MD12 (Stirlinga Bella) - Jagiellonian...
31
Transcript of MD12 (Stirlinga Bella) - Jagiellonian...
Podziały i liczby Stirlinga
Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego
rodzaju) to liczba permutacji zbioru n-elementowego złożonych z dokład-
nie k cykli, czyli takich permutacji , że .
Przyjmujemy, że , a więc że jest jedna permutacja zbioru pustego
bez cykli (funkcja pusta).
Z powodów technicznych, w przekształceniach rachunkowych wygodnie
jest mieć zdefiniowaną wartość dla wszystkich , więc
przyjmujemy, że dla .
Przykład
Lista permutacji złożonych z 2 cykli:
Mamy 11 permutacji złożonych z dwóch cykli, zatem .
Obserwacje ( )
, dla
,
,
,
, dla
Dowody
Pierwszy punkt jest natychmiastową konsekwencją faktu, że nie można
podzielić niepustego zbioru na 0 części (cykli).
Liczba opisuje permutacje o jednym cyklu. Każda taka permutacja
jest zadana wzorcem . Wzorzec taki może być wypełniony
n-elementami na n! sposobów. Ale ten sam cykl ma wiele opisów
różniących się jedynie przesunięciem. Zatem każdy n-elementowy cykl
może być zapisany według takiego wzorca na n sposobów, czyli liczba
cykli na zbiorze n-elementowym to , co dowodzi punktu
drugiego.
Liczba opisuje permutacje o n-1 cyklach. Permutacja taka musi
więc być typu , czyli jest transpozycją.
Każda transpozycja jest jednoznacznie wyznaczona przez dwuelementowy
zbiór elementów, które ze sobą zamienia. Zatem transpozycji jest
dokładnie tyle co podzbiorów 2-elementowych, czyli , co dowodzi
punktu trzeciego.
Dla dowodu punktu czwartego zauważmy, że jedyną permutacją o n
cyklach na zbiorze n-elementowym jest identyczność.
Równie łatwo jest stwierdzić, że zbiór n-elementowy nie może być
podzielony na więcej niż n niepustych części (mających stanowić cykle).
Liczby Stirlinga dla cykli, podobnie jak współczynniki dwumianowe, można
generować używając zależności rekurencyjnej. Na jej podstawie można
zbudować trójkąt Stirlinga dla cykli.
Obserwacja
Dla mamy
Dowód
Niech x będzie wyróżnionym i ustalonym elementem n-elementowego
zbioru X. Permutacje zbioru X o k cyklach można podzielić na dwa typy,
w których:
� x stanowi jednoelementowy cykl,
� x jest w cyklu co najmniej 2-elementowym.
W pierwszym przypadku pozostałe n−1 elementów zbioru X muszą
uformować k−1 cykli, co jest możliwe na sposobów. W drugim
przypadku, po usunięciu elementu x permutacje badanego typu wciąż
będą mieć k cykli. Jest ich zatem tyle, co permutacji n-1-elementowego
zbioru o k cyklach, czyli .
Element x może rozbudować każdą permutację zbioru X− {x} na n−1
sposobów (wchodząc do cyklu jako następnik jednego z n−1 elementów).
Zatem permutacji drugiego typu jest dokładnie .
W trójkącie Stirlinga dla cykli, n-ty wiersz zawiera liczby permutacji zbioru
n-elementowego o kolejno cyklach. Zatem suma wszystkich tych
wartości to liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego, czyli n!.
Dostajemy stąd natychmiast:
Obserwacja
Dla mamy
Trójkąt Stirlinga dla cykli
Σ1
1
2
6
24
120
720
5040
Ciekawy jest następujący związek liczb Stirlinga dla cykli z liczbami
harmonicznymi .
Obserwacja
Dla mamy
Dowód
Dla n=0 tożsamość jest oczywista, a dla n>0 przybiera postać
Pokażemy że obydwie liczby z naszej obserwacji to sumaryczna liczba cykli
we wszystkich permutacjach zbioru n-elementowego, tzn. .
1)
Permutacji o i cyklach jest dokładnie . W sumie permutacje o i cyklach
mają więc cykli, czyli .
2)
Zliczymy najpierw -elementowe cykle zbudowane z elementów zbioru n-
elementowego. Każdy taki cykl jest wyznaczony przez wypełnienie wzorca
, ale z dokładnością do przesunięcia. Wypełnień jest oczywiście
tyle, ile injekcji postaci , czyli .
Zatem zliczanych cykli -elementowych jest dokładnie .
Każdy cykl i-elementowy występuje w dokładnie n– i permutacjach zbioru
n-elementowego, gdyż tyle jest permutacji pozostałych n– i elementów.
Zatem sumaryczna liczba cykli we wszystkich permutacjach zbioru n-ele-
mentowego wynosi:
Liczby Sterlinga drugiego rodzaju
W liczbach Stirlinga dla cykli wypełnialiśmy wzorce postaci:
w sposób injektywny i z dokładnością do:
o kolejności cykli,
o przesunięć cyklicznych w każdym z k cykli.
Jeśli zupełnie zaniedbamy kolejność elementów w cyklach, dostaniemy
wzorzec:
czyli podział zbioru n-elementowego na k parami rozłącznych
podzbiorów. W podziale, podzbiory takie nazywamy blokami.
Przypomnijmy, że podział zbioru X na k bloków wyznacza relację
równoważności na zbiorze X o k klasach równoważności.
Liczba Stirlinga dla podziałów (często nazywana liczbą Stirlinga
drugiego rodzaju) to liczba podziałów zbioru n-elementowego na
dokładnie k bloki. Znów przyjmujemy, że oraz dla .
Przykład
Lista podziałów na dwa bloki:
Mamy 7 podziałów zbioru na dwa bloki, zatem .
Podział na jeden blok jest oczywiście 1.
Podział na cztery bloki też jest tylko 1.
Jak się za chwilę okaże podziałów na trzy bloki jest 62
4=
.
Obserwacje ( )
, , dla ,
, dla , , dla ,
, ,
, dla .
Dowody
Pierwszy punkt jest oczywisty po zauważeniu, że w liczbach Stirlinga dla
podziałów zliczamy te same obiekty co w liczbach Stirlinga dla cykli, ale po
zaniedbaniu kolejności elementów.
Drugi punkt to stwierdzenie, że niepusty zbiór nie może zostać podzielony
na zero bloków.
Trzeci punkt orzeka, że jest tylko jeden podział niepustego zbioru na
jeden blok - blok ten musi być całym dzielonym zbiorem.
Dla dowodu czwartego załóżmy, że i niech . Zauważmy, że
podział na dwa bloki jest zdeterminowany jednym z tych bloków - drugi to
po prostu dopełnienie pierwszego. Niech więc blokiem determinującym
podział, będzie blok zawierający x. Element x może stanowić blok
z dowolnym podzbiorem pozostałego -elementowego zbioru
poza podzbiorem pełnym, gdyż wtedy drugi blok byłby pusty. Zatem jest
dokładnie możliwości wyboru bloku dla x, i tym samym tyleż jest
podziałów .
Piąty punkt mówi o podziale zbioru n-elementowego na n-1 bloków.
Zatem jeden z tych bloków musi być 2-elementowy. Po wybraniu takiego
bloku pozostałe bloki będą jednoelementowe. Podziałów jest zatem tyle
na ile sposobów można wybrać 2-elementowy podzbiór zbioru n-
elementowego.
Dowody pozostałych dwóch własności są oczywiste.
Liczby Stirlinga dla podziałów, podobnie jak współczynniki dwumianowe,
czy liczby Stirlinga dla cykli można generować używając zależności
rekurencyjnej. Na jej podstawie można zbudować trójkąt Stirlinga dla
podziałów.
Obserwacja ( )
Obserwacja ta pozwala na szybką konstrukcję trójkąta Stirlinga dla
podziałów.
Trójkąt Stirlinga dla podziałów
Kilka wykładów wcześniej wskazaliśmy liczbę funkcji, liczbę injekcji i liczbę
bijekcji między zbiorami skończonymi. Przemilczeliśmy liczbę surjekcji, nie
mając jeszcze wtedy wystarczających narzędzi do ich zliczenia. Zauważmy
jednak, że każda surjekcja wyznacza podział zbioru X na |Y|
bloków. Nie dziwi więc następujący związek z liczbami Stirlinga dla
podziałów.
Obserwacja
Dla skończonych zbiorów X, Y liczba surjekcji wynosi
.
Dowód
Niech . Jak już zauważyliśmy, surjekcja postaci
wyznacza pewien podział zbioru dodatkowo poetykietowany
elementami zbioru na bloków .
Nieetykietowanych podziałów jest oczywiście . Ponieważ każdy
podział może być poetykietowany na sposobów, możemy zakończyć
dowód.
Obserwacja ( )
Dowód
Niech . Pojedynczy składnik rozważanej sumy
to liczba wyborów ciągu zbiorów ,
odpowiednio elementowych.
Rzeczywiście możemy wybrać na sposobów,
na sposobów itd. Każdy taki ciąg zbiorów
odpowiada jednoznacznie ciągowi bloków , gdzie
.
W podziale nie jest jednak istotne uporządkowanie bloków , co
oznacza, że powinniśmy przejść od ciągu do rodziny bloków
, wydzielając tym samym każdy składnik sumy przez .
Tak wydzielona suma to nic innego jak liczba podziałów zbioru n-elemen-
towego na bloków, czyli .
Przykład
Liczby Bella
W trójkącie Pascala n-ty wiersz sumuje się do liczby podzbiorów zbioru
n-elementowego, czyli do . W trójkącie Stirlinga dla cykli n-ty wiersz
sumuje się do liczby permutacji zbioru n-elementowego, czyli do n!.
Zajmiemy się teraz sumą n-tego wiersza trójkąta Stirlinga dla podziałów.
Oczywiście suma taka to liczba wszystkich podziałów zbioru n-elemento-
wego, lub inaczej liczby wszystkich relacji równoważności na zbiorze
n-elementowym.
Liczba Bella to liczba podziałów zbioru n-elementowego, czyli
Lista kilku pierwszych liczb Bella:
Obserwacja
Liczby Bella spełniają następującą zależność rekurencyjną:
Dowód
Wybierzmy i ustalmy w -elementowym zbiorze pewien element
. Policzmy teraz ile jest podziałów zbioru takich, że blok
zawierający x ma dokładnie i+1 elementów. Oczywiście pozostałe
i elementów tego bloku może zostać wybranych ze zbioru na
sposobów. Każdy taki blok możemy rozbudować do podziału zbioru
poprzez podzielenie pozostałych na bloki. Podział taki jest oczywiście
możliwy na sposobów, skąd sumując po wszystkich możliwych
wartościach otrzymujemy
Przykład
Podzielmy zbiór 5-elementowy {a,b,c,d,e} na dokładnie 2 bloki, np.
{a,c,d,e} i {b}. Podziałów takich jest 15.
Podziałów na dokładnie 3 bloki jest 25. Należy do nich np. podział {a,b},
{c,d}, {e}.
Podziałów na dokładnie 4 bloki jest 10. Np. {a}, {b}, {c,d}, {e}.
W sumie, dodając jeszcze jeden podział na 1 blok i 1 podział na 5 bloków,
mamy liczbę wszystkich możliwych podziałów, czyli liczbę Bella B5=52.
Bazy przestrzeni wielomianów
Przestrzeń wektorowa wszystkich wielomianów jednej zmiennej
rzeczywistej ma naturalną bazę złożoną z jednomianów
W różnicowym odpowiedniku twierdzenia Taylora zobaczyliśmy, że każdy
wielomian można przedstawić jako kombinację liniową
dolnych potęg .
Interesujące jest, że bazami dla przestrzeni wielomianów mogą być
także górne potęgi , natomiast współczynniki przejścia
między tymi trzema bazami są ściśle powiązane z liczbami Stirlinga.
W poniższych twierdzeniach rezygnujemy z ograniczeń na indeksy
sumowania. Zakładamy jedynie, że przebiegają one liczby całkowite
pamiętając, że i zerują się dla oraz .
Twierdzenie 1
Dla oraz zachodzi
Twierdzenie 2
Dla oraz zachodzi
