Metoda elementów Metoda elementów skończonychskończonych

Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W6

2

FEM - MES

Metoda elementów skończonych (MES) [Finite element method (FEM)] ma swoje źródło w analizie strukturalnej.Chociaż jej podstawy stworzył Courant już w 1943r., metoda jest stosowana w rozwiązywaniu zagadnień elektromagnetycznych od roku 1968.

Metoda różnic skończonych (finite difference method - FDM) i metoda momentów the (method of moments - MOM) to metody koncepcyjnie prostsze i łatwiejsze w programowaniu niż metoda elementów skończonych. Jednak MES jest metodą zdecydowanie silniejszą i bardziej uniwersalną w rozwiązywaniu problemów o złożonej geometrii i niejednorodnych środowiskach. Aplikacja MES stworzona dla określonej dyscypliny łatwo może być zastosowana do innej.

3

4 kroki

Zasadnicze etapy analizy MES

• dyskretyzacja regionu rozwiązania skończoną ilością subregionów lub elementów,• wyprowadzenie równań dla typowego elementu,• złożenie wszystkich elementów w regionie rozwiązania,• rozwiązanie uzyskanego układu równań.

4

Rozwiązanie problemu Rozwiązanie problemu za pomocą metody elementów skończonych wymaga następujących czynności:

1. Analizowany obszar dzieli się na pewną skończoną liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów skończonych.

2. Zakłada się, że są one połączone ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach. Najczęściej są to punkty narożne. Noszą one nazwę węzłów.

3. Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, zależne od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji węzłowych lub funkcji kształtu.

4. Równania różniczkowe opisujące badane zjawisko przekształca się, przy pomocy tzw. funkcji wagowych, do równań metody elementów skończonych. Są to równania algebraiczne.

5

5. Na podstawie równań metody elementów skończonych przeprowadza się asemblację układu równań, tzn. oblicza się wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron. Jeżeli rozwiązywane zadanie jest niestacjonarne, to w obliczaniu wartości prawych stron wykorzystuje się dodatkowo warunki początkowe. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę stopni swobody węzłów, tzn. liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle.

6. Do układu równań wprowadza się warunki brzegowe przez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron.

7. Rozwiązuje się układ równań otrzymując wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach.

6

8. W zależności od typu rozwiązywanego problemu, lub potrzeb, oblicza się dodatkowe wielkości (energię, siły, impedancje itp.).

9. Jeżeli zadanie jest niestacjonarne, to czynności opisane w pkt. 5, 6, 7 i 8 powtarza się aż do momentu spełnienia warunku zakończenia obliczeń. Może to być np. określona wartość wielkości fizycznej w którymś z węzłów, czas przebiegu zjawiska lub jakiś inny parametr.

7

DefinicjaDefinicja: Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach.

Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym (ponieważ funkcje interpolacyjne są wtedy liniowe). W pozostałych przypadkach mamy do czynienia z elementami wyższych rzędów.

8

Funkcje interpolacyjne

Funkcje interpolacyjne nazywa się funkcjami węzłowymi, bądź funkcjami kształtu.

Rząd elementu jest zawsze równy rzędowi funkcji interpolacyjnych (funkcji kształtu).

Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów. Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły jeden, a w pozostałych węzłach przyjmowały wartość zero.

9

Typowe elementy Typowe elementy jedno-, dwu- i trójwymiarowe.

10

Rozwiązanie równania LaplaceaRozwiązanie równania Laplace’a

02 V

Aby znaleźć rozkład potencjału V (x, y) w dwuwymiarowym regionie rozwiązania, dzielimy region na elementy skończone.

Elementy 6, 8, i 9 to 4-węzłowe czworokąty, a pozostałe 3-węzłowe trójkąty.Dla ułatwienia obliczeń w praktyce stosuje się elementy tego samego typu. Dlatego elementy czworokątne należy podzielić na trójkąty.

Dyskretyzacja

11

Szukamy aproksymacji Szukamy aproksymacji dla potencjału Ve wewnątrz elementu e i następnie zależności rozkładu potencjału od różnych elementów, jako że potencjał jest ciągły poprzez granice międzyelementowe. Aproksymacja rozwiązania dla całego regionu:

gdzie N jest liczbą elementów trójkątnych

Najpopularniejszą formą aproksymacji Ve wewnątrz elementu jest aproksymacja wielomianowa:

cy bx a (x, y) Ve

(x, y)V V(x, y) N

ee

1

dxy cy bx a (x, y) Ve

dla trójkąta

dla czworokąta

12

Pole elektryczne wewnątrzPotencjał Ve wewnątrz elementu jest niezerowy, ale zerowy na zewnątrz.

Zauważmy, że założenie liniowej kombinacji potencjału wewnątrz elementu trójkątnego jest równoważne przyjęciu, że pole elektryczne wewnątrz elementu jest jednorodne tzn. ,

yxye

xe

ee cbyV

xVV aaaaE

ax i ay – wektory jednostkowe

cEbE yx

13

Wyprowadzenie równań

Potencjały Ve1, Ve2, i Ve3 opisane są równaniem:

Wyprowadzenie równań dla typowego elementu

cy bx a (x, y) Ve

14

Ve

Współczynniki a, b i c są określone równaniem poprzednim, jako

Podstawiając to do równanie na Ve otrzymamy

lub ei

iie VyxV

3

1

,

15

Alfa i A

i – liniowe funkcje interpolacyjne (funkcje kształtu)

16

1 lub 0Funkcje kształtu maja następujące własności:

Dla x = x1 i y = y1

yxxxyyyxyxA 233223321 2

1

122

21

1213312123321 AAyxyxyxyxyxyx

A

Dla x = x2 i y = y2

021

2223322223322 yxyxyxyxyxyxA

17

Suma = 1

Bo sumowanie daje

2A 0↓↓

18

„A” jest powierzchnią elementu e (pole powierzchni trójkąta)

„A” jest dodatnie jeżeli numeracja węzłów jest przeciwna do ruchu wskazówek zegara

19

Funkcje kształtuIlustracja funkcji kształtu

20

Funkcjonał

Funkcjonał korespondujący z równaniem Laplace’a,∆V = 0, jest dany przez energię pola

min,,,,

dxdyyxuuuFI yx

Podstawowym zagadnieniem rachunku wariacyjnego jest wyznaczenie takich niewiadomych funkcji ui(x, y) (ekstremali), żeby całka I pewnej kombinacji tych funkcji i ich pochodnych przybierała wartość ekstremalną. Całka I nazywana jest funkcjonałem.Największe znaczenie ma funkcjonał typu:

dxdyyxuuuFI yx ,,,,

Typowe zagadnienie wariacyjne

Poszukuje się kombinacji liniowych ciągu funkcji, które od razu ekstremalizują funkcjonał.

Uwaga.

21

Fizycznie

Fizycznie funkcjonał We jest energią na jednostkę długości związaną z elementem e.

eii

ie VyxV

3

1

,Z równania

wynika

3

1iieie VV

Podstawiamy to do funkcjonału

22

Macierze

Jeżeli oznaczymy

to funkcjonał możemy zapisać w formie macierzowej jako

Gdzie t oznacza macierz transponowaną

macierz współczynników elementu

⇗

23

Cij

Na przykład

Podobnie

⇦ A

A także

Cij może być uważany za sprzężenie między węzłami i, j.

24

Asemblacja

Asemblacja wszystkich elementów

Energia związana z kompletem elementów

Gdzie

n jest liczbą węzłów, N jest liczbą elementów, a [C] to tak zwana globalna macierz współczynników która jest zestawem macierzy współczynników indywidualnych elementów.

25

Niejednorodne

Równanie energii uzyskano dla założonej jednorodności regionu (=const). Jeżeli region jest niejednorodny to dzieli się go na elementy tak (rysunek) by każdy element skończony był jednorodny.

26

epsilon

W takiej sytuacji, równanie

nie może być stosowane ponieważ =0r zmienia się od elementu do elementu. By pokonać tę trudność trzeba zastąpić przez 0, i pomnożyć funkcję podcałkową przez r .

jest nadal obowiązujące, ale równanie

27

GlobalnaProces w którym macierze współczynników poszczególnych elementów są składane w celu uzyskania globalnej macierzy współczynników ilustruje przykład. Załóżmy, że siatka elementów skończonych składa się z trzech elementów.

Numeracja: zewnętrzne 1 ,2, 3, 4 i 5 – globalna

wewnętrzne 1, 2 i 3 – lokalna ↺

28

Globalna 1

Globalna macierz współczynników

5x5 ponieważ siatka ma 5 węzłów (n = 5).

Cij jest sprzężeniem między węzłami i - j . Wyznaczamy Cij wykorzystując fakt, że rozkład potencjału musi być ciągły na granicy międzyelementowej. Wkład w i, j wyraz macierzy [C] pochodzi od wszystkich elementów zawierających węzły i oraz j.

Na przykład: elementy 1 i 2 mają wspólny węzeł 1, stąd

29

Globalna 2

Węzeł 2 należy tylko do elementu 1, stąd

Węzeł 4 należy do elementów 1, 2, i 3; więc

Węzły 1 i 4 należą jednocześnie do elementów 1 i 2; stąd

Ponieważ nie ma sprzężenia (bezpośredniego połączenia) między węzłami 2 i 3,

Kontynuując postępowanie można wyznaczyć wszystkie wyrazy globalnej macierzy współczynników przez dalszą analizę siatki

30

Globalna 3

∥

Odnotujmy, że mamy 27 wyrazów (9 dla każdego z 3 elementów) w globalnej macierzy współczynników [C].

31

Własności macierzy [C]

Własności macierzy [C]:

1. Jest symetryczna (Cij = Cji ) tak jak macierz współczynników elementu.

2. Ponieważ Cij = 0 jeśli nie ma sprzężenia między węzłami i i j , oczekuje się, że dla dużej liczby elementów [C] stanie się rzadka. Macierz [C] jest także pasmowa jeśli węzły numerowane są właściwie. Można dowieść, że

3. Jest osobliwa. Chociaż nie jest to oczywiste można to udowodnić przy użyciu macierzy współczynników elementu.

32

Rozwiązanie równańRozwiązanie równań

Z metod wariacyjnych wynika, że równanie Laplace’a jest spełnione kiedy całkowita energia w regionie rozwiązania jest minimalna. Tak więc żądamy by pochodne cząstkowe W po każdej węzłowej wartości potencjału były zero tzn.

W rozpatrywanym przykładzie do równania W

podstawiamy [C] i różniczkujemy W po V1.

33

Otrzymujemy

czyli

Ogólnie

prowadzi do

gdzie: n - liczba węzłów w siatce.

34

Metody

Z ostatniego równania dla wszystkich węzłów k = 1, 2, ...n otrzymujemy układ równań z którego znajdujemy rozwiązanie

Rozwiązanie może być uzyskane metodą iteracyjną lub metodą pasmową.

35

Metoda iteracyjna

Jeżeli V1 jest węzłem swobodnym (o szukanym potencjale)

gdzie k jest węzłem swobodnym

Ogólniej w węźle k siatki o n węzłach

Ponieważ Cki = 0 jeśli węzeł k nie jest bezpośrednio połączony z węzłem i, tylko węzły połączone bezpośrednio z k mają wkład w Vk .Równanie może być użyte iteratywnie do wszystkich węzłów swobodnych.

36

Proces iteracji zaczyna się przypisaniem znanych wartości potencjałów do węzłów ustalonych i wartości zerowych lub średnich potencjałów węzłom swobodnym ( o nieznanej wartości).

gdzie Vmin i Vmax są minimalną i maksymalną wartością V węzłów ustalonych.Z takimi początkowymi potencjałami liczone są potencjały węzłów swobodnych. W końcu pierwszej iteracji znane są nowe wartości, które w następnej iteracji zastąpią stare.Procedura jest powtarzana dopóki różnica między iteracjami nie osiągnie żądanego poziomu.

37

Metoda pasmowa

Gdzie indeksy f and p, odpowiednio odnoszą się do węzłów o szukanym (free) i zadanym (fixed) potencjale. Ponieważ Vp jest stały, różniczkujemy po Vf i otrzymujemy

lub

38

Warunek brzegowy Neumann’aWarunek brzegowy Neuman’a

Warunek Neumann’a (∂V/∂n = 0) może być warunkiem brzegowym lub określać symetrię problemu. Załóżmy, że region jest symetryczny wzdłuż osi y. Wprowadzamy warunek ∂V/∂x = 0 wzdłuż osi y przyjmując:

39

Bezpośrednie i iteracyjne metody Bezpośrednie i iteracyjne metody rozwiązywania układów

równań liniowych a macierze rzadkie

Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodami MRS i MES wymaga rozwiązywania układów równań liniowych z macierzami rzadkimi. Metody rozwiązywania tych układów dzielą się na:

•metody bezpośrednie - dają rozwiązanie po skończonej liczbie kroków; wykorzystują dekompozycję Gaussa, Choleskiego itd. Podstawowa niedogodność stosowania metod bezpośrednich dla macierzy rzadkich to pojawianie się nowych niezerowych elementów w macierzy w trakcie obliczeń (ang. fill-in); •metody iteracyjne - polegają na iteracyjnym ulepszaniu przybliżonego rozwiązania do momentu osiągnięcia zadawalającej dokładności.

W każdym kroku wykorzystywana jest stosunkowo prosta procedura bazującej na iloczynie macierzy przez wektor; procedura ta nie zmienia macierzy A układu. Pozwala to zmniejszyć wymagania w stosunku do pamięci operacyjnej w porównaniu z metodami bezpośrednimi oraz lepiej wykorzystać specyficzną strukturę macierzy A. Dzięki zastosowaniu uwarunkowania wstępnego (ang. preconditioning) udaje się też zmniejszyć wymaganą liczbę iteracji. Duże układy równań, które zwykle charakteryzują się rzadkimi macierzami współczynników, rozwiązuje się przeważnie przy użyciu metod iteracyjnych .