Autor: Piotr Szlagor

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie brzmi następująco:

Jeżeli ramiona kąta są przecięte prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

k || l

Dowód Twierdzenia

Przed rozpoczęciem dowodu warto przypomnieć sobie dwa inne twierdzenia:

Twierdzenie 1.

Jeśli dwa trójkąty mają równe wysokości, to stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw.

Twierdzenie 2.

Jeśli dwa trójkąty mają wspólną podstawę i równe wysokości to ich pola są równe.

Dowód Twierdzenia

1. Trójkąty ADC i COA mają tą samą wysokość h2, a więc zgodnie z przywołanym pierwszym twierdzeniem:

Dowód Twierdzenia

2. Trójkąty ADC i BCA mają tą samą podstawę AC i wysokość h, a więc zgodnie z drugim twierdzeniem ich pola są równe, a dalej:

Dowód Twierdzenia

3. Trójkąty ABC i ACO mają również tą samą wysokość, z czego wynika:

Dowód Twierdzenia

4. Zbierzmy więc wszystkie informacje, do których doszliśmy. Otrzymamy następującą równość:

a dalej:

Tym sposobem Twierdzenie Talesa zostało udowodnione.