Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9

Funkcja pierwotna

9.1 Funkcja pierwotna

Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P . Mó-wimy, że funkcja F : P → R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P , gdy F jestfunkcją różniczkowalną i F ′(x) = f(x) dla x ∈ P .

Własność 9.1.1. Niech P będzie przedziałem oraz niech F : P → R będzie funkcjąpierwotną funkcji f w przedziale P . Wówczas funkcja F1 : P → R jest funkcją pierwotnąfunkcji f w przedziale P wtedy i tylko wtedy, gdy F − F1 jest funkcją stałą (w P ).

Dowód. Załóżmy, że F1 jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . Wówczasmamy, że F ′(x) = f(x) = F ′1(x) dla x ∈ P . Zatem z wniosku 7.3.11 dostajemy, że F −F1jest funkcją stałą. Odwrotnie, jeśli F −F1 iest funkcją stałą, to F ′1(x) = F ′(x) = f(x) dlax ∈ P , czyli F1 jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . �

Wniosek 9.1.2. Jeśli funkcja f ma w przedziale P funkcję pierwotną, to dla każdegox0 ∈ P oraz y0 ∈ R istnieje dokładnie jedna funkcja pierwotna F : P → R funkcji f wprzedziale P taka, że F (x0) = y0.

Dowód. Weźmy dowolne x0 ∈ P oraz y0 ∈ R. Niech F1 : P → R będzie funkcjąpierwotną funkcji f w przedziale P . Kładąc F (x) = F1(x) + y0 − F1(x0), x ∈ P , wmyśl własności 9.1.1 mamy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P orazF (x0) = y0.Pokażemy, że funkcją pierwotna F funkcji f w P taka, że F (x0) = y0 jest określona

jednoznacznie. Istotnie, niech F2 : P → R będzie funkcją pierwotną funkcji f w P taką,że F2(x0) = y0. W myśl własności 9.1.1 mamy, że istnieje C ∈ R, że F (x) − F2(x) = Cdla x ∈ P . Ponieważ F (x0)− F2(x0) = 0, więc C = 0. To daje tezę. �

Z własności pochodnej funkcji dostajemy poniższe własności funkcji pierwotnej.

Twierdzenie 9.1.3. Niech P będzie przedziałem oraz α, β ∈ R. Jeśli F1, F2 : P → Rsą funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji f1, f2 w przedziale P , to αF1 + βF2 jestfunkcją pierwotną funkcji αf1 + βf2 w przedziale P .

207

208 ROZDZIAŁ 9. FUNKCJA PIERWOTNA

Dowód. Bezpośrednio z twierdzenia o działaniach na pochodnej funkcji (twierdzenie7.2.2) dostajemy (αF1 + βF2)′ = αF ′1 + βF

′2 = αf1 + βf2 w przedziale P . �

Uwaga 9.1.4. Odpowiednik twierdzenia 9.1.3 dla iloczynu funkcji nie zachodzi. Miano-wicie, w punkcie 9.2 pokażemy że, istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w prze-dziale, których iloczyn nie ma funkcji pierwotnej.

Twierdzenie 9.1.5. Niech P będzie przedziałem oraz niech f, g będą funkcjami różniczko-walnymi w przedziale P . Jeśli F : P → R jest funkcją pierwotną funkcji f · g′ w przedzialeP , to fg − F jest funkcją pierwotną funkcji f ′ · g w przedziale P .

Dowód. Istotnie, bezpośrednio z twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji(twierdzenie 7.2.2) dostajemy (fg)′ = f ′g + fg′, więc (fg − F )′ = f ′g w przedzialeP . �

Twierdzenie 9.1.6. Niech P,Q będą przedziałami oraz niech ϕ : Q → R będzie funkcjąróżniczkowalną taką, że ϕ(Q) ⊂ P . Jeśli F : P → R jest funkcją pierwotną funkcji f wprzedziale P , to F ◦ ϕ : Q→ R jest funkcją pierwotną funkcji f ◦ ϕ · ϕ′ w przedziale Q.

Dowód. Z twierdzenia 7.2.3, mamy (F ◦ ϕ)′ = (F ′ ◦ ϕ) · ϕ′ = (f ◦ ϕ) · ϕ′ w P . �

Uwaga 9.1.7. Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f(x) > 0dla x ∈ P . Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy(a) Funkcja F (x) = ln f(x), x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji f ′

fw przedziale P .

(b) Funkcja F (x) = 2√f(x), x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji f ′√

fw przedziale P .

Uwaga 9.1.8. Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale P taką, że f(x) < 0dla x ∈ P . Wprost z definicji funkcji pierwotnej mamy(a) Funkcja F (x) = ln |f(x)|, x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji f ′

fw przedziale P .

(b) Funkcja F (x) = −2√|f(x)|, x ∈ P jest funkcją pierwotnę funkcji f ′√

|f |w P .

Twierdzenie 9.1.9. Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P , to f spełniaw P własność Darboux, to znaczy dla każdych x1, x2 ∈ P , x1 < x2 oraz każdego c ∈ R,(a) jeśli f(x1) < c < f(x2), to istnieje x0 ∈ (x1, x2), że f(x0) = c,(b) jeśli f(x1) > c > f(x2), to istnieje x0 ∈ (x1, x2), że f(x0) = c.

Dowód. Niech F : P → R będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . Wów-czas F ′(x) = f(x) dla x ∈ P i z twierdzenia Darboux 7.3.3 dostajemy, że f spełnia (a) i(b). �

Uwaga 9.1.10. W myśl twierdzenia 9.1.9 mamy, że funkcja f(x) = [x], x ∈ R, gdzie[x] oznacza całość z liczby x, nie ma funkcji pierwotnej, bowiem funkcja ta nie spełniawarunków (a) i (b) w twierdzeniu 9.1.9. Można rwnież udowodnić, że istnieją funkcjespełniające powyższe warunki (a) i (b), które nie mają funkcji pierwotnych.

9.2. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ 209

Własność 9.1.11. Niech P będzie przedziałem, x0 ∈ P będzie takim punktem, że zbioryP1 = {x ∈ P : x 6 x0}, P2 = {x ∈ P : x > x0} są przedziałami. Niech f : P → R. Jeśli(i) F1 : P1 → R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P1,(ii) F2 : P2 → R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P2,(iii) F1(x0) = F2(x0),

to funkcja F : P → R określona wzorami

F (x) = F1(x) dla x ∈ P1 i F (x) = F2(x) dla x ∈ P2

jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P .

Dowód. Wobec (iii) mamy, że funkcja F jest poprawnie określona. Weźmy dowolnyx ∈ P . Jeśli x < x0, to z (i) mamy F ′(x) = F ′1(x) = f(x). Jeśli x > x0, to z (ii) mamyF ′(x) = F ′2(x) = f(x). Jeśli x = x0, to z określenia F i z (i) oraz (iii) mamy

limx→x−0

F (x)− F (x0)x− x0

= limx→x−0

F1(x)− F1(x0)x− x0

= f(x0)

oraz z (ii)

limx→x+0

F (x)− F (x0)x− x0

= limx→x+0

F2(x)− F2(x0)x− x0

= f(x0).

Zatem F ′(x0) = f(x0). Reasumując F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . �

9.2 O funkcji pierwotnej funkcji ciągłej

Twierdzenie 9.2.1. Jeśli ciąg funkcyjny fn : [a, b]→ R, n ∈ N, jest jednostajnie zbieżnydo funkcji f : [a, b] → R oraz każda funkcja fn, n ∈ N ma w przedziale [a, b] funkcjępierwotną Fn : [a, b] → R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale [a, b]. Jeślidodatkowo dla pewnego x0 ∈ [a, b], ciąg (Fn(x0))∞n=1 jest zbieżny, to ciąg (Fn)∞n=1 jestjednostajnie zbieżny i jego granica jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b].

Dowód. Niech x0 ∈ [a, b]. Przyjmując Fn(x) = Fn(x) − Fn(x0), x ∈ [a, b], z wniosku9.1.2, mamy, że Fn jest funkcją pierwotną funkcji fn dla n ∈ N. Zatem ciąg funkcjiróżniczkowalnych (Fn)∞n=1 jest zbieżny w punkcie x0 i ciąg jego pochodnych (fn)

∞n=1 jest

jednostajnie zbieżny do funkcji f w przedziale [a, b]. W myśl twierdzenia 8.5.1, ciąg (Fn)∞n=kjest, więc jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnej F : [a, b]→ R oraz

F ′(x) = limn→∞

F ′n(x) = limn→∞ fn(x) = f(x) dla x ∈ [a, b].

W konsekwencji F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale [a, b] oraz Fn ⇒ F .Jeśli dodatkowo ciąg (Fn(x0))∞n=1 jest zbieżny, to analogicznie jak powyżej, w myśl

twierdzenia 8.5.1, ciąg (Fn)∞n=k jest jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji różniczkowalnejF : [a, b]→ R oraz F jest funkcją pierwotną funkcji f w [a, b]. To kończy dowód. �

Z twierdzenia 9.2.1 dostajemy natychmiast


Wniosek 9.2.2. Jeśli szereg funkcyjny∞∑n=1

fn, gdzie fn : [a, b] → R, n ∈ N, jest jedno-stajnie zbieżny do funkcji f : [a, b] → R oraz każda funkcja fn, n ∈ N ma w przedziale[a, b] funkcję pierwotną Fn : [a, b] → R, to funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale[a, b]. Jeśli dodatkowo dla pewnego x0 ∈ [a, b], szereg

∞∑n=1

Fn(x0) jest zbieżny, to szereg∞∑n=1

Fn jest jednostajnie zbieżny i jego suma jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

[a, b].

W oparciu o twierdzenie 9.2.1, pokażemy, że każda funkcja ciągła w przedziale mafunkcję pierwotną w tym przedziale. Udowodnimy najpierw lemat.

Lemat 9.2.3. Jeśli f : R → R jest wielomianem postaci f(x) =n∑j=0

ajxj, x ∈ R, to

wielomian F (x) =n∑j=0

ajj+1x

j+1, x ∈ R jest funkcją pierwotną funkcji f w R.

Dowód. Przy oznaczeniach lematu dostajemy F ′ = f w R. To daje tezę. �

Twierdzenie 9.2.4. (o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ciągłej). Jeśli P jestprzedziałem, to każda funkcja ciągła f : P → R ma funkcję pierwotną w przedziale P .

Dowód. Niech f : P → R będzie funkcją ciągłą.Załóżmy najpierw, że P jest przedziałem domkniętym. Wówczas z twierdzenia Weier-

strassa 8.8.7 mamy, że istnieje ciąg wielomianów (Wn)∞n=1 zbieżny jednostajnie do funkcjif na przedziale P . W myśl lematu 9.2.3, każdy wielomianWn, n ∈ Nma funkcję pierwotnąw P . Zatem z twierdzenia 9.2.1 dostajemy tezę w tym przypadku.Niech teraz P będzie dowolnym przedziałem oraz niech a, b, a < b będą końcami

przedziału P . Niech x0 ∈ P będzie ustalonym punktem takim, że a < x0 < b.Jeśli b ∈ P , to z przypadku rozważonego na początku dowodu, istnieje funkcja pier-

wotna F funkcji f w przedziale [x0, b]. Ponadto, wobec wniosku 9.1.2, można założyć, żeF (x0) = 0. Jeśli b 6∈ P , to istnieje ciąg rosnący (xn)∞n=1 ⊂ P taki, że x0 < xn dla n ∈ Noraz lim

n→∞xn = b. W myśl poprzedniego, w każdym przedziale [x0, xn] istnieje funkcja

pierwotna Fn : [x0, xn] → R funkcji f . Ponadto można założyć, że Fn(x0) = 0. Wówczas,z własności 9.1.1 mamy Fn(x) = Fm(x) dla n < m oraz x ∈ [x0, xn]. Ponieważ⋃

n∈N[x0, xn] = [x0, b),

więc funkcja F : [x0, b)→ R określona wzorem

F (x) = Fn(x), jeśli x ∈ [x0, xn],

jest poprawnie określona. Ponadto F (x0) = 0 oraz F ′(x) = f(x) dla x ∈ [x0, b), czylidla x ∈ P , x > x0. Reasumując istnieje funkcja pierwotna F funkcji f w przedziale{x ∈ P : x > x0} taka, że F (x0) = 0.

9.2. O FUNKCJI PIERWOTNEJ FUNKCJI CIĄGŁEJ 211

Analogicznie jak powyżej pokazujemy, że istnieje funkcja pierwotna ˜F funkcji f wprzedziale {x ∈ P : x 6 x0} taka, że ˜F (x0) = 0.Ponieważ F (x0) =

˜F (x0), więc biorąc funkcję F : P → R określoną wzorami F (x) =F (x) dla x ∈ P , x > x0 oraz F (x) =

˜F (x) dla x ∈ P , x 6 x0, w myśl własności 9.1.11dostajemy, że F jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P . �

Uwaga 9.2.5. Niech (fn)∞n=1 będzie ciągiem funkcji określonych na przedziale P . Załóżmy,że każda funkcja fn ma w P funkcję pierwotną. W dowodzie twierdzenia 9.2.4 pokazaliśmy,że jeśli ciąg (fn)∞n=1 jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale domkniętym zawartymw P , to granica ciągu (fn)∞n=1 ma funkcję pierwotną.

Uwaga 9.2.6. Funkcja f : R → R określona wzorem f(x) = 2x sin 1x− cos 1

xdla x 6= 0

oraz f(0) = 0 posiada funkcję pierwotnę F : R → R określoną wzorami F (x) = x2 sin 1x

dla x 6= 0 oraz F (0) = 0. Funkcja f nie jest jednak funkcją ciągłą w punkcie 0.

Uwaga 9.2.7. Istnieją funkcje posiadające funkcje pierwotne w przedziale, których iloczynnie ma funkcji pierwotnej w tym przedziale. Pokażemy, że funkcja f : R → R określonawzorami

f(x) = cos1xdla x 6= 0 oraz f(0) = 0.

ma funkcję pierwotną w R lecz f 2 nie ma w R funkcji pierwotnej. Niech F : R → R,g : R→ R będą funkcjami określonymi wzorami

F (x) = x2 sin1xdla x 6= 0 oraz F (0) = 0,

g(x) = 2x sin1xdla x 6= 0 oraz g(0) = 0.

Funkcja g, jako funkcja ciągła, ma funkcję pierwotną G : R → R (twierdzenie 9.2.4).Wtedy F ′(x) = g(x)− f(x) dla x ∈ R, więc F1 = G− F jest funkcją pierwotną funkcji fw R.Przypuśćmy teraz, że funkcja f 2 ma w R funkcję pierwotną F2 : R → R. Pokażemy,

że istnieje C ∈ R, że

(9.1) F2(2x) = F1(x) + x+ C dla x ∈ R.

Istotnie, ponieważ cos 2α = 2 cos2 α− 1 dla α ∈ R, więc

(9.2) 2f 2(2x) = f(x) + 1 dla x 6= 0.

Funkcja F1(x) + x jest w R funkcją pierwotną funkcji f + 1 oraz z twierdzenia 9.1.6mamy, że funkcja F2(2x) jest w R funkcją pierwotną funkcji 2f 2(2x). Stąd, z (9.2) iwłasności 9.1.1, istnieją C1, C2 ∈ R, że F2(2x) = F1(x) + x + C1 dla x ∈ (−∞, 0) orazF2(2x) = F1(x)+x+C2 dla x ∈ (0,+∞). Wobec ciągłości funkcji F1, F2, przechodząc dogranicy przy x→ 0 dostajemy F2(0) = F1(0) +C1 oraz F2(0) = F1(0) +C2. Stąd wynika,że C1 = C2. Reasumując pokazaliśmy (9.1). Z (9.1) i określenia funkcji F1, F2 mamy

0 = 2f 2(0) = 2F ′2(0) = F′1(0) + 1 = f(0) + 1 = 1,

co jest niemożliwe. Z otrzymanej sprzeczności wynika, że przypuszczenie o istnieniu w Rfunkcji pierwotnej funkcji f 2 było fałszywe.


9.3 Całka nieoznaczona

Dla uproszczenia zapisu wprowadzimy pojęcie całki nieoznaczonej.Definicja całki nieoznaczonej. Niech P będzie przedziałem oraz f funkcją określonąna P . Jeśli funkcja f ma funkcję pierwotną w przedziale P , to zbiór wszystkich funkcjipierwotnych funkcji f w przedziale P nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w przedzialeP i oznaczamy

∫fdx lub

∫f(x)dx. Jeśli funkcja f nie ma funkcji pierwotnej w przedziale

P , to mówimy, że funkcja ta nie ma całki nieoznaczonej w tym przedziale.

Uwaga 9.3.1. Jeśli F : P → R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P , to wobecwłasności 9.1.1 mamy, że

∫f(x)dx = {G : P → R : istnieje stała C ∈ R, że G = F +C}.

W związku z tym, w dalszym ciągu będziemy pisali∫f(x)dx = F (x) + C, gdzie C ∈ R

jest dowolną stałą. Aby wyznaczyć całkę nieoznaczoną funkcji w przedziale wystarczy więcobliczyć jedną funkcję pierwotną tej funkcji w tym przedziale.

Uwaga 9.3.2. W literaturze wyznaczanie funkcji pierwotnej oraz całki nieoznaczonej na-zywa się całkowaniem.

Uwaga 9.3.3. Oznaczenie∫f(x)dx, całki nieoznaczonej funkcji f w przedziale P , pocho-

dzi od Leibniza. W oznaczeniu tym nie występuje oznaczenie przedziału P . Należy jednakpamiętać, że proces szukania całki nieoznaczonej jest ściśle związany z przedziałem. Sym-bol dx, w oznaczeniu całki, ma ułatwić rozróżnienie po której zmiennej całkujemy funkcję,jeśli funkcja zależy od wielu zmiennych.

Podamy teraz twierdzenia o całce nieoznaczonej sumy dwóch funkcji. Zgodnie z defini-cją będziemy musieli dodawać rodziny funkcji. Przyjmijmy więc następujące oznaczenia.Definicja Dla zbiorów A,B ⊂ RX , funkcji określonych na zbiorze X, przyjmujemy

A+B = {f + g : f ∈ A ∧ g ∈ B},aA = {af : f ∈ A}, gdzie a ∈ R.g + A = {g + f : f ∈ A}, gdzie g : X → R.A ◦ ϕ = {f ◦ ϕ : f ∈ A}, gdzie ϕ : Y → R, ϕ(Y ) ⊂ X.Bezpośrednio z twierdzenia 9.1.3 i powyższej definicji dostajemy

Twierdzenie 9.3.4. Jeśli funkcje f i g mają całki nieoznaczone w przedziale P , to funkcjef + g oraz αf , gdzie α ∈ R, mają całki nieoznaczone w przedziale P i∫

(f + g)dx =∫fdx+

∫gdx oraz

∫αfdx = α

∫fdx.

Z twierdzenia 9.1.5 mamy

Twierdzenie 9.3.5. (o całkowaniu przez części). Niech P będzie przedziałem orazniech f, g będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale P . Jeśli funkcja f · g′ ma wprzedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f ′ · g ma w przedziale P całkę nieoznaczonąoraz ∫

f ′ · gdx = fg −∫f · g′dx.

9.3. CAŁKA NIEOZNACZONA 213

Z twierdzenia 9.1.6 mamy

Twierdzenie 9.3.6. (o całkowaniu przez podstawienie). Niech P,Q będą przedzia-łami oraz niech ϕ : Q→ R będzie funkcją różniczkowalną taką, że ϕ(Q) ⊂ P . Jeśli funkcjaf ma w przedziale P całkę nieoznaczoną, to funkcja f ◦ ϕ · ϕ′ ma w przedziale Q całkęnieoznaczoną oraz ∫

f ◦ ϕ(x) · ϕ′(x)dx =(∫

f(t)dt)◦ ϕ(x).

Bepośrednio z twierdzeń 7.2.11 oraz 7.2.12 dostajemy

Twierdzenie 9.3.7. Niech α, a ∈ R. Wówczas w odpowiednim przedziale, mamy∫xαdx = xα+1

α+1 + C, w (0,+∞), gdy α ∈ R \ {−1}

∫xαdx = xα+1

α+1 + C, w R, gdy α ∈ N

∫xαdx = xα+1

α+1 + C, w (−∞, 0), gdy α ∈ Z \ {−1}

∫x−1dx = lnx+ C, w (0,+∞),

∫x−1dx = ln(−x) + C, w (−∞, 0),

∫exdx = ex + C, w R,

∫axdx = ax

ln a + C, w R, gdy a > 0, a 6= 1,∫sin xdx = − cosx+ C, w R,

∫cosxdx = sinx+ C, w R,

∫ 1cos2 xdx = tgx+ C, w

(−π2 + kπ,

π2 + kπ

), gdzie k ∈ Z,

∫ 1sin2 xdx = − ctgx+ C, w (kπ, π + kπ) , gdzie k ∈ Z,

∫ 11+x2dx = arctg x+ C, w R

∫ 1√1−x2dx = arcsinx+ C, w (−1, 1).

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą.

Przykład 9.3.8. Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy, że∫lnxdx = x lnx− x+ C w przedziale (0,+∞),


gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Z punktu widzenia obliczania całek nieoznaczonych ważnyjest również sposób w jaki można taką całkę ”zgadnąć”. Stosując mianowicie twierdzenie ocałkowaniu przez części 9.3.5, dla funkcji f(x) = x, g(x) = lnx, x ∈ (0,+∞), dostajemy∫

lnxdx = x lnx−∫1dx = x lnx− x+ C w przedziale (0,+∞),


Przykład 9.3.9. Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że

(9.3)∫ex sin xdx =

ex

2(sinx− cosx) + C, w zbiorze R,

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Stosując zaś dwa razy twierdzenie o całkowaniu przezczęści 9.3.5, dostajemy∫ex sin xdx = ex sin x−

∫ex cosxdx = ex sin x− ex cosx−

∫ex sin xdx w zbiorze R,

przy czym całki w powyższym wzorze istnieją. Oznaczając przez F : R → R dowolnąfunkcję pierwotną funkcji ex sin x dostajemy, że istnieje C0 ∈ R, że

F (x) = ex(sinx− cosx)− F (x) + C0, x ∈ R.

Stąd dostajemy (9.3).

Przykład 9.3.10. Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy łatwo, że

(9.4)∫arcsinxdx = x arcsinx+

√1− x2 + C, w przedziale (−1, 1),

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Stosując zaś twierdzenie o całkowaniu przez części mamy

(9.5)∫arcsinxdx = x arcsinx−

∫ x√1− x2

dx, w przedziale (−1, 1).

Przyjmując ϕ(x) = 1− x2, x ∈ (−1, 1) dostajemy

ϕ(x) ∈ (0, 1] orazx√1− x2

=−12√ϕ(x)

ϕ′(x) dla x ∈ (−1, 1).

Ponadto∫ 12√tdt =

√t + C w przedziale (0, 1], gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Zatem

stosując twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy∫ x√1− x2

dx = −∫ 1

2√ϕ(x)

ϕ′(x)dx = −√ϕ(x) + C = −

√1− x2 + C

w przedziale (−1, 1), gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Stąd i z (9.5) wynika (9.4).

9.4. INFORMACJE O OBLICZANIU FUNKCJI PIERWOTNYCH 215

9.4 Informacje o obliczaniu funkcji pierwotnych

W punkcie 9.2 pokazaliśmy istnienie funkcji pierwotnych funkcji ciągłych w przedziale. Wtym punkcie podamy metody efektywnego obliczania funkcji pierwotnych pewnych funk-cji. Podamy najpierw metodę obliczania funkcji pierwotnych funkcji wymiernych a następ-nie pokażemy, jak sprowadzić pewne inne rodziny funkcji do tego przypadku. Wszystkierozważane tutaj funkcje będą miały funkcje pierwotne, które można zapisać przy użyciufunkcji elementarnych. Na uwagę zasługuje fakt, że nie wszystkic funkcje elementarne ma-ją funkcje pierwotne będące funkcjami elementarnymi. Można na przykład pokazać (lecznie jest to łatwe), że funkcje określone wzorami

f(x) =√1 + x3, x > −1, g(x) = sinx

x, x > 0,

h(x) = 1lnx , x > 1, p(x) = e−x

2, x ∈ R,

mają funkcje pietrwotne, które jednak nie są funkcjami elementarnymi.Dla uproszczenia zapisu będziemy w tym punkcie stosowali całki nieoznaczone.

9.4.1 Całkowanie ułamków prostych

Definicja ułamków prostych. Niech n ∈ N oraz a, b, c, d, p, q ∈ R. Ułamkami prostyminazywamy funkcje wymierne postaci

(9.6) f(x) =a

(x− b)n, x 6= b,

(9.7) g(x) =cx+ d

(x2 + px+ q)n, x ∈ R, gdzie p2 − 4q < 0.

Uwaga 9.4.1. Funkcja g w powyższej definicji jest poprawnie określona, bowiem z wa-runku p2 − 4q < 0 wynika, że x2 + px+ q > 0 dla wszystkich x ∈ R.

Pokażemy, że funkcje pierwotne ułamków prostych (w odpowiednich przedziałach) sąfunkcjami elementarnymi.Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy dwie poniższe własności.

Własność 9.4.2. Niech a, b ∈ R, Wówczas∫ a

x− bdx = a ln(b− x) + C, w przedziale (−∞, b),

∫ a

x− bdx = a ln(x− b) + C, w przedziale (b,+∞),



Własność 9.4.3. Niech n ∈ N, n > 1 oraz a, b ∈ R. Wówczas∫ a

(x− b)ndx =

a

(1− n)(x− b)n−1+ C, w przedziale (−∞, b),

∫ a

(x− b)ndx =

a

(1− n)(x− b)n−1+ C, w przedziale (b,+∞),


Przejdźmy teraz do ułamków prostych postaci (9.7).

Lemat 9.4.4. Niech n ∈ N, c, d, p, q ∈ R oraz p2 − 4q < 0 oraz niech

g(x) =cx+ d

(x2 + px+ q)n, x ∈ R.

Wówczas przyjmując

a = −p2, b =

4q − p2

4mamy, że b > 0 oraz

g(x+ a) =c

22x

(x2 + b)n+

ca+ d(x2 + b)n

, x ∈ R.

Dowód. Ponieważ

x2 + px+ q =(x+

p

2

)2+4q − p2

4,

więc przyjmując a = −p2 , b =4q−p24 , dostajemy

g(x+ a) =xc+ ca+ d(x2 + b)n

=c

22x

(x2 + b)n+

ca+ d(x2 + b)n

, x ∈ R,

co daje tezę. �

Lemat 9.4.5. Niech g : R→ R będzie funkcją ciągłą, a ∈ R oraz niech funkcja ϕ : R→ Rbędzie określona wzorem ϕ(x) = x− a, x ∈ R. Wówczas∫

g(x)dx =(∫

g(t+ a)dt)◦ ϕ(x).

Dowód. Ponieważ∫g(x)dx =

∫g(ϕ(x) + a)ϕ′(x)dx, więc z twierdzenia o całkowaniu

przez podstawienie 9.3.6 dostajemy tezę. �

Z lematów 9.4.4 i 9.4.5 dostajemy


Własność 9.4.6. Niech n ∈ N, c, d, p, q ∈ R oraz p2 − 4q < 0. Wówczas oznaczając

a = −p2, b =

4q − p2

4oraz ϕ(x) = x− a, x ∈ R

mamy

∫ cx+ d(x2 + px+ q)n

dx =(∫ c

22t

(t2 + b)ndt

)◦ ϕ+

(∫ ca+ d(t2 + b)n

dt

)◦ ϕ, w R.

W świetle własności 9.4.6 dla obliczania całek nieoznaczonych ułamków prostych wy-starczy rozważyć ułamki proste postaci

2x(x2 + b)n

oraz1

(x2 + b)n.

Bezpośrednio z definicji całki nieoznaczonej mamy

Własność 9.4.7. Niech b ∈ R, b > 0. Wówczas∫ 2xx2 + b

dx = ln(x2 + b) + C, w zbiorze R,

∫ 2x(x2 + b)α

dx =1

(1− α)(x2 + b)α−1+ C, w zbiorze R, gdzie α ∈ R \ {1},


Pozostaje rozważyć ułamki proste postaci 1(x2+b)n .

Własność 9.4.8. Niech b ∈ R, b > 0 oraz niech ϕ : R → R będzie funkcją określonąwzorem

ϕ(x) =x√b, x ∈ R.

Wówczas ∫ 1(x2 + b)n

dx =

√b

bn

(∫ 1(t2 + 1)n

dt

)◦ ϕ w zbiorze R.

Dowód. Ponieważ

1(x2 + b)n

=

√b

bn1

(( x√b)2 + 1)n

1√b=

√b

bn1

((ϕ(x))2 + 1)nϕ′(x),

więc z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy tezę. �

W świetle powyższej własności pozostaje rozważyć ułamki proste postaci 1(x2+1)n . Cał-

ki nieoznaczone takich funkcji obliczamy przy pomocy następujących wzorów rekurencyj-nych.


Twierdzenie 9.4.9. Oznaczmy

In =∫ 1(x2 + 1)n

dx, w zbiorze R, gdzie n ∈ N.

Wówczas

(9.8) I1 = arctg x+ C w zbiorze R,

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą oraz

(9.9) In+1 =12n

x

(x2 + 1)n+2n− 12n

In dla n ∈ N.

Dowód. Z twierdzenia 9.3.7 dostajemy (9.8). Funkcje

fn(x) =1

(x2 + 1)n, x ∈ R, gdzie n ∈ N,

jako funkcje ciągłe mają funkcje pierwotne w R. Niech więc Fn : R → R będzie funkcjąpierwotną funkcji fn dla n ∈ N. Wtedy dla x ∈ R mamy

F ′n+1(x) = fn+1(x)

oraz(12n

x

(x2 + 1)n+2n− 12n

Fn(x))′=(12n

x

(x2 + 1)n

)′+2n− 12n

1(x2 + 1)n

= fn+1(x).

Z powyższych dwóch równości dostajemy (9.9). �

Zbierając wyniki tego punktu dostajemy

Wniosek 9.4.10. Funkcje pierwotne ułamków prostych (w przedziałach, w których ułamkite są określone) są funkcjami elementarnymi.

9.4.2 Całkowanie funkcji wymiernych

Pokażemy, że każda funkcja wymierna ma funkcję pierwotną w każdym przedziale w któ-rym jest określona i funkcja pierwotna jest funkcją elementarną. W świetle wyników po-przedniego punktu wystarczy pokazać, że zachodzi następujące twierdzenie.

Twierdzenie 9.4.11. Dla każdej funkcji wymiernej f istnieje wielomian W oraz skoń-czony ciąg ułamków prostych g1, ..., gk, że

f = W + g1 + · · ·+ gk,

w punktach, gdzie funkcja f jest określona.


Dowód powyższego twierdzenia jest czysto algebraiczny. Można więc go pominąć, od-wołując się do algebray. Przyjmując za znane, że każdy niezerowy wielomian o współczyn-nikach rzeczywistych jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia, podajemyjednak szkic dowodu twierdzenia 9.4.11.

Kluczowym w dowodzie twierdzenia 9.4.11 jest następujący fakt algebraiczny. Twierdzenia tego do-wodzi się również w Analizie Zespolonej.

Lemat 9.4.12. Każdy wielomian dodadniego stopnia (o współczynnikach rzeczywistych) jest iloczynemskończonej ilości wielomianów stopnia pierwszego oraz wielomianów stopnia 2, które nie mają pierwiast-ków.

Następnym ważnym twierdzeniem w dowodzie twierdzenia 9.4.11 jest poniższy Algorytmu Euklidesa.

Lemat 9.4.13. Niech P,Q będą wielomianami niezerowymi. Wówczas istnieją wielomiany W i R takie,że degR < degQ oraz

(9.10) P =WQ+R.

Dowód. Niech P = amxm + am−1xm−1 + · · · a0, Q(x) = bkxk + bk−1xk−1 + · · · + b0, am 6= 0,bk 6= 0. Wtedy m = degP , k = degQ. Jeśli m < k, to kładąc W = 0, R = P dostajemy tezę. Załóżmy,że m > k. Oznaczmy m = m0, R0 = P oraz α0 = am

bk. Wtedy wielomian R1 = R0 − α0xm−kQ ma

stopień mniejszy od m0. Jeśli m1 = degR1 < k, to dla W (x) = αxm−k oraz R = R1, dostajemytezę. Jeśli m1 > k, to analogicznie jak powyżej, istnieje α1 ∈ R, że R2 = R1 − α1xm1−kQ oraz m2 =degR2 < m1. Postępując tak dalej znajdziemy skończony ciąg liczb αi ∈ R oraz wielomianów Ri, żeRi = Ri−1 − αi−1xmi−kQ dla i = 0, ..., n oraz mi = degRi jest ciągiem malejącym, k 6 mn−1, k > mn.Wtedy dla W = α0xm0−k + α1xm1=k + · · ·αn−1xmn−1−k oraz R = Rn dostajemy (9.10). �

Lemat 9.4.14. Niech P,Q będą wielomianami oraz a ∈ R, k ∈ N. Jeśli Q(a) 6= 0, to przyjmującA = P (a)Q(a) , istnieje wielomian P1 taki, że

(9.11)P (x)

(x− a)kQ(x)=

A

(x− a)k+

P1(x)(x− a)k−1Q(x)

, gdzie x ∈ R, (x− a)Q(x) 6= 0.

Dowód. Ponieważ P (a) − AQ(a) = 0, więc z twierdzenia Bezouta 3.9.6 istnieje wielomian P1 taki,że P (x)−AQ(x) = (x− a)P1(x). Dzieląc tę ostatnią równość przez (x− a)kQ(x) dostajemy (9.11). �

Definicja . Niech P,Q będą wielomianami. Mówimy, że wielomian Q dzieli wielomian P , gdy istniejewielomian W , że P =WQ. W przeciwnym razie mówimy, że wielomian Q nie dzieli wielomianu P .

Lemat 9.4.15. Niech P,Q będą wielomianami oraz p, q ∈ R, k ∈ N. Jeśli wielomian x2+px+q nie dzieliżadnego z wielomianów P i Q oraz p2 − 4q < 0, to istnieją B,C ∈ R oraz istnieje wielomian P1 taki, że

(9.12)P (x)

(x2 + px+ q)kQ(x)=

Bx+ C(x2 + px+ q)k

+P1(x)

(x2 + px+ q)k−1Q(x), gdzie x ∈ R, Q(x) 6= 0.

Dowód. Wystarczy pokazać, że istnieją B,C ∈ R oraz istnieje wielomian P1 taki, że

(9.13) P (x)− (Bx+ C)Q(x) = (x2 + px+ q)P1(x) dla x ∈ R.

Z lematu 9.4.13 i założenia, że wielomiany P,Q nie dzielą się przez x2 + px + q wynika, że istniejąa, b, c, d ∈ R oraz wielomiany F,W takie, że a 6= 0 lub b 6= 0 oraz c 6= 0 lub d 6= 0 i dla x ∈ R mamy

P (x) = (x2 + px+ q)F (x) + (ax+ b), Q(x) = (x2 + px+ q)W (x) + (cx+ d).


Zatem dla dowolnych B,C ∈ R oraz x ∈ R mamy

(9.14) P (x)− (Bx+ C)Q(x) = (x2 + px+ q)(F (x)− (Bx+ C)W (x)) + (ax+ b)− (Bx+ C)(cx+ d),

ponadto dzieląc (ax+ b)− (Bx+ C)(cx+ d) przez x2 + px+ q dostajemy

(9.15) (ax+ b)− (Bx+ C)(cx+ d) = (x2 + px+ q)(−Bc) + (a−Bd− Cc+Bcp)x+ b− Cd+Bcq.

Zauważmy, że istnieją B,C ∈ R, że

(9.16) a−Bd− Cc+Bcp = 0 i b− Cd+Bcq = 0.

Układ (9.16) jest układem równań liniowych zmiennych B,C o wyznaczniku głównym A równymd2 − cpd + c2q. Wyznacznik ten jest różny od zera. Istotnie, jeśli c = 0, to d 6= 0 i wyznacznik A = d2jest różny od zera. Jeśli zaś c 6= 0, to A = c2[(−dc )

2 + p(dc ) + q] 6= 0, gdyż −dc nie może być pierwiast-

kiem wielomian x2 + px+ q, bo p2 − 4q < 0. Reasumując układ (9.16) ma rozwiącanie (B,C). Biorąc torozwiązanie, z (9.15) i (9.14) dostajemy

P (x)− (Bx+ C)Q(x) = (x2 + px+ q)(F (x)− (Bx+ C)W (x)) + (x2 + px+ q)(−Bc).

Oznaczając więc P1 = F (x)− (Bx+ C)W (x)−Bc dostajemy (9.12). �

Dowód twierdzenia 9.4.11. Niech f = PQ , gdzie P,Q są wielomianami nie posiadającymi wspólnychdzielników (tzn. P i Q nie dzielą się przez ten sam wielomian dodatniego stopnia). Zgodnie, z lematem9.4.12 istnieją wielomiany stopnia pierwszego Li(x) = x − ai, liczby ki ∈ N, i = 1, ..., r oraz wielomianystopnia drugiego Ki(x) = x2 + pix + qi, nie posiadające pierwiastków, liczby li ∈ N, i = 1, ..., s orazα ∈ R \ {0}, że

Q(x) = α(x− a1)k1 · · · (x− ar)kr (x2 + p1x+ q1)l1 · · · (x2 + psx+ qs)ls ,

przy czym w powyższym wzorze czynniki pierwszego lub drugiego stopnia mogę nie występować, jeśli Qjest iloczynem czynników liniowych lub, gdy jest iloczynem czynników stopnia drugiego. Ponadto czynnikiLi są różne między sobą i czynniki Ki są różne między sobą. Można założyć, że α = 1. Stosując terazk1 + · · · kr razy lemat 9.4.14 oraz l1 + · · ·+ ls razy lemat 9.4.15 dostajemy tezę twierdzenia 9.4.11. �

Z twierdzenia 9.4.11, wniosku 9.4.10 i faktu, że funkcja pierwotna wielomianu jestwielomianem, dostajemy

Wniosek 9.4.16. Funkcje pierwotne funkcji wymiernych (w przedziałach, w których sąokreślone) są funkcjami elementarnymi.

Uwaga 9.4.17. Z twierdzenia 9.4.11 dostajemy algorytm wyliczania całki nieoznaczonejdowolnej funkcji wymiernej f = P

Q. Należy mianowicie przedstawić funkcję f w postaci su-

my wielomianu i ułamków prostych, a następnie zastosować algorytmy wyliczania funkcjipierwotnych dowolnego ułamka prostego, podane w poprzednim podpunkcie. Główną trud-nością w tym algorytmie jest rozłożenie wielomianu Q na iloczyn wielomianów stopniapierwszego i drugiego. Nie mamy efektywnych metod uzyskiwania tego rozkładu.

Metodę ”rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste” przedstawimy na przykładzie.

Przykład 9.4.18. Niech

(9.17) f(x) =2x6 + 4x4 − 3x3 + 5x2 − x+ 1(x2 + 1)2(x− 1)2(x+ 1)

, x ∈ R \ {−1, 1}.


Mianownik jest iloczynem wielomianów pierwszego i drugiego stopnia. Przy czym wielo-mian x2 + 1 nie ma pierwiastków rzeczywistych. Przedstawimy funkcję f w postaci sumyułamków prostych postaci

(9.18) f(x) =Ax+Bx2 + 1

+Cx+D(x2 + 1)2

+E

x− 1+

H

(x− 1)2+

T

x+ 1,

gdzie A,B,C,D,E,H, T ∈ R. Sprowadzając prawą stronę (9.18) do wspólnego mianow-nika, przyjmuje ona postać

(Ax+B)(x2 + 1)(x− 1)2(x+ 1) + (Cx+D)(x− 1)2(x+ 1) + E(x2 + 1)2(x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)2(x− 1)2(x+ 1)

+H(x2 + 1)2(x+ 1) + T (x2 + 1)2(x− 1)2

(x2 + 1)2(x− 1)2(x+ 1).

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach liczników w powyższym i (9.17)otrzymujemy układ równań liniowych. Rozwiązując ten układ dostajemy A = 0, B = −1,C = 0, D = 1, E = 1, H = 1, T = 1. W konsekwencji z (9.18),

(9.19) f(x) =−1

x2 + 1+

1(x2 + 1)2

+1

x− 1+

1(x− 1)2

+1

x+ 1,

Przykład 9.4.19. Obliczymy całkę nieoznaczoną funkcji wymiernej z przykładu 9.4.18 wprzedziale (1,+∞). Z twierdzenia 9.4.9 mamy∫ −1

x2 + 1dx = − arctg x+ C

oraz ∫ 1(x2 + 1)2

dx =12

x

x2 + 1+12

∫ 1x2 + 1

dx =12

x

x2 + 1+12arctg x+ C,

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Ponadto∫ 1x− 1

dx = ln(x−1)+C,∫ 1(x− 1)2

dx =−1x− 1

+C i∫ 1x+ 1

dx = ln(x+1)+C.

W konsekwencji z (9.19) mamy∫f(x)dx =

12

x

x2 + 1− 12arctg x+ ln(x− 1)− 1

x− 1+ ln(x+ 1) + C,


9.4.3 Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Definicja funkcji wymiernej dwóch zmiennych. Funkcję f : R × R → R dwóchzmiennych x, y postaci f(x, y) = axkyl, (x, y) ∈ R×R, gdzie k, l ∈ Z, k, l > 0 nazywamyjednomianem dwóch zmiennych. FunkcjeW : R×R→ R będące sumami skończonej ilościjednomianów dwóch zmiennych x, y nazywamy wielomianami dwóch zmiennych. Jeśli F ,G są wielomianami dwóch zmiennych takimi, że G nie znika tożsamościowo, to funkcjęW (x, y) = F (x,y)

G(x,y) określoną w zbiorze {(x, y) ∈ R × R : G(x, y) 6= 0} nazywamy funkcjąwymierną dwóch zmiennych.


Uwaga 9.4.20. Niech W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych oraz ϕ, ψ – funk-cjami wymiernymi jednej zmiennej. Niech P będzie przedziałem. Bezpośrednio z definicji(jednomianu, wielomianu dwóch zmiennych i funkcji wymiernej) dostajemy, że jeśli funk-cje ϕ, ψ są określone w każdym punkcie x ∈ P , przy czym punkt (ϕ(x), ψ(x)) należydo dziedziny funkcji W , to funkcja f(x) = W (ϕ(x), ψ(x)), x ∈ P jest obcięciem funkcjiwymiernej.

Pokażemy, że każda funkcja postaci f(x) = W (sinx, cosx), gdzie W jest funkcją wy-mierną dwóch zmiennych, ma w każdym przedziale w którym jest określona funkcję pier-wotnę będącą funkcją elementarną.

Lemat 9.4.21. Niech ϕ : (−π, π)→ R będzie funkcją określoną wzorem

ϕ(x) = tgx

2, x ∈ (−π, π).

Wtedy dla x ∈ (−π, π) mamy

(9.20) sin x =(2t1+t2

)◦ ϕ(x), cosx =

(1−t21+t2

)◦ ϕ(x), 1 =

(21+t2

)◦ ϕ(x) · ϕ′(x).

Dowód. Ponieważ dla x ∈ (−π, π) zachodzi

sin x =2 tg x21 + tg 2 x2

oraz cos x =1− tg 2 x21 + tg 2 x2

,

więc mamy pierwsze dwie części (9.20). Podobnie dostajemy

ϕ′(x) =1 + ϕ2(x)2

,

więc mamy ostatnią część (9.20). �

Twierdzenie 9.4.22. Niech (a, b) ⊂ (−π, π) oraz niech f : (a, b)→ R będzie funkcją po-staci f(x) =W (sinx, cosx), x ∈ (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych(1). Jeśli ϕ : (a, b)→ R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = tg x2 , x ∈ (a, b), to

(9.21) f(x) =

2W(2t1+t2 ,

1−t21+t2

)1 + t2

◦ ϕ(x) · ϕ′(x), x ∈ (a, b).

W szczególności

(9.22)∫f(x)dx =

∫ 2W(2t1+t2 ,

1−t21+t2

)1 + t2

dt

◦ ϕ(x) w przedziale (a, b).

1zakładamy oczywiście, że dla każdego x ∈ (a, b), punkt (sinx, cosx) należy do dziedziny funkcji W .


Dowód. Ponieważ dla każdego x ∈ (a, b), punkt (sinx, cosx) należy do dziedzinyfunkcji W , więc z lematu 9.4.21 dla każdego t ∈ ϕ((a, b)), punkt ( 2t1+t2 ,

1−t21+t2 ) należy do

dziedziny funkcji W , zatem funkcja W(2t1+t2 ,

1−t21+t2

)jest funkcją wymierną określoną na

przedziale ϕ((a, b)). W konsekwencji z lematu 9.4.21 dostajemy (9.21). Z (9.21) i twier-dzenia o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy (9.22). �

Z twierdzenia 9.4.22 i wniosku 9.4.16 dostajemy natychmiast

Wniosek 9.4.23. Niech (a, b) ⊂ (−π, π) oraz niech f : (a, b)→ R będzie funkcją postacif(x) = W (sinx, cosx), x ∈ (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych.Wówczas każda funkcja pierwotna funkcji f jest funkcją elementarną.

Uwaga 9.4.24. Niech (a, b) ⊂ (0, 2π) oraz f : (a, b) → R będzie funkcją postacif(x) =W (sinx, cosx), x ∈ (a, b), gdzie W jest funkcją wymierną dwóch zmiennych. Jeśliϕ : (a, b)→ R jest funkcją określoną wzorem ϕ(x) = ctg x2 , x ∈ (a, b), to analogicznie jaklematu 9.4.21 dowodzimy, że dla x ∈ (a, b) mamy

sin x =( 2t1 + t2

)◦ ϕ(x), cosx =

(−1 + t2

1 + t2

)◦ ϕ(x), 1 = −

( 21 + t2

)◦ ϕ(x) · ϕ′(x).

Zatem, analogicznie jak w twierdzeniu 9.4.22,

f(x) = −

2W ( 2t1+t2 , −1+t21+t2 )1 + t2

◦ ϕ(x) · ϕ′(x), x ∈ (a, b),

w szczególności

∫f(x)dx = −

∫ 2W ( 2t1+t2 , −1+t21+t2 )1 + t2

dt

◦ ϕ w przedziale (a, b).

Uwaga 9.4.25. Z uwagi na okresowość funkcji postaci f(x) = W (sinx, cosx), gdzie Wjest funkcją wymierną dwóch zmiennych, wystarczy umieć obliczać całki nieoznaczone ta-kich funkcji w przedziałach (a, b) ⊂ (−π, π) oraz przedziałach (a, b) ⊂ (0, 2π).

Przykład 9.4.26. Pokażemy, że

(9.23)∫ 1cosx

dx = ln(tg(x

2+π

4

))+ C, w przedziale

(−π2,π

2

),

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Można sprawdzić bezpośrednio, że (9.23) zachodzi. Możnarównież zastosować twierdzenie 9.4.22. Biorąc funkcję ϕ : (−π2 ,

π2 )→ R określoną wzorem

ϕ(x) = tg x2 , x ∈ (−π2 ,π2 ), mamy ϕ(x) ∈ (−1, 1) dla x ∈ (−

π2 ,π2 ) oraz wobec twierdzenia

9.4.22,

1cosx

=(1 + t2

1− t221 + t2

)◦ ϕ(x)ϕ′(x) =

( 21− t2

)◦ ϕ(x)ϕ′(x) dla x ∈

(−π2,π

2

).


Ponieważ w przedziale (−1, 1) mamy∫ 21− t2

dt =∫ 11− t

dt+∫ 11 + t

dt = − ln(1− t) + ln(1 + t) + C = ln 1 + t1− t

+ C,

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą, więc∫ 1cosx

dx = ln1 + tg x21− tg x2

+ C = ln(tg(x

2+π

4

))+ C, w przedziale

(−π2,π

2

).

9.4.4 Podstawienia Eulera

Niech w tym punkcie: W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, niech a, b, c będąustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz niech P będzie przedziałem. Załóżmy, że dlakażdego x ∈ P zachodzi ax2 + bx + c > 0 oraz punkt (x,

√ax2 + bx+ c) należy do

dziedziny funkcji W . Niech f : P → R będzie funkcją postaci

(9.24) f(x) =W(x,√ax2 + bx+ c

), x ∈ P.

Pokażemy, że każda funkcja pierwotna funkcji f w przedziale P jest funkcją elementarną.

Twierdzenie 9.4.27. Niech f będzie funkcją postaci (9.24). Jeśli a = 0 i b 6= 0, tofunkcja ϕ : P → R określona wzorem

ϕ(x) =√bx+ c, x ∈ P

jest różniczkowalna,

(9.25) x =(t2 − cb

)◦ ϕ(x), 1 =

(2tb

)◦ ϕ(x)ϕ′(x) dla x ∈ P

oraz

(9.26)∫f(x)dx =

[∫W

(t2 − cb

, t

)2tbdt

]◦ ϕ, w przedziale P.

Dowód. Ponieważ dla x ∈ P mamy bx + c > 0, więc ϕ(x) > 0 oraz ϕ jest funkcjąróżniczkowalną, jako złożenie funkcji różniczkowalnych. Ponadto dla x ∈ P mamy

ϕ2(x) = bx+ c i dalej x =ϕ2(x)− c

b.

To daje pierwszą część (9.25). Ponadto

ϕ′(x) =b

2ϕ(x), więc 1 =

2ϕ(x)b

ϕ′(x) dla x ∈ P.

To daje drugą część (9.25). Ponieważ dla każdego x ∈ P , punkt (x,√bx+ c) należy do

dziedziny funkcji W , więc dla każdego t ∈ ϕ(P ), punkt(t2−cb, t)należy do dziedziny

funkcji W i w konsekwencji funkcja W(t2−cb, t)2tbjest wymierna i określona w przedziale

ϕ(P ). Z (9.25) i twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie 9.3.6 dostajemy (9.26). �


Twierdzenie 9.4.28. (I podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci (9.24).Jeśli a > 0 i b2 − 4ac 6= 0, to funkcja ϕ : P → R określona wzorem

ϕ(x) =√ax2 + bx+ c+

√ax, x ∈ P

jest różniczkowalna i dla x ∈ P mamy

(9.27) x =(

t2 − c2√at+ b

)◦ ϕ(x),

√ax2 + bx+ c =

(√at2 + bt+ c

√a

2√at+ b

)◦ ϕ(x),

(9.28) 1 = 2(√

at2 + bt+ c√a

(2√at+ b)2

)◦ ϕ(x)ϕ′(x).

W szczególności w przedziale P mamy

(9.29)∫f(x)dx = 2

[∫W

(t2 − c2√at+ b

,

√at2 + bt+ c

√a

2√at+ b

) √at2 + bt+ c

√a

(2√at+ b)2

dt

]◦ ϕ.

Dowód. Ponieważ funkcja f jest określoną wzorem (9.24), więc ax2 + bx+ c > 0 dlax ∈ P . Stąd i z założenia a > 0 wynika, że funkcja ϕ jest różniczkowalna. Dla x ∈ P , zokreślenia funkcji ϕ, mamy

ϕ(x)−√ax =

√ax2 + bx+ c, więc ϕ2(x)− 2

√axϕ(x) = bx+ c,

zatem

(9.30) x(2√aϕ(x) + b) = ϕ2(x)− c.

Ponadto

(9.31) 2√aϕ(x) + b 6= 0,

gdyż w przeciwnym razie z określenia funkcji ϕ mielibyśmy

2√a√ax2 + bx+ c = −2ax− b i dalej 4a2x2 + 4abx+ 4ac = 4a2x2 + 4abx+ b2,

zatem b2 − 4ac = 0, wbrew założeniu. Reasumując mamy (9.31). Z (9.31) i (9.30) wyni-ka pierwsza część (9.27). Druga część (9.27) wynika z pierwszej i określenia funkcji ϕ.Różniczkując funkcję ϕ i stosując (9.27) dostajemy

ϕ′(x) =2ax+ b

2√ax2 + bx+ c

+√a =12

[(2a

t2 − c2√at+ b

+ b)(

2√at+ b√

at2 + bt+ c√a

)+√a

]◦ϕ(x),

więc po łatwych przekształceniach otrzymujemy (9.28). Podobnie jak w twierdzeniu 9.4.27pokazujemy, że funkcja podcałkowa po prawej stronie (9.29) jest określona w przedzialeϕ(P ) i z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.29). �


Uwaga 9.4.29. Niech f będzie funkcją postaci (9.24). Jeśli a > 0 i b2 − 4ac = 0, toistnieje x0 ∈ R, że ax2 + bx + c = a(x− x0)2. Wówczas z założenia, że ax2 + bx + c > 0dla x ∈ P mamy, że P ⊂ (−∞, x0) lub P ⊂ (x0,+∞).Jśli P ⊂ (−∞, x0), to przyjmując ϕ(x) = −

√a(x−x0), x ∈ P , mamy x = −ϕ(x)√a +x0,√

ax2 + bx+ c = ϕ(x) oraz ϕ′(x) = −√a dla x ∈ P . Zatem z twierdzenia o całkowaniu

przez podstawieniu,

(9.32)∫f(x)dx = − 1√

a

[∫W

(− t√

a+ x0, t

)dt

]◦ ϕ

Jśli P ⊂ (x0,+∞), to przyjmując ϕ(x) =√a(x − x0), x ∈ P , mamy x = ϕ(x)√a + x0,√

ax2 + bx+ c = ϕ(x) oraz ϕ′(x) =√a dla x ∈ P . Zatem

(9.33)∫f(x)dx =

1√a

[∫W

(t√a+ x0, t

)dt

]◦ ϕ

Twierdzenie 9.4.30. (III podstawienie Eulera). Niech f będzie funkcją postaci(9.24). Jeśli a < 0 i b2 − 4ac > 0, to istnieją p, q ∈ R, p < q, że

ax2 + bx+ c = a(x− p)(x− q) dla x ∈ R.

Wtedy P ⊂ (p, q) oraz funkcja ϕ : P → R określona wzorem

ϕ(x) =

√ax2 + bx+ cx− p

, x ∈ P

jest różniczkowalna i dla x ∈ P mamy

(9.34) x =(pt2 − aqt2 − a

)◦ ϕ(x),

√ax2 + bx+ c =

(a(p− q)tt2 − a

)◦ ϕ(x),

(9.35) 1 =(2a(q − p)t(t2 − a)2

)◦ ϕ(x)ϕ′(x).

W szczególności w przedziale P mamy

(9.36)∫f(x)dx =

[∫W

(pt2 − aqt2 − a

,a(p− q)tt2 − a

)2a(q − p)t(t2 − a)2

dt

]◦ ϕ.

Dowód. Funkcja ϕ jest oczywiście różniczkowalna w przedziale P . Ponadto dla x ∈ Pmamy ϕ(x)(x− p) =

√a(x− p)(x− q), więc po podniesieniu do kwadratu,

(9.37) x(ϕ2(x)− a) = ϕ2(x)p− aq.

Ponadto ϕ2(x) 6= a, gdyż w przeciwnym razie, po podniesieniu do kwadratu mielibyśmya(x−q) = a(x−p), co jest niemożliwe, bo p 6= q. W konsekwencji z (9.37) mamy pierwszą


część (9.34). Druga część (9.34) wynika z pierwszej i określenia funkcji ϕ. Różniczkującteraz (9.37) mamy

ϕ2(x)− a+ 2xϕ(x)ϕ′(x) = 2ϕ(x)ϕ′(x) dla x ∈ P,

więc uwzględniając (9.34) dostajemy łatwo (9.35). Podobnie jak w twierdzeniu 9.4.27pokazujemy, że funkcja podcałkowa po prawej stronie (9.36) jest określona w przedzialeϕ(P ) i z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dostajemy (9.36). �

Uwaga 9.4.31. Jeśli a < 0 i b2 − 4ac 6 0, to funkcja f postaci (9.24) jest określona conajwyżej w jednym punkcie, więc nie można mówić o funkcji pierwotnej funkcji f .

Z twierdzeń 9.4.27, 9.4.28. 9.4.30 dostajemy

Wniosek 9.4.32. Niech f będzie funkcją postaci 9.24. Wówczas każda funkcja pierwotnafunkcji f w przedziale P jest funkcją elementarną.

Przykład 9.4.33. Z definicji całki nieoznaczonej sprawdzamy, że dla a ∈ R, a > 0 mamy

(9.38)∫ 1√

a+ x2dx = ln(x+

√a+ x2) + C, w zbiorze R,

gdzie C ∈ R jest dowolną stałą. Przy czym x+√a+ x2 > 0 dla x ∈ R. Można zaś obliczyć

powyższą całkę w oparciu o pierwsze podstawienie Eulera 9.4.28. Oznaczając mianowicieϕ(x) = x+

√a+ x2, x ∈ R, dostajemy ϕ(x) ∈ (0,+∞) oraz 1√

a+x2= 1ϕ(x)ϕ

′(x) dla x ∈ R.Ponieważ

∫ 1tdt = ln t+ C, w przedziale (0,+∞), gdzie C ∈ R, zatem

∫ 1√a+ x2

dx = lnϕ(t) + C, w zbiorze R,

co daje (9.38).

Uwaga 9.4.34. Niech f będzie funkcją postaci (9.24). Jeśli c > 0, to można również sprowadzić całkęnieoznaczoną funkcji f w przedziale P do przypadku całki wymiernej przez II podstawienie Eulera:

ϕ(x) =

√ax2 + bx+ c−

√c

x, x ∈ P, przy złożeniu, że 0 6∈ P.

Wtedy można pokazać, że dla x ∈ P mamy

x =(2√ct− ba− t2

)◦ ϕ(x),

√ax2 + bx+ c =

(√ct2 − bt+

√c

a− t2

)◦ ϕ(x),

1 =12

((a− t)2√ct2 − bt+

√c

)◦ ϕ(x)ϕ′(x).

Zatem podobnie jak w I i III podstawieniu Eulera sprowadzamy liczenie całki nieoznaczonej funkcji f doprzypadku funkcji wymiernej.


Uwaga 9.4.35. Niech W będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych, niech a, b, c, d ∈ Rbędą ustalonymi liczbami rzeczywistymi, niech n ∈ N oraz niech P będzie przedziałem.Załóżmy, że dla każdego x ∈ P zachodzi ax+b

cx+d > 0 oraz punkt(x, n√ax+bcx+d)

)należy do

dziedziny funkcji W . Niech f : P → R będzie funkcją postaci

(9.39) f(x) =W(x, n√ax+bcx+d

), x ∈ P.

Wówczas każda funkcja pierwotna funkcji f w przedziale P jest funkcją elementarną.Istotnie, jeśli ad − bc = 0, to łatwo sprawdzamy, że funkcja n

√ax+bcx+d jest stała, więc

funkcja f jest wymierna i jej całka nieoznaczona jest funkcją elementarną.Jeśli ad − bc 6= 0, to można sprowadzić liczenia całki nieoznaczonej funkcji f do

przypadku funkcji wymiernej. Mianowicie biorąc funkcję ϕ : P → R określoną wzorem

ϕ(x) = n

√ax+bcx+d , x ∈ P,

dostajemy, że jest to funkcja różniczkowalna oraz dla x ∈ P mamy x = dtn−ba−ctn . Podobnie,

jak w poprzednich twierdzeniach pokazujemy, że istnieje funkcja wymierna R, że f(x) =R(ϕ(x))ϕ′(x) dla x ∈ P , zatem całka nieoznaczona funkcji f jest postaci∫

f(x)dx = (∫R(t)dt) ◦ ϕ, w przedziale P.

Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9.1 Funkcja pierwotna

Documents

Transcript of Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9.1 Funkcja pierwotna