Uniwersytet Warszawski 2010

Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szczytko/NT

Półprzewodniki (ang. semiconductors).

Teoria pasmowa ciał stałych.

pasmo puste

pasmo pełne

pasmo puste

pasmo pełne

pasmo puste

pasmo pełne

metal półprzewodnik izolator Jak zobaczyć przerwę?

ENER

GIA

ELE

KTR

ON

ÓW

Przerwa energetyczna

http://www.rpi.edu/~schubert/Light-Emitting-Diodes-dot-org/chap11/F11-04-R.jpg

Podstawy modelu jednoelektronowego

Masa efektywna. Przybliżenie kp

Przybliżenie kp Wektor k nie jest pędem (mówimy, że jest quasi-pędem).

rkiknkn erur

)()( ,, =ψ

Funkcja Blocha w równaniu Schrodingera: )()()(ˆ

, rkeukiirp rkikn

ψψ ≠∇+−=

Podstawy modelu jednoelektronowego

Masa efektywna. Przybliżenie kp Po uproszczeniu exp(ikr):

Energia En(k) wokół k=0:

gdzie

liniowe w k Jeśli rozwijamy wokół ekstremum ai=0

Podstawy modelu jednoelektronowego

Masa efektywna. Przybliżenie kp Energia En(k) wokół ekstremum:

Przez analogię do klasycznej zależności energii kinetycznej od pędu wprowadzamy tensor odwrotności masy efektywnej m-1

ij :

Jeśli ekstremum energii jest w punkcie G(k=0) to powierzchnia stałej energii jest elipsoidą w przestrzeni k, która po sprowadzeniu do osi głównych ma postać:

Elektrony i dziury

Kwazicząstki - dziury Dla opisania sumarycznych właściwości tych 2N-1 elektronów wprowadzamy pojęcie nowej kwazicząstki -dziury. Dziura quasi cząstka z dodatnią masą efektywną, która opisuje własności zbioru elektronów w ciele stałym o masie ujemnej z jednym stanem pustym. Jeśli f(k) pewna wielkość fizyczna charakteryzująca elektron o wektorze falowym k to wartość tej wielkości dla dziury:

dla pasma w którym brakuje elektronu w stanie j

Np. wektor falowy dziury:

Np. prędkość dziury:

Elektrony i dziury

Kwazicząstki - dziury Dla opisania sumarycznych właściwości tych 2N-1 elektronów wprowadzamy pojęcie nowej kwazicząstki -dziury. Dziura quasi cząstka z dodatnią masą efektywną, która opisuje własności zbioru elektronów w ciele stałym o masie ujemnej z jednym stanem pustym.

Np. prędkość dziury:

Elektrony i dziury

Kwazicząstki - dziury

Pole elektryczne E

miejscupustymweh

miejscupustymwe

parybeze

vvvejvej

−−−

−−−

−−

=

+=

−=

Dla opisania sumarycznych właściwości tych 2N-1 elektronów wprowadzamy pojęcie nowej kwazicząstki -dziury. Dziura quasi cząstka z dodatnią masą efektywną, która opisuje własności zbioru elektronów w ciele stałym o masie ujemnej z jednym stanem pustym.

Funkcja rozkładu

Własności pasm

Fermiony:

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu kwantowego o energii E EF – potencjał chemiczny

TSUFnFE

iF

−=∂∂

=

1

10

−

= −TkEE

B

F

ef Tk

EE

TkEE

B

F

B

Fe

ef

−−

− ≈

±

=

1

10

Bozony: Rozkład Boltzmana:

Polaritony Fonony Magnony Ekscytony, biekscytony Plazmony

Elektrony Dziury Triony (ekscytony naładowane)

Anyons – np. composite fermions Slave fermions (chargon, holon, spinon) = fermion+bozon w separacji spin-ładunek

1221 ψψψψ θie=

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Energia (eV)

Pra

wdo

podo

bien

stw

o ob

sadz

enia

1K100K300K

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

Enrico Fermi 1901 – 1954

Paul Adrian Maurice Dirac 1902 – 1984

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Energia (eV)

Pra

wdo

podo

bien

stw

o ob

sadz

enia

1K100K300K

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Energia (eV)

Pra

wdo

podo

bien

stw

o ob

sadz

enia

1K100K300K

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca

-0.1

-0.0

50

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Ene

rgia

(eV

)

Prawdopodobienstwo obsadzenia

1K 10

0K30

0K

k

Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu kwantowego o energii E EF – potencjał chemiczny

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

Prawdopodobieństwo obsadzenia

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca

-0.1

-0.0

50

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Ene

rgia

(eV

)

Prawdopodobienstwo obsadzenia

1K 10

0K30

0K

k

Prawdopodobieństwo obsadzenia stanu kwantowego o energii E EF – potencjał chemiczny

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

Prawdopodobieństwo obsadzenia

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca

-0.1

-0.0

50

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Ene

rgia

(eV

)

Prawdopodobienstwo obsadzenia

1K 10

0K30

0K

E

k Eg

Prawdopodobieństwo obsadzenia

G

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca

-0.1

-0.0

50

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Ene

rgia

(eV

)

Prawdopodobienstwo obsadzenia

1K 10

0K30

0K

Prawdopodobieństwo obsadzenia

E

k

Pasmo przewodnictwa

Pasma walencyjne

cb

hh

lh

Eg

Funkcja rozkładu

Rozkład Fermiego-Diraca E

k

Pasmo przewodnictwa

Pasma walencyjne

cb

hh

lh

Eg

1

1

+

= −TkEEe

B

F

ef

Prawdopodobieństwo obsadzenia elektronu o energii E

1

1

1

111+

=

+

−=−= −−

−TkEE

TkEEeh

B

F

B

F

eeff

Prawdopodobieństwo obsadzenia dziury o energii E

Elektrony i dziury

Gęstość stanów

Warunki Borna-Karmana Skończone rozmiary kryształu Lx, Ly, Lz

Ψ – postać funkcji Blocha Ψ(x + Lx,y,z) = Ψ(x, y + Ly,z) = Ψ(x, y, z + Lz)

11

1

=

=

=

zz

yy

xx

Lik

Lik

Lik

ee

e

Stany te wyznaczają w przestrzeni odwrotnej siatkę o gęstości (V/2π)3

Gęstość stanów na jednostkę trójwymiarowej przestrzeni k

i

i

iii L

nLL

k πππ 2,...,4,2,0 ±±±= Lx Ly

Lz

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

Elektrony i dziury

Gęstość stanów

Warunki Borna-Karmana Skończone rozmiary kryształu Lx, Ly, Lz

Ψ – postać funkcji Blocha Ψ(x + Lx,y,z) = Ψ(x, y + Ly,z) = Ψ(x, y, z + Lz)

11

1

=

=

=

zz

yy

xx

Lik

Lik

Lik

ee

e

i

i

iii L

nLL

k πππ 2,...,4,2,0 ±±±=

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

kx

ky

yLπ2

xLπ2

Elektrony i dziury

Gęstość stanów

i

i

iii L

nLL

k πππ 2,...,4,2,0 ±±±=

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

kx

ky

xLπ2

yLπ2

( )322221

ππππV

LLL zyx

=××

=

3

212

=

πρk

Ilość stanów w objętości

Gęstość stanów w przestrzeni k (w jednostkowej objętości)

3

212

=

πρk

Elektrony i dziury

Gęstość stanów

i

i

iii L

nLL

k πππ 2,...,4,2,0 ±±±=

Jeśli nasz kryształ ma skończone rozmiary zbiór wektorów k jest skończony (choć olbrzymi!), np. możemy przyjąć periodyczne warunki brzegowe i wtedy:

kx

ky

xLπ2

yLπ2

( )322221

ππππV

LLL zyx

=××

=Ilość stanów w objętości

kula Fermiego T=0 K

Gęstość stanów w przestrzeni k (w jednostkowej objętości)

przypadek 3D

Elektrony i dziury

Gęstość stanów

( )dkkkddEEN k

23 4

22)( ππ

ρ ==

Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:

kx

ky

xLπ2

yLπ2

mkkE

2)(

22=

gęstość stanów liczymy jako:

3

212

=

πρk

przypadek 3D

Elektrony i dziury

Gęstość stanów

( )dkkkddEEN k

23 4

22)( ππ

ρ ==

Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:

kx

ky

xLπ2

yLπ2

mkkE

2)(

22=

gęstość stanów liczymy jako:

3

212

=

πρk

przypadek 3D

cc

c EEmEN −

=

2/3

22

*22

1)(π

EEmEN vh

v −

=

2/3

22

*22

1)(π

Elektrony i dziury

Gęstość stanów Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:

kx

ky

xLπ2

yLπ2

przypadek 3D

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Energia (eV)

Ges

tosc

sta

nów

Elektrony i dziury

Gęstość stanów Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:

kx

ky

mkkE

2)(

22=

gęstość stanów liczymy jako:

3

212

=

πρk

przypadek 3D

Do domu: znajdź N(E) przypadek 2D

przypadek 1D

2

212

=

πρk

1

22π

ρ =k

kx

Elektrony i dziury

Gęstość stanów Często wygodniejsza jest znajomość gęstości stanów w przestrzeni energii E (a więc ilość stanów w przedziale (E, E+d E). Dla pasma sferycznego i parabolicznego:

kx

ky

kx

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Energia (eV)

Ges

tosc

sta

nów

przypadek 2D

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

kx

ky

przypadek 3D

-0.1

-0.0

50

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Ene

rgia

(eV

)

Prawdopodobienstwo obsadzenia

1K 10

0K30

0K

Prawdopodobieństwo obsadzenia

E

k

cb

hh

lh

Eg

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?

kx

ky

przypadek 3D

-0.1

-0.0

50

0.05

0.1

0.15

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.81

Ene

rgia

(eV

)

Prawdopodobienstwo obsadzenia

1K 10

0K30

0K

Prawdopodobieństwo obsadzenia

*

22

*

22

2)(

2)(

hh

cgc

mkkE

mkEkE

−=

+=

W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?

kx

ky

przypadek 3D

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

*

22

*

22

2)(

2)(

hh

cgc

mkkE

mkEkE

−=

+=

W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?

1

10

+

= −TkEE

B

F

ef

*

22

*

22

2)(

2)(

hh

cgc

mkkE

mkEkE

−=

+=

W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

cc

c EEmEN −

=

2/3

22

*22

1)(π

EEmEN vh

v −

=

2/3

22

*22

1)(π

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0?

TkEE

TkEEe

B

F

B

Fe

ef

−−

− ≈

+

=

1

1

gc

c EEmEN −

=

2/3

22

*22

1)(π

W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

inpn ==

TkEE

TkEEh

F

Fe

eff 0

0

)(

)(0

1

11−

−− ≈

+

=−=

EmEN hv −

=

2/3

22

*22

1)(π

E

k

cb

hh lh

Eg

G=(0,0)

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

inpn ==

( )zdtte

dEEEemdEENfEn

zt

Eg

TkEE

E

eeF

g

F

g

Γ=

−

==

∫

∫∫∞

−−

∞ −−∞

0

1

)(23

2

*

20

22

1)()(π

π=Γ

Γ=+Γ

)2/1(

)()1( nnn

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

inpn ==

TkEE

cTkEE

e

Eg

TkEE

E

eeF

B

cF

B

cF

g

F

g

eNeTkmn

dEEEemdEENfEn

−−

∞ −−∞

=

=

−

== ∫∫

23

20

*

)(23

2

*

2

22

22

1)()( 0

π

π

TkEE

vTkEE

h

E

hh

B

vF

B

vF

v

eNeTkmp

dEgfp

)()(23

20

*

22

−−

−−

∞−

=

=

= ∫

π

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

inpn ==

TkE

vcTk

E

he

TkE

vcTk

E

he

gg

gg

eNNemmTkpn

eNNemmTknpn

00

00

2243

**23

20

23

**3

202

)(2

2

)(2

4

−−

−−

=

==

=

==⋅

π

π

1/T

ln(n)

TkEg

e 02−

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

J. Singleton

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

inpn ==

TkE

vcTk

E

he

TkE

vcTk

E

he

gg

gg

eNNemmTkpn

eNNemmTknpn

00

00

2243

**23

20

23

**3

202

)(2

2

)(2

4

−−

−−

=

==

=

==⋅

π

π

( )

++=⇒=

−

*

*

0

)2(

ln43

21

0

e

hvcF

TkEE

v

c

mmTkEEEe

NN gF T

Eg

pasm

o pe

łne

pasm

o pu

ste

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

R. S

tępn

iew

ski

TkEE

v

TkEE

c

B

vF

B

cF

eNp

eNn)(

)(

−−

−

=

=TkE

vc

g

eNNpn 02−

==

W powyższej tabelce wartości poniżej 1010 cm–3 nie mają sensu gdyż koncentracja zanieczyszczeń, a co za tym idzie koncentracja wynikająca z nieintencjonalnego domieszkowania jest większa

Koncentracja samoistna

Jaka jest koncentracja nośników dla T>0? W półprzewodnikach samoistnych w warunkach równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego.

Widać że wartość przerwy energetycznej nie jest wystarczającym kryterium na rozróżnienie półprzewodników i izolatorów, np. czysty Ge, Si i GaAs mają w temperaturze pokojowej bardzo niską koncentrację nośników co czyni je materiałami o właściwościach izolatorów. Lepsze kryterium – dla półprzewodników istnieje możliwość domieszkowania powodującego znaczące zmiany koncentracji i typu przewodnictwa (elektrony lub dziury).