Post on 04-Jan-2016
description
FUNKCJA KWADRATOWA
27.05.2014
TRZY POSTACIE FUNKCJI ogólna
kanoniczna
iloczynowa
a)
b)
0,)( 2 acbxaxxf
0,)()( 2 aqpxaxf
0),)(()(0 21 axxxxaxftogdy
0),()(0 0 axxaxftogdy 2
4
16
14
25
4
25169)4(14)3(
4
2
3
12
)3(
2
4
3
1
43)(
2
2
2
aq
acb
a
bp
c
b
a
xxxf
zatem są dwa miejsca zerowe
)4
16,
2
11(),(
2
11
2
3
412
5)3(
2
112
5)3(
2
2
1
qpW
pxsymetriioś
a
bx
a
bx
1. postać ogólna
Przykład 1
wykres funkcji
zbiór wartości:
funkcja malejąca w przedziale:
funkcja rosnąca w przedziale:
);4
16 y
2
11;(x
);2
11 x
4
16)
2
11()(
)()(
4
16
2
11
1
2
2
xxf
qpxaxf
q
p
a
2. postać kanoniczna
)4)(1()(
))(()(
4
1
1
21
2
1
xxxf
xxxxaxf
x
x
a
3. postać iloczynowa
1. postać ogólna
4
3
1
43)(
)(2
2
c
b
a
xxxf
cbxaxxf
Przykład 2
3414)10()0(
1
)4,1(),(
4
1
1
4)1()(
2
2
f
pxsymetriioś
qpW
q
p
a
xxf2. postać kanoniczna
wykres funkcji
zbiór wartości:
funkcja malejąca w przedziale:
funkcja rosnąca w przedziale:
4;(y
);1 x
1;(x
1. postać ogólna
1)1(2
42
2
32
6
)1(2
42
2
161243)1(424
3
2
1
32412)(
4)12(4)1()(
2
1
22
22
22
a
bx
a
bx
acb
c
b
a
xxxxxf
xxxxf
)3)(1()(
))(()( 21
xxxf
xxxxaxf
3. postać iloczynowa
wzór skróconego mnożenia
Przykład 3
8
11)1
4
1)(
2
1
4
1(2)
4
1()(
4
1
2
121
2
12
1
2
)1)(2
1(2)(
21
2
1
fpfq
pxx
xsymetriioś
x
x
a
xxxf
3. postać iloczynowa
)8
11;
4
1(),( qpW
wykres funkcji
zbiór wartości:
funkcja malejąca w przedziale:
funkcja rosnąca w przedziale:
;8
11y
4
1;(x
;4
1x
8
11)
4
1(2)(
8
11)
4
1()(
4
1
1
1
2
12)(
)2
1
2
1(2)1)(
2
1(2)(
2
2
2
xxf
fpfq
p
c
b
a
xxxf
xxxxxf
2. postać kanoniczna
1. postać ogólna
Równanie kwadratowe
312
24
2
112
24
2
4314)4(
4
3
4
1
034
43
2
1
2
2
2
2
a
bx
a
bx
acb
c
b
a
xx
xx
Nierówność kwadratowa
1)1(2
53
2
4)1(2
53
2
254)1(43
4
4
3
1
043
43
2
1
2
2
2
2
a
bx
a
bx
acb
c
b
a
xx
xx
)4;1(xOdp.
Wartość najmniejsza i wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
1. należy sprawdzić, czy wierzchołek paraboli należy do podanego przedziału domkniętego(gdy należy policzyć wartość funkcji dla tego argumentu)
2. potem policzyć wartości funkcji na krańcach podanegoprzedziały domkniętego
3. wybrać wartość najmniejszą i największa w podanymprzedziały domkniętego
MAX
MIN
yf
f
yf
a
bp
c
b
a
xxxxf
4624622)2(
6)0(4
166
2
1)
2
1()
2
1(
2
1
12
)1(
2
6
1
1
2;0,6)(
2
2
2
Przykład
Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej
Przykład 1Dany jest wierzchołek paraboli w punkcie (2,1) i miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 3.
- należy zatem skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej, bo znamy wierzchołek paraboli
1)2()(.
1
01
01)23(
0)3(
1)2()(
)()(
)1,2(
2
2
2
2
xxfOdp
a
a
a
zerowemiejscef
xaxf
qpxaxf
W
postać kanoniczna
Przykład 2
Dane są dwa miejsca zerowe funkcji –2 i 4 oraz f(0)=16.
- należy zatem skorzystać z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, bo znamy miejsca zerowe
)4)(2(2)(.
2
168
16)40)(20(
16)0(
)4)(2()(
))(()( 21
xxxfOdp
a
a
a
f
xxaxf
xxxxaxf postać iloczynowa
Przykład 3
Dane są dwa miejsca zerowe funkcji 1 i –3 oraz jej wykresem jest
parabola styczna do prostej o równaniu y = – 4.
- należy zatem skorzystać z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, bo znamy miejsca zerowe
)3)(1()(.
1
44
42)2(
4)31)(11(
4)1(
)4,1(),(
12
31
2
4
)3)(1()(
))(()(
21
21
xxxfOdp
a
a
a
a
f
qpW
xxp
qy
xxaxf
xxxxaxf