 habitantes demanda un determinado
producto. La red de carreteras es reflejada en la Fig. 1 y los niveles de
demanda en la Tabla 1. Los lugares candidatos a localizar cada una de las
empresas son los municipios de más de 20.000 habitantes. Designaremos por
F al conjunto de índices asociados a los mismos. La Tabla 2 recoge las
distancias en kms. entre estos municipios y las cabeceras municipales. Todos
los datos se presentan en el anexo.
En situación de monopolio la localización mejor para una empresa que
oferta dicho producto es aquella que minimice el coste total de transporte, es
decir una solución al problema:
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F f : w d t Minimizar iif
n
1i
∈∑
=
Obsérvese que la solución óptima no depende del valor de t . Evaluando dicho
coste para cada índice se obtiene que el valor mínimo corresponde a Murcia .
Así pues, vamos a considerar que ya existe una empresa en Murcia (el
punto 1e del modelo es el nodo 31) y que una segunda empresa va a entrar
en dicho mercado. Si ambas eligen los precios de equilibrio, resulta que la
mejor localización para la nueva es una solución óptima del problema:
Maximizar { [ +
+ ∑∑
∈∈
1i
Mii
Mii A/w w r t
2f
1f
( ) ] } Ff : w dd 1fMi
iif31i ∈−∑∈
donde hemos tomado r , que es la tasa de precio en origen por coste
unitario de transporte. Observemos que ahora la solución óptima depende del
valor que tenga la tasa r .
tp /= 0
Para cada uno de los índices de F , diferente de 31, utilizando una
implementación en Microsoft EXCEL, hemos evaluado independientemente
cada uno de los dos términos de la función beneficio, que se corresponden con
la cuota de mercado y el ahorro por mínima distancia. Esto nos permite obtener
el beneficio como una función lineal de la tasa r , y a partir de su
representación gráfica para cada índice se ha determinado el beneficio máximo
y la mejor localización cualquiera que sea el valor de la tasa. Los resultados se
reflejan en la Tabla 3, donde se aprecia que para valores de la tasa menores
que 93.51 la mejor ubicación es Cartagena (nodo 17), con valores superiores
es Alcantarilla ( nodo 5), y para dicho valor ambas son localizaciones óptimas.
En la tabla se muestran también los niveles capturados y el ahorro por
distancia de las dos empresas en cada caso.
Consideremos ahora dos empresas establecidas en Murcia y Cartagena
(los puntos 1e y 2e del modelo son los nodos 31 y 17 ). Para obtener la mejor
localización de una tercera empresa, hemos seguido un proceso de cálculo
similar al anterior. Los resultados se reflejan en la Tabla 4, donde se observa
que la mejor ubicación para la tercera empresa es Molina de Segura si la tasa
es menor o igual a 29.67, y Alcantarilla si es superior o igual a dicho valor.
8
En el caso de que las dos empresas ya ubicadas estén en Murcia y
Alcantarilla ( 1e y 2e del modelo son los nodos 31 y 5 )., se obtiene que la
mejor localización para la tercera es Cartagena, cualquiera que sea la tasa (ver
Tabla 5).
6. Bibliografía
1. Artle R. and Carruthers N. (1988), “Location and Market Power: Hotelling
Revisited”, Journal of Regional Science, vol.28, 15-27.
2. D´Aspremont C., Gabszewicz J. and Thisse J.F. (1979), “On Hotelling´s
Stability in Competition”, Econometrica , vol. 47, 1145-1150.
3. De Palma A. Ginsburgh V., Papageorgiou Y.Y. and Thisse (1985), “The
principle of minimum differenciation holds under sufficient hetereogeneity”,
Econometrica , 53, 767-781.
4. Eaton B.C. (1972), “Spatial competition revisited”, Canadian Journal of
Economics, 5 , 268-278.
5. Gabszewicz J.J. and Thisse J.F. (1986), “Spatial competition and the
location of firms”, Fundamentals of Pure and Applied Economics, 5, 1-71.
6. Gabszewicz J.J. and Thisse J.F. (1992), “Location”, Handbook of Game
Theory with Economic Applications, R. Aumann and S. Hart Editors, Elsevier
Science Publishers, Amsterdam, 281-304.
7. García Pérez M. D. y Pelegrín Pelegrín B. (2001). Localización en una
red tipo árbol con precios variables, Actas del XXVI Congreso Nacional
de la SEIO, 6-9 noviembre, Ubeda (Jaén)
8. Hamilton J.H. and Thisse J.F. (1993), “Competitive spatial price
discrimination with capacity constraints”, Transportation Science, 27, 55-61.
9. Hotelling H. (1929), “ Stability in Competition”, Economic Journal, 39, 41-57.
10. Kilkenny, M. and Thisse, J.-F. (1999), “Economics of location: A selective
survey”, Computers & Operations Research, 26, 1369-1394.
11. Kohlberg E. and Novshek W. (1982), “Equilibrium in a price-location model”,
Economics Letters , 9 , 7-15.
9
12. Lederer P.J. and Hurter A. P. (1986), “Competition of firms, discriminatory
pricing and location”, Econometrica , 54, 623-640.
13. Novshek W. (1980), “Equilibrium in simple spatial (or differentiated product)
models”, Journal of Economic Theory, 22, 313-326.
14. Osborne M.J. and Pitchik C. (1986), The Nature of Equilibrium in a Location
Model”, International Economic Review, vol. 27, 223-237.
15. Osborne M.J. and Pitchik C. (1987), “Equilibrium in Hotelling´s Model of
Spatial Competition, Econometrica, vol. 55, 911-922.
10
Municipios Nivel de Demanda Municipios Nivel de
Demanda
Región de Murcia 2.260
23. Jumilla 41 1. Abanilla 12 24. Librilla 8 2. Abarán 24 25. Lorca 141 3. Águilas 54 26. Lorquí 11 4. Albudeite 3 27. Mazarrón 35
5. Alcantarilla 66 28. Molina de Segura 86
6. Alcázares (Los) 14 29. Moratalla 17 7. Aledo 2 30. Mula 27 8. Alguazas 14 31. Murcia 707 9. Alhama de
Murcia 31 32. Ojós 1
10. Archena 29 33. Pliego 7
11. Beniel 16 34. Puerto Lumbreras 21
12. Blanca 11 35. Ricote 3 13. Bullas 21 36. San Javier 37
14. Calasparra 18 37. San Pedro del Pinatar 30
15. Campos del Rio 4 38. Santomera 21 16. Caravaca de la
Cruz 45 39. Torre Pacheco 44
17. Cartagena 355 40. Torres de Cotillas (Las) 31
18. Cehegín 28 41. Totana 44 19. Ceutí 14 42. Ulea 2 20. Cieza 63 43. Unión (La) 29
21. Fortuna 13 44. Villanueva del Río Segura 3
22. Fuente Álamo 19 45. Yecla 58
Tabla 1: Cabeceras municipales y niveles de demanda.
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Águilas Alcanta. Carav. Cartag. Cieza Jumilla Lorca Molina Murcia T.Pach. T.Cotill. Yecla Abanilla 125 34 80 78 44 52 90 28 27 64 32 51 Abarán 138 38 61 88 5 42 103 28 40 77 30 68 Águilas 0 96 96 88 143 177 35 106 103 95 105 203 Albud. 97 17 48 74 47 81 64 18 26 55 17 107 Alcanta. 96 0 64 50 43 74 55 10 7 38 9 100 Alcázar. 111 42 110 23 85 104 90 51 40 11 51 116 Aledo 63 43 84 68 88 128 28 53 54 67 52 154 Alguaz. 107 11 62 61 32 66 66 4 14 49 3 92 Alhama 73 23 65 54 66 104 32 33 30 53 32 130 Archena 118 22 59 72 22 52 77 17 22 60 14 78 Beniel 120 24 87 62 62 77 80 28 17 42 31 76 Blanca 138 35 65 83 9 47 90 28 35 73 27 72 Bullas 89 47 17 97 39 72 54 49 53 85 48 98 Calasp. 96 61 24 111 35 49 85 78 60 99 62 75 Campos 101 18 52 68 42 77 68 14 22 56 13 103 Carav. 96 64 0 114 57 73 71 66 73 102 65 99 Cartag. 88 50 114 0 93 122 80 59 48 17 59 140 Cehegín 99 57 7 107 50 68 64 59 69 95 58 94 Ceutí 112 16 59 65 28 56 71 9 17 54 8 82 Cieza 143 43 57 93 0 36 95 31 42 82 35 62 Fortuna 129 33 71 74 39 57 89 19 26 63 23 55 F.Álamo 72 36 93 26 77 109 54 46 35 25 45 135 Jumilla 177 74 73 122 36 0 137 63 74 111 68 26 Librilla 75 15 61 55 58 96 40 25 22 53 24 122 Lorca 35 55 71 80 95 137 0 65 63 79 64 163 Lorquí 114 18 61 63 28 54 73 7 15 52 10 80 Mazarr. 48 54 102 40 97 144 51 64 70 52 63 170 Molina 106 10 66 59 31 63 65 0 11 48 4 89 Morat. 109 77 13 127 57 70 84 79 79 115 78 96 Mula 96 28 36 78 39 76 61 29 34 66 29 102 Murcia 103 7 73 48 42 74 63 11 0 37 15 92 Ojós 125 29 62 78 15 52 84 24 30 67 21 78 Pliego 89 29 43 76 46 83 54 32 42 73 31 109 P-Lumb. 30 72 88 97 112 154 17 68 80 96 81 180 Ricote 128 32 59 81 18 55 87 27 27 64 24 81 S. Javier 111 43 107 31 84 116 90 53 42 15 52 128 S. Pedro 115 47 111 35 88 120 94 57 46 20 57 132 Santom. 17 21 87 62 56 69 77 25 14 47 28 68 T.Pach. 95 38 102 17 82 111 79 48 37 0 47 115 T.Cotill. 105 9 65 59 35 68 64 4 15 47 0 94 Totana 55 35 72 60 78 116 20 45 42 59 44 142 Ulea 122 26 61 73 20 57 81 21 25 62 18 83 Union 97 9 123 9 102 131 89 68 60 20 68 130 Villan. 121 25 60 71 19 56 80 20 23 60 17 82 Yecla 203 100 99 140 62 26 163 89 92 115 94 0
Tabla 2: Distancia municipios – posibles localizaciones.
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Niveles de Demanda Ahorro-Distancia
Intervalo para r
Localización E2
E1 (Murcia) E2
E1 (Murcia) E2
(0, 93.51] Cartagena 1643.0 617.0 70536 22405
[93.51, ∞) Alcantarilla 1466.5 793.5 6852 6352
Tabla 3: Localizaciones óptimas para la segunda empresas.
Niveles de Demanda Ahorro-Distancia
Intervalo para r
Localización E3
E1 (Murcia)
E2 (Cartagena) E3 E1
(Murcia) E2
(Cartagena) E3
(0,29.67] Molina de Segura 1074.0 617.0 569.0 9249 22195 4763
[29.67, ∞) Alcantarilla 967.5 602.5 690.0 5984 19988 3935
Tabla 4 : Localizaciones óptimas para la tercera empresa.
Niveles de Demanda Ahorro-Distancia
Intervalo para r
Localización E3
E1 (Murcia)
E2 (Alcantarilla) E3 E1
(Murcia) E2
(Alcantarilla) E3
(0, ∞) Cartagena 967.5 690.0 602.5 5948 3935 19988
Tabla 5 : Localización óptima para la tercera empresa.
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