FUNKCJA KWADRATOWA

27.05.2014

TRZY POSTACIE FUNKCJI ogólna

kanoniczna

iloczynowa

a)

b)

0,)( 2 acbxaxxf

0,)()( 2 aqpxaxf

0),)(()(0 21 axxxxaxftogdy

0),()(0 0 axxaxftogdy 2

4

16

14

25

4

25169)4(14)3(

4

2

3

12

)3(

2

4

3

1

43)(

2

2

2

aq

acb

a

bp

c

b

a

xxxf

zatem są dwa miejsca zerowe

)4

16,

2

11(),(

2

11

2

3

412

5)3(

2

112

5)3(

2

2

1

qpW

pxsymetriioś

a

bx

a

bx

1. postać ogólna

Przykład 1

wykres funkcji

zbiór wartości:

funkcja malejąca w przedziale:

funkcja rosnąca w przedziale:

);4

16 y

2

11;(x

);2

11 x

4

16)

2

11()(

)()(

4

16

2

11

1

2

2

xxf

qpxaxf

q

p

a

2. postać kanoniczna

)4)(1()(

))(()(

4

1

1

21

2

1

xxxf

xxxxaxf

x

x

a

3. postać iloczynowa

1. postać ogólna

4

3

1

43)(

)(2

2

c

b

a

xxxf

cbxaxxf

Przykład 2

3414)10()0(

1

)4,1(),(

4

1

1

4)1()(

2

2

f

pxsymetriioś

qpW

q

p

a

xxf2. postać kanoniczna

wykres funkcji

zbiór wartości:

funkcja malejąca w przedziale:

funkcja rosnąca w przedziale:

4;(y

);1 x

1;(x

1. postać ogólna

1)1(2

42

2

32

6

)1(2

42

2

161243)1(424

3

2

1

32412)(

4)12(4)1()(

2

1

22

22

22

a

bx

a

bx

acb

c

b

a

xxxxxf

xxxxf

)3)(1()(

))(()( 21

xxxf

xxxxaxf

3. postać iloczynowa

wzór skróconego mnożenia

Przykład 3

8

11)1

4

1)(

2

1

4

1(2)

4

1()(

4

1

2

121

2

12

1

2

)1)(2

1(2)(

21

2

1

fpfq

pxx

xsymetriioś

x

x

a

xxxf

3. postać iloczynowa

)8

11;

4

1(),( qpW

wykres funkcji

zbiór wartości:

funkcja malejąca w przedziale:

funkcja rosnąca w przedziale:

;8

11y

4

1;(x

;4

1x

8

11)

4

1(2)(

8

11)

4

1()(

4

1

1

1

2

12)(

)2

1

2

1(2)1)(

2

1(2)(

2

2

2

xxf

fpfq

p

c

b

a

xxxf

xxxxxf

2. postać kanoniczna

1. postać ogólna

Równanie kwadratowe

312

24

2

112

24

2

4314)4(

4

3

4

1

034

43

2

1

2

2

2

2

a

bx

a

bx

acb

c

b

a

xx

xx

Nierówność kwadratowa

1)1(2

53

2

4)1(2

53

2

254)1(43

4

4

3

1

043

43

2

1

2

2

2

2

a

bx

a

bx

acb

c

b

a

xx

xx

)4;1(xOdp.

Wartość najmniejsza i wartość największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

1. należy sprawdzić, czy wierzchołek paraboli należy do podanego przedziału domkniętego(gdy należy policzyć wartość funkcji dla tego argumentu)

2. potem policzyć wartości funkcji na krańcach podanegoprzedziały domkniętego

3. wybrać wartość najmniejszą i największa w podanymprzedziały domkniętego

MAX

MIN

yf

f

yf

a

bp

c

b

a

xxxxf

4624622)2(

6)0(4

166

2

1)

2

1()

2

1(

2

1

12

)1(

2

6

1

1

2;0,6)(

2

2

2

Przykład

Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej

Przykład 1Dany jest wierzchołek paraboli w punkcie (2,1) i miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 3.

- należy zatem skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej, bo znamy wierzchołek paraboli

1)2()(.

1

01

01)23(

0)3(

1)2()(

)()(

)1,2(

2

2

2

2

xxfOdp

a

a

a

zerowemiejscef

xaxf

qpxaxf

W

postać kanoniczna

Przykład 2

Dane są dwa miejsca zerowe funkcji –2 i 4 oraz f(0)=16.

- należy zatem skorzystać z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, bo znamy miejsca zerowe

)4)(2(2)(.

2

168

16)40)(20(

16)0(

)4)(2()(

))(()( 21

xxxfOdp

a

a

a

f

xxaxf

xxxxaxf postać iloczynowa

Przykład 3

Dane są dwa miejsca zerowe funkcji 1 i –3 oraz jej wykresem jest

parabola styczna do prostej o równaniu y = – 4.

- należy zatem skorzystać z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej, bo znamy miejsca zerowe

)3)(1()(.

1

44

42)2(

4)31)(11(

4)1(

)4,1(),(

12

31

2

4

)3)(1()(

))(()(

21

21

xxxfOdp

a

a

a

a

f

qpW

xxp

qy

xxaxf

xxxxaxf