Podstawy Automatyki

Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2015

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Jakość układu regulacji

Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawianesą dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanachprzejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólniejako wymagania dotyczące jakości układu regulacji.

Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w ukła-dach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanychogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji.

Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenietzw. dokładności statycznej układu regulacji – dopuszczalnych wartościodchyłek regulacji w stanach ustalonych.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Jakość układu regulacji

Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.

e(t) = ez(t) + ew (t), (1)

gdzie

ez(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem,

ew (t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej)

e(t) = ym(t)− w(t), (2)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Regulatory

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Jakość układu regulacji

Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwaskładniki odchyłki regulacji.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłka zakłóceniowa

Odchyłki statyczne spowodowane zakłóceniem

Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia

Gz(s) =∆ym(s)

z(s)=

ez(s)

z(s)=±Gz(s)Gob(s)

1+ Gob(s)Gr (s)(3)

ez(s) = ∆ym(s) =±Gz(s)Gob(s)

1+ Gob(s)Gr (s)z(s) (4)

Odchyłka statyczna względem zakłócenia:

ezst. = limt→∞

ez(t) = lims→0

s · ez(s) (5)

ezst. = lims→0

s · ±Gz(s)Gob(s)

1+ Gob(s)Gr (s)z(s) (6)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłka nadążania

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłka nadążania

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłka nadążania

Odchyłki statyczne spowodowane zmianą wartości zadanej

Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej

Gew (s) =ew (s)

∆w(s)=

−11+ Gob(s)Gr (s)

(7)

ew (s) =−1

1+ Gob(s)Gr (s)∆w(s) (8)

Odchyłka statyczna względem wartości zadanej

ewst. = limt→∞

ew (t) = lims→0

s · ew (s) (9)

ewst. = lims→0

s · −11+ Gob(s)Gr (s)

∆w(s) (10)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - przykład

Wyznaczyć odchyłki statyczne w układzie regulacji pokazanym na rysunku,wywołane zakłóceniem z(t) = 2 oraz zmianą wartości zadanej ∆w(t) = 5,w przypadku zastosowania:

regulatora P

regulatora PD

regulatora PI

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - przykład

Transmitancja

Gob(s) =kob

(Ts + 1)4(11)

Regulator PGr (s) = kp (12)

Regulator PDGr (s) = kp(1+ Td s) (13)

Regulator PI

Gr (s) = kp

(1+ Td s +

1Ti s

)(14)

Zakłóceniez(t) = 2→ z(s) =

2s

(15)

Zmiana wartości zadanej

∆w(t) = 5→ ∆w(s) =5s

(16)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Odchyłki zakłóceniowe:

ezst. = limt→∞

ez(t) = lims→0

sGob(s)

1+ Gob(s)Gr (s)z(s) (17)

Regulator P

ezst.P = lims→0 sGob(s)

1+ Gob(s)Gr (s)

2s

=

lims→0

kob(Ts + 1)4 · 2

1+kob

(Ts + 1)4kp

= lims→0kob · 2

(Ts + 1)4 + kob · kp

(18)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P

ezst.P =kob · 21+ kobkp

(19)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Odchyłki zakłóceniowe:

ezst. = limt→∞

ez(t) = lims→0

sGob(s)

1+ Gob(s)Gr (s)z(s) (20)

Regulator PD

ezst.PD = lims→0

kob(Ts + 1)4 · 2

1+kob

(Ts + 1)4kp(1+ Td s)

=

= lims→0kob · 2

(Ts + 1)4 + kob · kp(1+ Td s)

(21)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD

ezst.PD =kob · 21+ kobkp

(22)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Odchyłki zakłóceniowe:

ezst. = limt→∞

ez(t) = lims→0

sGob(s)

1+ Gob(s)Gr (s)z(s) (23)

Regulator PI

ezst.PI = lims→0

kob(Ts + 1)4 · 2

1+kob

(Ts + 1)4kp(1+

1Ti s

)=

= lims→0kob · 2

(Ts + 1)4 + kob · kp(1+1Ti s

)= 0

(24)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI

ezst.PI = 0 (25)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Podsumowanie

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora P

ezst.P =kob · 21+ kobkp

(26)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PD

ezst.PD =kob · 21+ kobkp

(27)

Odchyłka zakłóceniowa dla regulatora PI

ezst.PI = 0 (28)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Odchyłki wymuszeniowe:

ewst. = limt→∞

ez(t) = lims→0

s−1

1+ Gob(s)Gr (s)∆w(s) (29)

Regulator P

ewst.P = lims→0

s−1

1+ Gob(s)kp

5s

= lims→0

−5

1+kob

(Ts + 1)4kp

=−5

1+ kobkp

(30)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P

ewst.P =−5

1+ kobkp(31)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Odchyłki wymuszeniowe:

ewst. = limt→∞

ez(t) = lims→0

s−1

1+ Gob(s)Gr (s)∆w(s) (32)

Regulator PD

ewst.PD = lims→0 s−1

1+ Gob(s)kp(1+ Td s)

5s

= lims→0−5

1+kob

(Ts + 1)4kp(1+ Td s)

=−5

1+ kobkp

(33)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD

ewst.PD =−5

1+ kobkp(34)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Odchyłki wymuszeniowe:

ewst. = limt→∞

ez(t) = lims→0

s−1

1+ Gob(s)Gr (s)∆w(s) (35)

Regulator PI

ewst.PI = lims→0 s−1

1+ Gob(s)kp

(1+

1Ti s

) 5s

= lims→0−5

1+kob

(Ts + 1)4kp

(1+

1Ti s

) = 0(36)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI

ewst.PI = 0 (37)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Podsumowanie

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora P

ewst.P =−5

1+ kobkp(38)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PD

ewst.PD =−5

1+ kobkp(39)

Odchyłka wymuszeniowa dla regulatora PI

ewst.PI = 0 (40)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odchyłki - Przykład

Wnioski:

W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmieP lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarównozakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio dowartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej.

Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lubPD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenieodchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykleograniczone ze względu na warunki stabilności układu. (Układ zregulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większymwzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.)

Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zeroweodchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lubstałych zmianach wartości zadanej

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Jakość dynamiczna

W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej:

wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych (wskaźnikiprzebiegu przejściowego),

wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układuregulacji - zapasy modułu i fazy,

całkowe wskaźniki jakości.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Wskaźniki przebiegu przejściowego

Do oceny przebiegów przebiegów przejściowych wykorzystywane sąwskaźniki:

statyczna odchyłka zakłóceniowa: ezst.

statyczna odchyłka nadążania: ewst.

maksymalna odchyłka dynamiczna: em - maksymalna wartośćodchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lubskokowej zmiany wartości zadanej.

czas regulacji: tr - czas od chwili wprowadzenia skokowegozakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacjinie wykracza poza przedział wartości ±∆e .

przeregulowanie: κ =e2e1· 100% - wyrażony w procentach stosunek

amplitudy drugiego odchylenia e2 od wartości ustalonej do amplitudypierwszego odchylenia e1.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odpowiedzi oscylacyjne na zakłócenie skokowe

Rysunek : Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a) zniezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odpowiedzi aperiodyczne na zakłócenie skokowe

Rysunek : Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na zakłócenie skokowe: a)z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odpowiedzi oscylacyjne na wymuszenie skokowe

Rysunek : Oscylacyjne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianę wartościzadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłką statyczną

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Odpowiedzi aperiodyczne na wymuszenie skokowe

Rysunek : Aperiodyczne odpowiedzi układu regulacji na skokową zmianęwartości zadanej: a) z niezerową odchyłką statyczną, b) z zerową odchyłkąstatyczną

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Dobór regulatorów

Podstawową przesłanką przy wyborze rodzaju regulatora są właściwościdynamiczne obiektu regulacji.

Rysunek : Układ regulacji

Podstawowe formy opisu właściwości obiektów regulacji

Gob(s) =∆ym(s)

∆u(s)=

kobTzs + 1

e−T0s , Gob(s) =∆ym(s)

∆u(s)=1

Tzse−T0s

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Dobór regulatorów

dlaT0Tz

< 0, 1÷ 0, 2→ regulatory dwu- lub trój-stawne

dla 0, 1 ¬ T0Tz

< 0, 7÷ 1÷ 0, 2→ regulatory o działaniu ciągłym

dlaT0Tz

> 1→ regulatory o działaniu impulsowym (generująceimpulsowe sygnały wyjściowe)

W przypadku obiektów przemysłowych najczęściej spotykane wartości sto-

sunkuT0Tzmieszczą się w przedziale 0, 2÷ 0, 7. Dlatego w przemysłowych

układach regulacji najbardziej rozpowszechnione są regulatory o działaniuciągłym, realizujące typowe algorytmy regulacji P, PI, PD i PID.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Dobór regulatorów

Analiza współpracy regulatora z obiektem prowadzi do następującychwniosków odnośnie wyboru algorytmu regulatora:

Regulator o algorytmie PI zapewnia dobrą jakość regulacji tylkoprzy zakłóceniach o niskich częstotliwościach. Akcja całkująca jestniezbędna dla uzyskania odchyłek statycznych równych zero.

Regulator o algorytmie PD zapewnia szersze pasmo regulacji niżregulator o algorytmie PI, ale z gorszą jakością regulacji przy niskichczęstotliwościach zakłóceń lub wymuszeń. Akcja różniczkująca jestzalecana w przypadku obiektów inercyjnych wyższych rzędów (np.takich jak procesy cieplne), gdyż pozwala na wytworzenie silnegooddziaływania sterującego już przy małych odchyłkach regulacji.Regulator PD nie zapewnia osiągania w stanach ustalonych zerowejodchyłki regulacji.

Regulator o algorytmie PID łączy do pewnego stopnia zaletyregulatorów PI i PD.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Dobór regulatorów

Stosowane w praktyce, przemysłowe regulatory o działaniu ciągłym są urzą-dzeniami uniwersalnymi. Ich parametry (nastawy) można zmieniać (nasta-wiać) w szerokich granicach, dzięki czemu mogą one współpracować po-prawnie z obiektami o zróżnicowanej dynamice. Zależnie od stawianychwymagań dotyczących stabilności i jakości regulacji, należy wprowadzićodpowiednie nastawy regulatora dobierane wg procedur nazywanychdoborem nastaw. Nastawy, są to następujące wielkości:

wzmocnienie proporcjonalne kp = 0, 1÷ 100

czas zdwojenia Ti = 0, 1÷ 3600s

czas wyprzedzenia Td = 0÷ 3600s

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Dobór regulatorów

Metody doboru nastaw regulatorów PID o działaniu ciągłym

metody doświadczalne, nie zapewniające uzyskania określonychparametrów jakościowych układom regulacji, np. Zieglera – Nicholsa,Pessena, Hassena i Offereissena, Cohena-Coona, Astroma –Hagglunda

tabelaryczne metody określania nastaw regulatorów na podstawieparametrów matematycznego modelu obiektu regulacji iwymaganego kryterium jakości układu regulacji

samostrojenie np. metoda przekaźnikowa

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Dobór regulatorów

Metoda Zieglera-Nicholsa

Wariant 1:

nastawy regulatora dobierane są na podstawie parametrówzamkniętego układu regulacji, doprowadzonego do granicystabilności (metoda wzbudzenia układu),

Może być stosowana do doboru nastaw regulatorów w układachregulacji obiektów zarówno statycznych jak i astatycznych z inercjąwyższego rzędu .

Wariant 2:

tylko dla układów ze statycznymi obiektami regulacji,

nastawy regulatora dobierane są na podstawie parametrówcharakterystyki skokowej obiektu regulacji.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1

Rysunek : Schemat funkcjonalny rzeczywistego układu regulacji

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 - krok 1-3 / 6

Krok 1: W trybie sterowania ręcznego (tryb M), zmieniając sygnałsterujący u (CV), doprowadzić wielkość regulowaną ym (PV) dostanu, w którym zrówna się ona z wymaganą wartością zadaną.

Krok 2: Ustawić regulator zainstalowany na obiekcie na działanieproporcjonalne (wyłączyć akcję całkującą i różniczkującą), ustawićpunkt pracy regulatora równy nastawionej w ramach Kroku 1wartości u oraz nastawić początkową wartość wzmocnieniaregulatora kp > 0.

Krok 3: Przełączyć układ na sterowanie automatyczne (tryb A) ijeżeli układ zachowuje stan równowagi, zadajnikiem SP wytworzyćimpulsową zmianę wartości zadanej o amplitudzie i czasie trwaniaimpulsu zależnym od spodziewanej dynamiki procesu; obserwowaćlub rejestrować zmiany wielkości regulowanej. Praktycy zalecająamplitudę impulsu o wartości 10% zakresu zmian sygnału ym (PV) iczas trwania impulsu równy około 10% szacowanej wartościzastępczej stałej czasowej obiektu.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1 - krok 4-6 / 6

Krok 4:Jeżeli zmiany są gasnące, ustawiać coraz to większe wartościaż do wystąpienia w układzie stałych niegasnących oscylacji.

Krok 5: Z zarejestrowanego przebiegu o niegasnącej amplitudzie,odczytać kpkryt. okres oscylacji Tosc.

Krok 6: Wprowadzić nastawy zgodnie z tablicą nastaw w.Zieglera-Nicholsa.

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1

Rysunek : Przebiegi zmian wielkości regulowanej PV uzyskiwane w trakcieeksperymentu Zieglera – Nicholsa (wariant 1)

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Metoda Zieglera-Nicholsa, wariant 1

Tabela nastaw regulatora PID wg. Zieglera-NicholsaRodzaj regulatora kp Ti Td

P 0, 50kpkryt. - -PI 0, 45kpkryt. 0, 8Tosc •PID 0, 60kpkryt. 0, 5Tosc 0, 12Tosc

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki

Podstawy Automatyki

Wykład 7 - Jakość układu regulacji. Dobór nastaw regulatorów PID

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2015

dr inż. Jakub Możaryn Podstawy Automatyki