Post on 05-Apr-2018
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 1/33
2ª Série do Ensino Médio
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 2/33
2, 4, 8, 16, 32, ...
144, 72, 36, 18, 9, ...
3, 9, 27, ... , 2187.
10, –10, 10, –10, ...
Cada uma das sequências de números acima pode serconsiderada uma “P.G.”, ou seja, uma ProgressãoGeométrica. Sabe porquê?
1024, 256, 64, ... , 1, ¼ .
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 3/33
Depois de aprendermos que as sequências numéricaspodem representar uma Progressão Aritmética, ficamais simples definir o que vem a ser uma Progressão
Geométrica.
Numa Progressão Aritmética (P.A.), a partir de um valorinicial, soma-se uma parcela fixa. Por exemplo:
7
+
11
+
15
+
19
+
23
+
…
1
×
3
×
9
×
27
×
81
×
…
Numa Progressão Geométrica (P.G.), a partir de um valorinicial, multiplica-se por um fator fixo. Por exemplo:
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 4/33
Vimos também que a P.A. pode ser representada de umaforma genérica pela fórmula = + − 1 . onde a razão (parcela) pode ser identificada por
− ou − ou ... − ; Como podemos representar uma ProgressãoGeométrica de forma geral?
= 1 Vamos voltar à P.G. 1, 3, 9, 27, 81, ...
= 3 = 1 × 3
= 9 = 3 × 3 = 1 × 3 × 3
= 27 = 9 × 3 = 3 × 3 × 3 = 1 × 3 × 3 × 3
= 81 = 27 × 3 = 9 × 3 × 3 = 3 × 3 × 3 × 3 = = 1 × 3 × 3 × 3 × 3
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 5/33
Complicado? Vamos tentar melhorar
= 1
= 1 × 3
= 1 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = 1 × 3
= 1 × 3
= 1 × 3
= 1 × 3
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 6/33
Complicado? Vamos tentar melhorar
= 1
= 1 × 3
= 1 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = 1 × 3
= 1 × 3
= 1 × 3
= 1 × 3
= 1 × 3
.
.
.
= 1 × 3;
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 7/33
= 1
= 1 × 3
= 1 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = × 3
= × 3
= × 3
= × 3
= × 3
.
.
.
= × 3;
Como = 1 …
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 8/33
= 1
= 1 × 3
= 1 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3
= 1 × 3 × 3 × 3 × 3 = ×
= ×
= ×
= ×
= ×
.
.
.
= × ;
E 3 é o fator que se repete, então... vamos fazer 3 =
Fórmula do termo geralde uma P.G.
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 9/33
Recapitulando:
P.A. P.G.
+ ×
+ 2 ×
+ 3 × .
.
.
.
.
.
+ − 1 . × ;
=
=
=
=
=
.
.
.
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 10/33
Por que será que, na P.A., a razão érepresentada pela letra e na P.G.
pela letra ?
Vimos que, nas Progressões Aritméticas, a razão – “ratio”, parte, parcela – é o valor fixo que se adiciona a cada
termo, tanto que, para determiná-la, basta subtrair de umtermo seu antecedente: = − = − = ⋯
Qual será o cálculo para determinar a razão em uma P.G.?Você já sabe?
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 11/33
2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...
3 , 9 , 27, ... , 2187.
Vamos voltar aos exemplos de P.G. lá do comecinho:
× × × × ×
× × ×
P.G. Crescente e Infinita
P.G. Crescente e Finita
Você saberia dizer, na segunda P.G., qual o elemento queantecede o último?
FÁCIL!2187 ÷ 3 = 729
÷ ÷ ÷
729
÷ ÷ ÷ ÷
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 12/33
P.A. P.G.
+
:
−
: − =
×
:
÷
:
=
Na P.G., a razão é oresultado de umquociente e daí a
representação pelaletra
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 13/33
144, 72, 36, 18, 9, ...
Vamos determinar a razão de cada uma das ProgressõesGeométricas (ainda) dos exemplos iniciais:
P.G. Decrescente e Infinita
=72
144 =1
2
1024, 256, 64, ... , 1, ¼ . P.G. Decrescente e Finita
=256
1024 =
1
4
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 14/33
P.A. P.G.
Observe!
Razão positiva > 0
CRESCENTE
Razão negativa < 0
DECRESCENTE
Razão positiva e > 1
CRESCENTE
Razão positiva e < 1
DECRESCENTE
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 15/33
MOMENTOCRIATIVO
Partindo de = 1, vamos criar...
1) Uma P.A. decrescente:
2) Uma P.G. crescente:
3) Uma P.A. crescente:
4) Uma P.G. decrescente:
= −1
1,0,−1,−2,−3,…
= 5
1,5,25,125,625,…
= 4
1,5,9,13,17,…
= 110
1,1
10
,1
100
,1
1000
, …
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 16/33
E como fica a P.G.com razão
negativa?
Exemplo 1: = 2 = −2
2,−4,8,−16,32,…
Exemplo 2: = 12 = −
12,−6,3,−3
2,3
4, …
<
⇓ P.G. ALTERNADA
(nem crescente,nem decrescente)
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 17/33
P.A.
P.G.OBSERVE MAIS!
= − = −
2 = +
Média ARITMÉTICA
= +
2
=
=
. = .
= .
= ± .
Média GEOMÉTRICA
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 18/33
P.G. (2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...)
4 = 2 × 8
8 = 4 × 16
Em três termos em P.G., o quadrado do termo do meio éigual ao produto do antecedente pelo consequente ou, otermo central é a média geométrica entre os outros dois.
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 19/33
P.G. (2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ...)
8 = 2 × 32
Numa P.G., o quadrado do termo “do meio” é igual aoproduto dos termos equidistantes do centro.
… , ; , … , , … , : , …
= ; . : ou = ± ; . :
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 20/33
EXEMPLOS DE QUESTÕES SOBRE P.G.:
1) Calcule o 1º termo da P.G em que a4 = 64 e q = 2.
= × ;
64 = × 2;
64 = × 2
8 = 64 ∴ = 8
2) Qual é a razão de uma P.G em que a1= 4 e a4= 4000?
4000 = 4 × ;
4 = 4000
= 1000 ⇒ = 1000
∴ = 10
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 21/33
3) Calcule o 10° termo da P.G (9,27...)
= 279 = 3
= 9 × 3; = 9 × 3
= 3 × 3 ∴ = 3
4) Numa P.G, temos a5 = 32 e a8 = 256. Calcule o primeirotermo e a razão dessa P.G.
32 = × (I)
256 = × (II)
Dividindo, membro a membro,(II) por (I), temos:
256
32=
×
×
8 =
(I) 32 = × 2
16 = 32
∴ = 2
8
∴ = 2
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 22/33
EXERCÍCIOS:
1) Numa PG a1 + a2 = 3 e a4 + a5 = 24, a razão da PG é :
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
+ = 3
+ . = 3
+ = 24
. + . = 24
⇒ . 1 + = 3 (I)
⇒ .. 1 + = 24 (II)
Dividindo, membro a membro, (II) por (I), vem que:
. . 1 +
. 1 + =
24
3
8
⇒ = 8 ∴ = 2
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 23/33
2) A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216.Então, o termo médio é igual a:
a) 2 b) 6 c) 18 d) 5 e) 12
Três números em P.G.: .
Produto = 216:
. . . = 216 ⇒ = 216 ∴ = 6
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 24/33
3) Uma fábrica vendia 12 camisetas por mês para certarede de academias desde janeiro de um determinado ano.Devido ao verão, essa venda foi triplicada a cada mês, de
setembro a dezembro. O total de camisetas vendidas nessequadrimestre e a média de vendas, por mês, durante oano, foram, respectivamente,a) 1.536 e 128b) 1.440 e 128c) 1.440 e 84d) 480 e 84
e) 480 e 48
Jan: = 12
Fev: = 12
Ago: = 12
.
.
.
Set: = 36
Out: = 108
Nov: = 324
Dez: = 972
Quadrimestre:36+108
+ 324+ 972
= 1440
Média mensal:
8 × 1 2 + 1 4 4 0
12
= 128
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 25/33
4) Em um surto epidêmico ocorrido em certa cidade comcerca de 10.000 habitantes, cada indivíduo infectadocontaminava 10 outros indivíduos no período de uma
semana. Supondo-se que a epidemia tenha prosseguidonesse ritmo, a partir da contaminação do primeiroindivíduo, pode-se estimar que toda a população dessacidade ficou contaminada em, aproximadamente:a) 28 diasb) 35 diasc) 42 dias
d) 49 dias
1 semana: = 1 × 10
2 semanas: = 1 × 10 = 100
3 semanas: = 1 × 10 = 1.000 4 semanas: = 1 × 10 = 10.000
Inicial: = 1
4 semanas = 4 × 7 = 28 dias
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 26/33
Até agora, para somarmos os termos de uma P.G., nãoprecisamos usar nenhuma fórmula, mas não há de sersempre assim.
= + . + . + … + . ;
Vamos multiplicar a igualdade acima por − :
−.= −. − . − … − . ; − .
Somando, membro a membro, as duas igualdades...
− . = − .
. 1 − = . 1 − ⇒ =. 1 −
1 −
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 27/33
Fórmula da soma dos primeiros termos de uma P.G.:
=
. 1 −
1 − ( = )
Exemplo de aplicação:
Uma moça seria contratada como balconista para trabalharde segunda a sábado nas duas últimas semanas queantecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo
primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro doque ela recebera no dia anterior. A moça recusou otrabalho. Se ela tivesse aceito a oferta, quanto teriarecebido pelos 12 dias de trabalho?
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 28/33
Dia 1: = 1
Dia 2: = 1 × 2
Dia 3: = 1 × 2 .
.
.
Dia 12: = 1 × 2
=1. 1 − 2
1 − 2 =
2 − 1
2 − 1 = 4096 − 1 = 4095
Resposta: Ela teria recebido R$ 4.095,00 pelos 12dias de trabalho.
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 29/33
A fórmula que acabamos de aplicar refere-se à soma dos termos de uma P.G. finita ou dos primeiros termos deuma P.G. infinita.
É claro que, numa P.G. infinita e crescente, a soma de seusinfinitos termos será também infinita, mas o que acontecese a P.G., apesar de infinita for decrescente?
Observe:
P.G. 10,1,
,
, … ,
, … ,
, …
Você consegue imaginar o “tamanho” da fração ou
.. ? É tão pequena, tão “próxima de zero” que
seu valor, numa soma, pode facilmente ser desprezado
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 30/33
Vamos tentar aplicar os dados dessa P.G. na fórmula dasoma considerando infinitos termos:
= . 1 −
1 −
=10. 1− 110
1 −1
10
LEMBRE-SEQUE A IDEIA
DE ∞ ÉABSTRATA! 0
=10
910
=100
9
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 31/33
Vocês se lembram dessa P.G. (144, 72, 36, 18, 9, ... )com =
?
=144. 1 − 12
1 −12
0
=1441
2 = 288
E qual seria a soma dos infinitos termos da P.G. 2, 4, 8,16, 32, ... onde = 2?
= 2. 1 − 2
1 − 2
∞ APARECEU UM∞ NO MEIO
DA CONTA...
∴ = ∞
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 32/33
Percebemos que só vale à pena determinar (somados termos de uma P.G. infinita) quando < 1 e afórmula para tal é:
= 1 −
Exemplo: Dada a PG com a2 = 5 e q = 2/5, calcule a soma
dos infinitos termos.
=
=
52
5
=25
2
=25
2
1 −2
5
=25
2
35
=25
2×
5
3 =
125
6
8/2/2019 PG -Teoria
http://slidepdf.com/reader/full/pg-teoria 33/33
ISERJ - 2012Professora Telma Castro Silva