Post on 28-Sep-2018
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Teoretyczne podstawy modelowania tsunami
Jacek Grela
04.04.2011 / Seminarium UJ
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
O czym bedziemy mówic?
TsunamiTsunami - zjawisko przyrody
Teoria ogólnaRównania StokesaPrzyblizenia
SolitonyOdkrycie samotnej fali i równanie KdVInne nieliniowe modele
PodsumowaniePodsumowanieLiteratura
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Zjawisko
Tsunami jako zjawisko przyrody
Tsunami to trzy fazy:I WytworzenieI PropagacjaI Załamanie przy brzegu (powódz)
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Zjawisko
GeneracjaGłównie trzesienia ziemi, rzadziej wybuchy wulkanów
Teoria: Dynamika płyt tektonicznychJacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Zjawisko
Propagacja
Teoria: Ruch falowyJacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Zjawisko
Run-up
The Great Wave Off Kanagawa, Hokusai XIX w.
Teoria: Metody numeryczne głównie
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Zjawisko
Wystepowanie i skutki
‘04 na Oceanie Indyjskim: 250 tys. ofiar’11 w Japonii: 20 tys. ofiar
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Równania Stokesa
Stokes 1847 - wychodzimy z równan Eulera (niescisliwa,nielepka ciecz):
∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0 (1)
ρ(∂u∂t
+ u · ∇u)
=
00−ρg
−∇p (2)
ρ = const → ∇ · u = 0
∇× u = 0→ u = ∇φ
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Warunki brzegowe
-10-5
0 5
10 -10
-5
0
5
10
-600-500-400-300-200-100
0 100
Z
η (x,y,t)h(x,y,t)
X
Y
Z
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Równania
∇2φ = 0 dla − h(x , y) < z < η(x , y , t)∇φ · ∇(z + h(x , y)) = 0 dla z = −h(x , y)∂tη + ∂xη ∂xφ+ ∂yη ∂yφ = ∂zφ dla z = η(x , y , t)∂tφ+ 1
2 |∇φ|2 + gη = 0 dla z = η(x , y , t)
Laplace + 3 dynamiczne równania brzegowe... wygladajaciezko.
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Przyblizenie
Wprowadzamy parametry:
α =ad
β =
(dλ
)2
Gdzie: a− amplituda, d − głebokosc zbiornika, λ− długosc fali.Antycypujemy tez pewna predkosc fali v
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Za pomoca tych wielkosci wprowadzamy zmiennebezwymiarowe:
x → λx , y → λy , z → dz, t → λv t
η → aη, h→ dh, φ→ gaλv φ
Przeskalowane równania:
β(φxx + φyy ) + φzz = 0 dla − h(x , y) < z < η(x , y , t)β(φxhx + φyhy ) + φz = 0 dla z = −h(x , y)βηt + αβ(φxηx + φyηy ) = φz dla z = αη(x , y , t)βφt + 1
2αβ(φ2x + φ2
y ) + 12αφ
2z + gη = 0 dla z = αη(x , y , t)
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Dla tsunami rozpatruje sie przyblizenie α→ 0 (mała amplituda)i β → 0 (płytki zbiornik). Zakładamy ruch wzdłuz x i stałoscpodłoza h(x , y) = d . Równania:
φzz(x , z, t) + φxx(x , z, t) = 0 (3)φz(x , z = −d , t) = 0 (4)
ηt(x , z = 0, t) = ψz(x , z = 0, t) (5)ψt(x , z = 0, t) = −gη(x , z = 0, t) (6)
Poszukujemy rozwiazania periodycznego:
φ(x , z, t) = A(z)ei(ωt−kx) (7)
Nie znamy k , ω ani A(z).
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Po rachunku otrzymujemy rozwiazania:
η = aei(ωt−kx−π2 ) (8)
ψ =ag cosh(k(d + z))
ω cosh(kd)ei(ωt−kx−π2 ) (9)
z (nieliniowa!) relacja dyspersji:
ω2 = gk tanh(kd) (10)
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Nawet tak prosty model ma nietrywialna zaleznosc ω(k).Jednak przyblizymy konsekwentnie kd << 1 (z β → 0):
ω2 = gdk2 (11)
Uzyskalismy stała zaleznosc dyspersyjna - a posteriori mamywiec spełnione równanie falowe:
ηtt = v2ηxx (12)
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Pierwsze przyblizenie - teoria liniowaPodsumowujac, w pierwszym przyblizeniu uzyskalismy teorieliniowa z relacja dyspersji:
v =√
gd
Taka teoria dobrze opisuje tsunami:1. fala zwalnia przy brzegu - dobrze!2. brak dyspersji - fala sie nie rozmyje z czasem!
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Równania StokesaPrzyblizenia
Wady teorii liniowej1. brak dyspersji2. brak mechanizmu ’nachodzenia fal’
Prawdziwe tsunami zachowuje sie troche inaczej - przykład ’04.
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele
Krótka historia solitonuZ pomoca przychodzi John Scott Russell, który w 1834 roku nakanale w Edynburgu
zauwaza niezwykle dziwna fale
Zaciekawiony jej samotnoscia i stabilnoscia zaczyna ja badac(solitary wave).
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele
Teoria zjawiska i dalsze losy
1895 Korteweg, de Vries
∂tη + 6η∂xη + ∂xxxη = 0 (13)
Lata 1834 - 1965 : ok. 20 artykułów1965: Kruskal i Zabusky uzyskali wazny wynik dotyczacy KdV
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele
A co z tsunami?
Równania Stokesa dla kolejnych wyrazów przyblizeniawzgledem α i β odtwarzaja równanie KdV.
ηt + v(1 +3η2d
)ηx +vd2
6ηxxx = 0
Jak wyglada podstawowe rozwiazanie?
η(x , t) = a sech2
(√3a4d3 (x − νt)
), ν = v
(1 +
a2d
)
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele
Własnosci równania KdV
η(x , t) = a sech2
(√3a4d3 (x − νt)
), ν = v
(1 +
a2d
)Wazne własnosci rozwiazan i równania KdV:
I fala w 2DI propagacja fali w jedna stroneI ν proporcjonalne do aI dyspersja zahamowana nieliniowosciaI nieskonczona liczba całek ruchuI mozliwosc obliczenia energii
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele
Kruskal i Zabusky dowiedli wazna własnosc równania KdV:
f (0)→ N-soliton + zanikajacy ogon
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele
Ta teoria wyjasnia lepiej np. tsunami ‘04 ale takze Chile 1960
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
Historia solitonu i KdVInne nieliniowe modele
Inne modele nieliniowe
Równania Stokesa mozna tez w inny sposób aproksymowac:I Boussinesq (pierwsza próba wyjasnienia fal Russella)
ηtt − ηxx −(
12η
2 + ηxx
)xx
= 0
I Kadomtsev–Petviashvili (uogólnienie KdV na dwa wymiary)
(ηt + ηηx + e2ηxxx)x ± ηyy = 0
I oraz inne
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
PodsumowanieLiteratura
Podsumujmy
I Dowiedzielismy sie czym jest tsunamiI Jaka teoria opisuje to zjawiskoI Poznalismy podstawowe przyblizenia stosowane w
praktyce
Teoria solitonów to oczywiscie cos wiecej niz woda:I fale akustyczne w ciele stałymI fale w plazmieI solitony optyczneI model neuronu
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
PodsumowanieLiteratura
Literatura
I Tsunami and Nonlinear Waves , A. Kundu 2007I A Modern Introduction to the Mathematical Theory of
Water Waves , R.S. Johnson 1997I The Versatile Soliton, A.T. Filippov 2000I Dynamics of tsunami waves , F. Dias, D. DutykhI Explaining the physics of tsunamis to undergraduate
and non-physics students , G. Margaritondo 2005
Jacek Grela
TsunamiTeoria ogólna
Tsunami jako soliton?Podsumowanie
PodsumowanieLiteratura
Dziekuje za uwage!
Jacek Grela