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8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 151
Como es sabido para la mayoría de las personas, las
matemáticas representan un estudio bastante pesado e
incluso llega a ser hasta odioso. Esto puede deberse
principalmente a la formación mal orientada en los primeros
años de estudios. Además, a esto se le suma los exigentes y
recios profesores con los que algunos se cruzan.
Sin embargo, alrededor de las matemáticas también existe
un mundo amable que no todos conocen, un mundo apartado
de esa cortina de humo compuesta por fórmulas, gráficas y
demostraciones, un mundo donde podrás encontrar desde
poemas hasta problemas matemáticos, pasando por chistes,
curiosidades, pensamientos, historias, etc.
Si bien no resulta fácil cruzar esa enigmática cortina de humo susodicha, los invitamos, queridos
alumnos, a que se esfuercen por ingresar al mundo amable de las matemáticas. Mucho dependerá
de la predisposición que manifiesten.
RECUERDEN: Así como es imposible aprender a nadar sin sumergirse en el agua, así también
será imposible percibir la belleza de las matemáticas sin empaparse completamente de ellas.
¡Crucen la cortina de humo y tengan la seguridad
de que no saldrán decepcionados!
SUS PROFESORES DE MATEMÁTICAS
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S152
ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA
maginemos que Lorenita prepara una deliciosa torta
de chocolate y la va a compartir con algunos de susamiguitos. Así pues, están reunidos alrededor de latorta, esperando recibir su porción.
Llegó el momento tan esperado: Lorenita agarra elcuchillo y, desde el centro de la torta, empieza adividirla en tajadas, dejando, por supuesto, la cuartaparte para su voraz profesor de geometría.
Veamos como Lorenita dividió su torta:
Observemos, queridos alumnos, que las tajadas más
grandes tiene una mayor abertura en el centro conrespecto a las tajadas más chicas. Por ejemplo: ¿Noes cierto que la tajada de Lorenita es más estrechaque la de Fernandito?, ¿Y qué puedes decir de latajada del “profe” con respecto a la de Carlita?
Entonces, podemos concluir que, toda tajada, tieneuna determinada aberturas. Es decir:
AHORA BIEN: ¿Qué sistema se usa para medir lasaberturas de los ángulos?
En realidad, hay muchísimos sistemas de medidasangulares, sin embargo, para el desarrollo denuestro curso. Utilizaremos el antiquísimo pero aúnútil, SISTEMA SEXAGESIMAL .
¿Cómo se concibe el SistemaSexagesimal?
El sistema sexagesimal se concibe dividiendo a lacircunferencia en 360 partes iguales a partir delcentro. A cada una de esas partes se le llama“Grado Sexagesimal” (1º). Para ilustrarlo,imaginemos que Lorenita hubiese dividido sutorta en 360 tajadas, todas iguales entre sí,¿Puedes imaginarlo?. Pues bien, cada tajadarepresentaría un grado sexagesimal.
Debemos saber también, que cada gradosexagesimal se divide en 60 partecitas máspequeñas, todas iguales entre sí, a las quellamaremos minutos (‘). A su vez, y aunque no locrean, cada minuto se divide en 60 partecitasdiminutas, todas iguales entre sí, a las quellamaremos segundos (‘’).
En resumen:
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 1 PRIMER AÑO
“Todo ángulo tiene
una determinada
medida”
El Profe
de Geo.
Savitri.
Cesitar
Fernandito
1 vuelta 360º
1º 60'
1’ 60’’
1º 3600’’
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Colegio Particular Integrado CESAR´S 153
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SUMEDIDA
1. Ángulo Nulo
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
2. Ángulo de una vuelta
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
3. Ángulo Llano o de Media Vuelta
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
4. Ángulo Recto o de un Cuarto de Vuelta
........................................................................................
........................................................................................
5. Ángulo Agudo
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
6. Ángulo Obtuso
.........................................................................................
.........................................................................................
.........................................................................................
O
w
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER. AÑO
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1. Indicar verdadero (V) o falso donde corresponda.
La medida de un ángulo llano equivale a la medidade los ángulos rectos. ( )
Un ángulo obtuso es aquel mayor que 90º ymenor que 360º ( )
La medida del ángulo de una vuelta equivale a lamedida de dos ángulos llanos ( )
a) VVV b) VFV c) FFFd) VVF e) VFF
2. Relacione de manera conveniente ambas columnas.
a) Ángulo Obtuso ( ) 180º
b) Ángulo Llano ( ) 127º
c) 3600’’ ( ) 1’
d) 60’’ ( ) 1º
3. Complete de manera adecuada.
La unidad del sistema sexagesimal es el
_______________ sexagesimal.
La medida de un ángulo cuantifica la _________________ entre sus lados.
Para medir un ángulo existen muchísimos ________________ pero el que usaremosen nuestro curso es __________________.
4. Indicar verdadero (V) o falso donde corresponda.
La suma de las medidas de dos ángulos agudoses equivalente a la medida de un ánguloobtuso. ( )
La suma de las medidas de dos ángulosobtusos siempre es mayor que la medida deun ángulo llano. ( )
Si tenemos 18 ángulos, cada uno de ellos con20º de medida, entonces, la suma de susmedidas equivale a la medida de una vuelta.
( )
5. ¿A cuánto equivale la medida de un ángulo si estees la quinta parte de la medida de un ángulo llano?
a) 72º b) 30º c) 36ºd) 40º e) N.A.
6. La suma de las medidas de dos ángulos que sonproporcionales a 2 y 3 es equivalente a la medidade un ángulo recto. Calcular la medida del menor.
a) 54º b) 18º c) 27ºd) 36º e) 30º
7. La suma de las medidas de tres ángulos que sonproporcionales a 2, 3 y 4 es equivalente a lamedida de un ángulo llano. Calcular la medida del
ángulo intermedio.
a) 20º b) 40º c) 80ºd) 60º e) 100º
8. Calcular “x + y”
a) 118º
b) 128º
c) 138º
d) 15º
e) 123º
9. Calcular “x + y”
a) Ángulo Agudo d) Ángulo Obtusob) Ángulo Llano e) Ángulo de unac) Ángulo Recto vuelta
10. Del gráfico mostrado, calcular “x”.
Si: m∢AOB = 37º ; OB OC
a) 63ºb) 43ºc) 53ºd) 60ºe) 37º
57º
x
y
5y
2xx
y3y5y
x
B
A O
C
D
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Colegio Particular Integrado CESAR´S 155
11. Del gráfico mostrado, calcular m∢BOC si losángulos AOB y COD son rectos.
a) 30º
b) 40º
c) 50ºd) 60º
e) 70º
12. Calcular “y 2x”
a) 30º
b) 60º
c) 90º
d) 120º
e) 150º
13. Si: m∢AOB = 20º. Calcular : m∢AOD; sabiendo
además: m∢BOC = 4m∢AOB
a) 20ºb) 40ºc) 60ºd) 80ºe) 100º
14. Del gráfico, calcular “x”.
Si: OA OC y OB OD
a) 40ºb) 25ºc) 30ºd) 50ºe) Faltan datos
15. Calcular m∢BOC si la suma de las medidas de losángulos AOC y BOC equivale a la medida de unángulos llano.
a) 40º
b) 50º
c) 80º
d) 90º
e) 100º
1. Indicar verdadero (V) o falso donde corresponda.
Nueve ángulos de 20º cada uno de ellosequivalen a la medida de un ángulo recto.
( )Cuatro ángulos rectos equivalen a la medida delángulo de una vuelta.
( )
El ángulo obtuso es aquel cuya medida es menorque 180º ( )
2. Complete de manera adecuada.
La cuarta parte de una vuelta es un ángulo ________________________.
10º es la ______________ parte de un ángulorecto.
179º + 60’ es un ángulo _______________.
3. Calcular la diferencia entre la décima parte de unángulo de una vuelta y la quinta parte de un ángulorecto.
a) 36º b) 18º c) 27ºd) 30º e) 38º
4. ¿En cuánto excede el duplo de un ángulo recto a latercera parte del ángulo de una vuelta?
a) 30º b) 40º c) 50ºd) 60º e) 70º
5. El doble de la octava parte del ángulo de unavuelta es:
a) Ángulo Recto d) Ángulo Llanob) Ángulo Agudo e) N.A.c) Ángulo Obtuso
6. Calcular “x + y”
a) 76º b) 66º c) 86ºd) 96º e) N.A.
120ºOC
B A
D
x x
x
y
O
x50º
D
CB
O A
D
A
B
O
C
C O
B
80º
A124º
x
270º
y2y
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Colegio Particular Integrado CESAR´S156
7. La mitad de un ángulo llano es equivalente a sumade las medidas de dos ángulos que sonproporcionales a 4 y 11. Hallar la diferencia de lasmedidas de dichos ángulos.
a) 6º b) 12º c) 24ºd) 36º e) 42º
8. Calcular “y x”
a) 126º
b) 12º
c) 24º
d) 36º
e) 42º
9. Calcular m∢BOC; si OA OD y m∢AOB = m∢COD
a) 40º
b) 20º
c) 50º
d) 60º
e) 70º
10. Relacione de manera conveniente ambas columnas.
a) Rayos perpendiculares ( ) Áng. Llano
b) El doble de 46º ( ) Áng. Recto
c) Rayos opuestos ( ) Áng. Agudo
d) La mitad de 94º ( ) Áng. Obtuso
11. Hallar “y + z”
a) 100º
b) 200º
c) 300º
d) 310º
e) 320º
12. ¿Cuál es el ángulo que al sumarle la mitad de lamedida de un ángulo recto equivale a un ángulollano menos 80º?
a) 45º b) 55º c) 65ºd) 75º e) 85º
13. Si: m∢AOB = m∢BOC = m∢CODCalcular : m∢AOC
a) 60ºb) 120ºc) 130ºc) 140ºd) 150º
14.
Si: m∢
AOB = m∢
BOC = m∢
COD. Calcular: m∢
AOCa) 30ºb) 40ºc) 50ºd) 60ºe) 70º
15. ¿Cuánto hay que quitarle a la octava parte de unavuelta para obtener 25º?
a) 25º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º
y
99º
2x
x
20ºAO
B
CD
z
y
4x
3x
2xO
C
DOA
B
O
A B
C
D
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 157
Este hecho ya fue constatado por Papus
de Alejandria; matemático griego. Su
información se basaba en la forma
hexagonal que las abejas imprimen a sus
celdillas para guardar la miel. Las abejas
cuando guardan la miel, tienen queresolver varios problemas. Necesitan
guardar la miel en celdillas individuales,
de tal manera que formen un mosaico sin
huecos ni salientes entre las celdillas, ya
que hay que aprovechar el espacio al
máximo. Solo podrían hacerlo con
triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por
qué eligieron entonces los hexágonos, si
son más difíciles de construir?
La respuesta es de carácter isoperimétrico (Igual perímetro) Pappus demostró que, entre todos los
polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más áreas aquellos que tienen mayor
número de lados. Por, eso, la figura que encierra mayor área para un perímetro determinado es el
círculo, que posee un número infinito de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de
forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor
superficie para guardar su miel. La pregunta es ¿Y quién le enseño esto a las abejas?
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S158
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
¿Verdad que a lo largo de tu vida vas a conocer una
cantidad indefinida de personas? Ahora bien,
coincidirás conmigo que, de todas ellas, una llegará a
ser muy especial, ¿correcto?
Algo así ocurre con el ángulo. De todos los rayos que
se pueden trazar por su vértice (cantidad indefinida
de rayos) solo uno será muy especial: “Aquel que lo
divida en dos ángulos congruentes (iguales)” A ese
rayo especial, queridos alumnos, se le llama bisectriz.
Construcción de la Bisectriz mediante la regla y el
compás.
Método # 1
Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseastrazar su bisectriz.
Paso # 2 : Tomando como centro elvértice del ángulo utiliza tucompás para hacer un arco deradio arbitrario queintersecte a los lados delángulo.
Paso # 3: tomando como centros lospuntos de intersecciónobtenidos, utiliza nuevamentetu compás para hacer doscircunferencias congruentes(mismo radio), con la condiciónde que se intersecten.
Paso # 4: Ahora, traza el segmento queune el vértice del ángulo conlos puntos de intersección delas circunferencias. Dichotrazo será la bisectriz delángulo considerado.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 2 PRIMER AÑO
La bisectriz es el rayo que biseca alángulo
O
M
A
B
OM : Bisectriz del ∢AOB
O
Ocentro
Ocentro
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Colegio Particular Integrado CESAR´S 159
Método # 2
Paso # 1 : Dibuja el ángulo al que deseas
trazar su bisectriz.
Paso # 2: Tomando como centro elvértice del ángulo, utiliza tucompás para trazar dos arcosde radios arbitrarios queintersecten a los lados delángulo.
Paso # 3: Los puntos de intersecciónobtenidos únelos dos a dos enaspa y marca el punto donde
se intersectan.
Paso #4: Traza el rayo que une elvértice del ángulo con esteúltimo punto de intersección.Dicho trazo será la bisectrizdel ángulo considerado.
Queridos alumnos, prescindiendo del método que
utilicemos para trazar la bisectriz de un ángulo,
siempre podemos verificar la calidad de nuestro
trabajo mediante el uso del transportador.
Desde hace quinientos años antes
de Jesucristo, muchos geómetras
han pasado gran parte del tiempo
en buscar una manera de combinar
rectas y circunferencias para trisecar al ángulo,
es decir, dividirlo en tres ángulos congruentes.
La verdad, cuesta creer que no se pueda trisecar
el ángulo utilizando reglas y compás. Y es que si
bisecarlo fue muy sencillo ¿por qué ha de ser
imposible trisecarlo?. Amiguitos, la verdad a veces
es dura y cruel: “No hay un método general quepermita trisecar a cualquier ángulo con solo regla
no graduada y compás”.
Fue P.L. Wantzel quien en 1837 publicó por
primera vez en una revista matemática, la prueba
completamente rigurosa de la imposibilidad de
trisecar un ángulo
OBisectriz
O
O
O
OBisectriz
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Colegio Particular Integrado CESAR´S160
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) dondecorresponda.
La bisectriz de un ángulo recto formará dos
ángulos de 55º. ( )El transportador es el instrumento que nospermite medir los ángulos. ( )Se puede trisecar el ángulo mediante eltransportador.
a) VVV b) FVF c) FFFd) VVF e) FVV
2. Complete de manera adecuada:
La bisectriz es ________________ que _____________ el ángulo.La bisectriz de un ángulo _____________determinará dos ______________ rectos.Es ____________________ bisecar alángulo con solo regla y compás.
3. Relacione de manera adecuada ambas columnas.
a) Bisecar ( ) Instrumento quehace arcos.
b) Compás ( ) Dividir en tres partesiguales.
c) Transportador ( ) Instrumento quemide los ángulos.
d) Trisecar ( ) Dividir en dos partes
iguales.4. Indicar verdadero (V) o falso (F) según
corresponda.
Si divido al ángulo en dos partes entonces lohe bisecado. ( )Si divido al ángulo en tres partes entonceslo he trisecado. ( )Es imprescindible el transportador parabisecar al ángulo ( )
a) FFF b) VVF c) VVVd) FVV e) VFF
5. En el gráfico OM es la bisectriz del ∢AOB.Calcular “x”
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 25º
e) 15º
6. En el gráfico OR es la bisectriz del ∢MON.Calcular “”.
a) 5º
b) 10º
c) 15º
d) 20ºe) 30º
7. Calcular “x”, si OB es bisectriz del∢AOC.
a) 45º
b) 35º
c) 55º
d) 65º
e) 70º
8. Del gráfico, hallar “” si es bisectriz del ∢COE.
a) 100º
b) 110º
c) 120º
d) 130º
e) 140º
9. Del gráfico, calcular “x” si: OC OD
Además OB: Bisectriz del ∢AOC.
a) 10º
b) 15º
c) 18º
d) 20º
e) 25º
10. Del gráfico, calcule “x” si: OB: bisectriz del
∢AOC y OE: Bisectriz del ∢DOF.
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25ºe) 30º
11. Calcular la medida del ángulo formado por lasbisectrices de los ángulos AOB y BOC.
a) 35º
b) 40º
c) 45º
d) 50º
e) 55º
x+20º
30ºO
A
m
B
+ 10º
2 R
M
N
O
x 70º
A DO
B C
B
C
D
EOA
100º
30º
EOA
x 3x
B
CD
FOA
x x+10º
B
C
E
D
4x
A B
C
O
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12. Del gráfico, calcular la medida del ∢AOD, si el
rayo opuesto de OA es bisectriz del ∢BOC.
a) 100º
b) 110º
c) 120º
d) 130º
e) 140º
13. Del gráfico, OB bisectriz del ∢AOC. Calcular
m∢COD.
a) 45º
b) 55º
c) 35º
d) 40º
e) 50º
14. Calcular el ángulo formado por las bisectricesde AOB y BOC.
a) 80º
b) 90º
c) 100º
d) 110º
e) 70º
15. Del gráfico OB: bisectriz del ∢AOD;
OC: bisectriz del ∢BOD.
Calcular: m∢AOC
a) 20º
b) 40º
c) 60º
d) 80º
e) 90º
1. Indicar verdadero (V) o falso (F):
La bisectriz de un ángulo es un rayo que lobiseca. ( )La bisectriz de un ángulo lo divide en dosángulos congruentes. ( )La bisectriz de 78º determinará dos ángulosde 39º. ( )
a) FFF b) VVV c) FVFd) VVF e) VFF
2. Completar de manera adecuada.
_________________ publicó por primeravez la imposibilidad de trisecar al ángulo consolo regla y compás.
El _________________ sirve paramedir la abertura de los ángulos. El ____________ sirve para hacercurvas, arcos de circunferencia.
3. Hallar “x”, si OM es bisectriz del ∢AOB.
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25ºe) 30º
4. Hallar “x” si ON es bisectriz del∢AOB
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 12º
e) 25º
5. Calcular la m∢AOM si OM es bisectriz del
∢AOB.
a) 5º
b) 10º
c) 15º
d) 20º
e) 25º
140º
A
DC
20º
B
70º
AB
C
O D
OA C
B
100º
AB
C
DO
2x3x10
A
M
B
6x20º
2x+40º
B
N
AO
5x5º
7x15º
A
M
B
O
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
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6. Hallar “x” si; OB es bisectriz del ∢AOC; OE es
bisectriz del ∢DOE.
a) 10º
b) 15º
c) 20ºd) 25º
e) 30º
7. Hallar “x”, si: OC: Bisectriz del ∢AOE.
OB: Bisectriz del ∢AOC.
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 30º
8. Los ángulos AOB, BOC y COD están en la relación2, 3, 7 respectivamente. Hallar el ángulo menor.
a) 30º
b) 45º
c) 24º
d) 20º
e) 35º
9. Del problema anterior: Calcular el ángulo
formado por las bisectrices del ∢BOD con elrayo OC.
a) 20º b) 30º c) 15ºd) 25º e) 35º
10. Hallar: m∢AOP si OP es bisectriz del ∢AOB.
a) 50º
b) 40º
c) 30º
d) 20º
e) 10º
11. OB OC. Hallar “x” si OD es bisectriz del ∢COE.
a) 15º
b) 20º
c) 30º
d) 45º
e) 60º
12. Hallar el ángulo formado por el ∢AOB y el rayoOC.
a) 15ºb) 20ºc) 25º
d) 30ºe) 35º
13. Del gráfico, hallar el ángulo formado por las
bisectrices es AOB y BOC: m∢AOC = 140º y
m∢BOC = 30º
a) 60º
b) 70º
c) 75º
d) 80º
e) 85º
14. En el gráfico:
Medida del ∢AOB es la décima parte delángulo de una vuelta.
Medida del BOC es la tercera parte de unángulo llano.
Hallar la medida del ángulo formado por lasbisectrices de AOB y BOC.
a) 40º
b) 45º
c) 48ºd) 49º
e) 50º
15. En el gráfico:
OM : Bisectriz del ∢BOCCalcular: “x”
a) 50º
b) 70º
c) 60º
d) 40º
e) 55º
60º
x+10º
x
B
CD
A
E
FO
30º
10º
x+10º
OD
E
CBA
OD A
B
C
O
A
P B
x20º
3x120º
A
x
O E
D
C
B120º
O
30º20º
A AA
O
A
B
C
O
CB
A
A
B
M
C
30º
20º
x
8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
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Este juego esta dirigido a estudiantes de cuarto grado de primaria en adelante y se juega
individualmente. Fue creado por la matemática inglesa Ada Byron (18151852) que en una carta
al científico inglés Charles Barbage escribió lo siguiente:
“Acabo de descubrir un juego al que he llamado “Solitario”. Consta de un tablero octagonal de 37
posiciones como el adjunto:
Las 37 posiciones del tablero deben tener una ficha cada uno y debe quitarse una ficha para
comenzar el juego. Entonces se salta y se come una ficha. Por ejemplo si la ficha 19, la del centro,
es la que quitamos en el primer momento, entonces la ficha 6 puede saltar sobre la ficha 12 y
colocarse en la casilla vacía 19, retirándose la ficha doce del tablero. Las fichas solo se pueden
mover saltando sobre otras, y siempre en forma horizontal o vertical, nunca en diagonal.
El juego consiste en dejar únicamente una ficha en el tablero.
Se puede jugar durante mucho tiempo y, sin embargo, no tener éxito.
El caso es que, por lo general; en el tablero llegan a quedar 3, 4, 5 o incluso más fichas que, al no
tener ninguna ficha vecina ya no pueden saltar.
He estado observando e investigando sobre el juego y ya soy capaz de terminarlo correctamente,
pero no conozco si el problema admite alguna fórmula matemática, que permita resolverlo. Pienso
que sí. Imagino que debe ser un principio definido por una composición de propiedades numéricas y
geométricas. Es muy probable que mucho dependa de la primera dicha eliminada”.
¿Quieres intentarlo Querido(a) alumno(a)?
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4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30 31 32 33 34
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S164
ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN YSEGÚN SU SUMA
Queridos Alumnos:
La semana antepasada estudiamos la clasificación delos ángulos según la medida que tenían. Hoy día, vamosa clasificarlos según la relación que guarda entre sí.
1.
Ángulos Adyacentes
Son dos ángulos que tienen el vértice y un ladocomunes.
2.
Ángulos Consecutivos
Son tres o más ángulos de vértice común yadyacentes de dos en dos.
∢AOB, ∢BOC, ∢COD, ∢DOE: ConsecutivosO : Vértice Común
3.
Opuestos por el Vértice
Son dos ángulos que sin ser adyacentes tiene unvértice en común. Los lados de uno de ellos sonrayos opuestos de los lados del otro.
Los ángulos opuestos por el vértice soncongruentes.
4.
Ángulos Complementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es90º.
Complemento de un Ángulo (C∢)
Es lo que le falta a un ángulo para tener 90ºcomo medida.
Ejemplos
C(40º) = 90º 40º = 50º
C(60º) = 90º 60º = 30º
C(29º30’) = 90º 29º30’
C(25º22’58’’) = 90º 25º22’58’’
5.
Ángulos Suplementarios
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es180º.
Suplemento de un Ángulo (S
)
Es lo que le falta a un ángulo para tener 180ºcomo medida.
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 3 PRIMER AÑO
OB
A
C
∢AOB y ∢BOC: AdyacentesO : Vértice Común
OB : Lado Común
E
D
C B
A
O
a b
a = b
89º 60’
29º 30’
60º 30’
89º 59’ 60’’
25º 22’ 58’’
64º 37’ 02’’
C(x) = 90º x
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Colegio Particular Integrado CESAR´S 165
Ejemplos:
S(100º) = 180º 100º = 80º
S(130º) = 100º 130º = 50º
S(117º32’) = 180º 117º32’
S(145º21’37’’) = 180º 145º21’37’’
S(x) = 180º x
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) segúncorresponda.
40º, 30º, 20º son ángulos complementarios.( )
100º, 50º, 30º son ángulos suplementarios.
( )El complemento de 27º es 63º
( )
a) FFF b) FFV c) VFFd) VVV e) VFV
2. Complete adecuadamente:
Los ángulos opuestos por el vértice son __________________________.Los ángulos ___________________ sondos ángulos que suman 180º.El _________________ es la medida quele falta a un ángulo para tener 90º demedida.
3. Relacione adecuadamente ambas columnas.
a) C(20º) ( ) 160ºb) C(80º) + S(100º) ( ) 70ºc) S(20º) ( ) Ángulo Recto
d)2
vuelta1 ( ) Ángulo llano
4. Hallar “x” a partir del gráfico:
a) 20ºb) 30ºc) 40ºd) 25ºe) 35º
5. Hallar el complemento de la tercera parte de unángulo llano.
a) 20º b) 40º c) 60ºd) 30º e) 48º
6. Hallar el suplemento de la quinta parte de lamedida de una vuelta.
a) 72º b) 108º c) 36ºd) 144º e) 112º
7. Hallar “x + y”
a) 55ºb) 40ºc) 95ºd) 50ºe) 60º
8. Hallar “x”; si OM es bisectriz del ∢AOB
a) 5º
b) 10º
c) 15º
d) 20º
e) 30º
9. ¿En cuánto excede el suplemento de 50º alcomplemento de 40º?
a) 80º b) 70º c) 60ºd) 50º e) 40º
10. Se construyen los ángulos adyacentes AOB yBOC. Si: m∢AOB = 20º y m∢BOC = 40º.
Hallar el ángulo formado por sus bisectrices.
a) 20º b) 30º c) 40ºd) 50º e) 60º
179º 60’
117º 32’
162º 32’
179º 59’ 60’’
145º 21’ 37’’
34º 38’ 23’’
3x+10º 2x+40º
125º
3x+5º
y
60ºO
2x+10º
B
M
A
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Colegio Particular Integrado CESAR´S166
11. Hallar “x”
a) 20ºb) 60ºc) 30ºd) 40ºe) N.A.
12. Hallar “x” a partir del gráfico. OD : bisectrizdel ∢COE
a) 40ºb) 60ºc) 80ºd) 100ºe) N.A.
13. Hallar el complemento de “x”
a) 50ºb) 40ºc) 30ºd) 20ºe) N.A.
14. Hallar “x” si el complemento del ∢AOB es laoctava parte del ∢de una vuelta.
a) 115ºb) 125º
c) 100ºd) 105ºe) 110º
15. Hallar “x + y”. Si OC es bisectriz del ∢BOD.Hallar el ángulo formado por la bisectriz del∢DOE y el lado OC.
a) 80ºb) 90ºc) 100ºd) 110º
e) 85º
1. Marca verdadero o falso según corresponda:
50º y 40º son suplementarios. ( )
110º y 70º son complementarios. ( )Las bisectriz determina dos ángulosadyacentes congruentes. ( )
a) FFV b) FFV c) VVVd) VFV e) VVF
2. Los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD y DOEson congruentes. Hallar “x”.
a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40ºe) 50º
3. Si al doble del complemento de 80º se le resta elsuplemento de 170º se obtiene.
a) 50º b) 40º c) 30ºd) 20º e) 10º
4. Hallar “x” a partir del gráfico.
a) 20º
b) 30ºc) 40ºd) 50ºe) 60º
5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC yCOD proporcionales a 1, 2 y 3 respectivamente. Siel mayor mide 75º. Calcular la medida del ∢AOD.
a) 75º b) 100º c) 125ºd) 150º e) 175º
6. El ángulo formado por las bisectrices de losángulos adyacentes AOB y BOC mide 30º. Calcularm∢AOC.
a) 30º b) 40º c) 50ºd) 60º e) 70º
50º
x
E
D
C
B
A
O
x
xx
x+30º
2x+20º
70ºx
D O A
C
B
20ºA
B
CD
E
O
60º
BA
C
D
E
O x
150º
4x10º
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Colegio Particular Integrado CESAR´S 167
7. Hallar m∢EOF a partir del gráfico mostrado.
a) 20ºb) 30ºc) 40ºd) 50ºe) 60º
8. ¿En cuánto excede el complemento de la doceavaparte del ángulo de una vuelta al complemento dela quinta parte de un ángulo llano?
a) 60º b) 54º c) 6ºd) 12º e) 18º
9. Del gráfico, calcular “x”.
a) 50ºb) 60º
c) 65ºd) 45ºe) 70º
10. Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD.Calcular m∢AOD si:
El ángulo AOB es la décima parte de un ángulorecto.El ángulo BOC es la cuarta parte de un ángulollano.El ángulo COD es el doble del ángulo AOB.
a) 70º b) 72º c) 75ºd) 60º e) N.A.
11. Calcular “x”. Si OB: es bisectriz del ∢AOD.OC: Bisectriz del ∢BOD.
a) 70º
b) 75º
c) 65º
d) 60º
e) 80º
12. Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD miden20º, 30º y 40º respectivamente. Calcular lamedida del ángulo formado por las bisectrices delos ángulos AOB y COD.
a) 10º b) 20º c) 30ºd) 40º e) 50º
13. Los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD miden:x+10º, 2x5º y 3x+15º respectivamente. Calcularel complemento de “x” si m∢AOD = 80º.
a) 10º b) 80º c) 20ºd) 70º e) 50º
14.
Del gráfico, calcular “x”. Si: OB : bisectriz del∢AOC.
a) 40º
b) 50º
c) 60º
d) 70º
e) 80º
15. Si el complemento del doble de un ángulo es 40º.Calcular el complemento del ángulo.
a) 25º b) 65º c) 55ºd) 40º e) 50º
DC
B
AF
E
20º
60º
30º
20º
15º x
10º
x
A B C D
E
x
O
FG E
AB
C
D30º
110º
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S168
Hipatia
Se considera la primera mujer matemática según la historia escrita, nacidacerca del año 370 después de Cristo. Hija de un profesor de matemática quien
quería crear un ser humano perfecto; Hipatia fue el resultado. La adiestró tanto
física como mentalmente. En la escuela de Atenas se convirtió en maestra y se
hizo muy popular como matemática. Escribió varios documentos, entre ellos,
sobre el Cánon Astronómico de Diafanto donde se habla de ecuaciones de
primero y segundo grado. Creó el astrolabio y la esfera plana. Inventó un
aparato para agua destilada, uno para medir el nivel del agua y uno para
determinar la gravedad específica de los líquidos. A esto se le llamó mas tarde
un aerómetro o hidroscopio. Nunca se casó y Cyril la mando a matar en el año
425 después de Cristo mientras era patriarca de Alejandría porque creía que
iba a ser mejor servido si sacrificaba a una mujer virgen.
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 169
OPERACIONES CON ÁNGULOS
I Suma y Resta de Medidas Angulares
Veamos el siguiente ejemplo:
Lorenita ha preparado otro delicioso pastel
para sus amiguitos. Igual que la vez pasada,
divide al pastel en tajadas de diferente
tamaño, todas desde el centro. Tal como se
muestra en el gráfico:
AHORA BIEN
a) ¿Cuál es la medida angular de las tajadas deFernandino y Silvia juntas?
Para obtener la respuesta sumaremos:
43º 51’ 05’’
69º 50’ 55’’
Rpta. Expresada incorrectamente 112º 101’ 60’’
Sin embargo: 112º 101’ + 1’
112º 102’
112º 60’ + 42’
112º + 1º 42’
Rpta. Expresada correctamente: 113º 42’
Para que una medidaangular indicada en grados
y minutos, grados ysegundos o en grados,minutos y segundos esté
bien expresada el númerode minutos y/o segundosdebe ser menor que 60.
b) ¿Cuál es la medida angular de las tajadas de Silvia
y Sharon juntas? (Completa los recuadros)
Para obtener la respuesta sumaremos:
69º 50’ 55’
28º 17’ 30’’
Rpta. expr. incorrec.: 97º 67’
Sin embargo: 97º 67’ 60’’ +97º 67’+
97º 25’’
97º 60’ + 25’’
97º + 1º 25’’
Rpta. Exp. Correct. 25’’
c) ¿Cuál es la medida angular de la tajada que ha
sobrado del pastel? (Completa los recuadros).
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 4 PRIMER AÑO
Hoy día aprenderemos a sumar, restar, multiplicar y dividir ángulos con la mismafacilidad con la que operamos los números naturales. Para alcanzar este objetivodebemos recordar que:
AMIGUITOS
ParaSharon
ParaSilvia
ParaFernandito
Para el “profe”que es muy
goloso Tajada que aún
queda
¡CUIDADO!
1 vuelta 360º 1º 60’
1’ 60”1º 3600”
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S170
PRIMERO
Sumaremos las medidas angulares de las tajadas
de los amiguitos de Lorena:
43º 51’ 05’’ → Fernandito
69º 50’ 55’’ → Silvia
28º 17’ 30’’ → Sharon
125º 57’ → El profe de geo
Rpta. Exp. Inc. 265º 175’ 80’’
Sin Embargo: 265º 175’ 60’’
265º 175’ + +
265º 30’’
265º 120’ + 30’’
265º + 2º 30’’
Rpta. Exp. Corr. 30’’
SEGUNDO
Ahora a la medida angular del pastel (360º) le
restamos la medida angular de lo repartido
(267º55’30’’)
360º → 60’ → 359º 59’ 60’’
267º 55’ 30’’
92º 04’ 30’’
Respuesta: La medida angular de la tajada que no
ha sido repartida es 92º04’30’’.
EJERCICIO #1
Calcular el complemento de 29º52’37’’
90º → 89º60’ → 89º 59’ 60”29º 52’ 37’’
EJERCICIO #2
Calcular el suplemento de 137º17’58’’
180º → 179º60’→ 179º 59’ 60”139º 17’ 58’’
II. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MEDIDAS ANGULARES
Las medidas angulares
pueden multiplicarse y
dividirse por una
cantidad escalar
(número sin unidad).
EJERCICIO #3
¿Cuál es el triple de 22º56’5’’?
22º 56’ 45’’ x
3
66º 168’ 135’’
66º 168’ 120’’ + 35’’
66º 35’’
66º 120’ + 50’ 35’’
50’ 35’
EJERCICIO #4
¿Cuál es la quinta parte de 36º41’25’’?
(36º41’25’’) 5
Se comienza por los grados, pasando a los minutos
y luego a los segundos.
36º 5 60’ + 41’ 60” + 25”
35º 7º 101’ 5 85’’ 5
1º 60’ 100’ 20’ 85’’ 17’’
1’ 60’ 00’ ‘
La respuesta esta dada por los cocientes:
(36º41’25’’) 5 = 7º20’17’’
EJERCICIO #5
¡IMPORTANTE!
Para restar medidas
angulares, el minuendo y el
sustraendo deben estar
expresados en la misma
forma.
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 171
¿Cuál es el cuádruple de 17º34’28’’?
17º 34’ 28’’ x
4
68º 136’ 112’’
68º 136’ 60’’ +
68º
68º 120’ + 52’’
52’
EJERCICIO #6
29º 3 120’ + 35’ 120’’ + 42’’
27º 9º 155’ 3 162’’ 3
2º 120’ 153’ 51’ 162’’ 54’’
2’ 120’’ 00’ ‘
Luego: (29º35’42’’) 3 = 9º51’54’’
Sería muy útil que
dominaras “la tabla del
60”.
60 x 1 = 60 60 x 7 = 420
60 x 2 = 120 60 x 8 = 480
60 x 3 = 180 60 x 4 = 240 60 x 9 = 540
60 x 5 = 300
60 x 6 = 360
1. Relaciona las columnas convenientemente:
a) 74º 100’ 65’’ ( ) 73º01’50’’
b) 73º90’75’’ ( ) 74º31’15’’
c) 72º73’69’’ ( ) 73º14’09’’
d) 71º120’110’’ ( ) 75º41’05’’
2. Calcular:24º55’35’’ + 39º050’28’’
a) 63º105’63’’ d) 64º46’03’’b) 63º106’03’’ e) 59º25’30’’c) 66º100’63’’
3. Calcular el complemento de: 29º37’28’’
a) 59º21’32’’ d) 60º22’32’’b) 61º21’32’’ e) 59º25’30’’c) 63º20’30’’
4. Calcular el suplemento de 142º37’29’’
a) 37º21’33’’ d) 30º22’31’’b) 37º22’31’’ e) 36º21’33’’c) 37º21’30’’
5. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC.
Calcular m∢AOC si:
m∢AOB = 20º37’26’’
M∢BOC = 15º52’36’’
a) 35º90’02’’ d) 34º89’61’’b) 35º89’62’’ e) N.A.
c) 36º30’02’’
6. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC.
Calcular m∢AOB si:
m∢AOC = 77º56’32’’
M∢BOC = 21º37’30’’
a) 56º20’02’’ d) 57º19’02’’b) 56º19’02’’ e) N.A.c) 58º20’05’’
7. Calcular el quíntuple de 52º29’18’’
a) 260º145’90’’ d) 261º26’30’’b) 260º146’30’’ e) N.A.c) 262º26’30’’
8. Calcular la cuarta parte de: 29º17’16’’
a) 7º18’19’’ d) 7º20’19’’b) 8º19’19’’ e) 9º20’19’’c) 7º19’19’’
9. Se dibuja el ángulo AOB cuya medida es117º47’32’’. Se traza la bisectriz OM. Calcular:
m∢AOM
a) 55º53’46’’ d) 55º52’45’’b) 57º53’46’’ e) N.A.c) 58º53’46’’
10. Si la tercera parte de un ángulo es 10º20’26’’.Calcular la mitad de dicho ángulo.
¡IMPORTANTE!
8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
22/32
III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S172
a) 31º01’18’’ d) 16º30’39’’b) 30º01’18’’ e) N.A.c) 15º30’39’’
11. Del gráfico, calcular:
m∢COD m∢AOB, si:
m∢BOC = 2m∢AOB y m∢COD = 3m∢AOB
a) 30ºb) 60º
c) 70º
d) 15º
e) 45º
12. Del gráfico, calcular m∢BOC; m∢AOD = 160º;
m∢AOB+m∢BOC = 100º y m∢BOC+m∢COD= 110º
a) 70º
b) 60º
c) 50º
d) 40º
e) 45º
13. Si: m∢AOC = 50º28’39’’ y m∢DOE = 20º17’30’’.
Calcular: m∢BOC.
a) 30º12’09’’ d) 25º17’09’’
b) 29º12’09’’ e) N.A.
c) 30º11’09’’
14. Del gráfico anterior calcular m∢COD.
a) 130º31’21’’ d) 128º31’21’’b) 129º31’21’’ e) N.A.c) 120º17’20’’
15. Calcular la mitad del complemento de 22º50’36’’
a) 33º34’40’’ d) 32º34’42’’b) 33º34’42’’ e) N.A.c) 30º34’40’’
1. Relaciona las columnas convenientemente:
a) 39º126’182’’ ( ) 20º42’08’’
b) 20º38’248’’ ( ) 40º10’09’’
c) 37º189’69’’ ( ) 22º02’02’’
d) 18º240’122’’ ( ) 41º09’02’’
2. Calcular: 29º35’29’’ + 39º45’55’’
a) 68º80’84’’ d) 69º21’24’’b) 68º81’24’’ e) N.A.c) 69º80’80’’
3. Calcular el complemento de 10º55’05’’
a) 69º04’55’’ d) 79º05’54’’b) 69º05’55’’ e) 79º04’55’’c) 79º05’55’’
4.
Calcular el suplemento de: 100º25’32’’
a) 69º34’25’’ d) 69º34’28’’b) 79º34’28’’ e) N.A.c) 78º34’28’’
5. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC.
Calcular: m∢AOC si: m∢AOB = 10º20’31’’ ;
m∢BOC = 2m∢AOB.
a) 30º61’33’’ d) 31º02’32’’b) 30º33’01’’ e) 31º01’33’’c) 30º01’33’’
6. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC.
Calcular m∢AOB si: m∢BOC = 3m∢AOB además
m∢AOC = 61º17’20’’
a) 15º18’20’’ d) 14º20’19’’b) 16º19’20’’ e) N.A.c) 14º19’20’’
7. Del gráfico:
OM es bisectriz del ∢AOB. Calcular la m∢AOB si:
m∢AOM = 25º25’31’’
a) 50º50’62’’
b) 51º51’02’’
c) 50º51’02’’
d) 14º50’02’’
e) N.A.
8. Del gráfico anterior. Calcular la m∢AOM.
C
B
M
AO
D
C
B
AO
D
C
B
AO
8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
23/32
III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 173
a) 155º34’29’’ d) 150º33’30’’b) 154º34’30’’ e) N.A.c) 154º34’29’’
9. Calcular la mitad de complemento de 33º52’18’’
a) 28º33’51’’ d) 27º03’51’’b) 28º03’51’’ e) N.A.c) 28º03’51’’
10. Calcular la medida de “x”.
a) 11º50’30’’
b) 10º49’30’’
c) 10º49’29’’
d) 32º29’27’’
e) N.A.
11. Del gráfico, calcular el suplemento de la mitad dela medida del ángulo BOC.
Si: m∢DOE + m∢FOA = 80º
a) 80º
b) 130º
c) 40º
d) 100º
e) N.A.
12. Del gráfico calcular: m∢MOC m∢AOM.
Si: OM: bisectriz del ∢AOB.
a) 20º
b) 10º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
13. Del gráfico. Calcular: 2m∢BOD 2m∢AOB.
Si: OB : Bisectriz del ∢AOC.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
14. Del gráfico anterior. Calcular el suplemento de la
medida del ángulo AOD. Si: m∢AOB = 15º30’
a) 130º b) 129º c) 131ºd) 119º e) 109º
15. Si el suplemento de un ángulo es 100º20’30’’.Calcular su complemento.
a) 10º20’30’’ d) 15º30’20’’
b) 100º20’30’’ e) N.A.c) 12º20’40’’
32º29’27’’ 3x
A
B C
D
EF
O
O
A
M
B
C
30º
A
B
O
20º
C
D
8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
24/32
III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S180
La Arquitectura
del Cuerpo
El arquitecto Vitrubio dice en su obra de arquitectura que las medidas del cuerpo humano
están distribuidas por la naturaleza de la manera siguiente: Cuatro dedos hacen una palma,
cuatro palmas hacen 1 pie, seis palmas hacen un codo, cuatro codos hacen la altura de un
hombre, cuatro codos hacen un paso y veinticuatro palmas hacen 1 hombre.
Leonardo Da Vinci dijo si abrimos las piernas hasta disminuir la altura en 1/4 y extendemos
los brazos levantándolos de tal modo que los dedos medios estén al nivel de la parte superior
de la cabeza, debemos saber que el ombligo será el centro de un círculo del que los dedos de
las manos y los pies tocan la circunferencia. El espacio entre la pierna forma un triángulo
equilátero.
El espacio entre los brazos extendidos de un hombre es igual a su altura.
8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 181
OPERACIONES CON ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
A las propiedades que a continuación aprenderemosse les llama: “Propiedades de SARRUS”.
PROPIEDAD #1 (ZIG – ZAG)
Si: L1 // L2
PROPIEDAD #2
(Propiedades del trueno o del rayo)
Si: L1 // L2
1. Calcular “x” si L1 // L2.
a) 80º
b) 85º
c) 90º
d) 95º
e) 75º
2.
Calcular “x”, si: L1 // L2.
a) 40º
b) 30º
c) 80º
d) 50º
e) 60º
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 6 PRIMER AÑO
La semana pasada vimos a los ángulos
formados por dos rectas paralelas y una
secante común a ellas.
En la clase de hoy veremos las propiedades
implicadas cuando dos rectas paralelas
(L1 L2) son cortadas por una misma línea
quebrada que nunca retrocede.
QUERIDOS ALUMNOS
Línea quebrada que
nunca retrocede
L1
L2
yºxº
º
º º
º
L1
L2
xº = º + º yº = º + º
º zº
º
yº
º
xº L1
L2
xº + yº + zº = º + º + º
“La suma de los ángulos quemiran hacia la izquierda es
igual a la suma de losángulos que miran hacia la
derecha”
40º
45º
x
L1
L2
xº
30º
80º
L1
L2
8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
26/32
III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S182
3. Calcular “x”, si: L1 // L2.
a) 10º
b) 30º
c) 35º
d) 40º
e) 45º
4. Calcular “x”, si : L1 // L2.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
5. Calcular “x”; si L1 // L2.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
6.
Calcular “x” si : L1 // L2 y L3 L4
a) 10º
b) 20º
c) 30ºd) 40º
e) 50º
7.
Calcular “x” si: L1 // L2
a) 150º
b) 310º
c) 340º
d) 155º
e) 160º
8.
Calcular “x”, si: L1 // L2
a) 60º
b) 100º
c) 110º
d) 120º
e) 130º
9. Calcular “x”; si : L1 // L2.
a) 10º
b) 20º
c) 25º
d) 30º
e) 35º
10. Calcular “x” si: L1 // L2.
a) 10º
b) 20º
c) 30º
d) 40º
e) 50º
11. Calcular “x” si : L1 // L2 y L3 L4.
a) 40º
b) 50º
c) 60º
d) 70º
e) 80º
12. Calcular “x” si: L1 // L2 y medida del ángulo AOBes la mitad del suplemento de 100º.
a) 40º
b) 30ºc) 35º
d) 50º
e) 55º
13. Calcular “x” si: L1 // L2
a) 60º
b) 40º
c) 45º
d) 50º
e) 60º
14. Calcular “x”, si L1 // L2
a) 5º
b) 10º
c) 15º
d) 20º
e) N.A.
25º
170º
x
L1
L2
L1
L2
300º
160º
x
30º
x
50º
60º20º L1
L2
L1
L2
x
130º L3
L4
2x+10º
20º
20º L2
L1
x
160º280º
160º
325º40º
xº
170º
L2
L1
L2
L1
340º
350º
x
220º
x
L1
L2
L3
L4
O A
B
75º
xL2
L1
40º
35º
30º
L2
L1
L1
L2
15º
40º
x+5º
2x+10º340º
10º
25º
x
8/17/2019 Mat 1º Geometria 3 Parte
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 183
HOR
ES TU
TURNO
15. Calcular “x”, si: L1 // L2
a) 30º
b) 20º
c) 10º
d) 15º
e) N.A.
1.
Calcular “x”; si L1 // L2
a) 45º
b) 55º
c) 65º
d) 60º
e) 70º
2.
Calcular “x”, si L1 // L2
a) 70º
b) 80º
c) 90º
d) 100º
e) 110º
3.
Calcular “x” si L1 // L2
a) 50º
b) 40º
c) 60º
d) 120º
e) 110º
4. Calcular “x”, si L1 // L2 .
a) 10º
b) 15º
c) 20º
d) 25º
e) 30º
5. Calcular “x”, si: L1 // L2 .
a) 30º
b) 20º
c) 15º
d) 25º
e) 35º
6. Calcular “x”, si : L1 // L2 .
a) 12º
b) 14º
c) 15º
d) 18º
e) 20º
7.
Calcular “x”, si L1 // L2 y L3 L4
a) 22º
b) 158º
c) 68ºd) 34º
e) 40º
8.
Calcular “x” si L1 // L2 .
a) 70º
b) 40º
c) 100º
d) 110º
e) 120º
9.
Calcular “x” si L1 // L2
a) 140º
b) 40º
c) 30º
d) 120º
e) 110º
75º
135º xº
xº
L2
L1
30º
40º
x
L1
L2
x
45º
35º
L1
L2
L1
L2
35º
x
25º
x
30º
x
30ºx
L2
L1
40º
10º30º
x2x
30º
L1L2
10º
2x
40º
2x
20ºL1
L2
L4 L2
L1
L3 112º
L2
L1
y+10º y30º
x
40º
L2
L1
140º
100ºx
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III BIM – GEOMETRÍA – 1ER.AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S184
10. Calcular “x” si L1 // L2 . Además la medida delángulo AOB es la tercera parte del suplementode 60º.
a) 70º
b) 110º
c) 290ºd) 250º
e) 100º
11. Calcular “x” si L1 // L2 . Si: 4m∢AOB = m∢BOC
a) 36º
b) 54º
c) 90º
d) 100ºe) 95º
12. Calcular “x” , si L1 // L2.
a) 70º
b) 50º
c) 120º
d) 60º
e) 65º
13. Calcular “x + y” si L1 // L2.
a) 25º
b) 100º
c) 125º
d) 140º
e) 130º
14. Calcular “x + y” si L1 // L2.
a) 70º
b) 60º
c) 50º
d) 40ºe) 30º
15. Calcular el complemento de “x”, si L1 // L2 yL3 L4.
a) 10º
b) 80º
c) 70º
d) 60º
e) N.A.
30º
x
OA
B
L2
L1
A O C
B
x
54
310º
290º
x
L1
L
2
70º
15º
x
20º
10º
y
L1
L2
L1
L2
3y+20º
x2y+10º
70º
20º+x
12xL3
L1
L2
L4
L1
L2
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 185
HISTORIA DEL AJEDREZ
Sobre este juego existen muchas leyendas, pero sin duda una de las más famosas es lasiguiente:
“Hace muchos siglos, en un país de oriente vivía un rey que había perdido a su hijo
en una batalla. A causa de esta tragedia había decidido encerrarse en su castillo y no
hablaba con nadie. Uno de sus ministros llamó a todos los científicos y filósofos del reino
para que buscaran una posible solución a la tristeza del rey. Uno de ellos inventó un juego
de estrategias, el ajedrez. El rey no sólo volvió a sonreír sino que se volvió un gran
maestro de este juego. Quedó tan feliz con el invento que decidió recompensar al inventor
con lo que él pidiera. El joven que había creado el ajedrez pidió lo siguiente: un grano de
trigo en la primera casilla del tablero, dos granos en la segunda, cuatro en la tercera,
ocho en la cuarta, dieciséis en la quinta y así sucesivamente hasta completar las sesenta y
cuatro casillas del tablero de ajedrez. El rey muy tranquilo, pidió a los matemáticos del
reino que calcularan el número de granos de trigo que debían pagarse al muchacho. Al
cabo de un rato regresaron con una gran sorpresa:
“no alcanza todo el trigo del mundo para pagar el juego de ajedrez”
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S186
REPASO INTEGRAL DE ÁNGULOS
PARTE I
1. Indicar verdadero (V) o falso (F) segúncorrespondan:
El ángulo es la figura geométrica formada pordos rayos con el mismo origen.
El ángulo agudo es aquel cuya medida es mayorque 90º y menor que 180º.
Con regla no graduada y compás es imposiblebisecar al ángulo.
a) VVV b) VFF c) VFVd) FFF e) VVF
2. Utilizando regla no graduada y compás, trace labisectriz del ángulo AOB.
3. Calcular la suma de la mitad de la medida de unángulo recto con la sexta parte de la medida delángulo llano.
a) 120º b) 90º c) 70ºd) 75º e) 80º
4.
Calcular “x” ; si : OA OBa) 5ºb) 10ºc) 15ºd) 20ºe) 25º
5. La doceava parte del ángulo de una vuelta con lamitad del suplemento de 60º son:
a) Iguales d) Rectosb) Suplementarios e) Coterminalesc) Complementarios
6. Dos ángulos complementarios están en la relaciónde uno a cuatro.¿Cuánto le falta a la medida del menor para serigual a la medida del mayor ángulo?
a) 18º b) 20º c) 36ºd) 54º e) 72º
7. ¿Cuál es el suplemento de 360 000’’?
a) 100º b) 10º c) 90ºd) 80º e) 85º
8. ¿Cuál es el complemento de 600’?
a) 170º b) 160º c) 90ºd) 80º e) 100º
NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 7 PRIMER AÑO
Es hora de reforzar los conocimientos obtenidos. Si algo no quedó muy claro esmomento de despejar todas las dudas.No temas preguntarle a tu profesor si algo no comprendiste. Él es tu amigo y sesentirá muy complacido en ayudarte.
Ahora sí: ¡¡Manos y cerebros a la obra!!
¡¡ VAMOS AMIGUITO (A)
3x+15º 2x
O
BMA
A
O B
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III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
Colegio Particular Integrado CESAR´S 187
9. Del gráfico, calcular “x”, si OB es bisectriz del∢AOC.
a) 160ºb) 140ºc) 120ºd) 40ºe) 100º
10. Del gráfico, calcular x si OB es bisectriz del ∢ AOC.
a)b)c)d)
e)
11. Del gráfico, calcular el ángulo formado por lasbisectrices de AOB y BOC.
a) 70ºb) 80ºc) 90ºd) 100ºe) No se puede
determinar.12. Del gráfico, calcular el ángulo formado por las
bisectrices de AOB y BOC. Si: OA OC.
a) 10ºb) 90ºc) 45ºd) 50ºe) 60º
13. Las medidas de los ángulos adyacentes AOB y BOCson 40º y 60º respectivamente.Calcular el ángulo formado por las bisectrices dedichos ángulos adyacentes.
a) 20º b) 30º c) 50ºd) 100º e) 40º
14. Del gráfico, calcular “x” si OC OE. Además OEes bisectriz del ∢DOF.
a) 10ºb) 20ºc) 30º
d) 40ºe) 50º
15.
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC yCOD cuyas medidas son 10º, 20º y 40ºrespectivamente. Calcular la medida del ánguloformado por las bisectrices de AOB y COD.
a) 10º b) 15º c) 45ºd) 50º e) 46º
1. Resolver verdadero (V) o falso (F) segúncorresponda:
10º, 20º y 60º son ángulos complementarios. 6000’ y 80º son ángulos suplementarios. El imposible trisecar al ángulo.
a) FVV b) FFF c) FVF
d) VVV e) VFF
2. Relacione en forma adecuada los elementos delas columnas.
a) Ángulo Llano ( ) 2C(45º)
b) Ángulo Recto ( ) 2S(90º)
c) Ángulo Agudo ( ) C(88º)
d) Ángulo Obtuso ( ) S(88º)
C
B A
Ox
20º
140
x A
B
O
C
A O C
B
AB
C
D
E
F O
C
B
Ax
70º
¡Vacílate
con estos
problemas!
O
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32/32
III BIM – GEOMETRIA – 1ER. AÑO
3. Calcular “x”.
a) 10ºb) 20ºc) 25ºd) 30º
e) 40º
4. Del problema anterior, calcular la medida delángulo, formado por la bisectriz del ángulo BOC
y el rayo OA.
a) 60º b) 50º c) 120ºd) 100º e) N.A.
5. Calcular la mitad del complemento de la mitadde 60º.
a) 30º b) 60º c) 15º
d) 20º e) N.A.
6. Calcular el triple del suplemento de la terceraparte de 300º.
a) 80º b) 90º c) 160ºd) 240º e) N.A.
7. Calcular: x + y + z.Si: m∢AOB = m∢BOC = m∢COA
a) 200ºb) 210ºc) 220ºd) 230ºe) 240º
8.
Calcular “x”; si: m∢COE = 40º
a) 5ºb) 10ºc) 15ºd) 20ºe) 25º
9. Del problema anterior, calcular la medida delángulo formado por la bisectriz de BOC y OD.
a) 80º b) 70º c) 90ºd) 85º e) N.A.
10. Calcular: m∢BOC m∢COD
a) 10ºb) 20ºc) 30ºd) 40º
e) 50º
11.
Del gráfico, calcular “x”
Si: OB : Bisectriz del ∢AOC
OC : Bisectriz del∢AOD
a) 60ºb) 80ºc) 100º
d) 120ºe) 150º
12. Dos ángulos complementarios están en larelación de uno a ocho. Calcular el complementode la diferencia de dichos ángulos.
a) 70º b) 20º c) 60ºd) 30º e) N.A.
13. Calcular “x”, si: m∢BOC = m∢COA
a) 100ºb) 120ºc) 130ºd) 140ºe) 150º
14.
Dos ángulos suplementarios son 40º y (2x + 10º).Calcular el complemento de “x”.
a) 65º b) 25º c) 35ºd) 15º e) N.A.
15. La quinta parte de un ángulo llano es elcomplemento de:
a) 36º b) 144º c) 54ºd) 60º e) N.A.
5x+20º 2x+20º
C
O
A
B
C
A
B y
Oz+2x
z+20º
C
D
E
x xAO
B
D
C160º
100º
20ºA
B
O
15ºxE
A
DC
B
x+20º60º
C
A
B
O