Klasa 1tes

Temat : Interpretacja geometryczna układu równań liniowych- zadania. ( str. 208- 211)

(Temat lekcji z 25 maja 2020r.)

1.Układ nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.W metodach algebraicznych rozpoznajemy go, gdy w trakcie obliczeń, w pewnym momencie obie strony równania skracają się i powstaje równość: 0 = 0.W metodzie graficznej, po przekształceniu obu równań do postaci funkcji liniowej, okazuje się, że otrzymaliśmy dwie identyczne funkcje. Wykresem jest więc jedna prosta.

Gdy ustalimy, że dany układ jest nieoznaczony, należy zapisać: „Układ jest nieoznaczony” oraz, że ma nieskończenie wiele rozwiązań.

2.Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań:

3. Układ sprzeczny - nie ma rozwiązań.W metodach algebraicznych rozpoznajemy go, gdy w trakcie obliczeń, jedna ze stron równania skraca się do 0, a po drugiej stronie otrzymujemy jakąś wartość liczbową, co w efekcie daje nam nieprawdziwy zapis (np. 0 = 4 ). W takim wypadku, znak równości należy przekreślić (np. 0 4). W metodzie graficznej rozpoznajemy go, gdy narysowane w układzie współrzędnych proste są równoległe.

Gdy ustalimy, że dany układ jest sprzeczny, należy zapisać: „Układ jest sprzeczny” oraz „ x = ” (czyt. x należy do zbioru pustego).

4.Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań:

5.Analiza przykładu 2 i 3/ 209 ( przeczytać i przemyśleć)

6. Ćw.2/209 ( zrobić tylko graficznie, a jest sprzeczny, b nieoznaczony, c sprzeczny)

Warto obejrzeć: https://zadaniacke.pl/teoria/metoda-graficzna/ https://www.matemaks.pl/metoda-graficzna.html

Praca domowa: Zad.1 e,f /210; Zad. 2e,f / 210; Zad. 3/210 Karty pracy: str. 98

Temat : Funkcja liniowa - zastosowania. ( str. 212- 214)

(Temat lekcji z 28 maja 2020r.)

1.Zadanie: Znajdź trzy takie liczby, których suma jest równa 85. Pierwsza z tych liczb jest o 7 większa od drugiej i jest jednocześnie dwa razy mniejsza od trzeciej.

x to pierwsza liczba

x – 7 to druga liczba

 2x to trzecia liczba

Ponieważ suma tych trzech liczb jest równa 85, piszemy równanie

x + x − 7 + 2x = 85.

x + x + 2x = 85 +7

4x = 92

x = 23.

Odp: Pierwsza z tych liczb to 23, druga to 16, a trzecia to 46.

2. Zadanie: Uczniowie rozwiązywali zadanie, za które można było otrzymać 0, 1 lub 2 punkty. Po ukończeniu pracy okazało się, że 2/3 uczniów otrzymało 2 punkty, 25% pozostałych otrzymało za rozwiązanie zadania 1 punkt, a 9 uczniów otrzymało 0 punktów. Oblicz, ilu uczniów rozwiązywało zadanie.

Oznaczmy przez x liczbę uczniów rozwiązujących zadanie. Wtedy 2/3 x to liczba uczniów, którzy uzyskali za zadanie 2 punkty, a 25%( x – 2/3x) to liczba uczniów, którzy uzyskali 1 punkt.

Otrzymujemy równanie x + 25% ⋅ x + 9 = x.

x− x − ⋅ x = 9 / 12

12x − 8x – x = 9⋅12

3x=108

x=36.

Zatem zadanie rozwiązywało 36 uczniów.∙ 36 = 24 - uczniowie, którzy otrzymali 2 punkty25% 12 = 3 - uczniowie, którzy otrzymali 1 punkt36 – 24 – 3 = 9 - uczniowie, którzy otrzymali 0 punktów.

3 Zadanie :Droga z Piotrkowa do Łodzi ma 54 km długości. O godz. 700 wyjechały tą drogą naprzeciw siebie dwa samochody: z Piotrkowa – samochód osobowy, a z Łodzi – samochód ciężarowy. Samochody te minęły się o godzinie 7.30. W jakiej odległości od Piotrkowa nastąpiło spotkanie tych pojazdów, jeżeli średnia prędkość samochodu osobowego była w tym czasie o 25% większa niż średnia prędkość samochodu ciężarowego? x to średnia prędkość samochodu ciężarowego

125% x to średnia prędkość samochodu osobowego Do momentu spotkania każdy z pojazdów jechał przez pół godziny, czyli samochód ciężarowy przejechał 0,5x km, a samochód osobowy pokonał drogę długości 0,5 ⋅ 1,25 x km. Suma długości tych dróg jest równa 54 km, a zatem

0,5x + 0,5 ⋅ 1,25 x  = 54,

4x + 5x = 432

9x = 432

x= 48.

Odp: Samochód ciężarowy przejechał 24 km, czyli spotkanie nastąpiło w odległości 30 km od Piotrkowa.

4. Zadanie :Wyznacz wszystkie pary różnych liczb całkowitych, których suma jest równa 130, a większa z nich jest mniejsza od 68.

Oznaczmy mniejszą z liczb przez x. Wtedy większa z nich, która jest równa 130−x, spełnia dwa warunki 130 − x > x i  130−x < 68.Wynika z tego, że 2x < 130 i x > 130 − 68,czyli x < 65 i x > 62.Stąd x = 63 lub x = 64. Odp: Są dwie pary liczb całkowitych spełniających warunki zadania 63 i 67 oraz 64 i  66.

5.Zadanie:Na szkolną akademię przyszło 520 uczniów. Można było usiąść na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie 164 krzesła i ławki. Uczniów, którzy zajęli miejsca siedzące było 7 razy więcej niż pozostałych. Ustal, ile krzeseł było zajętych.

Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to

⋅ 520, czyli 455 osób.Oznaczmy przez x liczbę zajętych krzeseł, a przez y – liczbę zajętych ławek.

Odp: Podczas akademii było zajętych 67 krzeseł.

Praca domowa: Ćw. 3 / 212

Temat : Powtórzenie wiadomości o funkcji liniowej. ( str. 218- 222)

(Temat lekcji z 28 maja 2020r.)

1. Wykres funkcji liniowej i jej własności.

2. Zadania z parametrem.

3. Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dwa punkty.

4. Wyznaczanie równania prostej równoległej i prostej prostopadłej.

5. Rozwiązywanie układów równań algebraicznie i graficznie.

Ad.1 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = - 2x + 3 i podaj jej własności.

f(x) = -2x + 3 a = -2 b = 3

x

-1

1

f(x)

5

1

( Proszę samodzielnie zrobić wykres)Własności: D = R

ZW = R

Punkt przecięcia z osią OY; (0; b) = ( 0; 3)

Miejsce zerowe: -2x + 3 = 0 lub ze wzoru x0 =

- 2x = - 3 /-2

x =

funkcja jest malejąca ( a< 0)

wartości dodatnie dla x ( - ), wartości ujemne dla x ( )

Ad.2

· Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x)= ( 3m - 1)x + 3 jest:

a) rosnąca, b) malejąca, c) stała?

a) f(x) jest rosnąca <=> a > 0 ,

a = 3m -1 czyli 3m – 1 > 0

3m > 1 / 3

m >

odp. Funkcja jest rosnąca dla m ( )

b) f(x) jest malejąca <=> a < 0 ,

a = 3m -1 czyli 3m – 1 < 0

3m < 1 / 3

m <

odp. Funkcja jest malejąca dla m ( - ; )

c) f(x) jest stała <=> a = 0 ,

a = 3m -1 czyli 3m – 1 = 0

3m = 1 / 3

m =

odp. Funkcja jest stała dla m

· Dla jakiej wartości parametru m miejscem zerowym funkcji f(x) = (3m + 1)x +2 jest liczba 6?

a = 3m + 1 b = 2 x0 = 6

podstawiamy do wzoru x0 = czyli 6 = /

18m + 6 = -2

18m = - 2 -6

18m = - 8 /18

m =

druga metoda to podstaw za x liczbę 6 i przyrównaj do zera.

Ad.3

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A (-2; 3) B(2; 5).

Metoda do wyboru: układ równań, wzór – tablice żółte, za pomocą współczynnika kierunkowego.

y = ax + b ; a = = podstaw i przelicz =

y = x + b podstawiam współrzędne punktu B

5 = + b przelicz b = 4

Odp. y = x + 4

Ad. 4

· Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k: 2x – 3y + 1 = 0 przechodzącej przez punkt A( -2,7).

2x – 3y + 1 = 0 przechodzimy z postaci ogólnej na kierunkową

– 3y = - 2x - 1 /(-3)

y =

proste są równoległe gdy mają równe współczynniki kierunkowe, a = a1

l: y = = + b podstawiamy współrzędne punktu A

7 = + b b = 8

Odp. l: y = = + 8

· Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej k: x – 2y + 3 = 0 przechodzącej przez punkt C( -1; 2).

k: x – 2y + 3 = 0 przechodzimy z postaci ogólnej na kierunkową, patrz przykład wyżej

k: y = , a =

proste prostopadłe spełniają warunek: a a1 = - 1

a1 = -2 l: y = -2x + b podstawiamy współrzędne punktu C

2 = - 2 ( - 1) + b

b = 0

odp. l: y = -2x

Ad.5 Zad. 4 a/ 219 ( zrobić)

Praca domowa:

Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności: a) y = 4x – 2, b) y =

Zad. 4 /218

Zad.7 b, d / 218

Zad. 8 b, d, e /218

Zad.2 /219

zad.4 a, d, f /219

Proszę zrobić notatkę i dokładne wykresy. Kończymy dział i w następnym tygodniu będzie sprawdzian. Proszę do mnie przesłać zdjęcia rozwiązań zadań z prac domowych z podręcznika (podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą na każdej stronie) do 30 maja 2020 r. na adres: sia.so@poczta.onet.pl

Klasa 1tfg

Temat : Interpretacja geometryczna układu równań liniowych- zadania. ( str. 208- 211)

(Temat lekcji z 25 maja 2020r.)

1.Układ nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.W metodach algebraicznych rozpoznajemy go, gdy w trakcie obliczeń, w pewnym momencie obie strony równania skracają się i powstaje równość: 0 = 0.W metodzie graficznej, po przekształceniu obu równań do postaci funkcji liniowej, okazuje się, że otrzymaliśmy dwie identyczne funkcje. Wykresem jest więc jedna prosta.Gdy ustalimy, że dany układ jest nieoznaczony, należy zapisać: „Układ jest nieoznaczony” oraz, że ma nieskończenie wiele rozwiązań.2.Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań:

3. Układ sprzeczny - nie ma rozwiązań.W metodach algebraicznych rozpoznajemy go, gdy w trakcie obliczeń, jedna ze stron równania skraca się do 0, a po drugiej stronie otrzymujemy jakąś wartość liczbową, co w efekcie daje nam nieprawdziwy zapis (np. 0 = 4 ). W takim wypadku, znak równości należy przekreślić (np. 0 4). W metodzie graficznej rozpoznajemy go, gdy narysowane w układzie współrzędnych proste są równoległe.

Gdy ustalimy, że dany układ jest sprzeczny, należy zapisać: „Układ jest sprzeczny” oraz „ x = ” (czyt. x należy do zbioru pustego).

4.Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań:

5.Analiza przykładu 2 i 3/ 209 ( przeczytać i przemyśleć)

6. Ćw.2/209 ( zrobić tylko graficznie, a jest sprzeczny, b nieoznaczony, c sprzeczny)

Warto obejrzeć: https://zadaniacke.pl/teoria/metoda-graficzna/ https://www.matemaks.pl/metoda-graficzna.html

Praca domowa: Zad.1 e,f /210; Zad. 2e,f / 210; Zad. 3/210 Karty pracy: str. 98

Temat : Funkcja liniowa - zastosowania. ( str. 212- 214)

(Temat lekcji z 28 maja 2020r.)

1.Zadanie: Znajdź trzy takie liczby, których suma jest równa 85. Pierwsza z tych liczb jest o 7 większa od drugiej i jest jednocześnie dwa razy mniejsza od trzeciej.

x to pierwsza liczba

x – 7 to druga liczba

 2x to trzecia liczba

Ponieważ suma tych trzech liczb jest równa 85, piszemy równanie

x + x − 7 + 2x = 85.

x + x + 2x = 85 +7

4x = 92

x = 23.

Odp: Pierwsza z tych liczb to 23, druga to 16, a trzecia to 46.

2. Zadanie: Uczniowie rozwiązywali zadanie, za które można było otrzymać 0, 1 lub 2 punkty. Po ukończeniu pracy okazało się, że 2/3 uczniów otrzymało 2 punkty, 25% pozostałych otrzymało za rozwiązanie zadania 1 punkt, a 9 uczniów otrzymało 0 punktów. Oblicz, ilu uczniów rozwiązywało zadanie.

Oznaczmy przez x liczbę uczniów rozwiązujących zadanie. Wtedy 2/3 x to liczba uczniów, którzy uzyskali za zadanie 2 punkty, a 25%( x – 2/3x) to liczba uczniów, którzy uzyskali 1 punkt.

Otrzymujemy równanie x + 25% ⋅ x + 9 = x.

x− x − ⋅ x = 9 / 12

12x − 8x – x = 9⋅12

3x=108

x=36.

Zatem zadanie rozwiązywało 36 uczniów.∙ 36 = 24 - uczniowie, którzy otrzymali 2 punkty25% 12 = 3 - uczniowie, którzy otrzymali 1 punkt36 – 24 – 3 = 9 - uczniowie, którzy otrzymali 0 punktów.

3 Zadanie :Droga z Piotrkowa do Łodzi ma 54 km długości. O godz. 700 wyjechały tą drogą naprzeciw siebie dwa samochody: z Piotrkowa – samochód osobowy, a z Łodzi – samochód ciężarowy. Samochody te minęły się o godzinie 7.30. W jakiej odległości od Piotrkowa nastąpiło spotkanie tych pojazdów, jeżeli średnia prędkość samochodu osobowego była w tym czasie o 25% większa niż średnia prędkość samochodu ciężarowego?

x to średnia prędkość samochodu ciężarowego

125% x to średnia prędkość samochodu osobowego Do momentu spotkania każdy z pojazdów jechał przez pół godziny, czyli samochód ciężarowy przejechał 0,5x km, a samochód osobowy pokonał drogę długości 0,5 ⋅ 1,25 x km. Suma długości tych dróg jest równa 54 km, a zatem

0,5x + 0,5 ⋅ 1,25 x  = 54,

4x + 5x = 432

9x = 432

x= 48.

Odp: Samochód ciężarowy przejechał 24 km, czyli spotkanie nastąpiło w odległości 30 km od Piotrkowa.

4. Zadanie :Wyznacz wszystkie pary różnych liczb całkowitych, których suma jest równa 130, a większa z nich jest mniejsza od 68.

Oznaczmy mniejszą z liczb przez x. Wtedy większa z nich, która jest równa 130−x, spełnia dwa warunki 130 − x > x i  130−x < 68.Wynika z tego, że 2x < 130 i x > 130 − 68,czyli x < 65 i x > 62.Stąd x = 63 lub x = 64. Odp: Są dwie pary liczb całkowitych spełniających warunki zadania 63 i 67 oraz 64 i  66.

5.Zadanie:Na szkolną akademię przyszło 520 uczniów. Można było usiąść na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie 164 krzesła i ławki. Uczniów, którzy zajęli miejsca siedzące było 7 razy więcej niż pozostałych. Ustal, ile krzeseł było zajętych.

Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to

⋅ 520, czyli 455 osób.Oznaczmy przez x liczbę zajętych krzeseł, a przez y – liczbę zajętych ławek.Wówczas

skąd

Wobec tego x = 67, czyli podczas akademii było zajętych 67 krzeseł.

Praca domowa: Ćw. 3 / 212

Temat : Powtórzenie wiadomości o funkcji liniowej. ( str. 218- 222)

(Temat lekcji z 29 maja 2020r.)

1. Wykres funkcji liniowej i jej własności.

2. Zadania z parametrem.

3. Wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dwa punkty.

4. Wyznaczanie równania prostej równoległej i prostej prostopadłej.

5. Rozwiązywanie układów równań algebraicznie i graficznie.

Ad.1 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = - 2x + 3 i podaj jej własności.

f(x) = -2x + 3 a = -2 b = 3

x

-1

1

f(x)

5

1

( Proszę samodzielnie zrobić wykres)Własności: D = R

ZW = R

Punkt przecięcia z osią OY; (0; b) = ( 0; 3)

Miejsce zerowe: -2x + 3 = 0 lub ze wzoru x0 =

- 2x = - 3 /-2

x =

funkcja jest malejąca ( a< 0)

wartości dodatnie dla x ( - ), wartości ujemne dla x ( )

Ad.2

· Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x)= ( 3m - 1)x + 3 jest:

a) rosnąca, b) malejąca, c) stała?

d) f(x) jest rosnąca <=> a > 0 ,

a = 3m -1 czyli 3m – 1 > 0

3m > 1 / 3

m >

odp. Funkcja jest rosnąca dla m ( )

e) f(x) jest malejąca <=> a < 0 ,

a = 3m -1 czyli 3m – 1 < 0

3m < 1 / 3

m <

odp. Funkcja jest malejąca dla m ( - ; )

f) f(x) jest stała <=> a = 0 ,

a = 3m -1 czyli 3m – 1 = 0

3m = 1 / 3

m =

odp. Funkcja jest stała dla m

· Dla jakiej wartości parametru m miejscem zerowym funkcji f(x) = (3m + 1)x +2 jest liczba 6?

a = 3m + 1 b = 2 x0 = 6

podstawiamy do wzoru x0 = czyli 6 = /

18m + 6 = -2

18m = - 2 -6

18m = - 8 /18

m =

druga metoda to podstaw za x liczbę 6 i przyrównaj do zera.

Ad.3

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A (-2; 3) B(2; 5).

Metoda do wyboru: układ równań, wzór – tablice żółte, za pomocą współczynnika kierunkowego.

y = ax + b ; a = = podstaw i przelicz =

y = x + b podstawiam współrzędne punktu B

5 = + b przelicz b = 4

Odp. y = x + 4

Ad. 4

· Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k: 2x – 3y + 1 = 0 przechodzącej przez punkt A( -2,7).

2x – 3y + 1 = 0 przechodzimy z postaci ogólnej na kierunkową

– 3y = - 2x - 1 /(-3)

y =

proste są równoległe gdy mają równe współczynniki kierunkowe, a = a1

l: y = = + b podstawiamy współrzędne punktu A

7 = + b b = 8

Odp. l: y = = + 8

· Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej k: x – 2y + 3 = 0 przechodzącej przez punkt C( -1; 2).

k: x – 2y + 3 = 0 przechodzimy z postaci ogólnej na kierunkową, patrz przykład wyżej

k: y = , a =

proste prostopadłe spełniają warunek: a a1 = - 1

a1 = -2 l: y = -2x + b podstawiamy współrzędne punktu C

2 = - 2 ( - 1) + b

b = 0

odp. l: y = -2x

Ad.5 Zad. 4 a/ 219 ( zrobić)

Praca domowa:

· Naszkicuj wykres funkcji i podaj jej własności: a) y = 4x – 2, b) y =

· Zad. 4 /218

· Zad.7 b, d / 218

· Zad. 8 b, d, e /218

· Zad.2 /219

· Zad.4 a, d, f /219

Proszę zrobić notatkę i dokładne wykresy. Kończymy dział i w następnym tygodniu będzie sprawdzian. Proszę do mnie przesłać zdjęcia rozwiązań zadań z prac domowych z podręcznika (podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą na każdej stronie) do 30 maja 2020 r. na adres: sia.so@poczta.onet.pl

Klasa 1 Th

Temat: Twierdzenie Talesa ( str. 261 - 266)

( Temat na 2 lekcje z 26 i 27 maja 2020 r. )

1. Twierdzenie Talesa: „Jeżeli dany jest kąt, którego ramiona są przecięte prostymi równoległymi, to odcinki powstałe w wyniku przecięcia tych prostych na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków z drugiego ramienia kąta.”2.Proporcje wynikające z twierdzenia Talesa

Proporcje wynikające z twierdzenia Talesa – ciąg dalszy

Należy zauważyć podobieństwo między dwoma rysunkami przedstawionymi powyżej. Wszystkie proporcje z obu rysunków przedstawiających Twierdzenie Talesa są identyczne. Teraz zatrzymaj się i porównaj oba rysunki.

3. Na podstawie twierdzenia Talesa oblicz długość odcinka oznaczonego literą x.

Odcinek czerwony spada na żółty, a niebieski spada na zielony. Otrzymujemy proporcję „20 spada na 24” równa się „30 spada na” x. Można tutaj zbudować jeszcze inne proporcje, ale przedstawiona tutaj jest najprostsza.

4.Na podstawie twierdzenia Talesa oblicz literkę x.

5. Oblicz długość odcinków oznaczonych literami x i y.

Tutaj mamy pozornie trudniejsze zadanie. Jak zastosujesz tutaj „spadanie odcinków” zadanie jest proste. Odcinek czerwony spada na żółty, a różowy na pomarańczowy – zatem przechodząc na liczby otrzymujemy proporcję: czyli x 3 = 9 2 /: 3 x = 6

Po rozwiązaniu tej proporcji można zbudować kolejną w celu obliczenia niewiadomej y. Widzimy, że odcinek niebieski spada na zielony, a różowy na pomarańczowy. Analizując tak „spadające odcinki” otrzymujemy równanie: : czyli y 2 = 2 3 /: 2 y = 36. W twierdzeniu odwrotnym do twierdzenia Talesa mamy sytuację analogiczną, z tą różnicą, że dany mamy stosunek odcinków, a pytanie, które zadajemy to: „Czy te proste są równoległe?”.

Uwaga: Warunek można zastąpić równoważnymi warunkami. Proporcji do tego warunku szukamy analogicznie jak w twierdzeniu Talesa.

7.

8.

Praca domowa: Zad.1 /262

Ćw.3/ 262

Temat: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia odwrotnego do rozwiązywania zadań

dotyczących obliczania pól i obwodów wielokątów. ( str. 261 - 266)

( Temat na lekcji z 28 maja 2020 r. )

1. Zad 5/ 293

2. Zad. 6/293

3. Zad.7 /293

Przypominam, że do każdego zadania z geometrii muszą być rysunki a do każdego zadania z treścią odpowiedź. Proszę pisać starannie i zadbać o dobrą jakość zdjęć.

Proszę przesłać mi zdjęcia rozwiązań zadań z obu prac domowych i zadań z zastosowania

tw. Pitagorasa ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą na każdej stronie) oraz nauczyć się pojęć z geometrii do 30 maja 2020r. na adres: sia.so@poczta.onet.pl

Klasa 1K

Temat : Interpretacja geometryczna układu równań liniowych. ( str.143- 147 )

( Temat lekcji z 25 maja 2020r.)

1.Metoda graficzna rozwiązywania układów równań liniowy

Metoda graficzna rozwiązywania układów równań liniowych polega na wykreśleniu w układzie współrzędnym prostych odpowiadających równaniom układu. Jeżeli wykreślone proste

· przecinają się - układ równań posiada dokładnie jedno rozwiązanie (układ oznaczony). Rozwiązaniem układu są współrzędne punktu przecięcia, które odczytujemy z wykresu.

· pokrywają się - układ równań posiada wówczas nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony). Rozwiązaniami układu są współrzędne punktów leżących na prostych.

 

· są do siebie równoległe - układ równań nie posiada wtedy rozwiązań (układ sprzeczny)

2.Metoda graficzna jest metodą przybliżoną znajdywania rozwiązań liniowych układów równań. Niekiedy bardzo ciężko precyzyjnie odczytać punkt przecięcia prostych, szczególnie wtedy, gdy współrzędne nie są całkowite np. ( )

3.Rozwiąż metodą graficzną układ równań:

Przekształcamy równania, do postaci prostej kierunkowej.

Pierwsza prosta: / (-1)

wybieramy dwa punkty leżące na tej prostej, np.: punkty wspólne z osiami układu współrzędnych: OX: ( - 2: 0) OY: ( 0; 4 )

Druga prosta: /: (-2)

wybieramy dwa punkty leżące na tej prostej, np.: punkty wspólne z osiami układu współrzędnych: OX: ( 4: 0) OY: ( 0; - 2 )

Rysujemy proste w układzie współrzędnych.

Otrzymaliśmy układ oznaczony. Proste mają punkt wspólny ( -4: - 4), który jest jedynym rozwiązaniem układu.

4.Rozwiąż metodą graficzną układ równań:

KROK I Oba równania doprowadzamy do postaci y=… (do postaci funkcji liniowej).

KROK II :Rysujemy wykresy obu funkcji. W tym celu, tak jak dla wszystkich funkcji, możemy stworzyć tabelki pomocnicze, w których zapiszemy współrzędne 3 punktów dla każdej funkcji. Następnie w układzie współrzędnych zaznaczmy punkty obu funkcji i łączymy je prostymi. Po narysowaniu wykresów funkcji w tym samym układzie współrzędnych, odczytujemy punkt przecięcia obu prostych. Współrzędne tego punktu (x , y), to nasze rozwiązanie.

5. Analiza przykładów 1,2,3,4/ 142-144 ( przeczytać i przeanalizować krok po kroku)

Praca domowa: Zad.1ab,,c/ 146

Zad.2 a,b,c/ 146

Ćw.4/145

Temat : Układy równań liniowych - zastosowanie. ( str.148-151 )

( Temat lekcji z 29 maja 2020r.)

1. Zadanie: Suma dwóch liczb jest równa 42. Wyznacz te liczby, jeśli wiadomo, że te liczby różnią

się o 6.

 – liczba pierwsza  – liczba druga

Wiemy, że suma liczb jest równa 42, zatem:

Wiemy, że liczby różnią się o 6, zatem:

Zapisujemy układ równań, spełniający warunki zadania:

Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

Dodajemy równania stronami:

Tworzymy i rozwiązujemy układ równań równoważny danemu:

Odp: Szukane liczby to 24 i 18.

2. Zadanie : Za trzy pary skarpetek i dwie bluzki zapłacono 94 zł. Koszt zakupu jednej takiej samej bluzki i ośmiu par takich samych skarpetek jest równy 99 zł. Ile kosztuje bluzka, a ile jedna para skarpetek?

 – cena jednej pary skarpetek

 – cena jednej bluzki

Wiemy, że trzy pary skarpetek i dwie bluzki zapłacono 94 zł, zatem:

Wiemy, że koszt zakupu jednej takiej samej bluzki i ośmiu par takich samych skarpetek jest równy 99 zł, zatem:

Zapisujemy układ równań, spełniający warunki zadania:

Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

Dodajemy równania stronami:

Tworzymy i rozwiązujemy układ równań równoważny danemu:

Odp: Para skarpetek kosztowała 8 zł, a bluzka 35 zł.

3.Zadanie :Na szkolną akademię przyszło 520 uczniów. Można było usiąść na krześle lub w czteroosobowej ławce. Uczniowie zajęli w sumie 164 krzesła i ławki. Uczniów, którzy zajęli miejsca siedzące było 7 razy więcej niż pozostałych. Ustal, ile krzeseł było zajętych.

Obliczymy najpierw, ilu uczniów zajęło miejsca siedzące. Z treści zadania wynika, że było to

⋅ 520, czyli 455 osób.Oznaczmy przez x liczbę zajętych krzeseł, a przez y – liczbę zajętych ławek.Wówczas:

Odp: Podczas akademii było zajętych 67 krzeseł.

Praca domowa: Ćw.2/ 148

Proszę zrobić notatkę , pisać starannie i dokładnie sporządzić wykresy. W zadaniach tekstowych pamiętajcie o odpowiedzi. Proszę przesłać mi zdjęcia rozwiązań zadań z obu prac domowych ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą na każdej stronie) do30 maja 2020r. na adres: sia.so@poczta.onet.pl

Klasa 2 Tbs

Temat: Funkcje wymierne . ( str. 102 -104 )

( Temat na 2 lekcje z 25 i 27 maja 2020 r. )

1. Definicja funkcji wymiernej ( str. 102)

2. Dla funkcji wymiernych musimy pamiętać o wyznaczeniu ich dziedziny, ponieważ wielomian

znajdujący się w mianowniku nie może mieć wartości zero.

3. Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji wymiernych jest funkcją wymierną.

4. Ćw. 3/ 102 ( zrobić)

5. Równość funkcji wymiernych - def. 2 str. 102 (przepisać)

6. Ćw.2/ 102 ( zrobić)

Praca domowa: Ćw.4/103

Zad.1/ 103

USER_NAME COMMENT_DATE

COMMENT_CONTENT

Temat: Zastosowanie wyrażeń wymiernych. ( str.108 -111 )

( Temat na 2lekcje z 27 i 28 maja 2020 r. )

1. Zadanie: Dwa samochody wyjeżdżają jednocześnie z jednego miasta i jadą do drugiego, odległego o 560km. Prędkość pierwszego samochodu jest o 10 km/h większa od prędkości drugiego i przybywa on na miejsce o godzinę wcześniej. Oblicz średnie prędkości obu samochodów.

x- prędkość jednego samochodu ( km/h)

(x-10) – prędkość drugiego samochodu

y- czas jazdy pierwszego samochodu (h)

(y+1) – czas jazdy drugiego samochodu

Korzystamy ze wzoru, który znamy z fizyki, na drogę w ruchu jednostajnym: s=vt gdzie

v- prędkość, t- czas, s- droga.

Obydwa samochody przejechały 560 km czyli ;

xy= 560 i (x-10)(y+1)=560

y=560/x xy +x -10y-10=560

Po podstawieniu otrzymujemy równanie kwadratowe: x2 - 10x -5600 = 0

Δ = 100+22400=22500

x = -70 sprzeczność lub x = 80

Prędkość pierwszego samochodu : x = 80 km/h

Prędkość drugiego samochodu: x – 10 = 70 km/h

Odp: Pierwszy samochód jechał z prędkością 80 km/h ,a drugi 70 km/h.

2. Zadanie :Dwa kombajny, pracując jednocześnie, mogą zebrać zboże z pewnego pola w ciągu 20 godzin. Pierwszy, pracując oddzielnie, potrzebuje na wykonanie tej pracy o 30 godzin mniej niż drugi. W ciągu ilu godzin może zebrać zboże z tego pola każdy kombajn, pracując oddzielnie?

x - czas pracy pierwszego kombajnu

y - czas pracy drugiego kombajnu

A - praca do wykonania

- praca wykonana w ciągu godziny przez pierwszy kombajn

- praca wykonana w ciągu godziny przez drugi kombajn

Razem pracują + =

Po podzieleniu przez A mamy: + = oraz z treści zadania y - x = 30

Proszę rozwiązać i obliczyć x i y, uwzględniając założenie , ze x i y muszą być dodatnie!

Odp: x=30, y=60.

3. Przykład 1/ 108 ( przeanalizować)

4. Ćw.1/ 108 ( zrobić)

Praca domowa: Zad 1/ 108 i zad.2/ 109

Kończymy dział i w następnym tygodniu będzie sprawdzian z działu " Funkcje wymierne"

Proszę zrobić notatkę do zeszytu i zrobić zadania analogicznie jak w podanych przykładach.

Przesłać mi zdjęcia rozwiązań obu prac domowych ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą)

do 30 maja 2020r. na adres: sia.so@poczta.onet.pl

Klasa 2 C

Temat: Trójkąty prostokątne - powtórzenie . ( str. 88-90)

( Temat lekcji z 27 maja 2020r.)

1. Trójkąt prostokątny

a, b – długości przyprostokątnych,c – długość przeciwprostokątnej,α, β – miary kątów ostrych,h – długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną

2.Trójkąt prostokątny – trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty.

Dwa boki trójkąta wyznaczające ramiona kąta prostego nazywane są przyprostokątnymi, trzeci bok przeciwprostokątną.

3.Szczególnym rodzajem trójkąta prostokątnego jest trójkąt pitagorejski, tj. taki, w którym długości boków są liczbami naturalnymi. Najprostszy z nich to trójkąt egipski o stosunkach długości boków 3:4:5.

4. TWIERDZENIE PITAGORASA:

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

5. Ćw.1/ 88 ( zrobić)

6. Tw. o przekątnej kwadratu str.88 ( przepisać zieloną ramkę)

7. Tw. o wysokości trójkąta równobocznego str.89 ( przepisać zieloną ramkę)

8 .Oblicz długość przeciwprostokątnej poniższego trójkąta prostokątnego.

Oznaczamy długość przeciwprostokątnej np. literką c . Układamy równanie z twierdzenia Pitagorasa:

4 ² +3 ² =c ² 

16+9 =c ²

 c ² =25

c =5 

Odp: Długość przeciwprostokątnej wynosi 5.

9. Oblicz długość trzeciego boku trójkąta przedstawionego na rysunku:

Oznaczamy długość nieznanej przyprostokątnej np. literką x . Układamy równanie z twierdzenia Pitagorasa:

x ² +6 ² =7²  

x ² +36 = 49

x ² =49−36

x²=13

x=  

Odp: Długość przyprostokątnej wynosi  .

x

https://www.youtube.com/watch?v=YvTSmxYWh-E

10.Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

„Jeżeli suma kwadratów dwóch krótszych boków w trójkącie jest równa kwadratowi najdłuższego boku to ten trójkąt jest prostokątny."

x

https://www.youtube.com/watch?v=f8R3WZH8EbE

11.Oblicz, czy z odcinków o danej długości można zbudować trójkąt prostokątny?a) 6, 10, 8b) 5, 8, 10c) 13, 12, 5

Praca domowa: Ćw.2/ 88 Ćw.3/88 Ćw.4/89

Proszę zrobić notatkę, przeanalizować zadania. Przesłać do mnie zdjęcia rozwiązań zadań z pracy domowej, do zadań z geometrii obowiązkowo rysunek ( podpisane imieniem, nazwiskiem i klasą) do 30 maja 2020r. na adres:

sia.so@poczta.onet.pl

Klasa 3 Tfg

Temat : Proste nierówności logarytmiczne. ( str.139 )

( Temat 3 lekcji z 25,27 i 28 maja 2020r.)

1.

2.

3.

4.

Praca domowa: Zad.19/ 139 i Zad.20/139

Temat : Funkcje wykładnicze i logarytmiczne - zastosowania. ( str.132 - 135 )

( Temat lekcji z 29 maja 2020r.)

1. Analiza wiadomości dotyczących wzrostu liczby ludności - str.133 ( przeczytać)

2. Analiza wiadomości dotyczących rozpadu promieniotwórczego - str. 134 ( przeczytać)

3. Pojęcie wzrostu wykładniczego - str. 132

4. Zad 1/ 132 ( zrobić, przerysować wykres i tabelkę)

Praca domowa: Zad.2/ 132 i Zad.3/ 132

Proszę zrobić notatkę w zeszycie, przeanalizować podane przykłady i przesłać mi zdjęcia rozwiązań zadań z obu prac domowych ( podpisane imieniem, nazwiskiem, klasą na każdej stronie) do 30 maja 2020r. na adres:

sia.so@poczta.onet.pl

3 Tfg - Lekcja wychowawcza ( 26 maj 2020r.)

Temat: Bezpieczeństwo w sieci - jak rozsądnie korzystać z internetu. Netykieta.

Klasa 3K

Temat : Różne sposoby prezentacji danych. ( str.185- 188 )

( Temat lekcji z 26 maja 2020 r.)

1. Przypomnienie wiadomości o diagramach.

Graficzną formą przedstawienia danych statystycznych są diagramy, mogą być liczbowe lub procentowe. Diagramy procentowe służą do przedstawiania danych w formie graficznej. W ten sposób możliwe jest szybkie zrozumienie pojęć, takich jak procenty i promile.

Rodzaje diagramów procentowych:

· prostokątne

· kołowe

· słupkowe

· kolumnowe

· pierścieniowe

· walcowe

Diagram prostokątny pokazuje, że cała figura ilustrująca procenty jest podzielona na 100 równych części, czyli „na 100 procentów”. Rzecz jasna każda z tych części odpowiada graficznie jednemu procentowi.

Diagram kołowy bardzo często jest stosowany. W przypadku diagramu kołowego całe koło stanowi 100%, połowa koła to 50%, ćwiartka to 25% itd. Aby obliczyć 1% należy podzielić kąt pełny (360 stopni) na 100. Zatem 1% w diagramie kołowym wynosi 3,6 stopnia kąta środkowego wewnątrz koła.

2. Przykłady diagramów.

3. Analiza przykładów 1,2,3/ 185-187

3.

Dół formularza

Praca domowa:

Zadanie: W sadzie rośnie 60 drzew, w tym 20 jabłoni, 5 grusz, 15śliw, 10 czereśni i 10 wiśni. przedstaw te dane na słupkowym diagramie ilościowym oraz na procentowym diagramie kołowym.

Zadanie1,2,3 - powtórzenie (str. 188)

Proszę zrobić notatkę z lekcji i przeanalizować zadania. Pracę domową z wszystkimi obliczeniami w zeszycie przesłać mi zdjęcia ( podpisane imieniem, nazwiskiem, klasą na każdej stronie) do 23 maja 2020r. na adres:

sia.so@poczta.onet.pl