Matematyka dyskretna© Andrzej Łachwa, UJ, 2013

andrzej.lachwa@uj.edu.pl

12/15

Podziały i liczby Stirlinga

Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego

rodzaju) to liczba permutacji zbioru n-elementowego złożonych z dokład-

nie k cykli, czyli takich permutacji , że .

Przyjmujemy, że , a więc że jest jedna permutacja zbioru pustego

bez cykli (funkcja pusta).

Z powodów technicznych, w przekształceniach rachunkowych wygodnie

jest mieć zdefiniowaną wartość dla wszystkich , więc

przyjmujemy, że dla .

Przykład

Lista permutacji złożonych z 2 cykli:

Mamy 11 permutacji złożonych z dwóch cykli, zatem .

Obserwacje ( )

, dla

,

,

,

, dla

Dowody

Pierwszy punkt jest natychmiastową konsekwencją faktu, że nie można

podzielić niepustego zbioru na 0 części (cykli).

Liczba opisuje permutacje o jednym cyklu. Każda taka permutacja

jest zadana wzorcem . Wzorzec taki może być wypełniony

n-elementami na n! sposobów. Ale ten sam cykl ma wiele opisów

różniących się jedynie przesunięciem. Zatem każdy n-elementowy cykl

może być zapisany według takiego wzorca na n sposobów, czyli liczba

cykli na zbiorze n-elementowym to , co dowodzi punktu

drugiego.

Liczba opisuje permutacje o n-1 cyklach. Permutacja taka musi

więc być typu , czyli jest transpozycją.

Każda transpozycja jest jednoznacznie wyznaczona przez dwuelementowy

zbiór elementów, które ze sobą zamienia. Zatem transpozycji jest

dokładnie tyle co podzbiorów 2-elementowych, czyli , co dowodzi

punktu trzeciego.

Dla dowodu punktu czwartego zauważmy, że jedyną permutacją o n

cyklach na zbiorze n-elementowym jest identyczność.

Równie łatwo jest stwierdzić, że zbiór n-elementowy nie może być

podzielony na więcej niż n niepustych części (mających stanowić cykle).

Liczby Stirlinga dla cykli, podobnie jak współczynniki dwumianowe, można

generować używając zależności rekurencyjnej. Na jej podstawie można

zbudować trójkąt Stirlinga dla cykli.

Obserwacja

Dla mamy

Dowód

Niech x będzie wyróżnionym i ustalonym elementem n-elementowego

zbioru X. Permutacje zbioru X o k cyklach można podzielić na dwa typy,

w których:

� x stanowi jednoelementowy cykl,

� x jest w cyklu co najmniej 2-elementowym.

W pierwszym przypadku pozostałe n−1 elementów zbioru X muszą

uformować k−1 cykli, co jest możliwe na sposobów. W drugim

przypadku, po usunięciu elementu x permutacje badanego typu wciąż

będą mieć k cykli. Jest ich zatem tyle, co permutacji n-1-elementowego

zbioru o k cyklach, czyli .

Element x może rozbudować każdą permutację zbioru X− {x} na n−1

sposobów (wchodząc do cyklu jako następnik jednego z n−1 elementów).

Zatem permutacji drugiego typu jest dokładnie .

W trójkącie Stirlinga dla cykli, n-ty wiersz zawiera liczby permutacji zbioru

n-elementowego o kolejno cyklach. Zatem suma wszystkich tych

wartości to liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego, czyli n!.

Dostajemy stąd natychmiast:

Obserwacja

Dla mamy

Trójkąt Stirlinga dla cykli

Σ1

1

2

6

24

120

720

5040

Ciekawy jest następujący związek liczb Stirlinga dla cykli z liczbami

harmonicznymi .

Obserwacja

Dla mamy

Dowód

Dla n=0 tożsamość jest oczywista, a dla n>0 przybiera postać

Pokażemy że obydwie liczby z naszej obserwacji to sumaryczna liczba cykli

we wszystkich permutacjach zbioru n-elementowego, tzn. .

1)

Permutacji o i cyklach jest dokładnie . W sumie permutacje o i cyklach

mają więc cykli, czyli .

2)

Zliczymy najpierw -elementowe cykle zbudowane z elementów zbioru n-

elementowego. Każdy taki cykl jest wyznaczony przez wypełnienie wzorca

, ale z dokładnością do przesunięcia. Wypełnień jest oczywiście

tyle, ile injekcji postaci , czyli .

Zatem zliczanych cykli -elementowych jest dokładnie .

Każdy cykl i-elementowy występuje w dokładnie n– i permutacjach zbioru

n-elementowego, gdyż tyle jest permutacji pozostałych n– i elementów.

Zatem sumaryczna liczba cykli we wszystkich permutacjach zbioru n-ele-

mentowego wynosi:

Liczby Sterlinga drugiego rodzaju

W liczbach Stirlinga dla cykli wypełnialiśmy wzorce postaci:

w sposób injektywny i z dokładnością do:

o kolejności cykli,

o przesunięć cyklicznych w każdym z k cykli.

Jeśli zupełnie zaniedbamy kolejność elementów w cyklach, dostaniemy

wzorzec:

czyli podział zbioru n-elementowego na k parami rozłącznych

podzbiorów. W podziale, podzbiory takie nazywamy blokami.

Przypomnijmy, że podział zbioru X na k bloków wyznacza relację

równoważności na zbiorze X o k klasach równoważności.

Liczba Stirlinga dla podziałów (często nazywana liczbą Stirlinga

drugiego rodzaju) to liczba podziałów zbioru n-elementowego na

dokładnie k bloki. Znów przyjmujemy, że oraz dla .

Przykład

Lista podziałów na dwa bloki:

Mamy 7 podziałów zbioru na dwa bloki, zatem .

Podział na jeden blok jest oczywiście 1.

Podział na cztery bloki też jest tylko 1.

Jak się za chwilę okaże podziałów na trzy bloki jest 62

4=

.

Obserwacje ( )

, , dla ,

, dla , , dla ,

, ,

, dla .

Dowody

Pierwszy punkt jest oczywisty po zauważeniu, że w liczbach Stirlinga dla

podziałów zliczamy te same obiekty co w liczbach Stirlinga dla cykli, ale po

zaniedbaniu kolejności elementów.

Drugi punkt to stwierdzenie, że niepusty zbiór nie może zostać podzielony

na zero bloków.

Trzeci punkt orzeka, że jest tylko jeden podział niepustego zbioru na

jeden blok - blok ten musi być całym dzielonym zbiorem.

Dla dowodu czwartego załóżmy, że i niech . Zauważmy, że

podział na dwa bloki jest zdeterminowany jednym z tych bloków - drugi to

po prostu dopełnienie pierwszego. Niech więc blokiem determinującym

podział, będzie blok zawierający x. Element x może stanowić blok

z dowolnym podzbiorem pozostałego -elementowego zbioru

poza podzbiorem pełnym, gdyż wtedy drugi blok byłby pusty. Zatem jest

dokładnie możliwości wyboru bloku dla x, i tym samym tyleż jest

podziałów .

Piąty punkt mówi o podziale zbioru n-elementowego na n-1 bloków.

Zatem jeden z tych bloków musi być 2-elementowy. Po wybraniu takiego

bloku pozostałe bloki będą jednoelementowe. Podziałów jest zatem tyle

na ile sposobów można wybrać 2-elementowy podzbiór zbioru n-

elementowego.

Dowody pozostałych dwóch własności są oczywiste.

Liczby Stirlinga dla podziałów, podobnie jak współczynniki dwumianowe,

czy liczby Stirlinga dla cykli można generować używając zależności

rekurencyjnej. Na jej podstawie można zbudować trójkąt Stirlinga dla

podziałów.

Obserwacja ( )

Obserwacja ta pozwala na szybką konstrukcję trójkąta Stirlinga dla

podziałów.

Trójkąt Stirlinga dla podziałów

Kilka wykładów wcześniej wskazaliśmy liczbę funkcji, liczbę injekcji i liczbę

bijekcji między zbiorami skończonymi. Przemilczeliśmy liczbę surjekcji, nie

mając jeszcze wtedy wystarczających narzędzi do ich zliczenia. Zauważmy

jednak, że każda surjekcja wyznacza podział zbioru X na |Y|

bloków. Nie dziwi więc następujący związek z liczbami Stirlinga dla

podziałów.

Obserwacja

Dla skończonych zbiorów X, Y liczba surjekcji wynosi

.

Dowód

Niech . Jak już zauważyliśmy, surjekcja postaci

wyznacza pewien podział zbioru dodatkowo poetykietowany

elementami zbioru na bloków .

Nieetykietowanych podziałów jest oczywiście . Ponieważ każdy

podział może być poetykietowany na sposobów, możemy zakończyć

dowód.

Obserwacja ( )

Dowód

Niech . Pojedynczy składnik rozważanej sumy

to liczba wyborów ciągu zbiorów ,

odpowiednio elementowych.

Rzeczywiście możemy wybrać na sposobów,

na sposobów itd. Każdy taki ciąg zbiorów

odpowiada jednoznacznie ciągowi bloków , gdzie

.

W podziale nie jest jednak istotne uporządkowanie bloków , co

oznacza, że powinniśmy przejść od ciągu do rodziny bloków

, wydzielając tym samym każdy składnik sumy przez .

Tak wydzielona suma to nic innego jak liczba podziałów zbioru n-elemen-

towego na bloków, czyli .

Przykład

Liczby Bella

W trójkącie Pascala n-ty wiersz sumuje się do liczby podzbiorów zbioru

n-elementowego, czyli do . W trójkącie Stirlinga dla cykli n-ty wiersz

sumuje się do liczby permutacji zbioru n-elementowego, czyli do n!.

Zajmiemy się teraz sumą n-tego wiersza trójkąta Stirlinga dla podziałów.

Oczywiście suma taka to liczba wszystkich podziałów zbioru n-elemento-

wego, lub inaczej liczby wszystkich relacji równoważności na zbiorze

n-elementowym.

Liczba Bella to liczba podziałów zbioru n-elementowego, czyli

Lista kilku pierwszych liczb Bella:

Obserwacja

Liczby Bella spełniają następującą zależność rekurencyjną:

Dowód

Wybierzmy i ustalmy w -elementowym zbiorze pewien element

. Policzmy teraz ile jest podziałów zbioru takich, że blok

zawierający x ma dokładnie i+1 elementów. Oczywiście pozostałe

i elementów tego bloku może zostać wybranych ze zbioru na

sposobów. Każdy taki blok możemy rozbudować do podziału zbioru

poprzez podzielenie pozostałych na bloki. Podział taki jest oczywiście

możliwy na sposobów, skąd sumując po wszystkich możliwych

wartościach otrzymujemy

Przykład

Podzielmy zbiór 5-elementowy {a,b,c,d,e} na dokładnie 2 bloki, np.

{a,c,d,e} i {b}. Podziałów takich jest 15.

Podziałów na dokładnie 3 bloki jest 25. Należy do nich np. podział {a,b},

{c,d}, {e}.

Podziałów na dokładnie 4 bloki jest 10. Np. {a}, {b}, {c,d}, {e}.

W sumie, dodając jeszcze jeden podział na 1 blok i 1 podział na 5 bloków,

mamy liczbę wszystkich możliwych podziałów, czyli liczbę Bella B5=52.

Bazy przestrzeni wielomianów

Przestrzeń wektorowa wszystkich wielomianów jednej zmiennej

rzeczywistej ma naturalną bazę złożoną z jednomianów

W różnicowym odpowiedniku twierdzenia Taylora zobaczyliśmy, że każdy

wielomian można przedstawić jako kombinację liniową

dolnych potęg .

Interesujące jest, że bazami dla przestrzeni wielomianów mogą być

także górne potęgi , natomiast współczynniki przejścia

między tymi trzema bazami są ściśle powiązane z liczbami Stirlinga.

W poniższych twierdzeniach rezygnujemy z ograniczeń na indeksy

sumowania. Zakładamy jedynie, że przebiegają one liczby całkowite

pamiętając, że i zerują się dla oraz .

Twierdzenie 1

Dla oraz zachodzi

Twierdzenie 2

Dla oraz zachodzi