XXVIII Reunión de Estudios Regionales, Murcia 27-29, noviembre,2002

UN MODELO DE LOCALIZACION DE EMPRESAS

CON PRECIOS VARIABLES

Blas Pelegrín Pelegrin , Universidad de Murcia.

Mª Dolores García Pérez y Mª de las Mercedes Carmona Martínez,

Universidad Católica San Antonio de Murcia.

Resumen

Se considera un problema de competencia entre empresas que ofertan un

producto homogéneo con demanda inelástica. Los consumidores compran el

producto al precio de oferta más bajo y los costes de transporte son con cargo

a las empresas. En primer lugar, para cualquier conjunto de localizaciones de

las empresas, se determinan los precios de equilibrio y se obtienen las

funciones beneficio. A continuación se analiza el problema de localizar una

nueva empresa que va a entrar en dicho mercado, en competencia con otras

previamente establecidas. Se presenta una técnica enumerativa, mediante la

cual se determinan las localizaciones que proporcionan el mayor beneficio con

precios de equilibrio. Como ilustración se realiza una aplicación en la red de

transporte de la Región de Murcia.

Clasificación UNESCO: 5309-05, 5311-07.

1. Introducción

Cuando hay varias entidades que compiten por el mercado de un

determinado bien o producto, suele existir una interdependencia entre los

lugares donde se ubican y la demanda que consigue cada una de ellas. El

estudio de estas situaciones se ha realizado mediante modelos de localización

competitiva, que tienen su origen en el trabajo de Hotelling (1929). Se han

estudiado una gran variedad de ellos, diferenciándose unos de otros, entre

otros factores, en el tipo de espacio y en las decisiones que intervienen, entre

las que destacamos localizaciones, cantidades y precios. Debido a la

1

dependencia cantidad-precio, en unos se consideran decisiones en precios,

siendo éstos funciones de las cantidades, y en otros lo contrario.

Los modelos con decisiones en localización y precio principalmente han

sido estudiados tomando como espacio de localización un mercado lineal. Su

análisis ha tratado sobre la existencia y caracterización de equilibrios (ver

D´Aspremont, Gabszewicz y Thisse (1979), Osborne y Pitchik (1986,1987),

Gabszewicz y Thisse (1992), Kilkenny y Thisse (1999)), y ha permitido

comprender los mecanismos que de una manera u otra influyen en ellos. En

espacios de localización más generales, como el plano o una red de transporte,

su estudio es muy complejo y ha recibido poca atención en la literatura

especializada.

En los modelos tipo Hotelling intervienen dos tipos de fuerzas opuestas. La

primera hace que, a igualdad de precios, cada vendedor se acerque a su

oponente para ganar más cuota de mercado. La segunda, ante la fuerte

competencia en precios que produciría un acercamiento entre los vendedores,

hace que cada uno de ellos tienda a alejarse de su oponente. Ello provoca la

ausencia de equilibrios y es la principal causa de su inestabilidad, es decir,

pequeños cambios en el modelo pueden conducir a resultados muy diferentes.

Para evitar la ausencia de equilibrios, algunos autores han introducido

diferentes variaciones en el modelo original (véase Eaton (1972), Novshek

(1980), Kohlberg y Novshek (1982), De Palma y otros (1985), Gabszcwicz y

Thisse (1986), Artle y Carruthers (1988)). Sin embargo estos sólo existen en

algunos casos muy particulares.

El problema de encontrar equilibrios, se resuelve para decisiones

secuenciales en dos etapas, primero en localización y después en precio,

cuando se considera una política de precios variables. Esta situación fué

considerada por primera vez por Lederer y Hurter (1986), quienes para dos

empresas demuestran que, bajo ciertas condiciones, existe un único equilibrio

en los precios cualquiera que sean sus localizaciones. Este hecho es utilizado

para reducir el problema, ya que una vez determinadas las localizaciones los

vendedores elegirán el correspondiente precio de equilibrio. Hamilton y Thisse

(1993) estudian tales equilibrios en un modelo similar, en el que se tienen en

cuenta limitaciones de capacidad.

2

En este trabajo se analiza un modelo general que es independiente del

espacio de localización que se considere, en el cual compiten cualquier número

de empresas. En la sección 2 se presentan los elementos que intervienen y se

determinan las funciones beneficio. Las secciones 3 y 4 se dedican al análisis

de los precios de equilibrio y del problema de localización de una nueva

empresa. Por último, en la sección 5 se ilustra el modelo con datos de la

Comunidad Autónoma de Murcia.

2. Descripción del modelo

Se considera una región dividida en un conjunto C = de

áreas, en las cuales existe una demanda de un determinado bien o producto,

que es atendida por un conjunto E = de empresas. Para cada

área C

{ }nC,..,C,C 21

{ mE,..,E,E 21 }

}

i la demanda se concentra en un punto ci , y para cada empresa Ek

representamos por ek al punto de la región en el que se encuentra ubicada, de

manera que cada empresa tiene una sola ubicación. Llamaremos I al conjunto

de los índices asociados a las áreas, y K al de las empresas, es decir I

= y K = . { n,..., , 21 { } m,..., , 21

Suponemos que se cumplen las hipótesis siguientes:

i. El producto es homogéneo y la demanda inelástica.

ii. Cada consumidor compra una unidad en la empresa que le proporciona el

precio más barato. Si en alguna de las áreas dos precios mínimos son

iguales, supondremos que los consumidores eligen la empresa más

cercana. Si también hubiese empate en la distancia, entonces la demanda

se reparte por igual entre las correspondientes empresas.

iii. El producto es enviado a los lugares de consumo desde las empresas,

siendo los costes de transporte con cargo a las mismas.

iv. El coste de transporte es lineal con la distancia y la cantidad de demanda.

v. Existe un precio mínimo en origen igual para todas las empresas.

vi. El beneficio de cada empresa depende de su precio y de los precios de las

otras en cada una de las áreas, no existiendo cooperación entre ellas para

establecer los precios.

3

Denotaremos por w al número de consumidores en el área C y por W al

número total que hay en la región. Sean t el coste de transporte por unidad de

producto y unidad de distancia, la distancia entre los puntos y , el

precio en origen, y el precio de venta de la empresa en el área C .

Obsérvese que aunque los precios son variables, estos deben cumplir que

+ t .

i

ikp

i

icikd kf 0p

kE i

ikp ≥ 0p ikd

Para determinar el beneficio que obtiene cada empresa , una vez que

todas eligen sus precios, tendremos en cuenta que la demanda se reparte

entre ellas según la hipótesis ii). Para cada área C

kE

i definimos los siguientes

conjuntos:

{ } m,...,j pp:Kk MP ijiki 1=∀≤∈=

{ } MPk dd:MPh MPD iikihii ∈∀≤∈=

entonces, si MPD todos los consumidores en el área C{ h i = }

}

i compran en

Eh , y si dicho conjunto contiene más de un índice la demanda se reparte por

igual entre las empresas Eh ,h . iMPD∈

El mercado que consigue cada empresa Ek viene dado por

, con lo cual su beneficio vendrá dado por: { MPDk:Ii M ik ∈∈=

(1) ( ) ( )∑∈

••• −=kMi

iiikikmk1k MPD/w d tp p,...,p,...,pΠ

donde es el vector de precios de cada empresa E( tmjj2j1j p,...,p,pp =• ) j ,

j=1,2,...,m , y iMPD es el número de índices en el conjunto MPD . i

El problema que se plantea es encontrar la mejor localización para una

nueva empresa (Em), en competencia con otras ya existentes (E1 , E2 , ..., Em-1 )

en las condiciones indicadas, y cual deberá ser su vector de precios, con

objeto de obtener un beneficio máximo. Una vez elegida su localización, está

no se modificará en un futuro inmediato, debido a los costes de instalación y

puesta en funcionamiento, sin embargo tendrá que competir en precios con sus

rivales. Por ello, en primer lugar analizaremos la competencia en precios para

cada posible ubicación, y después determinaremos las mejores localizaciones.

4

3. Competencia en precios para localizaciones fijadas

Vamos a ver que para cada conjunto de localizaciones de las empresas,

existe una matriz de precios ( mk1 p,...,p,...,pP •••= ) que están en equilibrio. Es

decir , para cualquier se verifica que:: Kk ∈

( ) ( )mk1 kmk1 k p,...,p,...,pp,...,p,...,p •••••• ≥ ΠΠ , + . ikp ≥ 0p ikd t Ii ∈∀

lo cual significa que cada empresa no puede incrementar su beneficio, si

unilateralmente cambia su vector de precios.

Para cada área Ci definimos los siguientes conjuntos:

{ } Kj dd:Kh A ijih1i ∈∀≤∈=

{ } AKj dd:AKk A 1iijik

1i

2i −∈∀≤−∈=

el primero corresponde a las empresas más cercanas y el segundo a las

siguientes más próximas al área.

Proposición 1

P es una matriz de precios en equilibrio si y solo si se verifica :

a) Si 1A1i = , sea h el índice contenido en ese conjunto, entonces:

== ikih pp + t , 0p ikd 2iAk ∈

ijp arbitrario , kj , hj ≠≠

b) Si 2A1i ≥ , entonces:

=ihp 0p + , h ihd t 1iA∈

ijp arbitrario , 1iAJj −∈

Prueba:

En cada área Ci la demanda es conseguida por aquellas empresas que

ofrezcan el precio más bajo. El menor valor del precio sólo pueden conseguirlo

las que se encuentren más cercanas. Si sólo existe una empresa más cercana

Eh , está puede conseguir toda la demanda en el área a un precio máximo igual

al menor precio de las siguientes empresas más próximas. En equilibrio, una

5

de ellas deberá elegir el precio mínimo, ya que de lo contrario la primera podría

elevar aún más su precio y obtener más beneficio. Ello equivale a que se de la

condición a).

Si hay más de una empresa a mínima distancia del área, todas ellas deben

elegir el precio mínimo para que exista equilibrio. De no ser así, la de mayor

precio obtendría un mayor beneficio cambiando unilateralmente el precio al

mínimo valor. Las otras empresas pueden tener cualquier precio. Esto equivale

a la condición b).

4. Localizaciones óptimas para una nueva empresa

Si se eligen precios de equilibrio, el beneficio de cada empresa Ek

dependerá de su localización y de las localizaciones de las restantes

empresas, es decir viene determinado por una función .

Vamos a obtener cuales serían estas funciones con cualquier matriz

( ) e,...,e,...,eˆmk1kΠ

P de

precios de equilibrio.

Para cualquier área Ci se tiene ahora que . El mercado que

obtiene cada empresa E

=iMPD 1iA

k viene dado por :

{ } 2k

1kik MM MPDk:Ii M U=∈∈=

donde { }{ } k A :i 1i

1k ==M y { } Ak 2 yA :i 1

i1i

2k ∈≥=M . Por consiguiente

sustituyendo las correspondientes cantidades en (1), resulta que:

( ) (( )∑∈

′ −+=1kMi

iikki0mk1k w ddtp e,...,e,...,eΠ̂ ) 1i

Mii0 A/w p

2j

∑∈

+

donde k´ ∈ .Esta función podemos descomponerla en dos sumandos, uno

asociado a la cuota de mercado, y el otro debido al ahorro en transporte que se

origina por el incremento de precio por estar a mínima distancia. Es decir:

2iA

( ) e,...,e,...,eˆmk1kΠ = +

+ ∑∑

∈∈

1i

Mii

Mii0 A/w wp

2k

1k

( )∑∈

′ −1kMi

iikki w ddt

Si las empresas E1 , E2 , ..., Em-1 ya están establecidas en los puntos

,e,...,e,...,e 1mk1 − el beneficio de una nueva empresa Em dependerá de su

6

localización en el mercado. Por tanto será una función del punto em en el cual

se ubique, que vendrá dada por :

( ) =meΠ ( ) e,e,...,e,...,eˆm1mk1m −Π

La determinación de los puntos que maximizan está función es una tarea

compleja, dependiente de cual sea el espacio de localización. Para puntos

alineados en García y Pelegrín (2001) puede verse un procedimiento para ello.

Si consideramos que el desplazamiento se realiza a través de una red de

transporte, en cuyos nodos se agrega la demanda y se localizan las empresas,

podemos determinar fácilmente los puntos óptimos. Para ello, evaluaríamos la

función , con e( meΠ ) m variando en cada uno de los nodos candidatos para su

ubicación, y obtendríamos los que le proporcionan un mayor beneficio.

El modelo puede ser generalizado a localizar más de un punto de venta, sin

más que sumar el beneficio que le proporcionaría cada uno de ellos. Es decir, si

las empresas ya establecidas están en p puntos p1 e,...,e , y una nueva se

ubicase en m-p lugares distintos , el beneficio que obtendría es: m1p e,...,e +

( ) =+ m1p e,...,eΠ ( ) e,...,e,e,...,eˆm1pp1k

m

1pk+

+=∑ Π

5. Aplicación a la Región de Murcia

En la región de Murcia existen 45 municipios. En cada una de ellos,

suponemos que uno de cada 500 habitantes demanda un determinado

producto. La red de carreteras es reflejada en la Fig. 1 y los niveles de

demanda en la Tabla 1. Los lugares candidatos a localizar cada una de las

empresas son los municipios de más de 20.000 habitantes. Designaremos por

F al conjunto de índices asociados a los mismos. La Tabla 2 recoge las

distancias en kms. entre estos municipios y las cabeceras municipales. Todos

los datos se presentan en el anexo.

En situación de monopolio la localización mejor para una empresa que

oferta dicho producto es aquella que minimice el coste total de transporte, es

decir una solución al problema:

7

F f : w d t Minimizar iif

n

1i

∈∑

=

Obsérvese que la solución óptima no depende del valor de t . Evaluando dicho

coste para cada índice se obtiene que el valor mínimo corresponde a Murcia .

Así pues, vamos a considerar que ya existe una empresa en Murcia (el

punto 1e del modelo es el nodo 31) y que una segunda empresa va a entrar

en dicho mercado. Si ambas eligen los precios de equilibrio, resulta que la

mejor localización para la nueva es una solución óptima del problema:

Maximizar { [ +

+ ∑∑

∈∈

1i

Mii

Mii A/w w r t

2f

1f

( ) ] } Ff : w dd 1fMi

iif31i ∈−∑∈

donde hemos tomado r , que es la tasa de precio en origen por coste

unitario de transporte. Observemos que ahora la solución óptima depende del

valor que tenga la tasa r .

tp /= 0

Para cada uno de los índices de F , diferente de 31, utilizando una

implementación en Microsoft EXCEL, hemos evaluado independientemente

cada uno de los dos términos de la función beneficio, que se corresponden con

la cuota de mercado y el ahorro por mínima distancia. Esto nos permite obtener

el beneficio como una función lineal de la tasa r , y a partir de su

representación gráfica para cada índice se ha determinado el beneficio máximo

y la mejor localización cualquiera que sea el valor de la tasa. Los resultados se

reflejan en la Tabla 3, donde se aprecia que para valores de la tasa menores

que 93.51 la mejor ubicación es Cartagena (nodo 17), con valores superiores

es Alcantarilla ( nodo 5), y para dicho valor ambas son localizaciones óptimas.

En la tabla se muestran también los niveles capturados y el ahorro por

distancia de las dos empresas en cada caso.

Consideremos ahora dos empresas establecidas en Murcia y Cartagena

(los puntos 1e y 2e del modelo son los nodos 31 y 17 ). Para obtener la mejor

localización de una tercera empresa, hemos seguido un proceso de cálculo

similar al anterior. Los resultados se reflejan en la Tabla 4, donde se observa

que la mejor ubicación para la tercera empresa es Molina de Segura si la tasa

es menor o igual a 29.67, y Alcantarilla si es superior o igual a dicho valor.

8

En el caso de que las dos empresas ya ubicadas estén en Murcia y

Alcantarilla ( 1e y 2e del modelo son los nodos 31 y 5 )., se obtiene que la

mejor localización para la tercera es Cartagena, cualquiera que sea la tasa (ver

Tabla 5).

6. Bibliografía

1. Artle R. and Carruthers N. (1988), “Location and Market Power: Hotelling

Revisited”, Journal of Regional Science, vol.28, 15-27.

2. D´Aspremont C., Gabszewicz J. and Thisse J.F. (1979), “On Hotelling´s

Stability in Competition”, Econometrica , vol. 47, 1145-1150.

3. De Palma A. Ginsburgh V., Papageorgiou Y.Y. and Thisse (1985), “The

principle of minimum differenciation holds under sufficient hetereogeneity”,

Econometrica , 53, 767-781.

4. Eaton B.C. (1972), “Spatial competition revisited”, Canadian Journal of

Economics, 5 , 268-278.

5. Gabszewicz J.J. and Thisse J.F. (1986), “Spatial competition and the

location of firms”, Fundamentals of Pure and Applied Economics, 5, 1-71.

6. Gabszewicz J.J. and Thisse J.F. (1992), “Location”, Handbook of Game

Theory with Economic Applications, R. Aumann and S. Hart Editors, Elsevier

Science Publishers, Amsterdam, 281-304.

7. García Pérez M. D. y Pelegrín Pelegrín B. (2001). Localización en una

red tipo árbol con precios variables, Actas del XXVI Congreso Nacional

de la SEIO, 6-9 noviembre, Ubeda (Jaén)

8. Hamilton J.H. and Thisse J.F. (1993), “Competitive spatial price

discrimination with capacity constraints”, Transportation Science, 27, 55-61.

9. Hotelling H. (1929), “ Stability in Competition”, Economic Journal, 39, 41-57.

10. Kilkenny, M. and Thisse, J.-F. (1999), “Economics of location: A selective

survey”, Computers & Operations Research, 26, 1369-1394.

11. Kohlberg E. and Novshek W. (1982), “Equilibrium in a price-location model”,

Economics Letters , 9 , 7-15.

9

12. Lederer P.J. and Hurter A. P. (1986), “Competition of firms, discriminatory

pricing and location”, Econometrica , 54, 623-640.

13. Novshek W. (1980), “Equilibrium in simple spatial (or differentiated product)

models”, Journal of Economic Theory, 22, 313-326.

14. Osborne M.J. and Pitchik C. (1986), The Nature of Equilibrium in a Location

Model”, International Economic Review, vol. 27, 223-237.

15. Osborne M.J. and Pitchik C. (1987), “Equilibrium in Hotelling´s Model of

Spatial Competition, Econometrica, vol. 55, 911-922.

10

ANEXO

Fig. 1 : Cabeceras municipales y carreteras de la Región de Murcia

11

Municipios Nivel de Demanda Municipios Nivel de

Demanda

Región de Murcia 2.260

23. Jumilla 41 1. Abanilla 12 24. Librilla 8 2. Abarán 24 25. Lorca 141 3. Águilas 54 26. Lorquí 11 4. Albudeite 3 27. Mazarrón 35

5. Alcantarilla 66 28. Molina de Segura 86

6. Alcázares (Los) 14 29. Moratalla 17 7. Aledo 2 30. Mula 27 8. Alguazas 14 31. Murcia 707 9. Alhama de

Murcia 31 32. Ojós 1

10. Archena 29 33. Pliego 7

11. Beniel 16 34. Puerto Lumbreras 21

12. Blanca 11 35. Ricote 3 13. Bullas 21 36. San Javier 37

14. Calasparra 18 37. San Pedro del Pinatar 30

15. Campos del Rio 4 38. Santomera 21 16. Caravaca de la

Cruz 45 39. Torre Pacheco 44

17. Cartagena 355 40. Torres de Cotillas (Las) 31

18. Cehegín 28 41. Totana 44 19. Ceutí 14 42. Ulea 2 20. Cieza 63 43. Unión (La) 29

21. Fortuna 13 44. Villanueva del Río Segura 3

22. Fuente Álamo 19 45. Yecla 58

Tabla 1: Cabeceras municipales y niveles de demanda.

12

Águilas Alcanta. Carav. Cartag. Cieza Jumilla Lorca Molina Murcia T.Pach. T.Cotill. Yecla Abanilla 125 34 80 78 44 52 90 28 27 64 32 51 Abarán 138 38 61 88 5 42 103 28 40 77 30 68 Águilas 0 96 96 88 143 177 35 106 103 95 105 203 Albud. 97 17 48 74 47 81 64 18 26 55 17 107 Alcanta. 96 0 64 50 43 74 55 10 7 38 9 100 Alcázar. 111 42 110 23 85 104 90 51 40 11 51 116 Aledo 63 43 84 68 88 128 28 53 54 67 52 154 Alguaz. 107 11 62 61 32 66 66 4 14 49 3 92 Alhama 73 23 65 54 66 104 32 33 30 53 32 130 Archena 118 22 59 72 22 52 77 17 22 60 14 78 Beniel 120 24 87 62 62 77 80 28 17 42 31 76 Blanca 138 35 65 83 9 47 90 28 35 73 27 72 Bullas 89 47 17 97 39 72 54 49 53 85 48 98 Calasp. 96 61 24 111 35 49 85 78 60 99 62 75 Campos 101 18 52 68 42 77 68 14 22 56 13 103 Carav. 96 64 0 114 57 73 71 66 73 102 65 99 Cartag. 88 50 114 0 93 122 80 59 48 17 59 140 Cehegín 99 57 7 107 50 68 64 59 69 95 58 94 Ceutí 112 16 59 65 28 56 71 9 17 54 8 82 Cieza 143 43 57 93 0 36 95 31 42 82 35 62 Fortuna 129 33 71 74 39 57 89 19 26 63 23 55 F.Álamo 72 36 93 26 77 109 54 46 35 25 45 135 Jumilla 177 74 73 122 36 0 137 63 74 111 68 26 Librilla 75 15 61 55 58 96 40 25 22 53 24 122 Lorca 35 55 71 80 95 137 0 65 63 79 64 163 Lorquí 114 18 61 63 28 54 73 7 15 52 10 80 Mazarr. 48 54 102 40 97 144 51 64 70 52 63 170 Molina 106 10 66 59 31 63 65 0 11 48 4 89 Morat. 109 77 13 127 57 70 84 79 79 115 78 96 Mula 96 28 36 78 39 76 61 29 34 66 29 102 Murcia 103 7 73 48 42 74 63 11 0 37 15 92 Ojós 125 29 62 78 15 52 84 24 30 67 21 78 Pliego 89 29 43 76 46 83 54 32 42 73 31 109 P-Lumb. 30 72 88 97 112 154 17 68 80 96 81 180 Ricote 128 32 59 81 18 55 87 27 27 64 24 81 S. Javier 111 43 107 31 84 116 90 53 42 15 52 128 S. Pedro 115 47 111 35 88 120 94 57 46 20 57 132 Santom. 17 21 87 62 56 69 77 25 14 47 28 68 T.Pach. 95 38 102 17 82 111 79 48 37 0 47 115 T.Cotill. 105 9 65 59 35 68 64 4 15 47 0 94 Totana 55 35 72 60 78 116 20 45 42 59 44 142 Ulea 122 26 61 73 20 57 81 21 25 62 18 83 Union 97 9 123 9 102 131 89 68 60 20 68 130 Villan. 121 25 60 71 19 56 80 20 23 60 17 82 Yecla 203 100 99 140 62 26 163 89 92 115 94 0

Tabla 2: Distancia municipios – posibles localizaciones.

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Niveles de Demanda Ahorro-Distancia

Intervalo para r

Localización E2

E1 (Murcia) E2

E1 (Murcia) E2

(0, 93.51] Cartagena 1643.0 617.0 70536 22405

[93.51, ∞) Alcantarilla 1466.5 793.5 6852 6352

Tabla 3: Localizaciones óptimas para la segunda empresas.

Niveles de Demanda Ahorro-Distancia

Intervalo para r

Localización E3

E1 (Murcia)

E2 (Cartagena) E3 E1

(Murcia) E2

(Cartagena) E3

(0,29.67] Molina de Segura 1074.0 617.0 569.0 9249 22195 4763

[29.67, ∞) Alcantarilla 967.5 602.5 690.0 5984 19988 3935

Tabla 4 : Localizaciones óptimas para la tercera empresa.

Niveles de Demanda Ahorro-Distancia

Intervalo para r

Localización E3

E1 (Murcia)

E2 (Alcantarilla) E3 E1

(Murcia) E2

(Alcantarilla) E3

(0, ∞) Cartagena 967.5 690.0 602.5 5948 3935 19988

Tabla 5 : Localización óptima para la tercera empresa.

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